Το γινόμενο των πρώτων αριθμών. Πρώτοι αριθμοί: Ιστορία και γεγονότα

Θεώρημα.

Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.

Απόδειξη.

Ας υποθέσουμε ότι δεν είναι. Δηλαδή, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μόνο n πρώτοι, και αυτοί οι πρώτοι είναι p 1 , p 2 , …, p n . Ας δείξουμε ότι μπορούμε πάντα να βρούμε έναν πρώτο αριθμό διαφορετικό από αυτούς που υποδεικνύονται.

Θεωρήστε έναν αριθμό p ίσο με p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Είναι σαφές ότι αυτός ο αριθμός είναι διαφορετικός από καθέναν από τους πρώτους p 1 , p 2 , …, p n . Αν ο αριθμός p είναι πρώτος, τότε το θεώρημα αποδεικνύεται. Εάν αυτός ο αριθμός είναι σύνθετος, τότε, δυνάμει του προηγούμενου θεωρήματος, υπάρχει πρώτος διαιρέτης αυτού του αριθμού (ας τον συμβολίσουμε p n+1 ). Ας δείξουμε ότι αυτός ο διαιρέτης δεν συμπίπτει με κανέναν από τους αριθμούς p 1 , p 2 , …, p n .

Αν δεν ήταν έτσι, τότε από τις ιδιότητες της διαιρετότητας, το γινόμενο p 1 ·p 2 ·…·p n θα διαιρούνταν με το p n+1 . Αλλά ο αριθμός p διαιρείται επίσης με το p n+1, ίσο με το άθροισμα p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Αυτό σημαίνει ότι ο δεύτερος όρος αυτού του αθροίσματος, που είναι ίσος με ένα, πρέπει να διαιρείται με το p n+1, και αυτό είναι αδύνατο.

Έτσι, αποδεικνύεται ότι μπορεί πάντα να βρεθεί ένας νέος πρώτος αριθμός, ο οποίος δεν περιέχεται σε κανέναν αριθμό πρώτων αριθμών που έχουν δοθεί εκ των προτέρων. Επομένως, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.

Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, όταν συντάσσουν πίνακες πρώτων αριθμών, περιορίζονται πάντα από πάνω σε κάποιον αριθμό, συνήθως 100, 1.000, 10.000 κ.λπ.

Κόσκινο του Ερατοσθένη

Τώρα θα συζητήσουμε τρόπους σύνταξης πινάκων πρώτων αριθμών. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να φτιάξουμε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 100.

Η πιο προφανής μέθοδος για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι ο διαδοχικός έλεγχος θετικών ακεραίων, ξεκινώντας από το 2 και τελειώνοντας με 100, για την παρουσία ενός θετικού διαιρέτη που είναι μεγαλύτερος από 1 και μικρότερος από τον αριθμό που ελέγχεται (από τις ιδιότητες της διαιρετότητας, έχουμε να ξέρετε ότι η απόλυτη τιμή του διαιρέτη δεν υπερβαίνει την απόλυτη τιμή του μερίσματος, διαφορετική από το μηδέν). Εάν δεν βρεθεί ένας τέτοιος διαιρέτης, τότε ο αριθμός που ελέγχεται είναι πρώτος και εισάγεται στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Εάν βρεθεί ένας τέτοιος διαιρέτης, τότε ο αριθμός που ελέγχεται είναι σύνθετος, ΔΕΝ καταχωρείται στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Μετά από αυτό, υπάρχει μια μετάβαση στον επόμενο αριθμό, ο οποίος ελέγχεται ομοίως για την παρουσία ενός διαιρέτη.

Ας περιγράψουμε τα πρώτα βήματα.

Ξεκινάμε με τον αριθμό 2. Ο αριθμός 2 δεν έχει θετικούς διαιρέτες εκτός από το 1 και το 2 . Επομένως, είναι πρώτος, επομένως, τον εισάγουμε στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Εδώ πρέπει να πούμε ότι το 2 είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός. Ας προχωρήσουμε στο νούμερο 3. Ο πιθανός θετικός του διαιρέτης εκτός από το 1 και το 3 είναι το 2. Αλλά το 3 δεν διαιρείται με το 2, επομένως, το 3 είναι πρώτος αριθμός και πρέπει επίσης να εισαχθεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Ας προχωρήσουμε στο νούμερο 4. Οι θετικοί διαιρέτες του εκτός από το 1 και το 4 μπορεί να είναι 2 και 3, ας τους ελέγξουμε. Ο αριθμός 4 διαιρείται με το 2, επομένως, το 4 είναι σύνθετος αριθμός και δεν χρειάζεται να καταχωρηθεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Σημειώστε ότι το 4 είναι ο μικρότερος σύνθετος αριθμός. Ας προχωρήσουμε στον αριθμό 5. Ελέγχουμε αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς 2 , 3 , 4 είναι ο διαιρέτης του. Εφόσον το 5 δεν διαιρείται ούτε με το 2, ούτε με το 3, ούτε με το 4, είναι πρώτος και πρέπει να γραφεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Στη συνέχεια, υπάρχει μια μετάβαση στους αριθμούς 6, 7 και ούτω καθεξής μέχρι το 100.

Αυτή η προσέγγιση για τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων δεν απέχει πολύ από την ιδανική. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, έχει το δικαίωμα να υπάρχει. Σημειώστε ότι με αυτήν τη μέθοδο κατασκευής πίνακα ακεραίων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία θα επιταχύνουν ελαφρώς τη διαδικασία εύρεσης διαιρετών.

Υπάρχει ένας πιο βολικός τρόπος για τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων που ονομάζεται . Η λέξη «κόσκινο» που υπάρχει στο όνομα δεν είναι τυχαία, αφού οι ενέργειες αυτής της μεθόδου βοηθούν, σαν να λέγαμε, να «κοσκινιστούν» μέσα από το κόσκινο του Ερατοσθένη ακέραιοι, μεγάλες μονάδες, ώστε να διαχωριστούν οι απλοί από τους σύνθετους.

Ας δείξουμε το κόσκινο του Ερατοσθένη σε δράση κατά τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι το 50.

Αρχικά, γράφουμε με τη σειρά τους αριθμούς 2, 3, 4, ..., 50.

Ο πρώτος αριθμός που γράφεται 2 είναι πρώτος. Τώρα από τον αριθμό 2 μετακινούμαστε διαδοχικά προς τα δεξιά κατά δύο αριθμούς και διαγράφουμε αυτούς τους αριθμούς μέχρι να φτάσουμε στο τέλος του μεταγλωττισμένου πίνακα αριθμών. Έτσι όλοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιο του δύο θα διαγράφονται.

Ο πρώτος μη διαγραμμένος αριθμός μετά το 2 είναι το 3. Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος. Τώρα, από τον αριθμό 3, μετακινούμαστε διαδοχικά προς τα δεξιά κατά τρεις αριθμούς (λαμβάνοντας υπόψη τους ήδη διαγραμμένους αριθμούς) και τους διαγράφουμε. Άρα όλοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιο του τριών θα διαγράφονται.

Ο πρώτος μη διαγραμμένος αριθμός μετά το 3 είναι το 5. Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος. Τώρα, από τον αριθμό 5, μετακινούμαστε διαδοχικά προς τα δεξιά κατά 5 αριθμούς (λαμβάνουμε επίσης υπόψη τους αριθμούς που διαγραμμίστηκαν νωρίτερα) και τους διαγράφουμε. Άρα όλοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιο του πέντε θα διαγράφονται.

Στη συνέχεια, διαγράφουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του 7, μετά πολλαπλάσια του 11 και ούτω καθεξής. Η διαδικασία τελειώνει όταν δεν υπάρχουν αριθμοί για διαγραφή. Παρακάτω είναι ένας συμπληρωμένος πίνακας πρώτων μέχρι το 50 που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένη. Όλοι οι μη σταυρωτοί αριθμοί είναι πρώτοι και όλοι οι διαγραμμένοι αριθμοί είναι σύνθετοι.

Ας διατυπώσουμε και ας αποδείξουμε ένα θεώρημα που θα επιταχύνει τη διαδικασία σύνταξης ενός πίνακα πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένη.

Θεώρημα.

Ο λιγότερο θετικός μη-ένας διαιρέτης ενός σύνθετου αριθμού a δεν υπερβαίνει το , όπου είναι από το a .

Απόδειξη.

Σημειώνουμε με το γράμμα b τον μικρότερο διαιρέτη του σύνθετου αριθμού α που διαφέρει από τη μονάδα (ο αριθμός b είναι πρώτος, που προκύπτει από το θεώρημα που αποδείχθηκε στην αρχή της προηγούμενης παραγράφου). Τότε υπάρχει ένας ακέραιος q τέτοιος ώστε a=b q (εδώ q είναι θετικός ακέραιος, που προκύπτει από τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ακεραίων), και (όταν b>q, παραβιάζεται η συνθήκη b είναι ο μικρότερος διαιρέτης του a, αφού Το q είναι επίσης διαιρέτης του a λόγω της ισότητας a=q b ). Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας με ένα θετικό και μεγαλύτερο από έναν ακέραιο b (μας επιτρέπεται να το κάνουμε αυτό), λαμβάνουμε , από όπου και .

Τι μας δίνει το αποδεδειγμένο θεώρημα σχετικά με το κόσκινο του Ερατοσθένη;

Πρώτον, η διαγραφή σύνθετων αριθμών που είναι πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού b πρέπει να ξεκινά με αριθμό ίσο με (αυτό προκύπτει από την ανισότητα ). Για παράδειγμα, η διαγραφή αριθμών που είναι πολλαπλάσια του δύο θα πρέπει να ξεκινά με τον αριθμό 4, τα πολλαπλάσια του τρία - με τον αριθμό 9, τα πολλαπλάσια του πέντε - με τον αριθμό 25 κ.ο.κ.

Δεύτερον, η σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι τον αριθμό n χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένη μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένη όταν διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν. Στο παράδειγμά μας, n=50 (επειδή ταξινομούμε τους πρώτους μέχρι το 50 ) και , άρα το κόσκινο του Ερατοσθένη πρέπει να αφαιρέσει όλα τα σύνθετα πολλαπλάσια των πρώτων 2 , 3 , 5 και 7 που δεν υπερβαίνουν την αριθμητική τετραγωνική ρίζα του 50 . Δηλαδή, δεν χρειάζεται πλέον να ψάχνουμε και να διαγράφουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών 11 , 13 , 17 , 19 , 23 και ούτω καθεξής μέχρι το 47 , καθώς θα διαγράφονται ήδη ως πολλαπλάσια μικρότερων πρώτων αριθμών 2 , 3, 5 και 7.

Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος;

Ορισμένες εργασίες απαιτούν να μάθετε εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος. Στη γενική περίπτωση, αυτή η εργασία δεν είναι καθόλου απλή, ειδικά για αριθμούς των οποίων η εγγραφή αποτελείται από σημαντικό αριθμό χαρακτήρων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρέπει να αναζητήσετε κάποιον συγκεκριμένο τρόπο για να το λύσετε. Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε κατεύθυνση στο τρένο της σκέψης για απλές περιπτώσεις.

Αναμφίβολα, μπορεί κανείς να προσπαθήσει να χρησιμοποιήσει κριτήρια διαιρετότητας για να αποδείξει ότι ένας δεδομένος αριθμός είναι σύνθετος. Αν, για παράδειγμα, κάποιο κριτήριο διαιρετότητας δείχνει ότι ο δεδομένος αριθμός διαιρείται με κάποιο θετικό ακέραιο μεγαλύτερο του ενός, τότε ο αρχικός αριθμός είναι σύνθετος.

Παράδειγμα.

Αποδείξτε ότι ο αριθμός 898 989 898 989 898 989 είναι σύνθετος.

Λύση.

Το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού είναι 9 8+9 9=9 17 . Δεδομένου ότι ο αριθμός ίσος με 9 17 διαιρείται με το 9, τότε με το κριτήριο της διαιρετότητας με το 9 μπορεί να υποστηριχθεί ότι ο αρχικός αριθμός διαιρείται επίσης με το 9. Επομένως, είναι σύνθετο.

Ένα σημαντικό μειονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι τα κριτήρια για τη διαιρετότητα δεν μας επιτρέπουν να αποδείξουμε την απλότητα ενός αριθμού. Επομένως, όταν ελέγχετε έναν αριθμό για το αν είναι πρώτος ή σύνθετος, πρέπει να προχωρήσετε διαφορετικά.

Η πιο λογική προσέγγιση είναι να απαριθμήσουμε όλους τους πιθανούς διαιρέτες ενός δεδομένου αριθμού. Εάν κανένας από τους πιθανούς διαιρέτες δεν είναι αληθινός διαιρέτης ενός δεδομένου αριθμού, τότε αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, διαφορετικά είναι σύνθετος. Από τα θεωρήματα που αποδείχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, προκύπτει ότι οι διαιρέτες ενός δεδομένου αριθμού a πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το . Έτσι, ο δεδομένος αριθμός a μπορεί να διαιρεθεί διαδοχικά με πρώτους αριθμούς (που είναι βολικό να ληφθούν από τον πίνακα των πρώτων αριθμών), προσπαθώντας να βρούμε τον διαιρέτη του αριθμού α. Αν βρεθεί διαιρέτης, τότε ο αριθμός a είναι σύνθετος. Εάν μεταξύ των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το , δεν υπάρχει διαιρέτης του αριθμού a, τότε ο αριθμός a είναι πρώτος.

Παράδειγμα.

Αριθμός 11 723 απλό ή σύνθετο;

Λύση.

Ας μάθουμε σε ποιον πρώτο αριθμό μπορούν να είναι οι διαιρέτες του αριθμού 11 723. Για αυτό, υπολογίζουμε.

Είναι αρκετά προφανές ότι , από το 200 2 \u003d 40 000 και 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью σύγκριση αριθμών). Έτσι, οι πιθανοί πρώτοι διαιρέτες του 11.723 είναι λιγότεροι από 200. Αυτό ήδη απλοποιεί πολύ το έργο μας. Αν δεν το γνωρίζαμε αυτό, τότε θα έπρεπε να ταξινομήσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς όχι μέχρι το 200, αλλά μέχρι τον αριθμό 11 723 .

Εάν θέλετε, μπορείτε να εκτιμήσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια. Από 108 2 \u003d 11 664, και 109 2 \u003d 11 881, τότε 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Έτσι, οποιοσδήποτε από τους πρώτους μικρότερους του 109 είναι δυνητικά πρώτος διαιρέτης του δεδομένου αριθμού 11.723.

Τώρα θα διαιρέσουμε διαδοχικά τον αριθμό 11 723 σε πρώτους αριθμούς 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 3 , 47 , 5 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Εάν ο αριθμός 11 723 διαιρεθεί εξ ολοκλήρου με έναν από τους γραπτούς πρώτους αριθμούς, τότε θα είναι σύνθετος. Αν δεν διαιρείται με κανέναν από τους γραπτούς πρώτους αριθμούς, τότε ο αρχικός αριθμός είναι πρώτος.

Δεν θα περιγράψουμε όλη αυτή τη μονότονη και μονότονη διαδικασία διαίρεσης. Ας πούμε μόνο ότι 11 723

Οι αριθμοί είναι διαφορετικοί: φυσικοί, φυσικοί, ορθολογικοί, ακέραιοι και κλασματικοί, θετικοί και αρνητικοί, σύνθετοι και πρώτοι, περιττοί και ζυγοί, πραγματικοί κ.λπ. Από αυτό το άρθρο μπορείτε να μάθετε τι είναι οι πρώτοι αριθμοί.

