Ακραίες, μέγιστες και ελάχιστες τιμές συναρτήσεων. Ετικέτα: τοπικό εξτρέμ

$E \υποσύνολο \mathbb(R)^(n)$. Λέγεται ότι έχει $f$ τοπικό μέγιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$ εάν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Το τοπικό μέγιστο ονομάζεται αυστηρός , εάν η γειτονιά $U$ μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε για όλα τα $x \σε U$ διαφορετικά από τα $x_(0)$ να υπάρχει $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Ορισμός
Έστω η $f$ μια πραγματική συνάρτηση σε ένα ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Λέγεται ότι έχει $f$ τοπικό ελάχιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$ εάν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ένα τοπικό ελάχιστο λέγεται ότι είναι αυστηρό εάν η γειτονιά $U$ μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε για όλα τα $x \in U$ να διαφέρει από $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\δεξιά)$.

Ένα τοπικό άκρο συνδυάζει τις έννοιες ενός τοπικού ελάχιστου και ενός τοπικού μέγιστου.

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης)
Έστω η $f$ μια πραγματική συνάρτηση σε ένα ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Εάν στο σημείο $x_(0) \στο E$ η συνάρτηση $f$ έχει τοπικό άκρο και σε αυτό το σημείο, τότε $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Η ισότητα προς το μηδέν διαφορικό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι όλα είναι ίσα με μηδέν, δηλ. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Στη μονοδιάστατη περίπτωση, αυτό είναι . Συμβολίστε $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, όπου το $h$ είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα. Η συνάρτηση $\phi$ ορίζεται για αρκετά μικρές τιμές modulo $t$. Επιπλέον, σε σχέση με το , είναι διαφοροποιήσιμο, και $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Αφήστε το $f$ να έχει τοπικό μέγιστο x $0$. Επομένως, η συνάρτηση $\phi$ στο $t = 0$ έχει ένα τοπικό μέγιστο και, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Έτσι, πήραμε ότι $df \left(x_(0)\right) = 0$, δηλ. Η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ είναι ίση με μηδέν σε οποιοδήποτε διάνυσμα $h$.

Ορισμός
Τα σημεία στα οποία η διαφορά είναι ίση με μηδέν, δηλ. εκείνες στις οποίες όλες οι επιμέρους παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν λέγονται ακίνητες. κρίσιμα σημείαΟι συναρτήσεις $f$ είναι εκείνα τα σημεία στα οποία η $f$ δεν είναι διαφοροποιήσιμη ή ισούται με μηδέν. Εάν το σημείο είναι ακίνητο, τότε δεν προκύπτει ακόμη ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο.

Παράδειγμα 1
Έστω $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Τότε $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, οπότε το $\left(0,0\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο. Πράγματι, $f \left(0,0\right) = 0$, αλλά είναι εύκολο να δούμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $\left(0,0\right)$ η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 2
Η συνάρτηση $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ έχει την αρχή των συντεταγμένων ως ακίνητο σημείο, αλλά είναι σαφές ότι δεν υπάρχει άκρο σε αυτό το σημείο.

Θεώρημα (επαρκής συνθήκη για ακρότατο).
Έστω μια συνάρτηση $f$ δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμη σε ένα ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Έστω $x_(0) \σε E$ ένα σταθερό σημείο και $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Τότε

1. αν το $Q_(x_(0))$ είναι , τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ έχει ένα τοπικό άκρο, δηλαδή το ελάχιστο εάν η φόρμα είναι θετική-οριστική και το μέγιστο εάν η φόρμα είναι αρνητική-οριστική?
2. αν η τετραγωνική μορφή $Q_(x_(0))$ είναι αόριστη, τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ δεν έχει ακρότατο.

