Μέθοδοι προσδιορισμού των παραμέτρων της εξίσωσης τάσης. Αναλυτική χρονική εξομάλυνση
α) Μέθοδοι ανίχνευσης τάσεων. Ανάλυση της σημασίας της τάσης. Απομόνωση υπολειμμάτων και ανάλυσή τους.
Μία από τις πιο σημαντικές έννοιες της τεχνικής ανάλυσης είναι η έννοια της τάσης. Η λέξη τάση είναι χαρτί ανίχνευσης από την αγγλική τάση (trend). Ωστόσο, δεν δίνεται ο ακριβής ορισμός της τάσης στην τεχνική ανάλυση. Και αυτό δεν είναι τυχαίο. Γεγονός είναι ότι η τάση ή η τάση της χρονοσειράς είναι μια κάπως αυθαίρετη έννοια. Μια τάση νοείται ως μια κανονική, μη τυχαία συνιστώσα της χρονοσειράς (συνήθως μονότονη, δηλ. είτε αυξανόμενη είτε φθίνουσα), η οποία μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με έναν καλά καθορισμένο σαφή κανόνα. Η τάση μιας πραγματικής χρονικής σειράς συνδέεται συχνά με τη δράση φυσικών (για παράδειγμα, φυσικών) νόμων ή ορισμένων άλλων αντικειμενικών κανονικοτήτων. Ωστόσο, σε γενικές γραμμές, είναι αδύνατο να διαιρεθεί αναμφισβήτητα μια τυχαία διαδικασία ή μια χρονοσειρά σε ένα κανονικό μέρος (τάση) και ένα ταλαντευόμενο μέρος (υπολειπόμενο). Ως εκ τούτου, συνήθως θεωρείται ότι μια τάση είναι κάποια συνάρτηση ή καμπύλη μιας αρκετά απλής μορφής (γραμμική, τετραγωνική κ.λπ.) που περιγράφει τη «μέση συμπεριφορά» μιας σειράς ή διεργασίας. Εάν αποδειχθεί ότι η επιλογή μιας τέτοιας τάσης απλοποιεί τη μελέτη, τότε η υπόθεση για την επιλεγμένη μορφή της τάσης θεωρείται αποδεκτή. Στην τεχνική ανάλυση, συνήθως θεωρείται ότι η τάση είναι γραμμική (και το γράφημά της είναι μια ευθεία γραμμή) ή τμηματικά γραμμική (και τότε το γράφημά της είναι μια διακεκομμένη γραμμή).
Ας υποθέσουμε ότι η υλοποίηση της χρονοσειράς στα χρονικά σημεία T=t1, t2,...tN παίρνει τις τιμές X=x1,x2,...xN. Μια γραμμική τάση έχει την εξίσωση x=at+b. Υπάρχουν ειδικές μέθοδοι για την εύρεση των συντελεστών a και b αυτής της εξίσωσης. Στην τεχνική ανάλυση που περιγράφεται στα περισσότερα βιβλία, η τάση εντοπίζεται με κάποιες γραφικές ή απλές κατά προσέγγιση μεθόδους. Ωστόσο, στη σύγχρονη πρακτική, χρησιμοποιούνται ευρέως υπολογιστές, οι οποίοι μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα μπορούν να γράψουν τις ακριβείς εξισώσεις τάσης ενός δεδομένου τύπου (ιδίως μια γραμμική τάση) από έναν δεδομένο πίνακα δεδομένων σε λίγα δευτερόλεπτα.
Για μια χρονολογική σειρά, η γενική εξίσωση γραμμικής τάσης είναι:
Η τιμή του ΜΤ είναι η μέση τιμή των ροπών του χρόνου t1, t2,...tN. Επιλέγοντας μια κατάλληλη μονάδα χρόνου, μπορούμε πάντα να υποθέσουμε ότι οι t1, t2... είναι απλώς φυσικοί αριθμοί 1,2... Για παράδειγμα, αυτό θα ισχύει για μια σειρά τιμών στην οποία οι τιμές των μετοχών καθορίζονται καθημερινά στο έναρξη διαπραγμάτευσης, εάν απαιτείται μία ημέρα ανά μονάδα χρόνου. Σε αυτήν την περίπτωση:
Οι τιμές των και o ονομάζονται τυπικές αποκλίσεις, χαρακτηρίζουν την εξάπλωση των τιμών γύρω από τις μέσες τιμές των MT και MX των τιμών των T και X, αντίστοιχα. Ο χειροκίνητος υπολογισμός του o είναι αρκετά κουραστικός, ειδικά για μεγάλα σύνολα δεδομένων. Ωστόσο, όλα τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών που επικεντρώνονται σε οικονομικές εφαρμογές, ακόμη και τέτοια καθολικά προγράμματα όπως το Excel (για να μην αναφέρουμε ειδικά στατιστικά πακέτα όπως SPSS, Statistica, Statgraphics, κ.λπ.) καθιστούν δυνατό τον άμεσο υπολογισμό του o για κάθε πίνακα δεδομένων που εισάγεται. στη μνήμη του υπολογιστή (και καταγράφονται σε κάποια συγκεκριμένη μορφή). Όσον αφορά την τιμή του από, τότε για την περίπτωση μιας σειράς φυσικών αριθμών ισούται με:
Η τιμή του r παίζει βασικό ρόλο στον τύπο τάσης. Ονομάζεται συντελεστής συσχέτισης (άλλο όνομα: ο κανονικοποιημένος συντελεστής συσχέτισης) και χαρακτηρίζει τον βαθμό σχέσης μεταξύ των μεταβλητών X και T. Ο συντελεστής συσχέτισης παίρνει τιμές στην περιοχή από -1 έως +1. Εάν είναι κοντά στο μηδέν, τότε σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρόπος να προσδιοριστεί μια σημαντική γραμμική τάση. Εάν είναι θετικό, τότε υπάρχει μια τάση για ανάπτυξη του υπό μελέτη δείκτη και όσο πιο κοντά είναι το r στο ένα, τόσο πιο συγκεκριμένη γίνεται αυτή η τάση. Εάν το r είναι αρνητικό, τείνουμε να μειώνουμε.
Ο υπολογισμός του r είναι πολύ περίπλοκος, αλλά ένας σύγχρονος υπολογιστής το κάνει σχεδόν αμέσως.
Στο r>0, μιλάμε για θετική τάση (με την πάροδο του χρόνου, οι τιμές των χρονοσειρών τείνουν να αυξάνονται), στο r
Ξέρεις ότι:Οι πιο επιτυχημένοι διαχειριστές λογαριασμών PAMM στο Runet λειτουργούν μέσω της Alpari: Αξιολόγηση λογαριασμού PAMM ; αξιολόγηση τελικών χαρτοφυλακίων λογαριασμών PAMM .
Αφού υπολογίσετε τη γραμμική τάση, πρέπει να μάθετε πόσο σημαντική είναι. Αυτό γίνεται με την ανάλυση του συντελεστή συσχέτισης. Το γεγονός είναι ότι η διαφορά του συντελεστή συσχέτισης από το μηδέν και επομένως η παρουσία μιας τάσης (θετικής ή αρνητικής) μπορεί να αποδειχθεί τυχαία, που σχετίζεται με τις ιδιαιτερότητες του εξεταζόμενου τμήματος της χρονοσειράς. Με άλλα λόγια, κατά την ανάλυση ενός άλλου συνόλου πειραματικών δεδομένων (για την ίδια χρονοσειρά), μπορεί να αποδειχθεί ότι η εκτίμηση της τιμής του r που λαμβάνεται σε αυτήν την περίπτωση είναι πολύ πιο κοντά στο μηδέν από την αρχική (και, ενδεχομένως, ακόμη και έχει ένα διαφορετικό σημάδι), και μπορούμε να μιλήσουμε για ένα πραγματικό, που εκφράζεται η τάση εδώ είναι ήδη δύσκολη.
Για να ελεγχθεί η σημασία της τάσης στις μαθηματικές στατιστικές, έχουν αναπτυχθεί ειδικές μέθοδοι. Ένα από αυτά βασίζεται στον έλεγχο της ισότητας r = 0 χρησιμοποιώντας την κατανομή Student (Student είναι ψευδώνυμο για τον Άγγλο στατιστικολόγο W. Gosset).
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σύνολο πειραματικών δεδομένων - τιμές x1, x2,...xN των χρονοσειρών σε ίσα χρονικά σημεία t1, t2...tN. Χρησιμοποιώντας ειδικά προγράμματα (βλ. παραπάνω), αυτά τα δεδομένα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της προσέγγισης r* στην ακριβή τιμή r του συντελεστή συσχέτισης (αυτή η προσέγγιση ονομάζεται εκτίμηση). Ας ονομάσουμε αυτή την τιμή r* πειραματική. Η γενική ιδέα της μεθόδου δοκιμής στατιστικών υποθέσεων είναι η εξής. Προβάλλεται μια συγκεκριμένη υπόθεση, στην περίπτωσή μας είναι η υπόθεση ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με μηδέν. Στη συνέχεια, ορίζεται ένα ορισμένο επίπεδο πιθανότητας a. Το νόημα αυτής της τιμής είναι ότι είναι ένα πιθανολογικό μέτρο του επιτρεπόμενου σφάλματος. Δηλαδή, παραδεχόμαστε ότι το συμπέρασμά μας σχετικά με την εγκυρότητα ή την αδικία της υπόθεσης με βάση μια δεδομένη σειρά πειραματικών δεδομένων μπορεί να αποδειχθεί λανθασμένο, γιατί, φυσικά, δεν πρέπει να περιμένει κανείς ένα απολύτως ακριβές συμπέρασμα που βασίζεται μόνο σε μερικές πληροφορίες . Ωστόσο, μπορούμε να απαιτήσουμε η πιθανότητα αυτού του σφάλματος να μην υπερβαίνει κάποια προεπιλεγμένη τιμή a (επίπεδο πιθανότητας). Συνήθως λαμβάνετε την τιμή του ίση με 0,05 (δηλαδή 5%) ή 0,10, μερικές φορές μια ράβδο και 0,01. Ένα γεγονός του οποίου η πιθανότητα είναι μικρότερη από το α θεωρείται τόσο σπάνιο που παίρνουμε το θάρρος να το παραμελήσουμε. Για χρονοσειρές διαφορετικής φύσης, αυτή η τιμή επιλέγεται διαφορετικά. Εάν μιλάμε για μια σειρά τιμών για τις μετοχές μιας μικρής επιχείρησης, τότε ο κίνδυνος του λάθους δεν έχει καταστροφικές συνέπειες (για πλειοδότες ανεξάρτητους από αυτήν την εταιρεία) και, επομένως, μπορεί να εκληφθεί ως όχι πολύ μικρός. Εάν μιλάμε για μια μεγάλη συναλλαγή, τότε οι συνέπειες ενός σφάλματος μπορεί να είναι πολύ σοβαρές και η αξία του α να λαμβάνεται λιγότερο.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλες τιμές του N, αυτή η τιμή Uex (η οποία είναι επίσης τυχαία) είναι πολύ παρόμοια με μια από τις τυπικές τυχαίες μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στις μαθηματικές στατιστικές ή, όπως λένε στις μαθηματικές στατιστικές, είναι κοντά στην Κατανομή Student με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας k (λεγόμενη παράμετρος που καθορίζει την κατανομή του Student) ίσο με N-2, όπου N είναι ο αριθμός των πειραματικών δεδομένων.
Για την κατανομή του Μαθητή, υπάρχουν αναλυτικοί πίνακες στους οποίους, για ένα δεδομένο επίπεδο πιθανότητας a και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας k, υποδεικνύεται η κρίσιμη τιμή Icr. Ονομάζεται κρίσιμη ή οριακή επειδή περιορίζει την αμφίπλευρη (λαμβάνοντας υπόψη τόσο τις θετικές όσο και τις αρνητικές τιμές) περιοχή, έξω από την οποία οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να είναι αρκετά σπάνιες, με πιθανότητα όχι μεγαλύτερη από α. Πιο συγκεκριμένα, υπό την συνθήκη r = 0, λαμβάνει χώρα η ισότητα:
Προς το παρόν, η τιμή Ucr μπορεί να βρεθεί όχι μόνο από πίνακες (όπου δίνεται μόνο για ορισμένες μεμονωμένες τιμές του επιπέδου πιθανότητας - δείτε τον Πίνακα 2 παρακάτω). Οποιοδήποτε σύγχρονο στατιστικό πρόγραμμα υπολογιστή καθιστά δυνατό τον άμεσο υπολογισμό της Ucr για ένα αυθαίρετο δεδομένο επίπεδο πιθανότητας. Όπως είναι εύκολο να γίνει κατανοητό, με την αύξηση της τιμής του a, αυξάνονται και οι τιμές του Ucr.
Περαιτέρω, υποστηρίζουν ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός N είναι αρκετά μεγάλος. Στη συνέχεια, η τυχαία μεταβλητή 0zks κατανέμεται κατά προσέγγιση σύμφωνα με το νόμο του Μαθητή. Εάν r = 0, τότε με μεγάλη (δηλαδή, κοντά στο 1) πιθανότητα ίση με 1 - a, η τιμή του Uex δεν πρέπει να υπερβαίνει το Ucr σε απόλυτη τιμή, δηλ. βρίσκονται μεταξύ - kr και Ukr. Αλλά η τιμή του Uzks μπορεί να υπερβεί το διάστημα [-Ucr, Ucr] μόνο με μια πιθανότητα a (την οποία συμφωνήσαμε να θεωρήσουμε μικρή). Επομένως, αν I Uzks I > Ucr, τότε συμπεραίνουν ότι η υπόθεση r = 0 δεν επιβεβαιώνεται από πειραματικά δεδομένα, δηλ. Το r διαφέρει σημαντικά από το μηδέν και επομένως η τάση είναι έντονη. Η πιθανότητα σφάλματος ενός τέτοιου συμπεράσματος δεν υπερβαίνει το δεδομένο επίπεδο πιθανότητας α. Αν | Uzks | Για παράδειγμα, έστω r*= 0,20 και N= 20. Τότε ο υπολογισμός δίνει Uex = 0,87. Για ένα επίπεδο πιθανότητας 5%, βρίσκουμε από τον πίνακα κατανομής του Student Ukr = 2,10. Συγκρίνοντας Uex και Ucr, βλέπουμε ότι δεν υπάρχει λόγος να απορρίψουμε την υπόθεση ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με μηδέν. Η τάση εδώ δεν είναι έντονη.
Εάν, ως αποτέλεσμα της μελέτης, αποδείχθηκε ότι η τάση είναι έντονη, τότε μόνο τότε αυτή η τάση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη των χρονοσειρών. Έχοντας υπολογίσει τους συντελεστές a και b της εξίσωσης της γραμμικής τάσης που υποδεικνύεται παραπάνω, λαμβάνουμε μια γραμμική εξάρτηση, η οποία περίπου περιγράφει την τάση στη δυναμική της χρονοσειράς για μια ορισμένη χρονική περίοδο. Το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή, συνεχίζοντας την οποία στο μέλλον, μπορούμε να κάνουμε υποθέσεις για το ποιες θα είναι οι τιμές των χρονοσειρών στο μέλλον. Ωστόσο, οι τάσεις τείνουν να αλλάζουν, επομένως κάποια στιγμή στη συμπεριφορά της χρονοσειράς υπάρχει ένα σημείο καμπής, μετά το οποίο η παλιά εξίσωση τάσης δεν μπορεί πλέον να περιγράψει επαρκώς τη χρονοσειρά. Η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι είναι πολύ δύσκολο να πιάσεις αυτό το σημείο καμπής. Η μελέτη μιας γραμμικής τάσης δεν λέει τίποτα για την παρουσία σημείων καμπής στο μέλλον, επομένως όταν τα αναζητάτε, πρέπει να χρησιμοποιήσετε εντελώς διαφορετικές μεθόδους. Μερικά από αυτά θα συζητηθούν παρακάτω.
