Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Αμοιβαία διάταξη γραμμών

Έστω κάποια ευθεία που δίνεται από μια γραμμική εξίσωση και ένα σημείο που δίνεται από τις συντεταγμένες της (x0, y0) και δεν βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία. Απαιτείται να βρεθεί ένα σημείο που θα ήταν συμμετρικό σε ένα δεδομένο σημείο σε σχέση με μια δεδομένη ευθεία γραμμή, δηλαδή θα συμπίπτει με αυτό, εάν το επίπεδο κάμπτεται νοερά στο μισό κατά μήκος αυτής της ευθείας.

Εντολή

1. Είναι σαφές ότι και τα δύο σημεία - δεδομένο και επιθυμητό - πρέπει να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και αυτή η γραμμή πρέπει να είναι κάθετη στη δεδομένη. Έτσι, το πρώτο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η εξίσωση μιας ευθείας που θα είναι κάθετη σε κάποια δεδομένη ευθεία και ταυτόχρονα θα διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.

2. Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους. Η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μοιάζει με αυτό: Ax + By + C = 0, όπου τα A, B και C είναι σταθερές. Επίσης, μια ευθεία γραμμή μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας μια γραμμική συνάρτηση: y \u003d kx + b, όπου k είναι ο γωνιακός εκθέτης, b είναι η μετατόπιση. Αυτές οι δύο μέθοδοι είναι εναλλάξιμες και επιτρέπεται η μετακίνηση από τη μία στην άλλη. Αν Ax + By + C = 0, τότε y = – (Ax + C)/B. Με άλλα λόγια, σε μια γραμμική συνάρτηση y = kx + b, ο γωνιακός εκθέτης k = -A/B, και η μετατόπιση b = -C/B. Για τη συγκεκριμένη εργασία, είναι πιο άνετο να συλλογιστούμε με βάση την κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

3. Εάν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους και η εξίσωση της πρώτης γραμμής είναι Ax + By + C = 0, τότε η εξίσωση της 2ης ευθείας θα πρέπει να είναι Bx - Ay + D = 0, όπου D είναι μια σταθερά. Για να βρεθεί μια ορισμένη τιμή του D, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε επιπλέον από ποιο σημείο διέρχεται η κάθετη ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό είναι το σημείο (x0, y0) Κατά συνέπεια, το D πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα: Bx0 – Ay0 + D = 0, δηλαδή D = Ay0 – Bx0.

4. Αργότερα, αφού βρεθεί η κάθετη ευθεία, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της με τη δεδομένη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Η λύση του θα δώσει τους αριθμούς (x1, y1) που χρησιμεύουν ως συντεταγμένες του σημείο τομής των γραμμών.

5. Το επιθυμητό σημείο πρέπει να βρίσκεται στην ευθεία που ανιχνεύεται και η απόστασή του από το σημείο τομής πρέπει να είναι ίση με την απόσταση από το σημείο τομής στο σημείο (x0, y0). Οι συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο (x0, y0) μπορούν λοιπόν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Αλλά ας το κάνουμε πιο εύκολο. Αν τα σημεία (x0, y0) και (x, y) βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από το σημείο (x1, y1), και τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0 Κατά συνέπεια, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στη δεύτερη εξίσωση του πρώτου συστήματος και απλοποιώντας τις εκφράσεις, είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι η δεξιά πλευρά του γίνεται ίδια με την αριστερή πλευρά. Επιπλέον, δεν έχει νόημα να εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση πιο προσεκτικά, επειδή είναι γνωστό ότι τα σημεία (x0, y0) και (x1, y1) την ικανοποιούν και το σημείο (x, y) βρίσκεται σίγουρα στην ίδια ευθεία. .

Διατύπωση του προβλήματος. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς ένα σημείο σε σχέση με το αεροπλάνο.

Σχέδιο λύσης.

1. Βρίσκουμε την εξίσωση μιας ευθείας που είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο . Εφόσον η ευθεία είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο, τότε το διάνυσμα της κανονικής του επιπέδου μπορεί να ληφθεί ως διάνυσμα κατεύθυνσής του, δηλ.