Ας χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σύμφωνα με τον τύπο Taylor (12.7 σελ. 292) . Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης στο σημείο $x_(0)$ είναι ίσες με μηδέν, παίρνουμε $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ μερικό x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ όπου $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ και $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ για $h \rightarrow 0$, τότε η δεξιά πλευρά είναι θετική για οποιοδήποτε διάνυσμα $h$ αρκετά μικρού μήκους.
Έτσι, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σε κάποια γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η ανισότητα $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ικανοποιείται αν μόνο $ x \neq x_ (0)$ (βάζουμε $x=x_(0)+h$\δεξιά). Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο $x_(0)$ η συνάρτηση έχει ένα αυστηρό τοπικό ελάχιστο, και έτσι αποδεικνύεται το πρώτο μέρος του θεωρήματός μας.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι το $Q_(x_(0))$ είναι αόριστος τύπος. Στη συνέχεια, υπάρχουν διανύσματα $h_(1)$, $h_(2)$ τέτοια ώστε $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Τότε παίρνουμε $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ αριστερά[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Για αρκετά μικρό $t>0$, η δεξιά πλευρά είναι θετικός. Αυτό σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές $f \left(x\right)$ μεγαλύτερες από $f \left(x_(0)\right)$.
Ομοίως, λαμβάνουμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές μικρότερες από $f \left(x_(0)\right)$. Αυτό, μαζί με το προηγούμενο, σημαίνει ότι η συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατο στο σημείο $x_(0)$.

Ας εξετάσουμε μια συγκεκριμένη περίπτωση αυτού του θεωρήματος για μια συνάρτηση $f \left(x,y\right)$ δύο μεταβλητών που ορίζονται σε κάποια γειτονιά του σημείου $\left(x_(0),y_(0)\right) $ και έχοντας συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης. Έστω $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ένα σταθερό σημείο και έστω $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Τότε το προηγούμενο θεώρημα παίρνει την ακόλουθη μορφή.

Θεώρημα
Έστω $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Επειτα:

1. αν $\Delta>0$, τότε η συνάρτηση $f$ έχει ένα τοπικό άκρο στο σημείο $\left(x_(0),y_(0)\right)$, δηλαδή ένα ελάχιστο αν $a_(11)> 0$ , και μέγιστο εάν $a_(11)<0$;
2. αν $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Αλγόριθμος για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών:

1. Βρίσκουμε ακίνητα σημεία.
2. Βρίσκουμε το διαφορικό της 2ης τάξης σε όλα τα ακίνητα σημεία
3. Χρησιμοποιώντας την επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, θεωρούμε τη διαφορά δεύτερης τάξης σε κάθε ακίνητο σημείο

1. Διερευνήστε τη συνάρτηση στο άκρο $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Λύση

   Βρείτε μερικές παραγώγους της 1ης τάξης: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Σύνθεση και επίλυση του συστήματος: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\μερική f)(\μερική y)= 0\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος \αρχή(περιπτώσεις)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(περιπτώσεις) \Rightarrow \begin(περιπτώσεις)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Από τη 2η εξίσωση, εκφράζουμε $x=4 \cdot y^(2)$ — αντικαθιστούμε στην 1η εξίσωση: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ δεξιά )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ως αποτέλεσμα, λαμβάνονται 2 σταθερά σημεία:
   1) $y=0 \Δεξί βέλος x = 0, M_(1) = \αριστερά(0, 0\δεξιά)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της επαρκούς ακραίας συνθήκης:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Για το σημείο $M_(1)= \αριστερά(0,0\δεξιά)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Για το σημείο $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική x \μερική y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, άρα υπάρχει ένα άκρο στο σημείο $M_(2)$, και αφού $A_(2)>0 $, τότε αυτό είναι το ελάχιστο.
   Απάντηση: Το σημείο $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $f$.
   

2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για το άκρο $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Λύση

   Βρείτε σταθερά σημεία: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Συνθέστε και λύστε το σύστημα: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end (περιπτώσεις) \ Δεξί βέλος \αρχή(περιπτώσεις)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(περιπτώσεις) \Rightarrow \begin(περιπτώσεις) y = 2\\y + x = 1\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος x = -1$$
   Το $M_(0) \left(-1, 2\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο.
   Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της επαρκούς ακραίας συνθήκης: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Απάντηση: δεν υπάρχουν ακρότητες.
   

Χρονικό όριο: 0

Πλοήγηση (μόνο αριθμοί εργασίας)

Ολοκληρώθηκαν 0 από 4 εργασίες

Πληροφορίες

Κάντε αυτό το κουίζ για να ελέγξετε τις γνώσεις σας για το θέμα που μόλις διαβάσατε, Τοπικό άκρο συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

Έχετε κάνει ήδη το τεστ στο παρελθόν. Δεν μπορείτε να το εκτελέσετε ξανά.

Η δοκιμή φορτώνεται...

Πρέπει να συνδεθείτε ή να εγγραφείτε για να ξεκινήσετε τη δοκιμή.

Πρέπει να ολοκληρώσετε τις ακόλουθες δοκιμές για να ξεκινήσετε αυτό:

Αποτελέσματα

Σωστές απαντήσεις: 0 από 4

Ο χρόνος σου:

Ο χρόνος τελείωσε

Σημειώσατε 0 στους 0 πόντους (0 )

Η βαθμολογία σας έχει καταγραφεί στον πίνακα κατάταξης

1. Με απάντηση
2. Έλεγξε

Εργασία 1 από 4

1 .

Αριθμός πόντων: 1

Διερευνήστε τη συνάρτηση $f$ για ακρότατα: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Σωστά


Όχι σωστά


1. Εργασία 2 από 4

   2 .

   Αριθμός πόντων: 1

   Η συνάρτηση $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Ακραίες

Λειτουργία ακραία

Ορισμός του ακραίου

Λειτουργία καλείται y = f(x). αυξανόμενη (φθίνουσα) σε κάποιο διάστημα αν για x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y \u003d f (x) σε ένα τμήμα αυξάνεται (μειώνεται), τότε η παράγωγός της σε αυτό το τμήμα f " (Χ )> 0

(φά"(Χ)< 0).

Τελεία Χ σχετικά με που ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο (ελάχιστο) της συνάρτησης f (x ) αν υπάρχει γειτονιά του σημείου x o, για όλα τα σημεία των οποίων η ανίσωση f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι της ακραία.

ακραία σημεία

Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ . Αν σημείο Χ σχετικά με είναι ένα ακρότατο σημείο της συνάρτησης f (x), τότε είτε f " (x o ) = 0, ή f(x o ) δεν υπάρχει. Τέτοια σημεία λέγονται κρίσιμος,όπου η ίδια η συνάρτηση ορίζεται στο κρίσιμο σημείο. Τα άκρα μιας συνάρτησης πρέπει να αναζητούνται μεταξύ των κρίσιμων σημείων της.

Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση. Αφήνω Χ σχετικά με - κρίσιμο σημείο. Αν στ" (x ) όταν διέρχεται από το σημείο Χ σχετικά με αλλάζει το σύμβολο συν σε μείον και μετά στο σημείο x oη συνάρτηση έχει μέγιστο, διαφορετικά έχει ελάχιστο. Εάν η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από ένα κρίσιμο σημείο, τότε στο σημείο Χ σχετικά με δεν υπάρχει ακρότητα.

Η δεύτερη επαρκής προϋπόθεση. Έστω η συνάρτηση f(x).
φά" (x ) στην περιοχή του σημείου Χ σχετικά με και η δεύτερη παράγωγος στο ίδιο σημείο x o. Αν στ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oείναι ένα τοπικό ελάχιστο (μέγιστο) σημείο της συνάρτησης f(x). Αν =0, τότε πρέπει είτε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη επαρκή συνθήκη είτε να συμπεριλάβουμε υψηλότερες.

Σε ένα τμήμα, η συνάρτηση y \u003d f (x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή είτε σε κρίσιμα σημεία είτε στα άκρα του τμήματος.

Παράδειγμα 3.22.

Λύση.Επειδή φά " (

Εργασίες για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 3.23. ένα

Λύση. Χκαι y y
0 ≤ Χ≤
> 0, ενώ x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение λειτουργίες πλ.. μονάδες).

Παράδειγμα 3.24. p ≈

Λύση.σελ
ΜΙΚΡΟ"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Παράδειγμα 3.22.Να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Λύση.Επειδή φά " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), στη συνέχεια τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης x 1 \u003d 2 και x 2 \u003d 3. Τα ακραία σημεία μπορούν να είναι μόνο σε αυτά σημεία. Δεδομένου ότι όταν διέρχεται από το σημείο x 1 \u003d 2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο. Όταν διέρχεται από το σημείο x 2 \u003d 3, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, στο σημείο x 2 \u003d 3, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο. Υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε σημεία
x 1 = 2 και x 2 = 3, βρίσκουμε τα άκρα της συνάρτησης: μέγιστο f (2) = 14 και ελάχιστο f (3) = 13.

