Βασικοί τύποι επιπεδομετρίας. Πώς να βρείτε την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων

Οι περιοχές των γεωμετρικών σχημάτων είναι αριθμητικές τιμές που χαρακτηρίζουν το μέγεθός τους σε δισδιάστατο χώρο. Αυτή η τιμή μπορεί να μετρηθεί σε μονάδες συστήματος και εκτός συστήματος. Έτσι, για παράδειγμα, μια μονάδα έκτασης εκτός συστήματος είναι εκατό, ένα εκτάριο. Αυτό συμβαίνει εάν η μετρούμενη επιφάνεια είναι ένα κομμάτι γης. Η μονάδα συστήματος εμβαδού είναι το τετράγωνο του μήκους. Στο σύστημα SI, συνηθίζεται να θεωρείται ότι η μονάδα εμβαδού μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένα τετραγωνικό μέτρο. Στο CGS, η μονάδα εμβαδού εκφράζεται σε τετραγωνικά εκατοστά.

Οι τύποι γεωμετρίας και εμβαδού είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι. Αυτή η σύνδεση έγκειται στο γεγονός ότι ο υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων βασίζεται ακριβώς στην εφαρμογή τους. Για πολλά σχήματα, προκύπτουν διάφορες επιλογές, σύμφωνα με τις οποίες υπολογίζονται τα τετραγωνικά μεγέθη τους. Με βάση τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος, μπορούμε να προσδιορίσουμε τον απλούστερο τρόπο επίλυσής του. Αυτό διευκολύνει τον υπολογισμό και μειώνει την πιθανότητα σφαλμάτων υπολογισμού στο ελάχιστο. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε την κύρια περιοχή των μορφών στη γεωμετρία.

Οι τύποι για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου παρουσιάζονται με διάφορους τρόπους:

1) Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται από τη βάση α και το ύψος h. Η βάση είναι η πλευρά του σχήματος στην οποία χαμηλώνει το ύψος. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

2) Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου υπολογίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο αν η υποτείνουσα θεωρείται η βάση. Εάν, ωστόσο, το πόδι ληφθεί ως βάση, τότε η περιοχή του ορθογώνιου τριγώνου θα είναι ίση με το γινόμενο των ποδιών που έχουν μειωθεί στο μισό.

Οι τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου δεν τελειώνουν εκεί. Μια άλλη έκφραση περιέχει τις πλευρές a,b και την ημιτονοειδή συνάρτηση της γωνίας γ μεταξύ a και b. Η τιμή του ημιτόνου βρίσκεται στους πίνακες. Μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

Σύμφωνα με αυτήν την ισότητα, μπορείτε επίσης να βεβαιωθείτε ότι η περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου καθορίζεται μέσω των μήκων των ποδιών. Επειδή η γωνία γ είναι μια ορθή γωνία, επομένως το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου υπολογίζεται χωρίς να πολλαπλασιαστεί με την ημιτονοειδή συνάρτηση.

3) Εξετάστε μια ειδική περίπτωση - ένα κανονικό τρίγωνο, στο οποίο η πλευρά a είναι γνωστή από τη συνθήκη ή το μήκος της μπορεί να βρεθεί κατά την επίλυση. Τίποτα περισσότερο δεν είναι γνωστό για το σχήμα στο πρόβλημα της γεωμετρίας. Τότε πώς να βρείτε την περιοχή κάτω από αυτήν την κατάσταση; Σε αυτή την περίπτωση, εφαρμόζεται ο τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου:

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου και να χρησιμοποιήσετε τις διαστάσεις των πλευρών που έχουν κοινή κορυφή; Η έκφραση για τον υπολογισμό είναι:

Εάν θέλετε να χρησιμοποιήσετε τα μήκη των διαγωνίων για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, τότε χρειάζεστε την ημιτονοειδή συνάρτηση της γωνίας που σχηματίζεται όταν τέμνονται. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι:

τετράγωνο

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου ορίζεται ως η δεύτερη δύναμη του μήκους της πλευράς:

Η απόδειξη προκύπτει από τον ορισμό ότι ένα ορθογώνιο ονομάζεται τετράγωνο. Όλες οι πλευρές που σχηματίζουν ένα τετράγωνο έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Επομένως, ο υπολογισμός του εμβαδού ενός τέτοιου ορθογωνίου μειώνεται στον πολλαπλασιασμό του ενός με το άλλο, δηλαδή στη δεύτερη δύναμη της πλευράς. Και ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τετραγώνου θα πάρει την επιθυμητή μορφή.