Εκτός από τη γραμμική τάση, πρέπει να λάβουμε υπόψη τις τάσεις μιας πιο σύνθετης δομής. Στην τεχνική ανάλυση, σε τέτοιες περιπτώσεις, μιλά κανείς για επιβράδυνση ή επιτάχυνση μιας γραμμικής τάσης, σαν να αναγνωρίζει ότι έχει χάσει τη γραμμικότητά της. Ταυτόχρονα, συνήθως δεν είναι ρεαλιστικό να υποδεικνύεται εκ των προτέρων η λειτουργία με την οποία μπορεί να περιγραφεί αυτή η τάση. Επομένως, στην πράξη, συχνά απλώς ταξινομούνται αρκετές απλές συναρτησιακές εξαρτήσεις (οι οποίες μπορεί να περιέχουν πολλές παραμέτρους) και για καθεμία από αυτές εκτιμάται πόσο επιτυχώς μια συνάρτηση του ενός ή του άλλου τύπου μπορεί να περιγράψει την τάση της εξεταζόμενης χρονοσειράς. Εάν υπάρχει διαθέσιμος υπολογιστής, αυτοί οι υπολογισμοί δεν απαιτούν πολύ χρόνο και μερικές φορές μπορούν ακόμη και να πραγματοποιηθούν αυτόματα, επιλέγοντας τη βέλτιστη από πολλούς συγκεκριμένους τύπους τάσεων. Ωστόσο, όχι πάντα μεταξύ των εξεταζόμενων συναρτήσεων υπάρχει μία που στην πραγματικότητα περιγράφει αρκετά αποτελεσματικά την τάση ανάπτυξης μιας δεδομένης χρονοσειράς. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να πάτε με άλλους τρόπους. Έτσι, συχνά σε μια τέτοια κατάσταση, πραγματοποιούνται διάφοροι μετασχηματισμοί των μελών της χρονοσειράς (λογάριθμος, "διαφοροποίηση" - σχηματισμός διαφορών μεταξύ γειτονικών μελών της σειράς, "ολοκλήρωση" - άθροιση διαδοχικών μελών της σειράς, κ.λπ.) προκειμένου να προσπαθήσουμε να αποκτήσουμε μια χρονοσειρά με μια σαφώς καθορισμένη γραμμική τάση . Εάν αυτό πετύχει, τότε οι μέθοδοι υπολογισμού τάσης που περιγράφονται παραπάνω εφαρμόζονται στη σειρά που προκύπτει και στη συνέχεια επιστρέφουν στην αρχική σειρά με αντίστροφο μετασχηματισμό.
β) Μέθοδοι αποκάλυψης κρυφών εξαρτήσεων. Ανάλυση συσχέτισης χρονοσειρών. Φασματική ανάλυση και εφαρμογές της.
Αφού εντοπιστεί μια τάση, το καθήκον παραμένει να περιγράψουμε τις διακυμάνσεις που κάνει η χρονοσειρά γύρω από αυτήν την τάση. Εξάλλου, είναι σαφές ότι μια τάση είναι απλώς μια τάση, είναι επικίνδυνο να βασίζονται οι προβλέψεις σε αυτήν, καθώς σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα η πραγματική κατάσταση μπορεί να αποκλίνει, και αρκετά σημαντικά, από την τάση προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, μια απόκλιση προς μια κατεύθυνση μπορεί να φέρει κέρδος και από την άλλη - ζημίες. Στην τεχνική ανάλυση, σε αυτή την περίπτωση μιλούν για ταλαντωτές. Η μεθοδολογία για την ανάλυση των ταλαντωτών μέχρι πολύ πρόσφατα βρισκόταν σε πολύ χαμηλό επίπεδο, σχεδόν σε προμαθηματικό επίπεδο. Μόνο τα τελευταία χρόνια, με την έλευση της τεχνολογίας των υπολογιστών και των ειδικών με καλή μαθηματική εκπαίδευση (την εφάρμοσαν ακόμα στην αμυντική βιομηχανία, η οποία πλέον βρίσκεται σε παρακμή σε όλο τον κόσμο), αρκετά σύγχρονες μέθοδοι (βασισμένες σε αρμονική και φασματική ανάλυση) άρχισε να χρησιμοποιείται στην ανάλυση των ταλαντωτών).
Οι ταλαντώσεις γύρω από την τάση χωρίζονται σε κανονικές (οι οποίες είναι ένας συνδυασμός πολλών ημιτονοειδών ή κοντινών σε αυτές ταλαντώσεων που έχουν διαφορετικές συχνότητες) και τυχαίες. Για να απομονωθούν τακτικές διακυμάνσεις (ενίοτε ονομάζονται και κρυφές κανονικότητες) στα μαθηματικά, με «παραγγελίες» μεγάλου αριθμού εφαρμοσμένων επιστημών, έχουν αναπτυχθεί πολλές διαφορετικές μέθοδοι. Ακόμη και η απλή απαρίθμησή τους δεν είναι δυνατή. Ωστόσο, όλες αυτές οι μέθοδοι ανήκουν συνήθως σε μία από τις δύο μεγάλες ομάδες.
Στην πρώτη ομάδα - μέθοδοι που οφείλουν την προέλευσή τους στη μαθηματική στατιστική, ή μάλλον, στη θεωρία της συσχέτισης. Η θεωρία συσχέτισης μελετά τις σχέσεις μεταξύ τυχαίων μεταβλητών, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ μεμονωμένων τιμών χρονοσειρών που χωρίζονται από μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο (καθυστέρηση). Εάν αποδειχθεί, για παράδειγμα, ότι υπάρχει στενή σχέση μεταξύ των τιμών των χρονοσειρών που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα 12 μονάδων, τότε αυτό μπορεί να ληφθεί ως ένδειξη ότι έχουμε ανιχνεύσει μια ταλαντωτική συνιστώσα (όχι απαραίτητα ακριβώς ημιτονοειδές) με περίοδο 12 χρονικών μονάδων. Στην πράξη, μια τέτοια ανάλυση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας ειδικά προγράμματα που υπολογίζουν το συσχετιστικό - εκτιμήσεις για τη συνάρτηση συσχέτισης (η οποία περιγράφει τη συσχέτιση μεταξύ των τιμών των χρονοσειρών που λαμβάνονται σε διάφορα χρονικά διαστήματα - καθυστερήσεις).
Η δεύτερη ομάδα μεθόδων προήλθε από την τεχνολογία - εκεί, κατά την ανάλυση σημάτων, η φασματική ανάλυση έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία από καιρό. Με τη βοήθεια ειδικών μεθόδων (επέκταση σε τριγωνομετρικές σειρές και ολοκληρώματα Fourier), επιλέγονται οι πιο σημαντικές αρμονικές, οι οποίες δίνουν το κανονικό μέρος των διακυμάνσεων γύρω από την τάση. Εδώ οι υπολογισμοί είναι ακόμη πιο δυσκίνητοι από ό,τι στην ανάλυση συσχέτισης. Ωστόσο, αυτές οι δυσκολίες μπορούν πλέον να ξεχαστούν εντελώς (ο υπολογιστής εκτελεί όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς σε λίγα δευτερόλεπτα). Επομένως, ήρθε η ώρα να μάθουμε πώς να αναλύουμε τα δεδομένα που παρέχει η φασματική ανάλυση και να χτίζουμε προβλέψεις με βάση αυτά τα δεδομένα. Αυτές οι μέθοδοι είναι αρκετά ευαίσθητες σε σφάλματα στον καθορισμό των αρχικών δεδομένων και ως εκ τούτου μερικές φορές οδηγούν σε συμπεράσματα σχετικά με την παρουσία προτύπων στην υπό μελέτη διαδικασία, τα οποία στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν.
γ) Στοχαστική πρόβλεψη (μοντέλα ARIMA).
Στοχαστική πρόβλεψη - δημιουργία προβλέψεων με βάση διάφορα είδη στοχαστικών μοντέλων. Στοχαστικά μοντέλα - αυτά είναι μοντέλα που κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τις έννοιες και τις μεθόδους της θεωρίας των τυχαίων διεργασιών. Συγκεκριμένα, μεταξύ αυτών των μοντέλων υπάρχουν εκείνα στα οποία οι μελλοντικές τιμές υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τύπους που εκφράζουν αυτές τις τιμές με όρους αρκετών προηγούμενων (δηλαδή, που αντιστοιχούν σε προηγούμενα χρονικά σημεία). Τέτοια μοντέλα ονομάζονται αυτοπαλινδρομικά. Υπάρχουν μοντέλα άλλου είδους - σε αυτά η διαδικασία μοντελοποιείται από έναν συνδυασμό πολλών απολύτως τυχαίων διεργασιών (που ονομάζεται λευκός θόρυβος). Αυτά τα μοντέλα ονομάζονται μοντέλα κινούμενου μέσου όρου. Η έννοια του κινητού μέσου όρου στην τεχνική ανάλυση είναι ένα από τα κύρια εργαλεία. Ένας τεράστιος αριθμός τεχνικών πρόβλεψης βασίζεται σε διάφορους συνδυασμούς κινητών μέσων όρων διαφορετικών τάξεων (που αντιστοιχούν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους - 7, 14 ημέρες κ.λπ.). πρακτική μηχανικής, μια παρόμοια μέθοδος ονομάζεται σήματα φιλτραρίσματος. Τα πιο αποτελεσματικά μοντέλα χρησιμοποιούν και τις δύο αυτές μεθόδους. Ένα από τα πιο κοινά. συνδυασμένα μοντέλα αυτού του είδους είναι η ARIMA. Στα ρωσικά ακούγεται σαν ARPSS και σημαίνει Auto-Reggression and Integrated Moving Average. Δεν θα μπούμε στις λεπτομέρειες της κατασκευής αυτών των μοντέλων εδώ - είναι αρκετά περίπλοκα. Για όσους θέλουν να εξοικειωθούν σοβαρά με αυτήν, την πιο αποτελεσματική κατηγορία στοχαστικών μοντέλων, συνιστούμε να ανατρέξετε στο βιβλίο "Στατιστική ανάλυση δεδομένων σε υπολογιστή" . Οι άμεσοι υπολογισμοί στο ARIAL πραγματοποιούνται μόνο με χρήση υπολογιστή, καθώς είναι πολύ δυσκίνητοι. Η μέθοδος ARIMA είναι η πιο κοινή γενική μέθοδος στοχαστικής μοντελοποίησης σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της ανάλυσης σοβαρών δεδομένων και των οικονομικών προβλέψεων. Μετά την κατασκευή ενός στοχαστικού μοντέλου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πρόβλεψη. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι η πρόβλεψη σε αυτό (όπως και σε όλα τα άλλα μαθηματικά μοντέλα) εκδίδεται με τα καθορισμένα όρια, εντός των οποίων είναι πιθανό να υπάρξει σφάλμα.
Το παραπάνω διάγραμμα (κατασκευάστηκε με χρήση του προγράμματος Statgraphics) δείχνει την πρόβλεψη που προέκυψε χρησιμοποιώντας το στοχαστικό μοντέλο. Αποτελείται από την κύρια γραμμή και δύο οριακές γραμμές, μεταξύ των οποίων, με δεδομένο βαθμό εμπιστοσύνης (που ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης, συνήθως ισούται με 95%), θα υπάρχουν μέλη της υπό μελέτη χρονοσειράς (για παράδειγμα, σειρά τιμών) στο εγγύς μέλλον.
δ) Χρήση αριθμών Fibonacci. Μέθοδοι Gann.
Η χρήση των αριθμών Fibonacci στην τεχνική ανάλυση έχει μακρά ιστορία. Αυτοί οι ίδιοι οι αριθμοί εισήχθησαν από τον μαθηματικό Λεονάρντο της Πίζας (τον έλεγαν Φιμπονάτσι, δηλαδή γιος του Μπονάτσιο, και ο Μπονάτσιο - καλοσυνάτος - ήταν το παρατσούκλι του πατέρα του) στο "Βιβλίο του Άβακα" το 1228, όπου τα χρησιμοποίησε για να υπολογίσει την ανάπτυξη των απογόνων στα κουνέλια. Στην πραγματικότητα, αυτή η σειρά αριθμών ήταν ήδη γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο. Το βιβλίο Fibonacci δίνει τους πρώτους 14 αριθμούς αυτής της ατελείωτης σειράς αριθμών.
Κάθε αριθμός αυτής της ακολουθίας είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Οι δύο πρώτοι αριθμοί είναι το 1 και το 1 και όλοι οι επόμενοι αριθμοί προσδιορίζονται μοναδικά χρησιμοποιώντας τον παραπάνω κανόνα. Οι αριθμοί Fibonacci είναι ιδιαίτερα γνωστοί στο ψυχαγωγικό μέρος των μαθηματικών, καθώς και σε ορισμένες ενότητες των σύγχρονων μαθηματικών (υπάρχει ακόμη και ένα διεθνές μαθηματικό περιοδικό Fibonacci Quarterly αφιερωμένο στους αριθμούς Fibonacci και τις εφαρμογές τους). Μπορεί να αποδειχθεί ότι η αναλογία κάθε αριθμού Fibonacci προς τον επόμενο, με την αύξηση του σειριακού αριθμού αυτού του αριθμού, τείνει στον αριθμό 0,618 ... - στον περίφημο αριθμό της χρυσής τομής. Αυτός ο αριθμός ήταν πολύ δημοφιλής τον Μεσαίωνα και τώρα του δίνεται σχεδόν θεμελιώδης σημασία σε πολλούς τομείς της τέχνης και της επιστήμης. Ωστόσο, πολύ συχνά αποδεικνύεται ότι δεν είναι αυτός ο ίδιος ο αριθμός που παίζει σημαντικό ρόλο, αλλά ο αριθμός κοντά του 2/3 = 0,666666 ... Ο αριθμός 2/3 είναι πραγματικά θεμελιώδης, συμβολίζει την τριμερή διαίρεση, αλλά ο αριθμός της χρυσής αναλογίας χρησιμοποιείται συχνά απλώς "για ομορφιά".
Στην τεχνική ανάλυση, υπάρχουν αρκετές μέθοδοι που περιλαμβάνουν τη χρήση της χρυσής αναλογίας και αρκετών αριθμών που προέρχονται από αυτήν. Πρώτα απ 'όλα, μπορεί να σημειωθεί ότι οι διάρκειες μεμονωμένων στοιχείων (κύματα) στην κυματική θεωρία του R. Elliott (η οποία θα συζητηθεί παρακάτω) διασυνδέονται ακριβώς με τη βοήθεια αυτού του αριθμού. Παρεμπιπτόντως, η ίδια η διαίρεση του κύκλου σε 8=5+3 στάδια στην κυματική θεωρία δείχνει τους αριθμούς Fibonacci 3,5,8.
Στην τεχνική ανάλυση, για διαιρέσεις (με κάθετες και πλάγιες ευθείες) ενός γραφήματος, χρησιμοποιείται ο αριθμός 0,618... και οι παράγωγοί του (για παράδειγμα, (0,61 8...] = 1-0,61 8...= 0382 ...). ένα πλέγμα του οποίου η αναλογία είναι ίση με τη χρυσή τομή ή την αναλογία των αριθμών Fibonacci (που, όπως ήδη γνωρίζουμε, είναι περίπου η ίδια) Σε σχέση με αυτό το πλέγμα, μεμονωμένα στοιχεία του γραφήματος (αντίσταση και γραμμές στήριξης , σημεία καμπής και άλλα χαρακτηριστικά σημεία) μελετώνται. Οι κάθετες γραμμές αυτού του πλέγματος ορίζουν τις περιόδους Fibonacci (επιπλέον, στη βιβλιογραφία συνιστάται να αγνοούνται οι πρώτες δύο ή τρεις γραμμές αυτού του διαμερίσματος. Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε ξεχωριστές κεκλιμένες γραμμές, ορίζονται επίσης από τους αριθμούς Fibonacci. Αυτές οι γραμμές αντλούνται από τα βασικά σημεία του γραφήματος (για παράδειγμα, από τα σημεία καμπής). Θεωρείται ότι οι γραμμές Fibonacci παραμένουν έγκυρες για κάποιο χρονικό διάστημα μετά από μια αλλαγή τάσης, η οποία τους επιτρέπει να χρησιμοποιείται για πρόβλεψη.Ωστόσο, σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε τον αριθμό 2/3 και δεν έχετε χειρότερα αποτελέσματα (αν και ίσως όχι τόσο θεαματικά σχεδιασμένα όσο όταν χρησιμοποιείτε τη χρυσή τομή). Με τη βοήθεια τέτοιων τμημάτων, μερικές φορές είναι δυνατό να περιγραφούν οι κινήσεις των τιμών αρκετά αποτελεσματικά. Ωστόσο, με μια απότομη στροφή της αγοράς, πρέπει να σχεδιάσετε ξανά όλες τις γραμμές Fibonacci.
Ένα λεπτομερές σύστημα ανάλυσης γραφικών διαγραμμάτων αναπτύχθηκε από τον William Gann (1878-1955), ο οποίος ήταν ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησε γεωμετρικές μεθόδους στην τεχνική ανάλυση. Κατασκεύασε πλάγιες γραμμές (γραμμές Gann) που δίνονται από τους αριθμούς 1/8, 1/4, 1/3, 3/8, 1/2, 5/8, 2/3, 3/4, 7/8 και χρησιμοποίησε τους, ειδικότερα, για την εύρεση γραμμών αντίστασης και στήριξης - θεμελιώδεις γραμμές στη γραφική τεχνική ανάλυση. Όταν πλησιάζετε αυτές τις γραμμές, η σειρά τιμών σταματά να αυξάνεται (για γραμμή αντίστασης) ή να πέφτει (για γραμμές υποστήριξης), ή τουλάχιστον τις επιβραδύνει πολύ. Με κάποια επιθυμία, ανάμεσα σε αυτούς τους αριθμούς μπορεί κανείς να βρει αυτούς που εκφράζονται κατά προσέγγιση με τον αριθμό της χρυσής τομής και, σε αυτή τη βάση, να συμπεράνει ότι αυτός ο υπέροχος αριθμός παίζει και εδώ τον κύριο ρόλο. Ωστόσο, η ιδέα του Gann ήταν πολύ πιο απλή - απλώς έγραψε την ακολουθία αυτών των αριθμών στο διάστημα , οι οποίοι δίνονται από αρκετά απλά κλάσματα.
Ο Gann σχεδίασε ακτίνες από χαρακτηριστικά σημεία του χάρτη (συνήθως από σημεία στροφής) για να πάρει αντίσταση και γραμμές στήριξης. Το πιο δύσκολο πράγμα εδώ είναι να επιλέξετε το σωστό σημείο εκκίνησης για τις γραμμές Gann. Μπορείτε να συνδυάσετε το πλέγμα Fibonacci και τις γραμμές Gann. Αυτές οι μέθοδοι εφαρμόζονται σε πολλά προγράμματα τεχνικής ανάλυσης (όπως, για παράδειγμα, το MetaStock).
Είναι τάση. Ένας από τους πιο δημοφιλείς τρόπους μοντελοποίησης της τάσης μιας χρονοσειράς είναι η εύρεση μιας αναλυτικής συνάρτησης που να χαρακτηρίζει την εξάρτηση των επιπέδων της σειράς από το χρόνο. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται αναλυτική στοίχιση των χρονοσειρών.
Η εξάρτηση του δείκτη από το χρόνο μπορεί να πάρει διαφορετικές μορφές, επομένως, βρίσκονται διάφορες συναρτήσεις: γραμμική, υπερβολή, εκθέτης, συνάρτηση ισχύος, πολυώνυμα διαφόρων βαθμών. Οι χρονοσειρές εξετάζονται με παρόμοιο τρόπο με τη γραμμική παλινδρόμηση.
Παράμετροι οποιασδήποτε τάσης μπορεί να προσδιοριστεί με τη συνήθη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, χρησιμοποιώντας τον χρόνο t = 1, 2, ..., n ως παράγοντα και τα επίπεδα της χρονοσειράς ως εξαρτημένη μεταβλητή. Για μη γραμμικές τάσεις, πραγματοποιείται πρώτα η διαδικασία γραμμικοποίησης.
Οι πιο συνηθισμένοι τρόποι προσδιορισμού του τύπου τάσης περιλαμβάνουν ποιοτική ανάλυση της σειράς που μελετήθηκε, κατασκευή και ανάλυση του γραφήματος της εξάρτησης των επιπέδων της σειράς από το χρόνο, ο υπολογισμός των κύριων δεικτών της δυναμικής. Για τους ίδιους σκοπούς, μπορείτε συχνά να χρησιμοποιήσετε και.
Γραμμική τάση
Ο τύπος τάσης καθορίζεται συγκρίνοντας τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης. Εάν η χρονοσειρά έχει γραμμική τάση, τότε τα γειτονικά της επίπεδα yt και yt-1 συσχετίζονται στενά. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης της πρώτης τάξης των επιπέδων της αρχικής σειράς θα πρέπει να είναι μέγιστος. Εάν η χρονοσειρά περιέχει μια μη γραμμική τάση, τότε όσο πιο έντονη είναι η μη γραμμική τάση στη χρονοσειρά, τόσο περισσότερο θα διαφέρουν οι τιμές των υποδεικνυόμενων συντελεστών.
Η επιλογή της καλύτερης εξίσωσης σε περίπτωση που η σειρά περιέχει , μπορεί να γίνει ταξινομώντας τους κύριους τύπους της τάσης, υπολογίζοντας τον συντελεστή συσχέτισης για κάθε εξίσωση και επιλέγοντας την εξίσωση τάσης με τη μέγιστη τιμή του συντελεστή.
Επιλογές τάσης
Οι παράμετροι των εκθετικών και γραμμικών τάσεων έχουν την απλούστερη ερμηνεία.
Επιλογές γραμμικής τάσηςερμηνεύονται ως εξής: a είναι το αρχικό επίπεδο της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t = 0. b είναι η απόλυτη αύξηση των επιπέδων rad κατά μέσο όρο κατά τη διάρκεια της περιόδου.
Επιλογές εκθετικής τάσηςέχουν τέτοια ερμηνεία. Η παράμετρος a είναι το αρχικό επίπεδο της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t = 0. Η τιμή exp(b) είναι ο μέσος όρος ανά μονάδα χρόνου παράγοντας ανάπτυξης επίπεδα σειρών.
Κατ' αναλογία με το γραμμικό μοντέλο, οι υπολογισμένες τιμές των επιπέδων rad σύμφωνα με την εκθετική τάση μπορούν να προσδιοριστούν αντικαθιστώντας τις χρονικές τιμές t = 1,2,…, n στην εξίσωση τάσης ή σύμφωνα με την ερμηνεία των παραμέτρων της εκθετικής τάσης: κάθε επόμενο επίπεδο μιας τέτοιας σειράς είναι το γινόμενο του προηγούμενου επιπέδου με τον αντίστοιχο αυξητικό παράγοντα
Με την παρουσία μιας σιωπηρής μη γραμμικής τάσης, είναι απαραίτητο να συμπληρωθούν οι μέθοδοι που περιγράφονται παραπάνω για την επιλογή της καλύτερης εξίσωσης τάσης με μια ποιοτική ανάλυση της δυναμικής του μελετημένου δείκτη, προκειμένου να αποφευχθούν σφάλματα προδιαγραφών κατά την επιλογή του τύπου τάσης. Ποιοτική ανάλυσηπεριλαμβάνει τη μελέτη των προβλημάτων της πιθανής παρουσίας σημείων καμπής στην υπό μελέτη σειρά και των αλλαγών στους ρυθμούς ανάπτυξης, ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή υπό την επίδραση ορισμένων παραγόντων κ.λπ. Σε περίπτωση που η εξίσωση τάσης επιλεγεί λανθασμένα για μεγάλες τιμές t, τα αποτελέσματα της πρόβλεψης της δυναμικής της χρονοσειράς με χρήση της εξίσωσης υπό μελέτη θα είναι αναξιόπιστα λόγω σφάλματος προδιαγραφής.
Μια απεικόνιση της πιθανής εμφάνισης ενός σφάλματος προδιαγραφών δίνεται στο σχήμα.
Εάν η βέλτιστη μορφή της τάσης είναι μια παραβολή, ενώ στην πραγματικότητα υπάρχει μια γραμμική τάση, τότε για μεγάλο t, η παραβολή και η γραμμική συνάρτηση θα περιγράφουν φυσικά την τάση με διαφορετικούς τρόπους στα επίπεδα της σειράς.
Σύμφωνα με τον τύπο (9.29), οι παράμετροι της γραμμικής τάσης είναι α = 1894/11 = 172,2 q/ha; σι= 486/110 = 4,418 q/ha. Η γραμμική εξίσωση τάσης είναι:
û = 172,2 + 4,418t, όπου t = 0 το 1987 Αυτό σημαίνει ότι το μέσο πραγματικό και προσαρμοσμένο επίπεδο, που αναφέρεται στα μέσα της περιόδου, δηλ. έως το 1991, ίσο με 172 centners ανά 1 ra, μια μέση ετήσια αύξηση είναι 4.418 centners/ha ετησίως
Οι παράμετροι παραβολικής τάσης σύμφωνα με το (9.23) είναι b= 4,418; ένα = 177,75; c =-0,5571. Η εξίσωση παραβολικής τάσης έχει τη μορφή ũ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t2; t= 0 το 1991. Αυτό σημαίνει ότι η απόλυτη αύξηση της απόδοσης επιβραδύνεται κατά μέσο όρο κατά 2,0,56 c/ha ετησίως ετησίως. Η ίδια η απόλυτη ανάπτυξη δεν είναι πλέον σταθερά της παραβολικής τάσης, αλλά είναι η μέση τιμή για την περίοδο. Στο έτος που λαμβάνεται ως σημείο αναφοράς, δηλ. 1991, η τάση διέρχεται από το σημείο με την τεταγμένη των 77,75 c/ha. Ο ελεύθερος όρος της παραβολικής τάσης δεν είναι το μέσο επίπεδο για την περίοδο. Οι παράμετροι της εκθετικής τάσης υπολογίζονται με τους τύπους (9.32) και (9.33) ln ένα= 56,5658/11 = 5,1423; ενισχύοντας, παίρνουμε ένα= 171,1; ln κ= 2.853:110 = 0.025936; ενισχύοντας, παίρνουμε κ = 1,02628.
Η εξίσωση της εκθετικής τάσης είναι: y = 171,1 1,02628 t .
Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος ετήσιος συντελεστής μεταγενέστερης απόδοσης για την περίοδο ήταν 102,63%. Στο σημείο που οδηγεί στην προέλευση, η τάση περνάει το σημείο με την τεταγμένη 171,1 q/ha.
Τα επίπεδα που υπολογίζονται σύμφωνα με τις εξισώσεις τάσεων καταγράφονται στις τρεις τελευταίες στήλες του Πίνακα. 9.5. Όπως φαίνεται από αυτά τα δεδομένα. οι υπολογισμένες τιμές των επιπέδων και για τους τρεις τύπους τάσεων δεν διαφέρουν πολύ, αφού τόσο η επιτάχυνση της παραβολής όσο και ο ρυθμός ανάπτυξης του εκθέτη είναι μικρές. Μια παραβολή έχει σημαντική διαφορά - η αύξηση των επιπέδων έχει σταματήσει από το 1995, ενώ με γραμμική τάση τα επίπεδα συνεχίζουν να αυξάνονται και με εκθετική επιτάχυνση του OST τους. Επομένως, για τις προβλέψεις για το μέλλον, αυτές οι τρεις τάσεις δεν είναι ίσες: κατά την παρέκταση της παραβολής για τα επόμενα χρόνια, τα επίπεδα θα αποκλίνουν απότομα από την ευθεία γραμμή και τον εκθέτη, όπως φαίνεται από τον Πίνακα. 9.6. Αυτός ο πίνακας δείχνει μια εκτύπωση της λύσης σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Statgraphics για τις ίδιες τρεις τάσεις. Η διαφορά μεταξύ των δωρεάν όρων τους και αυτών που δίνονται παραπάνω εξηγείται από το γεγονός ότι το πρόγραμμα αριθμεί τα έτη όχι από τη μέση, αλλά από την αρχή, έτσι ώστε οι ελεύθεροι όροι των τάσεων αναφέρονται στο 1986, για το οποίο t = 0. η εκθετική εξίσωση στην εκτύπωση αφήνεται σε λογαριθμική μορφή. Η πρόβλεψη γίνεται για 5 χρόνια μπροστά, δηλ. μέχρι το 2001. Όταν η αρχή των συντεταγμένων (χρονική αναφορά) αλλάζει στην εξίσωση της παραβολής, η μέση απόλυτη αύξηση, η παράμετρος σι.καθώς, ως αποτέλεσμα της αρνητικής επιτάχυνσης, η ανάπτυξη μειώνεται συνεχώς και το μέγιστο είναι στην αρχή της περιόδου. Η σταθερά της παραβολής είναι μόνο η επιτάχυνση.