Παράδειγμα 3.23.Είναι απαραίτητο να χτιστεί ένας ορθογώνιος χώρος κοντά στον πέτρινο τοίχο, έτσι ώστε να περιφράσσεται με συρμάτινο πλέγμα στις τρεις πλευρές του και να εφάπτεται στον τοίχο από την τέταρτη πλευρά. Για αυτό υπάρχει έναγραμμικά μέτρα του πλέγματος. Σε ποια αναλογία διαστάσεων ο ιστότοπος θα έχει τη μεγαλύτερη περιοχή;

Λύση.Σημειώστε τις πλευρές της τοποθεσίας μέσα Χκαι y. Η περιοχή της τοποθεσίας είναι ίση με S = xy. Αφήνω yείναι το μήκος της πλευράς που βρίσκεται δίπλα στον τοίχο. Τότε, κατά συνθήκη, ισχύει η ισότητα 2x + y = a must. Επομένως y = a - 2x και S = x (a - 2x), όπου
0 ≤ Χ≤ a /2 (το μήκος και το πλάτος του μαξιλαριού δεν μπορεί να είναι αρνητικά). S "= a - 4x, a - 4x = 0 για x = a/4, εξ ου και
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Επειδή η x = a /4 είναι το μόνο κρίσιμο σημείο, ας ελέγξουμε αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει κατά τη διέλευση από αυτό το σημείο. Για x a /4 S "> 0, ενώ x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение λειτουργίες S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (πλ.. μονάδες). Εφόσον το S είναι συνεχές και οι τιμές του στα άκρα των S(0) και S(a /2) είναι ίσες με μηδέν, τότε η τιμή που βρέθηκε θα είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Έτσι, η πιο ευνοϊκή αναλογία διαστάσεων της τοποθεσίας υπό τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματος είναι y = 2x.

Παράδειγμα 3.24.Απαιτείται η κατασκευή κλειστής κυλινδρικής δεξαμενής χωρητικότητας V=16 p ≈ 50 m 3. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής (ακτίνα R και ύψος H) ώστε να χρησιμοποιηθεί η μικρότερη ποσότητα υλικού για την κατασκευή της;

Λύση.Η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι S = 2Π R(R+H). Γνωρίζουμε τον όγκο του κυλίνδρου V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Άρα S(R) = 2Π (R2+16/R). Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:
ΜΙΚΡΟ"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). ΜΙΚΡΟ" (R) = 0 για R 3 = 8, επομένως,
R = 2, H = 16/4 = 4.

ΜΕΓΙΣΤΟΙ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟΙ ΜΟΝΟΙ

σημεία στα οποία παίρνει τις μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές στον τομέα ορισμού· τέτοια σημεία λέγονται επίσης σημεία απόλυτου μέγιστου ή απόλυτου ελάχιστου. Αν η f ορίζεται σε ένα τοπολογικό διάστημα Χ, μετά το σημείο x 0που ονομάζεται σημείο τοπικού μέγιστου (τοπικό ελάχιστο), εάν υπάρχει τέτοιο σημείο x 0,ότι για τον περιορισμό της υπό εξέταση συνάρτησης σε αυτή τη γειτονιά, το σημείο x 0είναι το απόλυτο μέγιστο (ελάχιστο) σημείο. Διακρίνετε σημεία αυστηρού και μη αυστηρού μέγιστου (mini m u m a) (τόσο απόλυτο όσο και τοπικό). Για παράδειγμα, ένα σημείο που ονομάζεται σημείο ενός μη αυστηρού (αυστηρού) τοπικού μέγιστου της συνάρτησης f, αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου x 0,που ισχύει για όλα (αντίστοιχα, f(x) x0). )/

Για συναρτήσεις που ορίζονται σε πεπερασμένες διαστάσεις τομείς, όσον αφορά τον διαφορικό λογισμό, υπάρχουν προϋποθέσεις και κριτήρια ώστε ένα δεδομένο σημείο να είναι τοπικό μέγιστο (ελάχιστο) σημείο. Έστω η συνάρτηση f να οριστεί σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του πλαισίου x 0 του πραγματικού άξονα. Αν ένα x 0 -σημείο μη αυστηρού τοπικού μέγιστου (ελάχιστο) και σε αυτό το σημείο υπάρχει f"( x0), τότε ισούται με μηδέν.

