Υπολογισμός του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου. Ηλεκτρονική αριθμομηχανή Επίλυση ορίων

Ο όρος "αξιοσημείωτο όριο" χρησιμοποιείται ευρέως σε σχολικά βιβλία και εκπαιδευτικά βοηθήματα για να αναφέρεται σε σημαντικές ταυτότητες που βοηθούν σημαντικά απλοποιήστε την εργασίανα βρεις όρια.

Αλλά να μπορεί να φέρειΤο όριο του στο αξιοσημείωτο, πρέπει να το κοιτάξετε καλά, γιατί δεν συμβαίνουν άμεσα, αλλά συχνά με τη μορφή συνεπειών, εξοπλισμένων με πρόσθετους όρους και παράγοντες. Πρώτα όμως η θεωρία μετά τα παραδείγματα και θα τα καταφέρεις!

Πρώτο υπέροχο όριο

Σας άρεσε; Σελιδοδείκτης

Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο γράφεται ως εξής (μια αβεβαιότητα της μορφής $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Συνέπειες από το πρώτο αξιοσημείωτο όριο

$$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Παραδείγματα λύσεων: 1 υπέροχο όριο

Παράδειγμα 1 Υπολογισμός ορίου $$\lim\limits_(x\έως 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Λύση.Το πρώτο βήμα είναι πάντα το ίδιο - αντικαθιστούμε την οριακή τιμή $x=0$ στη συνάρτηση και παίρνουμε:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\left[\frac(0)(0)\right]$, η οποία πρέπει να λυθεί. Αν κοιτάξετε προσεκτικά, το αρχικό όριο μοιάζει πολύ με το πρώτο αξιοσημείωτο, αλλά δεν συμπίπτει με αυτό. Το καθήκον μας είναι να φέρουμε την ομοιότητα. Ας το μετατρέψουμε έτσι - κοιτάξτε την έκφραση κάτω από το ημίτονο, κάντε το ίδιο στον παρονομαστή (σχετικά μιλώντας, πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με $3x$), μειώστε και απλοποιήστε περαιτέρω:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\έως 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Παραπάνω, αποκτήθηκε το πρώτο υπέροχο όριο: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( έκανε μια υπό όρους αντικατάσταση ) y=3x. $$ Απάντηση: $3/8$.

Παράδειγμα 2 Υπολογισμός ορίου $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Λύση.Αντικαθιστούμε την οριακή τιμή $x=0$ στη συνάρτηση και παίρνουμε:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \αριστερά [\frac(0)(0)\right].$$

Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\left[\frac(0)(0)\right]$. Ας μετατρέψουμε το όριο, χρησιμοποιώντας το πρώτο υπέροχο όριο στην απλοποίηση (τρεις φορές!):

$$\lim\limits_(x\έως 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\έως 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\έως 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Απάντηση: $9/16$.

Παράδειγμα 3 Βρείτε το όριο $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Λύση.Τι γίνεται όμως αν υπάρχει μια σύνθετη έκφραση κάτω από την τριγωνομετρική συνάρτηση; Δεν πειράζει, και εδώ ενεργούμε με τον ίδιο τρόπο. Πρώτα, ελέγξτε τον τύπο της αβεβαιότητας, αντικαταστήστε το $x=0$ στη συνάρτηση και λάβετε:

$$\αριστερά[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \αριστερά[\frac(0)(0)\right].$$

Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\left[\frac(0)(0)\right]$. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\έως 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \αριστερά[\frac(0)(0)\δεξιά] = $$

Και πάλι υπάρχει η αβεβαιότητα, αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι απλώς ένα κλάσμα. Ας μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Απάντηση: $3/5$.

Το δεύτερο υπέροχο όριο

Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο γράφεται ως εξής (απροσδιοριστία της μορφής $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(ή) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Συνέπειες του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\έως 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Παραδείγματα λύσεων: 2 υπέροχο όριο

Παράδειγμα 4 Βρείτε το όριο $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Λύση.Ας ελέγξουμε τον τύπο της αβεβαιότητας, αντικαταστήσουμε το $x=\infty$ στη συνάρτηση και πάρουμε:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \αριστερά.$$

Έχουμε μια αβεβαιότητα για τη φόρμα $\left$. Το όριο μπορεί να μειωθεί στο δεύτερο αξιοσημείωτο. Ας μεταμορφώσουμε:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Η έκφραση σε αγκύλες είναι στην πραγματικότητα το δεύτερο υπέροχο όριο $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, μόνο $t=- 3x/2$, άρα

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Απάντηση:$e^(-2/3)$.