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο, για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιείτε μια διαγώνιο:

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος που σχηματίζεται από ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από έναν κύκλο; Για τον υπολογισμό του εμβαδού, οι τύποι είναι:

Παραλληλόγραμμο

Για ένα παραλληλόγραμμο, ο τύπος περιέχει τις γραμμικές διαστάσεις της πλευράς, του ύψους και τη μαθηματική πράξη - πολλαπλασιασμό. Εάν το ύψος είναι άγνωστο, τότε πώς να βρείτε την περιοχή του παραλληλογράμμου; Υπάρχει άλλος τρόπος υπολογισμού. Απαιτείται μια ορισμένη τιμή, η οποία θα ληφθεί από την τριγωνομετρική συνάρτηση της γωνίας που σχηματίζουν οι γειτονικές πλευρές, καθώς και το μήκος τους.

Οι τύποι για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι:

Ρόμβος

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου που ονομάζεται ρόμβος; Το εμβαδόν ενός ρόμβου προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας απλές μαθηματικές πράξεις με διαγώνιες. Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι τα διαγώνια τμήματα στα d1 και d2 τέμνονται σε ορθή γωνία. Ο πίνακας των ημιτόνων δείχνει ότι για μια ορθή γωνία, αυτή η συνάρτηση είναι ίση με ένα. Επομένως, το εμβαδόν ενός ρόμβου υπολογίζεται ως εξής:

Η περιοχή ενός ρόμβου μπορεί επίσης να βρεθεί με άλλο τρόπο. Δεν είναι επίσης δύσκολο να αποδειχθεί αυτό, δεδομένου ότι οι πλευρές του έχουν το ίδιο μήκος. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το γινόμενο τους σε μια παρόμοια έκφραση για ένα παραλληλόγραμμο. Άλλωστε, μια ιδιαίτερη περίπτωση της συγκεκριμένης φιγούρας είναι ένας ρόμβος. Εδώ γ είναι η εσωτερική γωνία του ρόμβου. Το εμβαδόν ενός ρόμβου προσδιορίζεται ως εξής:

Τραπέζιο

Πώς να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς μέσω των βάσεων (α και β), εάν τα μήκη τους υποδεικνύονται στο πρόβλημα; Εδώ, χωρίς μια γνωστή τιμή του μήκους ύψους h, δεν θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της περιοχής ενός τέτοιου τραπεζοειδούς. Επειδή Αυτή η τιμή περιέχει την έκφραση για τον υπολογισμό:

Το τετράγωνο μέγεθος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς μπορεί επίσης να υπολογιστεί με τον ίδιο τρόπο. Παράλληλα, λαμβάνεται υπόψη ότι σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο συνδυάζονται οι έννοιες του ύψους και της πλευράς. Επομένως, για ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, πρέπει να καθορίσετε το μήκος της πλευράς αντί για το ύψος.

Κύλινδρος και παραλληλεπίπεδο

Εξετάστε τι χρειάζεται για να υπολογίσετε την επιφάνεια ολόκληρου του κυλίνδρου. Η περιοχή αυτού του σχήματος είναι ένα ζευγάρι κύκλων, που ονομάζονται βάσεις και μια πλευρική επιφάνεια. Οι κύκλοι που σχηματίζουν κύκλους έχουν μήκη ακτίνας ίσες με r. Για το εμβαδόν ενός κυλίνδρου γίνεται ο ακόλουθος υπολογισμός:

Πώς να βρείτε την περιοχή ενός παραλληλεπίπεδου που αποτελείται από τρία ζεύγη όψεων; Οι μετρήσεις του είναι συνεπείς με ένα συγκεκριμένο ζεύγος. Τα πρόσωπα που είναι απέναντι έχουν τις ίδιες παραμέτρους. Βρείτε πρώτα S(1), S(2), S(3) - τετράγωνες διαστάσεις άνισων όψεων. Τότε η επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου:

Δαχτυλίδι

Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο σχηματίζουν έναν δακτύλιο. Περιορίζουν επίσης την περιοχή του δακτυλίου. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο τύποι υπολογισμού λαμβάνουν υπόψη τις διαστάσεις κάθε κύκλου. Το πρώτο, που υπολογίζει την περιοχή του δακτυλίου, περιέχει μεγαλύτερες ακτίνες R και μικρότερες ακτίνες r. Πιο συχνά ονομάζονται εξωτερικά και εσωτερικά. Στη δεύτερη έκφραση, η περιοχή του δακτυλίου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις μεγαλύτερες διαμέτρους D και μικρότερες d. Έτσι, η περιοχή του δακτυλίου σύμφωνα με τις γνωστές ακτίνες υπολογίζεται ως εξής:

Η περιοχή του δακτυλίου, χρησιμοποιώντας τα μήκη των διαμέτρων, προσδιορίζεται ως εξής:

Πολύγωνο

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου του οποίου το σχήμα δεν είναι σωστό; Δεν υπάρχει γενικός τύπος για την περιοχή τέτοιων αριθμών. Αλλά αν απεικονίζεται σε ένα επίπεδο συντεταγμένων, για παράδειγμα, μπορεί να είναι καρό χαρτί, τότε πώς να βρείτε την επιφάνεια σε αυτή την περίπτωση; Εδώ χρησιμοποιούν μια μέθοδο που δεν απαιτεί κατά προσέγγιση μέτρηση του σχήματος. Κάνουν αυτό: αν βρουν σημεία που εμπίπτουν στη γωνία του κελιού ή έχουν ακέραιες συντεταγμένες, τότε μόνο αυτά λαμβάνονται υπόψη. Για να μάθετε στη συνέχεια ποια είναι η περιοχή, χρησιμοποιήστε τον τύπο που αποδείχθηκε από το Pick. Είναι απαραίτητο να προσθέσετε τον αριθμό των σημείων που βρίσκονται μέσα στην πολύγραμμη με τα μισά σημεία που βρίσκονται πάνω της και να αφαιρέσετε ένα, δηλ. υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο:

όπου C, D - ο αριθμός των σημείων που βρίσκονται εντός και σε ολόκληρη την πολύγραμμη, αντίστοιχα.

Όλοι οι τύποι για το εμβαδόν των επίπεδων σχημάτων

Περιοχή ισοσκελούς τραπεζοειδούς

1. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές και τη γωνία

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

γ - ίσες πλευρές

α - γωνία στην κάτω βάση

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές, (S):

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές και τη γωνία, (S):

2. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

R- ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

Δ- διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου

Ο - εγγεγραμμένο κέντρο κύκλου

Η- ύψος του τραπεζοειδούς

α, β - τραπεζοειδείς γωνίες

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, (S):

ΔΙΚΑΙΟΣ, για εγγεγραμμένο κύκλο σε ισοσκελές τραπεζοειδές:

3. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις διαγώνιες και τη γωνία μεταξύ τους

d-διαγώνιος τραπεζοειδούς

α,β- γωνίες μεταξύ διαγωνίων

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις διαγώνιες και τη γωνία μεταξύ τους, (S):

4. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς μέσω της μέσης γραμμής, της πλάγιας πλευράς και της γωνίας στη βάση

γ- πλευρά

m- μέση γραμμή του τραπεζοειδούς

α, β - γωνίες στη βάση

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τη μέση γραμμή, την πλευρική πλευρά και τη γωνία στη βάση,

(ΜΙΚΡΟ):

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις βάσεις και το ύψος

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

h - το ύψος του τραπεζοειδούς

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις βάσεις και το ύψος, (S):

Εμβαδόν τριγώνου με πλευρά και δύο γωνίες, τύπος.

α, β, γ - πλευρές του τριγώνου

α, β, γ - αντίθετες γωνίες

Εμβαδόν τριγώνου διαμέσου μιας πλευράς και δύο γωνιών (S):

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου

α - πλευρά πολυγώνου

n - αριθμός πλευρών

Εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, (S):

Ο (Ηρωνιανός) τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ημιπερίμετρο (S):

Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι:

Τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισόπλευρου τριγώνου.

α - πλευρά του τριγώνου

h - ύψος

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου;

β - η βάση του τριγώνου

α - ίσες πλευρές

h - ύψος

3. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς ως προς τις τέσσερις πλευρές

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

γ, δ - πλευρές

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τραπεζοειδούς στις πλευρές και τις διαγώνιες

α - οι πλευρές του τραπεζοειδούς

γ - κάτω βάση

β - επάνω βάση

d - διαγώνιος

h - ύψος

Ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τραπεζοειδούς, (R)

βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισοσκελούς τριγώνου κατά μήκος των πλευρών

Γνωρίζοντας τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από αυτό το τρίγωνο.

