Εξίσωση ευθείας γραμμής που διέρχεται από αριθμομηχανή δύο σημείων. Γενική εξίσωση ευθείας σε επίπεδο

Ορισμός.Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

και οι σταθερές Α, Β δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορες μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα

Ορισμός.Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2) κάθετο στην (3, -1).

Λύση. Στο A = 3 και B = -1, συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας: 3x - y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. 3 - 2 + C = 0, επομένως, C = -1. Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής θα πρέπει να οριστεί ίσος με το μηδέν. Στο επίπεδο, η ευθεία εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ≠ x 2 και x = x 1 εάν x 1 = x 2.

Κλάσμα = k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Λύση.Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κλίση

Αν το σύνολο Ax + Wu + C = 0 οδηγεί στη μορφή:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Εξίσωση ευθείας με διάνυσμα σημείου και κατεύθυνσης

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εκχώρηση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και ενός κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός.Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1, α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A α 1 + B α 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση.Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C / A = 0. για x = 1, y = 2 παίρνουμε C / A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C≠0, τότε, διαιρώντας με –C, παίρνουμε: ή

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής έναείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα x, και σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x - y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας στα τμήματα.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Vy + C = 0 πολλαπλασιαστούν με τον αριθμό , το οποιο ονομαζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής. Το πρόσημο ± του συντελεστή κανονικοποίησης πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

; cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή.

Παράδειγμα. Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Λύση.Η ευθύγραμμη εξίσωση έχει τη μορφή: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Παράδειγμα. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (-2, -3) και την αρχή.

Λύση. Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία

Ορισμός.Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δίνεται ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Vy + C \u003d 0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Λύση. Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Λύση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Μάθημα από τη σειρά "Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι"

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη!

Σήμερα θα αρχίσουμε να μαθαίνουμε αλγόριθμους που σχετίζονται με τη γεωμετρία. Το γεγονός είναι ότι υπάρχουν αρκετά προβλήματα Ολυμπιάδας στην επιστήμη των υπολογιστών που σχετίζονται με την υπολογιστική γεωμετρία και η επίλυση τέτοιων προβλημάτων συχνά προκαλεί δυσκολίες.

Σε μερικά μαθήματα, θα εξετάσουμε μια σειρά από στοιχειώδη υποπροβλήματα στα οποία βασίζεται η λύση των περισσότερων προβλημάτων της υπολογιστικής γεωμετρίας.

Σε αυτό το μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για βρίσκοντας την εξίσωση μιας ευθείαςπερνώντας μέσα από το δεδομένο δύο τελείες. Για να λύσουμε γεωμετρικά προβλήματα, χρειαζόμαστε κάποιες γνώσεις υπολογιστικής γεωμετρίας. Θα αφιερώσουμε μέρος του μαθήματος στη γνωριμία τους.

Πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία

Η υπολογιστική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της επιστήμης των υπολογιστών που μελετά αλγόριθμους για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Τα αρχικά δεδομένα για τέτοια προβλήματα μπορεί να είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, ένα σύνολο τμημάτων, ένα πολύγωνο (που δίνονται, για παράδειγμα, από μια λίστα των κορυφών του κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) κ.λπ.

Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε μια απάντηση σε κάποια ερώτηση (όπως αν ένα σημείο ανήκει σε ένα τμήμα, αν τέμνονται δύο τμήματα, ...), είτε κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο (για παράδειγμα, το μικρότερο κυρτό πολύγωνο που συνδέει δεδομένα σημεία, το εμβαδόν του ένα πολύγωνο, κ.λπ.) .

Θα εξετάσουμε προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας μόνο στο επίπεδο και μόνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Διανύσματα και συντεταγμένες

Για την εφαρμογή των μεθόδων υπολογιστικής γεωμετρίας, είναι απαραίτητο να μεταφραστούν οι γεωμετρικές εικόνες στη γλώσσα των αριθμών. Θα υποθέσουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, στο οποίο η φορά περιστροφής αριστερόστροφα ονομάζεται θετική.

Τώρα τα γεωμετρικά αντικείμενα λαμβάνουν μια αναλυτική έκφραση. Έτσι, για να ορίσετε ένα σημείο, αρκεί να καθορίσετε τις συντεταγμένες του: ένα ζεύγος αριθμών (x; y). Ένα τμήμα μπορεί να καθοριστεί καθορίζοντας τις συντεταγμένες των άκρων του, μια ευθεία μπορεί να καθοριστεί προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες ενός ζεύγους σημείων του.

Αλλά το κύριο εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων θα είναι τα διανύσματα. Επιτρέψτε μου, λοιπόν, να σας υπενθυμίσω κάποιες πληροφορίες για αυτούς.

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που έχει ένα σημείο ΑΛΛΑθεωρείται η αρχή (σημείο εφαρμογής) και το σημείο ΣΤΟ- το τέλος ονομάζεται διάνυσμα ΑΒκαι συμβολίζεται με είτε , είτε με έντονους πεζούς χαρακτήρες, για παράδειγμα ένα .