.

Επομένως, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής θα είναι

.

2. Βρείτε ένα σημείο διασταύρωση γραμμής και αεροπλάνα (βλ. Πρόβλημα 13).

3. Σημείο είναι το μέσο του τμήματος, όπου το σημείο είναι ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο , να γιατί

Εργασία 14. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σε ένα σημείο ως προς το επίπεδο.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο θα είναι:

.

Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου.

Οπου - το σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου είναι το μέσο του τμήματος, επομένως

Εκείνοι. .

Συντεταγμένες ομοιογενούς επιπέδου. Affine μετασχηματισμοί στο αεροπλάνο.

Αφήνω Μ Χκαι στο

Μ(Χ, στοΜου (Χ, στο, 1) στο διάστημα (Εικ. 8).

Μου (Χ, στο

Μου (Χ, στο hu.

(hx, hy, h), h  0,

Σχόλιο

η(για παράδειγμα, η

Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη η

Σχόλιο

Παράδειγμα 1

σι) στη γωνία (Εικ. 9).

1ο βήμα.

2ο βήμα.Περιστροφή γωνίας 

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

3ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα A(a, σι)

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

Παράδειγμα 3

 κατά μήκος του άξονα x και

1ο βήμα.

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.

3ο βήμα.

επιτέλους να πάρει

Σχόλιο

[R], [D], [M], [T],

Αφήνω Μ- αυθαίρετο σημείο του επιπέδου με συντεταγμένες Χκαι στουπολογίζεται σε σχέση με ένα δεδομένο ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Οι ομοιογενείς συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι οποιοδήποτε τριπλό ταυτόχρονα μη μηδενικών αριθμών x 1, x 2, x 3, που συνδέονται με τους δεδομένους αριθμούς x και y με τις ακόλουθες σχέσεις:

Κατά την επίλυση προβλημάτων γραφικών υπολογιστή, συνήθως εισάγονται ομοιογενείς συντεταγμένες ως εξής: ένα αυθαίρετο σημείο Μ(Χ, στο) το επίπεδο έχει ένα σημείο Μου (Χ, στο, 1) στο διάστημα (Εικ. 8).

Σημειώστε ότι ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή που συνδέει την αρχή, το σημείο 0(0, 0, 0), με το σημείο Μου (Χ, στο, 1) μπορεί να δοθεί από ένα τριπλό αριθμών της μορφής (hx, hy, h).

Το διάνυσμα με συντεταγμένες hx, hy είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας που συνδέει τα σημεία 0 (0, 0, 0) και Μου (Χ, στο, ένας). Αυτή η ευθεία τέμνει το επίπεδο z = 1 στο σημείο (x, y, 1), το οποίο καθορίζει μοναδικά το σημείο (x, y) του επιπέδου συντεταγμένων hu.

Έτσι, μεταξύ ενός αυθαίρετου σημείου με συντεταγμένες (x, y) και ενός συνόλου τριπλών αριθμών της μορφής

(hx, hy, h), h  0,

καθιερώνεται μια (ένα προς ένα) αντιστοιχία, η οποία μας επιτρέπει να θεωρήσουμε τους αριθμούς hx, hy, h ως νέες συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Σχόλιο

Οι ομοιογενείς συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται ευρέως στην προβολική γεωμετρία καθιστούν δυνατή την αποτελεσματική περιγραφή των λεγόμενων ακατάλληλων στοιχείων (ουσιαστικά, εκείνα στα οποία το προβολικό επίπεδο διαφέρει από το ευκλείδειο επίπεδο που είναι γνωστό σε εμάς). Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τα νέα χαρακτηριστικά που παρέχονται από τις εισαγόμενες ομοιογενείς συντεταγμένες συζητούνται στην τέταρτη ενότητα αυτού του κεφαλαίου.

