Πώς να αναπαραστήσετε μια έκφραση ως μονώνυμο. Αναγωγή μονωνύμου σε τυπική μορφή, παραδείγματα, λύσεις
Μονώνυμοςείναι μια έκφραση που είναι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ένας αριθμός που εκφράζεται με ένα γράμμα, ψηφία ή δύναμη (με έναν μη αρνητικό ακέραιο εκθέτη):
2ένα, ένα 3 Χ, 4αλφάβητο, -7Χ
Εφόσον το γινόμενο πανομοιότυπων παραγόντων μπορεί να γραφτεί ως βαθμός, τότε ένας απλός βαθμός (με μη αρνητικό ακέραιο εκθέτη) είναι επίσης μονώνυμο:
(-4) 3 , Χ 5 ,
Δεδομένου ότι ένας αριθμός (ακέραιος ή κλασματικός), που εκφράζεται με ένα γράμμα ή αριθμούς, μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο αυτού του αριθμού κατά ένα, τότε οποιοσδήποτε απλός αριθμός μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μονώνυμο:
Χ, 16, -ένα,
Τυπική μορφή μονωνύμου
Τυπική μορφή μονωνύμου- αυτό είναι ένα μονώνυμο, το οποίο έχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα, ο οποίος πρέπει να γραφτεί στην αρχή. Όλες οι μεταβλητές είναι με αλφαβητική σειρά και περιέχονται στο μονώνυμο μόνο μία φορά.
Οι αριθμοί, οι μεταβλητές και οι βαθμοί μεταβλητών αναφέρονται επίσης σε μονώνυμα της τυπικής μορφής:
7, σι, Χ 3 , -5σι 3 z 2 - μονώνυμα τυπικής μορφής.
Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου τυπικής μορφής ονομάζεται μονωνικός συντελεστής. Μονωνυμικοί συντελεστές ίσοι με 1 και -1 συνήθως δεν γράφονται.
Εάν δεν υπάρχει αριθμητικός παράγοντας στο μονώνυμο της τυπικής μορφής, τότε υποτίθεται ότι ο συντελεστής του μονωνύμου είναι 1:
Χ 3 = 1 Χ 3
Εάν δεν υπάρχει αριθμητικός παράγοντας στο μονώνυμο της τυπικής φόρμας και υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά του, τότε υποτίθεται ότι ο συντελεστής του μονωνύμου είναι -1:
-Χ 3 = -1 Χ 3
Αναγωγή μονωνύμου σε τυπική μορφή
Για να φέρετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή, πρέπει:
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες, αν είναι πολλοί. Αυξήστε έναν αριθμητικό παράγοντα σε δύναμη αν έχει εκθέτη. Βάλτε τον πολλαπλασιαστή αριθμών στην πρώτη θέση.
- Πολλαπλασιάστε όλες τις πανομοιότυπες μεταβλητές έτσι ώστε κάθε μεταβλητή να εμφανίζεται μόνο μία φορά στο μονώνυμο.
- Τακτοποιήστε τις μεταβλητές μετά τον αριθμητικό παράγοντα με αλφαβητική σειρά.
Παράδειγμα.Εκφράστε το μονώνυμο σε τυπική μορφή:
α) 3 yx 2 (-2) y 5 Χ; β) 6 προ ΧΡΙΣΤΟΥ 0,5 αβ 3
Λύση:
α) 3 yx 2 (-2) y 5 Χ= 3 (-2) Χ 2 Χyy 5 = -6Χ 3 y 6
β) 6 προ ΧΡΙΣΤΟΥ 0,5 αβ 3 = 6 0,5 αβσι 3 ντο = 3αβ 4 ντο
Βαθμός μονωνύμου
Βαθμός μονωνύμουείναι το άθροισμα των εκθετών όλων των γραμμάτων σε αυτό.