Για να δηλώσουμε το μήκος ενός διανύσματος (δηλαδή το μήκος του αντίστοιχου τμήματος), θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της ενότητας (για παράδειγμα, ).

Ένα αυθαίρετο διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες ίσες με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του:

,

τελείες εδώ ΕΝΑκαι σι έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα.

Για τους υπολογισμούς, θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια προσανατολισμένη γωνία, δηλαδή μια γωνία που λαμβάνει υπόψη τη σχετική θέση των διανυσμάτων.

Προσανατολισμένη γωνία μεταξύ διανυσμάτων ένα και σι θετικό εάν η περιστροφή είναι μακριά από το διάνυσμα ένα στο διάνυσμα σι γίνεται προς τη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα) και αρνητική στην άλλη περίπτωση. Βλέπε εικ.1α, εικ.1β. Λέγεται επίσης ότι ένα ζεύγος διανυσμάτων ένα και σι θετικά (αρνητικά) προσανατολισμένο.

Έτσι, η τιμή της προσανατολισμένης γωνίας εξαρτάται από τη σειρά απαρίθμησης των διανυσμάτων και μπορεί να λάβει τιμές στο διάστημα.

Πολλά προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας χρησιμοποιούν την έννοια των διανυσματικών (λοξών ή ψευδοκλιμακωμένων) προϊόντων διανυσμάτων.

Το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b είναι το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

.

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες:

Η έκφραση στα δεξιά είναι μια προσδιοριστική δεύτερης τάξης:

Σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αναλυτική γεωμετρία, αυτός είναι βαθμωτός.

Το πρόσημο του διασταυρούμενου γινομένου καθορίζει τη θέση των διανυσμάτων μεταξύ τους:

ένα και σι θετικά προσανατολισμένο.

Αν η τιμή είναι , τότε το ζεύγος των διανυσμάτων ένα και σι αρνητικά προσανατολισμένο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν είναι συγγραμμικά ( ). Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες.

Ας εξετάσουμε μερικές απλές εργασίες που είναι απαραίτητες για την επίλυση πιο περίπλοκων.

Ας ορίσουμε την εξίσωση μιας ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία που δίνεται από τις συντεταγμένες τους.

Έστω δύο μη συμπίπτοντα σημεία στην ευθεία: με συντεταγμένες (x1;y1) και με συντεταγμένες (x2; y2). Αντίστοιχα, το διάνυσμα με την αρχή στο σημείο και το τέλος στο σημείο έχει συντεταγμένες (x2-x1, y2-y1). Αν το P(x, y) είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην ευθεία μας, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι (x-x1, y - y1).

Με τη βοήθεια του διασταυρούμενου γινόμενου, η συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων και μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εκείνοι. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ξαναγράφουμε την τελευταία εξίσωση ως εξής:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Άρα, η ευθεία μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση της μορφής (1).

Εργασία 1. Δίνονται οι συντεταγμένες δύο σημείων. Βρείτε την αναπαράστασή του με τη μορφή ax + by + c = 0.

Σε αυτό το μάθημα, γνωρίσαμε κάποιες πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία. Λύσαμε το πρόβλημα εύρεσης της εξίσωσης της ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Στο επόμενο μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών που δίνουν οι εξισώσεις μας.

Ιδιότητες ευθείας στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Υπάρχουν άπειρες γραμμές που μπορούν να τραβηχτούν σε οποιοδήποτε σημείο.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων που δεν συμπίπτουν, υπάρχει μόνο μία ευθεία γραμμή.

Δύο μη συμπίπτουσες γραμμές στο επίπεδο είτε τέμνονται σε ένα μόνο σημείο είτε είναι

παράλληλη (ακολουθεί από την προηγούμενη).

Στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη σχετική θέση δύο γραμμών:

• γραμμές τέμνονται?

• οι ευθείες είναι παράλληλες.

• ευθείες γραμμές τέμνονται.

Ευθεία γραμμή- αλγεβρική καμπύλη πρώτης τάξης: στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, μια ευθεία γραμμή

δίνεται στο επίπεδο από εξίσωση πρώτου βαθμού (γραμμική εξίσωση).

Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

και σταθερή Α, Βόχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενικός

ευθύγραμμη εξίσωση.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών Α, Βκαι ΑΠΟΕίναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- η γραμμή διέρχεται από την αρχή

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ω

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OU

. B = C = 0, A ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα OU

. A = C = 0, B ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα Ω

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορες μορφές ανάλογα με κάθε δεδομένο

αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β)

κάθετη στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο A(1, 2)κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Λύση. Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C

αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. Παίρνουμε: 3 - 2 + C = 0, επομένως

C = -1. Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Αφήστε δύο σημεία να δίνονται στο διάστημα M 1 (x 1 , y 1 , z 1)και M2 (x 2, y 2 , z 2),έπειτα ευθύγραμμη εξίσωση,

περνώντας από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν. Στο

επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ≠ x 2και x = x 1, αν x 1 = x 2 .

