Εύρεση του αντίστροφου πίνακα ως προς τη μονάδα ένα. ανώτερα μαθηματικά

Παρόμοια με τα αντίστροφα σε πολλές ιδιότητες.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 5

✪ Πώς να βρείτε την αντίστροφη μήτρα - bezbotvy

✪ Αντίστροφος πίνακας (2 τρόποι εύρεσης)

✪ Αντίστροφη μήτρα #1

✪ 28-01-2015. Αντίστροφη μήτρα 3x3

✪ 27-01-2015. Αντίστροφη μήτρα 2x2

Υπότιτλοι

Ιδιότητες αντίστροφης μήτρας

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), όπου det (\displaystyle \ \det )δηλώνει μια ορίζουσα.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))για δύο τετράγωνους αντιστρέψιμους πίνακες A (\displaystyle A)και B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), όπου (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))δηλώνει τον μετατιθέμενο πίνακα.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))για οποιοδήποτε συντελεστή k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Εάν είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων , (b είναι μη μηδενικό διάνυσμα) όπου x (\displaystyle x)είναι το επιθυμητό διάνυσμα, και αν A − 1 (\displaystyle A^(-1))υπάρχει λοιπόν x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Διαφορετικά, είτε η διάσταση του χώρου λύσης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, είτε δεν υπάρχουν καθόλου.

Τρόποι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα

Εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, τότε για να βρείτε το αντίστροφο του πίνακα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις ακόλουθες μεθόδους:

Ακριβείς (άμεσες) μέθοδοι

Μέθοδος Gauss-Jordan

Ας πάρουμε δύο πίνακες: τον εαυτό του ΕΝΑκαι single μι. Ας φέρουμε το matrix ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας με τη μέθοδο Gauss-Jordan εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς σε γραμμές (μπορείτε επίσης να εφαρμόσετε μετασχηματισμούς σε στήλες, αλλά όχι σε συνδυασμό). Αφού εφαρμόσετε κάθε πράξη στον πρώτο πίνακα, εφαρμόστε την ίδια πράξη στον δεύτερο. Όταν ολοκληρωθεί η αναγωγή του πρώτου πίνακα στη φόρμα ταυτότητας, ο δεύτερος πίνακας θα ισούται με Α'1.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gauss, ο πρώτος πίνακας θα πολλαπλασιαστεί από τα αριστερά με έναν από τους στοιχειώδεις πίνακες Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(μετατομή ή διαγώνιος πίνακας με αυτούς στην κύρια διαγώνιο, εκτός από μία θέση):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Δεξί βέλος \Λάμδα =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Λάμδα _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Ο δεύτερος πίνακας μετά την εφαρμογή όλων των πράξεων θα είναι ίσος με Λ (\displaystyle \Lambda ), δηλαδή θα είναι το επιθυμητό. Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών

Matrix Αντίστροφη μήτρα A (\displaystyle A), αντιπροσωπεύουν στη μορφή

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

όπου adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- προσαρτημένη μήτρα ;

Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του αλγορίθμου για τον υπολογισμό της ορίζουσας O det και είναι ίση με O(n²) O det .

Χρήση αποσύνθεσης LU/LUP

Εξίσωση μήτρας A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))για αντίστροφη μήτρα X (\displaystyle X)μπορεί να θεωρηθεί ως συλλογή n (\displaystyle n)συστήματα της μορφής A x = b (\displaystyle Ax=b). Σημαίνω i (\displaystyle i)-η στήλη του πίνακα X (\displaystyle X)διά μέσου X i (\displaystyle X_(i)); έπειτα A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),επειδή η i (\displaystyle i)-η στήλη του πίνακα I n (\displaystyle I_(n))είναι το μοναδιαίο διάνυσμα e i (\displaystyle e_(i)). Με άλλα λόγια, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα ανάγεται στην επίλυση n εξισώσεων με τον ίδιο πίνακα και διαφορετικές δεξιές πλευρές. Μετά την εκτέλεση της επέκτασης LUP (χρόνος O(n³)) καθεμία από τις n εξισώσεις χρειάζεται χρόνο O(n²) για να λυθεί, επομένως αυτό το μέρος της εργασίας χρειάζεται επίσης χρόνο O(n³).

