Γραμμική ομογενής εξίσωση δεύτερης τάξης. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και ανώτερης τάξης
Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει το ζήτημα της επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η θεωρία θα εξεταστεί μαζί με παραδείγματα των δεδομένων προβλημάτων. Για την αποκρυπτογράφηση ακατανόητων όρων, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στο θέμα των βασικών ορισμών και εννοιών της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.
Θεωρήστε μια γραμμική διαφορική εξίσωση (LDE) δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές της μορφής y "" + p y " + q y \u003d f (x) , όπου p και q είναι αυθαίρετοι αριθμοί και η υπάρχουσα συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης x .
Ας περάσουμε στη διατύπωση του γενικού θεωρήματος λύσης για το LIDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Γενικό θεώρημα λύσης για LDNU
Θεώρημα 1Η γενική λύση, που βρίσκεται στο διάστημα x, μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) με συνεχείς συντελεστές ολοκλήρωσης στο x διάστημα f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) και μια συνεχής συνάρτηση f (x) ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης y 0 , που αντιστοιχεί στο LODE, και κάποια συγκεκριμένη λύση y ~ , όπου η αρχική ανομοιογενής εξίσωση είναι y = y 0 + y ~ .
Αυτό δείχνει ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y = y 0 + y ~ . Ο αλγόριθμος για την εύρεση του y 0 εξετάζεται στο άρθρο για τις γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μετά από αυτό, θα πρέπει να προχωρήσουμε στον ορισμό του y ~ .
Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης στο LIDE εξαρτάται από τον τύπο της διαθέσιμης συνάρτησης f (x) που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εξεταστούν χωριστά οι λύσεις γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Όταν η f (x) θεωρείται ότι είναι ένα πολυώνυμο του n βαθμού f (x) = P n (x) , προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE βρίσκεται από έναν τύπο της μορφής y ~ = Q n (x ) x γ , όπου Q n ( x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, r είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η τιμή του y ~ είναι μια συγκεκριμένη λύση y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , τότε οι διαθέσιμοι συντελεστές, οι οποίοι ορίζονται από το πολυώνυμο
Q n (x) , βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών από την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε χρησιμοποιώντας το θεώρημα Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Λύση
Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να περάσουμε σε μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y "" - 2 y " = x 2 + 1 , η οποία θα ικανοποιεί τις δεδομένες συνθήκες y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης που αντιστοιχεί στην εξίσωση y 0 ή σε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης y ~ , δηλαδή y = y 0 + y ~ .
Πρώτα, ας βρούμε μια γενική λύση για το LNDE, και μετά μια συγκεκριμένη.
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση του y 0 . Η σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα σας βοηθήσει να βρείτε τις ρίζες. Το καταλαβαίνουμε
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές. Ως εκ τούτου, γράφουμε
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Ας βρούμε το y ~ . Μπορεί να φανεί ότι η δεξιά πλευρά της δεδομένης εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού, τότε μία από τις ρίζες είναι ίση με μηδέν. Από εδώ παίρνουμε ότι μια συγκεκριμένη λύση για το y ~ θα είναι
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, όπου οι τιμές των A, B, C πάρτε απροσδιόριστους συντελεστές.
Ας τα βρούμε από μια ισότητα της μορφής y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Τότε παίρνουμε ότι:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους εκθέτες x , παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών παραστάσεων - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Όταν λύνουμε με οποιονδήποτε από τους τρόπους, βρίσκουμε τους συντελεστές και γράφουμε: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 και y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται γενική λύση της αρχικής γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Για να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , απαιτείται ο προσδιορισμός των τιμών Γ1και Γ2, με βάση μια ισότητα της μορφής y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Καταλαβαίνουμε ότι:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Δουλεύουμε με το προκύπτον σύστημα εξισώσεων της μορφής C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , όπου C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Εφαρμόζοντας το θεώρημα Cauchy, έχουμε αυτό
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Απάντηση: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Όταν η συνάρτηση f (x) παριστάνεται ως γινόμενο ενός πολυωνύμου με βαθμό n και εκθέτη f (x) = P n (x) e a x, τότε από εδώ προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE δεύτερης τάξης θα είναι μια εξίσωση της μορφής y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο n ου βαθμού, και r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με α .
Οι συντελεστές που ανήκουν στο Q n (x) βρίσκονται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 2
Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Λύση
Γενική εξίσωση y = y 0 + y ~ . Η υποδεικνυόμενη εξίσωση αντιστοιχεί στο LOD y "" - 2 y " = 0. Το προηγούμενο παράδειγμα δείχνει ότι οι ρίζες του είναι k1 = 0και k 2 = 2 και y 0 = C 1 + C 2 e 2 x σύμφωνα με τη χαρακτηριστική εξίσωση.
