Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής x. Διακριτή τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής της

Διακριτό τυχαίοΟι μεταβλητές ονομάζονται τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν μόνο τιμές που είναι απομακρυσμένες μεταξύ τους, οι οποίες μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων.
νόμος διανομής
Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μια σχέση που δημιουργεί μια σχέση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους.
Το εύρος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια λίστα με τις πιθανές τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες.
Η συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται συνάρτηση:
,
το οποίο καθορίζει για κάθε τιμή του ορίσματος x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή μικρότερη από αυτήν την x.

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
,
πού είναι η τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; - την πιθανότητα αποδοχής μιας τυχαίας μεταβλητής X τιμές.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή λάβει ένα μετρήσιμο σύνολο πιθανών τιμών, τότε:
.
Μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε n ανεξάρτητες δοκιμές:
,

Διασπορά και τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
ή .
Διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε n ανεξάρτητες δοκιμές
,
όπου p είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν.
Τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
.

Παράδειγμα 1
Να σχηματίσετε τον νόμο κατανομής πιθανοτήτων για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή (d.r.v.) X – ο αριθμός k τουλάχιστον ενός «έξι» σε n = 8 ρίψεις ενός ζεύγους ζαριών. Σχεδιάστε το πολύγωνο διανομής. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της κατανομής (τρόπος κατανομής, μαθηματική προσδοκία M(X), διακύμανση D(X), τυπική απόκλιση s(X)). Λύση:Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: γεγονός Α - "κατά τη διάρκεια της ρίψης ενός ζευγαριού, οι έξι εμφανίστηκαν τουλάχιστον μία φορά." Για να βρείτε την πιθανότητα P(A) = p του γεγονότος Α, είναι πιο βολικό να βρείτε πρώτα την πιθανότητα P(Ā) = q του αντίθετου γεγονότος Ā – «όταν πετάτε ένα ζευγάρι ζάρια, τα έξι δεν εμφανίζονταν καν μια φορά".
Δεδομένου ότι η πιθανότητα να μην εμφανιστεί ένα «έξι» όταν ρίχνουμε ένα ζάρι είναι 5/6, τότε με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων
P(Ā) = q = = .
Αντίστοιχα,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Οι δοκιμές στο πρόβλημα πραγματοποιούνται σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli· επομένως, το d.r.v. μέγεθος Χ- αριθμός κΤο να εγκαταλείπετε τουλάχιστον ένα έξι όταν ρίχνετε δύο ζάρια υπακούει στον διωνυμικό νόμο της κατανομής πιθανοτήτων:

όπου = είναι ο αριθμός των συνδυασμών από nεπί κ.

Είναι βολικό να οργανώσετε τους υπολογισμούς που πραγματοποιήθηκαν για αυτό το πρόβλημα με τη μορφή πίνακα:
Κατανομή πιθανότητας d.r.v. Χ º κ (n = 8; Π = ; q = )

κ
ΠΝ(κ)

Πολύγωνο (πολύγωνο) της κατανομής πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χφαίνεται στο Σχ.:

Ρύζι. Πολύγωνο κατανομής πιθανότητας d.r.v. Χ=κ.
Η κάθετη γραμμή δείχνει τη μαθηματική προσδοκία της κατανομής Μ(Χ).

Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της κατανομής πιθανοτήτων του d.r.v. Χ. Ο τρόπος διανομής είναι 2 (εδώ Π 8(2) = 0,2932 μέγιστο). Η μαθηματική προσδοκία, εξ ορισμού, είναι:
Μ(Χ) = = 2,4444,
όπου xk = κείναι η τιμή που δέχεται το d.r.v. Χ. διασπορά ρε(Χ) βρίσκουμε τις κατανομές με τον τύπο:
ρε(Χ) = = 4,8097.
Τυπική απόκλιση (RMS):
μικρό( Χ) = = 2,1931.

Παράδειγμα 2
Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τον νόμο διανομής

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την.

Λύση.Αν , τότε (τρίτη ιδιότητα).
Αν τότε . Πραγματικά, Χμπορεί να πάρει την τιμή 1 με πιθανότητα 0,3.
Αν τότε . Πράγματι, αν ικανοποιεί την ανισότητα
, τότε ισούται με την πιθανότητα ενός γεγονότος που μπορεί να πραγματοποιηθεί όταν Χθα λάβει την τιμή 1 (η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 0,3) ή την τιμή 4 (η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 0,1). Εφόσον αυτά τα δύο γεγονότα είναι ασύμβατα, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων 0,3 + 0,1=0,4. Αν τότε . Πράγματι, το γεγονός είναι βέβαιο, επομένως, η πιθανότητα του είναι ίση με ένα. Έτσι, η συνάρτηση κατανομής μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής:

Γράφημα αυτής της συνάρτησης:
Ας βρούμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές. Με την προϋπόθεση, οι πιθανότητες αστοχίας των συσκευών είναι ίσες: τότε οι πιθανότητες να λειτουργήσουν οι συσκευές κατά τη διάρκεια της περιόδου εγγύησης είναι ίσες με:




Ο νόμος διανομής έχει τη μορφή:

Ορισμός 2.3. Μια τυχαία μεταβλητή που συμβολίζεται με Χ ονομάζεται διακριτή εάν παίρνει ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο τιμών, δηλ. Το σύνολο είναι ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο.