Εάν ο πίνακας Α είναι μη ενικός, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την αποσύνθεση του LUP για αυτόν P A = L U (\displaystyle PA=LU). Αφήνω P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Στη συνέχεια, από τις ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα, μπορούμε να γράψουμε: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Αν πολλαπλασιάσουμε αυτή την ισότητα με U και L, τότε μπορούμε να πάρουμε δύο ισότητες της μορφής U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))και D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Η πρώτη από αυτές τις ισότητες είναι ένα σύστημα n² γραμμικών εξισώσεων για n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))του οποίου οι δεξιές πλευρές είναι γνωστές (από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Το δεύτερο είναι επίσης ένα σύστημα n² γραμμικών εξισώσεων για n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))του οποίου οι δεξιές πλευρές είναι γνωστές (επίσης από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Μαζί σχηματίζουν ένα σύστημα ισοτήτων n². Χρησιμοποιώντας αυτές τις ισότητες, μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά όλα τα στοιχεία n² του πίνακα D. Στη συνέχεια από την ισότητα (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. λαμβάνουμε την ισότητα A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Στην περίπτωση χρήσης της αποσύνθεσης LU, δεν απαιτείται μετάθεση των στηλών του πίνακα D, αλλά η λύση μπορεί να αποκλίνει ακόμα κι αν ο πίνακας Α είναι μη μοναδικός.

Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι O(n³).

Επαναληπτικές Μέθοδοι

Μέθοδοι Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\άθροισμα _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end (περιπτώσεις)))

Εκτίμηση σφάλματος

Επιλογή αρχικής προσέγγισης

Το πρόβλημα της επιλογής της αρχικής προσέγγισης στις διαδικασίες της επαναληπτικής αναστροφής πινάκων που εξετάζονται εδώ δεν μας επιτρέπει να τις αντιμετωπίσουμε ως ανεξάρτητες καθολικές μεθόδους που ανταγωνίζονται τις μεθόδους άμεσης αναστροφής που βασίζονται, για παράδειγμα, στην αποσύνθεση πινάκων LU. Υπάρχουν ορισμένες συστάσεις για την επιλογή U 0 (\displaystyle U_(0)), διασφαλίζοντας την εκπλήρωση της προϋπόθεσης ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (η φασματική ακτίνα του πίνακα είναι μικρότερη από τη μονάδα), η οποία είναι απαραίτητη και επαρκής για τη σύγκλιση της διαδικασίας. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, πρώτα, απαιτείται να γνωρίζουμε από πάνω την εκτίμηση για το φάσμα του αντιστρέψιμου πίνακα Α ή του πίνακα A A T (\displaystyle AA^(T))(δηλαδή, εάν το Α είναι ένας συμμετρικός θετικός καθορισμένος πίνακας και ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), τότε μπορείτε να πάρετε U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), όπου ; αν το Α είναι ένας αυθαίρετος μη ενικός πίνακας και ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), τότε ας υποθέσουμε U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), όπου επίσης α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Φυσικά, η κατάσταση μπορεί να απλοποιηθεί και, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), βάζω U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Δεύτερον, με μια τέτοια προδιαγραφή της αρχικής μήτρας, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)θα είναι μικρό (ίσως ακόμη ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), και ένα υψηλό ποσοστό σύγκλισης δεν θα είναι άμεσα εμφανές.

Παραδείγματα

Matrix 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- βγ))(\αρχή(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Η αντιστροφή ενός πίνακα 2x2 είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση ότι a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Ένας αντίστροφος πίνακας για ένα δεδομένο είναι ένας τέτοιος πίνακας, πολλαπλασιασμός του αρχικού με τον οποίο δίνει έναν πίνακα ταυτότητας: Μια υποχρεωτική και επαρκής προϋπόθεση για την παρουσία ενός αντίστροφου πίνακα είναι η ανισότητα της ορίζουσας του αρχικού (που με τη σειρά του σημαίνει ότι ο πίνακας πρέπει να είναι τετράγωνος). Εάν η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε ονομάζεται εκφυλισμένη και ένας τέτοιος πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Στα ανώτερα μαθηματικά, οι αντίστροφοι πίνακες είναι σημαντικοί και χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Για παράδειγμα, στις βρίσκοντας τον αντίστροφο πίνακακατασκευάζεται μια μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Ο ιστότοπος εξυπηρέτησης μας επιτρέπει Υπολογίστε την αντίστροφη μήτρα onlineδύο μέθοδοι: η μέθοδος Gauss-Jordan και η χρήση του πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών. Το πρώτο συνεπάγεται μεγάλο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών εντός του πίνακα, το δεύτερο - τον υπολογισμό της ορίζουσας και των αλγεβρικών προσθηκών σε όλα τα στοιχεία. Για τον υπολογισμό της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την άλλη υπηρεσία μας - Υπολογισμός της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο

.