α, β - πλευρές του τριγώνου

Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ισοσκελούς τριγώνου (R):

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε εξάγωνο

α - πλευρά του εξαγώνου

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε εξάγωνο, (r):

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ρόμβο

r - ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

α - πλευρά του ρόμβου

D, d - διαγώνιες

h - ύψος διαμαντιού

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ισοσκελές τραπέζιο

γ - κάτω βάση

β - επάνω βάση

α - πλευρές

h - ύψος

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ορθογώνιο τρίγωνο

α, β - σκέλη του τριγώνου

γ - υποτείνουσα

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ισοσκελές τρίγωνο

α, β - πλευρές του τριγώνου

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι

\/(ρ - α)(ρ - β) (ρ - γ) (ρ - δ),

όπου p είναι η ημιπερίμετρος και a, b, c και d οι πλευρές του τετράπλευρου.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι

1/2 (ab + cb) sin α, όπου a, b, c και d είναι οι πλευρές του τετράπλευρου και α είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Διαβάστε περισσότερα στο FB.ru:

Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τετράπλευρου (Εικ. 1.13) μπορεί να εκφραστεί ως προς τις πλευρές του a, b, c και το άθροισμα ενός ζεύγους απέναντι γωνιών:

όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου.

Το εμβαδόν ενός τετράγωνου εγγεγραμμένου σε κύκλο () (Εικ. 1.14, α) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Brahmagupta

και περιγράφεται (Εικ. 1.14, β) () - σύμφωνα με τον τύπο

Εάν το τετράπλευρο εγγράφεται και περιγράφεται ταυτόχρονα (Εικ. 1.14, γ), τότε ο τύπος γίνεται αρκετά απλός:

Φόρμουλα κορυφής

Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός πολυγώνου σε καρό χαρτί, αρκεί να υπολογίσετε πόσα κελιά καλύπτει αυτό το πολύγωνο (λαμβάνουμε την περιοχή του κελιού ως μονάδα). Πιο συγκεκριμένα, εάν S είναι το εμβαδόν του πολυγώνου, είναι ο αριθμός των κελιών που βρίσκονται εξ ολοκλήρου μέσα στο πολύγωνο και είναι ο αριθμός των κελιών που έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με το εσωτερικό του πολυγώνου.

Θα εξετάσουμε παρακάτω μόνο τέτοια πολύγωνα, των οποίων όλες οι κορυφές βρίσκονται στους κόμβους του καρό χαρτιού - σε αυτούς όπου τέμνονται οι γραμμές του πλέγματος. Αποδεικνύεται ότι για τέτοια πολύγωνα, μπορείτε να καθορίσετε τον ακόλουθο τύπο:

όπου είναι η περιοχή, r είναι ο αριθμός των κόμβων που βρίσκονται αυστηρά μέσα στο πολύγωνο.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «φόρμουλα κορυφής» από τον μαθηματικό που τον ανακάλυψε το 1899.

Τι είναι μια περιοχή;

Περιοχή - χαρακτηριστικό ενός κλειστού γεωμετρικού σχήματος (κύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο κ.λπ.), που δείχνει το μέγεθός του. Το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικά εκατοστά, μέτρα κ.λπ. Υποδηλώνεται με γράμμα μικρό(τετράγωνο).

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου;

S= ένα η

όπου ένα- μήκος βάσης ηείναι το ύψος του τριγώνου που τραβιέται στη βάση.

Επιπλέον, η βάση δεν χρειάζεται να βρίσκεται στο κάτω μέρος. Θα κάνει και αυτό.

Αν τρίγωνο κουτός, τότε το ύψος πέφτει στη συνέχεια της βάσης:

Αν τρίγωνο ορθογώνιος, τότε η βάση και το ύψος είναι τα πόδια του:

2. Μια άλλη φόρμουλα, που δεν είναι λιγότερο χρήσιμη, αλλά που για κάποιο λόγο πάντα ξεχνιέται:

S= a b sina

όπου ένακαι σιδύο πλευρές ενός τριγώνου sinaείναι το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η κύρια προϋπόθεση είναι ότι η γωνία λαμβάνεται μεταξύ δύο γνωστών πλευρών.

3. Ο τύπος για την περιοχή στις τρεις πλευρές (τύπος του Heron):

S=

όπου ένα, σικαι Μεείναι οι πλευρές του τριγώνου, και R -ημιπερίμετρος. Π = (α+β+γ)/2.

4. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:

S=

όπου ένα, σικαι Μεείναι οι πλευρές του τριγώνου, και R-ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:

S= p r

όπου R -ημιπερίμετρος τριγώνου και r-ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου;

1. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι αρκετά απλό:

S=ένα σι

Χωρίς κόλπα.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τετραγώνου;

1. Εφόσον ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες, ισχύει ο ίδιος τύπος:

S=ένα a = a2

2. Επίσης, το εμβαδόν ενός τετραγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τη διαγώνιο του:

S= ρε 2

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου;

1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται με τον τύπο:

S=ένα η

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αν κόψετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο από αυτό στα δεξιά και το προσαρτήσετε στα αριστερά, θα έχετε ένα ορθογώνιο:

2. Επίσης, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου μπορεί να βρεθεί μέσω της γωνίας μεταξύ των δύο πλευρών:

S=ένα b sina

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ρόμβου;

Ο ρόμβος είναι ουσιαστικά ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Επομένως, ισχύουν οι ίδιοι τύποι περιοχής.

1. Περιοχή ρόμβου ως προς το ύψος:

S=ένα η

Για να λύσετε προβλήματα στη γεωμετρία, πρέπει να γνωρίζετε τύπους - όπως η περιοχή ενός τριγώνου ή η περιοχή ενός παραλληλογράμμου - καθώς και απλά κόλπα, για τα οποία θα μιλήσουμε.

Αρχικά, ας μάθουμε τους τύπους για τις περιοχές των σχημάτων. Τα έχουμε συλλέξει ειδικά σε ένα βολικό τραπέζι. Εκτυπώστε, μάθετε και εφαρμόστε!

Φυσικά, δεν υπάρχουν όλοι οι τύποι γεωμετρίας στον πίνακά μας. Για παράδειγμα, για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας και στερεομετρίας στο δεύτερο μέρος της εξέτασης προφίλ στα μαθηματικά, χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Θα σας πούμε σίγουρα για αυτούς.

Αλλά τι γίνεται αν δεν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς ή τριγώνου, αλλά την περιοχή μιας σύνθετης φιγούρας; Υπάρχουν καθολικοί τρόποι! Θα τους δείξουμε χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την τράπεζα εργασιών FIPI.

1. Πώς να βρείτε την περιοχή μιας μη τυπικής φιγούρας; Για παράδειγμα, ένα αυθαίρετο τετράπλευρο; Μια απλή τεχνική - ας σπάσουμε αυτό το σχήμα σε αυτά που όλοι γνωρίζουμε και ας βρούμε το εμβαδόν του - ως το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Διαιρέστε αυτό το τετράπλευρο με μια οριζόντια γραμμή σε δύο τρίγωνα με κοινή βάση ίση με . Τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα με και . Τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων: .

Απάντηση: .

2. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η περιοχή του σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά οποιωνδήποτε περιοχών.

Δεν είναι τόσο εύκολο να υπολογίσεις με τι ισούται η βάση και το ύψος σε αυτό το τρίγωνο! Μπορούμε όμως να πούμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών ενός τετραγώνου με πλευρά και τρία ορθογώνια τρίγωνα. Τους βλέπετε στην εικόνα; Παίρνουμε: .

Απάντηση: .

3. Μερικές φορές σε μια εργασία είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή όχι ολόκληρης της φιγούρας, αλλά του μέρους της. Συνήθως μιλάμε για το εμβαδόν ενός τομέα - μέρος ενός κύκλου Βρείτε το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου ακτίνας, του οποίου το μήκος τόξου είναι ίσο με .

Σε αυτή την εικόνα βλέπουμε μέρος ενός κύκλου. Το εμβαδόν ολόκληρου του κύκλου είναι ίσο με , αφού . Απομένει να μάθουμε ποιο μέρος του κύκλου απεικονίζεται. Δεδομένου ότι το μήκος ολόκληρου του κύκλου είναι (από), και το μήκος του τόξου αυτού του τομέα είναι ίσο, επομένως, το μήκος του τόξου είναι αρκετές φορές μικρότερο από το μήκος ολόκληρου του κύκλου. Η γωνία πάνω στην οποία στηρίζεται αυτό το τόξο είναι επίσης φορές μικρότερη από έναν πλήρη κύκλο (δηλαδή μοίρες). Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του τομέα θα είναι αρκετές φορές μικρότερη από την περιοχή ολόκληρου του κύκλου.