Ποιος είναι ο κόμβος των συμπρώτων αριθμών. Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Οι φυσικοί αριθμοί a και b λέγονται coprime, αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι 1 (gcd(a ; b ) = 1). Με άλλα λόγια, εάν οι αριθμοί a και b δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από το 1, τότε είναι συμπρώτοι.

Παραδείγματα ζευγών συμπρώτων αριθμών: 2 και 5, 13 και 16, 35 και 88, κ.λπ. Μπορείτε να καθορίσετε αρκετούς συμπρώιμους αριθμούς, για παράδειγμα, οι αριθμοί 7, 9, 16 να είναι συμπρώτοι.

Συχνά οι συμπρώτες αριθμοί συμβολίζονται ως εξής: (a, b) \u003d 1. Για παράδειγμα, (23, 30) \u003d 1. Αυτή η καταχώρηση είναι, όπως ήταν, μια συντομογραφία για τον προσδιορισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (GCD (23, 30) \u003d 1), και λέει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1.

Δύο γειτονικοί φυσικοί αριθμοί θα είναι πάντα συμπρώτοι.Για παράδειγμα, το 15 και το 16 είναι ένα ζεύγος συμπρώτων αριθμών, όπως το 16 και το 17. Αυτό γίνεται εύκολα κατανοητό αν λάβουμε υπόψη τον «κανόνα» ότι αν δύο φυσικοί αριθμοί a και b διαιρούνται με τον ίδιο φυσικό αριθμό μεγαλύτερο από 1 ( n > 1), τότε η διαφορά τους πρέπει να διαιρείται και με αυτόν τον αριθμό n (εδώ εννοούμε ότι τα a, b και η διαφορά τους διαιρούνται με έναν ακέραιο, δηλαδή είναι πολλαπλάσια του αριθμού n). Αλλά αν τα a και b είναι δύο διπλανοί αριθμοί (έστω a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Επίσης από τον ορισμό των συνπρώτων αριθμών και των πρώτων αριθμών προκύπτει ότι διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί είναι πάντα συμπρώτοι. Εξάλλου, οι μόνοι διαιρέτες οποιουδήποτε πρώτου αριθμού είναι ο ίδιος και το 1.

Ιδιότητες συμπρώτων αριθμών

• Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) ενός ζεύγους συμπρώτων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο τους.Για παράδειγμα, (3, 8) = 1 (που σημαίνει σχετικά πρώτος), άρα το LCM τους είναι 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Πράγματι, δεν θα βρείτε έναν μικρότερο αριθμό από το 24 που είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 8.
• Αν οι αριθμοί a και b είναι συμπρώτοι και ο αριθμός c είναι πολλαπλάσιο και του a και του b, τότε και αυτός ο αριθμός θα είναι πολλαπλάσιο του γινόμενου του ab. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: αν c a και c b , τότε c ab . Για παράδειγμα, (3, 10) = 1, ο αριθμός 60 είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 10 και είναι επίσης πολλαπλάσιο του 30 (3 × 10).
• Αν οι αριθμοί a και b είναι συμπρώτοι και ο αριθμός c λαμβάνεται ως πολλαπλάσιο του b (c b ), τότε το γινόμενο ac θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του b (ac b ). Για παράδειγμα, (2, 17) = 1, έστω c = 34. Ο αριθμός 34 είναι πολλαπλάσιο του b = 17, μετά ac = 2 × 34 = 68. Ελέγξτε: 68 ÷ 17 = 4, δηλ. είναι διαιρετός, που σημαίνει ότι το 68 είναι πολλαπλάσιο 17.

Συνήθως υπάρχουν περισσότερα ακίνητα από αυτά που αναφέρονται εδώ. Επιπλέον, οι ιδιότητες των σχετικά πρώτων αριθμών διατυπώνονται με διαφορετικούς τρόπους. Μερικές φορές απαιτείται επίσης η απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων (στην περίπτωση αυτή δεν παρέχονται αποδείξεις).

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης συμπρώτων αριθμών είναι πάντα ένας.

Παραδείγματα κόμβων σχετικά πρώτων αριθμών.

GCD των αριθμών 11 και 7

Οι αριθμοί 11 και 7 είναι συμπρώτοι και ταυτόχρονα πρώτοι.

Οι αριθμοί 11 και 7 δεν έχουν άλλους κοινούς διαιρέτες εκτός από το 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD των αριθμών 11 και 15

Οι αριθμοί 11 και 15 είναι σχετικά πρώτοι. Σε αυτήν την περίπτωση, το 11 είναι πρώτος αριθμός και το 15 είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Οι διαιρέτες του 11 είναι το 1 και το 11.

Οι διαιρέτες του 15 είναι 1, 3, 5, 15.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο μόνος κοινός παράγοντας των αριθμών 11 και 15 είναι ο αριθμός 1. Η μονάδα, επομένως, είναι το GCD των αριθμών 11 και 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD των αριθμών 10 και 21

Οι αριθμοί 10 και 21 είναι σχετικά πρώτοι. Σε αυτήν την περίπτωση, τόσο ο αριθμός 10 όσο και ο αριθμός 21 είναι σύνθετοι.

Οι συντελεστές του 10 είναι 1, 2, 5, 10.

Οι συντελεστές του αριθμού 21 είναι 1, 3, 7, 21.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο μόνος κοινός παράγοντας των αριθμών 10 και 21 είναι ο αριθμός 1. Η μονάδα, επομένως, είναι το GCD των αριθμών 10 και 21:

gcd(21, 10) = 1

GCD των αριθμών 16 και 23

Οι αριθμοί 16 και 23 είναι συμπρώτοι. Σε αυτήν την περίπτωση, το 23 είναι πρώτος αριθμός και το 16 είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Εργασία: Βρείτε το GCD και το LCM των αριθμών με τον πιο βολικό τρόπο:

α) 12 και 40. β) 9 και 40; γ) 12 και 72.

Δίνονται 5 λεπτά για την εργασία.

Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να κάνετε κάθε άσκηση;

Ανάλυση διαφάνειας.

α) Είναι πιο βολικό να λυθεί με τη μέθοδο της αποσύνθεσης σε πρώτους παράγοντες

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

β) Οι αριθμοί 9 και 40 έχουν κοινούς διαιρέτες; (είναι, 1.)

Πώς ονομάζονται αυτοί οι αριθμοί; ? (Coprime.)

Ποιο είναι το GCD αυτών των αριθμών ? (gcd(9;40) = 1)

Ποιο είναι το LCM αυτών των αριθμών ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

γ) Τι μπορείτε να πείτε για τους αριθμούς 12 και 72 ? (72 διαιρούμενο με 12) Τι κανόνα ξέρουμε; (αν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, τότε GCD = ο μικρότερος αριθμός και LCM - ο μεγαλύτερος)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Ελέγξτε τα δεδομένα που λάβατε με το πρότυπο που βρίσκεται στον πίνακα του δασκάλου.

FO: Αξιολογούν τον εαυτό τους σύμφωνα με τα κριτήρια που αναγράφονται στο τυπικό φύλλο. Βάζοντας ένα τικ δίπλα στο κριτήριο.

7 κρότωνες - υψηλό επίπεδο

6-4 κρότωνες - μέσο επίπεδο

1-3 κρότωνες - χαμηλό επίπεδο

Fizminutka

Σηκώθηκε γρήγορα, χαμογέλασε,

Τραβήχτηκε ψηλότερα.

Λοιπόν, ίσιωσε τους ώμους σου

Ανέβασε, χαμήλωσε.

Στρίψτε δεξιά, στρίψτε αριστερά

Αγγίξτε τα χέρια σας με τα γόνατά σας.

Κάτσε, σήκω, κάτσε, σήκω

Και έτρεξαν επί τόπου.

Ερώτηση δασκάλου: Πού χρησιμοποιούμε ήδη τις γνώσεις μας για τους αριθμούς GCD και LCM;

Κατά την επίλυση προβλημάτων.

Μπροστά τους, στο τραπέζι του δασκάλου, υπάρχει ένα «Χαμομήλι των εργασιών» που αποτελείται από 21 πέταλα.

Κόκκινο πέταλο - εργασίες επιπέδου Γ.

Κίτρινο πέταλο - εργασίες επιπέδου Β.

Πράσινο πέταλο - εργασίες επιπέδου Α.