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα στον ιστότοπο

δικτυακός τόποςσας επιτρέπει να βρείτε αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηγρήγορα και δωρεάν. Στο site γίνονται υπολογισμοί από την υπηρεσία μας και εμφανίζεται αποτέλεσμα με αναλυτική λύση για εύρεση αντίστροφη μήτρα. Ο διακομιστής δίνει πάντα μόνο την ακριβή και σωστή απάντηση. Σε εργασίες εξ ορισμού αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεση, είναι απαραίτητο η ορίζουσα μήτρεςήταν διαφορετικό από το μηδέν, αλλιώς δικτυακός τόποςθα αναφέρει την αδυναμία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα λόγω του γεγονότος ότι η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν. Εύρεση εργασίας αντίστροφη μήτρασυναντάται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, αποτελώντας μια από τις πιο βασικές έννοιες της άλγεβρας και μαθηματικό εργαλείο σε εφαρμοσμένα προβλήματα. Ανεξάρτητος ορισμός αντίστροφου πίνακαθέλει αρκετή προσπάθεια, πολύ χρόνο, υπολογισμούς και μεγάλη προσοχή για να μην γίνει ολίσθημα ή μικρό λάθος στους υπολογισμούς. Ως εκ τούτου, η υπηρεσία μας εύρεση του αντίστροφου πίνακα onlineθα διευκολύνει πολύ το έργο σας και θα γίνει ένα απαραίτητο εργαλείο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ακόμα και αν εσύ βρείτε τον αντίστροφο πίνακασας συνιστούμε να ελέγξετε τη λύση σας στον διακομιστή μας. Εισαγάγετε τον αρχικό σας πίνακα στο Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα online και ελέγξτε την απάντησή σας. Το σύστημά μας δεν κάνει ποτέ λάθος και βρίσκει αντίστροφη μήτραδεδομένης διάστασης στη λειτουργία Σε σύνδεσηστη στιγμή! Στην τοποθεσία δικτυακός τόποςΟι καταχωρίσεις χαρακτήρων επιτρέπονται σε στοιχεία μήτρες, σε αυτήν την περίπτωση αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηθα παρουσιαστεί σε γενική συμβολική μορφή.

Ορισμός 1:Ένας πίνακας ονομάζεται εκφυλισμένος εάν ο προσδιοριστής του είναι μηδέν.

Ορισμός 2:Ένας πίνακας ονομάζεται μη ενικός εάν η ορίζοντή του δεν είναι ίση με μηδέν.

Ο πίνακας "Α" ονομάζεται αντίστροφη μήτρα, εάν η συνθήκη A*A-1 = A-1 *A = E (πίνακας ταυτότητας) ικανοποιείται.

Ένας τετράγωνος πίνακας είναι αντιστρέψιμος μόνο αν είναι μη ενικός.

Σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:

1) Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα «Α» αν ∆ A = 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.

2) Βρείτε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα "Α".

3) Συνθέστε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών (Aij )

4) Μεταθέστε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων (Aij )T

5) Πολλαπλασιάστε τον μετατιθέμενο πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας αυτού του πίνακα.

6) Εκτελέστε έναν έλεγχο:

Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται ότι είναι δύσκολο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ απλά. Όλες οι λύσεις βασίζονται σε απλές αριθμητικές πράξεις, το κύριο πράγμα κατά την επίλυση είναι να μην μπερδεύεστε με τα σημάδια "-" και "+" και να μην τα χάσετε.

Και τώρα ας λύσουμε μαζί σας μια πρακτική εργασία υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα.

Εργασία: βρείτε τον αντίστροφο πίνακα "A", που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Επιλύουμε τα πάντα ακριβώς όπως υποδεικνύεται στο σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα.

1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα "A":

Εξήγηση:

Απλοποιήσαμε την ορίζοντή μας χρησιμοποιώντας τις κύριες συναρτήσεις της. Αρχικά, προσθέσαμε στη 2η και 3η σειρά τα στοιχεία της πρώτης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί έναν αριθμό.

