Η τυχαία μεταβλητή δίνεται από την κατανομή. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Σε αντίθεση με μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές δεν μπορούν να καθοριστούν με τη μορφή πίνακα του νόμου κατανομής της, καθώς είναι αδύνατο να παραθέσουμε και να γράψουμε όλες τις τιμές της σε μια συγκεκριμένη σειρά. Ένας πιθανός τρόπος για να ορίσετε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή είναι να χρησιμοποιήσετε μια συνάρτηση κατανομής.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η συνάρτηση κατανομής είναι μια συνάρτηση που καθορίζει την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να λάβει μια τιμή που απεικονίζεται στον πραγματικό άξονα από ένα σημείο στα αριστερά του σημείου x, δηλ.

Μερικές φορές, αντί του όρου "συνάρτηση διανομής", χρησιμοποιείται ο όρος "Ολοκληρωμένη συνάρτηση".

Ιδιότητες συνάρτησης διανομής:

1. Η τιμή της συνάρτησης κατανομής ανήκει στο τμήμα: 0F(x)1
2. Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλ. F(x 2)F(x 1) αν x 2 >x 1

Συμπέρασμα 1. Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα λάβει μια τιμή που περιέχεται στο διάστημα (a,b) είναι ίση με την αύξηση της συνάρτησης κατανομής σε αυτό το διάστημα:

Μικρός σταυρός

Παράδειγμα 9. Μια τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από μια συνάρτηση κατανομής:

Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, το X θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0; 2): P(0

Λύση: Αφού στο διάστημα (0;2) κατά συνθήκη, F(x)=x/4+1/4, τότε F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Άρα P(0

Συμπέρασμα 2. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει μια καθορισμένη τιμή είναι ίση με μηδέν.

Συμπέρασμα 3. Εάν οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής ανήκουν στο διάστημα (a;b), τότε: 1) F(x)=0 για xa; 2) F(x)=1 για xb.
Ισχύουν οι ακόλουθες οριακές σχέσεις:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής βρίσκεται στη λωρίδα που οριοθετείται από ευθείες y=0, y=1 (η πρώτη ιδιότητα). Καθώς το x αυξάνεται στο διάστημα (a;b), το οποίο περιέχει όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής, το γράφημα "ανεβαίνει". Για xa, οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με μηδέν. στο xb, οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με ένα:

Εικόνα 1

Παράδειγμα 10. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από έναν πίνακα κατανομής:

Χ	1	4	8
Π	0.3	0.1	0.6

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της.
Λύση: Η συνάρτηση κατανομής μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής:

Σχήμα 2

ΟΡΙΣΜΟΣ: Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η συνάρτηση f (x) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής F (x): f (x) \u003d F "(x)

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι το αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής.

Θεώρημα. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (a; b) είναι ίση με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή από a έως b:

(8)

Ιδιότητες πυκνότητας πιθανότητας:

1. Η πυκνότητα πιθανότητας είναι μη αρνητική συνάρτηση: f(x)0.
2. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως +∞ της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με 1: f(x)dx=1.
3. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως x της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με τη συνάρτηση κατανομής αυτής της μεταβλητής: f(x)dx=F(x)

Παράδειγμα 11. Δεδομένης της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, το X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0,5; 1).

Λύση: Επιθυμητή πιθανότητα:

Ας επεκτείνουμε τον ορισμό των αριθμητικών χαρακτηριστικών των διακριτών μεγεθών σε συνεχείς ποσότητες. Έστω μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X που δίνεται από την πυκνότητα κατανομής f(x).

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν στο τμήμα, ονομάζεται καθορισμένο ολοκλήρωμα:

M(x)=xf(x)dx (9)

Εάν οι πιθανές τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα x, τότε:

M(x)=xf(x)dx (10)

Ο τρόπος M 0 (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της, η οποία αντιστοιχεί στο τοπικό μέγιστο της πυκνότητας κατανομής.

Η διάμεσος M e (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της, η οποία καθορίζεται από την ισότητα:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η διασπορά μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της. Εάν οι πιθανές τιμές του X ανήκουν στο τμήμα, τότε:

D(x)=2 f(x)dx (11)
ή
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Εάν οι πιθανές τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα x, τότε.

Τυχαία μεταβλητήκαλείται μια μεταβλητή η οποία, ως αποτέλεσμα κάθε δοκιμής, παίρνει μια προηγουμένως άγνωστη τιμή, ανάλογα με τυχαίες αιτίες. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Με τον τύπο τους, οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να είναι διακεκριμένοςκαι συνεχής.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή- αυτή είναι μια τόσο τυχαία μεταβλητή, οι τιμές της οποίας δεν μπορούν να είναι περισσότερες από μετρήσιμες, δηλαδή είτε πεπερασμένες είτε μετρήσιμες. Καταμετρησιμότητα σημαίνει ότι μπορούν να απαριθμηθούν οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα 1 . Ας δώσουμε παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

α) ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με $n$ βολές, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

β) ο αριθμός των εθνόσημων που έπεσαν έξω κατά την ρίψη ενός κέρματος, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

γ) τον αριθμό των πλοίων που έφθασαν επί του πλοίου (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).

δ) τον αριθμό των κλήσεων που φτάνουν στο κέντρο (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).

1. Νόμος κατανομής πιθανοτήτων μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να πάρει τις τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ με πιθανότητες $p\left(x_1\right),\ \dots,\ p\left(x_n\right)$. Η αντιστοιχία μεταξύ αυτών των τιμών και των πιθανοτήτων τους ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Κατά κανόνα, αυτή η αντιστοιχία καθορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, στην πρώτη γραμμή του οποίου υποδεικνύονται οι τιμές $x_1,\dots,\ x_n$ και στη δεύτερη γραμμή οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές είναι $ p_1,\dots,\ p_n$.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(πίνακας)$

Παράδειγμα 2 . Έστω η τυχαία μεταβλητή $X$ ο αριθμός των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνονται ένα ζάρι. Μια τέτοια τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Οι πιθανότητες όλων αυτών των τιμών είναι ίσες με $1/6$. Στη συνέχεια, ο νόμος κατανομής πιθανότητας για την τυχαία μεταβλητή $X$:

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(πίνακας)$

Σχόλιο. Εφόσον τα συμβάντα $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων στον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$, το άθροισμα των πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με ένα, δηλ. $\sum( p_i)=1$.

2. Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητήςκαθορίζει την «κεντρική» του τιμή. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών $x_1,\dots ,\ x_n$ και των πιθανοτήτων $p_1,\dots,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές, δηλ.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Στην αγγλική βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ένας άλλος συμβολισμός $E\left(X\right)$.

Ιδιότητες προσδοκίας$M\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Το $M\left(X\right)$ βρίσκεται μεταξύ της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής της τυχαίας μεταβλητής $X$.
2. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά, δηλ. $M\left(C\right)=C$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 3 . Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\πάνω (6))+2\cdot ((1)\πάνω (6) )+3\cdot ((1)\πάνω (6))+4\cdot ((1)\πάνω (6))+5\cdot ((1)\πάνω (6))+6\cdot ((1 )\πάνω (6))=3,5.$$

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το $M\left(X\right)$ βρίσκεται μεταξύ της μικρότερης ($1$) και της μεγαλύτερης ($6$) τιμών της τυχαίας μεταβλητής $X$.

Παράδειγμα 4 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=2$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $3X+5$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Παράδειγμα 5 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=4$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $2X-9$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Πιθανές τιμές τυχαίων μεταβλητών με ίσες μαθηματικές προσδοκίες μπορεί να διασκορπιστούν διαφορετικά γύρω από τις μέσες τιμές τους. Για παράδειγμα, σε δύο ομάδες μαθητών, ο μέσος όρος βαθμολογίας για την εξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων ήταν 4, αλλά σε μια ομάδα όλοι αποδείχθηκαν καλοί μαθητές και στην άλλη ομάδα - μόνο μαθητές Γ και αριστούχοι μαθητές. Επομένως, υπάρχει ανάγκη για ένα τέτοιο αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής, το οποίο θα δείχνει την εξάπλωση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι η διασπορά.

Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής$X$ είναι:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Στην αγγλική βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Πολύ συχνά η διακύμανση $D\left(X\right)$ υπολογίζεται με τον τύπο $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ αριστερά(Χ \δεξιά)\δεξιά))^2$.

Ιδιότητες διασποράς$D\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Η διασπορά είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, δηλ. $D\αριστερά(X\δεξιά)\ge 0$.
2. Η διασπορά από μια σταθερά είναι ίση με μηδέν, δηλ. $D\left(C\right)=0$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της διασποράς, με την προϋπόθεση ότι είναι τετραγωνισμένο, δηλ. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Η διακύμανση της διαφοράς των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 6 . Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\πάνω (6))\cdot (\αριστερά(6-3,5\δεξιά))^2=((35)\πάνω (12))\περίπου 2,92.$$

Παράδειγμα 7 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=2$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $4X+1$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=16\cdot 2=32$.

Παράδειγμα 8 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση του $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=3$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $3-2X$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=4\cdot 3=12$.

4. Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Η μέθοδος αναπαράστασης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής με τη μορφή μιας σειράς διανομής δεν είναι η μόνη και το πιο σημαντικό, δεν είναι καθολική, αφού μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δεν μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια σειρά διανομής. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να αναπαραστήσουμε μια τυχαία μεταβλητή - τη συνάρτηση κατανομής.

συνάρτηση διανομήςΗ τυχαία μεταβλητή $X$ είναι μια συνάρτηση $F\left(x\right)$, η οποία καθορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X$ να λάβει τιμή μικρότερη από κάποια σταθερή τιμή $x$, δηλαδή $F\left(x\ δεξιά)$ )=P\αριστερά(Χ< x\right)$

Ιδιότητες συνάρτησης διανομής:

1. $0\le F\αριστερά(x\δεξιά)\le 1$.
2. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή $X$ παίρνει τιμές από το διάστημα $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης κατανομής στα άκρα αυτού του διαστήματος : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - μη φθίνουσα.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \δεξιά)=1\ )$.

Παράδειγμα 9 . Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής $F\left(x\right)$ για τον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(πίνακας)$

Αν $x\le 1$, τότε προφανώς $F\left(x\right)=0$ (συμπεριλαμβανομένων $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Αν $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Αν $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Αν $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Αν $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Αν $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Αν $x > 6$ τότε $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Άρα $F(x)=\αριστερά\(\αρχή(μήτρα)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, στο \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, στο \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ στο \ 4< x\le 5,\\
1,\ για \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

4. Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ) . Αυτός ο τρόπος ρύθμισης δεν είναι ο μόνος. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια άλλη συνάρτηση που ονομάζεται πυκνότητα κατανομής ή πυκνότητα πιθανότητας (μερικές φορές ονομάζεται διαφορική συνάρτηση).

Ορισμός 4.1: Πυκνότητα κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χκαλέστε τη συνάρτηση φά (Χ) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής φά(Χ) :

φά ( Χ ) = φά "( Χ ) .

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι το αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής. Σημειώστε ότι για να περιγράψουμε την κατανομή πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, η πυκνότητα κατανομής δεν είναι εφαρμόσιμη.

Πιθανότητα να χτυπηθεί μια συνεχής τυχαία μεταβλητή σε ένα δεδομένο διάστημα

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα.

Θεώρημα: Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (ένα, σι), είναι ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή απόέναπρινσι :

Απόδειξη:Χρησιμοποιούμε την αναλογία

Π(ένα ≤ Χσι) = φά(σι) – φά(ένα).

Σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz,

Με αυτόν τον τρόπο,

.

Επειδή Π(ένα ≤ Χ σι)= Π(ένα Χ σι) , τότε επιτέλους παίρνουμε

.

Γεωμετρικά, το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (ένα, σι), ισούται με την περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξοναΒόδι, καμπύλη κατανομήςφά(Χ) και απευθείαςΧ = ένακαιΧ = σι.

Σχόλιο:Ειδικότερα, εάν φά(Χ) είναι άρτια συνάρτηση και τα άκρα του διαστήματος είναι συμμετρικά ως προς την αρχή, λοιπόν

.

Παράδειγμα.Δεδομένης της πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (0,5; 1).

Λύση:Επιθυμητή πιθανότητα

.

Εύρεση της συνάρτησης κατανομής από γνωστή πυκνότητα κατανομής

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής φά(Χ) , μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) σύμφωνα με τον τύπο

.

Πραγματικά, φά(Χ) = Π(Χ Χ) = Π(-∞ Χ Χ) .

Συνεπώς,

.

Με αυτόν τον τρόπο, γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Φυσικά, από τη γνωστή συνάρτηση κατανομής, μπορεί κανείς να βρει την πυκνότητα κατανομής, και συγκεκριμένα:

φά(Χ) = φά"(Χ).

Παράδειγμα.Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής για μια δεδομένη πυκνότητα κατανομής:

Λύση:Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

Αν ένα Χ ≤ ένα, έπειτα φά(Χ) = 0 , Συνεπώς, φά(Χ) = 0 . Αν ένα α, λοιπόν f(x) = 1/(b-a),

Συνεπώς,

.

Αν ένα Χ > σι, έπειτα

.

Άρα, η επιθυμητή συνάρτηση κατανομής

Σχόλιο:Λάβαμε τη συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής (βλέπε ομοιόμορφη κατανομή).

Ιδιότητες πυκνότητας κατανομής

Ιδιοκτησία 1:Η πυκνότητα κατανομής είναι μια μη αρνητική συνάρτηση:

φά ( Χ ) ≥ 0 .

Ιδιοκτησία 2:Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής στην περιοχή από -∞ έως ∞ είναι ίσο με ένα:

.

Σχόλιο:Το διάγραμμα της πυκνότητας κατανομής ονομάζεται καμπύλη κατανομής.

Σχόλιο:Η πυκνότητα κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται επίσης νόμος κατανομής.

Παράδειγμα.Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει την εξής μορφή:

Βρείτε σταθερή παράμετρο ένα.

Λύση:Η πυκνότητα κατανομής πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη , οπότε απαιτούμε την ισότητα

.

Από εδώ
. Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα:

.

Υπολογίζουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα:

Έτσι, η απαιτούμενη παράμετρος

.

Πιθανή έννοια της πυκνότητας κατανομής

Αφήνω φά(Χ) είναι η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. Εξ ορισμού της πυκνότητας κατανομής, φά(Χ) = φά"(Χ) , ή

Διαφορά φά(Χ+∆χ) -φά(Χ) καθορίζει την πιθανότητα ότι Χθα πάρει την τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆х). Έτσι, το όριο του λόγου της πιθανότητας μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆х), στο μήκος αυτού του διαστήματος (στο ∆х→0) ισούται με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείο Χ.

Η συνάρτηση λοιπόν φά(Χ) καθορίζει την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας για κάθε σημείο Χ. Είναι γνωστό από τον διαφορικό λογισμό ότι η αύξηση μιας συνάρτησης είναι περίπου ίση με το διαφορικό της συνάρτησης, δηλ.

Επειδή φά"(Χ) = φά(Χ) και dx = ∆ Χ, έπειτα φά(Χ+∆ Χ) - φά(Χ) ≈ φά(Χ)∆ Χ.

Η πιθανολογική σημασία αυτής της ισότητας είναι η εξής: η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆ Χ) , είναι περίπου ίσο με το γινόμενο της πυκνότητας πιθανότητας στο σημείο x και το μήκος του διαστήματος ∆х.