	Η Μάσα αγόρασε αυγά για την Αρκούδα στο κατάστημα. Στο δρόμο προς το δάσος, συνειδητοποίησε ότι ο αριθμός των αυγών διαιρείται με το 2,3,5,10 και 15. Πόσα αυγά αγόρασε η Μάσα;
	Από 210 μπορντό, συγκεντρώθηκαν 126 λευκά, 294 κόκκινα τριαντάφυλλα, μπουκέτα και σε κάθε μπουκέτο ο αριθμός των τριαντάφυλλων του ίδιου χρώματος είναι ίσος. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ανθοδέσμων που φτιάχνονται από αυτά τα τριαντάφυλλα και πόσα τριαντάφυλλα από κάθε χρώμα υπάρχουν σε ένα μπουκέτο;
	Ένα φύλλο χαρτονιού έχει σχήμα παραλληλόγραμμου, του οποίου το μήκος είναι 48 εκ. και το πλάτος 40 εκ. Αυτό το φύλλο πρέπει να κοπεί χωρίς απορρίμματα σε ίσα τετράγωνα. Ποια είναι τα μεγαλύτερα τετράγωνα που μπορούν να ληφθούν από αυτό το φύλλο και πόσα;
	Πόσοι στρατιώτες βαδίζουν στον χώρο της παρέλασης αν βαδίσουν σε σχηματισμό 12 ατόμων σε μια σειρά και μετατραπούν σε μια στήλη 18 ατόμων σε μια σειρά;
	Τρεις τουριστικές εκδρομές με σκάφος ξεκινούν στην πόλη του λιμανιού, εκ των οποίων το πρώτο διαρκεί 15 ημέρες, το δεύτερο - 20 και το τρίτο - 12 ημέρες. Επιστρέφοντας στο λιμάνι, τα πλοία την ίδια μέρα ξεκινούν πάλι ταξίδι. Μηχανοκίνητα πλοία έφυγαν σήμερα από το λιμάνι και στα τρία δρομολόγια. Σε πόσες μέρες θα πλεύσουν μαζί για πρώτη φορά;Πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε πλοίο;
	Το τζάκι στο δωμάτιο πρέπει να είναι τοποθετημένο με πλακάκια φινιρίσματος σε σχήμα τετραγώνου. Πόσα πλακάκια χρειάζονται για ένα τζάκι 195 ͯ 156 cm και ποια είναι τα μεγαλύτερα μεγέθη πλακιδίων;
	Το βήμα του Volodya είναι 75 cm και το βήμα της Katya είναι 60 cm. Σε ποια ελάχιστη απόσταση θα κάνουν και οι δύο έναν ακέραιο αριθμό βημάτων;
	Για τα δώρα της Πρωτοχρονιάς, αγοράσαμε 180 μήλα, 90 πορτοκάλια και 900 γλυκά. Όλα τα παιδιά πήραν τα ίδια δώρα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων που αποτελούνται από αυτά τα φρούτα και τα γλυκά;
	Ένα οικόπεδο κήπου διαστάσεων 54 ͯ 48 m περιμετρικά πρέπει να είναι περιφραγμένο, γι' αυτό πρέπει να τοποθετούνται σε τακτά χρονικά διαστήματα κολώνες από σκυρόδεμα. Πόσοι στύλοι πρέπει να φέρουν για την τοποθεσία και σε ποια μέγιστη απόσταση μεταξύ τους θα στέκονται οι στύλοι;
	Εύρεση: LCM(360;252).
	Για τα δώρα της Πρωτοχρονιάς, αγοράστηκαν 78 μπάρες σοκολάτας, 156 μελόψωμο, 52 πακέτα μπισκότα, 104 πορτοκάλια και 130 μήλα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων που μπορείτε να συλλέξετε;
	Απαιτείται η κατασκευή κουτιού με τετράγωνο πάτο για στοίβαξη κουτιών διαστάσεων 16 ͯ 20 cm. Ποια πρέπει να είναι η πιο κοντή πλευρά του τετράγωνου πυθμένα για να χωρέσουν τα κουτιά στο ίδιο το κουτί;
	Υπολογίστε GCD(720.216), LCM(720.216).
	Ποια είναι η αναλογία LCM (308.264) προς GCM (308.264);
	Για τη διάταξη του χριστουγεννιάτικου δέντρου αγόρασαν ξηρούς καρπούς, γλυκά και μελόψωμο -συνολικά 760 κομμάτια. Πήραν 80 περισσότερους ξηρούς καρπούς από τα γλυκά και 120 λιγότερο μελόψωμο από τους ξηρούς καρπούς. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων για παιδιά που μπορούν να γίνουν από αυτό το απόθεμα;
	Εύρεση LCM(84,160,96),
	Βρείτε το πηλίκο του LCM(24, 2004) διαιρούμενο με το GCD των ίδιων αριθμών.
	Βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Βρείτε το GCD (56, 72).
	Υπάρχουν βιβλία στο τραπέζι, ο αριθμός των οποίων είναι μικρότερος από 100. Πόσα βιβλία υπάρχουν αν είναι γνωστό ότι μπορούν να δεθούν σε πακέτα των 3, 4 και 5 τεμαχίων;
	Το κατάστημα έφερε λιγότερα από 600, αλλά περισσότερα από 500 πιάτα. Όταν άρχισαν να τα απλώνουν σε δεκάδες, τότε 3 πιάτα δεν έφταναν για να φτάσουν τον πλήρη αριθμό των δεκάδων και όταν άρχισαν να τα απλώνουν σε δεκάδες (12 πιάτα το καθένα), τότε έμειναν 7 πιάτα. Πόσα πιάτα έφερες στο μαγαζί;

FD:Ο κυρίαρχος αριθμός πετάλων με κόκκινο χρώμα δείχνει υψηλό επίπεδο αφομοίωσης, κίτρινο - μέσο επίπεδο αφομοίωσης και πράσινο - χαμηλό επίπεδο αφομοίωσης.