Δεύτερον, αλλάξαμε τη 2η και την 3η στήλη της ορίζουσας και σύμφωνα με τις ιδιότητές της, αλλάξαμε το πρόσημο μπροστά της.

Τρίτον, αφαιρέσαμε τον κοινό παράγοντα (-1) της δεύτερης σειράς, αλλάζοντας ξανά το πρόσημο και έγινε θετικός. Απλοποιήσαμε επίσης τη γραμμή 3 με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχή του παραδείγματος.

Έχουμε μια τριγωνική ορίζουσα, στην οποία τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν και με την ιδιότητα 7 ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγώνιου. Ως αποτέλεσμα, πήραμε ∆ A = 26, επομένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Το επόμενο βήμα είναι η σύνταξη ενός πίνακα από τις προσθήκες που προκύπτουν:

5. Πολλαπλασιάζουμε αυτόν τον πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας, δηλαδή με το 1/26:

6. Λοιπόν, τώρα πρέπει απλώς να ελέγξουμε:

Κατά τη διάρκεια της επαλήθευσης, λάβαμε μια μήτρα ταυτότητας, επομένως, η απόφαση ελήφθη απολύτως σωστά.

2 τρόπος υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα.

1. Στοιχειώδης μετασχηματισμός πινάκων

2. Αντίστροφος πίνακας μέσω στοιχειώδους μετατροπέα.

Ο μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνει:

1. Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν μη μηδενικό αριθμό.

2. Προσθήκη σε οποιαδήποτε γραμμή άλλης γραμμής, πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό.

3. Εναλλαγή των σειρών του πίνακα.

4. Εφαρμόζοντας μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών, παίρνουμε έναν άλλο πίνακα.

ΑΛΛΑ -1 = ?

1. (Α|Ε) ~ (Ε|Α -1 )

2. Α -1*A=E

Ας το δούμε αυτό σε ένα πρακτικό παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς.

Ασκηση:Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση:

Ας ελέγξουμε:

Μια μικρή διευκρίνηση για τη λύση:

Πρώτα ανταλλάξαμε τις σειρές 1 και 2 του πίνακα και στη συνέχεια πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-1).

Μετά από αυτό, η πρώτη σειρά πολλαπλασιάστηκε με (-2) και προστέθηκε στη δεύτερη σειρά του πίνακα. Στη συνέχεια πολλαπλασιάσαμε τη 2η σειρά κατά 1/4.

Το τελικό στάδιο του μετασχηματισμού ήταν ο πολλαπλασιασμός της δεύτερης σειράς επί 2 και η πρόσθεση από την πρώτη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε έναν πίνακα ταυτότητας στα αριστερά, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας είναι ο πίνακας στα δεξιά.

Μετά από έλεγχο, πειστήκαμε για την ορθότητα της απόφασης.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα είναι πολύ απλός.

Ολοκληρώνοντας αυτή τη διάλεξη, θα ήθελα επίσης να αφιερώσω λίγο χρόνο στις ιδιότητες ενός τέτοιου πίνακα.

Άλγεβρα Μητρών - Αντίστροφη μήτρα

αντίστροφη μήτρα

αντίστροφη μήτραΚαλείται ένας πίνακας ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί και στα δεξιά και στα αριστερά με έναν δεδομένο πίνακα, δίνει τον πίνακα ταυτότητας.
Δηλώστε τον πίνακα αντίστροφο του πίνακα ΑΛΛΑμέσω , τότε σύμφωνα με τον ορισμό παίρνουμε:

όπου μιείναι η μήτρα ταυτότητας.
τετράγωνη μήτραπου ονομάζεται μη ειδικός (μη εκφυλισμένος) αν η ορίζουσα του δεν είναι ίση με μηδέν. Αλλιώς λέγεται ειδικός (εκφυλισμένος) ή ενικός.

Υπάρχει ένα θεώρημα: Κάθε μη ενικός πίνακας έχει έναν αντίστροφο πίνακα.

Η λειτουργία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα ονομάζεται έφεσημήτρες. Εξετάστε τον αλγόριθμο αντιστροφής πίνακα. Ας δοθεί ένας μη ενικός πίνακας n-η σειρά:

όπου Δ = αποτ ΕΝΑ ≠ 0.