Στην προβολική γεωμετρία, για ομοιογενείς συντεταγμένες, γίνεται αποδεκτός ο ακόλουθος συμβολισμός:

x: y: 1, ή, γενικότερα, x 1: x 2: x 3

(θυμηθείτε ότι εδώ είναι απολύτως απαραίτητο να μην εξαφανίζονται ταυτόχρονα οι αριθμοί x 1, x 2, x 3).

Η χρήση ομοιογενών συντεταγμένων αποδεικνύεται βολική ακόμη και όταν επιλύονται τα πιο απλά προβλήματα.

Εξετάστε, για παράδειγμα, ζητήματα που σχετίζονται με την κλιμάκωση. Εάν η συσκευή προβολής λειτουργεί μόνο με ακέραιους αριθμούς (ή εάν είναι απαραίτητο να εργαστείτε μόνο με ακέραιους αριθμούς), τότε για μια αυθαίρετη τιμή η(για παράδειγμα, η= 1) ένα σημείο με ομοιογενείς συντεταγμένες

δεν μπορεί να φανταστεί κανείς. Ωστόσο, με μια λογική επιλογή του h, είναι δυνατό να διασφαλιστεί ότι οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι ακέραιοι. Συγκεκριμένα, για h = 10, για το υπό εξέταση παράδειγμα, έχουμε

Ας δούμε μια άλλη περίπτωση. Για να μην οδηγήσουν τα αποτελέσματα του μετασχηματισμού σε αριθμητική υπερχείλιση, για ένα σημείο με συντεταγμένες (80000 40000 1000) μπορείτε να πάρετε, για παράδειγμα, h=0,001. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε (80 40 1).

Τα παραδείγματα που δίνονται δείχνουν τη χρησιμότητα της χρήσης ομοιογενών συντεταγμένων στους υπολογισμούς. Ωστόσο, ο κύριος σκοπός της εισαγωγής ομοιογενών συντεταγμένων στα γραφικά υπολογιστών είναι η αναμφισβήτητη ευκολία τους στην εφαρμογή σε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς.

Με τη βοήθεια τριπλών ομοιογενών συντεταγμένων και πινάκων τρίτης τάξης, μπορεί να περιγραφεί οποιοσδήποτε συγγενικός μετασχηματισμός του επιπέδου.

Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη η= 1, συγκρίνετε δύο εγγραφές: σημειώνονται με * και τον ακόλουθο πίνακα:

Είναι εύκολο να δούμε ότι μετά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων στη δεξιά πλευρά της τελευταίας σχέσης, παίρνουμε και τους δύο τύπους (*) και τη σωστή αριθμητική ισότητα 1=1.

Σχόλιο

Μερικές φορές στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται μια άλλη σημειογραφία - μια σημειογραφία ανά στήλες:

Αυτή η σημείωση είναι ισοδύναμη με την παραπάνω σημειογραφία (και λαμβάνεται από αυτήν με μεταφορά).

Τα στοιχεία μιας αυθαίρετης μήτρας ενός συγγενικού μετασχηματισμού δεν φέρουν ρητή γεωμετρική σημασία. Επομένως, για να υλοποιηθεί μια συγκεκριμένη χαρτογράφηση, δηλαδή να βρεθούν τα στοιχεία της αντίστοιχης μήτρας σύμφωνα με μια δεδομένη γεωμετρική περιγραφή, χρειάζονται ειδικές τεχνικές. Συνήθως, η κατασκευή αυτής της μήτρας, σύμφωνα με την πολυπλοκότητα του προβλήματος που εξετάζεται και με τις συγκεκριμένες περιπτώσεις που περιγράφονται παραπάνω, χωρίζεται σε διάφορα στάδια.

Σε κάθε στάδιο, αναζητείται ένας πίνακας που αντιστοιχεί σε μία ή την άλλη από τις παραπάνω περιπτώσεις A, B, C ή D, οι οποίες έχουν καλά καθορισμένες γεωμετρικές ιδιότητες.

Ας γράψουμε τους αντίστοιχους πίνακες τρίτης τάξης.

Α. Πίνακας περιστροφής, (περιστροφή)

Β. Μήτρα διαστολής

B. Reflection Matrix

D. Transfer Matrix (μετάφραση)

Εξετάστε παραδείγματα συγγενικών μετασχηματισμών του επιπέδου.

Παράδειγμα 1

Δημιουργήστε έναν πίνακα περιστροφής γύρω από το σημείο Α (α,σι) στη γωνία (Εικ. 9).

1ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα - A (-a, -b) για να ευθυγραμμιστεί το κέντρο περιστροφής με την αρχή.

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.Περιστροφή γωνίας 

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

3ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα A(a, σι)να επαναφέρει το κέντρο περιστροφής στην προηγούμενη θέση του.

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

Πολλαπλασιάζουμε τους πίνακες με την ίδια σειρά που γράφονται:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ότι ο επιθυμητός μετασχηματισμός (σε σημειογραφία μήτρας) θα μοιάζει με αυτό:

Τα στοιχεία του προκύπτοντος πίνακα (ειδικά στην τελευταία σειρά) δεν είναι εύκολο να θυμηθούν. Ταυτόχρονα, καθένας από τους τρεις πολλαπλασιαζόμενους πίνακες μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί από τη γεωμετρική περιγραφή της αντίστοιχης χαρτογράφησης.

Παράδειγμα 3

Δημιουργήστε Stretch Matrix με Stretch Factors κατά μήκος του άξονα x και κατά μήκος του άξονα y και με κέντρο στο σημείο Α(α, β).

1ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα -А(-а, -b) για να ταιριάζει το κέντρο τάνυσης με την αρχή.

τον πίνακα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.Τέντωμα κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων με συντελεστές  και , αντίστοιχα. ο πίνακας μετασχηματισμού έχει τη μορφή

3ο βήμα.Μεταφέρετε στο διάνυσμα A(a, b) για να επιστρέψετε το κέντρο τάνυσης στην προηγούμενη θέση του. ο πίνακας του αντίστοιχου μετασχηματισμού είναι

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες με την ίδια σειρά

επιτέλους να πάρει

Σχόλιο

Επιχείρημα με παρόμοιο τρόπο, δηλαδή σπάσιμο του προτεινόμενου μετασχηματισμού σε στάδια που υποστηρίζονται από πίνακες[R], [D], [M], [T], μπορεί κανείς να κατασκευάσει τον πίνακα οποιουδήποτε συγγενικού μετασχηματισμού από τη γεωμετρική του περιγραφή.

Η μετατόπιση υλοποιείται με πρόσθεση και η κλιμάκωση και η περιστροφή με πολλαπλασιασμό.

Μετασχηματισμός κλίμακας (διαστολή) σε σχέση με την προέλευση έχει τη μορφή:

ή σε μορφή μήτρας:

όπου ρεΧ,ρεyείναι οι παράγοντες κλιμάκωσης κατά μήκος των αξόνων, και

- μήτρα κλιμάκωσης.

Για D > 1, εμφανίζεται επέκταση, για 0<=D<1- сжатие

Περιστροφή μετασχηματισμού σε σχέση με την προέλευση έχει τη μορφή:

ή σε μορφή μήτρας:

όπου φ είναι η γωνία περιστροφής, και

- μήτρα περιστροφής.

Σχόλιο:Οι στήλες και οι σειρές του πίνακα περιστροφής είναι αμοιβαία ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα. Πράγματι, τα τετράγωνα των μηκών των διανυσμάτων σειρών είναι ίσα με ένα:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 και (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων σειρών είναι

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Δεδομένου ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ΕΝΑ · σι = |ΕΝΑ| ·| σι| ·cosψ, όπου | ΕΝΑ| - διανυσματικό μήκος ΕΝΑ, |σι| - διανυσματικό μήκος σι, και ψ είναι η μικρότερη θετική γωνία μεταξύ τους, τότε από την ισότητα 0 του βαθμωτού γινομένου δύο διανυσμάτων σειρών μήκους 1 προκύπτει ότι η μεταξύ τους γωνία είναι 90 ° .