Αν ένα μονώνυμο είναι αριθμός, δηλαδή δεν περιέχει μεταβλητές, τότε ο βαθμός του θεωρείται ίσος με μηδέν. Για παράδειγμα:
5, -7, 21 - μονώνυμα μηδενικού βαθμού.
Επομένως, για να βρείτε τον βαθμό ενός μονωνύμου, πρέπει να προσδιορίσετε τον εκθέτη καθενός από τα γράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτό και να προσθέσετε αυτούς τους εκθέτες. Αν δεν προσδιορίζεται ο εκθέτης του γράμματος, τότε είναι ίσος με ένα.
Παραδείγματα:
Λοιπον πως εισαι Χο εκθέτης δεν προσδιορίζεται, που σημαίνει ότι είναι ίσος με 1. Το μονώνυμο δεν περιέχει άλλες μεταβλητές, που σημαίνει ότι ο βαθμός του είναι ίσος με 1.
Το μονώνυμο περιέχει μόνο μία μεταβλητή στο δεύτερο βαθμό, επομένως ο βαθμός αυτού του μονωνύμου είναι 2.
3) αβ 3 ντο 2 ρε
Δείκτης έναισούται με 1, ο δείκτης σι- 3, ένδειξη ντο- 2, ένδειξη ρε- 1. Ο βαθμός αυτού του μονωνύμου είναι ίσος με το άθροισμα αυτών των δεικτών.
ΕΓΩ. Οι παραστάσεις που αποτελούνται από αριθμούς, μεταβλητές και τις δυνάμεις τους, με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού ονομάζονται μονώνυμα.
Παραδείγματα μονωνύμων:
ΕΝΑ)ένα; σι) ab; V) 12; ΣΟΛ)-3c; μι) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; μι)-123,45xy 5 z; και) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3).
II. Αυτός ο τύπος μονωνύμου, όταν ο αριθμητικός συντελεστής (συντελεστής) βρίσκεται στην πρώτη θέση, ακολουθούμενος από τις μεταβλητές με τις δυνάμεις τους, ονομάζεται τυπικός τύπος μονωνύμου.
Έτσι, τα μονοώνυμα που δίνονται παραπάνω, κάτω από τα γράμματα α Β Γ), ΣΟΛ)Και μι)γράφονται σε τυπική μορφή και τα μονοώνυμα κάτω από τα γράμματα μι)Και και)απαιτείται να το φέρετε σε μια τυπική μορφή, δηλαδή σε μια τέτοια μορφή όταν ο αριθμητικός παράγοντας είναι στην πρώτη θέση και οι κυριολεκτικοί παράγοντες με τους δείκτες τους γράφονται μετά από αυτό, επιπλέον, οι κυριολεκτικοί παράγοντες είναι με αλφαβητική σειρά. Δίνουμε τα μονώνυμα μι)Και και)στην τυπική όψη.
μι) 2α 2 ∙(-3,5β) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;
και) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.Το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών που απαρτίζουν το μονώνυμο ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου.
Παραδείγματα.Τι βαθμό έχουν τα μονώνυμα α) - ζ);
α) α.Πρώτα;
σι) αβ.Δεύτερος: ΕΝΑστον πρώτο βαθμό και σιστον πρώτο βαθμό - το άθροισμα των δεικτών 1+1=2 ;
V) 12. Μηδέν, αφού δεν υπάρχουν αλφαβητικοί παράγοντες.
ΣΟΛ) -3γ.Πρώτα;
μι) -85,75a 2 b 3 .Πέμπτος. Έχουμε μειώσει αυτό το μονώνυμο στην τυπική μορφή, έχουμε ΕΝΑστον δεύτερο βαθμό και σιστο τρίτο. Προσθήκη δεικτών: 2+3=5 ;
μι) -123,45xy 5 z.Εβδομος. Προστέθηκαν οι εκθέτες των κυριολεκτικών παραγόντων: 1+5+1=7 ;
και) -60a 3 c 3 .Το έκτο, από το άθροισμα των δεικτών των κυριολεκτικών πολλαπλασιαστών 3+3=6 .