Αν μια δεδομένη συνάρτηση f είναι διαφορίσιμη σε μια γειτονιά ενός σημείου x 0,εκτός, ίσως, από αυτό το ίδιο το σημείο, στο οποίο είναι συνεχές, και την παράγωγο f" σε κάθε πλευρά του σημείου x0διατηρεί ένα σταθερό σημάδι σε αυτή τη γειτονιά, τότε προκειμένου να x0ήταν ένα σημείο ενός αυστηρού τοπικού μέγιστου (τοπικό ελάχιστο), είναι απαραίτητο και επαρκές ότι η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, δηλ. ότι f "(x)> 0 στο x<.x0και f"(x)<0 при x>x0(αντίστοιχα από μείον σε συν: φά"(Χ) <0 στο x<x0και f"(x)>0 όταν x>x 0). Ωστόσο, όχι για κάθε συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε μια γειτονιά ενός σημείου x 0,μπορεί κανείς να μιλήσει για αλλαγή στο πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο. . "

Αν η συνάρτηση f έχει στο σημείο x 0 tπαράγωγα εξάλλου για να x 0είναι σημείο αυστηρού τοπικού μέγιστου, είναι απαραίτητο και επαρκές το τ να είναι άρτιο και το f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Έστω η συνάρτηση f( x 1 ..., x p] ορίζεται σε μια n-διάστατη γειτονιά ενός σημείου και είναι διαφοροποιήσιμο σε αυτό το σημείο. Αν το x (0) είναι ένα μη αυστηρό τοπικό μέγιστο (ελάχιστο) σημείο, τότε η συνάρτηση f σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν. Αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την ισότητα προς το μηδέν σε αυτό το σημείο όλων των μερικών παραγώγων της 1ης τάξης της συνάρτησης f. Εάν μια συνάρτηση έχει 2ες συνεχείς μερικές παραγώγους στο x(0) , όλες οι 1ης παράγωγοί της εξαφανίζονται στο x(0) και το διαφορικό 2ης τάξης στο x(0) είναι αρνητικό (θετικό) τετραγωνικό σχήμα, τότε το x(0) είναι ένα σημείο αυστηρού τοπικού μέγιστου (ελάχιστο). Οι συνθήκες είναι γνωστές για τις διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις M. και M. T., όταν επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στις αλλαγές στα ορίσματα: οι εξισώσεις περιορισμών ικανοποιούνται. Οι απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για το μέγιστο (ελάχιστο) μιας πραγματικής συνάρτησης, η οποία έχει πιο σύνθετη δομή, μελετώνται σε ειδικούς κλάδους των μαθηματικών: για παράδειγμα, σε κυρτή ανάλυση, μαθηματικός προγραμματισμός(δείτε επίσης Μεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση λειτουργιών). Οι συναρτήσεις M. και m.t. που ορίζονται σε πολλαπλούς μελετώνται σε λογισμός μεταβολών γενικά,και M. και m.t. για συναρτήσεις που ορίζονται σε χώρους συναρτήσεων, δηλ. για συναρτήσεις, σε μεταβλητός λογισμός.Υπάρχουν επίσης διάφορες μέθοδοι αριθμητικής προσεγγιστικής εύρεσης των Μ. και μ. τ.

Αναμμένο.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Δείτε τι είναι το "MAXIMUM AND MINIMUM POINT" σε άλλα λεξικά:

Διακριτή μέγιστη αρχή Pontryagin για διαδικασίες διακριτού χρόνου ελέγχου. Για μια τέτοια διαδικασία, το M. p. μπορεί να μην ικανοποιείται, αν και για το συνεχές ανάλογό του, το οποίο λαμβάνεται με την αντικατάσταση του τελεστή πεπερασμένης διαφοράς με έναν διαφορικό ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Ένα θεώρημα που εκφράζει μια από τις κύριες ιδιότητες της ενότητας της αναλυτικής. λειτουργίες. Έστω f(z) μια κανονική αναλυτική ή ολομορφική συνάρτηση μιγαδικών μεταβλητών p σε ένα πεδίο D ενός χώρου μιγαδικών αριθμών εκτός από μια σταθερά, M. m. s. σε ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Οι μεγαλύτερες και, κατά συνέπεια, οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης που παίρνει πραγματικές τιμές. Καλείται το σημείο του πεδίου ορισμού της εν λόγω συνάρτησης, στο οποίο παίρνει ένα μέγιστο ή ελάχιστο. αντίστοιχα ο μέγιστος βαθμός ή ο ελάχιστος βαθμός ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Δείτε Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης, Μέγιστο και ελάχιστο σημείο... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Η τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης που είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο (δείτε Μέγιστο και Ελάχιστο Σημεία). Ο όρος LE ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Δείκτης- (Δείκτης) Ένας δείκτης είναι ένα πληροφοριακό σύστημα, μια ουσία, μια συσκευή, μια συσκευή που εμφανίζει αλλαγές σε οποιαδήποτε παράμετρο Δείκτες των διαγραμμάτων της αγοράς συναλλάγματος, τι είναι και από πού μπορούν να ληφθούν; Περιγραφή δεικτών MACD, ... ... Εγκυκλοπαίδεια του επενδυτή

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Extreme (έννοιες). Extremum (Λατινικό extremum extreme) στα μαθηματικά είναι η μέγιστη ή ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σύνολο. Το σημείο στο οποίο φτάνει το άκρο είναι ... ... Wikipedia

Ο διαφορικός λογισμός είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά τις έννοιες της παραγώγου και του διαφορικού και πώς μπορούν να εφαρμοστούν στη μελέτη συναρτήσεων. Περιεχόμενα 1 Διαφορικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής ... Wikipedia

Το lemniscate και τα κόλπα του Το lemniscate του Bernoulli είναι μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη. Ορίζεται ως ο τόπος των σημείων, προϊόν ... Wikipedia

Απόκλιση- (Divergence) Η απόκλιση ως δείκτης Συναλλακτική στρατηγική με MACD divergence Περιεχόμενα Περιεχόμενα Ενότητα 1. on. Ενότητα 2. Απόκλιση πώς. Η απόκλιση είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται στα οικονομικά για να αναφέρεται στην κίνηση κατά μήκος αποκλίνων ... ... Εγκυκλοπαίδεια του επενδυτή

Η αλλαγή μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο και ορίζεται ως το όριο της αύξησης της συνάρτησης στην αύξηση του ορίσματος, που τείνει στο μηδέν. Για να το βρείτε, χρησιμοποιήστε τον πίνακα των παραγώγων. Για παράδειγμα, η παράγωγος της συνάρτησης y = x3 θα είναι ίση με y’ = x2.

Εξισώστε αυτήν την παράγωγο με μηδέν (στην περίπτωση αυτή x2=0).

Βρείτε την τιμή της δεδομένης μεταβλητής. Αυτές θα είναι οι τιμές για τις οποίες αυτή η παράγωγος θα είναι ίση με 0. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε αυθαίρετους αριθμούς στην παράσταση αντί για x, όπου ολόκληρη η παράσταση θα γίνει μηδέν. Για παράδειγμα:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Εφαρμόστε τις λαμβανόμενες τιμές στη γραμμή συντεταγμένων και υπολογίστε το πρόσημο της παραγώγου για καθεμία από τις ληφθείσες. Τα σημεία σημειώνονται στη γραμμή συντεταγμένων, τα οποία λαμβάνονται ως αρχή. Για να υπολογίσετε την τιμή στα διαστήματα, αντικαταστήστε αυθαίρετες τιμές που ταιριάζουν με τα κριτήρια. Για παράδειγμα, για την προηγούμενη συνάρτηση μέχρι το διάστημα -1, μπορείτε να επιλέξετε την τιμή -2. Για -1 έως 1, μπορείτε να επιλέξετε 0 και για τιμές μεγαλύτερες από 1, επιλέξτε 2. Αντικαταστήστε αυτούς τους αριθμούς στην παράγωγο και βρείτε το πρόσημο της παραγώγου. Στην περίπτωση αυτή, η παράγωγος με x = -2 θα είναι ίση με -0,24, δηλ. αρνητικό και θα υπάρχει ένα σύμβολο μείον σε αυτό το διάστημα. Αν x=0, τότε η τιμή θα είναι ίση με 2, και μπαίνει ένα πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αν x=1, τότε και η παράγωγος θα είναι ίση με -0,24 και τίθεται μείον.

Εάν, όταν διέρχεται από ένα σημείο της γραμμής συντεταγμένων, η παράγωγος αλλάζει το πρόσημά της από μείον σε συν, τότε αυτό είναι ένα ελάχιστο σημείο και αν από συν σε μείον, τότε αυτό είναι ένα μέγιστο σημείο.

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές

Για να βρείτε το παράγωγο, υπάρχουν διαδικτυακές υπηρεσίες που υπολογίζουν τις απαιτούμενες τιμές και εμφανίζουν το αποτέλεσμα. Σε τέτοιους ιστότοπους, μπορείτε να βρείτε ένα παράγωγο έως και 5 παραγγελιών.

Πηγές:

• Μία από τις υπηρεσίες υπολογισμού παραγώγων
• μέγιστο σημείο της συνάρτησης

Τα μέγιστα σημεία της συνάρτησης μαζί με τα ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία. Σε αυτά τα σημεία, η συνάρτηση αλλάζει συμπεριφορά. Τα άκρα προσδιορίζονται σε περιορισμένα αριθμητικά διαστήματα και είναι πάντα τοπικά.

Εντολή

Η διαδικασία εύρεσης τοπικών άκρων ονομάζεται συνάρτηση και πραγματοποιείται με ανάλυση της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης. Πριν ξεκινήσετε την εξερεύνηση, βεβαιωθείτε ότι το καθορισμένο εύρος τιμών ορίσματος ανήκει στις επιτρεπόμενες τιμές. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση F=1/x, η τιμή του ορίσματος x=0 δεν είναι έγκυρη. Ή για τη συνάρτηση Y=tg(x), το όρισμα δεν μπορεί να έχει την τιμή x=90°.

Βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση Y είναι διαφοροποιήσιμη σε ολόκληρο το δεδομένο διάστημα. Βρείτε την πρώτη παράγωγο Υ". Είναι προφανές ότι πριν φτάσετε στο τοπικό μέγιστο σημείο, η συνάρτηση αυξάνεται, και όταν περνά από το μέγιστο, η συνάρτηση γίνεται φθίνουσα. Η πρώτη παράγωγος στη φυσική της σημασία χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης. Ενώ η συνάρτηση αυξάνεται, ο ρυθμός αυτής της διαδικασίας είναι μια θετική τιμή.Όταν περνά από το τοπικό μέγιστο, η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται και ο ρυθμός της διαδικασίας αλλαγής της συνάρτησης γίνεται αρνητικός.Η μετάβαση του ρυθμού αλλαγής της συνάρτησης μέσω του μηδενός εμφανίζεται στο σημείο του τοπικού μέγιστου.

Η συνάρτηση λέγεται ότι έχει ένα εσωτερικό σημείο
περιοχές ρε τοπικό μέγιστο(ελάχιστο) αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου
, για κάθε σημείο
που ικανοποιεί την ανισότητα

Αν η συνάρτηση έχει στο σημείο
τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο, τότε λέμε ότι έχει σε αυτό το σημείο τοπικό εξτρέμ(ή απλά ακραίο).

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου). Αν η διαφοροποιήσιμη συνάρτηση φτάσει σε ένα άκρο στο σημείο
, τότε κάθε μερική παράγωγος πρώτης τάξης της συνάρτησης εξαφανίζεται σε αυτό το σημείο.

Τα σημεία στα οποία εξαφανίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ονομάζονται ακίνητα σημεία της συνάρτησης
. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα από εξισώσεις

.

Η απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός άκρου στην περίπτωση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης μπορεί να διατυπωθεί εν συντομία ως εξής:

Υπάρχουν περιπτώσεις που σε κάποια σημεία κάποιες επιμέρους παράγωγοι έχουν άπειρες τιμές ή δεν υπάρχουν (ενώ οι υπόλοιπες είναι ίσες με μηδέν). Τέτοια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.Αυτά τα σημεία θα πρέπει να θεωρούνται και ως «ύποπτα» για εξτρέμ, αλλά και στατικά.

Στην περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο, δηλαδή η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων (διαφορικό) στο ακραίο σημείο, έχει γεωμετρική ερμηνεία: εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια
στο ακραίο σημείο πρέπει να είναι παράλληλο με το επίπεδο
.

20. Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου

Η εκπλήρωση της απαραίτητης προϋπόθεσης για την ύπαρξη ακραίου σε κάποιο σημείο δεν εγγυάται καθόλου την ύπαρξη ακραίου εκεί. Ως παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε την παντού διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
. Τόσο οι μερικές παράγωγοί της όσο και η ίδια η συνάρτηση εξαφανίζονται στο σημείο
. Ωστόσο, σε οποιαδήποτε γειτονιά αυτού του σημείου, υπάρχουν και τα δύο θετικά (μεγάλα
) και αρνητικό (μικρότερο
) τις τιμές αυτής της συνάρτησης. Επομένως, σε αυτό το σημείο, εξ ορισμού, δεν υπάρχει ακρότητα. Επομένως, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες ένα σημείο για το οποίο υπάρχει υποψία ακρότατου είναι ένα ακραίο σημείο της υπό μελέτη συνάρτησης.

Εξετάστε την περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
είναι καθορισμένη, συνεχής και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι και τη δεύτερη τάξη σε μια γειτονιά κάποιου σημείου
, που είναι το ακίνητο σημείο της συνάρτησης
, δηλαδή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις

,
.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:

Θεώρημα (επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου). Αφήστε τη λειτουργία
ικανοποιεί τις παραπάνω προϋποθέσεις, δηλαδή: διαφοροποιήσιμο σε κάποια γειτονιά του ακίνητου σημείου
και είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμο στο ίδιο το σημείο
. Τότε αν

Αν
τότε η συνάρτηση
στο σημείο
φτάνει

τοπικό μέγιστοστο
και

τοπικό ελάχιστοστο
.

Σε γενικές γραμμές, για μια λειτουργία
ικανή συνθήκη για ύπαρξη σε ένα σημείο
τοπικόςελάχιστο(το μέγιστο) είναι θετικός(αρνητικός) η βεβαιότητα του δεύτερου διαφορικού.

Με άλλα λόγια, ισχύει η ακόλουθη δήλωση.

Θεώρημα . Αν στο σημείο
για λειτουργία

για οποιαδήποτε όχι ίση με μηδέν ταυτόχρονα
, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ελάχιστο(παρόμοιος το μέγιστο, αν
).

Παράδειγμα 18.Βρείτε τοπικά ακραία σημεία μιας συνάρτησης

Λύση. Βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης και εξισώστε τις με μηδέν:

Επιλύοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε δύο πιθανά ακραία σημεία:

Ας βρούμε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης για αυτήν τη συνάρτηση:

Στο πρώτο ακίνητο σημείο, λοιπόν, και
Ως εκ τούτου, απαιτείται περαιτέρω έρευνα για αυτό το σημείο. Τιμή συνάρτησης
σε αυτό το σημείο είναι μηδέν:
Περαιτέρω,

στο

ένα

στο

Επομένως, σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου
λειτουργία
παίρνει τις τιμές ως μεγάλες
, και μικρότερο
, και ως εκ τούτου στο σημείο
λειτουργία
, εξ ορισμού, δεν έχει τοπικό άκρο.

Στο δεύτερο ακίνητο σημείο



επομένως, επομένως, αφού
μετά στο σημείο
η συνάρτηση έχει ένα τοπικό μέγιστο.