Εξετάστε παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών.

1. Δύο νομίσματα ρίχνονται μία φορά. Ο αριθμός των θυρεών σε αυτό το πείραμα είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ. Οι πιθανές τιμές του είναι 0,1,2, δηλ. είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.

2. Καταγράφεται ο αριθμός των κλήσεων ασθενοφόρου σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Τυχαία τιμή Χ– αριθμός κλήσεων. Οι πιθανές τιμές του είναι 0, 1, 2, 3, ..., δηλ. =(0,1,2,3,...) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο.

3. Στην ομάδα συμμετέχουν 25 μαθητές. Κάποια μέρα καταγράφεται ο αριθμός των μαθητών που ήρθαν στα μαθήματα - μια τυχαία μεταβλητή Χ. Οι πιθανές τιμές του είναι: 0, 1, 2, 3, ..., 25 δηλ. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Παρόλο που και τα 25 άτομα στο παράδειγμα 3 δεν μπορούν να χάσουν μαθήματα, αλλά η τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει αυτή την τιμή. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής έχουν διαφορετικές πιθανότητες.

Εξετάστε ένα μαθηματικό μοντέλο μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Ας γίνει ένα τυχαίο πείραμα, το οποίο αντιστοιχεί σε έναν πεπερασμένο ή μετρήσιμο χώρο στοιχειωδών γεγονότων. Ας εξετάσουμε την αντιστοίχιση αυτού του χώρου στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, συσχετίζουμε κάθε στοιχειώδες γεγονός με κάποιο πραγματικό αριθμό, . Το σύνολο των αριθμών σε αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο, δηλ. ή

Το σύστημα των υποσυνόλων, το οποίο περιλαμβάνει οποιοδήποτε υποσύνολο , συμπεριλαμβανομένου ενός μονοσημείου, σχηματίζει μια -άλγεβρα ενός αριθμητικού συνόλου (-πεπερασμένα ή μετρήσιμα).

Δεδομένου ότι οποιοδήποτε στοιχειώδες γεγονός συνδέεται με ορισμένες πιθανότητες πι(στην περίπτωση των πεπερασμένων όλων ), και , τότε μπορούμε να εκχωρήσουμε μια συγκεκριμένη πιθανότητα σε κάθε τιμή της τυχαίας μεταβλητής πι, έτσι ώστε .

Αφήνω Χείναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Σημαίνω R X (x)την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χπήρε μια τιμή ίση με Χ, δηλ. P X (x) \u003d P (X \u003d x). Στη συνέχεια η συνάρτηση R X (x)μπορεί να λάβει θετικές τιμές μόνο για αυτές τις τιμές Χ, που ανήκουν σε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο , και για όλες τις άλλες τιμές, η πιθανότητα αυτής της τιμής P X (x)=0.

Έτσι, ορίσαμε το σύνολο τιμών, -άλγεβρα ως σύστημα οποιωνδήποτε υποσυνόλων και για κάθε γεγονός ( X=x) συνέκρινε την πιθανότητα για οποιαδήποτε, δηλ. έχτισε έναν χώρο πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων ενός πειράματος που συνίσταται στην ρίψη συμμετρικού νομίσματος δύο φορές αποτελείται από τέσσερα στοιχειώδη γεγονότα: , όπου

Όταν ένα νόμισμα πετάχτηκε δύο φορές, δύο πλέγματα έπεσαν έξω. Όταν ένα νόμισμα πετάχτηκε δύο φορές, δύο οικόσημα έπεσαν έξω.

Στην πρώτη ρίψη ενός κέρματος έπεσε μια σχάρα και στη δεύτερη ένα οικόσημο.

Στην πρώτη ρίψη του κέρματος έπεσε το εθνόσημο και στη δεύτερη η σχάρα.

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χείναι ο αριθμός των εγκαταλείψεων πλέγματος. Ορίζεται στο και το σύνολο των τιμών του . Όλα τα πιθανά υποσύνολα, συμπεριλαμβανομένων των μονοσημείων, σχηματίζουν μια άλγεβρα, δηλ. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Πιθανότητα γεγονότος ( X=x i}, і = 1,2,3 , το ορίζουμε ως την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος που είναι το πρωτότυπό του:

Έτσι, σε στοιχειώδη γεγονότα ( X = x i) ορίστε μια αριθμητική συνάρτηση R X, Έτσι .

Ορισμός 2.4. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένα σύνολο ζευγών αριθμών (x i, p i), όπου x i είναι οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και p i είναι οι πιθανότητες με τις οποίες παίρνει αυτές τις τιμές και .

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που παραθέτει τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες:

			…		…
			…		…

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται γραμμή διανομής. Για να γίνει πιο οπτική η σειρά διανομής, απεικονίζεται γραφικά: στον άξονα Ωβάλε τελείες x iκαι σχεδιάστε από αυτές κάθετες μήκους πι. Τα σημεία που προκύπτουν συνδέονται και προκύπτει ένα πολύγωνο, το οποίο είναι μία από τις μορφές του νόμου κατανομής (Εικ. 2.1).

Έτσι, για να ορίσετε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, πρέπει να ορίσετε τις τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες.

Παράδειγμα 2.2.Ο αποδέκτης μετρητών του μηχανήματος ενεργοποιείται κάθε φορά που πέφτει ένα νόμισμα με πιθανότητα R. Αφού δουλέψει, τα νομίσματα δεν κατεβαίνουν. Αφήνω Χ- τον αριθμό των κερμάτων που πρέπει να χαμηλώσουν πριν ενεργοποιηθεί ο αποδέκτης μετρητών του μηχανήματος. Κατασκευάστε μια σειρά κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ.

Λύση.Πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...Ας βρούμε τις πιθανότητες αυτών των τιμών: σελ 1είναι η πιθανότητα να λειτουργήσει το συρτάρι μετρητών στην πρώτη κάθοδο και p 1 =p; σελ 2 -η πιθανότητα να γίνουν δύο προσπάθειες. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο: 1) στην πρώτη προσπάθεια, ο δέκτης χρημάτων να μην λειτουργεί. 2) στη δεύτερη προσπάθεια - λειτούργησε. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι (1–r)r. Ομοίως και ούτω καθεξής, . Εύρος διανομής Χθα πάρει τη μορφή

	1	2	3	…	προς την	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 p

Σημειώστε ότι οι πιθανότητες r νασχηματίστε μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή: 1–p=q, q<1, οπότε αυτή η κατανομή πιθανότητας ονομάζεται γεωμετρικός.

Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι έχει κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο πείραμα που περιγράφεται από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, και εξετάστε τον υπολογισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης αυθαίρετων γεγονότων .

Αφήστε ένα αυθαίρετο γεγονός να περιέχει ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο τιμών x i: Α= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Εκδήλωση ΑΛΛΑμπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση ασυμβίβαστων γεγονότων της μορφής : . Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το αξίωμα 3 του Κολμογκόροφ , παίρνουμε

αφού έχουμε καθορίσει τις πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων να είναι ίσες με τις πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων που είναι τα πρωτότυπά τους. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος , , μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο , αφού αυτό το γεγονός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση γεγονότων , όπου .

Στη συνέχεια η συνάρτηση κατανομής F(х) = Р(-<Х<х) βρίσκεται σύμφωνα με τον τύπο. Από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χείναι ασυνεχής και αυξάνεται στα άλματα, δηλαδή είναι μια συνάρτηση βήματος (Εικ. 2.2):

Εάν το σύνολο είναι πεπερασμένο, τότε ο αριθμός των όρων στον τύπο είναι πεπερασμένος· εάν είναι μετρήσιμος, τότε ο αριθμός των όρων είναι επίσης μετρήσιμος.

Παράδειγμα 2.3.Η τεχνική συσκευή αποτελείται από δύο στοιχεία που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα αστοχίας του πρώτου στοιχείου στο χρόνο T είναι 0,2 και η πιθανότητα αστοχίας του δεύτερου στοιχείου είναι 0,1. Τυχαία τιμή Χ- ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε χρόνο Τ. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής και δημιουργήστε το γράφημά της.

Λύση.Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων του πειράματος, ο οποίος συνίσταται στη μελέτη της αξιοπιστίας δύο στοιχείων μιας τεχνικής συσκευής, καθορίζεται από τέσσερα στοιχειώδη γεγονότα, , , : – και τα δύο στοιχεία είναι σε καλή κατάσταση. - το πρώτο στοιχείο είναι επισκευάσιμο, το δεύτερο είναι ελαττωματικό. - το πρώτο στοιχείο είναι ελαττωματικό, το δεύτερο είναι επισκευάσιμο. – και τα δύο στοιχεία είναι ελαττωματικά. Κάθε ένα από τα στοιχειώδη γεγονότα μπορεί να εκφραστεί με βάση τα στοιχειώδη γεγονότα των χώρων και , όπου – το πρώτο στοιχείο είναι επισκευήσιμο. - το πρώτο στοιχείο είναι εκτός λειτουργίας. – το δεύτερο στοιχείο είναι επισκευήσιμο. - Το δεύτερο στοιχείο είναι εκτός λειτουργίας. Τότε , και αφού τα στοιχεία της τεχνικής συσκευής λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τότε

8. Ποια είναι η πιθανότητα οι τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής να ανήκουν στο διάστημα;

Χ; έννοια φά(5); την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει τιμές από το διάστημα . Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

1. Η συνάρτηση κατανομής F(x) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή Χ:

Καθορίστε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χσε μορφή πίνακα.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Χ	–28	–20	–12	–4
Π	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Η πιθανότητα το κατάστημα να διαθέτει πιστοποιητικά ποιότητας για την πλήρη γκάμα των προϊόντων είναι 0,7. Η επιτροπή έλεγξε τη διαθεσιμότητα πιστοποιητικών σε τέσσερα καταστήματα στην περιοχή. Φτιάξτε έναν νόμο διανομής, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των καταστημάτων στα οποία δεν βρέθηκαν πιστοποιητικά ποιότητας κατά τον έλεγχο.