Φαίνεται ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι x 2 + 1 · e x . Από εδώ, το LNDE βρίσκεται μέσω y ~ = e a x Q n (x) x γ , όπου Q n (x) , που είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, όπου α = 1 και r = 0 , επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση δεν έχουν ρίζα ίση με 1 . Ως εκ τούτου το καταλαβαίνουμε
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
Οι A, B, C είναι άγνωστοι συντελεστές, οι οποίοι μπορούν να βρεθούν από την ισότητα y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Το κατάλαβα
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Εξισώνουμε τους δείκτες για τους ίδιους συντελεστές και παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Από εδώ βρίσκουμε τα Α, Β, Γ:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Απάντηση:μπορεί να φανεί ότι y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 είναι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE, και y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Όταν η συνάρτηση γράφεται ως f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , και Α'1και ΣΕ 1είναι αριθμοί, τότε μια εξίσωση της μορφής y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , όπου Α και B θεωρούνται αόριστοι συντελεστές, και r ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με ± i β . Στην περίπτωση αυτή, η αναζήτηση συντελεστών πραγματοποιείται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 3
Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Λύση
Πριν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρίσκουμε y 0 . Επειτα
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
Έχουμε ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών ριζών. Ας μεταμορφωθούμε και πάρουμε:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Οι ρίζες από τη χαρακτηριστική εξίσωση θεωρούνται συζευγμένο ζεύγος ± 2 i , τότε f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Αυτό δείχνει ότι η αναζήτηση για y ~ θα γίνει από y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Άγνωστα Οι συντελεστές Α και Β θα αναζητηθούν από μια ισότητα της μορφής y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Ας μεταμορφώσουμε:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Τότε φαίνεται ότι
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
Είναι απαραίτητο να εξισωθούν οι συντελεστές ημιτόνων και συνημιτόνων. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Έπεται ότι y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .
Απάντηση:η γενική λύση του αρχικού LIDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές θεωρείται ότι είναι
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Όταν f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , τότε y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Έχουμε ότι r είναι ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ζευγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με α ± i β , όπου P n (x) , Q k (x) , L m ( x) και N m (x)είναι πολυώνυμα βαθμού n, k, m, όπου m = m a x (n, k). Εύρεση συντελεστών L m (x)και N m (x)παράγεται με βάση την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 4
Να βρείτε τη γενική λύση y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Λύση
Είναι σαφές από την προϋπόθεση ότι
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Τότε m = m a x (n , k) = 1 . Βρίσκουμε το y 0 γράφοντας πρώτα τη χαρακτηριστική εξίσωση της μορφής:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Επομένως y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε μια γενική λύση που βασίζεται σε μια ανομοιογενή εξίσωση y ~ της μορφής
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Είναι γνωστό ότι τα Α, Β, Γ είναι συντελεστές, r = 0, γιατί δεν υπάρχει ζεύγος συζυγών ριζών που να σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση με α ± i β = 3 ± 5 · i . Αυτοί οι συντελεστές βρίσκονται από την ισότητα που προκύπτει:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Δ) αμαρτία (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) αμαρτία (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Η εύρεση της παραγώγου και παρόμοιων όρων δίνει
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
Αφού εξισώσουμε τους συντελεστές, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Από όλα προκύπτει ότι
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) αμαρτία (5x))
Απάντηση:τώρα έχει ληφθεί η γενική λύση της δεδομένης γραμμικής εξίσωσης:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))
Αλγόριθμος επίλυσης LDNU
Ορισμός 1Οποιοδήποτε άλλο είδος συνάρτησης f (x) για τη λύση παρέχει τον αλγόριθμο λύσης:
- βρίσκοντας τη γενική λύση της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς εξίσωσης, όπου y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , όπου y 1και y2είναι γραμμικά ανεξάρτητες συγκεκριμένες λύσεις του LODE, Από 1και Από 2θεωρούνται αυθαίρετες σταθερές.
- αποδοχή ως γενική λύση του LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- ορισμός παραγώγων μιας συνάρτησης μέσω συστήματος της μορφής C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , και εύρεση συναρτήσεων C 1 (x)και C 2 (x) μέσω ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τη γενική λύση για το y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Λύση
Προχωράμε στη σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχοντας προηγουμένως γράψει y 0 , y "" + 36 y = 0 . Ας γράψουμε και ας λύσουμε:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = αμαρτία (6 x)
Έχουμε ότι η εγγραφή της γενικής λύσης της δεδομένης εξίσωσης θα πάρει τη μορφή y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Είναι απαραίτητο να περάσουμε στον ορισμό των παραγώγων συναρτήσεων C 1 (x)και C2(x)σύμφωνα με το σύστημα με εξισώσεις:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Πρέπει να ληφθεί απόφαση σχετικά C 1 "(x)και C2" (x)χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο. Στη συνέχεια γράφουμε:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθεί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x αμαρτία (6 x) + C 4
Από αυτό προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει τη μορφή:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 αμαρτία (6 x)
Απάντηση: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές (PC)
Ένα CLDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left( x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.
Οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς όσον αφορά το 2ο LNDE με PC.
Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι μια γενική λύση (OR) της αντίστοιχης γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το OR του Το LHDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικών λύσεων, δηλαδή $y=U+Y$.
Αν η δεξιά πλευρά του LIDE 2ης τάξης είναι το άθροισμα των συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορείτε να βρείτε το PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ που αντιστοιχεί σε κάθε από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το LNDE-2 PD ως $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Λύση LNDE 2ης τάξης με Η/Υ
Προφανώς, η μορφή ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDE-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης του PD του LNDE-2 διατυπώνονται ως οι ακόλουθοι τέσσερις κανόνες.
Κανόνας αριθμός 1.
Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PR $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$, και το $r$ είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (NC).
Κανόνας αριθμός 2.
Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NK.
Κανόνας αριθμός 3.
Το δεξί μέρος του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, όπου οι $a$, $b$ και $\beta $ είναι γνωστοί αριθμοί. Στη συνέχεια, το PD $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2 ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται με τη μέθοδο NDT.
Κανόνας αριθμός 4.
Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right) $ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσες με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NK.
Η μέθοδος NK συνίσταται στην εφαρμογή του ακόλουθου κανόνα. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου, που αποτελούν μέρος της συγκεκριμένης λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDE-2, είναι απαραίτητο:
- Αντικαταστήστε το PD $U$, γραμμένο σε γενική μορφή, στο αριστερό μέρος του LNDE-2.
- στην αριστερή πλευρά του LNDE-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
- Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
- να λύσει το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων για άγνωστους συντελεστές.
Παράδειγμα 1
Εργασία: βρείτε το OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης το PR , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.
Γράψτε το αντίστοιχο LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Το δεξί μέρος αυτού του LNDE-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PR αυτού του LNDE-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NK.
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο του CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο του CR:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ταυτόχρονα, αφού περιλαμβάνεται ο εκθέτης $e^(3\cdot x) $ ως παράγοντας σε όλα τα συστατικά, τότε μπορεί να παραλειφθεί.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Εκτελούμε ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NC. Παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.
Το CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Αντικαθιστούμε σε $y$ και $y"$ τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$
Το λύνουμε. Βρίσκουμε το $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και το $C_(2) $ προσδιορίζεται από την πρώτη εξίσωση:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και ανώτερων τάξεων.
Γραμμική ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Παραδείγματα λύσεων.
Περνάμε στην εξέταση των διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης και των διαφορικών εξισώσεων υψηλότερης τάξης. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι μια διαφορική εξίσωση (ή δεν καταλαβαίνετε καθόλου τι είναι), τότε προτείνω να ξεκινήσετε με το μάθημα Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Πολλές αρχές λύσεων και βασικές έννοιες των διαστάσεων πρώτης τάξης επεκτείνονται αυτόματα σε διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης. είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε πρώτα τις εξισώσεις πρώτης τάξης.
Πολλοί αναγνώστες μπορεί να έχουν την προκατάληψη ότι το ΔΕ της 2ης, 3ης και άλλων παραγγελιών είναι κάτι πολύ δύσκολο και απρόσιτο για mastering. Αυτό δεν είναι αληθινό . Η εκμάθηση επίλυσης διαχέσεων υψηλότερης τάξης δεν είναι σχεδόν πιο δύσκολη από τα «συνηθισμένα» DE 1ης τάξης. Και σε ορισμένα σημεία είναι ακόμα πιο εύκολο, αφού η ύλη του σχολικού προγράμματος σπουδών χρησιμοποιείται ενεργά στις αποφάσεις.
Δημοφιλέστερος διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Σε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης αναγκαίωςπεριλαμβάνει τη δεύτερη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονται 
Πρέπει να σημειωθεί ότι κάποια από τα μωρά (και μάλιστα όλα ταυτόχρονα) μπορεί να λείπουν από την εξίσωση, είναι σημαντικό ότι ο πατέρας ήταν στο σπίτι. Η πιο πρωτόγονη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης μοιάζει με αυτό:
Οι διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης σε πρακτικές εργασίες είναι πολύ λιγότερο κοινές, σύμφωνα με τις υποκειμενικές μου παρατηρήσεις στην Κρατική Δούμα, θα κέρδιζαν περίπου το 3-4% των ψήφων.