Παράδειγμα 5 Βρείτε το όριο $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Λύση.Αντικαταστήστε το $x=\infty$ στη συνάρτηση και λάβετε την αβεβαιότητα της μορφής $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Και χρειαζόμαστε $\left$. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν μετατρέποντας την έκφραση σε παρένθεση:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\δεξιά)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Η έκφραση σε αγκύλες είναι στην πραγματικότητα το δεύτερο υπέροχο όριο $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, μόνο $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, άρα

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Υπάρχουν πολλά υπέροχα όρια, αλλά τα πιο διάσημα είναι το πρώτο και το δεύτερο υπέροχα όρια. Το αξιοσημείωτο με αυτά τα όρια είναι ότι χρησιμοποιούνται ευρέως και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση άλλων ορίων που συναντώνται σε πολλά προβλήματα. Αυτό θα κάνουμε στο πρακτικό μέρος αυτού του μαθήματος. Για την επίλυση προβλημάτων με μείωση στο πρώτο ή το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, δεν είναι απαραίτητο να αποκαλυφθούν οι αβεβαιότητες που περιέχονται σε αυτά, καθώς οι τιμές αυτών των ορίων έχουν από καιρό συναχθεί από μεγάλους μαθηματικούς.

Το πρώτο αξιοσημείωτο όριοονομάζεται το όριο της αναλογίας του ημιτονοειδούς ενός άπειρα μικρού τόξου προς το ίδιο τόξο, εκφρασμένο σε ακτινικό μέτρο:

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση προβλημάτων στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Σημείωση: εάν μια τριγωνομετρική συνάρτηση βρίσκεται κάτω από το πρόσημο ορίου, αυτό είναι σχεδόν σίγουρο σημάδι ότι αυτή η έκφραση μπορεί να μειωθεί στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα 1Βρείτε το όριο.

Λύση. Αντικατάσταση ΧΤο μηδέν οδηγεί σε αβεβαιότητα:

.

Ο παρονομαστής είναι ένα ημίτονο, επομένως, η έκφραση μπορεί να μειωθεί στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Ας ξεκινήσουμε τη μεταμόρφωση:

.

Στον παρονομαστή - το ημίτονο των τριών x, και στον αριθμητή υπάρχει μόνο ένα x, που σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε τρία x στον αριθμητή. Για τι? Να παρουσιάσω 3 Χ = ένακαι πάρτε την έκφραση.

Και φτάνουμε σε μια παραλλαγή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου:

γιατί δεν έχει σημασία ποιο γράμμα (μεταβλητή) σε αυτόν τον τύπο είναι αντί του Χ.

Πολλαπλασιάζουμε το x επί τρία και αμέσως διαιρούμε:

.

Σύμφωνα με το σημειωμένο πρώτο αξιοσημείωτο όριο, αντικαθιστούμε την κλασματική έκφραση:

Τώρα μπορούμε επιτέλους να λύσουμε αυτό το όριο:

.

Παράδειγμα 2Βρείτε το όριο.

Λύση. Η άμεση αντικατάσταση οδηγεί και πάλι στην αβεβαιότητα "μηδενική διαίρεση με μηδέν":

.

Για να λάβετε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο, είναι απαραίτητο το x κάτω από το ημιτονικό πρόσημο στον αριθμητή και μόνο το x στον παρονομαστή να είναι με τον ίδιο συντελεστή. Έστω αυτός ο συντελεστής ίσος με 2. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε τον τρέχοντα συντελεστή στο x όπως παρακάτω, εκτελώντας ενέργειες με κλάσματα, παίρνουμε:

.

Παράδειγμα 3Βρείτε το όριο.

Λύση. Κατά την αντικατάσταση, παίρνουμε και πάλι την αβεβαιότητα "μηδέν διαιρούμενο με μηδέν":

.

Πιθανότατα έχετε ήδη καταλάβει ότι από την αρχική έκφραση μπορείτε να πάρετε το πρώτο υπέροχο όριο πολλαπλασιασμένο με το πρώτο υπέροχο όριο. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε τα τετράγωνα του x στον αριθμητή και του ημιτόνου στον παρονομαστή στους ίδιους συντελεστές και για να πάρουμε τους ίδιους συντελεστές για το x και το ημίτονο, διαιρούμε το x στον αριθμητή με το 3 και πολλαπλασιάζουμε αμέσως με το 3. Παίρνουμε:

.

Παράδειγμα 4Βρείτε το όριο.

Λύση. Παίρνουμε πάλι την αβεβαιότητα "μηδέν διαιρούμενο με μηδέν":

.

Μπορούμε να λάβουμε την αναλογία των δύο πρώτων αξιοσημείωτων ορίων. Διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το x. Στη συνέχεια, για να συμπέσουν οι συντελεστές στα ημίτονο και στο x, πολλαπλασιάζουμε το ανώτερο x με 2 και αμέσως διαιρούμε με 2, και πολλαπλασιάζουμε το κάτω x με 3 και αμέσως διαιρούμε με 3. Παίρνουμε:

Παράδειγμα 5Βρείτε το όριο.