Κλάσμα = κπου ονομάζεται συντελεστής κλίσης ευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Λύση. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση μιας ευθείας Ah + Wu + C = 0φέρτε στη φόρμα:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει

εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εργασία

μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1 , α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν την προϋπόθεση

Αα 1 + Βα 2 = 0που ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής.

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0.Σύμφωνα με τον ορισμό,

Οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0,ή x + y + C / A = 0.

στο x=1, y=2παίρνουμε C/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

x + y - 3 = 0

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C≠0, τότε, διαιρώντας με -C, παίρνουμε:

ή πού

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής a είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής

ευθεία με άξονα Ω,ένα σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας x - y + 1 = 0.Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ah + Wu + C = 0διαιρέστε με αριθμό , το οποιο ονομαζεται

παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 -κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * Γ< 0.

R- το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στη γραμμή,

ένα φ - τη γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετη με τη θετική φορά του άξονα Ω.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται για τη σύνταξη διαφόρων τύπων εξισώσεων

αυτή η ευθεία γραμμή.

Η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

Η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

Εξίσωση ευθείας γραμμής:

cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες,

παράλληλα με τους άξονες ή περνώντας από την αρχή.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Αν δίνονται δύο γραμμές y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών

θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες

αν k 1 \u003d -1 / k 2 .

Θεώρημα.

Απευθείας Ah + Wu + C = 0και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές είναι ανάλογοι

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Αν επίσης С 1 \u003d λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών

βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των γραμμών.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία.

Ορισμός. Μια γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο M 1 (x 1, y 1)και κάθετα στη γραμμή y = kx + b

παριστάνεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί ένας βαθμός M(x 0, y 0),τότε η απόσταση από τη γραμμή Ah + Wu + C = 0οριζεται ως:

Απόδειξη. Αφήστε το θέμα M 1 (x 1, y 1)- η βάση της καθέτου έπεσε από το σημείο Μγια ένα δεδομένο

απευθείας. Στη συνέχεια η απόσταση μεταξύ των σημείων Μκαι Μ 1:

(1)

Συντεταγμένες x 1και 1μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετα

δεδομένη γραμμή. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει την εξαγωγή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Εξάγουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Θα δείξουμε οπτικά και θα λύσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με το υλικό που καλύπτεται.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πριν λάβουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή σε ορισμένα γεγονότα. Υπάρχει ένα αξίωμα που λέει ότι μέσω δύο μη συμπίπτων σημείων σε ένα επίπεδο είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή και μόνο μία. Με άλλα λόγια, δύο δεδομένα σημεία του επιπέδου καθορίζονται από μια ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Εάν το επίπεδο δίνεται από το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε οποιαδήποτε ευθεία που απεικονίζεται σε αυτό θα αντιστοιχεί στην εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο. Υπάρχει και σύνδεση με το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.Τα δεδομένα αυτά είναι επαρκή για να συντάξουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης παρόμοιου προβλήματος. Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής a που διέρχεται από δύο αταίριαστα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) που βρίσκονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στην κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, που έχει τη μορφή x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y καθορίζεται με μια ευθεία γραμμή που τέμνεται μαζί της σε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) με οδηγό διάνυσμα a → = (a x , a y) .

Είναι απαραίτητο να συντεθεί η κανονική εξίσωση της ευθείας α, η οποία θα διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) .

Η ευθεία α έχει κατευθυντικό διάνυσμα M 1 M 2 → με συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1), αφού τέμνει τα σημεία M 1 και M 2. Λάβαμε τα απαραίτητα δεδομένα για να μετασχηματίσουμε την κανονική εξίσωση με τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) και τις συντεταγμένες των σημείων M 1 που βρίσκονται πάνω τους (x 1, y 1) και M 2 (x 2 , y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ακολουθώντας τους υπολογισμούς γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ή x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από 2 δεδομένα σημεία με συντεταγμένες M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Λύση

Η κανονική εξίσωση για μια ευθεία που τέμνεται σε δύο σημεία με τις συντεταγμένες x 1 , y 1 και x 2 , y 2 παίρνει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, έχουμε ότι x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις αριθμητικές τιμές στην εξίσωση x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Από εδώ παίρνουμε ότι η κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Απάντηση: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Εάν είναι απαραίτητο να λύσετε ένα πρόβλημα με έναν διαφορετικό τύπο εξίσωσης, τότε για αρχή μπορείτε να πάτε στην κανονική, καθώς είναι ευκολότερο να έρθετε σε οποιοδήποτε άλλο από αυτό.

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 1 (1, 1) και M 2 (4, 2) στο σύστημα συντεταγμένων O x y.

Λύση

Πρώτα πρέπει να γράψετε την κανονική εξίσωση μιας δεδομένης γραμμής που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Φέρνουμε την κανονική εξίσωση στην επιθυμητή μορφή και, στη συνέχεια, παίρνουμε:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Απάντηση: x - 3 y + 2 = 0 .

Παραδείγματα τέτοιων εργασιών εξετάστηκαν στα σχολικά εγχειρίδια στα μαθήματα άλγεβρας. Οι σχολικές εργασίες διέφεραν στο ότι ήταν γνωστή η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή κλίσης, με τη μορφή y \u003d k x + b. Εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της κλίσης k και τον αριθμό b, στον οποίο η εξίσωση y \u003d k x + b ορίζει μια γραμμή στο σύστημα O x y που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2), όπου x 1 ≠ x 2 . Όταν x 1 = x 2 , τότε η κλίση παίρνει την τιμή του άπειρου και η ευθεία M 1 M 2 ορίζεται από μια γενική ατελή εξίσωση της μορφής x - x 1 = 0 .

Γιατί οι τελείες Μ 1και Μ 2βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση y 1 = k x 1 + b και y 2 = k x 2 + b. Είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ως προς τα k και b.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Με τέτοιες τιμές των k και b, η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία παίρνει την ακόλουθη μορφή y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Η απομνημόνευση τόσο μεγάλου αριθμού τύπων ταυτόχρονα δεν θα λειτουργήσει. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των επαναλήψεων στην επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 3

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 2 (2, 1) και y = k x + b.

Λύση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε έναν τύπο με κλίση που έχει τη μορφή y \u003d k x + b. Οι συντελεστές k και b πρέπει να λάβουν τέτοια τιμή ώστε αυτή η εξίσωση να αντιστοιχεί σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (- 7 , - 5) και M 2 (2 , 1) .

σημεία Μ 1και Μ 2που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους θα πρέπει να αντιστρέψουν την εξίσωση y = k x + b τη σωστή ισότητα. Από εδώ παίρνουμε ότι - 5 = k · (- 7) + b και 1 = k · 2 + b. Ας συνδυάσουμε την εξίσωση στο σύστημα - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b και ας λύσουμε.

Κατά την αντικατάσταση, το παίρνουμε αυτό

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Τώρα οι τιμές k = 2 3 και b = - 1 3 αντικαθίστανται στην εξίσωση y = k x + b. Παίρνουμε ότι η επιθυμητή εξίσωση που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία θα είναι μια εξίσωση που έχει τη μορφή y = 2 3 x - 1 3 .

Αυτός ο τρόπος επίλυσης προκαθορίζει τη δαπάνη μεγάλου χρόνου. Υπάρχει ένας τρόπος με τον οποίο η εργασία λύνεται κυριολεκτικά σε δύο βήματα.

Γράφουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από M 2 (2, 1) και M 1 (- 7, - 5) , που έχει τη μορφή x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εξίσωση της κλίσης. Παίρνουμε ότι: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Απάντηση: y = 2 3 x - 1 3 .

Εάν στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z με δύο δεδομένα μη συμπίπτοντα σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), η ευθεία γραμμή M που διέρχεται από αυτά 1 M 2, είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση αυτής της ευθείας.

Έχουμε ότι κανονικές εξισώσεις της μορφής x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z και παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ μπορούν να ορίσουν μια γραμμή στο σύστημα συντεταγμένων O x y z που διέρχεται από σημεία που έχουν συντεταγμένες (x 1, y 1, z 1) με ένα κατευθυντικό διάνυσμα a → = (a x, a y, a z) .

Ευθεία M 1 M 2 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης της μορφής M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , όπου η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 , y 1 , z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), επομένως η κανονική εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, με τη σειρά της, παραμετρική x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ή x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Θεωρήστε ένα σχήμα που δείχνει 2 δεδομένα σημεία στο χώρο και την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Παράδειγμα 4

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου, που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (2, - 3, 0) και M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Λύση

Πρέπει να βρούμε την κανονική εξίσωση. Εφόσον μιλάμε για τρισδιάστατο χώρο, σημαίνει ότι όταν μια ευθεία διέρχεται από δεδομένα σημεία, η επιθυμητή κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Με συνθήκη, έχουμε ότι x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Από αυτό προκύπτει ότι οι απαραίτητες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Απάντηση: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ. Κανονικό διάνυσμα

Η ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι ένα από τα πιο απλά γεωμετρικά σχήματα, γνωστά σε εσάς από τις δημοτικές τάξεις και σήμερα θα μάθουμε πώς να το αντιμετωπίζουμε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, είναι απαραίτητο να μπορείτε να χτίσετε μια ευθεία γραμμή. ξέρετε ποια εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή, ειδικότερα μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή και τις ευθείες παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Αυτές οι πληροφορίες βρίσκονται στο εγχειρίδιο. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, το δημιούργησα για το matan, αλλά η ενότητα για τη γραμμική συνάρτηση αποδείχθηκε πολύ επιτυχημένη και λεπτομερής. Επομένως, αγαπητοί τσαγιέρες, πρώτα ζεσταθείτε εκεί. Επιπλέον, πρέπει να έχετε βασικές γνώσεις φορείςδιαφορετικά η κατανόηση του υλικού θα είναι ελλιπής.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τρόπους με τους οποίους μπορείτε να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Συνιστώ να μην παραμελείτε πρακτικά παραδείγματα (ακόμα και αν φαίνονται πολύ απλά), καθώς θα τους δώσω στοιχειώδη και σημαντικά στοιχεία, τεχνικές μεθόδους που θα απαιτηθούν στο μέλλον, συμπεριλαμβανομένων άλλων ενοτήτων ανώτερων μαθηματικών.

• Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση;
• Πως ?
• Πώς να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και ξεκινάμε:

Γραμμική εξίσωση με κλίση

Η γνωστή «σχολική» μορφή της εξίσωσης ευθείας ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση. Για παράδειγμα, αν μια ευθεία δίνεται από την εξίσωση, τότε η κλίση της: . Εξετάστε τη γεωμετρική σημασία αυτού του συντελεστή και πώς η τιμή του επηρεάζει τη θέση της γραμμής:

Στο μάθημα της γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι η κλίση της ευθείας είναι εφαπτομένη μιας γωνίαςμεταξύ θετικής κατεύθυνσης άξονακαι δεδομένη γραμμή: , και η γωνία «ξεβιδώνεται» αριστερόστροφα.

Για να μην μπερδεύω το σχέδιο, σχεδίασα γωνίες μόνο για δύο ευθείες γραμμές. Σκεφτείτε την «κόκκινη» ευθεία και την κλίση της. Σύμφωνα με τα παραπάνω: (η γωνία «άλφα» υποδηλώνεται με πράσινο τόξο). Για τη «μπλε» ευθεία με την κλίση, ισχύει η ισότητα (η γωνία «βήτα» υποδεικνύεται με το καφέ τόξο). Και αν η εφαπτομένη της γωνίας είναι γνωστή, τότε αν χρειαστεί είναι εύκολο να βρεθεί και η γωνίαχρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση - εφαπτομένη τόξου. Όπως λένε, ένας τριγωνομετρικός πίνακας ή μια αριθμομηχανή στο χέρι. Με αυτόν τον τρόπο, η κλίση χαρακτηρίζει τον βαθμό κλίσης της ευθείας προς τον άξονα x.

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Εάν η κλίση είναι αρνητική: , τότε η γραμμή, χονδρικά μιλώντας, πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω. Παραδείγματα είναι οι «μπλε» και οι «βυσσινί» ευθείες στο σχέδιο.

2) Εάν η κλίση είναι θετική: , τότε η γραμμή πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω. Παραδείγματα είναι «μαύρες» και «κόκκινες» ευθείες στο σχέδιο.

3) Αν η κλίση είναι ίση με μηδέν: , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή , και η αντίστοιχη ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα. Ένα παράδειγμα είναι η «κίτρινη» γραμμή.

4) Για μια οικογένεια ευθειών παράλληλων προς τον άξονα (δεν υπάρχει παράδειγμα στο σχέδιο, εκτός από τον ίδιο τον άξονα), η κλίση δεν υπάρχει (η εφαπτομένη των 90 μοιρών δεν έχει καθοριστεί).

Όσο μεγαλύτερο είναι το modulo κλίσης, τόσο πιο απότομο γίνεται το γραμμικό γράφημα.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο ευθείες γραμμές. Εδώ, άρα η ευθεία έχει πιο απότομη κλίση. Σας υπενθυμίζω ότι η ενότητα σας επιτρέπει να αγνοήσετε το σημάδι, μόνο μας ενδιαφέρει απόλυτες τιμέςγωνιακούς συντελεστές.

Με τη σειρά του, μια ευθεία είναι πιο απότομη από τις ευθείες. .

Αντίστροφα: όσο μικρότερο είναι το modulo κλίσης, η ευθεία είναι πιο επίπεδη.

Για ευθείες γραμμές η ανισότητα είναι αληθινή, επομένως, η ευθεία είναι κάτι περισσότερο από ένα κουβούκλιο. Παιδική τσουλήθρα, για να μην φυτέψουμε μελανιές και χτυπήματα.

Γιατί χρειάζεται αυτό;

Παρατείνετε το μαρτύριο σας Η γνώση των παραπάνω γεγονότων σάς επιτρέπει να δείτε αμέσως τα λάθη σας, ιδίως τα σφάλματα κατά τη σχεδίαση γραφημάτων - εάν το σχέδιο αποδείχθηκε "προφανώς κάτι δεν πάει καλά". Είναι επιθυμητό να αμέσωςήταν σαφές ότι, για παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή είναι πολύ απότομη και πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω, και μια ευθεία είναι πολύ επίπεδη, κοντά στον άξονα και πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω.

Στα γεωμετρικά προβλήματα, εμφανίζονται συχνά πολλές ευθείες γραμμές, επομένως είναι βολικό να τις υποδηλώνουμε με κάποιο τρόπο.

Σημειογραφία: οι ευθείες γραμμές υποδεικνύονται με μικρά λατινικά γράμματα: . Μια δημοφιλής επιλογή είναι ο προσδιορισμός του ίδιου γράμματος με φυσικούς δείκτες. Για παράδειγμα, οι πέντε γραμμές που μόλις εξετάσαμε μπορούν να υποδηλωθούν με .

Δεδομένου ότι οποιαδήποτε ευθεία προσδιορίζεται μοναδικά από δύο σημεία, μπορεί να συμβολιστεί με αυτά τα σημεία: και τα λοιπά. Ο συμβολισμός υπονοεί προφανώς ότι τα σημεία ανήκουν στη γραμμή.

Ώρα να χαλαρώσουμε λίγο:

Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση;

Εάν είναι γνωστό ένα σημείο που ανήκει σε μια συγκεκριμένη ευθεία και η κλίση αυτής της ευθείας, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 1

Να συνθέσετε την εξίσωση ευθείας με κλίση αν είναι γνωστό ότι το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο . Σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Εξέτασηεκτελούνται στοιχειωδώς. Αρχικά, κοιτάμε την εξίσωση που προκύπτει και βεβαιωνόμαστε ότι η κλίση μας είναι στη θέση της. Δεύτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση. Ας τα συνδέσουμε στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

συμπέρασμα: Η εξίσωση βρέθηκε σωστά.

Ένα πιο δύσκολο παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 2

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας αν είναι γνωστό ότι η γωνία κλίσης της ως προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα είναι , και το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, διαβάστε ξανά το θεωρητικό υλικό. Πιο συγκεκριμένα, πιο πρακτικό, μου λείπουν πολλές αποδείξεις.

Το τελευταίο κουδούνι χτύπησε, η μπάλα της αποφοίτησης έσβησε και πίσω από τις πύλες του γενέθλιου σχολείου μας περιμένει μάλιστα η αναλυτική γεωμετρία. Τα αστεία τελείωσαν... Ίσως μόλις ξεκινάει =)

Με νοσταλγία κουνάμε τη λαβή στο οικείο και εξοικειωνόμαστε με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Εφόσον στην αναλυτική γεωμετρία είναι ακριβώς αυτό που χρησιμοποιείται:

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Παράλληλα οι συντελεστές ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑδεν είναι ίσα με μηδέν, αφού η εξίσωση χάνει το νόημά της.

Ας ντυθούμε με ένα κοστούμι και ας δέσουμε μια εξίσωση με μια κλίση. Αρχικά, μετακινούμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Ο όρος με "x" πρέπει να τεθεί στην πρώτη θέση:

Κατ 'αρχήν, η εξίσωση έχει ήδη τη μορφή , αλλά σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής εθιμοτυπίας, ο συντελεστής του πρώτου όρου (στην περίπτωση αυτή) πρέπει να είναι θετικός. Αλλαγή πινακίδων:

Θυμηθείτε αυτό το τεχνικό χαρακτηριστικό!Κάνουμε τον πρώτο συντελεστή (τις περισσότερες φορές ) θετικό!

Στην αναλυτική γεωμετρία, η εξίσωση μιας ευθείας θα δίνεται σχεδόν πάντα σε γενική μορφή. Λοιπόν, εάν είναι απαραίτητο, είναι εύκολο να το φέρετε σε μια "σχολική" μορφή με κλίση (με εξαίρεση τις ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα y).

Ας αναρωτηθούμε τι αρκετάξέρετε να χτίσετε μια ευθεία γραμμή; Δύο σημεία. Αλλά για αυτήν την περίπτωση της παιδικής ηλικίας αργότερα, τώρα κολλάει ο κανόνας με τα βέλη. Κάθε ευθεία έχει μια καλά καθορισμένη κλίση, στην οποία είναι εύκολο να «προσαρμόζεται» διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα που είναι παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.. Προφανώς, οποιαδήποτε ευθεία έχει άπειρα διανύσματα κατεύθυνσης και όλα θα είναι συγγραμμικά (συν-κατευθυνόμενα ή όχι - δεν έχει σημασία).

Θα συμβολίσω το διάνυσμα κατεύθυνσης ως εξής: .

Αλλά ένα διάνυσμα δεν αρκεί για να δημιουργηθεί μια ευθεία γραμμή, το διάνυσμα είναι ελεύθερο και δεν συνδέεται σε κανένα σημείο του επιπέδου. Επομένως, είναι επιπλέον απαραίτητο να γνωρίζουμε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στη γραμμή και το κατευθυντικό διάνυσμα αυτής της γραμμής είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της γραμμής μπορεί να συνταχθεί με τον τύπο:

Μερικές φορές ονομάζεται κανονική εξίσωση της γραμμής .

Τι να κάνετε πότε μία από τις συντεταγμένεςείναι μηδέν, θα εξετάσουμε παρακάτω πρακτικά παραδείγματα. Με την ευκαιρία, σημειώστε - και τα δύο ταυτόχροναοι συντεταγμένες δεν μπορούν να είναι μηδέν, αφού το μηδενικό διάνυσμα δεν καθορίζει μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο. Σε αυτήν την περίπτωση:

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

Και φέρνουμε την εξίσωση σε μια γενική μορφή:

Απάντηση:

Η σχεδίαση σε τέτοια παραδείγματα, κατά κανόνα, δεν είναι απαραίτητη, αλλά για λόγους κατανόησης:

Στο σχέδιο, βλέπουμε το σημείο εκκίνησης, το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης (μπορεί να αναβληθεί από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου) και την κατασκευασμένη γραμμή. Παρεμπιπτόντως, σε πολλές περιπτώσεις, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής πραγματοποιείται πιο βολικά χρησιμοποιώντας την εξίσωση κλίσης. Η εξίσωσή μας είναι εύκολο να μετατραπεί στη φόρμα και χωρίς κανένα πρόβλημα σηκώστε ένα ακόμη σημείο για να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή.

Όπως σημειώθηκε στην αρχή της ενότητας, μια γραμμή έχει άπειρα διανύσματα κατεύθυνσης και είναι όλα συγγραμμικά. Για παράδειγμα, σχεδίασα τρία τέτοια διανύσματα: . Όποιο διάνυσμα κατεύθυνσης κι αν επιλέξουμε, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα η ίδια ευθύγραμμη εξίσωση.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Αναλύοντας την αναλογία:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2 και λάβετε τη γνωστή εξίσωση:

Όσοι επιθυμούν μπορούν παρομοίως να δοκιμάσουν διανύσματα ή οποιοδήποτε άλλο συγγραμμικό διάνυσμα.

Τώρα ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα:

Πώς να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;

Πολύ απλό:

Αν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Παραδείγματα εύρεσης διανυσμάτων κατεύθυνσης ευθειών:

Η πρόταση μας επιτρέπει να βρούμε μόνο ένα διάνυσμα κατεύθυνσης από ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν χρειαζόμαστε περισσότερα. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σκόπιμο να μειωθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Έτσι, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα και οι συντεταγμένες του προκύπτοντος διανύσματος διεύθυνσης διαιρούνται εύκολα με -2, παίρνοντας ακριβώς το διάνυσμα βάσης ως διάνυσμα διεύθυνσης. Λογικά.

Ομοίως, η εξίσωση ορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, και διαιρώντας τις συντεταγμένες του διανύσματος με το 5, παίρνουμε το ort ως διάνυσμα κατεύθυνσης.

Τώρα ας εκτελέσουμε ελέγξτε το παράδειγμα 3. Το παράδειγμα ανέβηκε, οπότε σας υπενθυμίζω ότι σε αυτό φτιάξαμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Πρώτα, σύμφωνα με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, επαναφέρουμε το κατευθυντικό της διάνυσμα: - όλα είναι καλά, πήραμε το αρχικό διάνυσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να αποδειχθεί συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα και αυτό είναι συνήθως εύκολο να το δούμε από την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων).

κατα δευτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση . Τα αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

Έχει επιτευχθεί η σωστή ισότητα, για την οποία είμαστε πολύ ευχαριστημένοι.

συμπέρασμα: Η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Γράψτε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Είναι πολύ επιθυμητό να γίνει έλεγχος σύμφωνα με τον αλγόριθμο που μόλις εξετάστηκε. Προσπαθήστε να ελέγχετε πάντα (αν είναι δυνατόν) ένα πρόχειρο. Είναι ανόητο να κάνεις λάθη όπου μπορούν να αποφευχθούν 100%.

Στην περίπτωση που μία από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, είναι πολύ απλό να κάνουμε:

Παράδειγμα 5

Λύση: Ο τύπος δεν είναι έγκυρος επειδή ο παρονομαστής στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν. Υπάρχει έξοδος! Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, ξαναγράφουμε τον τύπο με τη μορφή , και το υπόλοιπο κύλησε κατά μήκος μιας βαθιάς αυλάκωσης:

Απάντηση:

Εξέταση:

1) Επαναφέρετε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:
– το διάνυσμα που προκύπτει είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα

συμπέρασμα: η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά

Γεννιέται το ερώτημα, γιατί να ασχοληθείτε με τη φόρμουλα εάν υπάρχει μια καθολική έκδοση που θα λειτουργήσει ούτως ή άλλως; Υπάρχουν δύο λόγοι. Πρώτον, ο κλασματικός τύπος πολύ καλύτερα να θυμάστε. Και δεύτερον, το μειονέκτημα της καθολικής φόρμουλας είναι ότι σημαντικά αυξημένο κίνδυνο σύγχυσηςκατά την αντικατάσταση συντεταγμένων.

Παράδειγμα 6

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Ας επιστρέψουμε στα απανταχού δύο σημεία:

Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας με δύο σημεία;

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτά τα σημεία μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα είδος τύπου, και να γιατί: αν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε το διάνυσμα θα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Στο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαεξετάσαμε το απλούστερο πρόβλημα - πώς να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από δύο σημεία. Σύμφωνα με αυτό το πρόβλημα, οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης:

Σημείωση : οι πόντοι μπορούν να «ανταλλάσσονται» και να χρησιμοποιούν τον τύπο . Μια τέτοια απόφαση θα ήταν ισότιμη.

Παράδειγμα 7

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας από δύο σημεία .

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Χτενίζουμε τους παρονομαστές:

Και ανακατέψτε την τράπουλα:

Τώρα είναι βολικό να απαλλαγούμε από κλασματικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέρη με 6:

Ανοίξτε τις αγκύλες και θυμηθείτε την εξίσωση:

Απάντηση:

Εξέτασηείναι προφανές - οι συντεταγμένες των αρχικών σημείων πρέπει να ικανοποιούν την προκύπτουσα εξίσωση:

1) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

συμπέρασμα: η εξίσωση της ευθείας είναι σωστή.

Αν ένα τουλάχιστον ένατων πόντων δεν ικανοποιεί την εξίσωση, ψάξτε για λάθος.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η γραφική επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση είναι δύσκολη, γιατί για να φτιάξετε μια γραμμή και να δείτε αν τα σημεία ανήκουν σε αυτήν , Όχι και τόσο εύκολο.

Θα σημειώσω μερικά τεχνικά σημεία της λύσης. Ίσως σε αυτό το πρόβλημα είναι πιο πλεονεκτικό να χρησιμοποιήσετε τον τύπο καθρέφτη και για τα ίδια σημεία φτιάξε μια εξίσωση:

Υπάρχουν λιγότερα κλάσματα. Αν θέλετε, μπορείτε να ολοκληρώσετε τη λύση μέχρι το τέλος, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια εξίσωση.

Το δεύτερο σημείο είναι να δούμε την τελική απάντηση και να δούμε αν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω; Για παράδειγμα, εάν ληφθεί μια εξίσωση, τότε είναι σκόπιμο να τη μειώσετε κατά δύο: - η εξίσωση θα καθορίσει την ίδια ευθεία γραμμή. Ωστόσο, αυτό είναι ήδη θέμα συζήτησης αμοιβαία διάταξη ευθειών.

Έχοντας λάβει απάντηση στο Παράδειγμα 7, για παν ενδεχόμενο, έλεγξα αν ΟΛΟΙ οι συντελεστές της εξίσωσης διαιρούνται με το 2, το 3 ή το 7. Αν και, τις περισσότερες φορές τέτοιες μειώσεις γίνονται κατά τη διάρκεια της λύσης.

Παράδειγμα 8

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, η οποία απλώς θα σας επιτρέψει να κατανοήσετε καλύτερα και να επεξεργαστείτε την τεχνική υπολογισμού.

Παρόμοια με την προηγούμενη παράγραφο: εάν στον τύπο ένας από τους παρονομαστές (συντεταγμένη του διανύσματος κατεύθυνσης) εξαφανίζεται και στη συνέχεια τον ξαναγράφουμε ως . Και πάλι, προσέξτε πόσο αμήχανη και μπερδεμένη άρχισε να φαίνεται. Δεν βλέπω πολύ νόημα να δίνω πρακτικά παραδείγματα, αφού έχουμε ήδη λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα (βλ. Αρ. 5, 6).

Κανονικό διάνυσμα ευθείας γραμμής (κανονικό διάνυσμα)

Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, μια κανονική είναι μια κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και κατευθυντικά διανύσματα), και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμη πιο εύκολη από ό,τι με τα διανύσματα κατεύθυνσης:

Εάν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «απομακρυνθούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μπορούν απλώς να «αφαιρεθούν».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Θα επαληθεύσουμε την ορθογωνικότητα αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας προϊόν με κουκκίδες:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να γράψουμε μια εξίσωση ευθείας, γνωρίζοντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Αισθάνεται ότι είναι δυνατό. Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ευθύτερης γραμμής καθορίζεται επίσης μοναδικά - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Εδώ όλα πήγαν χωρίς κλάσματα και άλλες εκπλήξεις. Αυτό είναι το κανονικό μας διάνυσμα. Το λατρεύω. Και σεβασμός =)

Παράδειγμα 9

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας προκύπτει, ας ελέγξουμε:

1) "Αφαιρέστε" τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: - ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα λαμβάνεται από τη συνθήκη (ή το διάνυσμα πρέπει να είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση είναι σωστή, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Απάντηση:

Στην κλήρωση η κατάσταση έχει ως εξής:

Για τους σκοπούς της εκπαίδευσης, μια παρόμοια εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 10

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος θα αφιερωθεί σε λιγότερο συνηθισμένους, αλλά και σημαντικούς τύπους εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτή τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Πρόκειται, μεταφορικά μιλώντας, για μια «τεχνική» εξίσωση. Η συνήθης εργασία είναι να αναπαραστήσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής ως εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα. Γιατί είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας με άξονες συντεταγμένων, κάτι που είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Επαναφέρουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο με τον άξονα είναι το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα y.