Η γραμμή "Δεδομένα" περιέχει τα επίπεδα της αρχικής σειράς. "Σύνοψη πρόβλεψης" σημαίνει συνοπτικά δεδομένα για την πρόβλεψη. Στις παρακάτω γραμμές - εξισώσεις ευθείας, παραβολής, εκθέτη - σε λογαριθμική μορφή. Η στήλη ME σημαίνει τη μέση απόκλιση μεταξύ των επιπέδων της αρχικής σειράς και των επιπέδων της τάσης (προσαρμοσμένη). Για μια ευθεία γραμμή και μια παραβολή, αυτή η απόκλιση είναι πάντα μηδέν. Τα επίπεδα του εκθέτη είναι κατά μέσο όρο 0,48852 χαμηλότερα από τα επίπεδα της αρχικής σειράς. Μια ακριβής αντιστοίχιση είναι δυνατή εάν η πραγματική τάση είναι εκθετική. σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει σύμπτωση, αλλά η διαφορά είναι μικρή. Η στήλη MAE είναι η διακύμανση s2-ένα μέτρο της μεταβλητότητας των πραγματικών επιπέδων σε σχέση με την τάση, όπως περιγράφεται στην παράγραφο 9.7. Στήλη MAE - μέση γραμμική απόκλιση των επιπέδων από το modulo τάσης (βλέπε παράγραφο 5.8). στήλη MARE - σχετική γραμμική απόκλιση σε ποσοστό. Εδώ δίνονται ως δείκτες καταλληλότητας του επιλεγμένου τύπου τάσης. Μια παραβολή έχει μικρότερο συντελεστή διακύμανσης και απόκλισης: είναι για την περίοδο 1986 - 1996. πιο κοντά στα πραγματικά επίπεδα. Αλλά η επιλογή του τύπου τάσης δεν μπορεί να περιοριστεί μόνο σε αυτό το κριτήριο. Στην πραγματικότητα, η επιβράδυνση της ανάπτυξης είναι αποτέλεσμα μιας μεγάλης αρνητικής απόκλισης, δηλαδή μιας αποτυχίας της καλλιέργειας το 1996.
Το δεύτερο μισό του πίνακα είναι μια πρόβλεψη των επιπέδων απόδοσης για τρεις τύπους τάσεων για χρόνια. t = 12, 13, 14, 15 και 16 από την αρχή (1986). Τα επίπεδα πρόβλεψης εκθετικά μέχρι το έτος 16 δεν είναι πολύ υψηλότερα από ό,τι σε ευθεία γραμμή. Τα επίπεδα της τάσης-παραβολής μειώνονται, αποκλίνοντας όλο και περισσότερο από άλλες τάσεις.
Όπως φαίνεται στον Πίνακα. 9.4, κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων τάσης, τα επίπεδα της αρχικής σειράς μπαίνουν με διαφορετικά βάρη - τιμές tpκαι τα τετράγωνά τους. Επομένως, η επιρροή των διακυμάνσεων των επιπέδων στις παραμέτρους της τάσης εξαρτάται από το ποιος αριθμός του έτους πέφτει σε ένα παραγωγικό ή λιτό έτος. Εάν σημειωθεί απότομη απόκλιση σε ένα έτος με μηδενικό αριθμό ( ti = 0), τότε δεν θα έχει καμία επίδραση στις παραμέτρους της τάσης και αν χτυπήσει στην αρχή και στο τέλος της σειράς, θα έχει ισχυρό αποτέλεσμα. Κατά συνέπεια, μια ενιαία αναλυτική στοίχιση δεν απαλλάσσει πλήρως τις παραμέτρους της τάσης από την επίδραση της μεταβλητότητας και με έντονες διακυμάνσεις μπορεί να παραμορφωθούν έντονα, όπως συνέβη με την παραβολή στο παράδειγμά μας. Για να εξαλειφθεί περαιτέρω η παραμορφωτική επίδραση των διακυμάνσεων στις παραμέτρους τάσης, θα πρέπει να εφαρμοστεί μέθοδος πολλαπλής ολίσθησης ευθυγράμμισης.
Αυτή η τεχνική συνίσταται στο γεγονός ότι οι παράμετροι τάσης υπολογίζονται όχι αμέσως σε ολόκληρη τη σειρά, αλλά με μια μέθοδο ολίσθησης, πρώτα για την πρώτη tχρονικές περιόδους ή στιγμές, στη συνέχεια για την περίοδο από το 2ο έως t+ 1, 3η έως (t + 2)-ο επίπεδο, κ.λπ. Αν ο αριθμός των αρχικών επιπέδων της σειράς είναι Π,και το μήκος κάθε βάσης υπολογισμού συρόμενης παραμέτρου είναι ίσο με t,τότε ο αριθμός τέτοιων κινούμενων βάσεων t ή μεμονωμένες τιμές των παραμέτρων που θα καθοριστούν από αυτές θα είναι:
μεγάλο = n+ 1 - t.
Η εφαρμογή της τεχνικής της ολίσθησης πολλαπλής ευθυγράμμισης μπορεί να εξεταστεί, όπως φαίνεται από τους παραπάνω υπολογισμούς, μόνο εάν ο αριθμός των επιπέδων στη σειρά είναι αρκετά μεγάλος, συνήθως 15 ή περισσότερα. Εξετάστε αυτήν την τεχνική στο παράδειγμα των δεδομένων στον Πίνακα. Το 9.4 δείχνει τη δυναμική των τιμών των αγαθών χωρίς καύσιμα στις αναπτυσσόμενες χώρες, γεγονός που δίνει και πάλι στον αναγνώστη την ευκαιρία να συμμετάσχει σε μια μικρή επιστημονική μελέτη. Στο ίδιο παράδειγμα, θα συνεχίσουμε την τεχνική πρόβλεψης στην Ενότητα 9.10.
Αν υπολογίσουμε τις παραμέτρους της σειράς μας για περιόδους 11 ετών (για 11 επίπεδα), τότε t= 17 + 1 - 11 = 7. Η έννοια της πολλαπλής ολίσθησης ευθυγράμμισης είναι ότι με διαδοχικές μετατοπίσεις της βάσης υπολογισμού των παραμέτρων, στα άκρα και στη μέση της θα υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα με διαφορετικά πρόσημα και μεγέθη αποκλίσεων από την τάση. Επομένως, με ορισμένες μετατοπίσεις στη βάση, οι παράμετροι θα υπερεκτιμηθούν, με άλλες θα υποεκτιμηθούν και με τον επακόλουθο υπολογισμό του μέσου όρου των τιμών των παραμέτρων σε όλες τις μετατοπίσεις στη βάση υπολογισμού, οι παραμορφώσεις των παραμέτρων τάσης θα είναι περαιτέρω αντισταθμίζεται από τις διακυμάνσεις του επιπέδου.
Η πολλαπλή ευθυγράμμιση ολίσθησης όχι μόνο επιτρέπει την απόκτηση ακριβέστερης και αξιόπιστης εκτίμησης των παραμέτρων τάσης, αλλά και τον έλεγχο της σωστής επιλογής του τύπου της εξίσωσης τάσης. Εάν αποδειχθεί ότι η κύρια παράμετρος τάσης, η σταθερά της, κατά τον υπολογισμό με κινούμενες βάσεις, δεν κυμαίνεται τυχαία, αλλά αλλάζει συστηματικά την τιμή της με σημαντικό τρόπο, τότε ο τύπος τάσης επιλέχθηκε εσφαλμένα, αυτή η παράμετρος δεν είναι σταθερά.
Όσον αφορά τον ελεύθερο όρο με πολλαπλή ευθυγράμμιση, δεν χρειάζεται και, επιπλέον, είναι απλώς λάθος να υπολογιστεί η τιμή του ως μέσος όρος σε όλες τις μετατοπίσεις της βάσης, επειδή με αυτήν τη μέθοδο, τα επιμέρους επίπεδα της αρχικής σειράς θα περιλαμβάνονταν στο ο υπολογισμός του μέσου όρου με διαφορετικά βάρη και το άθροισμα των ευθυγραμμισμένων επιπέδων θα διέφερε θα ήταν με το άθροισμα των όρων της αρχικής σειράς. Ο ελεύθερος όρος της τάσης είναι η μέση τιμή του επιπέδου για την περίοδο, με την προϋπόθεση ότι ο χρόνος υπολογίζεται από τα μέσα της περιόδου. Κατά την καταμέτρηση από την αρχή, αν το πρώτο επίπεδο t i= 1, ο ελεύθερος όρος θα είναι ίσος με: a 0 = у̅ - β((Ν-1)/2). Συνιστάται η επιλογή του μήκους της κινούμενης βάσης για τον υπολογισμό των παραμέτρων τάσης τουλάχιστον 9-11 επιπέδων, ώστε να μειώνονται επαρκώς οι διακυμάνσεις της στάθμης. Εάν η αρχική σειρά είναι πολύ μεγάλη, η βάση μπορεί να είναι έως και 0,7 - 0,8 του μήκους της. Για να εξαλειφθεί η επίδραση των μακροχρόνιων (κυκλικών) διακυμάνσεων στις παραμέτρους τάσης, ο αριθμός των βασικών μετατοπίσεων πρέπει να είναι ίσος ή πολλαπλάσιος του μήκους του κύκλου διακύμανσης. Στη συνέχεια, η αρχή και το τέλος της βάσης θα «τρέξουν» διαδοχικά σε όλες τις φάσεις του κύκλου και όταν η παράμετρος υπολογιστεί κατά μέσο όρο σε όλες τις μετατοπίσεις, οι παραμορφώσεις της από τις κυκλικές διακυμάνσεις θα ακυρωθούν η μία την άλλη. Ένας άλλος τρόπος είναι να πάρουμε το μήκος της ολισθαίνουσας βάσης ίσο με το μήκος του κύκλου, έτσι ώστε η αρχή της βάσης και το τέλος της βάσης να πέφτουν πάντα στην ίδια φάση του κύκλου ταλάντωσης.
Αφού σύμφωνα με τον Πίνακα. 9.4, έχει ήδη διαπιστωθεί ότι η τάση έχει γραμμική μορφή, υπολογίζουμε τη μέση ετήσια απόλυτη αύξηση, δηλ. την παράμετρο σιγραμμικές εξισώσεις τάσεων με ολίσθηση σε βάσεις 11 ετών (βλ. Πίνακα 9.7). Περιλαμβάνει επίσης τον υπολογισμό των δεδομένων που είναι απαραίτητα για τη μετέπειτα μελέτη της μεταβλητότητας στην παράγραφο 9.7. Ας σταθούμε αναλυτικότερα στη μέθοδο της πολλαπλής ευθυγράμμισης με συρόμενες βάσεις. Υπολογίστε την παράμετρο σιγια όλες τις βάσεις:
Στατιστικοί υπολογισμοί περιεκτικότητας σε υγρασία
δοκιμή
2. Εξίσωση τάσης βασισμένη σε γραμμική εξάρτηση.
2.1. Τα κύρια στοιχεία της χρονοσειράς.
Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα οικονομετρικό μοντέλο χρησιμοποιώντας δύο τύπους δεδομένων εισόδου:
Δεδομένα που χαρακτηρίζουν το σύνολο των διαφόρων αντικειμένων σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
Δεδομένα που χαρακτηρίζουν ένα αντικείμενο για έναν αριθμό διαδοχικών χρονικών σημείων.
Τα μοντέλα που δημιουργούνται από δεδομένα του πρώτου τύπου ονομάζονται χωρικά. Τα μοντέλα που κατασκευάζονται με βάση τον δεύτερο τύπο δεδομένων ονομάζονται χρονοσειρές.
Μια χρονοσειρά είναι ένα σύνολο τιμών ενός δείκτη για πολλές διαδοχικές στιγμές ή χρονικές περιόδους. Κάθε επίπεδο της χρονοσειράς διαμορφώνεται υπό την επίδραση ενός μεγάλου αριθμού παραγόντων, οι οποίοι μπορούν να χωριστούν υπό όρους σε τρεις ομάδες:
Παράγοντες που διαμορφώνουν την τάση της σειράς.
Παράγοντες που σχηματίζουν τις κυκλικές διακυμάνσεις της σειράς.
τυχαίους παράγοντες.
Με διάφορους συνδυασμούς αυτών των παραγόντων στο υπό μελέτη φαινόμενο ή διαδικασία, η εξάρτηση των επιπέδων της σειράς από τον χρόνο μπορεί να λάβει διάφορες μορφές.
Πρώτον, οι περισσότερες χρονοσειρές των οικονομικών δεικτών έχουν μια τάση που χαρακτηρίζει τη σωρευτική μακροπρόθεσμη επίδραση πολλών παραγόντων στη δυναμική του υπό μελέτη δείκτη. Είναι προφανές ότι αυτοί οι παράγοντες, λαμβανόμενοι χωριστά, μπορούν να έχουν πολυκατευθυντική επίδραση στον υπό μελέτη δείκτη. Ωστόσο, μαζί διαμορφώνουν την αυξητική ή πτωτική του τάση. Στο σχ. 1. δείχνει μια χρονοσειρά που περιέχει μια αυξητική τάση.
Δεύτερον, ο υπό μελέτη δείκτης μπορεί να υπόκειται σε κυκλικές διακυμάνσεις. Αυτές οι διακυμάνσεις μπορεί να έχουν εποχιακό χαρακτήρα, καθώς η οικονομική δραστηριότητα ορισμένων τομέων της οικονομίας εξαρτάται από την εποχή του χρόνου. Με την παρουσία μεγάλου όγκου δεδομένων για μεγάλες χρονικές περιόδους, είναι δυνατό να εντοπιστούν κυκλικές διακυμάνσεις που σχετίζονται με τη γενική δυναμική της κατάστασης της αγοράς, καθώς και με τη φάση του επιχειρηματικού κύκλου στην οποία βρίσκεται η οικονομία της χώρας. Στο σχ. 2. εμφανίζει μια χρονοσειρά που περιέχει μόνο την εποχική συνιστώσα.
Ορισμένες χρονοσειρές δεν περιέχουν μια τάση και μια κυκλική συνιστώσα και κάθε επόμενο επίπεδο βασίζεται στο άθροισμα του μέσου επιπέδου της σειράς και κάποιου τυχαίου στοιχείου. Ένα παράδειγμα μιας σειράς που περιέχει μόνο ένα τυχαίο στοιχείο φαίνεται στο Σχ. 3.
Είναι προφανές ότι τα πραγματικά δεδομένα δεν προκύπτουν πλήρως από κανένα από τα περιγραφόμενα μοντέλα. Τις περισσότερες φορές περιέχουν και τα τρία συστατικά. Κάθε επίπεδό τους διαμορφώνεται υπό την επίδραση μιας τάσης, εποχιακών διακυμάνσεων και μιας τυχαίας συνιστώσας.
Στις περισσότερες περιπτώσεις, το πραγματικό επίπεδο μιας χρονοσειράς μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ή το γινόμενο της τάσης, του κύκλου και των τυχαίων στοιχείων. Ένα μοντέλο στο οποίο η χρονοσειρά παρουσιάζεται ως το άθροισμα των συστατικών που παρατίθενται ονομάζεται προσθετικό μοντέλο. Ένα μοντέλο στο οποίο η χρονοσειρά παρουσιάζεται ως γινόμενο των συστατικών που παρατίθενται ονομάζεται πολλαπλασιαστικό μοντέλο.
2.2. Αυτοσυσχέτιση επιπέδων χρονοσειρών.
Εάν υπάρχει τάση και κυκλικές διακυμάνσεις στη χρονοσειρά, οι τιμές κάθε επόμενου επιπέδου της σειράς εξαρτώνται από τις προηγούμενες. Η εξάρτηση συσχέτισης μεταξύ διαδοχικών επιπέδων της χρονοσειράς ονομάζεται αυτοσυσχέτιση. Μπορεί να μετρηθεί ποσοτικά χρησιμοποιώντας έναν γραμμικό συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των επιπέδων της αρχικής χρονοσειράς και των επιπέδων αυτής της σειράς που μετατοπίστηκαν στο χρόνο.
Ένας από τους τύπους εργασίας για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης είναι:
rxy = (Χι - Χ) * (yι - y) .
(x j -x) 2 * (y j -y) 2
Ως μεταβλητή x θεωρούμε τη σειρά y 2 , y 3 , ... y t ; ως μεταβλητή y θεωρήστε τη σειρά y 1 , y 2 , ... y t -1 . Τότε αυτός ο τύπος θα πάρει τη μορφή:
r 1 = (υ t - y 1 ) * (y t-1 - y 2 ) ; όπου y 1 = y t ; y 2 = y t-1 .
(y t -y 1) 2 * (y t-1 -y 2) 2 n - 1 n - 1
Αυτή η τιμή ονομάζεται συντελεστής αυτοσυσχέτισης των επιπέδων της σειράς πρώτης τάξης. Ο αριθμός των περιόδων κατά τις οποίες υπολογίζεται ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ονομάζεται υστέρηση. Καθώς αυξάνεται η υστέρηση, ο αριθμός των ζευγών τιμών που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του συντελεστή αυτοσυσχέτισης μειώνεται.
Ιδιότητες του συντελεστή αυτοσυσχέτισης:
Πρώτον, κατασκευάζεται κατ' αναλογία με τον συντελεστή γραμμικής συσχέτισης και έτσι χαρακτηρίζει την εγγύτητα μόνο μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ του τρέχοντος και των προηγούμενων επιπέδων της σειράς. Επομένως, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κριθεί η παρουσία μιας γραμμικής τάσης.
Δεύτερον, με το πρόσημο του συντελεστή αυτοσυσχέτισης δεν μπορεί κανείς να βγάλει συμπέρασμα για αυξητική ή πτωτική τάση στα επίπεδα της σειράς.
Η ακολουθία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης του πρώτου, του δεύτερου κ.λπ. επιπέδου. εντολές ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της χρονοσειράς. Το γράφημα της εξάρτησης των τιμών του από το μέγεθος της υστέρησης ονομάζεται συσχετιστικόγραμμα. Η ανάλυση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και του συσχετισμού καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της υστέρησης στην οποία η αυτοσυσχέτιση είναι η υψηλότερη και, κατά συνέπεια, η υστέρηση στην οποία η σχέση μεταξύ του τρέχοντος και των προηγούμενων επιπέδων της σειράς είναι η πιο κοντινή, δηλ. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και του συσχετισμού, μπορεί κανείς να αποκαλύψει τη δομή της σειράς.
Εάν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης αποδείχθηκε ο υψηλότερος, η υπό μελέτη σειρά περιέχει μόνο μια τάση. Εάν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης τάξης t αποδεικνύεται ότι είναι ο υψηλότερος, η σειρά περιέχει κυκλικές ταλαντώσεις με περιοδικότητα t χρονικών σημείων. Εάν κανένας από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι σημαντικός, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είτε η σειρά δεν περιέχει τάση και κυκλικές διακυμάνσεις, είτε η σειρά περιέχει ισχυρή μη γραμμική τάση, η οποία απαιτεί πρόσθετη ανάλυση για να προσδιοριστεί.
2.3. Μοντελοποίηση της τάσης των χρονοσειρών.
Ένας από τους πιο συνηθισμένους τρόπους μοντελοποίησης της τάσης μιας χρονοσειράς είναι η δημιουργία μιας αναλυτικής συνάρτησης που χαρακτηρίζει την εξάρτηση των επιπέδων της σειράς από το χρόνο ή την τάση. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται αναλυτική στοίχιση των χρονοσειρών.
Επειδή Η εξάρτηση από το χρόνο μπορεί να πάρει διαφορετικές μορφές, για την επισημοποίησή της, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους συναρτήσεων. Οι ακόλουθες λειτουργίες χρησιμοποιούνται συχνότερα για τη δημιουργία τάσεων:
Γραμμική τάση: y t = a + b*t ;
Υπερβολή: y t = a + b/t ;
Εκθετική τάση: y t = e a + b * t ;
Τάση συνάρτησης ισχύος: y t = a*t ;
Παραβολή: y t = a + b 1 *t + b 2 *t 2 + ... + b k *t k ;
Οι παράμετροι καθεμιάς από αυτές τις τάσεις μπορούν να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, χρησιμοποιώντας τον χρόνο t = 1, 2, ... ,n ως ανεξάρτητη μεταβλητή και τα πραγματικά επίπεδα της χρονοσειράς y t ως εξαρτημένη μεταβλητή. Για τις μη γραμμικές τάσεις, πραγματοποιείται προκαταρκτικά μια τυπική διαδικασία για τη γραμμικοποίησή τους.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να προσδιορίσετε το είδος της τάσης. Οι πιο συνηθισμένες μέθοδοι περιλαμβάνουν την ποιοτική ανάλυση της υπό μελέτη διαδικασίας, την κατασκευή και οπτική ανάλυση ενός γραφήματος της εξάρτησης των επιπέδων μιας σειράς από το χρόνο και τον υπολογισμό ορισμένων βασικών δεικτών δυναμικής. Για τους ίδιους σκοπούς μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης των επιπέδων της σειράς. Ο τύπος τάσης μπορεί να προσδιοριστεί συγκρίνοντας τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης που υπολογίζονται από τα αρχικά και τα μετασχηματισμένα επίπεδα της σειράς. Εάν η χρονοσειρά έχει γραμμική τάση, τότε τα γειτονικά της επίπεδα y t και y t -1 συσχετίζονται στενά. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης των επιπέδων της αρχικής σειράς θα πρέπει να είναι υψηλός. Εάν η χρονοσειρά περιέχει μια μη γραμμική τάση, για παράδειγμα, με τη μορφή εκθετικής, τότε ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης για τους λογάριθμους των επιπέδων της αρχικής σειράς θα είναι υψηλότερος από τον αντίστοιχο συντελεστή που υπολογίζεται για τα επίπεδα η σειρά. Όσο ισχυρότερη είναι η μη γραμμική τάση στις υπό μελέτη χρονοσειρές, τόσο περισσότερο θα διαφέρουν οι τιμές των υποδεικνυόμενων συντελεστών.
Η επιλογή της καλύτερης εξίσωσης σε περίπτωση που η σειρά περιέχει μια μη γραμμική τάση μπορεί να πραγματοποιηθεί απαριθμώντας τις κύριες μορφές τάσης, υπολογίζοντας τον προσαρμοσμένο συντελεστή προσδιορισμού R για κάθε εξίσωση και επιλέγοντας την εξίσωση τάσης με τη μέγιστη τιμή του προσαρμοσμένου συντελεστή προσδιορισμού .
Οι υψηλές τιμές των συντελεστών αυτοσυσχέτισης της πρώτης, δεύτερης και τρίτης τάξης δείχνουν ότι η σειρά περιέχει μια τάση. Περίπου ίσες τιμές των συντελεστών αυτοσυσχέτισης για τα επίπεδα αυτής της σειράς και για τους λογάριθμους των επιπέδων μας επιτρέπουν να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα: εάν η σειρά περιέχει μια μη γραμμική τάση, τότε εκφράζεται σε μια σιωπηρή μορφή. Επομένως, για τη μοντελοποίηση της τάσης του, είναι εξίσου σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν τόσο γραμμικές όσο και μη γραμμικές συναρτήσεις, όπως μια τάση ισχύος ή η εκθετική τάση. Για να προσδιοριστεί η καλύτερη εξίσωση τάσης, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι παράμετροι των κύριων τύπων τάσεων.
Η απλούστερη οικονομική ερμηνεία είναι για γραμμικές και εκθετικές παραμέτρους τάσης. Παράμετροι γραμμικής τάσης:
a - αρχικό επίπεδο της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t = 0.
b είναι η μέση απόλυτη αύξηση των επιπέδων της σειράς κατά τη διάρκεια της περιόδου.
Οι τιμές των επιπέδων χρονοσειρών που υπολογίζονται σύμφωνα με τη γραμμική τάση προσδιορίζονται με δύο τρόπους. Πρώτον, είναι δυνατό να αντικατασταθούν με συνέπεια οι τιμές t = 1, 2, ..., n στην εξίσωση τάσης που βρέθηκε. Δεύτερον, σύμφωνα με την ερμηνεία των παραμέτρων της γραμμικής τάσης, κάθε επόμενο επίπεδο της σειράς είναι το άθροισμα του προηγούμενου επιπέδου και της μέσης απόλυτης αύξησης της αλυσίδας.
Εργασία #1
Δέκα άτομα διαφορετικών ηλικιών έχουν τις ακόλουθες παραμέτρους:
1. Προσδιορίστε το αποτελεσματικό χαρακτηριστικό.
Υπολογίστε την εξάρτηση του ύψους από την ηλικία:
Συντελεστής (Χ): ηλικία.
Αποτελεσματικό πρόσημο (Υ): ανάπτυξη.
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 248*b = 1812
248*a + 6492*b = 45023
α = 1812 - 248*β => 1812 - 248*β*248 + 6492*b = 45023
r= x*y - ( Χ* y)/n = 45023 - (248*1812)/10 =>
(x 2 - (x) 2 / n) * (y 2 - (y) 2 / n) (6492 - 248 2 / 10) * (328444 - 1812 2 / 10)
r = 0,44 - άμεση μέτρια σύνδεση
r 2 \u003d 0,19 - η ανάπτυξη κατά 19% εξαρτάται από την ηλικία
Τεστ Fisher:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.19 * (10 - 2) = 1.78
Πίνακας F = 5,32
Fcp< F табл =>
Υπολογίστε την εξάρτηση του βάρους από την ηλικία:
Συντελεστής (Χ): ηλικία.
Ας προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της γραμμικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας το σύστημα εξισώσεων:
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 248*b = 753
248*a + 6492*b = 18856
α = 753 - 248*β => 1812 - 248*β*248 + 6492*b = 18856
r= x*y - ( Χ* y)/n = 18856 - (248*753)/10 =>
(x 2 - (x) 2 / n) * (y 2 - (y) 2 / n) (6492 - 248 2 / 10) * (56967 - 753 2 / 10)
r = 0,6 - αξιοσημείωτη άμεση σχέση
r 2 \u003d 0,36 - το βάρος εξαρτάται κατά 36% από την ηλικία
Τεστ Fisher:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.36 * (10 - 2) = 4.5
Πίνακας F = 5,32
Fcp< F табл =>η μηδενική υπόθεση επιβεβαιώθηκε, η εξίσωση είναι στατιστικά ασήμαντη.
Υπολογίστε την εξάρτηση του βάρους από το ύψος:
Παράγοντας (Χ): ανάπτυξη.
Αποτελεσματικό πρόσημο (Υ): βάρος.
Ας προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της γραμμικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας το σύστημα εξισώσεων:
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 1812*b = 753
1812*a + 328444*b = 136562
α = 753 - 1812*β => 753 - 1812*β*1812 + 328444*b = 136562
r= x*y - ( Χ* y)/n = 136562 - (1812*753)/10 =>
(x 2 - (x) 2 / n) * (y 2 - (y) 2 / n) (328444 - 1812 2 / 10) * (56967 - 753 2 / 10)
r = 0,69 - αξιοσημείωτη άμεση σχέση
r 2 \u003d 0,47 - το βάρος εξαρτάται κατά 47% από το ύψος
x = 1812/10 = 181,2
Τεστ Fisher:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.47 * (10 - 2) = 7.1
Πίνακας F = 5,32
F cp > F πίνακας => η μηδενική υπόθεση δεν επιβεβαιώθηκε, η εξίσωση έχει οικονομική λογική.
Τεστ μαθητή:
Ας υπολογίσουμε τα τυχαία σφάλματα:
.
m a = (ε - υΧ ) 2 * Χ 2 .
n - 2 n*(x - x) 2
m b = (ε - υΧ ) 2 / (n - 2)
m r = 1-r 2
m a = 138.19 * 328444 = 72
m b = 138.19 / (10 - 2) = 1
m r = 1 - 0.47 = 0.26
t a \u003d a / m a \u003d 120/72 \u003d 1,67
t b \u003d b / m b \u003d 1,08 / 1 \u003d 1,08
t r = r/m r = 0,69/0,26 = 2,65
t πίνακας = 2,3
Για να υπολογίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης, υπολογίζουμε το οριακό σφάλμα:
a = t πίνακας - t a = 2,3 - 1,67 = 0,63
b \u003d t πίνακας - t b \u003d 2,3 - 1,08 \u003d 1,22
r = t πίνακας - t r = 2,3 - 2,65 = -0,35
Ας υπολογίσουμε τα διαστήματα εμπιστοσύνης:
a = a a = -121,03 119,77
b = b b = -0,14 2,3
r = r r = 0,34 1,04
Εργασία #2
Κατά τον τυχαίο έλεγχο του ποσοστού εδαφικής υγρασίας των αγροκτημάτων της περιοχής προέκυψαν τα ακόλουθα δεδομένα:
1. Με πιθανότητα 0,95 και 0,99 ορίστε το όριο στο οποίο βρίσκεται το μέσο ποσοστό περιεκτικότητας σε υγρασία.
2. Εξάγετε συμπεράσματα.
Γενικός μέσος όρος: x = Χ = 31.1 = 3.8875
Γενική διακύμανση: 2 = (Χ - Χ) 2 = 1.8875 = 0.1261
ν 8 .
Τυπικό σφάλμα ρίζας μέσου τετραγώνου: x = 2 = 0.1261 = 0.126
Οριακό σφάλμα δειγματοληψίας: x = t* x
Από τον πίνακα t-test Student:
Για πιθανότητα 0,95, το οριακό σφάλμα δειγματοληψίας είναι:
x = 2,4469*0,126 = 0,308
Για πιθανότητα 0,99, το οριακό σφάλμα δειγματοληψίας είναι:
x = 3,7074*0,126 = 0,467
Διαστήματα εμπιστοσύνης:
Το όριο του μέσου ποσοστού περιεκτικότητας σε υγρασία με πιθανότητα 0,95:
Ανώτερος κεντρικός εκθέτης κάποιου γραμμικού συστήματος
Ας δοθεί το σύστημα (2) και η λύση του. Ας εξετάσουμε μια οικογένεια συναρτήσεων, Ορισμός 5: Η συνάρτηση R (t) ονομάζεται ανώτερη για το σύστημα (2) εάν είναι οριοθετημένη, μετρήσιμη και αξιολογεί, Πού είναι ο κανόνας του πίνακα Cauchy του γραμμικού συστήματος.. .
Διαφορικός λογισμός
Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, διατυπώνουμε τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο: Για να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0, πρέπει: 1) Να βρείτε τη f(x ) - f(x0); 2) κάνει μια αναλογία διαφορά? 3) Υπολογίστε το όριο...
Διαφορικός λογισμός
Με βάση τον ορισμό του παραγώγου...
Αμετάβλητες υποομάδες διπρωτογενών ομάδων
Η Σημείωση (1) διορθώνει ένα σφάλμα που έγινε από το Burnside στο (2). Δηλαδή, στο (3) αποδεικνύεται ότι η ομάδα τάξης, όπου και είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί και, είτε έχει μια χαρακτηριστική -υποομάδα τάξης...
Η χρήση σύγχρονης τεχνολογίας υπολογιστών και λογισμικού για την επίλυση ενός εφαρμοσμένου προβλήματος από την πρακτική μηχανικής και γεωτρήσεων
Γνωρίζοντας τις τιμές των συντελεστών a0, a1 και a2, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του y σύμφωνα με τον τύπο, στην περίπτωσή μας. Η διαφορά μεταξύ των πειραματικών και των θεωρητικών δεδομένων είναι μικρή. Τα δεδομένα που ελήφθησαν μας επιτρέπουν να βρούμε την εξάρτηση, 5...
Γραμμική πολυπλοκότητα κυκλοτομικών ακολουθιών
Έστω η ακολουθία τέταρτης τάξης, δηλαδή, τότε, σύμφωνα με το Λήμμα 1.1, σχηματίζεται σύμφωνα με τον κανόνα: (2.1) Σημειώστε ότι ο κανόνας (2.1) ορίζει μια ακολουθία μόνο όταν...
Μαθηματικό μοντέλο της ψηφιακής συσκευής του παιχνιδιού "Tic-tac-toe" με ένα άτομο
Ο αγωνιστικός χώρος του tic-tac-toe μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα πλέγμα που αποτελείται από σειρές και στήλες. Κάθε στοιχείο πλέγματος μπορεί να είναι σε τρεις καταστάσεις: κενό (αρχικό), σημειωμένο με σταυρό, σημειωμένο με μηδέν...
Μέθοδοι κοπής
Μεταξύ του συνόλου των n αδιαίρετων στοιχείων, κάθε i-and (i=1,2,…, n) από τα οποία έχει δείκτη και χρησιμότητα σύμφωνα με το i-ο χαρακτηριστικό για την εύρεση ενός τέτοιου συνόλου που επιτρέπει τη μεγιστοποίηση της αποτελεσματικότητας της χρήσης πόρων του μεγέθους...
Κατά προσέγγιση λύση αλγεβρικών και υπερβατικών εξισώσεων. Η μέθοδος του Νεύτωνα
Οι πληροφορίες σχετικά με προηγούμενες προσεγγίσεις της ρίζας χρησιμοποιούνται για την εύρεση μεταγενέστερων προσεγγίσεων όχι μόνο στη μέθοδο της εφαπτομένης. Ως παράδειγμα άλλης τέτοιας μεθόδου, παρουσιάζουμε τη μέθοδο...
Στατιστικοί υπολογισμοί περιεκτικότητας σε υγρασία
Πρακτικές εργασίες: 1. Δέκα άτομα διαφορετικών ηλικιών έχουν τις ακόλουθες παραμέτρους: Ηλικία, ετών 18 20 21 22 22 24 25 26 31 39 Ύψος, cm 174 183 182 180 178 179 185 1815 274 184 kg 78 84 79 79 1...
Διάλεξη 4 ΚΥΡΙΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝΣτο Κεφάλαιο 2 εξετάστηκε η έννοια της τάσης μιας χρονοσειράς, δηλ. τάσεις στη δυναμική ανάπτυξης του υπό μελέτη δείκτη. Το καθήκον αυτού του κεφαλαίου είναι να εξετάσει τους κύριους τύπους τέτοιων τάσεων, τις ιδιότητές τους, που αντικατοπτρίζονται με μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό πληρότητας από την εξίσωση της γραμμής τάσης. Ταυτόχρονα, επισημαίνουμε ότι, σε αντίθεση με τα απλά συστήματα μηχανικής, οι τάσεις στους δείκτες σύνθετων κοινωνικών, οικονομικών, βιολογικών και τεχνικών συστημάτων αντικατοπτρίζονται μόνο με κάποια προσέγγιση από τη μία ή την άλλη εξίσωση, μια γραμμή τάσης.
Αυτό το κεφάλαιο δεν εξετάζει όλες τις γραμμές και τις εξισώσεις τους γνωστές στα μαθηματικά, αλλά μόνο ένα σύνολο από τις σχετικά απλές μορφές τους, τις οποίες θεωρούμε επαρκείς για την εμφάνιση και ανάλυση των περισσότερων τάσεων χρονοσειρών που συναντώνται στην πράξη. Σε αυτή την περίπτωση, είναι επιθυμητό να επιλέγετε πάντα από διάφορους τύπους γραμμών που εκφράζουν στενά την τάση, μια πιο απλή γραμμή. Αυτή η «αρχή της απλότητας» δικαιολογείται από το γεγονός ότι όσο πιο σύνθετη είναι η εξίσωση γραμμής τάσης, όσο περισσότερες παραμέτρους περιέχει, τόσο πιο δύσκολο είναι να δοθεί μια αξιόπιστη εκτίμηση αυτών των παραμέτρων για περιορισμένο αριθμό επιπέδων της σειράς με ίσο βαθμό προσέγγισης και όσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα στην εκτίμηση αυτών των παραμέτρων, τόσο τα σφάλματα στα προβλεπόμενα επίπεδα.
4.1. Ευθύγραμμη τάση και οι ιδιότητές της
Ο απλούστερος τύπος γραμμής τάσης είναι μια ευθεία γραμμή, που περιγράφεται από μια γραμμική (δηλαδή πρώτου βαθμού) εξίσωση τάσης:
Οπου 
-
ευθυγραμμισμένο, δηλ. Χωρίς διακυμάνσεις, επίπεδα τάσης για χρόνια με αριθμό i.
ένα- ελεύθερος όρος της εξίσωσης, αριθμητικά ίσος με το μέσο ισοπεδωμένο επίπεδο για τη στιγμή ή τη χρονική περίοδο που λαμβάνεται ως αρχή, δηλ. Για
t = 0;
σι - τη μέση τιμή της μεταβολής των επιπέδων της σειράς ανά μονάδα μεταβολής του χρόνου·
τι - αριθμούς στιγμών ή χρονικών περιόδων στις οποίες αναφέρονται τα επίπεδα των χρονοσειρών (έτος, τρίμηνο, μήνας, ημερομηνία).
Η μέση μεταβολή των επιπέδων της σειράς ανά μονάδα χρόνου είναι η κύρια παράμετρος και η σταθερά της ευθύγραμμης τάσης. Επομένως, αυτός ο τύπος τάσης είναι κατάλληλος για την εμφάνιση μιας τάσης περίπου ομοιόμορφων αλλαγών στα επίπεδα: ίσα μέσα απόλυτα κέρδη ή απόλυτες μειώσεις στα επίπεδα σε ίσα χρονικά διαστήματα. Η πρακτική δείχνει ότι ένας τέτοιος χαρακτήρας δυναμικής εμφανίζεται αρκετά συχνά. Ο λόγος για τις σχεδόν ομοιόμορφες απόλυτες αλλαγές στα επίπεδα της σειράς είναι ο εξής: πολλά φαινόμενα, όπως οι αποδόσεις των καλλιεργειών, ο πληθυσμός μιας περιοχής, η πόλη, το ύψος του εισοδήματος του πληθυσμού, η μέση κατανάλωση ενός προϊόντος διατροφής κ.λπ., εξαρτώνται από μεγάλο αριθμό διαφορετικών παραγόντων. Ορισμένα από αυτά επηρεάζουν προς την κατεύθυνση της επιταχυνόμενης ανάπτυξης του υπό μελέτη φαινομένου, άλλα - προς την κατεύθυνση της αργής ανάπτυξης, άλλα - προς την κατεύθυνση της μείωσης των επιπέδων κ.λπ. Η επίδραση των πολλαπλών κατευθύνσεων και των πολλαπλών επιταχυνόμενων (αργών) δυνάμεων των παραγόντων υπολογίζεται αμοιβαία κατά μέσο όρο, εν μέρει ακυρώνεται αμοιβαία και το αποτέλεσμα των επιρροών τους αποκτά χαρακτήρα κοντά σε μια ομοιόμορφη τάση. Έτσι, μια ομοιόμορφη τάση δυναμικής (ή στασιμότητας) είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης της επίδρασης ενός μεγάλου αριθμού παραγόντων στη μεταβολή του υπό μελέτη δείκτη.
Μια γραφική αναπαράσταση μιας ευθύγραμμης τάσης είναι μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με γραμμική (αριθμητική) κλίμακα και στους δύο άξονες. Ένα παράδειγμα γραμμικής τάσης δίνεται στο σχήμα. 4.1.
Οι απόλυτες αλλαγές στα επίπεδα σε διαφορετικά έτη δεν ήταν ακριβώς οι ίδιες, αλλά η γενική τάση μείωσης του αριθμού των απασχολουμένων στην εθνική οικονομία αντικατοπτρίζεται πολύ καλά από μια σταθερή τάση. Οι παράμετροί του υπολογίζονται στο Κεφ. 5 (Πίνακας 5.3).
Οι κύριες ιδιότητες μιας τάσης με τη μορφή ευθείας γραμμής είναι οι εξής:
Ίσες αλλαγές σε ίσα χρονικά διαστήματα.
Εάν η μέση απόλυτη ανάπτυξη είναι θετική, τότε οι σχετικές αυξήσεις ή οι ρυθμοί ανάπτυξης μειώνονται σταδιακά.
Εάν η μέση απόλυτη μεταβολή είναι αρνητική τιμή, τότε η σχετική μεταβολή ή ο ρυθμός συστολής αυξάνεται σταδιακά κατά την απόλυτη τιμή της πτώσης στο προηγούμενο επίπεδο.
Εάν η τάση είναι να μειωθούν τα επίπεδα και η υπό μελέτη τιμή είναι εξ ορισμού θετική, τότε ο μέσος όρος αλλάζει σιδεν μπορεί να είναι πάνω από το μέσο όρο ένα;
Με γραμμική τάση, επιτάχυνση, δηλ. η διαφορά των απόλυτων μεταβολών για διαδοχικές περιόδους είναι ίση με μηδέν.
Ο Πίνακας 1 απεικονίζει τις ιδιότητες μιας γραμμικής τάσης. 4.1. Εξίσωση τάσης: = 100 +20 *ti.
Οι δείκτες δυναμικής παρουσίας τάσης μείωσης των επιπέδων δίνονται στον πίνακα. 4.2.
Πίνακας 4.1
Δείκτες δυναμικής με γραμμική τάση προς αύξηση των επιπέδων = 100 +20 *ti.
| Αριθμός περιόδου ti | Επίπεδο | | Τιμές (αλυσίδα), % | Επιτάχυνση |
| 1 | 120 | +20 | 120,0 | - |
| 2 | 140 | +20 | 116,7 | 0 |
| 3 | 160 | +20 | 114,3 | 0 |
| 4 | 180 | +20 | 112,5 | 0 |
| 5 | 200 | +20 | 111,1 | 0 |
| 6 | 220 | +20 | 110,0 | 0 |
Πίνακας 4.2
Δείκτες δυναμικής με γραμμική τάση μείωσης στάθμης: = 200 -20 *ti.
| Αριθμός περιόδου ti | Επίπεδο | Απόλυτη αλλαγή σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Ποσοστό για την προηγούμενη περίοδο, % | Επιτάχυνση |
| 1 | 180 | -20 | 90,0 | - |
| 2 | 160 | -20 | 88,9 | 0 |
| 3 | 140 | -20 | 87,5 | 0 |
| 4 | 120 | -20 | 85,7 | 0 |
| 5 | 100 | -20 | 83,3 | 0 |
| 6 | 80 | -20 | 80,0 | 0 |
^ 4.2. Παραβολική τάση και οι ιδιότητές της
Με το όνομα της παραβολικής, εννοούμε την τάση που εκφράζεται με μια παραβολή δεύτερης τάξης με την εξίσωση
=a+b*t+c*t 2 .
Οι παραβολές τρίτης τάξης και υψηλότερες τάξεις είναι σπάνια εφαρμόσιμες για την έκφραση της τάσης της δυναμικής και είναι πολύ περίπλοκες για να ληφθούν αξιόπιστες εκτιμήσεις παραμέτρων για περιορισμένο μήκος της χρονοσειράς. Μια ευθεία γραμμή, από την άποψη των μαθηματικών, μπορεί επίσης να θεωρηθεί ένας από τους τύπους παραβολών - μια παραβολή πρώτης τάξης, η οποία έχει ήδη εξεταστεί νωρίτερα.
Οι τιμές (έννοια, ουσία) των παραμέτρων παραβολής της δεύτερης τάξης είναι οι εξής: ελεύθερος όρος ένα -αυτό είναι το μέσο (ισοπεδωμένο) επίπεδο της τάσης τη στιγμή ή την περίοδο που λαμβάνεται ως αρχή της χρονικής αναφοράς, δηλ. t = 0; σι - Αυτή είναι η μέση ετήσια αύξηση σε ολόκληρη την περίοδο, η οποία δεν είναι πλέον σταθερή, αλλά αλλάζει ομοιόμορφα με μέση επιτάχυνση ίση με 2 s, η οποία χρησιμεύει ως σταθερά, η κύρια παράμετρος της παραβολής δεύτερης τάξης.
Επομένως, η τάση με τη μορφή παραβολής δεύτερης τάξης χρησιμοποιείται για την εμφάνιση τέτοιων τάσεων στη δυναμική, οι οποίες χαρακτηρίζονται από μια περίπου σταθερή επιτάχυνση των απόλυτων μεταβολών στα επίπεδα. Διεργασίες αυτού του είδους συμβαίνουν στην πράξη πολύ λιγότερο συχνά από τις διαδικασίες με ομοιόμορφη αλλαγή, αλλά, από την άλλη πλευρά, οποιαδήποτε απόκλιση της διαδικασίας από μια αυστηρά ομοιόμορφη αύξηση (ή μείωση) στα επίπεδα μπορεί να ερμηνευθεί ως παρουσία επιτάχυνσης. Επιπλέον, υπάρχει ένας αυστηρός μαθηματικός κανόνας: όσο υψηλότερη είναι η σειρά της παραβολής, τόσο πιο κοντά είναι η γραμμή τάσης στα επίπεδα της αρχικής χρονοσειράς. Εάν αυτός ο κανόνας φτάσει στο ακραίο όριο, τότε οποιαδήποτε σειρά από Πτα επίπεδα μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια με μια παραβολή ( Π-1)-ουΣειρά! (Μία ευθεία γραμμή διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία, μία παραβολή δεύτερης τάξης διέρχεται από τρία σημεία, κ.λπ.) Μια τέτοια «προσέγγιση» της γραμμής τάσης σε μια εμπειρική σειρά που περιέχει τόσο μια τάση όσο και τις διακυμάνσεις δεν μπορεί να θεωρηθεί επίτευγμα επιστημονικού ανάλυση. Αντίθετα, χρησιμοποιώντας μια παραβολή υψηλότερης τάξης όπου η ουσία της διαδικασίας δεν το απαιτεί, αλλά μόνο για χάρη της μείωσης του υπολειπόμενου αθροίσματος των αποκλίσεων (ή των τετραγώνων τους) των επιμέρους επιπέδων από την τάση, ο ερευνητής εγκαταλείπει τον στόχο. , αναμειγνύοντας την τάση με τις διακυμάνσεις.
Η παραβολή δεύτερης τάξης, ως εξίσωση τάσης, εφαρμόζεται σε διάφορες διαδικασίες, οι οποίες σε κάποιο, κατά κανόνα, βραχυπρόθεσμο στάδιο ανάπτυξης, έχουν περίπου σταθερή επιτάχυνση της απόλυτης αύξησης των επιπέδων. Αυτά είναι η αύξηση του πληθυσμού μεμονωμένων πόλεων ή περιοχών, η επιταχυνόμενη αύξηση του όγκου της παραγωγής στη φάση της κυκλικής ανάκαμψης, όπως η δυναμική των εξαγωγών της Ιαπωνίας το 1988-1995. στο σχ. 4.2.
Ρύζι . 4.2. Ιαπωνική δυναμική εξαγωγών
Ο υπολογισμός της εξίσωσης αυτής της παραβολής δίνεται στο Κεφ. 5. Οι κύριες ιδιότητες της τάσης με τη μορφή παραβολής δεύτερης τάξης είναι οι εξής:
1) άνισες, αλλά ομοιόμορφα αυξανόμενες ή ομοιόμορφα φθίνουσες απόλυτες μεταβολές σε ίσα χρονικά διαστήματα.
2) η παραβολή, θεωρούμενη ως προς τη μαθηματική της μορφή, έχει δύο κλάδους: ανοδική με αύξηση των επιπέδων του χαρακτηριστικού και φθίνουσα με τη μείωση τους. Ωστόσο, όσον αφορά τις στατιστικές σχετικά με το περιεχόμενο της υπό μελέτη διαδικασίας αλλαγής, μια τάση που εκφράζει μια συγκεκριμένη αναπτυξιακή τάση μπορεί συνήθως να θεωρηθεί μόνο ένας από τους κλάδους:
Είτε ανοδική είτε φθίνουσα. Σε ειδικές, πιο συγκεκριμένες καταστάσεις, δεν αρνούμαστε τη δυνατότητα συνδυασμού και των δύο κλάδων σε μια ενιαία τάση.
3) από τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης ένακαθώς η τιμή του δείκτη στην αρχική στιγμή (περίοδο) της χρονικής αναφοράς, κατά κανόνα, η τιμή είναι θετική, τότε η φύση της τάσης καθορίζεται από τα σημάδια των παραμέτρων σι και Με:
Α) στο σι >0 και c>0 έχουμε έναν αύξοντα κλάδο, δηλ. τάση για επιταχυνόμενη αύξηση των επιπέδων.
Νυχτερίδα σι <0 και με<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;
Νυχτερίδα σι> 0 και με<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю-щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про-цессом;
Δ) στο σι <0 και c>0 έχουμε είτε φθίνουσα διακλάδωση με επιβραδυνόμενη μείωση των επιπέδων, είτε και τους δύο κλάδους - φθίνουσα και αύξουσα, αν μπορούν να θεωρηθούν ως ενιαία τάση.
4) με μια παραβολική τάση, ανάλογα με τις αναλογίες μεταξύ των παραμέτρων της, οι ρυθμοί αλλαγής της αλυσίδας μπορούν είτε να μειωθούν είτε να αυξηθούν για κάποιο χρονικό διάστημα, αλλά με μια αρκετά μεγάλη περίοδο, αργά ή γρήγορα, ο ρυθμός ανάπτυξης θα αρχίσει αναγκαστικά να μειώνεται και ο ρυθμός μείωσης των επιπέδων σε σι <0 και με<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).
Λόγω του περιορισμένου όγκου του σχολικού βιβλίου, δεν θα εξετάσουμε και τις τέσσερις περιπτώσεις παραβολικών τάσεων, αλλά μόνο τις δύο πρώτες (Πίνακες 4.3 και 4.4).
Πίνακας 4.3
Δείκτες δυναμικής σε παραβολική τάση,
| Αριθμός περιόδου ti | Επίπεδο  | Απόλυτη αλλαγή | | Επιτάχυνση |
| 1 | 122 | +22 | 122,0 | - |
| 2 | 148 | +26 | 121,3 | +4 |
| 3 | 178 | +30 | 120,3 | +4 |
| 4 | 212 | +34 | 119,1 | +4 |
| 5 | 250 | +38 | 117,9 | +4 |
| 6 | 292 | +42 | 116,8 | +4 |
^ Πίνακας 4.4
Δείκτες δυναμικής με παραβολική τάση ,
| Αριθμός περιόδου | Επίπεδο | Απόλυτος αλλαγή | Αλυσίδες, % σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Επιτάχυνση | Σχετική αλλαγή αλυσίδας, % σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο |
| 1 | 178 | -22 | 89,0 | - | -11,0 |
| 2 | 152 | -26 | 85,4 | -4 | -14,6 |
| 3 | 122 | -30 | 80,3 | -4 | -19,7 |
| 4 | 88 | -34 | 72,1 | -4 | -27,9 |
| 5 | 50 | -38 | 56,8 | -4 | -43,2 |
| 6 | 8 | -42 | 16,0 | -4 | -84,0 |
Σε εκείνες τις περιπτώσεις που, ουσιαστικά, η υπό μελέτη διαδικασία, επιτρέπεται να θεωρηθούν και οι δύο κλάδοι της παραβολής ως ενιαία τάση, έχει μεγάλο ενδιαφέρον να λυθεί το πρόβλημα της εύρεσης αυτής της περιόδου ή της χρονικής στιγμής που φτάνει το επίπεδο τάσης μέγιστο (όταν σι>0, s<0) ή ελάχιστο (αν σι<0, с>0). Εξωστρωμικό σημείο παραβολής
= α + bt + ct 2
επιτυγχάνεται στη μηδενική τιμή της πρώτης παραγώγου: 
^ 4.3. Εκθετική τάση και οι ιδιότητές της
εκθετική τάση
ονομάζεται η τάση που εκφράζεται από την εξίσωση: .
Ελεύθερο μέλος του εκθέτη έναισούται με το ισοπεδωμένο επίπεδο, δηλ. το επίπεδο τάσης τη στιγμή ή την περίοδο που λαμβάνεται ως αρχή της χρονικής αναφοράς, δηλ. στο t=
0.
Η κύρια παράμετρος της εκθετικής τάσης κείναι ένας σταθερός ρυθμός μεταβολής των επιπέδων (τιμή). Αν ένα κ>
1,
έχουμε μια τάση με αυξανόμενα επίπεδα, επιπλέον, αυτή η αύξηση δεν επιταχύνεται απλώς, αλλά με αυξανόμενη επιτάχυνση και αύξηση των παραγώγων όλων των υψηλότερων τάξεων. Αν ένα κ<
1, τότε έχουμε μια τάση που εκφράζει την τάση μιας σταθερής, αλλά επιβραδυνόμενης μείωσης των επιπέδων, και η επιβράδυνση αυξάνεται συνεχώς. Ο εκθέτης δεν έχει άκρο και στο 
τείνει σε είτε 
στο κ >
1 ή στο 0 όταν κ<
1.
Μια εκθετική τάση είναι χαρακτηριστική για διαδικασίες που αναπτύσσονται σε περιβάλλον που δεν δημιουργεί περιορισμούς για την ανάπτυξη του επιπέδου. Από αυτό προκύπτει ότι στην πράξη μπορεί να αναπτυχθεί μόνο για περιορισμένο χρονικό διάστημα, αφού οποιοδήποτε περιβάλλον αργά ή γρήγορα δημιουργεί περιορισμούς, οι πόροι εξαντλούνται με την πάροδο του χρόνου. Ωστόσο, η πρακτική έχει δείξει ότι, για παράδειγμα, ο πληθυσμός της Γης κατά την περίοδο 1950-1985. αυξήθηκε περίπου εκθετικά με τον μέσο ετήσιο ρυθμό ανάπτυξης κ= 1,018 και σε αυτό το διάστημα έχει διπλασιαστεί - από 2,5 σε 5 δισεκατομμύρια άτομα. (Εικ. 4.3). Επί του παρόντος, ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού μειώνεται σταδιακά.
Μια εκθετική αύξηση του όγκου των πωλήσεων και της παραγωγής συμβαίνει όταν εμφανίζονται νέοι τύποι προϊόντων και κυριαρχούνται από τη βιομηχανία: όταν εμφανίζονται έγχρωμες τηλεοράσεις, συσκευές εγγραφής βίντεο, συσκευές τηλεειδοποίησης κ.λπ., αλλά όταν η παραγωγή αρχίζει να γεμίζει την αγορά, πλησιάζοντας τη ζήτηση, εκθετική η ανάπτυξη σταματά.
Ρύζι. 4.3. Η αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού
Ο υπολογισμός της εκθετικής τάσης δίνεται στο Κεφ. 5. Κύριες ιδιότητες της εκθετικής τάσης:
1. Οι απόλυτες αλλαγές στα επίπεδα τάσεων είναι ανάλογες με τα ίδια τα επίπεδα.
2. Ο εκθέτης δεν έχει άκρα: στο κ > 1 τάση τείνει στο +, με κ< 1 τάση τείνει στο μηδέν.
3. Τα επίπεδα τάσης αντιπροσωπεύουν μια γεωμετρική πρόοδο: το επίπεδο της περιόδου με τον αριθμό t = tυπάρχει ένα* κ Μ .
4. Πότε κ > 1 τάση αντανακλά την επιταχυνόμενη άνιση αύξηση των επιπέδων, με κ < Η τάση 1 αντανακλά μια επιβραδυντική άνιση μείωση των επιπέδων. Η συμπεριφορά των κύριων δεικτών δυναμικής σε αυτές τις περιπτώσεις εξετάζεται στον Πίνακα. 4.5 και 4.6.
Στον πίνακα. Τα 4.5 και 4.6 στην τελευταία στήλη δίνονται σπάνια χρησιμοποιούμενοι δείκτες δυναμικής τρίτης τάξης: επιτάχυνση (ή ανάπτυξη) της επιτάχυνσης και επιβράδυνση της επιτάχυνσης. Αυτά τα απόλυτα μεγέθη δίνονται για να απεικονίσουν την κύρια διαφορά μεταξύ της εκθετικής τάσης και των παραβολών οποιασδήποτε τάξης: ο εκθέτης δεν έχει σταθερές παραγώγους οποιασδήποτε τάξης σε σχέση με το χρόνο. Μόνο ο αλυσιδωτός ρυθμός αλλαγής είναι σταθερός.
| Αριθμός περιόδου  | Επίπεδο | Απόλυτες αλλαγές (αλυσίδα) | Αλυσίδες, % σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Επιτάχυνση | Αύξηση της επιτάχυνσης σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο |
| 1 | 120,00 | +20,00 | 120 | - | - |
| 2 | 144,00 | +24,00 | 120 | +4,00 | - |
| 3 | 172,80 | +28,80 | 120 | +4,80 | +0,80 |
| 4 | 207,36 | +34,56 | 120 | +4,76 | +0,96 |
| 5 | 248,83 | +41,47 | 120 | +6,81 | +1,15 |
| 6 | 298,60 | +49,77 | 120 | +8,30 | +1,39 |
| Αριθμός περιόδου | Επίπεδο | Απόλυτες αλλαγές (αλυσίδα) | Αλυσίδες, % σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Επιτάχυνση | Επιβράδυνση της επιτάχυνσης |
| 1 | 160,00 | 40,00 | 80 | - | - |
| 2 | 128,0 | -32,00 | 80 | +8,00 | - |
| 3 | 102,40 | -25,60 | 80 | +6,40 | -1,60 |
| 4 | 81,92 | -20,48 | 80 | +5,12 | -1,28 |
| 5 | 65,54 | -16,38 | 80 | +4,10 | -1,02 |
| 6 | 52,43 | -13,11 | 80 | +3,27 | -0,83 |
Ο αναγνώστης μπορεί επίσης να ενδιαφέρεται για το ακόλουθο ερώτημα: πώς να ονομάσουμε την τάση της δυναμικής, στην οποία ο ρυθμός μεταβολής δεν θα ήταν σταθερός, αλλά θα είχε μια σταθερή απόλυτη ή σχετική μεταβολή, για παράδειγμα, μια εξίσωση όπως 
ή 
και τα λοιπά. Τέτοιες «υπερ-εκθετικές» δεν χρησιμοποιούνται από τις στατιστικές, επειδή οποιαδήποτε ανάπτυξη, αυθαίρετα γρήγορη, αυθαίρετα επιταχυνόμενη, μπορεί να εμφανιστεί από έναν συνηθισμένο εκθέτη - είναι απαραίτητο μόνο να μειωθεί η περίοδος κατά την οποία η αύξηση (ή μείωση) των επιπέδων κμια φορά. Στην ουσία της, η εκθετική εξέλιξη της διαδικασίας είναι η μέγιστη δυνατή, η μέγιστη ευνοϊκή από πλευράς ανάπτυξης, αφού πραγματοποιείται σε ένα περιβάλλον που δεν περιορίζει την εξέλιξη αυτής της διαδικασίας. Αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτό συμβαίνει μόνο μέχρι ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, αφού κάθε περιβάλλον, κάθε πόρος στη φύση είναι περιορισμένος. Η μόνη αμφιλεγόμενη διαδικασία στην επιστήμη, για την οποία δεν υπάρχει ακόμη απόδειξη του χρονικού περιορισμού της, είναι η εκθετική επιβράδυνση της διαστολής του Σύμπαντος. Το αν είναι περιορισμένο και αν θα αντικατασταθεί από συμπίεση με την πάροδο του χρόνου ή θα συνεχιστεί επ' αόριστον εξαρτάται από την τιμή της μέσης πυκνότητας της ύλης και της ακτινοβολίας στο Σύμπαν, την οποία μέχρι στιγμής η επιστήμη δεν έχει καταφέρει να καθορίσει, επειδή δεν είναι όλες οι μορφές η ύπαρξη ύλης και πεδίων είναι γνωστά στην επιστήμη. Αλλά είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε ότι η πιο θεμελιώδης διαδικασία, που καλύπτει ολόκληρο το γνωστό Σύμπαν, αναπτύσσεται εκθετικά για τουλάχιστον 12-15 δισεκατομμύρια χρόνια.
^ 4.4. Υπερβολική τάση και οι ιδιότητές της
Από τις διάφορες μορφές υπερβολών, εξετάστε μόνο την απλούστερη: 
Αν η κύρια παράμετρος της υπερβολής σι>0,
τότε αυτή η τάση εκφράζει την τάση επιβράδυνσης της πτώσης σε επίπεδα και σε 
..
Έτσι, ο ελεύθερος όρος της υπερβολής είναι το όριο στο οποίο τείνει το επίπεδο τάσης.
Μια τέτοια τάση παρατηρείται, για παράδειγμα (Εικ. 4.4), κατά τη μελέτη της διαδικασίας μείωσης του κόστους οποιουδήποτε πόρου (εργασία, υλικά, ενέργεια) ανά μονάδα αυτού του τύπου προϊόντος ή του κόστους του στο σύνολό του. Το κόστος των πόρων δεν μπορεί να τείνει στο μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ο εκθέτης δεν αντιστοιχεί στην ουσία της διαδικασίας. πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο της υπερβολικής τάσης.
Εάν η παράμετρος σι<0, στη συνέχεια με αύξηση t, εκείνοι. με την πάροδο του χρόνου, τα επίπεδα τάσης αυξάνονται και τείνουν προς την τιμή έναστο .
Αυτός ο χαρακτήρας της δυναμικής είναι εγγενής, για παράδειγμα, στους δείκτες απόδοσης των κινητήρων ή άλλων μετατροπέων ενέργειας (μετασχηματιστής ρεύματος, φωτοκύτταρο κ.λπ.). Καθώς αναπτύσσεται η επιστημονική και τεχνολογική πρόοδος, αυτές οι αποδόσεις αυξάνονται σταδιακά, αλλά δεν μπορούν ποτέ να υπερβούν ένα ορισμένο όριο για κάθε τύπο κινητήρα και δεν μπορούν να υπερβούν κατ' αρχήν το 100% για οποιονδήποτε μετατροπέα ενέργειας. Κατά τον υπολογισμό της υπερβολικής τάσης, δεν μπορείτε να αριθμήσετε τα έτη από τη μέση της σειράς, καθώς οι τιμές του 1/ti πρέπει να είναι πάντα θετικές.
Οι κύριες ιδιότητες της υπερβολικής τάσης:
1. Η απόλυτη αύξηση ή μείωση των επιπέδων, η επιτάχυνση των απόλυτων αλλαγών, ο ρυθμός μεταβολής - όλοι αυτοί οι δείκτες δεν είναι σταθεροί. Στο σι>0 Τα επίπεδα μειώνονται αργά, οι αρνητικές απόλυτες μεταβολές, καθώς και οι θετικές επιταχύνσεις, επίσης μειώνονται, οι ρυθμοί αλλαγής της αλυσίδας αυξάνονται και τείνουν στο 100%.
Ρύζι. 4.4. Δυναμική ισοδύναμης κατανάλωσης καυσίμου για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας (g ανά 1 kWh) σε σταθμούς ηλεκτροπαραγωγής της περιοχής
2. Πότε σι<0 Τα επίπεδα αυξάνονται αργά, οι θετικές απόλυτες μεταβολές, καθώς και οι αρνητικές επιταχύνσεις και οι ρυθμοί ανάπτυξης της αλυσίδας μειώνονται αργά, τείνοντας στο 100%.
Όπως μπορείτε να δείτε, η υπερβολική τάση σε κάθε περίπτωση περιγράφει την τάση μιας τέτοιας διαδικασίας, οι δείκτες της οποίας φθείρονται με το χρόνο, δηλ. υπάρχει μια μετάβαση από το κίνημα στη στασιμότητα. Ο Πίνακας 1 μπορεί να χρησιμεύσει ως απεικόνιση αυτών των ιδιοτήτων. 4.7.
Πίνακας 4.7
Δείκτες δυναμικής με υπερβολική τάση: 
| Αριθμός περιόδου | Επίπεδο | Απόλυτες αλλαγές (αλυσίδα) | Αλυσίδες, % σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Επιτάχυνση |
| 1 | 200,0 | - | - | - |
| 2 | 150,0 | -50,0 | 75,0 | - |
| 3 | 133,0 | -16,7 | 88,9 | +33,3 |
| 4 | 125,0 | -8,3 | 93,8 | +8,4 |
| 5 | 120,0 | -5,0 | 96,0 | +3,3 |
| 6 | 116,7 | -3,3 | 97,2 | +1,7 |
^ 4.5. Η λογαριθμική τάση και οι ιδιότητές της
Εάν η υπό μελέτη διαδικασία οδηγεί σε επιβράδυνση της ανάπτυξης κάποιου δείκτη, αλλά ταυτόχρονα η ανάπτυξη δεν σταματά, δεν τείνει σε κάποιο περιορισμένο όριο, τότε η υπερβολική μορφή της τάσης δεν είναι πλέον κατάλληλη. Επιπλέον, μια παραβολή με αρνητική επιτάχυνση δεν είναι κατάλληλη, σύμφωνα με την οποία η επιβραδυνόμενη ανάπτυξη θα μετατραπεί σε μείωση των επιπέδων με την πάροδο του χρόνου. Σε αυτήν την περίπτωση, η τάση της αλλαγής εμφανίζεται καλύτερα από τη λογαριθμική μορφή της τάσης: = α + β ημερολόγιο.
Οι λογάριθμοι αναπτύσσονται πολύ πιο αργά από τους ίδιους τους αριθμούς (αριθμοί περιόδου), αλλά η ανάπτυξη των λογαρίθμων είναι απεριόριστη. Επιλέγοντας την αρχή των χρονικών περιόδων (σημείων), μπορεί κανείς να βρει έναν τέτοιο ρυθμό μείωσης στις απόλυτες μεταβολές που να αντιστοιχεί καλύτερα στην πραγματική χρονοσειρά.
Ένα παράδειγμα τάσεων που αντιστοιχούν σε μια λογαριθμική τάση μπορεί να είναι η δυναμική των επιτευγμάτων ρεκόρ στον αθλητισμό: είναι γνωστό ότι μια αύξηση κατά 1 cm σε ένα ρεκόρ άλματος εις ύψος ή μια μείωση 0,1 δευτερολέπτων σε ένα τρέξιμο 200 ή 400 μέτρων απαιτεί όλο και περισσότερα χρόνο, σε κάθε δίσκο δίνεται όλο και περισσότερη δουλειά. Ταυτόχρονα, δεν υπάρχουν «αιώνια» ρεκόρ, όλα τα αθλητικά επιτεύγματα βελτιώνονται, αλλά πιο αργά και πιο αργά, δηλ. σύμφωνα με μια λογαριθμική τάση. Πολύ συχνά, ο ίδιος χαρακτήρας δυναμικής είναι εγγενής σε ορισμένα στάδια ανάπτυξης στη δυναμική της παραγωγικότητας ή της ακαθάριστης συγκομιδής μιας συγκεκριμένης καλλιέργειας σε μια δεδομένη περιοχή, έως ότου ένα νέο αγροτεχνικό επίτευγμα δώσει ξανά μια τάση επιτάχυνσης, η οποία φαίνεται στο Σχ. 4.5.
Φυσικά, η φύση της τάσης καλύπτεται από διακυμάνσεις, αλλά είναι σαφές ότι η αύξηση της ακαθάριστης παραγωγής επιβραδύνεται. Αυτό φαίνεται από τα μέσα επίπεδα συλλογής τσαγιού:
Για το 1978-1983 η μέση συλλογή είναι 333 χιλιάδες τόνοι.
Για το 1984-1989 η μέση συγκομιδή είναι 483 χιλιάδες τόνοι, μια αύξηση 150 χιλιάδες τόνους.
Για το 1990-1994 η μέση συλλογή είναι 566 χιλιάδες τόνοι, σημειώνοντας αύξηση 83 χιλιάδες τόνους.
Στο σχ. 4,5 για πειστικότητα, απεικονίζεται επίσης μια λογαριθμική τάση, υπολογισμός
Ρύζι. 4.5. Δυναμική της ακαθάριστης συγκομιδής τσαγιού στην Κίνα
Το οποίο δίνεται στο κεφ. 5. Οι κυκλικές διακυμάνσεις 5-6 ετών στην ακαθάριστη συγκομιδή τσαγιού είναι επίσης αισθητές.
Οι κύριες ιδιότητες της λογαριθμικής τάσης:
1. Αν σι>0, τότε τα επίπεδα αυξάνονται, αλλά με επιβράδυνση, και αν σι<0, τότε τα επίπεδα τάσης μειώνονται, επίσης με επιβράδυνση.
2. Οι απόλυτες αλλαγές επιπέδου modulo πάντα μειώνονται με το χρόνο.
3. Οι επιταχύνσεις των απόλυτων αλλαγών έχουν πρόσημο αντίθετο από τις ίδιες τις απόλυτες μεταβολές και σταδιακά μειώνονται σε απόλυτη τιμή.
4. Ο ρυθμός μεταβολής (αλυσίδα) πλησιάζει σταδιακά το 100% στο .
Μπορούμε να βγάλουμε ένα γενικό συμπέρασμα ότι η λογαριθμική τάση αντανακλά, όπως και η υπερβολική τάση, μια σταδιακά εξασθενημένη διαδικασία αλλαγής. Η διαφορά είναι ότι η υπερβολική απόσβεση εμφανίζεται γρήγορα καθώς πλησιάζει το τελικό όριο, ενώ με μια λογαριθμική τάση, η διαδικασία απόσβεσης συνεχίζεται χωρίς όριο πολύ πιο αργά.
^ 4.6. Η τάση εφοδιαστικής και οι ιδιότητές της
Η λογική μορφή της τάσης είναι κατάλληλη για την περιγραφή μιας τέτοιας διαδικασίας κατά την οποία ο υπό μελέτη δείκτης διέρχεται έναν πλήρη κύκλο ανάπτυξης, ξεκινώντας, κατά κανόνα, από το μηδενικό επίπεδο, αρχικά αργά, αλλά αυξάνοντας με την επιτάχυνση, μετά την επιτάχυνση γίνεται μηδέν στη μέση του κύκλου, δηλ. Η ανάπτυξη ακολουθεί μια γραμμική τάση και, στη συνέχεια, στο τελευταίο μέρος του κύκλου, η ανάπτυξη επιβραδύνεται κατά μήκος μιας υπερβολής καθώς πλησιάζει την οριακή τιμή του δείκτη.
Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου κύκλου δυναμικής μπορεί να είναι η αλλαγή στο μερίδιο του εγγράμματου πληθυσμού σε μια χώρα, για παράδειγμα, στη Ρωσία, από το 1800 έως σήμερα, ή η αλλαγή στο μερίδιο των οικογενειών με τηλεοράσεις από το 1945 περίπου σε 2000 στη Ρωσία, το μερίδιο των κατοικιών σε πόλεις με παροχή ζεστού νερού ή κεντρική θέρμανση (μια διαδικασία που δεν έχει ακόμη ολοκληρωθεί). Σε ορισμένα ξένα προγράμματα υπολογιστών, ονομάζεται η λογιστική καμπύλη S-καμπύλη.
Μπορείτε, φυσικά, να θεωρήσετε την λογιστική τάση ως συνδυασμό τριών διαφορετικών τύπων τάσεων: παραβολική με επιταχυνόμενη ανάπτυξη στο πρώτο στάδιο, γραμμική στο δεύτερο και υπερβολική με επιβράδυνση της ανάπτυξης στο τρίτο στάδιο. Υπάρχουν όμως και επιχειρήματα υπέρ της εξέτασης ολόκληρου του κύκλου ανάπτυξης ως ενός ειδικού ενιαίου τύπου τάσης με σύνθετες, μεταβλητές ιδιότητες, αλλά μια σταθερή κατεύθυνση αλλαγής προς τα αυξανόμενα επίπεδα στα παραδείγματα που εξετάσαμε ή προς τα μειωμένα επίπεδα, αν πάρουμε το αντίθετο διαδικασία - μείωση του ποσοστού των αναλφάβητων μεταξύ του πληθυσμού, αναλογία κατοικιών που δεν είναι εξοπλισμένα με παροχή αερίου ή κεντρική θέρμανση κ.λπ.
Η θεώρηση τέτοιων χρονοσειρών ως εκδήλωση μιας ενιαίας υλικοτεχνικής τάσης καθιστά δυνατό ήδη στο πρώτο στάδιο τον υπολογισμό ολόκληρης της αναπτυξιακής τροχιάς, τον προσδιορισμό του χρόνου μετάβασης από την επιταχυνόμενη στην αργή ανάπτυξη, κάτι που είναι εξαιρετικά σημαντικό κατά τον σχεδιασμό παραγωγής ή πώλησης νέου τύπου προϊόντος, η ζήτηση του οποίου θα περάσει από όλα τα στάδια της τάσης των logistics μέχρι τον κορεσμό της αγοράς. Έτσι, για παράδειγμα, η παροχή του πληθυσμού στη Ρωσία με αυτοκίνητα στα τέλη της δεκαετίας του 1980 βρισκόταν στο αρχικό στάδιο της υλικοτεχνικής καμπύλης, και αυτό σήμαινε ότι υπήρχαν ακόμη αρκετά χρόνια ή και δεκαετίες επιταχυνόμενης αύξησης της ζήτησης. Ταυτόχρονα, η προμήθεια καμερών είχε ήδη φτάσει σε ένα στάδιο επιβράδυνσης της ανάπτυξης, πράγμα που σήμαινε ότι δεν υπήρχε ανάγκη επέκτασης της παραγωγής ή εισαγωγής παλαιότερων τύπων καμερών. Η επέκταση της αγοράς τους ήταν δυνατή μόνο για θεμελιωδώς νέους τύπους καμερών, ο κορεσμός των οποίων βρίσκεται ακόμη στην αρχή του πρώτου σταδίου.
Στο προαναφερθέν εύρος αλλαγών στα επίπεδα, π.χ. από το μηδέν στο ένα, η λογιστική εξίσωση τάσης είναι:
πρέπει να είναι περίπου -10. Περισσότερο 
, τόσο πιο γρήγορα θα μειωθούν τα επίπεδα, για παράδειγμα, στο = -10. = 1, ήδη στο = 20 τα επίπεδα θα μειωθούν σχεδόν στο μηδέν.
Εάν το εύρος των αλλαγών επιπέδου δεν περιορίζεται από μηδέν και ένα, αλλά από οποιεσδήποτε τιμές που καθορίζονται με βάση την ουσία της εργασίας, που υποδηλώνεται 
τότε ο τύπος της λογιστικής τάσης παίρνει τη μορφή:
Όπως φαίνεται από τον Πίνακα. 4.8, οι απόλυτες αλλαγές αυξάνονται μέχρι τα μέσα της περιόδου και μετά μειώνονται. Όλοι τους είναι θετικοί. Οι επιταχύνσεις αρχικά αυξάνονται και μετά τα μέσα της περιόδου μειώνονται, γίνονται αρνητικές, αλλά μειώνονται σε απόλυτη τιμή. Το άθροισμα των θετικών και αρνητικών επιταχύνσεων είναι περίπου ίσο με μηδέν (αν η σειρά επεκταθεί από - σε +, τότε το άθροισμά τους είναι ακριβώς ίσο με μηδέν). Οι ρυθμοί ανάπτυξης αυξάνονται μέχρι το τέλος του πρώτου μισού της σειράς και μετά μειώνονται. Εάν η σειρά είναι αρκετά μεγάλη, τότε ο ρυθμός ξεκινά από 100 % και συμπληρώστε 100%.
Πίνακας 4.8
Δείκτες δυναμικής στην υλικοτεχνική τάση: 
| Αριθμός περιόδου | Επίπεδο | Απόλυτες αλλαγές σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο | Επιτάχυνση | Ρυθμός ανάπτυξης σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο, % |
| 0 | 51,0 | - | - | - |
| 1 | 54,4 | +3,4 | - | 106,7 |
| 2 | 67,9 | +13,5 | +10,1 | 124,8 |
| 3 | 106,6 | +38,7 | +25,2 | 157,0 |
| 4 | 159,7 | +53,1 | +14,4 | 149,8 |
| 5 | 188,6 | +28,8 | -24,2 | 118,1 |
| 6 | 197,3 | +8,7 | -20,2 | 104,6 |
| 7 | 199,4 | +2,1 | -6,6 | 101,1 |
Με μια υλικοτεχνική τάση με φθίνοντα επίπεδα, οι δείκτες δυναμικής αλλάζουν με την ακόλουθη σειρά: οι αρνητικές απόλυτες μεταβολές στην απόλυτη τιμή αυξάνονται στο μέσο της σειράς και μειώνονται προς το τέλος, τείνοντας στο μηδέν στο . Οι επιταχύνσεις στο πρώτο μισό της περιόδου είναι αρνητικές και αυξανόμενες σε συντελεστή. στο δεύτερο μισό της περιόδου επιτάχυνσης είναι θετικές και μειώνονται στο όριο στο μηδέν. Ο ρυθμός μεταβολής είναι μικρότερος από 100%, στο τέλος του πρώτου εξαμήνου της περιόδου είναι ο μικρότερος, στο δεύτερο εξάμηνο αυξάνεται με επιβράδυνση στο 100% στο όριο. Μια γραφική αναπαράσταση της λογιστικής τάσης φαίνεται στο σχ. 5.2.