Λύση. Και πάλι, η αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν»:

Θυμόμαστε από την τριγωνομετρία ότι η εφαπτομένη είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο, και το συνημίτονο του μηδέν είναι ίσο με ένα. Κάνουμε μετασχηματισμούς και παίρνουμε:

.

Παράδειγμα 6Βρείτε το όριο.

Λύση. Η τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από το σύμβολο του ορίου προτείνει και πάλι την ιδέα της εφαρμογής του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Το παριστάνουμε ως την αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο.

Από το παραπάνω άρθρο, μπορείτε να μάθετε ποιο είναι το όριο και με τι τρώγεται - αυτό είναι ΠΟΛΥ σημαντικό. Γιατί; Μπορεί να μην καταλαβαίνεις τι είναι ορίζοντες και να τους λύνεις με επιτυχία, μπορεί να μην καταλαβαίνεις καθόλου τι είναι παράγωγος και να τους βρίσκεις στο «πέντε». Αλλά αν δεν καταλαβαίνετε τι είναι το όριο, τότε θα είναι δύσκολο να λύσετε πρακτικές εργασίες. Επίσης, δεν θα είναι περιττό να εξοικειωθείτε με τα δείγματα του σχεδιασμού των αποφάσεων και τις συστάσεις μου για το σχεδιασμό. Όλες οι πληροφορίες παρουσιάζονται με απλό και προσιτό τρόπο.

Και για τους σκοπούς αυτού του μαθήματος, χρειαζόμαστε τα ακόλουθα μεθοδολογικά υλικά: Αξιοσημείωτα όριακαι Τριγωνομετρικοί τύποι. Μπορούν να βρεθούν στη σελίδα. Είναι καλύτερο να εκτυπώνετε τα εγχειρίδια - είναι πολύ πιο βολικό, επιπλέον, συχνά πρέπει να προσπελάζονται εκτός σύνδεσης.

Τι είναι αξιοσημείωτο για τα υπέροχα όρια; Το αξιοσημείωτο αυτών των ορίων έγκειται στο γεγονός ότι αποδείχθηκαν από τα μεγαλύτερα μυαλά διάσημων μαθηματικών και οι ευγνώμονες απόγονοι δεν χρειάζεται να υποφέρουν από τρομερά όρια με ένα σωρό τριγωνομετρικές συναρτήσεις, λογάριθμους και μοίρες. Δηλαδή κατά την εύρεση των ορίων θα χρησιμοποιήσουμε έτοιμα αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί θεωρητικά.

Υπάρχουν πολλά αξιοσημείωτα όρια, αλλά στην πράξη, οι φοιτητές μερικής φοίτησης στο 95% των περιπτώσεων έχουν δύο αξιοσημείωτα όρια: Πρώτο υπέροχο όριο, Το δεύτερο υπέροχο όριο. Πρέπει να σημειωθεί ότι πρόκειται για ιστορικά καθιερωμένες ονομασίες και όταν, για παράδειγμα, μιλούν για το «πρώτο αξιόλογο όριο», εννοούν με αυτό ένα πολύ συγκεκριμένο πράγμα, και όχι κάποιο τυχαίο όριο που βγαίνει από το ταβάνι.

Πρώτο υπέροχο όριο

Λάβετε υπόψη το εξής όριο: (αντί για το εγγενές γράμμα "αυτός" θα χρησιμοποιήσω το ελληνικό γράμμα "άλφα", αυτό είναι πιο βολικό όσον αφορά την παρουσίαση του υλικού).

Σύμφωνα με τον κανόνα μας για την εύρεση ορίων (βλ. άρθρο Όρια. Παραδείγματα λύσεων) προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε το μηδέν στη συνάρτηση: στον αριθμητή παίρνουμε μηδέν (το ημίτονο του μηδέν είναι μηδέν), στον παρονομαστή, προφανώς, επίσης μηδέν. Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με μια απροσδιοριστία της μορφής, η οποία, ευτυχώς, δεν χρειάζεται να αποκαλυφθεί. Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδεικνύεται ότι:

Αυτό το μαθηματικό γεγονός ονομάζεται Πρώτο υπέροχο όριο. Δεν θα δώσω αναλυτική απόδειξη του ορίου, αλλά θα εξετάσουμε τη γεωμετρική σημασία του στο μάθημα για απειροελάχιστες συναρτήσεις.

Συχνά σε πρακτικές εργασίες, οι λειτουργίες μπορούν να διευθετηθούν διαφορετικά, αυτό δεν αλλάζει τίποτα:

– το ίδιο πρώτο υπέροχο όριο.