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : θυμηθείτε το μαθηματικό πρόσημο της διασταύρωσης , θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Με αυτόν τον τρόπο,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός την ικανοποιεί γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι για μια ανεξάρτητη λύση, είναι καλύτερο να βάλετε ένα ακόμη σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού του απλούστερου έργου, το Αηδόνι ο Ληστής τιμωρεί αυστηρά.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν ελάχιστα ενδιαφέρει, οπότε ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό από το σχολικό πρόγραμμα:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική έννοια ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Ο γραφικός τρόπος είναι να σχεδιάσετε απλώς τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Η εργασία μπορεί εύκολα να χωριστεί σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του σεμιναρίου:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε συνηθισμένα κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να επιτευχθεί ένα αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές που δίνονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις ευθείες γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Μια ευθεία στο χώρο μπορεί πάντα να οριστεί ως μια γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων. Αν η εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωση του δεύτερου επιπέδου, τότε η εξίσωση της ευθείας δίνεται ως

εδώ μη γραμμικό
. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσεις ευθεία γραμμή στο χώρο.

Κανονικές εξισώσεις ευθείας

Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ή είναι παράλληλο σε αυτήν ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Αν το σημείο είναι γνωστό
γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσής της
, τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή:

. (9)

Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας γραμμής

Ας δοθούν οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας

.

Από εδώ, παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

(10)

Αυτές οι εξισώσεις είναι χρήσιμες για την εύρεση του σημείου τομής μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία
και
μοιάζει με:

.

Γωνία μεταξύ των γραμμών

Γωνία μεταξύ των γραμμών

και

είναι ίση με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο (4):

Κατάσταση παράλληλων ευθειών:

.

Συνθήκη της καθετότητας των επιπέδων:

Απόσταση σημείου από ευθεία

Π δεδομένο σημείο
και άμεση

.

Από τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας, το σημείο είναι γνωστό
, που ανήκει στη γραμμή, και το διάνυσμα κατεύθυνσής της
. Στη συνέχεια η απόσταση του σημείου
από μια ευθεία γραμμή ισούται με το ύψος ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και
. Συνεπώς,

.

Συνθήκη τομής γραμμής

Δύο μη παράλληλες ευθείες

,

τέμνονται αν και μόνο αν

.

Αμοιβαία διάταξη ευθείας γραμμής και επιπέδου.

Αφήστε την ευθεία γραμμή
και επίπεδη. Γωνία μεταξύ τους μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

.

Πρόβλημα 73.Γράψτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας

(11)

Λύση. Για να καταγράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας (9), είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στην ευθεία και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Ας βρούμε το διάνυσμα παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία. Εφόσον πρέπει να είναι κάθετο στα κανονικά διανύσματα αυτών των επιπέδων, δηλ.

,
, έπειτα

.

Από τις γενικές εξισώσεις της ευθείας έχουμε ότι
,
. Επειτα

.

Από το σημείο
οποιοδήποτε σημείο της ευθείας, τότε οι συντεταγμένες της πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις της ευθείας, και μία από αυτές μπορεί να καθοριστεί, για παράδειγμα,
, βρίσκουμε τις άλλες δύο συντεταγμένες από το σύστημα (11):

Από εδώ,
.

Έτσι, οι κανονικές εξισώσεις της επιθυμητής γραμμής έχουν τη μορφή:

ή
.

Πρόβλημα 74.

και
.

Λύση.Από τις κανονικές εξισώσεις της πρώτης γραμμής είναι γνωστές οι συντεταγμένες του σημείου
που ανήκουν στη γραμμή, και τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης
. Από τις κανονικές εξισώσεις της δεύτερης ευθείας είναι γνωστές και οι συντεταγμένες του σημείου
και συντεταγμένες διανυσμάτων κατεύθυνσης
.

Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών είναι ίση με την απόσταση ενός σημείου
από τη δεύτερη γραμμή. Αυτή η απόσταση υπολογίζεται από τον τύπο

.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος
.

Υπολογίστε το διανυσματικό γινόμενο
:

.

Πρόβλημα 75.Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο
σχετικά ευθεία

.

Λύση. Γράφουμε την εξίσωση του επιπέδου που είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία και διέρχεται από το σημείο . Ως το κανονικό του διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το κατευθυντικό διάνυσμα ως ευθεία γραμμή. Επειτα
. Συνεπώς,

Ας βρούμε ένα σημείο
το σημείο τομής της δεδομένης ευθείας και του επιπέδου P. Για να γίνει αυτό, γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (10), λαμβάνουμε

Συνεπώς,
.

Αφήνω
σημείο συμμετρικό προς το σημείο
σχετικά με αυτή τη γραμμή. Μετά το σημείο
μεσαίο σημείο
. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου χρησιμοποιούμε τους τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

,
,
.

Ετσι,
.

Πρόβλημα 76.Γράψτε την εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ευθεία γραμμή
και

α) μέσω μιας τελείας
;

β) κάθετα στο επίπεδο.

Λύση.Ας γράψουμε τις γενικές εξισώσεις αυτής της ευθείας. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε δύο ισότητες:

Αυτό σημαίνει ότι το επιθυμητό επίπεδο ανήκει σε ένα μολύβι επιπέδων με γεννήτριες και η εξίσωσή του μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (8):

α) βρείτε
και από την προϋπόθεση ότι το αεροπλάνο διέρχεται από το σημείο
, επομένως, οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου. Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου
στην εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων:

Βρέθηκε τιμή
αντικαθιστούμε στην εξίσωση (12). παίρνουμε την εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου:

β) βρείτε
και από την προϋπόθεση ότι το επιθυμητό επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο. Το κανονικό διάνυσμα ενός δεδομένου επιπέδου
, το κανονικό διάνυσμα του επιθυμητού επιπέδου (δείτε την εξίσωση για μια δέσμη επιπέδων (12).

Δύο διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν. Συνεπώς,

Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε
στην εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων (12). Λαμβάνουμε την εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου:

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Πρόβλημα 77.Φέρτε στην κανονική μορφή τις εξισώσεις των ευθειών:

1)
2)

Πρόβλημα 78.Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας
, αν:

1)
,
; 2)
,
.

Πρόβλημα 79. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο
κάθετη στη γραμμή

Πρόβλημα 80.Να γράψετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο
κάθετο στο επίπεδο.

Πρόβλημα 81.Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών:

1)
και
;

2)
και

Πρόβλημα 82.Αποδείξτε παράλληλες ευθείες:

και
.

Πρόβλημα 83.Να αποδείξετε την καθετότητα των γραμμών:

και

Πρόβλημα 84.Υπολογίστε την απόσταση των σημείων
από ευθεία:

1)
; 2)
.

Πρόβλημα 85.Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειών:

και
.

Πρόβλημα 86. Σε ευθύγραμμες εξισώσεις
ορίστε την παράμετρο ώστε αυτή η ευθεία να τέμνεται με την ευθεία και να βρείτε το σημείο τομής τους.

Πρόβλημα 87. Δείξτε ότι είναι ίσιο
παράλληλα με το επίπεδο
, και την ευθεία
βρίσκεται σε αυτό το αεροπλάνο.

Πρόβλημα 88. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο σε σχέση με το αεροπλάνο
, αν:

1)
, ;

2)
, ;.

Πρόβλημα 89.Γράψτε την εξίσωση για κάθετο που έπεσε από ένα σημείο
κατευθείαν
.

Πρόβλημα 90. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο
σχετικά ευθεία
.

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε συνηθισμένα κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να επιτευχθεί ένα αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές που δίνονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις ευθείες γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Δεν θα κρυφτώ, επιλέγω ο ίδιος τις ευθείες με τη σειρά που η γωνία είναι θετική. Είναι πιο όμορφο, αλλά τίποτα περισσότερο.

Για να ελέγξετε τη λύση, μπορείτε να πάρετε ένα μοιρογνωμόνιο και να μετρήσετε τη γωνία.

Μέθοδος δεύτερη

Αν οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις με κλίση και όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Η συνθήκη της καθετότητας των ευθειών εκφράζεται με την ισότητα, από την οποία, παρεμπιπτόντως, προκύπτει μια πολύ χρήσιμη σχέση μεταξύ των γωνιακών συντελεστών των κάθετων ευθειών: , η οποία χρησιμοποιείται σε ορισμένα προβλήματα.

Ο αλγόριθμος λύσης είναι παρόμοιος με την προηγούμενη παράγραφο. Αλλά πρώτα, ας ξαναγράψουμε τις γραμμές μας στην απαιτούμενη μορφή:

Έτσι, οι συντελεστές κλίσης:

1) Ελέγξτε αν οι γραμμές είναι κάθετες:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Απάντηση:

Η δεύτερη μέθοδος είναι κατάλληλη για χρήση όταν οι εξισώσεις των γραμμών έχουν αρχικά οριστεί με κλίση. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν τουλάχιστον μία ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων, τότε ο τύπος δεν ισχύει καθόλου, αφού για τέτοιες ευθείες δεν ορίζεται η κλίση (δείτε το άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο).

Υπάρχει και τρίτη λύση. Η ιδέα είναι να υπολογιστεί η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε στο μάθημα Σημείο γινόμενο διανυσμάτων:

Εδώ δεν μιλάμε για μια προσανατολισμένη γωνία, αλλά "απλώς για μια γωνία", δηλαδή, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα θετικό. Το πρόβλημά είναι ότι μπορείτε να πάρετε μια αμβλεία γωνία (όχι αυτή που χρειάζεστε). Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να κάνετε κράτηση ότι η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι μικρότερη γωνία και να αφαιρέσετε το συνημίτονο τόξου που προκύπτει από τα ακτίνια "pi" (180 μοίρες).

Όσοι επιθυμούν μπορούν να λύσουν το πρόβλημα με έναν τρίτο τρόπο. Αλλά εξακολουθώ να συνιστώ να εμμείνετε στην πρώτη προσέγγιση προσανατολισμένη στη γωνία, επειδή χρησιμοποιείται ευρέως.

Παράδειγμα 11

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Προσπαθήστε να το λύσετε με δύο τρόπους.

Κάπως έτσι το παραμύθι έσβησε στην πορεία…. Γιατί δεν υπάρχει ο Kashchei ο Αθάνατος. Είμαι εγώ, και όχι ιδιαίτερα στον ατμό. Για να είμαι ειλικρινής, νόμιζα ότι το άρθρο θα ήταν πολύ μεγαλύτερο. Αλλά παρόλα αυτά, θα πάρω ένα καπέλο που απέκτησα πρόσφατα με γυαλιά και θα πάω για μπάνιο στο νερό της λίμνης του Σεπτεμβρίου. Ανακουφίζει τέλεια την κούραση και την αρνητική ενέργεια.

Τα λέμε σύντομα!

Και να θυμάστε, ο Baba Yaga δεν έχει ακυρωθεί =)

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3:Λύση : Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας :

Θα συνθέσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας χρησιμοποιώντας το σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης . Εφόσον μία από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, η εξίσωση ξαναγράψτε με τη μορφή:

Απάντηση :

Παράδειγμα 5:Λύση :
1) Ευθύγραμμη εξίσωση κάνε δύο σημεία :

2) Ευθύγραμμη εξίσωση κάνε δύο σημεία :

3) Αντίστοιχοι συντελεστές για μεταβλητές εκτός αναλογίας: , άρα οι γραμμές τέμνονται.
4) Βρείτε ένα σημείο :


Σημείωση : εδώ η πρώτη εξίσωση του συστήματος πολλαπλασιάζεται επί 5, μετά η 2η αφαιρείται όρο προς όρο από την 1η εξίσωση.
Απάντηση :