1. Για να προσδιοριστεί ο μέσος χρόνος καύσης των ηλεκτρικών λαμπτήρων σε μια παρτίδα 350 πανομοιότυπων κουτιών, λήφθηκε ένας ηλεκτρικός λαμπτήρας από κάθε κουτί για δοκιμή. Υπολογίστε από κάτω την πιθανότητα ότι ο μέσος χρόνος καύσης των επιλεγμένων ηλεκτρικών λαμπτήρων διαφέρει από τον μέσο χρόνο καύσης ολόκληρης της παρτίδας κατά απόλυτη τιμή μικρότερη από 7 ώρες, εάν είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση του χρόνου καύσης των ηλεκτρικών λαμπτήρων σε κάθε κουτί είναι λιγότερο από 9 ώρες.

1. Στο τηλεφωνικό κέντρο γίνεται λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,002. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 500 συνδέσεων θα υπάρχουν:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις και . Υπολογίστε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, τον τρόπο λειτουργίας και τη διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Το αυτόματο μηχάνημα κατασκευάζει κυλίνδρους. Πιστεύεται ότι η διάμετρός τους είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 10 mm. Ποια είναι η τυπική απόκλιση εάν, με πιθανότητα 0,99, η διάμετρος κυμαίνεται από 9,7 mm έως 10,3 mm.

Δείγμα Α: 6 9 7 6 4 4

Δείγμα Β: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Επιλογή 17.

1. Μεταξύ των 35 εξαρτημάτων, τα 7 είναι μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα δύο μέρη που επιλέχθηκαν τυχαία να είναι τυπικά.

1. Ρίξτε τρία ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων στις όψεις που πέφτουν να είναι πολλαπλάσιο του 9.

1. Η λέξη "ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ" αποτελείται από κάρτες, η καθεμία με ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν με τη σειρά εμφάνισης να σχηματίζουν λέξη: α) ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ. β) ΣΥΛΛΗΨΗ.

1. Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:
1. 2 άσπρες μπάλες?
2. λιγότερες από 2 άσπρες μπάλες.
3. τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα.

1. ΑΛΛΑσε μια δοκιμή είναι 0,4. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:
1. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί 3 φορές σε μια σειρά 7 ανεξάρτητων δοκιμών.
2. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί τουλάχιστον 220 και όχι περισσότερες από 235 φορές σε μια σειρά 400 προκλήσεων.

1. Το εργοστάσιο έστειλε στη βάση 5.000 προϊόντα υψηλής ποιότητας. Η πιθανότητα ζημιάς σε κάθε προϊόν κατά τη μεταφορά είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα να μην καταστραφούν περισσότερα από 3 προϊόντα στη διαδρομή.

1. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. 3 μπάλες έχουν τραβηχτεί τυχαία από την πρώτη λάρνακα και 4 από τη δεύτερη λάρνακα Βρείτε την πιθανότητα όλες οι μπάλες που σύρθηκαν να είναι του ίδιου χρώματος.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.

1. Υπάρχουν 10 μολύβια στο κουτί. 4 μολύβια σχεδιάζονται τυχαία. Τυχαία τιμή Χείναι ο αριθμός των μπλε μολυβιών μεταξύ των επιλεγμένων. Βρείτε τον νόμο της κατανομής του, τις αρχικές και κεντρικές ροπές της 2ης και 3ης τάξης.

1. Το τμήμα τεχνικού ελέγχου ελέγχει 475 προϊόντα για ελαττώματα. Η πιθανότητα ένα προϊόν να είναι ελαττωματικό είναι 0,05. Βρείτε με πιθανότητα 0,95 τα όρια που θα περιέχουν τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ των ελεγμένων.

1. Στο τηλεφωνικό κέντρο γίνεται λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,003. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 1000 συνδέσεων να υπάρχουν:
1. τουλάχιστον 4 λανθασμένες συνδέσεις.
2. περισσότερες από δύο λανθασμένες συνδέσεις.

1. Η τυχαία μεταβλητή δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις και . Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τρόπο και διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Η τυχαία μεταβλητή δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

1. Με δείγμα ΑΛΛΑεπίλυση των παρακάτω εργασιών:
1. Κάντε μια σειρά παραλλαγής?