Αλλά δεν μπορείτε να αναδιατάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή μόνοι σας! Εάν δίνεται ένα όριο στη φόρμα , τότε πρέπει να λυθεί με την ίδια μορφή, χωρίς να αναδιαταχθεί τίποτα.

Στην πράξη, όχι μόνο μια μεταβλητή μπορεί να λειτουργήσει ως παράμετρος, αλλά και μια στοιχειώδης συνάρτηση, μια σύνθετη συνάρτηση. Είναι σημαντικό μόνο να τείνει στο μηδέν.

Παραδείγματα:
, , ,

Εδώ , , , , και όλα βουίζουν - ισχύει το πρώτο υπέροχο όριο.

Και εδώ είναι η επόμενη καταχώρηση - αίρεση:

Γιατί; Επειδή το πολυώνυμο δεν τείνει στο μηδέν, τείνει στο πέντε.

Παρεμπιπτόντως, το ερώτημα είναι για επίχωση, αλλά ποιο είναι το όριο ? Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, δεν είναι όλα τόσο ομαλά, σχεδόν ποτέ δεν θα προσφερθεί σε έναν μαθητή να λύσει ένα δωρεάν όριο και να πάρει μια εύκολη πίστωση. Χμμμ... Γράφω αυτές τις γραμμές και μου ήρθε στο μυαλό μια πολύ σημαντική σκέψη - τελικά, φαίνεται ότι είναι καλύτερο να θυμάστε τους "δωρεάν" μαθηματικούς ορισμούς και τύπους από την καρδιά, αυτό μπορεί να είναι πολύτιμη βοήθεια στο τεστ, όταν το θέμα θα αποφασιστεί μεταξύ των «δύο» και «τριών» και ο δάσκαλος αποφασίζει να κάνει στον μαθητή κάποια απλή ερώτηση ή να προσφέρει να λύσει το απλούστερο παράδειγμα («ίσως (α) ξέρει ακόμα τι;!»).

Ας προχωρήσουμε σε πρακτικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1

Βρείτε το όριο

Εάν παρατηρήσουμε ένα ημίτονο στο όριο, τότε αυτό θα πρέπει να μας οδηγήσει αμέσως να σκεφτούμε τη δυνατότητα εφαρμογής του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου.

Αρχικά, προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε το 0 στην έκφραση κάτω από το πρόσημο ορίου (το κάνουμε νοερά ή σε προσχέδιο):

Άρα, έχουμε μια απροσδιοριστία της μορφής , της φροντίστε να υποδείξετεστη λήψη μιας απόφασης. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο του ορίου μοιάζει με το πρώτο υπέροχο όριο, αλλά δεν είναι ακριβώς αυτό, είναι κάτω από το ημίτονο, αλλά στον παρονομαστή.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να οργανώσουμε μόνοι μας το πρώτο υπέροχο όριο, χρησιμοποιώντας μια τεχνητή συσκευή. Η συλλογιστική μπορεί να είναι η εξής: «κάτω από το ημίτονο που έχουμε, που σημαίνει ότι πρέπει επίσης να μπούμε στον παρονομαστή».
Και αυτό γίνεται πολύ απλά:

Δηλαδή, ο παρονομαστής πολλαπλασιάζεται τεχνητά σε αυτή την περίπτωση επί 7 και διαιρείται με το ίδιο επτά. Τώρα ο δίσκος έχει πάρει μια γνώριμη μορφή.
Όταν η εργασία συντάσσεται με το χέρι, συνιστάται να σημειώσετε το πρώτο υπέροχο όριο με ένα απλό μολύβι:

Τι συνέβη? Στην πραγματικότητα, η κυκλική έκφραση έχει μετατραπεί σε μονάδα και εξαφανίστηκε στο προϊόν:

Τώρα μένει μόνο να απαλλαγούμε από το τριώροφο κλάσμα:

Ποιος έχει ξεχάσει την απλοποίηση των πολυώροφων κλασμάτων, παρακαλώ ανανεώστε το υλικό στο βιβλίο αναφοράς Hot School Μαθηματικά Τύποι .

Ετοιμος. Τελική απάντηση:

Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε σημάδια από μολύβι, τότε η λύση μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής:

“

Χρησιμοποιούμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο

“

Παράδειγμα 2

Βρείτε το όριο

Και πάλι βλέπουμε ένα κλάσμα και ένα ημίτονο στο όριο. Προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε το μηδέν στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

Πράγματι, έχουμε αβεβαιότητα και, ως εκ τούτου, πρέπει να προσπαθήσουμε να οργανώσουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Στο μάθημα Όρια. Παραδείγματα λύσεωνθεωρήσαμε τον κανόνα ότι όταν έχουμε αβεβαιότητα, τότε πρέπει να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε παράγοντες. Εδώ - το ίδιο πράγμα, θα παρουσιάσουμε τους βαθμούς ως προϊόν (πολλαπλασιαστές):