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται η αγγλική λέξη "simple";

Πολύ συχνά, οι μαθητές δεν ξέρουν πώς να απαντήσουν σε μια από τις πιο φαινομενικά απλές ερωτήσεις στα μαθηματικά, σχετικά με το τι είναι ο πρώτος αριθμός. Συχνά συγχέουν τους πρώτους αριθμούς με τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή τους αριθμούς που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι όταν μετρούν αντικείμενα, ενώ σε ορισμένες πηγές ξεκινούν από το μηδέν και σε άλλες - από το ένα). Αλλά αυτές είναι δύο εντελώς διαφορετικές έννοιες. Οι πρώτοι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή ακέραιοι και θετικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του ενός και που έχουν μόνο 2 φυσικούς διαιρέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας από αυτούς τους διαιρέτες είναι ένας δεδομένος αριθμός και ο δεύτερος είναι μια μονάδα. Για παράδειγμα, το τρία είναι πρώτος αριθμός επειδή δεν διαιρείται ομοιόμορφα με κανέναν άλλο αριθμό εκτός από τον εαυτό του και το ένα.

Σύνθετοι αριθμοί

Το αντίθετο των πρώτων αριθμών είναι οι σύνθετοι αριθμοί. Είναι επίσης φυσικοί, επίσης μεγαλύτεροι του ενός, αλλά δεν έχουν δύο, αλλά περισσότερους διαιρέτες. Έτσι, για παράδειγμα, οι αριθμοί 4, 6, 8, 9 κ.λπ. είναι φυσικοί, σύνθετοι, αλλά όχι πρώτοι αριθμοί. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτοί είναι ως επί το πλείστον ζυγοί αριθμοί, αλλά όχι όλοι. Αλλά το "δύο" είναι ένας ζυγός αριθμός και ο "πρώτος αριθμός" σε μια σειρά από πρώτους αριθμούς.

Ακολουθία

Για να δημιουργήσετε μια σειρά πρώτων αριθμών, είναι απαραίτητο να κάνετε μια επιλογή από όλους τους φυσικούς αριθμούς, λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό τους, δηλαδή, πρέπει να ενεργήσετε με αντίφαση. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε κάθε έναν από τους φυσικούς θετικούς αριθμούς για το αν έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες. Ας προσπαθήσουμε να φτιάξουμε μια σειρά (ακολουθία) που να αποτελείται από πρώτους αριθμούς. Η λίστα ξεκινάει με δύο, μετά έρχεται με τρία, αφού διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και ένα. Σκεφτείτε τον αριθμό τέσσερα. Έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τέσσερα και ένα; Ναι, αυτός ο αριθμός είναι 2. Άρα το τέσσερα δεν είναι πρώτος αριθμός. Το πέντε είναι επίσης πρώτος (εκτός από το 1 και το 5, δεν διαιρείται με κανέναν άλλο αριθμό), αλλά το έξι διαιρείται. Και γενικά, αν ακολουθήσετε όλους τους ζυγούς αριθμούς, θα παρατηρήσετε ότι εκτός από το «δύο», κανένας από αυτούς δεν είναι πρώτος. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι οι ζυγοί αριθμοί, εκτός από δύο, δεν είναι πρώτοι. Μια άλλη ανακάλυψη: όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το τρία, εκτός από το ίδιο το τριπλό, άρτιος ή περιττός, δεν είναι επίσης πρώτοι (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, κ.λπ.). Το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς που διαιρούνται με το πέντε και το επτά. Όλο το σετ τους επίσης δεν είναι απλό. Ας συνοψίσουμε. Έτσι, όλοι οι περιττοί αριθμοί, εκτός από τον ένα και το εννέα, ανήκουν σε απλούς μονοψήφιους αριθμούς και μόνο «δύο» από άρτιους. Οι ίδιες οι δεκάδες (10, 20,... 40 κ.λπ.) δεν είναι πρώτοι. Οι πρώτοι αριθμοί διψήφιων, τριψήφιων κ.λπ. μπορούν να οριστούν με βάση τις παραπάνω αρχές: αν δεν έχουν άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και έναν.

Θεωρίες για τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών

Υπάρχει μια επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες των ακεραίων, συμπεριλαμβανομένων των πρώτων. Αυτός είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, ο οποίος ονομάζεται ανώτερος. Εκτός από τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, ασχολείται επίσης με αλγεβρικούς, υπερβατικούς αριθμούς, καθώς και με συναρτήσεις ποικίλης προέλευσης που σχετίζονται με την αριθμητική αυτών των αριθμών. Στις μελέτες αυτές, εκτός από στοιχειώδεις και αλγεβρικές μεθόδους, χρησιμοποιούνται και αναλυτικές και γεωμετρικές. Συγκεκριμένα, η μελέτη των πρώτων αριθμών ασχολείται με τη «Θεωρία Αριθμών».