Συμπλήρωμα αλγεβρικού στοιχείουμήτρες n-η σειρά ΑΛΛΑη ορίζουσα του πίνακα ( n–1)-η σειρά που λαμβάνεται με διαγραφή Εγώ-η γραμμή και ι-η στήλη του πίνακα ΑΛΛΑ:

Ας δημιουργήσουμε ένα λεγόμενο επισυνάπτεταιμήτρα:

όπου είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα ΑΛΛΑ.
Σημειώστε ότι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της γραμμής του πίνακα ΑΛΛΑτοποθετούνται στις αντίστοιχες στήλες του πίνακα Ã , δηλαδή, η μήτρα μεταφέρεται ταυτόχρονα.
Διαίρεση όλων των στοιχείων μήτρας Ã στο Δ - η τιμή της ορίζουσας του πίνακα ΑΛΛΑ, παίρνουμε τον αντίστροφο πίνακα ως αποτέλεσμα:

Σημειώνουμε μια σειρά από ειδικές ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα:
1) για μια δεδομένη μήτρα ΑΛΛΑη αντίστροφη μήτρα του είναι το μόνο?
2) αν υπάρχει αντίστροφος πίνακας , τότε δεξιά όπισθενκαι αριστερά όπισθενΟι πίνακες συμπίπτουν με αυτό.
3) ένας ειδικός (εκφυλισμένος) τετραγωνικός πίνακας δεν έχει αντίστροφο πίνακα.

Οι κύριες ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα:
1) η ορίζουσα του αντίστροφου πίνακα και η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι αμοιβαία.
2) ο αντίστροφος πίνακας του γινομένου τετραγωνικών πινάκων είναι ίσος με το γινόμενο των αντίστροφων πινάκων των παραγόντων, που λαμβάνονται με αντίστροφη σειρά:

3) ο μετατιθέμενος αντίστροφος πίνακας είναι ίσος με τον αντίστροφο πίνακα από τον δεδομένο μετατιθέμενο πίνακα:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα του δεδομένου.

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος πίνακας σε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 \u003d E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης. Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες.

Ανάθεση υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία στο Διαδίκτυο, μπορείτε να βρείτε αλγεβρικές προσθήκες, μετατιθέμενο πίνακα A T, πίνακα ένωσης και αντίστροφο πίνακα. Η λύση πραγματοποιείται απευθείας στον ιστότοπο (online) και είναι δωρεάν. Τα αποτελέσματα υπολογισμού παρουσιάζονται σε μια αναφορά σε μορφή Word και σε μορφή Excel (δηλαδή, είναι δυνατός ο έλεγχος της λύσης). δείτε το παράδειγμα σχεδίασης.

Εντολή. Για να λάβετε μια λύση, πρέπει να καθορίσετε τη διάσταση του πίνακα. Στη συνέχεια, στο νέο πλαίσιο διαλόγου, συμπληρώστε τον πίνακα A .

Διάσταση μήτρας 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Δείτε επίσης Αντίστροφη μήτρα με τη μέθοδο Jordan-Gauss

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Εύρεση του μετατιθέμενου πίνακα A T .
2. Ορισμός αλγεβρικών προσθηκών. Αντικαταστήστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα.
3. Σύνταξη ενός αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.

Επόμενο αλγόριθμος αντίστροφης μήτραςπαρόμοια με την προηγούμενη, εκτός από ορισμένα βήματα: πρώτα υπολογίζονται τα αλγεβρικά συμπληρώματα και, στη συνέχεια, προσδιορίζεται ο πίνακας ένωσης C.

1. Προσδιορίστε εάν ο πίνακας είναι τετράγωνος. Εάν όχι, τότε δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας για αυτό.
2. Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α . Αν δεν ισούται με το μηδέν, συνεχίζουμε τη λύση, διαφορετικά ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.
3. Ορισμός αλγεβρικών προσθηκών.
4. Συμπλήρωση του ενωτικού (αμοιβαίου, παρακείμενου) πίνακα C .
5. Σύνταξη του αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα C διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.
6. Κάντε έναν έλεγχο: πολλαπλασιάστε τον αρχικό και τους πίνακες που προκύπτουν. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας πίνακας ταυτότητας.

Παράδειγμα #1. Γράφουμε τον πίνακα με τη μορφή: