Τα ακραία υπό όρους και η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange

Σύντομη θεωρία

Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού (κυρίως κυρτών). Δυστυχώς, στην πρακτική εφαρμογή της μεθόδου, ενδέχεται να παρουσιαστούν σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες, περιορίζοντας την περιοχή χρήσης της. Θεωρούμε εδώ τη μέθοδο Lagrange κυρίως επειδή είναι μια συσκευή που χρησιμοποιείται ενεργά για να δικαιολογήσει διάφορες σύγχρονες αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Όσον αφορά τη συνάρτηση Lagrange και τους πολλαπλασιαστές Lagrange, παίζουν έναν ανεξάρτητο και εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη θεωρία και τις εφαρμογές όχι μόνο του μαθηματικού προγραμματισμού.

Εξετάστε ένα κλασικό πρόβλημα βελτιστοποίησης:

Μεταξύ των περιορισμών αυτού του προβλήματος δεν υπάρχουν ανισότητες, δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών, τη διακριτικότητα τους και τις συναρτήσεις και είναι συνεχείς και έχουν μερικές παραγώγους τουλάχιστον δεύτερης τάξης.

Η κλασική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος δίνει ένα σύστημα εξισώσεων (απαραίτητες προϋποθέσεις) που πρέπει να ικανοποιούνται από το σημείο που παρέχει στη συνάρτηση ένα τοπικό άκρο στο σύνολο των σημείων που ικανοποιούν τους περιορισμούς (για ένα κυρτό πρόβλημα προγραμματισμού, το σημείο που βρέθηκε θα είναι ταυτόχρονα το παγκόσμιο ακραίο σημείο).

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση (1) έχει ένα τοπικό ακρότατο υπό όρους στο σημείο και η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με . Τότε οι απαραίτητες προϋποθέσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

είναι η συνάρτηση Lagrange. είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange.

Υπάρχουν επίσης επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες η λύση του συστήματος των εξισώσεων (3) καθορίζει το ακραίο σημείο της συνάρτησης . Αυτή η ερώτηση λύνεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange. Ωστόσο, οι επαρκείς προϋποθέσεις έχουν κυρίως θεωρητικό ενδιαφέρον.

Μπορείτε να καθορίσετε την ακόλουθη διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος (1), (2) με τη μέθοδο πολλαπλασιαστή Lagrange:

1) συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange (4).

2) βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange σε σχέση με όλες τις μεταβλητές και εξισώστε τις

μηδέν. Έτσι, θα προκύψει ένα σύστημα (3) που αποτελείται από εξισώσεις Λύστε το σύστημα που προκύπτει (αν αποδειχθεί ότι είναι δυνατό!) και έτσι βρείτε όλα τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange.

3) από σταθερά σημεία που λαμβάνονται χωρίς συντεταγμένες, επιλέξτε σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει τοπικά άκρα υπό όρους παρουσία περιορισμών (2). Αυτή η επιλογή γίνεται, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για ένα τοπικό εξτρέμ. Συχνά η μελέτη απλοποιείται εάν χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το έργο

Η επιχείρηση παράγει δύο είδη αγαθών σε ποσότητες και . Η συνάρτηση χρήσιμου κόστους ορίζεται από τη σχέση . Οι τιμές των αγαθών αυτών στην αγορά είναι ίσες και αντίστοιχα.

Προσδιορίστε σε ποιους όγκους παραγωγής επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος και με τι είναι ίσο εάν το συνολικό κόστος δεν υπερβαίνει

Δυσκολεύεστε να κατανοήσετε τη διαδικασία λύσης; Ο ιστότοπος διαθέτει μια υπηρεσία Επίλυση προβλημάτων με μεθόδους βέλτιστων λύσεων κατά παραγγελία

Η λύση του προβλήματος

Οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος

Λειτουργία κέρδους:

Όρια κόστους:

Παίρνουμε το ακόλουθο οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο:

Επιπλέον, σύμφωνα με το νόημα της εργασίας

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange:

Βρίσκουμε μερικές παραγώγους 1ης τάξης:

Συνθέτουμε και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Από τότε

Μέγιστο κέρδος:

Απάντηση

Επομένως, είναι απαραίτητο να παραχθούν μονάδες. εμπορεύματα 1ου τύπου και μονάδες. εμπορεύματα 2ου τύπου. Σε αυτή την περίπτωση, το κέρδος θα είναι μέγιστο και θα είναι 270.
Δίνεται ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος του τετραγωνικού κυρτού προγραμματισμού με γραφική μέθοδο.

Επίλυση γραμμικού προβλήματος με γραφική μέθοδο
Εξετάζεται μια γραφική μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (LPP) με δύο μεταβλητές. Στο παράδειγμα του προβλήματος, δίνεται μια λεπτομερής περιγραφή της κατασκευής ενός σχεδίου και της εύρεσης λύσης.

Μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων Wilson
Στο παράδειγμα της επίλυσης του προβλήματος, εξετάζεται το κύριο μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων (μοντέλο Wilson). Υπολογίζονται δείκτες του μοντέλου όπως το βέλτιστο μέγεθος της παρτίδας παραγγελίας, το ετήσιο κόστος αποθήκευσης, το διάστημα μεταξύ των παραδόσεων και το σημείο της παραγγελίας.

Πίνακας αναλογίας άμεσου κόστους και πίνακας εισροών-εκροών
Στο παράδειγμα της επίλυσης του προβλήματος, εξετάζεται το διατομεακό μοντέλο Leontiev. Εμφανίζεται ο υπολογισμός του πίνακα συντελεστών άμεσου κόστους υλικών, του πίνακα «εισροών-εκροών», του πίνακα συντελεστών έμμεσου κόστους, των διανυσμάτων τελικής κατανάλωσης και ακαθάριστης παραγωγής.

ΑΠΟΗ ουσία της μεθόδου Lagrange είναι η μείωση του προβλήματος του ακραίου υπό όρους στη λύση του προβλήματος του ακραίου χωρίς όρους. Εξετάστε ένα μη γραμμικό μοντέλο προγραμματισμού:

(5.2)

όπου
είναι γνωστές λειτουργίες,

ένα
δίνονται συντελεστές.

Σημειώστε ότι σε αυτή τη διατύπωση του προβλήματος, οι περιορισμοί δίνονται από ισότητες και δεν υπάρχει προϋπόθεση οι μεταβλητές να είναι μη αρνητικές. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις
είναι συνεχείς με τις πρώτες μερικές παραγώγους τους.

Ας μετασχηματίσουμε τις συνθήκες (5.2) με τέτοιο τρόπο ώστε το αριστερό ή το δεξί μέρος των ισοτήτων να περιέχουν μηδέν:

(5.3)

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange. Περιλαμβάνει την αντικειμενική συνάρτηση (5.1) και τις δεξιές πλευρές των περιορισμών (5.3), που λαμβάνονται αντίστοιχα με τους συντελεστές
. Θα υπάρχουν τόσοι συντελεστές Lagrange όσοι και περιορισμοί στο πρόβλημα.

Τα ακραία σημεία της συνάρτησης (5.4) είναι τα ακραία σημεία του αρχικού προβλήματος και αντίστροφα: το βέλτιστο σχέδιο του προβλήματος (5.1)-(5.2) είναι το παγκόσμιο ακραίο σημείο της συνάρτησης Lagrange.

Πράγματι, ας βρεθεί η λύση
πρόβλημα (5.1)-(5.2), τότε οι προϋποθέσεις (5.3) ικανοποιούνται. Ας αντικαταστήσουμε το σχέδιο
στη συνάρτηση (5.4) και επαληθεύστε την εγκυρότητα της ισότητας (5.5).

Έτσι, για να βρεθεί το βέλτιστο σχέδιο του αρχικού προβλήματος, είναι απαραίτητο να διερευνηθεί η συνάρτηση Lagrange για ένα άκρο. Η συνάρτηση έχει ακραίες τιμές στα σημεία όπου οι μερικές παράγωγοί της είναι ίσες μηδέν. Τέτοια σημεία λέγονται ακίνητος.

Ορίζουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης (5.4)

,

.

Μετά την ισοφάριση μηδένπαράγωγα παίρνουμε το σύστημα m+nεξισώσεις με m+nάγνωστος

,(5.6)

Στη γενική περίπτωση, το σύστημα (5.6)-(5.7) θα έχει αρκετές λύσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν όλα τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης Lagrange. Για να τονιστεί το συνολικό μέγιστο ή ελάχιστο, οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης υπολογίζονται σε όλα τα σημεία που βρέθηκαν. Η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές θα είναι το καθολικό μέγιστο και η μικρότερη θα είναι το συνολικό ελάχιστο. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατή η χρήση επαρκείς προϋποθέσεις για ένα αυστηρό εξτρέμσυνεχείς συναρτήσεις (βλ. Πρόβλημα 5.2 παρακάτω):

αφήστε τη λειτουργία
είναι συνεχής και δύο φορές διαφοροποιήσιμος σε κάποια γειτονιά του ακίνητου σημείου του (εκείνοι.
)). Επειτα:

ένα ) αν
, (5.8)

έπειτα είναι το αυστηρό μέγιστο σημείο της συνάρτησης
;

σι) αν
, (5.9)

έπειτα είναι το αυστηρό ελάχιστο σημείο της συνάρτησης
;

σολ ) αν
,

τότε το ζήτημα της παρουσίας ενός εξτρέμ παραμένει ανοιχτό.

Επιπλέον, ορισμένες λύσεις του συστήματος (5.6)-(5.7) μπορεί να είναι αρνητικές. Κάτι που δεν συνάδει με την οικονομική σημασία των μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να αναλυθεί η πιθανότητα αντικατάστασης αρνητικών τιμών με μηδέν.

Οικονομική σημασία των πολλαπλασιαστών Lagrange.Βέλτιστη τιμή πολλαπλασιαστή
δείχνει πόσο θα αλλάξει η τιμή του κριτηρίου Ζ όταν αυξάνεται ή μειώνεται ο πόρος ιανά μονάδα, γιατί

Η μέθοδος Lagrange μπορεί επίσης να εφαρμοστεί όταν οι περιορισμοί είναι ανισότητες. Άρα, βρίσκοντας το άκρο της συνάρτησης
υπο προυποθεσεις

,

πραγματοποιούνται σε διάφορα στάδια:

1. Να προσδιορίσετε τα ακίνητα σημεία της αντικειμενικής συνάρτησης, για τα οποία λύνουν το σύστημα των εξισώσεων

.

2. Από ακίνητα σημεία επιλέγονται εκείνα των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις

3. Η μέθοδος Lagrange χρησιμοποιείται για την επίλυση του προβλήματος με περιορισμούς ισότητας (5.1)-(5.2).

4. Τα σημεία που βρέθηκαν στο δεύτερο και το τρίτο στάδιο εξετάζονται για ένα συνολικό μέγιστο: συγκρίνονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτά τα σημεία - η μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί στο βέλτιστο σχέδιο.

Εργασία 5.1Ας λύσουμε το πρόβλημα 1.3, που εξετάστηκε στην πρώτη ενότητα, με τη μέθοδο Lagrange. Η βέλτιστη κατανομή των υδάτινων πόρων περιγράφεται από ένα μαθηματικό μοντέλο

.

Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange

Βρείτε το άνευ όρων μέγιστο αυτής της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους και τις εξισώνουμε με μηδέν

,

Έτσι, έχουμε αποκτήσει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής

Η λύση του συστήματος εξισώσεων είναι το βέλτιστο σχέδιο για την κατανομή των υδάτινων πόρων σε αρδευόμενες εκτάσεις

, .

Ποσότητες
μετρημένο σε εκατοντάδες χιλιάδες κυβικά μέτρα.
- το ποσό του καθαρού εισοδήματος ανά εκατό χιλιάδες κυβικά μέτρα νερού άρδευσης. Επομένως, η οριακή τιμή του 1 m 3 νερού άρδευσης είναι
φωλιά. μονάδες

Το μέγιστο πρόσθετο καθαρό εισόδημα από την άρδευση θα είναι

160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=

172391.02 (π.μ. μονάδες)

Εργασία 5.2Επίλυση ενός προβλήματος μη γραμμικού προγραμματισμού

Αντιπροσωπεύουμε τον περιορισμό ως:

.

Να συνθέσετε τη συνάρτηση Lagrange και να προσδιορίσετε τις μερικές παράγωγές της

.

Για τον προσδιορισμό των ακίνητων σημείων της συνάρτησης Lagrange, θα πρέπει να εξισωθούν οι μερικές παράγωγοί της με το μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

.

Από την πρώτη εξίσωση ακολουθεί

. (5.10)

Εκφραση αντικαταστήστε στη δεύτερη εξίσωση

,

από την οποία υπάρχουν δύο λύσεις για :

και
. (5.11)

Αντικαθιστώντας αυτές τις λύσεις στην τρίτη εξίσωση, παίρνουμε

,
.

Οι τιμές του πολλαπλασιαστή Lagrange και του άγνωστου υπολογισμός με τις παραστάσεις (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Έτσι, πήραμε δύο ακραίους βαθμούς:

;
.

Για να μάθουμε αν αυτά τα σημεία είναι μέγιστα ή ελάχιστα σημεία, χρησιμοποιούμε τις επαρκείς προϋποθέσεις για ένα αυστηρό άκρο (5.8)-(5.9). Προέκφραση για , που προκύπτει από τον περιορισμό του μαθηματικού μοντέλου, αντικαθιστούμε στην αντικειμενική συνάρτηση

,

. (5.12)

Για να ελέγξουμε τις συνθήκες για ένα αυστηρό άκρο, θα πρέπει να προσδιορίσουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης (5.11) στα ακραία σημεία που βρήκαμε
και
.

,
;

.

Με αυτόν τον τρόπο, (·)
είναι το ελάχιστο σημείο του αρχικού προβλήματος (
), ένα (·)
- μέγιστο σημείο.

Βέλτιστο σχέδιο:

,
,
,

.

Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε υποθετικόςή, όπως λέγονται επίσης, σχετικές ακρότητεςσυναρτήσεις πολλών μεταβλητών και, πρώτα απ 'όλα, θα μιλήσουμε, φυσικά, για ακραία υπό όρους λειτουργίες δύοκαι τρεις μεταβλητές, που εντοπίζονται στη συντριπτική πλειοψηφία των θεματικών προβλημάτων.

Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε αυτή τη στιγμή; Παρά το γεγονός ότι αυτό το άρθρο είναι "στα περίχωρα" του θέματος, δεν θα χρειαστεί τόσο πολύ για την επιτυχή αφομοίωση του υλικού. Σε αυτό το σημείο, θα πρέπει να καθοδηγηθείτε από το κύριο επιφάνειες του χώρου, μπορείτε να βρείτε μερικώς παράγωγα (τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο)και, όπως υποδηλώνει η αδίστακτη λογική, να καταλάβουμε ακραίες άνευ όρων. Αλλά ακόμα κι αν έχετε χαμηλό επίπεδο εκπαίδευσης, μην βιαστείτε να φύγετε - όλες οι γνώσεις / δεξιότητες που λείπουν μπορούν πραγματικά να "συλλεχθούν στην πορεία" και χωρίς πολλές ώρες βασανισμού.

Αρχικά, αναλύουμε την ίδια την έννοια και ταυτόχρονα πραγματοποιούμε μια ρητή επανάληψη των πιο συνηθισμένων επιφάνειες. Λοιπόν, τι είναι το ακραίο υπό όρους; ... Η λογική εδώ δεν είναι λιγότερο ανελέητη =) Το ακρότατο υπό όρους μιας συνάρτησης είναι ένα άκρο με τη συνήθη έννοια της λέξης, το οποίο επιτυγχάνεται όταν πληρούται μια συγκεκριμένη προϋπόθεση (ή προϋποθέσεις).

Φανταστείτε ένα αυθαίρετο "πλάγιο" επίπεδοσε Καρτεσιανό σύστημα. Κανένας ακραίοεδώ δεν φαίνεται. Αλλά αυτό είναι προς το παρόν. Σκεφτείτε ελλειπτικός κύλινδρος, για απλότητα - ένας ατελείωτος στρογγυλός "σωλήνας" παράλληλος στον άξονα. Είναι προφανές ότι αυτός ο «σωλήνας» θα «χαράξει» από το αεροπλάνο μας έλλειψη, με αποτέλεσμα ένα μέγιστο στην κορυφή και ένα ελάχιστο στο κάτω. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση που ορίζει το επίπεδο φτάνει στα άκρα υπό όρουςότι διασταυρώθηκε από τον δεδομένο κυκλικό κύλινδρο. Αυτό "προβλέπεται"! Ένας άλλος ελλειπτικός κύλινδρος που διασχίζει αυτό το επίπεδο σχεδόν σίγουρα θα παράγει διαφορετικό ελάχιστο και μέγιστο.

Εάν δεν είναι πολύ σαφές, τότε η κατάσταση μπορεί να προσομοιωθεί ρεαλιστικά (αλλά με αντίστροφη σειρά): πάρτε ένα τσεκούρι, βγείτε έξω και κόψτε ... όχι, η Greenpeace δεν θα σας συγχωρήσει αργότερα - είναι καλύτερα να κόψετε τον αγωγό αποχέτευσης με ένα "μύλο" =). Το υπό όρους ελάχιστο και υπό όρους μέγιστο θα εξαρτηθούν από ποιο ύψος και κάτω από ποιο (μη οριζόντια)κομμένο υπό γωνία.

Ήρθε η ώρα να βάλουμε τους υπολογισμούς με μαθηματική ενδυμασία. Σκεφτείτε ελλειπτικό παραβολοειδές, που έχει απόλυτο ελάχιστοστο σημείο. Τώρα ας βρούμε το άκρο υπό όρους. Αυτό επίπεδοπαράλληλα με τον άξονα, που σημαίνει ότι "κόβει" από το παραβολοειδές παραβολή. Η κορυφή αυτής της παραβολής θα είναι το ελάχιστο υπό όρους. Επιπλέον, το αεροπλάνο δεν διέρχεται από την προέλευση, επομένως, το σημείο θα παραμείνει εκτός λειτουργίας. Δεν υποβάλατε φωτογραφία; Πάμε στους συνδέσμους! Θα χρειαστούν πολλές, πολλές ακόμη φορές.

Ερώτηση: πώς να βρείτε αυτό το ακραίο υπό όρους; Ο απλούστερος τρόπος για να το λύσετε είναι να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση (η οποία ονομάζεται - κατάστασηή εξίσωση σύνδεσης) εκφράστε, για παράδειγμα: - και αντικαταστήστε το στη συνάρτηση:

Ως αποτέλεσμα, προκύπτει μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, η οποία ορίζει μια παραβολή, η κορυφή της οποίας «υπολογίζεται» με κλειστά μάτια. Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

- κρίσιμο σημείο.

Στη συνέχεια, είναι πιο εύκολο στη χρήση δεύτερη επαρκής ακραία κατάσταση:

Συγκεκριμένα: , άρα η συνάρτηση φτάνει στο ελάχιστο της στο σημείο . Μπορεί να υπολογιστεί άμεσα: , αλλά θα πάμε με πιο ακαδημαϊκό τρόπο. Ας βρούμε τη συντεταγμένη "παιχνίδι":
,

Ας γράψουμε το υπό όρους ελάχιστο σημείο, βεβαιωθείτε ότι βρίσκεται πραγματικά στο επίπεδο (ικανοποιεί την εξίσωση περιορισμού):

και να υπολογίσετε το ελάχιστο υπό όρους της συνάρτησης:
υπό όρους (απαιτείται "πρόσθετο"!!!).

Η θεωρούμενη μέθοδος χωρίς αμφιβολία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πράξη, ωστόσο, έχει μια σειρά από μειονεκτήματα. Πρώτον, η γεωμετρία του προβλήματος απέχει πολύ από το να είναι πάντα σαφής, και δεύτερον, είναι συχνά ασύμφορο να εκφράσουμε "x" ή "y" από την εξίσωση της επικοινωνίας (αν υπάρχει η ευκαιρία να εκφράσω κάτι). Και τώρα θα εξετάσουμε μια καθολική μέθοδο για την εύρεση ακραίων υπό όρους, που ονομάζεται Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης για την καθορισμένη εξίσωση σύνδεσης για τα ορίσματα.

Αναγνωρίζετε επιφάνειες; ;-) …Χαίρομαι που βλέπω τα χαρούμενα πρόσωπά σας =)

Παρεμπιπτόντως, από τη διατύπωση αυτού του προβλήματος γίνεται σαφές γιατί ονομάζεται η κατάσταση εξίσωση σύνδεσης- ορίσματα συνάρτησης συνδεδεμένοςπρόσθετη προϋπόθεση, δηλαδή τα ακραία σημεία που βρίσκονται πρέπει απαραίτητα να ανήκουν σε κυκλικό κύλινδρο.

Λύση: στο πρώτο βήμα, πρέπει να αναπαραστήσετε την εξίσωση περιορισμού στη φόρμα και να συνθέσετε Λειτουργία Lagrange:
, όπου βρίσκεται ο λεγόμενος πολλαπλασιαστής Lagrange.