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, σκιαγραφούμε με ένα μολύβι τα υπέροχα όρια (εδώ υπάρχουν δύο από αυτά) και υποδεικνύουμε ότι τείνουν σε ένα:

Στην πραγματικότητα, η απάντηση είναι έτοιμη:

Στα ακόλουθα παραδείγματα, δεν θα κάνω τέχνη στο Paint, νομίζω πώς να σχεδιάσω σωστά μια λύση σε ένα σημειωματάριο - καταλαβαίνετε ήδη.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το όριο

Αντικαθιστούμε το μηδέν στην έκφραση κάτω από το οριακό πρόσημο:

Έχει επιτευχθεί μια αβεβαιότητα που πρέπει να αποκαλυφθεί. Αν υπάρχει εφαπτομένη στο όριο, τότε σχεδόν πάντα μετατρέπεται σε ημίτονο και συνημίτονο σύμφωνα με τον γνωστό τριγωνομετρικό τύπο (παρεμπιπτόντως, περίπου το ίδιο κάνουν και με την συνεφαπτομένη, δείτε το μεθοδολογικό υλικό Καυτές τριγωνομετρικές φόρμουλεςΣτη σελίδα Μαθηματικοί τύποι, πίνακες και υλικά αναφοράς).

Σε αυτήν την περίπτωση:

Το συνημίτονο του μηδέν είναι ίσο με ένα και είναι εύκολο να το ξεφορτωθείτε (μην ξεχάσετε να σημειώσετε ότι τείνει στο ένα):

Έτσι, εάν στο όριο το συνημίτονο είναι ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟΣ, τότε, χοντρικά, πρέπει να μετατραπεί σε μονάδα, η οποία εξαφανίζεται στο γινόμενο.

Εδώ όλα έγιναν πιο απλά, χωρίς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο μετατρέπεται επίσης σε ενότητα και εξαφανίζεται στο προϊόν:

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται το άπειρο, συμβαίνει.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το όριο

Προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε το μηδέν στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

Λήφθηκε αβεβαιότητα (συνημίτονο του μηδέν, όπως θυμόμαστε, είναι ίσο με ένα)

Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο. Να λάβει υπόψη! Για κάποιο λόγο, τα όρια που χρησιμοποιούν αυτόν τον τύπο είναι πολύ συνηθισμένα.

Αφαιρούμε τους σταθερούς πολλαπλασιαστές πέρα ​​από το εικονίδιο ορίου:

Ας οργανώσουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Εδώ έχουμε μόνο ένα υπέροχο όριο, το οποίο μετατρέπεται σε ένα και εξαφανίζεται στο προϊόν:

Ας απαλλαγούμε από το τριώροφο:

Το όριο έχει λυθεί στην πραγματικότητα, υποδεικνύουμε ότι το υπόλοιπο ημίτονο τείνει στο μηδέν:

Παράδειγμα 5

Βρείτε το όριο

Αυτό το παράδειγμα είναι πιο περίπλοκο, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας:

Μερικά όρια μπορούν να μειωθούν στο 1ο αξιοσημείωτο όριο αλλάζοντας τη μεταβλητή, μπορείτε να διαβάσετε σχετικά λίγο αργότερα στο άρθρο Μέθοδοι επίλυσης ορίων.

Το δεύτερο υπέροχο όριο

Στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης αποδεικνύεται ότι:

Αυτό το γεγονός λέγεται δεύτερο αξιοσημείωτο όριο.

Αναφορά: είναι ένας παράλογος αριθμός.

Όχι μόνο μια μεταβλητή μπορεί να λειτουργήσει ως παράμετρος, αλλά και μια σύνθετη συνάρτηση. Σημασία έχει μόνο να προσπαθεί για το άπειρο.

Παράδειγμα 6

Βρείτε το όριο

Όταν η έκφραση κάτω από το σύμβολο ορίου είναι σε ισχύ - αυτό είναι το πρώτο σημάδι ότι πρέπει να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε το δεύτερο υπέροχο όριο.

Αλλά πρώτα, όπως πάντα, προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε έναν άπειρα μεγάλο αριθμό στην έκφραση, σύμφωνα με ποια αρχή γίνεται αυτό, αναλύθηκε στο μάθημα Όρια. Παραδείγματα λύσεων.