Οι πρώτοι αριθμοί είναι τα «δομικά στοιχεία» των φυσικών αριθμών

Στην αριθμητική υπάρχει ένα θεώρημα που ονομάζεται κύριο θεώρημα. Σύμφωνα με αυτό, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός, εκτός από τη μονάδα, μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο, οι συντελεστές του οποίου είναι πρώτοι αριθμοί και η σειρά των παραγόντων είναι μοναδική, πράγμα που σημαίνει ότι η μέθοδος αναπαράστασης είναι μοναδική. Ονομάζεται η αποσύνθεση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Υπάρχει ένα άλλο όνομα για αυτή τη διαδικασία - παραγοντοποίηση αριθμών. Από αυτό, οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να ονομαστούν «δομικό υλικό», «μπλοκ» για την κατασκευή φυσικών αριθμών.

Αναζήτηση πρώτων αριθμών. Δοκιμές απλότητας

Πολλοί επιστήμονες διαφορετικών εποχών προσπάθησαν να βρουν κάποιες αρχές (συστήματα) για την εύρεση μιας λίστας πρώτων αριθμών. Η επιστήμη γνωρίζει συστήματα που ονομάζονται κόσκινο του Άτκιν, κόσκινο του Σουντάρταμ, κόσκινο του Ερατοσθένη. Ωστόσο, δεν δίνουν σημαντικά αποτελέσματα και χρησιμοποιείται μια απλή δοκιμή για την εύρεση πρώτων αριθμών. Αλγόριθμοι δημιουργήθηκαν επίσης από μαθηματικούς. Ονομάζονται δοκιμές πρωταρχικότητας. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα τεστ που αναπτύχθηκε από τους Rabin και Miller. Χρησιμοποιείται από κρυπτογράφους. Υπάρχει επίσης ένα τεστ Kayala-Agrawala-Saskena. Ωστόσο, παρά την επαρκή ακρίβειά του, είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, γεγονός που μειώνει την πρακτική του αξία.

Το σύνολο των πρώτων αριθμών έχει όριο;

Το ότι το σύνολο των πρώτων είναι το άπειρο γράφτηκε στο βιβλίο «Αρχές» του αρχαίου Έλληνα επιστήμονα Ευκλείδη. Είπε το εξής: «Ας φανταστούμε για μια στιγμή ότι οι πρώτοι αριθμοί έχουν ένα όριο. Στη συνέχεια, ας τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους και ας προσθέσουμε ένα στο γινόμενο. Ο αριθμός που προκύπτει ως αποτέλεσμα αυτών των απλών πράξεων δεν μπορεί να διαιρεθεί με καμία από τις σειρές πρώτων αριθμών, επειδή το υπόλοιπο θα είναι πάντα ένας. Και αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάποιος άλλος αριθμός που δεν περιλαμβάνεται ακόμη στη λίστα των πρώτων αριθμών. Επομένως, η υπόθεσή μας δεν είναι αληθινή και αυτό το σύνολο δεν μπορεί να έχει όριο. Εκτός από την απόδειξη του Ευκλείδη, υπάρχει και ένας πιο σύγχρονος τύπος που δόθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό του δέκατου όγδοου αιώνα Leonhard Euler. Σύμφωνα με αυτόν, το άθροισμα, το αντίστροφο του αθροίσματος των πρώτων ν αριθμών, αυξάνεται απεριόριστα με την αύξηση του αριθμού n. Και εδώ είναι ο τύπος του θεωρήματος σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών: (n) αυξάνεται όπως n / ln (n).

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός;

Παρόλα αυτά, ο Leonard Euler κατάφερε να βρει τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό για την εποχή του. Αυτό είναι 2 31 - 1 = 2147483647. Ωστόσο, μέχρι το 2013, υπολογίστηκε ένας άλλος πιο ακριβής μεγαλύτερος στη λίστα των πρώτων αριθμών - 2 57885161 - 1. Ονομάζεται αριθμός Mersenne. Περιέχει περίπου 17 εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός που βρέθηκε από έναν επιστήμονα του δέκατου όγδοου αιώνα είναι αρκετές φορές μικρότερος από αυτόν. Θα έπρεπε να ήταν έτσι, γιατί ο Euler έκανε αυτόν τον υπολογισμό χειροκίνητα, αλλά ο σύγχρονος μας πιθανότατα βοηθήθηκε από έναν υπολογιστή. Επιπλέον, ο αριθμός αυτός ελήφθη στο Τμήμα Μαθηματικών σε ένα από τα αμερικανικά τμήματα. Οι αριθμοί που ονομάστηκαν από αυτόν τον επιστήμονα περνούν από το τεστ πρωταρχικότητας Luc-Lehmer. Ωστόσο, η επιστήμη δεν θέλει να σταματήσει εκεί. Το Electronic Frontier Foundation, το οποίο ιδρύθηκε το 1990 στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής (EFF), έχει προσφέρει μια χρηματική ανταμοιβή για την εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών. Και αν μέχρι το 2013 το βραβείο δινόταν σε όσους επιστήμονες θα τους βρουν ανάμεσα σε 1 και 10 εκατομμύρια δεκαδικούς αριθμούς, σήμερα ο αριθμός αυτός έχει φτάσει από 100 εκατομμύρια έως 1 δισεκατομμύριο. Τα έπαθλα κυμαίνονται από 150 έως 250 χιλιάδες δολάρια ΗΠΑ.

Ονόματα ειδικών πρώτων αριθμών

Αυτοί οι αριθμοί που βρέθηκαν χάρη σε αλγόριθμους που δημιούργησαν ορισμένοι επιστήμονες και πέρασαν το τεστ απλότητας ονομάζονται ειδικοί. Εδώ είναι μερικά από αυτά:

1. Μερσίνα.

4. Κάλεν.

6. Mills et al.

Η απλότητα αυτών των αριθμών, που ονομάστηκαν από τους παραπάνω επιστήμονες, αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα τεστ:

1. Λούκας-Λεμέρ.

2. Πεπίνα.

3. Ρίζελ.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge και άλλοι.

Η σύγχρονη επιστήμη δεν σταματά εκεί και πιθανότατα στο εγγύς μέλλον ο κόσμος θα μάθει τα ονόματα εκείνων που κατάφεραν να κερδίσουν ένα έπαθλο 250.000 δολαρίων βρίσκοντας τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα μαθηματικά φαινόμενα που έχουν προσελκύσει την προσοχή των επιστημόνων και των απλών πολιτών για περισσότερες από δύο χιλιετίες. Παρά το γεγονός ότι τώρα ζούμε στην εποχή των υπολογιστών και των πιο σύγχρονων προγραμμάτων πληροφοριών, πολλά μυστήρια πρώτων αριθμών δεν έχουν ακόμη λυθεί, υπάρχουν ακόμη και εκείνα που οι επιστήμονες δεν ξέρουν πώς να προσεγγίσουν.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι, όπως είναι γνωστό από την πορεία της στοιχειώδους αριθμητικής, εκείνοι που διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο μόνο με τον έναν και τον εαυτό τους. Παρεμπιπτόντως, εάν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται, εκτός από αυτούς που αναφέρονται παραπάνω, με έναν άλλο αριθμό, τότε ονομάζεται σύνθετος. Ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα δηλώνει ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως το μόνο δυνατό γινόμενο πρώτων αριθμών.

Μερικά ενδιαφέροντα γεγονότα. Πρώτον, η μονάδα είναι μοναδική υπό την έννοια ότι, στην πραγματικότητα, δεν ανήκει ούτε σε πρώτους ούτε σε σύνθετους αριθμούς. Ταυτόχρονα, στην επιστημονική κοινότητα συνηθίζεται ακόμα να αποδίδεται στην πρώτη ομάδα, αφού τυπικά ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις της.

Δεύτερον, ο μόνος ζυγός αριθμός που έχει εισχωρήσει στην ομάδα των «πρώτων αριθμών» είναι, φυσικά, δύο. Οποιοσδήποτε άλλος ζυγός αριθμός απλά δεν μπορεί να φτάσει εδώ, αφού εξ ορισμού, εκτός από τον εαυτό του και το ένα, διαιρείται και με το δύο.

Οι πρώτοι αριθμοί, η λίστα των οποίων, όπως προαναφέρθηκε, μπορεί να ξεκινά με έναν, είναι μια άπειρη σειρά, τόσο άπειρη όσο και η σειρά των φυσικών αριθμών. Με βάση το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, μπορεί κανείς να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι οι πρώτοι αριθμοί δεν διακόπτονται ποτέ και δεν τελειώνουν ποτέ, αφού διαφορετικά η σειρά των φυσικών αριθμών αναπόφευκτα θα διακόπτονταν.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν εμφανίζονται τυχαία στη φυσική σειρά, όπως μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά. Αφού τα αναλύσετε προσεκτικά, μπορείτε αμέσως να παρατηρήσετε πολλά χαρακτηριστικά, τα πιο περίεργα από τα οποία σχετίζονται με τους λεγόμενους «δίδυμους» αριθμούς. Λέγονται έτσι γιατί κατά κάποιον ακατανόητο τρόπο κατέληξαν το ένα δίπλα στο άλλο, χωριζόμενοι μόνο από έναν άρτιο οριοθέτη (πέντε και επτά, δεκαεπτά και δεκαεννέα).

Αν τους κοιτάξετε προσεκτικά, θα παρατηρήσετε ότι το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι πάντα πολλαπλάσιο του τρία. Επιπλέον, όταν διαιρείται με ένα τριπλό του αριστερού, το υπόλοιπο παραμένει πάντα δύο και το δεξί - ένα. Επιπλέον, η ίδια η κατανομή αυτών των αριθμών κατά μήκος της φυσικής σειράς μπορεί να προβλεφθεί εάν ολόκληρη αυτή η σειρά παρουσιάζεται με τη μορφή ταλαντωτικών ημιτονοειδών, τα κύρια σημεία των οποίων σχηματίζονται όταν οι αριθμοί διαιρούνται με το τρία και το δύο.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν αποτελούν μόνο αντικείμενο στενής εξέτασης από μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί από καιρό με επιτυχία στη σύνταξη διαφόρων σειρών αριθμών, η οποία αποτελεί τη βάση, συμπεριλαμβανομένης της κρυπτογραφίας. Ταυτόχρονα, πρέπει να αναγνωριστεί ότι ένας τεράστιος αριθμός μυστηρίων που σχετίζονται με αυτά τα υπέροχα στοιχεία περιμένουν ακόμη να λυθούν, πολλά ερωτήματα δεν έχουν μόνο φιλοσοφική, αλλά και πρακτική σημασία.

Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και ένα.

Οι υπόλοιποι αριθμοί ονομάζονται σύνθετοι.

Απλοί φυσικοί αριθμοί

Δεν είναι όμως όλοι οι φυσικοί αριθμοί πρώτοι.

Απλοί φυσικοί αριθμοί είναι μόνο αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με το ένα.

Παραδείγματα πρώτων αριθμών:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Απλοί ακέραιοι αριθμοί

Από αυτό προκύπτει ότι μόνο οι φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί.

Αυτό σημαίνει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι αναγκαστικά φυσικοί.

Αλλά όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης ακέραιοι.

Έτσι, όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι ακέραιοι.

Παραδείγματα πρώτων αριθμών:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Ακόμη και πρώτοι αριθμοί

Υπάρχει μόνο ένας άρτιος πρώτος αριθμός, και αυτός είναι δύο.

Όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Γιατί ένας ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από δύο δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός;

Επειδή όμως οποιοσδήποτε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του δύο θα διαιρείται από μόνος του, όχι με ένα, αλλά με δύο, δηλαδή ένας τέτοιος αριθμός θα έχει πάντα τρεις διαιρέτες, και πιθανώς περισσότερους.