Στην περίπτωσή μας και:

Ο αλγόριθμος για την εύρεση των ακραίων υπό όρους είναι πολύ παρόμοιος με το σχήμα για την εύρεση του "συνηθισμένου" άκρα. Ας βρούμε μερικώς παράγωγαΣυναρτήσεις Lagrange, ενώ το "λάμδα" θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως σταθερά:

Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το ακόλουθο σύστημα:

Η μπάλα ξεμπερδεύεται με τον τυπικό τρόπο:
από την πρώτη εξίσωση που εκφράζουμε ;
από τη δεύτερη εξίσωση που εκφράζουμε .

Αντικαταστήστε την εξίσωση επικοινωνίας και πραγματοποιήστε απλοποιήσεις:

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο ακίνητα σημεία. Αν τότε:

αν τότε:

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες και των δύο σημείων ικανοποιούν την εξίσωση . Οι σχολαστικοί άνθρωποι μπορούν επίσης να εκτελέσουν έναν πλήρη έλεγχο: για αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε στην πρώτη και στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος και μετά κάντε το ίδιο με το σύνολο . Όλα πρέπει να ταιριάζουν μεταξύ τους.

Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της επαρκούς ακραίας συνθήκης για τα ευρεθέντα ακίνητα σημεία. Θα εξετάσω τρεις προσεγγίσεις για την επίλυση αυτού του ζητήματος:

1) Ο πρώτος τρόπος είναι μια γεωμετρική αιτιολόγηση.

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε σταθερά σημεία:

Στη συνέχεια, γράφουμε μια φράση με περίπου το ακόλουθο περιεχόμενο: το τμήμα του επιπέδου από έναν κυκλικό κύλινδρο είναι μια έλλειψη, στην κορυφή της οποίας επιτυγχάνεται το μέγιστο και στο κάτω μέρος - το ελάχιστο. Έτσι, μια μεγαλύτερη τιμή είναι ένα μέγιστο υπό όρους και μια μικρότερη είναι ένα ελάχιστο υπό όρους.

Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη συγκεκριμένη μέθοδο - είναι απλή και οι δάσκαλοι υπολογίζουν αυτήν τη λύση. (ένα μεγάλο πλεονέκτημα είναι ότι δείξατε κατανόηση της γεωμετρικής σημασίας του προβλήματος). Ωστόσο, όπως ήδη σημειώθηκε, δεν είναι πάντα σαφές τι διασταυρώνεται με τι και πού, και στη συνέχεια ένας αναλυτικός έλεγχος έρχεται στη διάσωση:

2) Η δεύτερη μέθοδος βασίζεται στη χρήση διαφορικών σημάτων δεύτερης τάξης. Εάν αποδειχθεί ότι σε ένα ακίνητο σημείο , τότε η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο εκεί, αλλά αν - τότε ένα ελάχιστο.

Ας βρούμε επί μέρους παράγωγα δεύτερης τάξης:

και δημιουργήστε αυτό το διαφορικό:

Για , σημαίνει ότι η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο στο σημείο ?
για , τότε η συνάρτηση φτάνει στο ελάχιστο στο σημείο .

Η εξεταζόμενη μέθοδος είναι πολύ καλή, αλλά έχει το μειονέκτημα ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σχεδόν αδύνατο να προσδιοριστεί το πρόσημο του 2ου διαφορικού (συνήθως αυτό συμβαίνει εάν και/ή έχουν διαφορετικά σημεία). Και τότε το "βαρύ πυροβολικό" έρχεται στη διάσωση:

3) Διαφοροποιήστε ως προς το "x" και για το "y" την εξίσωση σύνδεσης:

και κάντε το εξής συμμετρικός μήτρα:

Εάν βρίσκεται σε ακίνητο σημείο, τότε η συνάρτηση φτάνει εκεί ( Προσοχή!) ελάχιστο, αν – τότε μέγιστο.

Ας γράψουμε έναν πίνακα για την τιμή και το αντίστοιχο σημείο:

Ας το υπολογίσουμε καθοριστικός:
, άρα η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο .

Ομοίως για την τιμή και το σημείο:

Έτσι, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο στο σημείο .

Απάντηση: υπό τον όρο :

Μετά από μια λεπτομερή ανάλυση του υλικού, δεν μπορώ παρά να σας προσφέρω μερικές τυπικές εργασίες για αυτοεξέταση:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης εάν τα ορίσματά της σχετίζονται με την εξίσωση

Παράδειγμα 3

Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης υπό την συνθήκη

Και πάλι, συνιστώ ανεπιφύλακτα την κατανόηση της γεωμετρικής ουσίας των εργασιών, ειδικά για το τελευταίο παράδειγμα, όπου η αναλυτική επαλήθευση μιας επαρκής συνθήκης δεν είναι δώρο. Θυμηθείτε ποια γραμμή 2ης παραγγελίαςθέτει την εξίσωση και τι επιφάνειααυτή η γραμμή δημιουργεί στο διάστημα. Αναλύστε σε ποια καμπύλη ο κύλινδρος θα τέμνει το επίπεδο και πού σε αυτήν την καμπύλη θα υπάρχει ένα ελάχιστο και πού θα υπάρχει ένα μέγιστο.

Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Το υπό εξέταση πρόβλημα χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς, ιδίως - δεν θα πάμε μακριά, στη γεωμετρία. Ας λύσουμε το αγαπημένο πρόβλημα όλων για το μισό λίτρο (βλ. Παράδειγμα 7 του άρθρουΑκραία καθήκοντα ) δεύτερος τρόπος:

Παράδειγμα 4

Ποιες θα πρέπει να είναι οι διαστάσεις ενός κυλινδρικού κουτιού από κασσίτερο ώστε να χρησιμοποιείται η ελάχιστη ποσότητα υλικού για την κατασκευή του κουτιού, εάν ο όγκος του κουτιού είναι ίσος με

Λύση: θεωρήστε μια μεταβλητή ακτίνα βάσης, ένα μεταβλητό ύψος και συνθέστε μια συνάρτηση του εμβαδού της πλήρους επιφάνειας του δοχείου:
(εμβαδόν δύο καλυμμάτων + πλευρική επιφάνεια)

Όνομα παραμέτρου	Εννοια
Θέμα άρθρου:	Μέθοδος Lagrange.
Ρουμπρίκα (θεματική κατηγορία)	Μαθηματικά

Για να βρείτε ένα πολυώνυμο σημαίνει να προσδιορίσετε τις τιμές του συντελεστή του . Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τη συνθήκη παρεμβολής, μπορείτε να σχηματίσετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE).

Η ορίζουσα αυτού του SLAE συνήθως ονομάζεται ορίζουσα Vandermonde. Η ορίζουσα Vandermonde δεν είναι ίση με μηδέν όταν για , δηλαδή στην περίπτωση που δεν υπάρχουν κόμβοι που να ταιριάζουν στον πίνακα αναζήτησης. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το SLAE έχει μια λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Επίλυση του SLAE και προσδιορισμός των άγνωστων συντελεστών μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα πολυώνυμο παρεμβολής.

Ένα πολυώνυμο που ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, όταν παρεμβάλλεται με τη μέθοδο Lagrange, κατασκευάζεται ως γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων n ου βαθμού:

Τα πολυώνυμα ονομάζονται βασικόςπολυώνυμα. Προς την Πολυώνυμο Lagrangeικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, είναι εξαιρετικά σημαντικό να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες για τα βασικά του πολυώνυμα:

Για .

Εάν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, τότε για οποιαδήποτε έχουμε:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, η εκπλήρωση των δεδομένων συνθηκών για τα βασικά πολυώνυμα σημαίνει ότι ικανοποιούνται και οι συνθήκες παρεμβολής.

Ας προσδιορίσουμε τη μορφή των βασικών πολυωνύμων με βάση τους περιορισμούς που τους επιβάλλονται.

1η προϋπόθεση:στο .

2η προϋπόθεση: .

Τέλος, για το βασικό πολυώνυμο, μπορούμε να γράψουμε:

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα έκφραση για τα βασικά πολυώνυμα στο αρχικό πολυώνυμο, λαμβάνουμε την τελική μορφή του πολυωνύμου Lagrange:

Μια συγκεκριμένη μορφή του πολυωνύμου Lagrange at ονομάζεται συνήθως τύπος γραμμικής παρεμβολής:

.

Το πολυώνυμο Lagrange που λαμβάνεται συνήθως ονομάζεται τύπος τετραγωνικής παρεμβολής:

Μέθοδος Lagrange. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Μέθοδος Lagrange." 2017, 2018.

- Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετης σταθεράς).

Γραμμικά τηλεχειριστήρια. Ορισμός. έλεγχος τύπου δηλ. γραμμική ως προς την άγνωστη συνάρτηση και η παράγωγός της ονομάζεται γραμμική. Για μια λύση αυτού του τύπου, η ur-th εξετάστε δύο μεθόδους: τη μέθοδο Lagrange και τη μέθοδο Bernoulli. Ας εξετάσουμε μια ομοιογενή DE.

- Γραμμικό τηλεχειριστήριο, ομοιογενές και ετερογενές. Η έννοια της γενικής λύσης. Η μέθοδος του Lagrange για τη μεταβολή των γινομένων σταθερών.

Ορισμός. Το DU ονομάζεται ομοιογενές εάν το f-i μπορεί να αναπαρασταθεί ως f-i σε σχέση με τα ορίσματά τους Παράδειγμα. Η F-th ονομάζεται ομοιογενής f-th μέτρηση εάν Παραδείγματα: 1) - 1η τάξη ομοιογένειας. 2) - 2η τάξη ομοιογένειας. 3) - μηδενική τάξη ομοιογένειας (απλώς ομοιογενής... .

- Διάλεξη 8. Εφαρμογή μερικών παραγώγων: εργασίες για ακραία. Μέθοδος Lagrange.

Τα ακραία καθήκοντα έχουν μεγάλη σημασία στους οικονομικούς υπολογισμούς. Αυτός είναι ο υπολογισμός, για παράδειγμα, του μέγιστου εισοδήματος, του κέρδους, του ελάχιστου κόστους, ανάλογα με διάφορες μεταβλητές: πόρους, περιουσιακά στοιχεία παραγωγής κ.λπ. Η θεωρία της εύρεσης ακραίων συναρτήσεων... .

- Τ.2.3. ΔΕ ανώτερων τάξεων. Εξίσωση σε ολικά διαφορικά. Τ.2.4. Γραμμική ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος Lagrange.

3. 2. 1. DE με διαχωρίσιμες μεταβλητές S.R. 3. Στις φυσικές επιστήμες, την τεχνολογία και τα οικονομικά, συχνά πρέπει να ασχοληθεί κανείς με εμπειρικούς τύπους, δηλ. τύπους που καταρτίζονται με βάση την επεξεργασία στατιστικών δεδομένων ή ...

Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:
(1) .
Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:

• μέθοδος σταθερής μεταβολής (Lagrange).

Θεωρήστε τη λύση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange.

Μέθοδος σταθερής μεταβολής (Lagrange)

Στη μέθοδο σταθερής μεταβολής, λύνουμε την εξίσωση σε δύο βήματα. Στο πρώτο στάδιο, απλοποιούμε την αρχική εξίσωση και λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση. Στο δεύτερο στάδιο, θα αντικαταστήσουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης που προκύπτει στο πρώτο στάδιο της λύσης με μια συνάρτηση. Στη συνέχεια αναζητούμε τη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης.

Θεωρήστε την εξίσωση:
(1)

Βήμα 1 Λύση της ομογενούς εξίσωσης

Αναζητούμε λύση στην ομοιογενή εξίσωση:

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση

Διαχωρίστε τις μεταβλητές - πολλαπλασιάστε με dx, διαιρέστε με y:

Ενσωματώνουμε:

Ολοκληρωμένο πάνω από y - πίνακας:

Επειτα

Ενισχύστε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε το πρόσημο του συντελεστή, το οποίο μειώνεται σε πολλαπλασιασμό με τη σταθερά ±1, που συμπεριλαμβάνουμε στο C:

Βήμα 2 Αντικαταστήστε τη σταθερά C με τη συνάρτηση

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση x:
c → u (Χ)
Δηλαδή, θα αναζητήσουμε λύση στην αρχική εξίσωση (1) όπως και:
(2)
Βρίσκουμε την παράγωγο.

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

.
Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση (1) :
(1) ;

.
Δύο όροι μειώνονται:
;
.
Ενσωματώνουμε:
.
Αντικατάσταση σε (2) :
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τη γενική λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης:
.

Παράδειγμα επίλυσης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange

λύσει την εξίσωση

Λύση

Λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση:

Διαχωρισμός μεταβλητών:

Ας πολλαπλασιάσουμε με:

Ενσωματώνουμε:

Ολοκληρώματα πίνακα:

Ενισχύστε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε τα πρόσημα του συντελεστή:

Από εδώ:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση x:
c → u (Χ)

Βρίσκουμε την παράγωγο:
.
Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση:
;
;
Ή:
;
.
Ενσωματώνουμε:
;
Λύση εξίσωσης:
.