IV. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο γράμμα ονομάζονται παρόμοια μονώνυμα.
Παράδειγμα.Υποδείξτε παρόμοια μονοώνυμα μεταξύ των δοσμένων μονώνυμων 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2 ε.
Δίνουμε τα μονώνυμα 1), 4) Και 5) στην τυπική όψη. Τότε η γραμμή αυτών των μονωνύμων θα μοιάζει με αυτό:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2 ε.
Παρόμοια θα είναι αυτά που έχουν το ίδιο γράμμα, δηλ. 1) και 3) ; 2) και 4); 5) και 6).
1) 3α 2 β 2 γ και 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3bc και 4) 98,7a 3bc;
5) 10a 4 x και 6) -2,3a 4x.
Σημειώσαμε ότι οποιοδήποτε μονώνυμο μπορεί να είναι φέρνουν σε τυπική μορφή. Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε τι ονομάζεται αναγωγή ενός μονωνύμου σε τυπική μορφή, ποιες ενέργειες επιτρέπουν να πραγματοποιηθεί αυτή η διαδικασία και θα εξετάσουμε τις λύσεις των παραδειγμάτων με λεπτομερείς επεξηγήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι σημαίνει να φέρουμε ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή;
Είναι βολικό να εργάζεστε με μονώνυμα όταν είναι γραμμένα σε τυπική μορφή. Ωστόσο, τα μονώνυμα δίνονται αρκετά συχνά με διαφορετική μορφή από την τυπική. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί κανείς πάντα να μεταβεί από το αρχικό μονώνυμο στο τυπικό μονώνυμο εκτελώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Η διαδικασία διεξαγωγής τέτοιων μετασχηματισμών ονομάζεται φέρνοντας το μονώνυμο στην τυπική μορφή.
Ας γενικεύσουμε τον παραπάνω συλλογισμό. Φέρτε το μονώνυμο σε τυπική μορφή- αυτό σημαίνει να εκτελούνται τόσο πανομοιότυποι μετασχηματισμοί με αυτό, ώστε να παίρνει μια τυπική μορφή.
Πώς να φέρετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή;
Ήρθε η ώρα να καταλάβετε πώς να φέρετε τα μονοώνυμα στην τυπική φόρμα.
Όπως είναι γνωστό από τον ορισμό, τα μονώνυμα μιας μη τυπικής μορφής είναι γινόμενα αριθμών, μεταβλητών και των δυνάμεών τους και, ενδεχομένως, επαναλαμβανόμενων. Και το μονώνυμο της τυπικής φόρμας μπορεί να περιέχει στην εγγραφή του μόνο έναν αριθμό και μη επαναλαμβανόμενες μεταβλητές ή τους βαθμούς τους. Τώρα μένει να καταλάβουμε πώς τα προϊόντα του πρώτου τύπου μπορούν να μειωθούν στη μορφή του δεύτερου;
Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα ο κανόνας για τη μείωση ενός μονωνύμου σε τυπική μορφήπου αποτελείται από δύο βήματα:
- Πρώτον, πραγματοποιείται ομαδοποίηση αριθμητικών παραγόντων, καθώς και πανομοιότυπων μεταβλητών και των βαθμών τους.
- Δεύτερον, υπολογίζεται και εφαρμόζεται το γινόμενο των αριθμών.
Ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του αναφερόμενου κανόνα, οποιοδήποτε μονώνυμο θα μειωθεί στην τυπική φόρμα.
Παραδείγματα, Λύσεις
Μένει να μάθουμε πώς να εφαρμόζουμε τον κανόνα από την προηγούμενη παράγραφο κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Φέρτε το μονώνυμο 3·x·2·x 2 σε τυπική μορφή.
Λύση.
Ας ομαδοποιήσουμε τους αριθμητικούς παράγοντες και τους παράγοντες με μεταβλητή x . Μετά την ομαδοποίηση, το αρχικό μονώνυμο θα πάρει τη μορφή (3 2) (x x 2) . Το γινόμενο των αριθμών στις πρώτες αγκύλες είναι 6 και ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις επιτρέπει την παράσταση στις δεύτερες αγκύλες ως x 1 +2=x 3. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής 6·x 3 .
Εδώ είναι μια περίληψη της λύσης: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Απάντηση:
3 x 2 x 2 =6 x 3 .
Έτσι, για να φέρετε ένα μονώνυμο σε μια τυπική μορφή, είναι απαραίτητο να μπορείτε να ομαδοποιήσετε παράγοντες, να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό αριθμών και να εργαστείτε με δυνάμεις.
Για να εμπεδώσουμε το υλικό, ας λύσουμε ένα ακόμη παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Να εκφράσετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή και να δηλώσετε τον συντελεστή του.
Λύση.
Το αρχικό μονώνυμο έχει έναν μόνο αριθμητικό παράγοντα −1 στη σημειογραφία του, ας το μετακινήσουμε στην αρχή. Μετά από αυτό, ομαδοποιούμε τους παράγοντες χωριστά με τη μεταβλητή a , ξεχωριστά - με τη μεταβλητή b , και δεν υπάρχει τίποτα για να ομαδοποιήσουμε τη μεταβλητή m, αφήστε την ως έχει, έχουμε 
. Αφού εκτελέσουμε πράξεις με μοίρες σε αγκύλες, το μονώνυμο θα πάρει την τυπική μορφή που χρειαζόμαστε, από όπου μπορείτε να δείτε τον συντελεστή του μονωνύμου, ίσο με -1. Το μείον ένα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα σύμβολο μείον: .
Η έννοια του μονωνύμου
Ορισμός μονωνύμου: Το μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που χρησιμοποιεί μόνο πολλαπλασιασμό.
Τυπική μορφή μονωνύμου
Ποια είναι η τυπική μορφή ενός μονωνύμου; Το μονώνυμο γράφεται σε τυπική μορφή, αν έχει αρχικά έναν αριθμητικό παράγοντα και αυτός ο παράγοντας, ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, υπάρχει μόνο ένα στο μονώνυμο, τα γράμματα του μονωνύμου είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά και κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά.
Ένα παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:
Εδώ στην πρώτη θέση είναι ο αριθμός, ο συντελεστής του μονωνύμου, και αυτός ο αριθμός είναι μόνο ένας στο μονώνυμό μας, κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά και τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά, σε αυτήν την περίπτωση είναι το λατινικό αλφάβητο.
Ένα άλλο παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:
κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά, είναι ταξινομημένα με λατινική αλφαβητική σειρά, αλλά πού είναι ο συντελεστής του μονωνύμου, δηλ. αριθμός παράγοντας που πρέπει να είναι πρώτος; Εδώ ισούται με ένα: 1 adm.
Μπορεί ο μονώνυμος συντελεστής να είναι αρνητικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: -5α.
Μπορεί ένας μονώνυμος συντελεστής να είναι κλασματικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: 5.2a.
Αν το μονώνυμο αποτελείται μόνο από έναν αριθμό, δηλ. δεν έχει γράμματα, πώς να το φέρω στην τυπική φόρμα; Κάθε μονώνυμο που είναι αριθμός είναι ήδη σε τυπική μορφή, για παράδειγμα: ο αριθμός 5 είναι ένα μονώνυμο τυπικής μορφής.
Αναγωγή μονωνύμων σε τυπική μορφή
Πώς να φέρετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή; Εξετάστε παραδείγματα.
Ας δοθεί το μονώνυμο 2a4b, πρέπει να το φέρουμε στην τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε δύο από τους αριθμητικούς του παράγοντες και παίρνουμε 8ab. Τώρα το μονώνυμο γράφεται στην τυπική μορφή, δηλ. έχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα, γραμμένο στην πρώτη θέση, κάθε γράμμα στο μονώνυμο εμφανίζεται μόνο μία φορά και αυτά τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά. Άρα 2a4b = 8ab.