Γεωμετρικά, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευτεί ως: η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆ Χ), περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση Δχ και ύψοςφά(Χ).

5. Τυπικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών

5.1. Κατανομή Bernoulli

Ορισμός 5.1: Τυχαία τιμή Χ, το οποίο παίρνει δύο τιμές 1 και 0 με πιθανότητες («επιτυχία») Πκαι ("αποτυχία") q, λέγεται Μπερνούλι:

, όπου κ=0,1.

5.2. Διωνυμική κατανομή

Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες ένα γεγονός ΕΝΑμπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε όλες τις δοκιμές είναι σταθερή και ίση με Π(εξ ου και η πιθανότητα μη εμφάνισης q = 1 - Π).

Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑσε αυτές τις δοκιμές. Τυχαία τιμή Χπαίρνει αξίες 0,1,2,… nμε πιθανότητες που υπολογίζονται με τον τύπο Bernoulli: , όπου κ = 0,1,2,… n.

Ορισμός 5.2: Διωνυμικόςονομάζεται κατανομή πιθανότητας που καθορίζεται από τον τύπο Bernoulli.

Παράδειγμα.Εκτελούνται τρεις βολές στον στόχο και η πιθανότητα να χτυπηθεί κάθε βολή είναι 0,8. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Χ- τον αριθμό των χτυπημάτων στο στόχο. Βρείτε τη σειρά διανομής του.

Λύση:Τυχαία τιμή Χπαίρνει αξίες 0,1,2,3 με πιθανότητες που υπολογίζονται με τον τύπο Bernoulli, όπου n = 3, Π = 0,8 (πιθανότητα χτυπήματος), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (πιθανότητα να λείπει).

Έτσι, η σειρά διανομής έχει την εξής μορφή:

Χρησιμοποιήστε τον τύπο Bernoulli για μεγάλες τιμές nμάλλον δύσκολο, επομένως, να υπολογιστούν οι αντίστοιχες πιθανότητες, χρησιμοποιείται το τοπικό θεώρημα Laplace, το οποίο επιτρέπει σε κάποιον να βρει κατά προσέγγιση την πιθανότητα να συμβεί ακριβώς ένα γεγονός κμιά φορά nδοκιμές εάν ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος.

Τοπικό θεώρημα Laplace: Εάν υπάρχει πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑ
ότι η εκδήλωση ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές ακριβώς κφορές, περίπου ίσες (όσο πιο ακριβείς, τόσο περισσότερες n) τιμή συνάρτησης
, όπου
, .

Σημείωση 1:Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων
, δίνονται στο Παράρτημα 1 και
. Λειτουργία είναι η πυκνότητα της τυπικής κανονικής κατανομής (βλ. κανονική κατανομή).

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν ΕΝΑ έρχεται ακριβώς 80 μιά φορά 400 δοκιμές εάν η πιθανότητα εμφάνισης αυτού του συμβάντος σε κάθε δοκιμή είναι ίση με 0,2.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 400, κ = 80, Π = 0,2 , q = 0,8 . Ας υπολογίσουμε την τιμή που καθορίζεται από τα δεδομένα του προβλήματος Χ:
. Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 1, βρίσκουμε
. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα θα είναι:

Εάν θέλετε να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι ένα γεγονός ΕΝΑθα εμφανιστεί σε nδοκιμές τουλάχιστον κ 1 μια φορά και όχι άλλη κ 2 φορές, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε το ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace:

Ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace: Εάν υπάρχει πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από το μηδέν και ένα, τότε η πιθανότητα ότι η εκδήλωση ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές από κ 1 πριν κ 2 φορές, περίπου ίσο με το οριστικό ολοκλήρωμα

, όπου
και
.

Με άλλα λόγια, η πιθανότητα ότι ένα γεγονός ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές από κ 1 πριν κ 2 φορές, περίπου ίσο με

όπου
, και .

Παρατήρηση 2:Λειτουργία
ονομάζεται συνάρτηση Laplace (βλ. κανονική κατανομή). Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων , δίνονται στο Παράρτημα 2 και
.

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 400 Τα τυχαία επιλεγμένα εξαρτήματα δεν θα ελεγχθούν από 70 έως 100 εξαρτήματα, εάν η πιθανότητα ότι το εξάρτημα δεν πέρασε τον έλεγχο ποιότητας είναι ίση με 0,2.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 400, Π = 0,2 , q = 0,8, κ 1 = 70, κ 2 = 100 . Ας υπολογίσουμε το κατώτερο και το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης:

;
.

Έτσι, έχουμε:

Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 2, διαπιστώνουμε ότι
και
. Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι:

Παρατήρηση 3:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν το n είναι μεγάλο, το p είναι μικρό), ο τύπος Poisson χρησιμοποιείται ακριβώς k φορές για τον υπολογισμό της πιθανότητας να συμβεί ένα συμβάν (βλέπε κατανομή Poisson).

5.3. Κατανομή Poisson

Ορισμός 5.3: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ονομάζεται δηλητήριο,αν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

, όπου
και
(σταθερή αξία).

Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών Poisson:

Αριθμός κλήσεων σε έναν αυτόματο σταθμό σε ένα χρονικό διάστημα Τ.

Ο αριθμός των σωματιδίων διάσπασης κάποιας ραδιενεργής ουσίας σε μια χρονική περίοδο Τ.

Ο αριθμός των τηλεοράσεων που εισέρχονται στο συνεργείο σε μια χρονική περίοδο Τστη μεγάλη πόλη .

Ο αριθμός των αυτοκινήτων που θα φτάσουν στη γραμμή στάσης μιας διασταύρωσης σε μια μεγάλη πόλη .

Σημείωση 1:Ειδικοί πίνακες για τον υπολογισμό αυτών των πιθανοτήτων δίνονται στο Παράρτημα 3.

Παρατήρηση 2:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν nμεγάλος, Πμικρό) για να υπολογίσετε ακριβώς την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν κμόλις χρησιμοποιηθεί ο τύπος Poisson:
, όπου
, δηλαδή ο μέσος αριθμός εμφανίσεων γεγονότων παραμένει σταθερός.

Παρατήρηση 3:Εάν υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, τότε υπάρχει απαραίτητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και το αντίστροφο (δείτε την εκθετική κατανομή).

Παράδειγμα.Το εργοστάσιο έστειλε στη βάση 5000 καλής ποιότητας προϊόντα. Η πιθανότητα να καταστραφεί το προϊόν κατά τη μεταφορά είναι ίση με 0,0002 . Βρείτε την πιθανότητα ότι ακριβώς τρία άχρηστα αντικείμενα θα φτάσουν στη βάση.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 5000, Π = 0,0002, κ = 3. Ας βρούμε λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Σύμφωνα με τον τύπο Poisson, η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με:

, όπου τυχαία μεταβλητή Χ- τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων.

5.4. Γεωμετρική κατανομή

Ας γίνουν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί κάποιο συμβάν ΑΛΛΑείναι ίσο με Π(0 σελ

q = 1 - Π. Οι δοκιμές τελειώνουν μόλις εμφανιστεί το συμβάν ΑΛΛΑ. Έτσι, εάν ένα γεγονός ΑΛΛΑεμφανίστηκε σε κ-ο τεστ, μετά στο προηγούμενο κ – 1 Δεν φάνηκε στις δοκιμές.

Σημειώστε με Χδιακριτή τυχαία μεταβλητή - ο αριθμός των δοκιμών που πρέπει να πραγματοποιηθούν πριν από την πρώτη εμφάνιση του συμβάντος ΑΛΛΑ. Προφανώς, οι πιθανές τιμές Χείναι φυσικοί αριθμοί x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Αφήστε το πρώτο κ-1 δοκιμαστική εκδήλωση ΑΛΛΑδεν ήρθε, αλλά κεμφανίστηκε η δοκιμή. Η πιθανότητα αυτού του «σύνθετου γεγονότος», σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων, Π (Χ = κ) = q κ -1 Π.

Ορισμός 5.4: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει γεωμετρική κατανομήαν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

Π ( Χ = κ ) = q κ -1 Π , όπου
.

Σημείωση 1:Υποθέτοντας κ = 1,2,… , παίρνουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο Πκαι παρονομαστής q (0q. Για το λόγο αυτό, η κατανομή ονομάζεται γεωμετρική.

Παρατήρηση 2:Σειρά
συγκλίνει και το άθροισμά του είναι ίσο με ένα. Πράγματι, το άθροισμα της σειράς είναι
.

Παράδειγμα.Το όπλο πυροβολεί στον στόχο μέχρι το πρώτο χτύπημα. Πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο Π = 0,6 . Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί το χτύπημα στην τρίτη βολή.

Λύση:Κατά συνθήκη Π = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, κ = 3. Η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με:

Π (Χ = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Υπεργεωμετρική κατανομή

Σκεφτείτε το ακόλουθο πρόβλημα. Αφήστε το πάρτι έξω Νδιαθέσιμα προϊόντα Μπρότυπο (ΜΝ). επιλεγμένα τυχαία από το πάρτι nπροϊόντα (κάθε προϊόν μπορεί να αφαιρεθεί με την ίδια πιθανότητα) και το επιλεγμένο προϊόν δεν επιστρέφεται στην παρτίδα πριν από την επιλογή του επόμενου (επομένως, ο τύπος Bernoulli δεν ισχύει εδώ).

Σημειώστε με Χτυχαία μεταβλητή - αριθμός Μτυποποιημένα προϊόντα μεταξύ nεπιλεγμένο. Στη συνέχεια οι πιθανές τιμές Χθα είναι 0, 1, 2,…, min ; Ας τους χαρακτηρίσουμε και... επίτιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (Fonds), χρησιμοποιήστε το κουμπί ( κεφάλαιο ...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για τον κλάδο "Γενικό ψυχολογικό εργαστήριο"

Σύμπλεγμα εκπαίδευσης και μεθοδολογίας

... μεθοδολογική οδηγίες επίεκτέλεση πρακτικής εργασίας 5.1 μεθοδικόςσυστάσεις επίυλοποίηση σχεδίων κατάρτισης 5.2 μεθοδικόςσυστάσεις επί... ευαισθησία), μονοδιάστατηκαι πολυδιάστατο... τυχαίοςσυστατικό σε Μέγεθος... Με Ενότητα"Εκτέλεση...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα στον κλάδο της φυσικής (όνομα)

Σύμπλεγμα εκπαίδευσης και μεθοδολογίας

... ενότητεςστα σχολικά βιβλία. Επίλυση προβλήματος επίκάθε θέμα. επεξεργασία μεθοδικός οδηγίεςσε εργαστηριακές εργασίες επί ... τυχαίοςκαι σφάλμα μέτρησης οργάνων 1.8 Θέματα εργασιών ελέγχου και μεθοδολογική οδηγίες επί... Σωματίδιο σε μονοδιάστατηπιθανή τρύπα. ...

Οδηγίες για εργαστηριακή εργασία στον κλάδο της πληροφορικής

Κατευθυντήριες γραμμές

... μεθοδικός οδηγίεςσε ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ επί ... μέγεθος, και το μεγαλύτερο ποσό ποσότητες... πίνακας τυχαίοςαριθμοί... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 α) μονοδιάστατηπίνακας β) δισδιάστατος πίνακας Εικ. 2– Τα αρχεία... περιγράφονται στο Ενότηταυλοποίηση μετά...

9. Συνεχής τυχαία μεταβλητή, τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας δύο συναρτήσεις. Ολοκληρωμένη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χονομάζεται η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα
.

Η ολοκληρωτική συνάρτηση παρέχει έναν γενικό τρόπο προσδιορισμού τόσο διακριτών όσο και συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Στην περίπτωση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής . Όλα τα συμβάντα: έχουν την ίδια πιθανότητα, ίση με την αύξηση της ολοκληρωτικής συνάρτησης σε αυτό το διάστημα, δηλαδή, για παράδειγμα, για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που δίνεται στο παράδειγμα 26, έχουμε:

Έτσι, η γραφική παράσταση της ολοκληρωτικής συνάρτησης της υπό εξέταση συνάρτησης είναι η ένωση δύο ακτίνων και τριών τμημάτων παράλληλα με τον άξονα Ox.

Παράδειγμα 27. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής ολοκληρωτικής πιθανότητας

.

Κατασκευάστε ένα γράφημα της ολοκληρωτικής συνάρτησης και βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή στο διάστημα (0,5, 1,5).

Λύση. Στο μεσοδιάστημα
το γράφημα είναι η ευθεία γραμμή y \u003d 0. Στο διάστημα από 0 έως 2 - η παραβολή που δίνεται από την εξίσωση
. Στο μεσοδιάστημα
η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραμμή y = 1.

Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X ως αποτέλεσμα της δοκιμής θα λάβει μια τιμή στο διάστημα (0,5; 1,5) βρίσκεται από τον τύπο .

Με αυτόν τον τρόπο, .

Ιδιότητες της συνάρτησης ολοκληρωμένης κατανομής πιθανότητας:

Ο νόμος κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται εύκολα χρησιμοποιώντας μια άλλη συνάρτηση, δηλαδή, συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας
.

Η πιθανότητα ότι η τιμή που λαμβάνεται από την τυχαία μεταβλητή X εμπίπτει στο διάστημα
, καθορίζεται από την ισότητα
.

Καλείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης καμπύλη κατανομής. Γεωμετρικά, η πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής Χ να πέσει στο διάστημα είναι ίση με την περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής, τον άξονα Ox και τις ευθείες γραμμές
.

Ιδιότητες συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας:

9.1. Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Αναμενόμενη αξία(μέση τιμή) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ ορίζεται από την ισότητα
.

Το M(X) συμβολίζεται με ένα. Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές μιας διακριτής μεταβλητής:

διασποράη διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία, δηλ. . Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η διακύμανση δίνεται από
.

Η διασπορά έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Η τελευταία ιδιότητα είναι πολύ βολικό να εφαρμοστεί στην εύρεση της διακύμανσης μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Παρομοίως εισάγεται η έννοια της τυπικής απόκλισης. RMS συνεχέςΗ τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλ.
.

Παράδειγμα 28. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
στο διάστημα (10;12), εκτός αυτού του διαστήματος η τιμή της συνάρτησης είναι 0. Βρείτε 1) την τιμή της παραμέτρου ένα, 2) μαθηματική προσδοκία Μ(Χ), διακύμανση
, τυπική απόκλιση, 3) ολοκληρωτική συνάρτηση
και να δημιουργήσετε γραφήματα των ολοκληρωτικών και διαφορικών συναρτήσεων.

ένας). Για να βρείτε την παράμετρο έναχρησιμοποιήστε τον τύπο
. Παίρνουμε . Με αυτόν τον τρόπο,
.

2). Για να βρούμε τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιούμε τον τύπο: , από όπου προκύπτει ότι
.

Θα βρούμε τη διασπορά χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, δηλ. .

Ας βρούμε την τυπική απόκλιση με τον τύπο: , από όπου το παίρνουμε
.

3). Η ολοκληρωτική συνάρτηση εκφράζεται ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως εξής:
. Συνεπώς,
στο
, = 0 για
και = 1 στο
.

Τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων παρουσιάζονται στο σχ. 4. και εικ. 5.

Εικ.4 Εικ.5.

9.2. Ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ εξίσουστο διάστημα εάν η πυκνότητα πιθανότητάς του είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα και ισούται με μηδέν εκτός αυτού του διαστήματος, δηλ. . Είναι εύκολο να το δείξουμε σε αυτή την περίπτωση
.

Αν το μεσοδιάστημα
περιέχεται στο διάστημα, λοιπόν
.

Παράδειγμα 29.Ένα συμβάν που αποτελείται από ένα στιγμιαίο σήμα πρέπει να συμβεί μεταξύ 13.00 και 5.00 μ.μ. Ο χρόνος αναμονής του σήματος είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ. Βρείτε την πιθανότητα το σήμα να σταθεροποιηθεί μεταξύ δύο και τριών το μεσημέρι.

Λύση. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει ομοιόμορφη κατανομή και με τον τύπο βρίσκουμε ότι η πιθανότητα το σήμα να είναι μεταξύ 2 και 3 η ώρα το απόγευμα είναι ίση με
.

Στην εκπαιδευτική και άλλη λογοτεχνία, συχνά δηλώνεται στη λογοτεχνία μέσω
.

9.3. Κανονική κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται κανονική εάν ο νόμος της κατανομής πιθανοτήτων καθορίζεται από την πυκνότητα πιθανότητας
. Για τέτοιες ποσότητες ένα- αναμενόμενη αξία,
- τυπική απόκλιση.

Θεώρημα. Πιθανότητα μια κανονικά κατανεμημένη συνεχής τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα
καθορίζεται από τον τύπο
, όπου
είναι η συνάρτηση Laplace.

Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ο κανόνας των τριών σίγμα, δηλ. είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια κανονικά κατανεμημένη, συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές της στο διάστημα
. Αυτός ο κανόνας προκύπτει από τον τύπο
, που είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση του διατυπωμένου θεωρήματος.

Παράδειγμα 30.Η διάρκεια ζωής της τηλεόρασης είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ, που υπόκειται στον κανονικό νόμο διανομής, με περίοδο εγγύησης 15 ετών και τυπική απόκλιση 3 ετών. Βρείτε την πιθανότητα η τηλεόραση να διαρκέσει από 10 έως 20 χρόνια.

Λύση. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, η μαθηματική προσδοκία ένα= 15, τυπική απόκλιση .

Ας βρούμε . Έτσι, η πιθανότητα μια τηλεόραση να λειτουργεί από 10 έως 20 χρόνια είναι μεγαλύτερη από 0,9.

9.4 Η ανισότητα του Chebyshev

Λαμβάνει χώρα Το λήμμα του Chebyshev. Εάν μια τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές και έχει μαθηματική προσδοκία, τότε για οποιαδήποτε θετική σε
.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι, ως το άθροισμα των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων, παίρνουμε ότι
.

Το θεώρημα του Chebyshev. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ έχει πεπερασμένη διακύμανση
και μαθηματική προσδοκία M(X), τότε για οποιαδήποτε θετική την ανισότητα
.

Από όπου προκύπτει ότι
.

Παράδειγμα 31.Έχει κατασκευαστεί μια παρτίδα ανταλλακτικών. Το μέσο μήκος των εξαρτημάτων είναι 100 cm και η τυπική απόκλιση είναι 0,4 cm. Υπολογίστε από κάτω την πιθανότητα ότι το μήκος ενός τμήματος που λαμβάνεται τυχαία θα είναι τουλάχιστον 99 cm. και όχι περισσότερο από 101 cm.

Λύση. διασπορά. Η μαθηματική προσδοκία είναι 100. Επομένως, για να εκτιμηθεί η πιθανότητα του εξεταζόμενου γεγονότος από κάτω
εφαρμόζουμε την ανισότητα Chebyshev, στην οποία
, έπειτα
.

10. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής

Στατιστικός πληθυσμόςονομάστε ένα σύνολο ομοιογενών αντικειμένων ή φαινομένων. Αριθμός Πστοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζεται όγκος του συνόλου. Παρατηρούμενες τιμές Το χαρακτηριστικό Χ ονομάζεται επιλογές. Εάν οι επιλογές είναι σε αύξουσα σειρά, τότε σειρά διακριτών παραλλαγών. Στην περίπτωση ομαδοποίησης, λαμβάνεται η επιλογή κατά διαστήματα σειρές παραλλαγής διαστήματος. Υπό συχνότητα tΟι τιμές χαρακτηριστικών κατανοούν τον αριθμό των μελών του πληθυσμού με μια δεδομένη παραλλαγή.

Ο λόγος της συχνότητας προς το μέγεθος του στατιστικού πληθυσμού ονομάζεται σχετική συχνότητασημάδι:
.

Ο λόγος μεταξύ των παραλλαγών της μεταβλητής σειράς και των συχνοτήτων τους ονομάζεται στατιστική κατανομή του δείγματος. Μια γραφική αναπαράσταση μιας στατιστικής κατανομής μπορεί να είναι πολύγωνοσυχνότητες.

Παράδειγμα 32.Με συνεντεύξεις με 25 πρωτοετείς φοιτητές προέκυψαν τα ακόλουθα στοιχεία για την ηλικία τους:
. Να συντάξετε μια στατιστική κατανομή των μαθητών ανά ηλικία, να βρείτε το εύρος διακύμανσης, να κατασκευάσετε ένα πολύγωνο συχνοτήτων και να συντάξετε μια σειρά από κατανομές σχετικών συχνοτήτων.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που προέκυψαν κατά την έρευνα, θα συνθέσουμε τη στατιστική κατανομή του δείγματος

Το εύρος του δείγματος παραλλαγής είναι 23 - 17 = 6. Για να δημιουργήσετε ένα πολύγωνο συχνότητας, δημιουργήστε σημεία με συντεταγμένες
και συνδέστε τα σε σειρά.

Η σειρά διανομής των σχετικών συχνοτήτων έχει τη μορφή:

10.1 Αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών

Αφήστε το δείγμα να δοθεί από τη σειρά κατανομής συχνότητας του χαρακτηριστικού X:

Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι Π.

Αριθμητικός μέσος όρος του δείγματοςκαλέστε την ποσότητα
.

διασποράή ένα μέτρο της διασποράς των τιμών του χαρακτηριστικού X σε σχέση με τον αριθμητικό του μέσο όρο είναι η τιμή
. Η τυπική απόκλιση ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διασποράς, δηλ. .

Ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο του δείγματος, εκφρασμένος ως ποσοστό, ονομάζεται συντελεστής διακύμανσης:
.

Εμπειρική συνάρτηση κατανομής σχετικής συχνότηταςκαλέστε μια συνάρτηση που καθορίζει για κάθε τιμή τη σχετική συχνότητα ενός συμβάντος
, δηλ.
, όπου - αριθμός επιλογών, μικρότερος Χ, ένα Π- το μέγεθος του δείγματος.

Παράδειγμα 33.Στις συνθήκες του παραδείγματος 32, βρείτε αριθμητικά χαρακτηριστικά
.

Λύση. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο του δείγματος χρησιμοποιώντας τον τύπο και στη συνέχεια.

Η διακύμανση του χαρακτηριστικού X βρίσκεται από τον τύπο: , δηλ. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι
. Ο συντελεστής διακύμανσης είναι
.

10.2. Εκτίμηση πιθανοτήτων με σχετική συχνότητα. Διάστημα εμπιστοσύνης

Ας κρατηθεί Πανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α είναι σταθερή και ίση με R. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα η σχετική συχνότητα να διαφέρει από την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε δοκιμή σε απόλυτη τιμή όχι περισσότερο από , είναι περίπου ίση με το διπλάσιο της τιμής της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace:
.

εκτίμηση διαστήματοςκαλέστε μια τέτοια αξιολόγηση, η οποία καθορίζεται από δύο αριθμούς που είναι τα άκρα του διαστήματος που καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο του στατιστικού πληθυσμού.

Διάστημα εμπιστοσύνηςονομάζεται το διάστημα, το οποίο με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο του στατιστικού πληθυσμού. Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο στον οποίο αντικαθιστούμε την άγνωστη ποσότητα Rστην κατά προσέγγιση τιμή του που ελήφθησαν από τα δείγματα δεδομένων, παίρνουμε:
. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της πιθανότητας με σχετική συχνότητα. Αριθμοί
και
που λέγεται κάτω και αντίστοιχα άνω όρια εμπιστοσύνης, - οριακό σφάλμα για ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης
.

Παράδειγμα 34. Το δάπεδο του εργοστασίου παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες. Κατά τον έλεγχο 625 λαμπτήρων, 40 ήταν ελαττωματικές. Βρείτε, με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95, τα όρια στα οποία συμπεραίνεται το ποσοστό των ελαττωματικών λαμπτήρων που παράγονται από το εργοστασιακό κατάστημα.

Λύση. Σύμφωνα με την εργασία. Χρησιμοποιούμε τον τύπο
. Σύμφωνα με τον πίνακα 2 του παραρτήματος, βρίσκουμε την τιμή του ορίσματος, pi στο οποίο η τιμή της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace είναι 0,475. Το καταλαβαίνουμε
. Με αυτόν τον τρόπο, . Επομένως, μπορεί να ειπωθεί με πιθανότητα 0,95 ότι το μερίδιο των ελαττωμάτων που παράγονται από το συνεργείο είναι υψηλό, δηλαδή, κυμαίνεται από 6,2% έως 6,6%.

10.3. Εκτίμηση παραμέτρων στη στατιστική

Έστω το ποσοτικό χαρακτηριστικό X ολόκληρου του πληθυσμού της μελέτης (γενικός πληθυσμός) να έχει κανονική κατανομή.

Εάν η τυπική απόκλιση είναι γνωστή, τότε το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη μαθηματική προσδοκία ένα

, όπου Πείναι το μέγεθος του δείγματος, - δείγμα αριθμητικού μέσου όρου, tείναι το όρισμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace, για το οποίο
. Ταυτόχρονα, ο αριθμός
ονομάζεται ακρίβεια εκτίμησης.

Εάν η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη, τότε σύμφωνα με τα δεδομένα του δείγματος, είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή Student με Π– 1 βαθμός ελευθερίας, που καθορίζεται από μία μόνο παράμετρο Πκαι δεν εξαρτάται από το άγνωστο ένακαι . Κατανομή μαθητή ακόμα και για μικρά δείγματα
δίνει αρκετά ικανοποιητικές εκτιμήσεις. Στη συνέχεια το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη μαθηματική προσδοκία ένααυτού του χαρακτηριστικού με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης , βρίσκεται από τη συνθήκη

, όπου S είναι η διορθωμένη ρίζα του μέσου τετραγώνου, - Ο συντελεστής μαθητή, βρίσκεται σύμφωνα με τα στοιχεία
από τον πίνακα 3 του παραρτήματος.

Το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει την τυπική απόκλιση αυτού του χαρακτηριστικού με πιθανότητα εμπιστοσύνης , βρίσκεται από τους τύπους: και , όπου
βρίσκεται στον πίνακα τιμών q σύμφωνα με .

10.4. Στατιστικές μέθοδοι μελέτης εξαρτήσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών

Η εξάρτηση συσχέτισης του Y από το X είναι η λειτουργική εξάρτηση του υπό όρους μέσου όρου από Χ.Η εξίσωση
αντιπροσωπεύει την εξίσωση παλινδρόμησης του Y στο X, και
- εξίσωση παλινδρόμησης X στο Y.

Η εξάρτηση συσχέτισης μπορεί να είναι γραμμική και καμπυλόγραμμη. Στην περίπτωση εξάρτησης γραμμικής συσχέτισης, η ευθύγραμμη εξίσωση παλινδρόμησης έχει τη μορφή:
, όπου κλίση έναΗ ευθεία γραμμή παλινδρόμησης Υ στο Χ ονομάζεται συντελεστής παλινδρόμησης του δείγματος Υ στο Χ και συμβολίζεται
.

Για μικρά δείγματα, τα δεδομένα δεν ομαδοποιούνται, οι παράμετροι
βρίσκονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων από το σύστημα των κανονικών εξισώσεων:

, όπου Πείναι ο αριθμός των παρατηρήσεων των τιμών των ζευγών αλληλένδετων μεγεθών.

Δείγμα γραμμικού συντελεστή συσχέτισης δείχνει τη στεγανότητα της σχέσης μεταξύ Υ και Χ. Ο συντελεστής συσχέτισης βρίσκεται από τον τύπο
, Εξάλλου
, και συγκεκριμένα:

Η εξίσωση του δείγματος της ευθείας παλινδρόμησης Υ στο Χ έχει τη μορφή:

.

Με μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων των σημείων Χ και Υ, συντάσσεται ένας πίνακας συσχέτισης με δύο εισόδους, με την ίδια τιμή Χπαρατηρήθηκε φορές, ίδια αξία στοπαρατηρήθηκε φορές, το ίδιο ζευγάρι
παρατηρήθηκε μια φορά.

Παράδειγμα 35.Δίνεται πίνακας παρατηρήσεων των σημείων Χ και Υ.

Βρείτε τη δειγματική εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης Υ στο Χ.

Λύση. Η σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών που μελετήθηκαν μπορεί να εκφραστεί με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παλινδρόμησης Υ στο Χ: . Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές της εξίσωσης, θα συντάξουμε έναν πίνακα υπολογισμού:

αριθμός παρατήρησης

Κεφάλαιο 6. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

§ 1. Συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Το σύνολο των τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι αμέτρητο και συνήθως αντιπροσωπεύει κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.

Καλείται μια τυχαία μεταβλητή x(w) που δίνεται σε χώρο πιθανοτήτων (W, S, P). συνεχής(απολύτως συνεχής) W εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση τέτοια ώστε, για οποιοδήποτε x, η συνάρτηση κατανομής Fx(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ολοκλήρωμα

Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητα κατανομής πιθανότητας.

Οι ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής προκύπτουν από τον ορισμό:

1..gif" width="97" height="51">

3. Στα σημεία συνέχειας η πυκνότητα κατανομής ισούται με την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής: .

4. Η πυκνότητα κατανομής καθορίζει τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, αφού καθορίζει την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει στο διάστημα:

5. Η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν: . Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

Το διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής καλείται καμπύλη κατανομής, και η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα x είναι ίση με ένα. Τότε, γεωμετρικά, η τιμή της συνάρτησης κατανομής Fx(x) στο σημείο x0 είναι η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα x και βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x0.

Εργασία 1.Η συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Να προσδιορίσετε τη σταθερά C, να κατασκευάσετε τη συνάρτηση κατανομής Fx(x) και να υπολογίσετε την πιθανότητα .

Λύση.Η σταθερά C βρίσκεται από την συνθήκη Έχουμε:

από όπου C=3/8.

Για να κατασκευάσετε τη συνάρτηση κατανομής Fx(x), σημειώστε ότι το διάστημα διαιρεί το εύρος του ορίσματος x (τον άξονα του αριθμού) σε τρία μέρη: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

αφού η πυκνότητα x στον ημιάξονα είναι μηδέν. Στη δεύτερη περίπτωση

Τέλος, στην τελευταία περίπτωση, όταν x>2,

Δεδομένου ότι η πυκνότητα εξαφανίζεται στον ημιάξονα. Έτσι, προκύπτει η συνάρτηση κατανομής

Πιθανότητα υπολογίστε με τον τύπο. Με αυτόν τον τρόπο,

§ 2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Αναμενόμενη αξίαγια τις συνεχώς κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές καθορίζεται από τον τύπο https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

αν το ολοκλήρωμα στα δεξιά συγκλίνει απόλυτα.

ΔιασποράΤο x μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο , και επίσης, όπως στη διακριτή περίπτωση, σύμφωνα με τον τύπο https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Όλες οι ιδιότητες της προσδοκίας και της διακύμανσης που δίνονται στο Κεφάλαιο 5 για διακριτές τυχαίες μεταβλητές ισχύουν επίσης για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Εργασία 2. Για μια τυχαία μεταβλητή x από το Πρόβλημα 1, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση .

Λύση.

Και αυτό σημαίνει

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Για ένα γράφημα της ομοιόμορφης πυκνότητας κατανομής, βλ. .

Εικ.6.2. Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα κατανομής. ενιαίο δίκαιο

Η συνάρτηση κατανομής Fx(x) μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι

Fx(x)=

Μαθηματική προσδοκία και διασπορά. .

Η εκθετική (εκθετική) κατανομή.Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή x που παίρνει μη αρνητικές τιμές έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο l>0 εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με

px(x)=

Ρύζι. 6.3. Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα κατανομής του εκθετικού νόμου.

Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής έχει τη μορφή

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> και , αν η πυκνότητα κατανομής του είναι ίση με

.

Το σύνολο όλων των τυχαίων μεταβλητών που κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με παραμέτρους και παραμέτρους συμβολίζεται με .

Η συνάρτηση κατανομής μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι

.

Ρύζι. 6.4. Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα κατανομής του κανονικού νόμου

Οι κανονικές παράμετροι κατανομής είναι η μαθηματική προσδοκία https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> η κανονική κατανομή ονομάζεται πρότυπο, και η κατηγορία τέτοιων διανομών ορίζεται https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

ενώ η συνάρτηση διανομής

Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά (δεν λαμβάνεται σε "τετράγωνα") και επομένως συντάσσονται πίνακες για τη συνάρτηση. Η συνάρτηση σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace που εισάγεται στο Κεφάλαιο 4

,

την παρακάτω σχέση . Στην περίπτωση αυθαίρετων τιμών των παραμέτρων https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> η συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace χρησιμοποιώντας τη σχέση:

.

Επομένως, η πιθανότητα μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε ένα διάστημα μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

.

Μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή x ονομάζεται log-κανονικά κατανεμημένη εάν ο λογάριθμός της h=lnx υπακούει στον κανονικό νόμο. Η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής κατανεμημένης λογαριθμικά κανονικά είναι Mx= και Dx=.

Εργασία 3.Αφήστε μια τυχαία τιμή να δοθεί https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Λύση.Εδώ και https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Κατανομή Laplaceορίζεται από τη συνάρτηση fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> και η κύρτωση είναι gx=3.

Εικ.6.5. Συνάρτηση πυκνότητας κατανομής Laplace.

Η τυχαία μεταβλητή x κατανέμεται νόμος Weibull, εάν έχει συνάρτηση πυκνότητας κατανομής ίση με https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Η διανομή Weibull υπακούει στους χρόνους λειτουργίας χωρίς βλάβες πολλών τεχνικών συσκευών. Σε εργασίες αυτού του προφίλ, ένα σημαντικό χαρακτηριστικό είναι το ποσοστό αποτυχίας (ποσοστό θνησιμότητας) l(t) των μελετηθέντων στοιχείων της ηλικίας t, που προσδιορίζεται από τη σχέση l(t)=. Αν a=1, τότε η κατανομή Weibull μετατρέπεται σε εκθετική κατανομή και αν a=2 - στη λεγόμενη κατανομή Rayleigh.

Μαθηματική προσδοκία της κατανομής Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, όπου Γ(α) είναι ο Euler λειτουργία. .

Σε διάφορα προβλήματα εφαρμοσμένης στατιστικής, συναντώνται συχνά οι λεγόμενες «περικομμένες» κατανομές. Για παράδειγμα, οι φορολογικές αρχές ενδιαφέρονται για την κατανομή του εισοδήματος των προσώπων των οποίων το ετήσιο εισόδημα υπερβαίνει ένα ορισμένο όριο c0 που ορίζεται από τη φορολογική νομοθεσία. Αυτές οι κατανομές αποδεικνύονται περίπου ίδιες με την κατανομή Pareto. Διανομή Paretoδίνονται από συναρτήσεις

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> τυχαία μεταβλητή x και μονοτονική διαφοροποιήσιμη συνάρτηση ..gif" width="200" height="51">

Εδώ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Εργασία 4.Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα. Βρείτε την πυκνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής.

Λύση.Από την κατάσταση του προβλήματος προκύπτει ότι

Στη συνέχεια, η συνάρτηση είναι μονότονη και διαφοροποιήσιμη συνάρτηση στο διάστημα και έχει αντίστροφη συνάρτηση , του οποίου η παράγωγος είναι ίση Επομένως,

§ 5. Ένα ζεύγος συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Έστω δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές x και h. Τότε το ζεύγος (x, h) καθορίζει ένα «τυχαίο» σημείο στο επίπεδο. Καλείται ένα ζεύγος (x, h). τυχαίο διάνυσμαή δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή.

συνάρτηση κοινής κατανομήςτυχαίες μεταβλητές x και h και η συνάρτηση ονομάζεται F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. πυκνότητα άρθρωσηςη κατανομή πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών x και h είναι μια συνάρτηση τέτοια που .

Η έννοια αυτού του ορισμού της πυκνότητας κοινής κατανομής είναι η εξής. Η πιθανότητα ότι ένα "τυχαίο σημείο" (x, h) θα πέσει σε μια περιοχή σε ένα επίπεδο υπολογίζεται ως ο όγκος ενός τρισδιάστατου σχήματος - ενός "κυρτού" κυλίνδρου που οριοθετείται από την επιφάνεια https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Το απλούστερο παράδειγμα κοινής κατανομής δύο τυχαίων μεταβλητών είναι η δισδιάστατη ομοιόμορφη κατανομή στο σετΕΝΑ. Έστω ένα οριοθετημένο σύνολο M με εμβαδόν. Ορίζεται ως η κατανομή του ζεύγους (x, h) που δίνεται από την ακόλουθη πυκνότητα άρθρωσης:

Εργασία 5.Έστω ένα δισδιάστατο τυχαίο διάνυσμα (x, h) να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο μέσα στο τρίγωνο. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ανισότητας x>h.

Λύση.Το εμβαδόν του υποδεικνυόμενου τριγώνου είναι ίσο με (βλ. Εικ. Αρ.;). Δυνάμει του ορισμού μιας δισδιάστατης ομοιόμορφης κατανομής, η κοινή πυκνότητα των τυχαίων μεταβλητών x, h είναι ίση με

Η εκδήλωση ταιριάζει με το σετ σε αεροπλάνο, δηλαδή μισό αεροπλάνο. Τότε η πιθανότητα

Στο ημιεπίπεδο Β, η πυκνότητα της άρθρωσης είναι ίση με μηδέν εκτός του συνόλου https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. , το ημιεπίπεδο Β χωρίζεται σε δύο σύνολα και https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> και , και το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι μηδέν, αφού η πυκνότητα της άρθρωσης είναι μηδέν εκεί. Να γιατί

Εάν δοθεί η πυκνότητα κοινής κατανομής για το ζεύγος (x, h), τότε οι πυκνότητες και οι συνιστώσες x και h ονομάζονται ιδιωτικές πυκνότητεςκαι υπολογίζονται με τους τύπους:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Για συνεχώς κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με πυκνότητες px(x), ph(y), η ανεξαρτησία σημαίνει ότι

Εργασία 6.Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, προσδιορίστε εάν οι συνιστώσες του τυχαίου διανύσματος x και h είναι ανεξάρτητα;

Λύση. Ας υπολογίσουμε τις μερικές πυκνότητες και . Εχουμε:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Προφανώς, στην περίπτωσή μας https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> είναι η πυκνότητα άρθρωσης των x και h και j(x, Το y) είναι συνάρτηση δύο ορισμάτων, λοιπόν

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Εργασία 7.Στις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, υπολογίστε .

Λύση.Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο έχουμε:

.

Αναπαράσταση του τριγώνου ως

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Πυκνότητα του αθροίσματος δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Έστω x και h ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με πυκνότητες https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Η πυκνότητα της τυχαίας μεταβλητής x + Το h υπολογίζεται από τον τύπο συνελίξεις

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Υπολογίστε την πυκνότητα του αθροίσματος.

Λύση.Εφόσον τα x και h κατανέμονται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο με την παράμετρο , οι πυκνότητες τους είναι ίσες με

Συνεπώς,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Αν x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">είναι αρνητικό και επομένως . Επομένως, εάν https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Έτσι, πήραμε την απάντηση:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> κατανέμεται κανονικά με τις παραμέτρους 0 και 1. Οι τυχαίες μεταβλητές x1 και x2 είναι ανεξάρτητες και έχουν κανονικές κατανομές με παραμέτρους a1 και a2 αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι το x1 + x2 έχει κανονική κατανομή Οι τυχαίες μεταβλητές x1, x2, ... xn είναι κατανεμημένες και ανεξάρτητες και έχουν την ίδια συνάρτηση πυκνότητας κατανομής

.

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και την πυκνότητα κατανομής των μεγεθών:

α) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; β) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Οι τυχαίες μεταβλητές x1, x2, ... xn είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στο τμήμα [а, b]. Βρείτε συναρτήσεις κατανομής και συναρτήσεις πυκνότητας κατανομής μεγεθών

x(1) = min(x1,x2, ... xn) και x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Αποδείξτε ότι M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Cauchy Βρείτε: α) τον συντελεστή a; β) συνάρτηση διανομής. γ) την πιθανότητα να χτυπήσει το διάστημα (-1, 1). Δείξτε ότι η προσδοκία του x δεν υπάρχει. Η τυχαία μεταβλητή υπακούει στο νόμο Laplace με την παράμετρο l (l>0): Βρείτε τον συντελεστή a; Δημιουργία γραφημάτων της πυκνότητας και της συνάρτησης κατανομής. βρείτε Mx και Dx. βρείτε τις πιθανότητες των γεγονότων (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Γράψτε έναν τύπο για την πυκνότητα κατανομής, βρείτε Mx και Dx.

Υπολογιστικές εργασίες.

Ένα τυχαίο σημείο Α έχει ομοιόμορφη κατανομή σε κύκλο ακτίνας R. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση της απόστασης r ενός σημείου από το κέντρο του κύκλου. Δείξτε ότι η ποσότητα r2 είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο τμήμα .

Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και την πιθανότητα Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και την πιθανότητα Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:
Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x), τη διακύμανση και την πιθανότητα Η τυχαία μεταβλητή έχει συνάρτηση κατανομής

Υπολογίστε την πυκνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την πιθανότητα Ελέγξτε ότι η συνάρτηση =
μπορεί να είναι συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτής της ποσότητας: Mx και Dx. Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Γράψτε την πυκνότητα κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή στο τμήμα και στο τμήμα. Η πυκνότητα κατανομής x είναι

.

Να βρείτε τη σταθερά c, την πυκνότητα κατανομής h = και την πιθανότητα

P (0,25

Ο χρόνος λειτουργίας του υπολογιστή κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο l = 0,05 (αστοχίες ανά ώρα), δηλαδή έχει συνάρτηση πυκνότητας

p(x) = .

Η λύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος απαιτεί απρόσκοπτη λειτουργία του μηχανήματος για 15 λεπτά. Εάν παρουσιαστεί μια αποτυχία κατά την επίλυση του προβλήματος, τότε το σφάλμα εντοπίζεται μόνο στο τέλος της λύσης και το πρόβλημα επιλύεται ξανά. Βρείτε: α) την πιθανότητα να μην συμβεί καμία αστοχία κατά την επίλυση του προβλήματος. β) ο μέσος χρόνος για τον οποίο θα λυθεί το πρόβλημα.

Μια ράβδος μήκους 24 cm χωρίζεται σε δύο μέρη. θα υποθέσουμε ότι το σημείο θραύσης κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της ράβδου. Ποιο είναι το μέσο μήκος του μεγαλύτερου μέρους της ράβδου; Ένα κομμάτι μήκους 12 cm κόβεται τυχαία σε δύο μέρη. Το σημείο κοπής κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του τμήματος. Ποιο είναι το μέσο μήκος ενός μικρού τμήματος του τμήματος; Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα. Να βρείτε την πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής α) h1 = 2x + 1; β) h2 = -ln(1-x); γ) h3 = .

Δείξτε ότι αν το x έχει συνάρτηση συνεχούς κατανομής

F(x) = P(x

Να βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας και τη συνάρτηση κατανομής του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων μεγεθών x και h με νόμους ομοιόμορφης κατανομής στα διαστήματα και, αντίστοιχα. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα διαστήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα διαστήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα διαστήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και έχουν εκθετική κατανομή με πυκνότητα . Να βρείτε την πυκνότητα κατανομής του αθροίσματος τους. Βρείτε την κατανομή του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών x και h, όπου το x έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα και το h έχει εκθετική κατανομή με την παράμετρο l. Βρείτε το Π , αν το x έχει: α) κανονική κατανομή με παραμέτρους a και s2 ; β) εκθετική κατανομή με παράμετρο l. γ) ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [-1;1]. Η κοινή κατανομή των x, h είναι ομοιόμορφη στο τετράγωνο
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Βρείτε την πιθανότητα . Είναι τα x και h ανεξάρτητα; Ένα ζεύγος τυχαίων μεταβλητών x και h κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα στο τρίγωνο K=. Να υπολογίσετε την πυκνότητα x και h. Είναι αυτές οι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες; Βρείτε την πιθανότητα. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα διαστήματα και [-1,1]. Βρείτε την πιθανότητα. Μια δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα σε ένα τετράγωνο με κορυφές (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης κοινής κατανομής στο σημείο (1, -1). Το τυχαίο διάνυσμα (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα σε έναν κύκλο ακτίνας 3 με κέντρο στην αρχή. Γράψτε μια έκφραση για την πυκνότητα κατανομής της άρθρωσης. Προσδιορίστε εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες. Υπολογίστε την πιθανότητα. Ένα ζεύγος τυχαίων μεταβλητών x και h κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα σε ένα τραπέζιο με κορυφές στα σημεία (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Βρείτε την κοινή πυκνότητα κατανομής για αυτό το ζεύγος τυχαίων μεταβλητών και την πυκνότητα των συνιστωσών. Τα x και h εξαρτώνται; Ένα τυχαίο ζεύγος (x, h) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο μέσα στο ημικύκλιο. Να βρείτε τις πυκνότητες x και h, να διερευνήσετε το ερώτημα της εξάρτησής τους. Η κοινή πυκνότητα δύο τυχαίων μεταβλητών x και h είναι .
Να βρείτε τις πυκνότητες x, h. Εξερευνήστε το ερώτημα της εξάρτησης των x και h. Ένα τυχαίο ζεύγος (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα στο σύνολο. Να βρείτε τις πυκνότητες x και h, να διερευνήσετε το ερώτημα της εξάρτησής τους. Βρείτε το M(xh). Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και κατανέμονται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο με την παράμετρο Εύρεση