Είναι εύκολο να το δει κανείς όταν η βάση του βαθμού και ο εκθέτης - , δηλαδή, υπάρχει αβεβαιότητα της μορφής:

Αυτή η αβεβαιότητα μόλις αποκαλύπτεται με τη βοήθεια του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου. Αλλά, όπως συμβαίνει συχνά, το δεύτερο υπέροχο όριο δεν βρίσκεται σε μια ασημένια πιατέλα και πρέπει να οργανωθεί τεχνητά. Μπορείτε να αιτιολογήσετε ως εξής: σε αυτό το παράδειγμα, η παράμετρος σημαίνει ότι πρέπει επίσης να οργανώσουμε τον δείκτη. Για να το κάνουμε αυτό, ανεβάζουμε τη βάση σε δύναμη και για να μην αλλάξει η έκφραση, την ανεβάζουμε σε δύναμη:

Όταν η εργασία συντάσσεται με το χέρι, σημειώνουμε με ένα μολύβι:

Σχεδόν όλα είναι έτοιμα, ο τρομερός βαθμός έχει μετατραπεί σε ένα όμορφο γράμμα:

Ταυτόχρονα, το ίδιο το εικονίδιο ορίου μετακινείται στην ένδειξη:

Παράδειγμα 7

Βρείτε το όριο

Προσοχή! Αυτός ο τύπος ορίου είναι πολύ κοινός, μελετήστε αυτό το παράδειγμα πολύ προσεκτικά.

Προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε έναν απείρως μεγάλο αριθμό στην έκφραση κάτω από το πρόσημο ορίου:

Το αποτέλεσμα είναι μια αβεβαιότητα. Αλλά το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο ισχύει για την αβεβαιότητα της μορφής. Τι να κάνω? Πρέπει να μετατρέψετε τη βάση του βαθμού. Υποστηρίζουμε ως εξής: στον παρονομαστή έχουμε , που σημαίνει ότι πρέπει να οργανώσουμε και στον αριθμητή.

Απόδειξη:

Ας αποδείξουμε πρώτα το θεώρημα για την περίπτωση της ακολουθίας

Σύμφωνα με τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε

Από αυτή την ισότητα (1) προκύπτει ότι όσο αυξάνεται το n, αυξάνεται ο αριθμός των θετικών όρων στη δεξιά πλευρά. Επιπλέον, όσο αυξάνεται το n, μειώνεται ο αριθμός, άρα και οι ποσότητες αυξάνουν. Επομένως η σειρά αυξανόμενη, ενώ (2)* Ας δείξουμε ότι είναι οριοθετημένη. Αντικαθιστούμε κάθε παρένθεση στη δεξιά πλευρά της ισότητας με μία, η δεξιά πλευρά αυξάνεται, παίρνουμε την ανισότητα

Ενισχύουμε την προκύπτουσα ανισότητα, αντικαθιστούμε 3,4,5, ..., που στέκονται στους παρονομαστές των κλασμάτων, με τον αριθμό 2: Βρίσκουμε το άθροισμα σε αγκύλες χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των μελών μιας γεωμετρικής προόδου: Επομένως (3)*

Έτσι, η ακολουθία οριοθετείται από πάνω, ενώ οι ανισώσεις (2) και (3) ισχύουν: Επομένως, με βάση το θεώρημα Weierstrass (κριτήριο για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας), η ακολουθία αυξάνεται μονότονα και οριοθετείται, που σημαίνει ότι έχει ένα όριο, που συμβολίζεται με το γράμμα e. Εκείνοι.

Γνωρίζοντας ότι το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο ισχύει για φυσικές τιμές του x, αποδεικνύουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο για το πραγματικό x, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι . Εξετάστε δύο περιπτώσεις:

1. Έστω κάθε τιμή x μεταξύ δύο θετικών ακέραιων αριθμών: , πού είναι το ακέραιο μέρος του x. => =>

Αν , τότε Επομένως, σύμφωνα με το όριο Εχουμε

Στη βάση (στο όριο μιας ενδιάμεσης συνάρτησης) της ύπαρξης ορίων

2. Αφήστε . Ας κάνουμε μια αντικατάσταση − x = t, τότε

Από τις δύο αυτές περιπτώσεις προκύπτει ότι για πραγματικό x.

Συνέπειες:

9 .) Σύγκριση απειροελάχιστων. Το θεώρημα για την αντικατάσταση των απειρομικρών από ισοδύναμα στο όριο και το θεώρημα για το κύριο μέρος των απειροελάχιστων.

Αφήστε τις συναρτήσεις a( Χ) και β( Χ) – β.μ. στο Χ ® Χ 0 .

ΟΡΙΣΜΟΙ.

1) α( Χ) που ονομάζεται απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη από σι (Χ) αν

Γράψε: α( Χ) = o(b( Χ)) .

2) α( Χ) καισι( Χ)που ονομάζεται απειροελάχιστα της ίδιας τάξης, αν

όπου Γℝ και ντο¹ 0 .

Γράψε: α( Χ) = Ο(σι( Χ)) .