Σε μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης αναγκαίωςπεριλαμβάνει την τρίτη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονταιπαράγωγα υψηλότερων τάξεων:
Η απλούστερη διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης μοιάζει με αυτό: - ο μπαμπάς είναι στο σπίτι, όλα τα παιδιά είναι έξω για μια βόλτα.
Ομοίως, μπορούν να οριστούν διαφορικές εξισώσεις 4ης, 5ης και υψηλότερης τάξης. Σε πρακτικά προβλήματα, τέτοια ΔΕ γλιστράει εξαιρετικά σπάνια, ωστόσο, θα προσπαθήσω να δώσω σχετικά παραδείγματα.
Οι διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης που προτείνονται σε πρακτικά προβλήματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριες ομάδες.
1) Η πρώτη ομάδα - η λεγόμενη εξισώσεις κατώτερης τάξης. Πετάξτε μέσα!
2) Η δεύτερη ομάδα - γραμμικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Το οποίο θα αρχίσουμε να εξετάζουμε τώρα.
Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης
με σταθερούς συντελεστές
Στη θεωρία και την πράξη, διακρίνονται δύο τύποι τέτοιων εξισώσεων - ομοιογενής εξίσωσηκαι ανομοιογενής εξίσωση.
Ομογενής ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστέςέχει την εξής μορφή: 
, όπου και είναι σταθερές (αριθμοί), και στη δεξιά πλευρά - αυστηράμηδέν.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες με ομοιογενείς εξισώσεις, το κύριο πράγμα είναι ότι να λύσετε σωστά τη δευτεροβάθμια εξίσωση.
Μερικές φορές υπάρχουν μη τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις, για παράδειγμα, μια εξίσωση στη μορφή 
, όπου στη δεύτερη παράγωγο υπάρχει κάποια σταθερά , διαφορετική από τη μονάδα (και, φυσικά, διαφορετική από το μηδέν). Ο αλγόριθμος λύσης δεν αλλάζει καθόλου, θα πρέπει κανείς να συνθέσει ήρεμα τη χαρακτηριστική εξίσωση και να βρει τις ρίζες της. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση 
θα έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, για παράδειγμα: 
, τότε η γενική λύση μπορεί να γραφτεί με τον συνηθισμένο τρόπο: 
.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, λόγω τυπογραφικού λάθους στην κατάσταση, μπορεί να εμφανιστούν «κακές» ρίζες, κάτι σαν 
. Τι να κάνετε, η απάντηση θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:
Με «κακές» συζυγείς σύνθετες ρίζες όπως 
ούτε πρόβλημα, γενική λύση: 
Αυτό είναι, γενική λύση υπάρχει σε κάθε περίπτωση. Γιατί κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Στην τελευταία παράγραφο, όπως υποσχέθηκα, θα εξετάσουμε εν συντομία:
Γραμμικές ομοιογενείς εξισώσεις ανώτερης τάξης
Όλα είναι πολύ, πολύ παρόμοια.
Η γραμμική ομοιογενής εξίσωση τρίτης τάξης έχει την εξής μορφή:
, όπου είναι σταθερές.
Για αυτήν την εξίσωση, πρέπει επίσης να συνθέσετε μια χαρακτηριστική εξίσωση και να βρείτε τις ρίζες της. Η χαρακτηριστική εξίσωση, όπως πολλοί έχουν μαντέψει, μοιάζει με αυτό: 
, και αυτό ΤΕΛΟΣ παντωνΕχει ακριβώς τρειςρίζα.
Ας, για παράδειγμα, όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές: 
, τότε η γενική λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Εάν η μία ρίζα είναι πραγματική και οι άλλες δύο είναι συζευγμένες μιγαδικές, τότε γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:
Μια ειδική περίπτωση είναι όταν και οι τρεις ρίζες είναι πολλαπλές (ίδιες). Ας θεωρήσουμε την πιο απλή ομοιογενή ΔΕ 3ης τάξης με μοναχικό πατέρα: . Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις μηδενικές ρίζες που συμπίπτουν. Γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:
Αν η χαρακτηριστική εξίσωση 
έχει, για παράδειγμα, τρεις πολλαπλές ρίζες, τότε η γενική λύση, αντίστοιχα, είναι:
Παράδειγμα 9
Να λύσετε ομοιογενή διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης
Λύση:Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:
, - Λαμβάνονται μία πραγματική ρίζα και δύο συζευγμένες σύνθετες ρίζες.
Απάντηση:κοινή απόφαση
Ομοίως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση τέταρτης τάξης με σταθερούς συντελεστές: , όπου είναι σταθερές.