ο μέσος όρος του δείγματος·

Η διακύμανση του δείγματος

Λειτουργία και διάμεσος.

Δείγμα Α: 0 0 2 2 1 4

1. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της μεταβλητής σειράς:

ο μέσος όρος του δείγματος·

Η διακύμανση του δείγματος

· τυπική απόκλιση;

λειτουργία και διάμεσος?

Δείγμα Β: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Επιλογή 18.

1. Ανάμεσα σε 10 λαχεία, τα 2 κερδίζουν. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα από τα πέντε εισιτήρια που κληρώθηκαν τυχαία θα είναι ο νικητής.

1. Ρίξτε τρία ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι μεγαλύτερο από 15.

1. Η λέξη "ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ" αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Να βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν να σχηματίζουν λέξη: α) ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ; β) ΜΕΤΡΗΤΗΣ.

1. Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:
1. 4 άσπρες μπάλες?
2. λιγότερες από 2 άσπρες μπάλες.
3. τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα.

1. Πιθανότητα γεγονότος ΑΛΛΑσε ένα τεστ είναι 0,55. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:
1. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί 3 φορές σε μια σειρά 5 προκλήσεων.
2. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί τουλάχιστον 130 και όχι περισσότερες από 200 φορές σε μια σειρά 300 προκλήσεων.

1. Η πιθανότητα διαρροής σε κουτί κονσερβοποιημένων τροφίμων είναι 0,0005. Βρείτε την πιθανότητα δύο από τα 2000 βάζα να έχουν διαρροή.

1. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 8 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. 2 μπάλες έχουν τραβηχτεί τυχαία από την πρώτη λάρνακα και 3 μπάλες τυχαία από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα όλες οι μπάλες που σχεδιάστηκαν να είναι του ίδιου χρώματος.

1. Μεταξύ των εξαρτημάτων που φτάνουν για συναρμολόγηση, από το πρώτο μηχάνημα το 0,1% είναι ελαττωματικό, από το δεύτερο - 0,2%, από το τρίτο - 0,25%, από το τέταρτο - 0,5%. Η παραγωγικότητα των μηχανών σχετίζεται ανάλογα ως 4:3:2:1. Ένα μέρος που λήφθηκε τυχαία αποδείχθηκε στάνταρ. Βρείτε την πιθανότητα ότι το αντικείμενο έγινε στην πρώτη μηχανή.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.

1. Ένας ηλεκτρολόγος έχει τρεις λαμπτήρες, ο καθένας από τους οποίους έχει ένα ελάττωμα με πιθανότητα 0,1 .. Οι λαμπτήρες βιδώνονται στην πρίζα και ανάβει το ρεύμα. Όταν ενεργοποιηθεί το ρεύμα, η ελαττωματική λάμπα καίγεται αμέσως και αντικαθίσταται από άλλη. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των λαμπτήρων που δοκιμάστηκαν.

1. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι 0,3 για κάθε μία από τις 900 ανεξάρτητες βολές. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev, υπολογίστε την πιθανότητα ο στόχος να χτυπηθεί τουλάχιστον 240 φορές και το πολύ 300 φορές.

1. Στο τηλεφωνικό κέντρο γίνεται λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,002. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 800 συνδέσεων να υπάρχουν:
1. τουλάχιστον τρεις λανθασμένες συνδέσεις.
2. περισσότερες από τέσσερις εσφαλμένες συνδέσεις.

1. Η τυχαία μεταβλητή δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ. Κατασκευάστε γραφήματα των συναρτήσεων και . Υπολογίστε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, τον τρόπο λειτουργίας και τη διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Η τυχαία μεταβλητή δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

1. Με δείγμα ΑΛΛΑεπίλυση των παρακάτω εργασιών:
1. Κάντε μια σειρά παραλλαγής?
2. Υπολογίστε τις σχετικές και συσσωρευμένες συχνότητες.
3. να συνθέσουν μια εμπειρική συνάρτηση διανομής και να δημιουργήσουν το γράφημά της.
4. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της μεταβλητής σειράς:

ο μέσος όρος του δείγματος·

Η διακύμανση του δείγματος

· τυπική απόκλιση;

λειτουργία και διάμεσος?

Δείγμα Α: 4 7 6 3 3 4

1. Για το δείγμα Β, λύστε τα ακόλουθα προβλήματα:
1. Κάντε μια ομαδοποιημένη σειρά παραλλαγών.
2. να κατασκευάσει ένα ιστόγραμμα και ένα πολύγωνο συχνοτήτων.
3. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της μεταβλητής σειράς:

ο μέσος όρος του δείγματος·

Η διακύμανση του δείγματος

· τυπική απόκλιση;

λειτουργία και διάμεσος?

Δείγμα Β: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Επιλογή 19.

1. Στο σημείο εργάζονται 16 γυναίκες και 5 άνδρες. Επιλέχθηκαν τυχαία 3 άτομα σύμφωνα με τον αριθμό προσωπικού. Βρείτε την πιθανότητα ότι όλα τα επιλεγμένα άτομα είναι άνδρες.

2. Τέσσερα νομίσματα πετιούνται. Βρείτε την πιθανότητα ότι μόνο δύο νομίσματα θα έχουν εθνόσημο.

3. Η λέξη «ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ» αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Να βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν να αποτελούν λέξη: α) ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ; β) ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ.

4. Μια λάρνακα περιέχει 6 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:

ένα. 3 άσπρες μπάλες?

σι. λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.

ντο. τουλάχιστον μια λευκή μπάλα.

5. Πιθανότητα του συμβάντος ΑΛΛΑσε μια δοκιμή είναι 0,5. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:

ένα. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί 3 φορές σε μια σειρά 5 ανεξάρτητων δοκιμών.

σι. Εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί τουλάχιστον 30 και όχι περισσότερες από 40 φορές σε μια σειρά 50 προκλήσεων.

6. Υπάρχουν 100 μηχανήματα ίδιας ισχύος, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο στον ίδιο τρόπο λειτουργίας, στο οποίο ο δίσκος τους είναι ενεργοποιημένος για 0,8 ώρες εργασίας. Ποια είναι η πιθανότητα ανά πάσα στιγμή να είναι ενεργοποιημένα μεταξύ 70 και 86 μηχανών;

7. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 7 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. Τυχαία τραβήχτηκαν 4 μπάλες από την πρώτη και 1 μπάλα από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα να υπάρχουν μόνο 4 μαύρες μπάλες ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες.

8. Κάθε μέρα, τρεις μάρκες αυτοκινήτων παραδίδονται στην αντιπροσωπεία αυτοκινήτων σε όγκους: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; "Βόλγα" - 40% όλων των εισαγόμενων αυτοκινήτων. Μεταξύ των αυτοκινήτων της μάρκας Moskvich, το 0,5% έχει αντικλεπτική συσκευή, το Oka - 0,01%, το Volga - 0,1%. Βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που πάρθηκε για δοκιμή να έχει αντικλεπτική συσκευή.

9. Αριθμοί και επιλέγονται τυχαία στο τμήμα. Να βρείτε την πιθανότητα αυτοί οι αριθμοί να ικανοποιούν τις ανισώσεις .

10. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Χ
Π	0,1	0,2	0,3	0,4

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ; έννοια φά(2); την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει τιμές από το διάστημα . Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

ΝΟΜΟΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ

Τυχαίες μεταβλητές, ταξινόμηση και μέθοδοι περιγραφής τους.

Μια τυχαία τιμή είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να λάβει τη μία ή την άλλη τιμή, αλλά η οποία δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Για μια τυχαία μεταβλητή, επομένως, μπορούν να καθοριστούν μόνο τιμές, μία από τις οποίες θα λάβει απαραίτητα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Αυτές οι τιμές θα αναφέρονται ως πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Εφόσον μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζει ποσοτικά το τυχαίο αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να θεωρηθεί ως ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός τυχαίου γεγονότος.

Οι τυχαίες μεταβλητές συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, για παράδειγμα, X..Y..Z, και οι πιθανές τιμές τους με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα.

Υπάρχουν τρεις τύποι τυχαίων μεταβλητών:

διακεκριμένος; Συνεχής; Μικτός.

Διακεκριμένοςκαλείται μια τέτοια τυχαία μεταβλητή, ο αριθμός των πιθανών τιμών της οποίας σχηματίζει ένα μετρήσιμο σύνολο. Με τη σειρά του, ένα αριθμήσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να αριθμηθούν. Η λέξη "discrete" προέρχεται από το λατινικό discretus, που σημαίνει "ασυνεχές, που αποτελείται από ξεχωριστά μέρη".

Παράδειγμα 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των ελαττωματικών μερών X σε μια παρτίδα nfl. Πράγματι, οι πιθανές τιμές αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι μια σειρά ακεραίων από 0 έως n.

Παράδειγμα 2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των βολών πριν από το πρώτο χτύπημα στον στόχο. Εδώ, όπως στο Παράδειγμα 1, οι πιθανές τιμές μπορούν να αριθμηθούν, αν και στην περιοριστική περίπτωση η πιθανή τιμή είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός.

Συνεχήςονομάζεται τυχαία μεταβλητή, οι πιθανές τιμές της οποίας συμπληρώνουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο διάστημα του αριθμητικού άξονα, που μερικές φορές ονομάζεται διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα ύπαρξης, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι απείρως μεγάλος.

Παράδειγμα 3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας στην επιχείρηση για ένα μήνα.

Παράδειγμα 4. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι το σφάλμα στη μέτρηση ύψους χρησιμοποιώντας ένα υψόμετρο. Ας γίνει γνωστό από την αρχή λειτουργίας του υψομέτρου ότι το σφάλμα βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 2 m. Επομένως, το διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι το διάστημα από 0 έως 2 m.

Νόμος κατανομής τυχαίων μεταβλητών.

Μια τυχαία μεταβλητή θεωρείται ότι έχει καθοριστεί πλήρως εάν οι πιθανές τιμές της υποδεικνύονται στον αριθμητικό άξονα και έχει καθοριστεί ο νόμος κατανομής.

Ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται μια σχέση που δημιουργεί μια σχέση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων.

Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι κατανέμεται σύμφωνα με έναν δεδομένο νόμο ή υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής. Ένας αριθμός πιθανοτήτων, μια συνάρτηση κατανομής, μια πυκνότητα πιθανότητας, μια χαρακτηριστική συνάρτηση χρησιμοποιούνται ως νόμοι κατανομής.

Ο νόμος κατανομής δίνει μια πλήρη πιθανή περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής. Σύμφωνα με το νόμο κατανομής, είναι δυνατό να κρίνουμε πριν από την εμπειρία ποιες πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής θα εμφανίζονται πιο συχνά και ποιες λιγότερο συχνά.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, ο νόμος κατανομής μπορεί να δοθεί με τη μορφή πίνακα, αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά.

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας (μήτρας), ο οποίος παραθέτει με αύξουσα σειρά όλες τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες, δηλ.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. ένας

Τα συμβάντα X 1 , X 2 ,..., X n , που συνίστανται στο γεγονός ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τις τιμές x 1 , x 2 ,... x n, αντίστοιχα , είναι ασυνεπείς και οι μόνες δυνατές (επειδή ο πίνακας παραθέτει όλες τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής), π.χ. σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα. Επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με 1. Έτσι, για κάθε διακριτή τυχαία μεταβλητή

(Αυτή η μονάδα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των τιμών της τυχαίας μεταβλητής, εξ ου και ο όρος "κατανομή").

Μια σειρά διανομής μπορεί να εμφανιστεί γραφικά εάν οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής απεικονίζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι αντίστοιχες πιθανότητες κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Η σύνδεση των λαμβανόμενων σημείων σχηματίζει μια διακεκομμένη γραμμή, που ονομάζεται πολύγωνο ή πολύγωνο της κατανομής πιθανότητας (Εικ. 1).

ΠαράδειγμαΗ λαχειοφόρος αγορά παίζεται: ένα αυτοκίνητο αξίας 5000 den. μονάδες, 4 τηλεοράσεις αξίας 250 ντεν. μονάδα, 5 VCR αξίας 200 ντεν. μονάδες Συνολικά πωλούνται 1000 εισιτήρια προς 7 den. μονάδες Συντάξτε τον νόμο διανομής των καθαρών κερδών που έλαβε ο συμμετέχων στη λαχειοφόρο αγορά που αγόρασε ένα δελτίο.

Λύση. Οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X - καθαρά κέρδη ανά δελτίο - είναι 0-7 = -7 den. μονάδες (αν το δελτίο δεν κέρδιζε), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. μονάδες (αν το εισιτήριο κέρδισε το βίντεο, την τηλεόραση ή το αυτοκίνητο, αντίστοιχα). Δεδομένου ότι από 1000 εισιτήρια ο αριθμός των μη κερδισμένων είναι 990 και τα υποδεικνυόμενα κέρδη είναι 5, 4 και 1, αντίστοιχα, και χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, παίρνουμε.

Σε αυτή τη σελίδα έχουμε συλλέξει παραδείγματα επίλυσης εκπαιδευτικών προβλήματα σε διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Αυτή είναι μια αρκετά εκτεταμένη ενότητα: διαφορετικοί νόμοι κατανομής (διωνυμικοί, γεωμετρικοί, υπεργεωμετρικοί, Poisson και άλλοι), μελετώνται οι ιδιότητες και τα αριθμητικά χαρακτηριστικά, μπορούν να δημιουργηθούν γραφικές αναπαραστάσεις για κάθε σειρά διανομής: ένα πολύγωνο (πολύγωνο) πιθανοτήτων, μια συνάρτηση κατανομής .

Παρακάτω θα βρείτε παραδείγματα αποφάσεων σχετικά με διακριτές τυχαίες μεταβλητές, στις οποίες απαιτείται η εφαρμογή γνώσεων από τις προηγούμενες ενότητες της θεωρίας πιθανοτήτων για τη σύνταξη ενός νόμου κατανομής και, στη συνέχεια, ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση, η κατασκευή μιας συνάρτησης κατανομής , απαντήστε σε ερωτήσεις σχετικά με το DSV, κ.λπ.

Παραδείγματα δημοφιλών νόμων κατανομής πιθανοτήτων:

Αριθμομηχανές για τα χαρακτηριστικά του DSV

• Υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας, της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης του DSV.

Επιλύθηκαν προβλήματα σχετικά με το DSV

Κατανομές κοντά σε γεωμετρικές

Εργασία 1.Στο δρόμο του αυτοκινήτου υπάρχουν 4 φανάρια, καθένα από τα οποία απαγορεύει την περαιτέρω κίνηση του αυτοκινήτου με πιθανότητα 0,5. Βρείτε τον αριθμό κατανομής του αριθμού των φαναριών που πέρασε το αυτοκίνητο πριν από την πρώτη στάση. Ποια είναι η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής;

Εργασία 2.Ο κυνηγός πυροβολεί στο παιχνίδι πριν από το πρώτο χτύπημα, αλλά καταφέρνει να κάνει όχι περισσότερες από τέσσερις βολές. Γράψτε τον νόμο κατανομής για τον αριθμό των αστοχιών εάν η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με μία βολή είναι 0,7. Βρείτε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Εργασία 3.Ο σκοπευτής, έχοντας 3 φυσίγγια, πυροβολεί στον στόχο μέχρι το πρώτο χτύπημα. Οι πιθανότητες να χτυπήσετε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη βολή είναι 0,6, 0,5, 0,4, αντίστοιχα. S.V. $\xi$ - αριθμός υπολειπόμενων κασετών. Συντάξτε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση του r.v., κατασκευάστε τη συνάρτηση κατανομής του r.v., βρείτε $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Εργασία 4.Το κουτί περιέχει 7 τυπικά και 3 ελαττωματικά εξαρτήματα. Τα εξαρτήματα αφαιρούνται διαδοχικά μέχρι να εμφανιστεί το τυπικό, χωρίς να τα επιστραφούν πίσω. $\xi$ - αριθμός ελαττωματικών εξαρτημάτων που ανακτήθηκαν.
Να συνθέσετε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $\xi$, να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο κατανομής και ένα γράφημα της συνάρτησης κατανομής.

Εργασίες με ανεξάρτητα συμβάντα

Εργασία 5.Στην επανεξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων προσήλθαν 3 μαθητές. Η πιθανότητα ο πρώτος να περάσει τις εξετάσεις είναι 0,8, ο δεύτερος - 0,7, ο τρίτος - 0,9. Βρείτε τη σειρά κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $\xi$ του αριθμού των μαθητών που πέρασαν την εξέταση, δημιουργήστε ένα γράφημα της συνάρτησης κατανομής, βρείτε $M(\xi), D(\xi)$.

Εργασία 6.Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8 και μειώνεται με κάθε βολή κατά 0,1. Συντάξτε τον νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων στο στόχο, εάν εκτοξευθούν τρεις βολές. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και Σ.Κ.Ο. αυτή η τυχαία μεταβλητή. Σχεδιάστε τη συνάρτηση διανομής.

Εργασία 7.Εκτελούνται 4 βολές στο στόχο. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα χτυπήματος αυξάνεται ως εξής: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ - τον αριθμό των επισκέψεων. Βρείτε την πιθανότητα ότι $X \ge 1$.

Εργασία 8.Ρίχνονται δύο συμμετρικά νομίσματα, μετράται ο αριθμός των θυρεών και στις δύο επάνω όψεις των νομισμάτων. Θεωρούμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ - τον αριθμό των θυρεών και στα δύο νομίσματα. Γράψτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της.

Άλλα καθήκοντα και νόμοι διανομής του DSV

Εργασία 9.Δύο μπασκετμπολίστες κάνουν τρεις βολές προς το καλάθι. Η πιθανότητα χτυπήματος για τον πρώτο μπασκετμπολίστα είναι 0,6, για τον δεύτερο - 0,7. Έστω $X$ η διαφορά μεταξύ του αριθμού των επιτυχημένων βολών του πρώτου και του δεύτερου μπασκετμπολίστα. Βρείτε τη σειρά διανομής, τον τρόπο και τη συνάρτηση διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής και σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. Βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος $(-2 \lt X \le 1)$.

Εργασία 10.Ο αριθμός των μη κατοίκων πλοίων που φθάνουν καθημερινά για φόρτωση σε ένα συγκεκριμένο λιμάνι είναι μια τυχαία τιμή $X$, που δίνεται ως εξής:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
Α) βεβαιωθείτε ότι έχει οριστεί η σειρά διανομής,
Β) βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$,
Γ) εάν φτάσουν περισσότερα από τρία πλοία μια δεδομένη ημέρα, το λιμάνι αναλαμβάνει την ευθύνη για τα έξοδα λόγω της ανάγκης πρόσληψης επιπλέον οδηγών και φορτωτών. Ποια είναι η πιθανότητα το λιμάνι να επιβαρυνθεί με επιπλέον κόστος;
Δ) βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής $X$.

Εργασία 11.Ρίξτε 4 ζάρια. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των σημείων που θα πέσει σε όλες τις όψεις.

Εργασία 12.Δύο παίκτες ρίχνουν εκ περιτροπής ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη εμφάνιση του εθνόσημου. Ο παίκτης του οποίου το εθνόσημο έπεσε έξω λαμβάνει 1 ρούβλι από άλλον παίκτη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της ανταμοιβής κάθε παίκτη.