3) α( Χ) καισι( Χ) που ονομάζεται ισοδύναμος , αν

Γράψε: α( Χ) ~ β( Χ).

4) α( Χ) ονομάζεται απειροελάχιστη τάξη k ως προς
πολύ απειροελάχιστοσι( Χ), αν απειροελάχιστηένα( Χ)και(σι( Χ)) κ έχουν την ίδια σειρά, δηλ. αν

όπου Γℝ και ντο¹ 0 .

ΘΕΩΡΗΜΑ 6 (περί αντικατάστασης απειροελάχιστων από ισοδύναμα).

Αφήνωένα( Χ), σι( Χ), Α'1 ( Χ), β 1 ( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 . Αν έναένα( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ),

έπειτα

Απόδειξη: Έστω α( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ), έπειτα

ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (περίπου το κύριο μέρος του απείρως μικρού).

Αφήνωένα( Χ)καισι( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 , καισι( Χ)– β.μ. υψηλότερης τάξης απόένα( Χ).

= , a αφού b( Χ) – υψηλότερη τάξη από α( Χ), τότε, δηλ. από είναι σαφές ότι ένα ( Χ) + β( Χ) ~ α( Χ)

10) Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο (στη γλώσσα των ορίων έψιλον-δέλτα, γεωμετρικά) Μονόδρομη συνέχεια. Συνέχεια σε ένα διάστημα, σε ένα τμήμα. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.

1. Βασικοί ορισμοί

Αφήνω φά(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 .

ΟΡΙΣΜΟΣ 1. συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν ισχύει η ισότητα

Παρατηρήσεις.

1) Με το Θεώρημα 5 της §3, η ισότητα (1) μπορεί να γραφτεί ως

Κατάσταση (2) - ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της γλώσσας των μονόπλευρων ορίων.

2) Η ισότητα (1) μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

Λένε: «αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 , τότε το πρόσημο του ορίου και η συνάρτηση μπορούν να εναλλάσσονται.

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (στη γλώσσα ε-δ).

συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν"e>0 $d>0 τέτοιος, τι

αν xΟΥ( Χ 0 , δ) (δηλαδή, | Χ – Χ 0 | < d),

τότε στ(Χ) ΟΥ( φά(Χ 0), ε) (δηλ. | φά(Χ) – φά(Χ 0) | < e).

Αφήνω Χ, Χ 0 Î ρε(φά) (Χ 0 - σταθερό, Χ-αυθαίρετος)

Σημειώστε: Δ Χ= x-x 0 – προσαύξηση επιχειρήματος

ρε φά(Χ 0) = φά(Χ) – φά(Χ 0) – αύξηση συνάρτησης στο σημείο x 0

ΟΡΙΣΜΟΣ 3 (γεωμετρικός).

συνάρτηση f(Χ) στο που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν σε αυτό το σημείο μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης, δηλ.

Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) ορίζεται στο διάστημα [ Χ 0 ; Χ 0 + δ) (στο διάστημα ( Χ 0 - d; Χ 0 ]).

ΟΡΙΣΜΟΣ. συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 στα δεξιά (αριστερά ), αν ισχύει η ισότητα

Είναι προφανές ότι φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 Û φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 δεξιά και αριστερά.

ΟΡΙΣΜΟΣ. συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής ανά διάστημα ε ( ένα; σι) αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος.

συνάρτηση f(Χ) ονομάζεται συνεχής στο τμήμα [ένα; σι] αν είναι συνεχής στο διάστημα (ένα; σι) και έχει μονόπλευρη συνέχεια στα οριακά σημεία(δηλαδή συνεχής στο σημείο έναδεξιά, σημείο σι- στα αριστερά).

11) Σημεία διακοπής, η κατάταξή τους

ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν η συνάρτηση f(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 , αλλά δεν είναι συνεχής σε εκείνο το σημείο, λοιπόν φά(Χ) λέγεται ασυνεχής στο σημείο x 0 , αλλά το σημείο Χ 0 ονομάζεται το σημείο ρήξης λειτουργίες f(Χ) .

Παρατηρήσεις.

1) φά(Χ) μπορεί να οριστεί σε μια ημιτελή γειτονιά του σημείου Χ 0 .

Στη συνέχεια, εξετάστε την αντίστοιχη μονόπλευρη συνέχεια της συνάρτησης.

2) Από τον ορισμό του z, το σημείο ΧΤο 0 είναι το σημείο θραύσης της συνάρτησης φά(Χ) σε δύο περιπτώσεις:

α) U( Χ 0 , δ)н ρε(φά) , αλλά φά(Χ) η ισότητα δεν ικανοποιείται

β) U * ( Χ 0 , δ)н ρε(φά) .

Για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, είναι δυνατή μόνο η περίπτωση β).