Δίνεται: μονώνυμο 2a4a, φέρτε το μονώνυμο σε τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς 2 και 4, το γινόμενο aa αντικαθίσταται από τη δεύτερη δύναμη a 2 . Παίρνουμε: 8a 2 . Αυτή είναι η τυπική μορφή αυτού του μονωνύμου. Άρα, 2a4a = 8a 2 .
Παρόμοια μονώνυμα
Τι είναι παρόμοια μονώνυμα; Εάν τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές ή είναι ίσα, τότε ονομάζονται παρόμοια.
Ένα παράδειγμα παρόμοιων μονωνύμων: 5a και 2a. Αυτά τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.
Είναι παρόμοια τα μονώνυμα 5abc και 10cba; Φέρνουμε το δεύτερο μονώνυμο στην τυπική φόρμα, παίρνουμε 10abc. Τώρα είναι σαφές ότι τα μονώνυμα 5abc και 10abc διαφέρουν μόνο στους συντελεστές τους, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.
Προσθήκη μονωνύμων
Ποιο είναι το άθροισμα των μονώνυμων; Μπορούμε μόνο να αθροίσουμε παρόμοια μονώνυμα. Εξετάστε το παράδειγμα της προσθήκης μονοωνύμων. Ποιο είναι το άθροισμα των μονώνυμων 5a και 2a; Το άθροισμα αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο παρόμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου είναι ίσος με το άθροισμα των συντελεστών των όρων. Άρα, το άθροισμα των μονοωνύμων είναι 5a + 2a = 7a.
Περισσότερα παραδείγματα προσθήκης μονωνύμων:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Πάλι. Μπορείτε να προσθέσετε μόνο παρόμοια μονοώνυμα· η πρόσθεση μειώνεται στην προσθήκη των συντελεστών τους.
Αφαίρεση μονοωνύμων
Ποια είναι η διαφορά των μονωνύμων; Μπορούμε μόνο να αφαιρέσουμε παρόμοια μονώνυμα. Εξετάστε ένα παράδειγμα αφαίρεσης μονωνύμων. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των μονώνυμων 5a και 2a; Η διαφορά αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου είναι ίσος με τη διαφορά των συντελεστών αυτών των μονωνύμων. Άρα, η διαφορά των μονωνύμων είναι ίση με 5a - 2a = 3a.
Περισσότερα παραδείγματα αφαίρεσης μονωνύμων:
10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Πολλαπλασιασμός μονοωνύμων
Ποιο είναι το γινόμενο των μονοωνύμων; Εξετάστε ένα παράδειγμα:
εκείνοι. το γινόμενο των μονωνύμων ισούται με το μονώνυμα του οποίου οι συντελεστές αποτελούνται από τους συντελεστές των αρχικών μονοωνύμων.
Ενα άλλο παράδειγμα:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα; Κάθε παράγοντας έχει "a" στον βαθμό: στον πρώτο - "a" στον βαθμό 2 και στον δεύτερο - "a" στον βαθμό 5. Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο θα έχει "a" στον βαθμό 7, γιατί όταν πολλαπλασιάζονται τα ίδια γράμματα, οι εκθέτες τους αθροίζονται:
A 2 * a 5 = a 7 .
Το ίδιο ισχύει και για τον παράγοντα «β».
Ο συντελεστής του πρώτου παράγοντα είναι ίσος με δύο, και ο δεύτερος - σε ένα, οπότε παίρνουμε 2 * 1 = 2 ως αποτέλεσμα.
Έτσι υπολογίστηκε το αποτέλεσμα 2a 7 b 12.
Από αυτά τα παραδείγματα, μπορεί να φανεί ότι οι συντελεστές των μονώνυμων πολλαπλασιάζονται και τα ίδια γράμματα αντικαθίστανται από τα αθροίσματα των βαθμών τους στο γινόμενο.