Αφήνω Χ 0 - σημείο διακοπής της συνάρτησης φά(Χ) .

ΟΡΙΣΜΟΣ. σημείο x 0 που ονομάζεται οριακό σημείο Εγώ είδος αν η συνάρτηση f(Χ)έχει πεπερασμένα όρια σε αυτό το σημείο στα αριστερά και στα δεξιά.

Εάν, επιπλέον, αυτά τα όρια είναι ίσα, τότε το σημείο x 0 που ονομάζεται σημείο διακοπής , σε διαφορετική περίπτωση - σημείο άλματος .

ΟΡΙΣΜΟΣ. σημείο x 0 που ονομάζεται οριακό σημείο II είδος αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης f(Χ)σε αυτό το σημείο ισούται με¥ ή δεν υπάρχει.

12) Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε ένα τμήμα (θεωρήματα Weierstrass (χωρίς απόδειξη) και Cauchy

Θεώρημα Weierstrass

Έστω η συνάρτηση f(x) συνεχής στο τμήμα , τότε

1) η f(x) περιορίζεται σε

2) Η f (x) παίρνει στο διάστημα τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές του

Ορισμός: Η τιμή της συνάρτησης m=f ονομάζεται ελάχιστη αν m≤f(x) για οποιοδήποτε x ∈ D(f).

Η τιμή της συνάρτησης m=f ονομάζεται μέγιστη αν m≥f(x) για οποιοδήποτε x ∈ D(f).

Η συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μικρότερη \ μεγαλύτερη τιμή σε πολλά σημεία του τμήματος.

f(x 3)=f(x 4)=μέγ

Θεώρημα Cauchy.

Έστω η συνάρτηση f(x) συνεχής στο τμήμα και x ο αριθμός που περικλείεται μεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x 0 € τέτοιο ώστε f(x 0)= g

Ο τύπος για το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο είναι lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Μια άλλη μορφή γραφής μοιάζει με αυτό: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Όταν μιλάμε για το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, έχουμε να αντιμετωπίσουμε μια αβεβαιότητα της μορφής 1 ∞ , δηλ. μονάδα σε άπειρο βαθμό.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Εξετάστε προβλήματα στα οποία χρειαζόμαστε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε το δεύτερο υπέροχο όριο.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το όριο lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Λύση

Αντικαταστήστε τον επιθυμητό τύπο και εκτελέστε τους υπολογισμούς.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Στην απάντησή μας, πήραμε μια μονάδα στη δύναμη του άπειρου. Για να προσδιορίσουμε τη μέθοδο επίλυσης, χρησιμοποιούμε τον πίνακα αβεβαιοτήτων. Επιλέγουμε το δεύτερο αξιόλογο όριο και κάνουμε αλλαγή μεταβλητών.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Αν x → ∞ τότε t → - ∞ .

Ας δούμε τι πήραμε μετά την αντικατάσταση:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Απάντηση: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το όριο lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.

Λύση

Αντικαταστήστε το άπειρο και λάβετε το παρακάτω.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Στην απάντηση, πήραμε και πάλι το ίδιο πράγμα όπως στο προηγούμενο πρόβλημα, επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά το δεύτερο υπέροχο όριο. Στη συνέχεια, πρέπει να επιλέξουμε το ακέραιο τμήμα στη βάση της συνάρτησης ισχύος:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Μετά από αυτό, το όριο παίρνει την ακόλουθη μορφή:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Αντικαθιστούμε μεταβλητές. Ας πούμε ότι t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; αν x → ∞ , τότε t → ∞ .

Μετά από αυτό, γράφουμε τι λάβαμε στο αρχικό όριο:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Για να πραγματοποιήσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό, χρησιμοποιήσαμε τις βασικές ιδιότητες των ορίων και των δυνάμεων.

Απάντηση: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το όριο lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Λύση

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Μετά από αυτό, πρέπει να εκτελέσουμε έναν μετασχηματισμό συνάρτησης για να εφαρμόσουμε το δεύτερο υπέροχο όριο. Πήραμε τα εξής:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Εφόσον τώρα έχουμε τους ίδιους εκθέτες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος (ίσο με έξι), το όριο του κλάσματος στο άπειρο θα είναι ίσο με τον λόγο αυτών των συντελεστών σε υψηλότερες δυνάμεις.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Αντικαθιστώντας t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, παίρνουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο. Τι σημαίνει:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Απάντηση: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

συμπεράσματα

Αβεβαιότητα 1 ∞ , δηλ. μονάδα σε άπειρο βαθμό, είναι μια αβεβαιότητα ισχύος-νόμου, επομένως, μπορεί να αποκαλυφθεί χρησιμοποιώντας τους κανόνες για την εύρεση των ορίων των συναρτήσεων εκθετικής ισχύος.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter