Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss

Η μέθοδος Gauss είναι εύκολη!Γιατί; Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Johann Carl Friedrich Gauss, κατά τη διάρκεια της ζωής του, έλαβε την αναγνώριση ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, μια ιδιοφυΐα, ακόμη και το παρατσούκλι «Βασιλιάς των Μαθηματικών». Και κάθε τι έξυπνο, όπως γνωρίζετε, είναι απλό!Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο κορόιδα, αλλά και ιδιοφυΐες πέφτουν στα χρήματα - το πορτρέτο του Γκάους επιδεικνύεται σε έναν λογαριασμό 10 γερμανικών μάρκων (πριν από την εισαγωγή του ευρώ) και ο Γκάους εξακολουθεί να χαμογελά μυστηριωδώς στους Γερμανούς από συνηθισμένα γραμματόσημα.

Η μέθοδος Gauss είναι απλή στο ότι ΑΡΚΕΙ Η ΓΝΩΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΤΗ ΕΜΠΤΗΣ ΤΑΞΗΣ για να την κατακτήσει. Πρέπει να μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει!Δεν είναι τυχαίο ότι η μέθοδος της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων εξετάζεται συχνά από τους δασκάλους στα μαθήματα μαθηματικών του σχολείου. Είναι παράδοξο, αλλά η μέθοδος Gauss προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες στους μαθητές. Τίποτα περίεργο - είναι όλα σχετικά με τη μεθοδολογία και θα προσπαθήσω να πω σε μια προσιτή μορφή για τον αλγόριθμο της μεθόδου.

Αρχικά, συστηματοποιούμε λίγο τη γνώση για τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί:

1) Έχετε μια μοναδική λύση.
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).

Η μέθοδος Gauss είναι το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσης όποιοςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Όπως θυμόμαστε Κανόνας Cramer και μέθοδος μήτραςείναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ΤΕΛΟΣ παντωνοδηγήστε μας στην απάντηση! Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε ξανά τη μέθοδο Gauss για την περίπτωση Νο. 1 (η μόνη λύση στο σύστημα), το άρθρο προορίζεται για τις καταστάσεις των σημείων Νο. 2-3. Σημειώνω ότι ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο και στις τρεις περιπτώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο πιο απλό σύστημα από το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;
και να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Το πρώτο βήμα είναι να γράψεις σύστημα εκτεταμένης μήτρας:
. Με ποια αρχή καταγράφονται οι συντελεστές, νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν. Η κάθετη γραμμή μέσα στη μήτρα δεν έχει μαθηματική σημασία - είναι απλώς μια διαγράμμιση για ευκολία σχεδίασης.

Αναφορά :Συνιστώ να θυμάστε όροιγραμμική άλγεβρα. Σύστημα Matrixείναι ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από συντελεστές για αγνώστους, σε αυτό το παράδειγμα, ο πίνακας του συστήματος: . Εκτεταμένη μήτρα συστήματοςείναι ο ίδιος πίνακας του συστήματος συν μια στήλη ελεύθερων όρων, στην περίπτωση αυτή: . Οποιοσδήποτε από τους πίνακες μπορεί να ονομαστεί απλώς μήτρα για συντομία.

Αφού γραφτεί ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτόν, οι οποίες ονομάζονται επίσης στοιχειώδεις μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν οι παρακάτω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

1) Χορδέςμήτρες Μπορώ τακτοποιώμέρη. Για παράδειγμα, στον υπό εξέταση πίνακα, μπορείτε να αναδιατάξετε με ασφάλεια την πρώτη και τη δεύτερη σειρά:

2) Εάν υπάρχουν (ή εμφανίζονται) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Σε αυτόν τον πίνακα, οι τρεις τελευταίες σειρές είναι αναλογικές, επομένως αρκεί να αφήσετε μόνο μία από αυτές: .

3) Εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί και αυτή διαγράφω. Δεν θα τραβήξω, φυσικά, η μηδενική γραμμή είναι η γραμμή στην οποία μόνο μηδενικά.

4) Η σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)για οποιοδήποτε αριθμό μη μηδενικό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Εδώ είναι σκόπιμο να διαιρέσετε την πρώτη γραμμή με -3 και να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2: . Αυτή η ενέργεια είναι πολύ χρήσιμη, καθώς απλοποιεί περαιτέρω μετασχηματισμούς του πίνακα.

5) Αυτή η μεταμόρφωση προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο. Στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν. Εξετάστε τον πίνακα μας από ένα πρακτικό παράδειγμα: . Αρχικά, θα περιγράψω τη μεταμόρφωση με μεγάλη λεπτομέρεια. Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με -2: , Και στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -2: . Τώρα η πρώτη γραμμή μπορεί να διαιρεθεί "πίσω" με -2: . Όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή που είναι ΠΡΟΣΘΗΚΗ LI – δεν έχει αλλάξει. Πάντααλλάζει η γραμμή, ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΘΗΚΑΝ UT.

Στην πράξη, φυσικά, δεν ζωγραφίζουν με τόση λεπτομέρεια, αλλά γράφουν πιο σύντομα:

Για άλλη μια φορά: στη δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Η γραμμή συνήθως πολλαπλασιάζεται προφορικά ή σε προσχέδιο, ενώ η νοητική πορεία των υπολογισμών είναι κάπως έτσι:

«Ξαναγράφω τη μήτρα και ξαναγράφω την πρώτη σειρά: »

Πρώτη στήλη πρώτα. Παρακάτω πρέπει να πάρω το μηδέν. Επομένως, πολλαπλασιάζω την παραπάνω μονάδα με -2: και προσθέτω την πρώτη στη δεύτερη γραμμή: 2 + (-2) = 0. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Τώρα η δεύτερη στήλη. Πάνω από -1 φορές -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 1 + 2 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Και η τρίτη στήλη. Πάνω από -5 φορές -2: . Προσθέτω την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή: -7 + 10 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

Σκεφτείτε προσεκτικά αυτό το παράδειγμα και κατανοήστε τον αλγόριθμο διαδοχικού υπολογισμού, εάν το καταλαβαίνετε αυτό, τότε η μέθοδος Gauss είναι πρακτικά "στην τσέπη σας". Αλλά, φυσικά, εξακολουθούμε να εργαζόμαστε για αυτόν τον μετασχηματισμό.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

! ΠΡΟΣΟΧΗ: θεωρούνται χειρισμοί δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, εάν σας προσφερθεί μια εργασία όπου οι πίνακες δίνονται "από μόνοι τους". Για παράδειγμα, με το "κλασικό" μήτρεςσε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αναδιατάξετε κάτι μέσα στους πίνακες!

Ας επιστρέψουμε στο σύστημά μας. Είναι πρακτικά σπασμένη σε κομμάτια.

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον αναγάγουμε σε κλιμακωτή όψη:

(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Και πάλι: γιατί πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με -2; Για να πάρετε το μηδέν στο κάτω μέρος, που σημαίνει να απαλλαγείτε από μια μεταβλητή στη δεύτερη γραμμή.

(2) Διαιρέστε τη δεύτερη σειρά με το 3.

Ο σκοπός των στοιχειωδών μετασχηματισμών – μετατρέψτε τη μήτρα σε μορφή βήματος: . Στο σχεδιασμό της εργασίας, σχεδιάζουν απευθείας τη "σκάλα" με ένα απλό μολύβι και κυκλώνουν επίσης τους αριθμούς που βρίσκονται στα "σκαλοπάτια". Ο ίδιος ο όρος «βηματική άποψη» δεν είναι εντελώς θεωρητικός· στην επιστημονική και εκπαιδευτική βιβλιογραφία, συχνά ονομάζεται τραπεζοειδής όψηή τριγωνική όψη.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, έχουμε αποκτήσει ισοδύναμοςαρχικό σύστημα εξισώσεων:

Τώρα το σύστημα πρέπει να "ξεστρέψει" προς την αντίθετη κατεύθυνση - από κάτω προς τα πάνω, αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Στην κάτω εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα: .

Εξετάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαταστήστε την ήδη γνωστή τιμή του "y" σε αυτήν:

Ας εξετάσουμε την πιο κοινή κατάσταση, όταν η μέθοδος Gauss απαιτείται για την επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 1

Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

Τώρα θα σχεδιάσω αμέσως το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήξουμε στην πορεία της λύσης:

Και επαναλαμβάνω, στόχος μας είναι να φέρουμε τη μήτρα σε μια κλιμακωτή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Από πού να αρχίσετε να αναλαμβάνετε δράση;

Αρχικά, κοιτάξτε τον επάνω αριστερό αριθμό:

Θα έπρεπε να είναι σχεδόν πάντα εδώ μονάδα. Σε γενικές γραμμές, το -1 (και μερικές φορές άλλοι αριθμοί) θα ταιριάζει επίσης, αλλά κατά κάποιο τρόπο παραδοσιακά συνέβαινε μια μονάδα να τοποθετείται συνήθως εκεί. Πώς να οργανώσετε μια μονάδα; Κοιτάμε την πρώτη στήλη - έχουμε μια ολοκληρωμένη μονάδα! Μεταμόρφωση 1: αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

Τώρα η πρώτη γραμμή θα παραμείνει αμετάβλητη μέχρι το τέλος της λύσης. Τώρα μια χαρά.

Η μονάδα πάνω αριστερά είναι οργανωμένη. Τώρα πρέπει να λάβετε μηδενικά σε αυτά τα μέρη:

Τα μηδενικά λαμβάνονται μόνο με τη βοήθεια ενός «δύσκολου» μετασχηματισμού. Αρχικά, ασχολούμαστε με τη δεύτερη γραμμή (2, -1, 3, 13). Τι πρέπει να γίνει για να πάρει το μηδέν στην πρώτη θέση; Πρέπει να στη δεύτερη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -2: (-2, -4, 2, -18). Και πραγματοποιούμε με συνέπεια (πάλι νοερά ή σε προσχέδιο) προσθήκη, στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, που έχει ήδη πολλαπλασιαστεί με -2:

Το αποτέλεσμα γράφεται στη δεύτερη γραμμή:

Αντίστοιχα ασχολούμαστε με την τρίτη γραμμή (3, 2, -5, -1). Για να πάρετε το μηδέν στην πρώτη θέση, χρειάζεστε στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -3: (-3, -6, 3, -27). ΚΑΙ στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -3:

Το αποτέλεσμα γράφεται στην τρίτη γραμμή:

Στην πράξη, αυτές οι ενέργειες συνήθως εκτελούνται προφορικά και γράφονται σε ένα βήμα:

Δεν χρειάζεται να μετράτε τα πάντα ταυτόχρονα και ταυτόχρονα. Η σειρά των υπολογισμών και η «εισαγωγή» των αποτελεσμάτων σταθερόςκαι συνήθως έτσι: πρώτα ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή, και φουσκώνουμε ήσυχα - ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ:


Και έχω ήδη εξετάσει τη νοητική πορεία των ίδιων των υπολογισμών παραπάνω.

Σε αυτό το παράδειγμα, αυτό είναι εύκολο να γίνει, διαιρούμε τη δεύτερη γραμμή με -5 (καθώς όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 5 χωρίς υπόλοιπο). Ταυτόχρονα, διαιρούμε την τρίτη γραμμή με -2, γιατί όσο μικρότερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο απλή είναι η λύση:

Στο τελικό στάδιο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, πρέπει να ληφθεί ένα ακόμη μηδέν εδώ:

Για αυτό στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -2:


Προσπαθήστε να αναλύσετε αυτήν την ενέργεια μόνοι σας - πολλαπλασιάστε νοερά τη δεύτερη γραμμή με -2 και πραγματοποιήστε την πρόσθεση.

Η τελευταία ενέργεια που εκτελείται είναι το χτένισμα του αποτελέσματος, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 3.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προέκυψε ένα ισοδύναμο αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Δροσερός.

Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι η αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss. Οι εξισώσεις «ξετυλίγονται» από κάτω προς τα πάνω.

Στην τρίτη εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα:

Ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση: . Η έννοια του "z" είναι ήδη γνωστή, επομένως:

Και τέλος, η πρώτη εξίσωση: . Το "Y" και το "Z" είναι γνωστά, το θέμα είναι μικρό:

Απάντηση:

Όπως έχει επανειλημμένα σημειωθεί, για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων, είναι δυνατό και απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση που βρέθηκε, ευτυχώς, αυτό δεν είναι δύσκολο και γρήγορο.

Παράδειγμα 2

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, ένα δείγμα φινιρίσματος και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σας πορεία δράσηςμπορεί να μην συμπίπτει με την πορεία δράσης μου, και αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss. Αλλά οι απαντήσεις πρέπει να είναι ίδιες!

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό:
(1) Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά «μείον ένα», που μας ταιριάζει απόλυτα. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον χειρονομία: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 5 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

(4) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 2 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(5) Η τρίτη σειρά χωρίστηκε με 3.

Ένα κακό σημάδι που υποδεικνύει σφάλμα υπολογισμού (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια "κακή" κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι όπως παρακάτω, και, κατά συνέπεια, , τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε σφάλμα κατά την πορεία στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Φορτίζουμε την αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. Ναι, εδώ είναι ένα δώρο:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, είναι κάπως πιο περίπλοκη. Δεν πειράζει αν κάποιος μπερδευτεί. Πλήρης λύση και δείγμα σχεδίου στο τέλος του μαθήματος. Η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου.

Στο τελευταίο μέρος, εξετάζουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Gauss.
Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι μερικές φορές λείπουν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα:

Πώς να γράψετε σωστά τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος; Μίλησα ήδη για αυτή τη στιγμή στο μάθημα. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος μήτρας. Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, βάζουμε μηδενικά στη θέση των μεταβλητών που λείπουν:

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα αρκετά εύκολο παράδειγμα, καθώς υπάρχει ήδη ένα μηδέν στην πρώτη στήλη και υπάρχουν λιγότεροι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί για εκτέλεση.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι αυτό. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, τοποθετήσαμε είτε –1 είτε +1 στα «βήματα». Θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλοι αριθμοί; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν. Σκεφτείτε το σύστημα: .

Εδώ στο πάνω αριστερό «σκαλοπάτι» έχουμε ένα δίδυμο. Παρατηρούμε όμως το γεγονός ότι όλοι οι αριθμοί της πρώτης στήλης διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο - και άλλους δύο και έξι. Και το δίδυμο πάνω αριστερά θα μας ταιριάζει! Στο πρώτο βήμα, πρέπει να εκτελέσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 στη δεύτερη γραμμή. στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Έτσι, θα πάρουμε τα επιθυμητά μηδενικά στην πρώτη στήλη.

Ή ένα άλλο υποθετικό παράδειγμα: . Εδώ μας ταιριάζει και το τριπλό στο δεύτερο «σκαλοπάτι», αφού το 12 (το μέρος που πρέπει να πάρουμε το μηδέν) διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος μετασχηματισμός: στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -4, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Η μέθοδος Gauss είναι καθολική, αλλά υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Μπορείτε να μάθετε με σιγουριά πώς να επιλύετε συστήματα με άλλες μεθόδους (μέθοδος Cramer, μέθοδος μήτρας) κυριολεκτικά από την πρώτη φορά - υπάρχει ένας πολύ άκαμπτος αλγόριθμος. Αλλά για να αισθάνεστε σίγουροι για τη μέθοδο Gauss, θα πρέπει να «γεμίσετε το χέρι σας» και να λύσετε τουλάχιστον 5-10 συστήματα. Επομένως, στην αρχή μπορεί να υπάρξει σύγχυση, λάθη στους υπολογισμούς και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή τραγικό σε αυτό.

Βροχερός φθινοπωρινός καιρός έξω από το παράθυρο .... Επομένως, για όλους, ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ένα τέτοιο έργο στην πράξη δεν είναι τόσο σπάνιο. Νομίζω ότι ακόμη και μια τσαγιέρα που έχει μελετήσει λεπτομερώς αυτήν τη σελίδα κατανοεί τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος διαισθητικά. Βασικά το ίδιο - απλώς περισσότερη δράση.

Οι περιπτώσεις που το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπές) ή έχει άπειρες λύσεις εξετάζονται στο μάθημα Ασυμβίβαστα συστήματα και συστήματα με γενική λύση. Εκεί μπορείτε να διορθώσετε τον εξεταζόμενο αλγόριθμο της μεθόδου Gauss.

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση : Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε κλιμακωτή μορφή.


Πραγματοποιήθηκαν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:
(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Προσοχή!Εδώ μπορεί να είναι δελεαστικό να αφαιρέσετε την πρώτη από την τρίτη γραμμή, δεν συνιστώ ανεπιφύλακτα την αφαίρεση - ο κίνδυνος σφάλματος αυξάνεται πολύ. Απλώς διπλώνουμε!
(2) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή έχουν αλλάξει. Σημείωσηότι στα «σκαλιά» δεν αρκούμε μόνο σε ένα, αλλά και με -1, που είναι ακόμα πιο βολικό.
(3) Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 5.
(4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με το 14.

Αντίστροφη κίνηση:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4: Λύση : Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν:
(1) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πρώτη γραμμή. Έτσι, η επιθυμητή μονάδα οργανώνεται στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι».
(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 7 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 6 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

Με το δεύτερο «βήμα» όλα είναι χειρότερα , οι «υποψήφιοι» για αυτό είναι οι αριθμοί 17 και 23 και χρειαζόμαστε είτε ένα είτε -1. Οι μετασχηματισμοί (3) και (4) θα στοχεύουν στην απόκτηση της επιθυμητής μονάδας

(3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1.
(4) Η τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -3, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή.
(3) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 4 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή. Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή.
(4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής έχει αλλάξει. Η τέταρτη γραμμή διαιρέθηκε με 3 και τοποθετήθηκε αντί για την τρίτη γραμμή.
(5) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -5.

Αντίστροφη κίνηση:

Μία από τις καθολικές και αποτελεσματικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων είναι Μέθοδος Gauss , που συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη αγνώστων.

Θυμηθείτε ότι τα δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμος (ισοδύναμο) αν τα σύνολα των λύσεών τους είναι ίδια. Με άλλα λόγια, τα συστήματα είναι ισοδύναμα εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου, και το αντίστροφο. Τα ισοδύναμα συστήματα λαμβάνονται με στοιχειώδεις μεταμορφώσεις εξισώσεις συστήματος:

πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό.

προσθέτοντας σε κάποια εξίσωση τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

μετάθεση δύο εξισώσεων.

Έστω το σύστημα των εξισώσεων

Η διαδικασία επίλυσης αυτού του συστήματος με τη μέθοδο Gauss αποτελείται από δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο (προς τα εμπρός), το σύστημα μειώνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών σε πάτησε , ή τριγωνικός μυαλό, και στο δεύτερο στάδιο (αντίστροφη κίνηση) υπάρχει μια διαδοχική, ξεκινώντας από την τελευταία μεταβλητή, ο ορισμός των αγνώστων από το προκύπτον σύστημα βημάτων.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής αυτού του συστήματος
, διαφορετικά στο σύστημα η πρώτη σειρά μπορεί να αντικατασταθεί με οποιαδήποτε άλλη σειρά έτσι ώστε ο συντελεστής να είναι ήταν διαφορετικό από το μηδέν.

Ας μεταμορφώσουμε το σύστημα, εξαλείφοντας το άγνωστο σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί και προσθέτουμε όρο προς όρο με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί και προσθέστε το στην τρίτη εξίσωση του συστήματος. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, αποκτάμε ένα ισοδύναμο σύστημα

Εδώ
είναι οι νέες τιμές των συντελεστών και των ελεύθερων όρων, που λαμβάνονται μετά το πρώτο βήμα.

Ομοίως, λαμβάνοντας υπόψη το κύριο στοιχείο
, αποκλείστε το άγνωστο από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, εκτός από την πρώτη και τη δεύτερη. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία όσο το δυνατόν περισσότερο, με αποτέλεσμα να έχουμε ένα σύστημα βημάτων

,

Οπου ,
,…,- τα κύρια στοιχεία του συστήματος
.

Εάν κατά τη διαδικασία της μεταφοράς του συστήματος σε μια βαθμιδωτή μορφή, εμφανίζονται εξισώσεις, δηλ. ισότητες της μορφής
, απορρίπτονται, αφού οποιοδήποτε σύνολο αριθμών τους ικανοποιεί
. Αν στο
εμφανίζεται μια εξίσωση της μορφής που δεν έχει λύσεις, αυτό δείχνει την ασυνέπεια του συστήματος.

Στην αντίστροφη πορεία, ο πρώτος άγνωστος εκφράζεται από την τελευταία εξίσωση του μετασχηματισμένου συστήματος βημάτων μέσα από όλα τα άλλα άγνωστα
που καλούνται Ελεύθερος . Στη συνέχεια η έκφραση της μεταβλητής από την τελευταία εξίσωση του συστήματος αντικαθίσταται στην προτελευταία εξίσωση και η μεταβλητή εκφράζεται από αυτήν
. Οι μεταβλητές ορίζονται με παρόμοιο τρόπο
. Μεταβλητές
, που εκφράζονται με όρους ελεύθερων μεταβλητών, ονομάζονται βασικός (εξαρτώμενος). Ως αποτέλεσμα, προκύπτει η γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων.

Να βρω ιδιωτική λύση συστήματα, δωρεάν άγνωστο
στη γενική λύση, εκχωρούνται αυθαίρετες τιμές και υπολογίζονται οι τιμές των μεταβλητών
.

Είναι τεχνικά πιο βολικό να υποβάλλονται οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί όχι στις εξισώσεις του συστήματος, αλλά στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος

.

Η μέθοδος Gauss είναι μια καθολική μέθοδος που σας επιτρέπει να λύσετε όχι μόνο τετράγωνα, αλλά και ορθογώνια συστήματα στα οποία ο αριθμός των αγνώστων
δεν ισούται με τον αριθμό των εξισώσεων
.

Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου έγκειται επίσης στο γεγονός ότι κατά τη διαδικασία επίλυσης εξετάζουμε ταυτόχρονα το σύστημα για συμβατότητα, αφού, έχοντας μειώσει τον επαυξημένο πίνακα
στη βαθμιδωτή μορφή, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τάξεις του πίνακα και εκτεταμένη μήτρα
και εφαρμόστε το θεώρημα Kronecker-Capelli .

Παράδειγμα 2.1Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Λύση. Αριθμός Εξισώσεων
και ο αριθμός των αγνώστων
.

Ας συνθέσουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος εκχωρώντας στα δεξιά του πίνακα των συντελεστών στήλη δωρεάν μελών .

Ας φέρουμε το matrix σε τριγωνικό σχήμα? Για να γίνει αυτό, θα πάρουμε το "0" κάτω από τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Για να πάρετε "0" στη δεύτερη θέση της πρώτης στήλης, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με (-1) και προσθέστε τη στη δεύτερη σειρά.

Γράφουμε αυτόν τον μετασχηματισμό ως αριθμό (-1) στην πρώτη γραμμή και τον συμβολίζουμε με ένα βέλος που πηγαίνει από την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή.

Για να πάρετε "0" στην τρίτη θέση της πρώτης στήλης, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με (-3) και προσθέστε στην τρίτη σειρά. Ας δείξουμε αυτήν την ενέργεια με ένα βέλος που πηγαίνει από την πρώτη γραμμή στην τρίτη.

.

Στον προκύπτοντα πίνακα, που γράφεται δεύτερος στην αλυσίδα του πίνακα, παίρνουμε "0" στη δεύτερη στήλη στην τρίτη θέση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη γραμμή με (-4) και προσθέστε την στην τρίτη. Στον προκύπτοντα πίνακα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με (-1) και διαιρούμε την τρίτη σειρά με (-8). Όλα τα στοιχεία αυτού του πίνακα που βρίσκονται κάτω από τα διαγώνια στοιχεία είναι μηδενικά.

Επειδή , το σύστημα είναι συνεργατικό και συγκεκριμένο.

Το σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον τελευταίο πίνακα έχει τριγωνική μορφή:

Από την τελευταία (τρίτη) εξίσωση
. Αντικαταστήστε στη δεύτερη εξίσωση και λάβετε
.

Υποκατάστατο
Και
στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε


.

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα είναι το τρίτο για το θέμα. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι γενικά ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, νιώθετε σαν τσαγιέρα, τότε σας συνιστώ να ξεκινήσετε με τα βασικά στην Επόμενη σελίδα, είναι χρήσιμο να μελετήσετε το μάθημα.

Η μέθοδος Gauss είναι εύκολη!Γιατί; Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Johann Carl Friedrich Gauss, κατά τη διάρκεια της ζωής του, έλαβε την αναγνώριση ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, μια ιδιοφυΐα, ακόμη και το παρατσούκλι «Βασιλιάς των Μαθηματικών». Και κάθε τι έξυπνο, όπως γνωρίζετε, είναι απλό!Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο κορόιδα, αλλά και ιδιοφυΐες πέφτουν στα χρήματα - το πορτρέτο του Γκάους επιδεικνύεται σε έναν λογαριασμό 10 γερμανικών μάρκων (πριν από την εισαγωγή του ευρώ) και ο Γκάους εξακολουθεί να χαμογελά μυστηριωδώς στους Γερμανούς από συνηθισμένα γραμματόσημα.

Η μέθοδος Gauss είναι απλή στο ότι ΑΡΚΕΙ Η ΓΝΩΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΤΗ ΕΜΠΤΗΣ ΤΑΞΗΣ για να την κατακτήσει. Πρέπει να μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει!Δεν είναι τυχαίο ότι η μέθοδος της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων εξετάζεται συχνά από τους δασκάλους στα μαθήματα μαθηματικών του σχολείου. Είναι παράδοξο, αλλά η μέθοδος Gauss προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες στους μαθητές. Τίποτα περίεργο - είναι όλα σχετικά με τη μεθοδολογία και θα προσπαθήσω να πω σε μια προσιτή μορφή για τον αλγόριθμο της μεθόδου.

Αρχικά, συστηματοποιούμε λίγο τη γνώση για τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί:

1) Έχετε μια μοναδική λύση. 2) Να έχεις άπειρες λύσεις. 3) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).

Η μέθοδος Gauss είναι το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσης όποιοςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Όπως θυμόμαστε Κανόνας Cramer και μέθοδος μήτραςείναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ΤΕΛΟΣ παντωνοδηγήστε μας στην απάντηση! Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε ξανά τη μέθοδο Gauss για την περίπτωση Νο. 1 (η μόνη λύση στο σύστημα), ένα άρθρο δεσμεύεται για τις καταστάσεις των σημείων Νο. 2-3. Σημειώνω ότι ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο και στις τρεις περιπτώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο πιο απλό σύστημα από το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;και να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Το πρώτο βήμα είναι να γράψεις σύστημα εκτεταμένης μήτρας: . Με ποια αρχή καταγράφονται οι συντελεστές, νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν. Η κάθετη γραμμή μέσα στη μήτρα δεν έχει μαθηματική σημασία - είναι απλώς μια διαγράμμιση για ευκολία σχεδίασης.

Αναφορά : Συνιστώ να θυμάστε όροι γραμμική άλγεβρα. Σύστημα Matrix είναι ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από συντελεστές για άγνωστους, σε αυτό το παράδειγμα, ο πίνακας του συστήματος: . Εκτεταμένη μήτρα συστήματος είναι ο ίδιος πίνακας του συστήματος συν μια στήλη ελεύθερων μελών, σε αυτήν την περίπτωση: . Οποιοσδήποτε από τους πίνακες μπορεί να ονομαστεί απλώς μήτρα για συντομία.

Αφού γραφτεί ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτόν, οι οποίες ονομάζονται επίσης στοιχειώδεις μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν οι παρακάτω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

1) Χορδέςμήτρες Μπορώ τακτοποιώμέρη. Για παράδειγμα, στον υπό εξέταση πίνακα, μπορείτε να αναδιατάξετε με ασφάλεια την πρώτη και τη δεύτερη σειρά:

2) Εάν υπάρχουν (ή εμφανίζονται) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Σε αυτόν τον πίνακα, οι τρεις τελευταίες σειρές είναι αναλογικές, επομένως αρκεί να αφήσετε μόνο μία από αυτές: .

3) Εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί και αυτή διαγράφω. Δεν θα τραβήξω, φυσικά, η μηδενική γραμμή είναι η γραμμή στην οποία μόνο μηδενικά.

4) Η σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)για οποιοδήποτε αριθμό μη μηδενικό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Εδώ είναι σκόπιμο να διαιρέσετε την πρώτη γραμμή με -3 και να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2: . Αυτή η ενέργεια είναι πολύ χρήσιμη, καθώς απλοποιεί περαιτέρω μετασχηματισμούς του πίνακα.

5) Αυτή η μεταμόρφωση προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο. Στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν. Εξετάστε τον πίνακα μας από ένα πρακτικό παράδειγμα: . Αρχικά, θα περιγράψω τη μεταμόρφωση με μεγάλη λεπτομέρεια. Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με -2: , Και στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -2: . Τώρα η πρώτη γραμμή μπορεί να διαιρεθεί "πίσω" με -2: . Όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή που είναι ΠΡΟΣΘΗΚΗ LI – δεν έχει αλλάξει. Πάντααλλάζει η γραμμή, ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΘΗΚΑΝ UT.

Στην πράξη, φυσικά, δεν ζωγραφίζουν με τόση λεπτομέρεια, αλλά γράφουν πιο σύντομα: Για άλλη μια φορά: στη δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Η γραμμή συνήθως πολλαπλασιάζεται προφορικά ή σε προσχέδιο, ενώ η νοητική πορεία των υπολογισμών είναι κάπως έτσι:

«Ξαναγράφω τη μήτρα και ξαναγράφω την πρώτη σειρά: »

Πρώτη στήλη πρώτα. Παρακάτω πρέπει να πάρω το μηδέν. Επομένως, πολλαπλασιάζω την παραπάνω μονάδα με -2: και προσθέτω την πρώτη στη δεύτερη γραμμή: 2 + (-2) = 0. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Τώρα η δεύτερη στήλη. Πάνω από -1 φορές -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 1 + 2 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Και η τρίτη στήλη. Πάνω από -5 φορές -2: . Προσθέτω την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή: -7 + 10 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

Σκεφτείτε προσεκτικά αυτό το παράδειγμα και κατανοήστε τον αλγόριθμο διαδοχικού υπολογισμού, εάν το καταλαβαίνετε αυτό, τότε η μέθοδος Gauss είναι πρακτικά "στην τσέπη σας". Αλλά, φυσικά, εξακολουθούμε να εργαζόμαστε για αυτόν τον μετασχηματισμό.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

! ΠΡΟΣΟΧΗ: θεωρούνται χειρισμοί δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, εάν σας προσφερθεί μια εργασία όπου οι πίνακες δίνονται "από μόνοι τους". Για παράδειγμα, με το "κλασικό" μήτρεςσε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αναδιατάξετε κάτι μέσα στους πίνακες! Ας επιστρέψουμε στο σύστημά μας. Είναι πρακτικά σπασμένη σε κομμάτια.

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον αναγάγουμε σε κλιμακωτή όψη:

(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Και πάλι: γιατί πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με -2; Για να πάρετε το μηδέν στο κάτω μέρος, που σημαίνει να απαλλαγείτε από μια μεταβλητή στη δεύτερη γραμμή.

(2) Διαιρέστε τη δεύτερη σειρά με το 3.

Ο σκοπός των στοιχειωδών μετασχηματισμών – μετατρέψτε τη μήτρα σε μορφή βήματος: . Στο σχεδιασμό της εργασίας, σχεδιάζουν απευθείας τη "σκάλα" με ένα απλό μολύβι και κυκλώνουν επίσης τους αριθμούς που βρίσκονται στα "σκαλοπάτια". Ο ίδιος ο όρος «βηματική άποψη» δεν είναι εντελώς θεωρητικός· στην επιστημονική και εκπαιδευτική βιβλιογραφία, συχνά ονομάζεται τραπεζοειδής όψηή τριγωνική όψη.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, έχουμε αποκτήσει ισοδύναμοςαρχικό σύστημα εξισώσεων:

Τώρα το σύστημα πρέπει να "ξεστρέψει" προς την αντίθετη κατεύθυνση - από κάτω προς τα πάνω, αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Στην κάτω εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα: .

Εξετάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαταστήστε την ήδη γνωστή τιμή του "y" σε αυτήν:

Ας εξετάσουμε την πιο κοινή κατάσταση, όταν η μέθοδος Gauss απαιτείται για την επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 1

Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

Τώρα θα σχεδιάσω αμέσως το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήξουμε στην πορεία της λύσης: Και επαναλαμβάνω, στόχος μας είναι να φέρουμε τη μήτρα σε μια κλιμακωτή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Από πού να αρχίσετε να αναλαμβάνετε δράση;

Αρχικά, κοιτάξτε τον επάνω αριστερό αριθμό: Θα έπρεπε να είναι σχεδόν πάντα εδώ μονάδα. Σε γενικές γραμμές, το -1 (και μερικές φορές άλλοι αριθμοί) θα ταιριάζει επίσης, αλλά κατά κάποιο τρόπο παραδοσιακά συνέβαινε μια μονάδα να τοποθετείται συνήθως εκεί. Πώς να οργανώσετε μια μονάδα; Κοιτάμε την πρώτη στήλη - έχουμε μια ολοκληρωμένη μονάδα! Μεταμόρφωση 1: αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

Τώρα η πρώτη γραμμή θα παραμείνει αμετάβλητη μέχρι το τέλος της λύσης. Τώρα μια χαρά.

Η μονάδα πάνω αριστερά είναι οργανωμένη. Τώρα πρέπει να λάβετε μηδενικά σε αυτά τα μέρη:

Τα μηδενικά λαμβάνονται μόνο με τη βοήθεια ενός «δύσκολου» μετασχηματισμού. Αρχικά, ασχολούμαστε με τη δεύτερη γραμμή (2, -1, 3, 13). Τι πρέπει να γίνει για να πάρει το μηδέν στην πρώτη θέση; Πρέπει να στη δεύτερη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -2: (-2, -4, 2, -18). Και πραγματοποιούμε με συνέπεια (πάλι νοερά ή σε προσχέδιο) προσθήκη, στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, που έχει ήδη πολλαπλασιαστεί με -2:

Το αποτέλεσμα γράφεται στη δεύτερη γραμμή:

Αντίστοιχα ασχολούμαστε με την τρίτη γραμμή (3, 2, -5, -1). Για να πάρετε το μηδέν στην πρώτη θέση, χρειάζεστε στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -3: (-3, -6, 3, -27). ΚΑΙ στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -3:

Το αποτέλεσμα γράφεται στην τρίτη γραμμή:

Στην πράξη, αυτές οι ενέργειες συνήθως εκτελούνται προφορικά και γράφονται σε ένα βήμα:

Δεν χρειάζεται να μετράτε τα πάντα ταυτόχρονα και ταυτόχρονα. Η σειρά των υπολογισμών και η «εισαγωγή» των αποτελεσμάτων σταθερόςκαι συνήθως έτσι: πρώτα ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή, και φουσκώνουμε ήσυχα - ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ:
Και έχω ήδη εξετάσει τη νοητική πορεία των ίδιων των υπολογισμών παραπάνω.

Σε αυτό το παράδειγμα, αυτό είναι εύκολο να γίνει, διαιρούμε τη δεύτερη γραμμή με -5 (καθώς όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 5 χωρίς υπόλοιπο). Ταυτόχρονα, διαιρούμε την τρίτη γραμμή με -2, γιατί όσο μικρότερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο απλή είναι η λύση:

Στο τελικό στάδιο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, πρέπει να ληφθεί ένα ακόμη μηδέν εδώ:

Για αυτό στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -2:
Προσπαθήστε να αναλύσετε αυτήν την ενέργεια μόνοι σας - πολλαπλασιάστε νοερά τη δεύτερη γραμμή με -2 και πραγματοποιήστε την πρόσθεση.

Η τελευταία ενέργεια που εκτελείται είναι το χτένισμα του αποτελέσματος, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 3.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προέκυψε ένα ισοδύναμο αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων: Δροσερός.

Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι η αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss. Οι εξισώσεις «ξετυλίγονται» από κάτω προς τα πάνω.

Στην τρίτη εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα:

Ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση: . Η έννοια του "z" είναι ήδη γνωστή, επομένως:

Και τέλος, η πρώτη εξίσωση: . Το "Y" και το "Z" είναι γνωστά, το θέμα είναι μικρό:

Απάντηση:

Όπως έχει επανειλημμένα σημειωθεί, για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων, είναι δυνατό και απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση που βρέθηκε, ευτυχώς, αυτό δεν είναι δύσκολο και γρήγορο.

Παράδειγμα 2

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, ένα δείγμα φινιρίσματος και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σας πορεία δράσηςμπορεί να μην συμπίπτει με την πορεία δράσης μου, και αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss. Αλλά οι απαντήσεις πρέπει να είναι ίδιες!

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό: (1) Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά «μείον ένα», που μας ταιριάζει απόλυτα. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον χειρονομία: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 5 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

(4) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 2 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(5) Η τρίτη σειρά χωρίστηκε με 3.

Ένα κακό σημάδι που υποδεικνύει σφάλμα υπολογισμού (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια "κακή" κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι όπως παρακάτω, και, κατά συνέπεια, , τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε σφάλμα κατά την πορεία στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Φορτίζουμε την αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. Ναι, εδώ είναι ένα δώρο:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, είναι κάπως πιο περίπλοκη. Δεν πειράζει αν κάποιος μπερδευτεί. Πλήρης λύση και δείγμα σχεδίου στο τέλος του μαθήματος. Η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου.

Στο τελευταίο μέρος, εξετάζουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Gauss. Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι μερικές φορές λείπουν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα: Πώς να γράψετε σωστά τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος; Μίλησα ήδη για αυτή τη στιγμή στο μάθημα. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος μήτρας. Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, βάζουμε μηδενικά στη θέση των μεταβλητών που λείπουν: Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα αρκετά εύκολο παράδειγμα, καθώς υπάρχει ήδη ένα μηδέν στην πρώτη στήλη και υπάρχουν λιγότεροι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί για εκτέλεση.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι αυτό. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, τοποθετήσαμε είτε –1 είτε +1 στα «βήματα». Θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλοι αριθμοί; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν. Σκεφτείτε το σύστημα: .

Εδώ στο πάνω αριστερό «σκαλοπάτι» έχουμε ένα δίδυμο. Παρατηρούμε όμως το γεγονός ότι όλοι οι αριθμοί της πρώτης στήλης διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο - και άλλους δύο και έξι. Και το δίδυμο πάνω αριστερά θα μας ταιριάζει! Στο πρώτο βήμα, πρέπει να εκτελέσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 στη δεύτερη γραμμή. στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Έτσι, θα πάρουμε τα επιθυμητά μηδενικά στην πρώτη στήλη.

Ή ένα άλλο υποθετικό παράδειγμα: . Εδώ μας ταιριάζει και το τριπλό στο δεύτερο «σκαλοπάτι», αφού το 12 (το μέρος που πρέπει να πάρουμε το μηδέν) διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος μετασχηματισμός: στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -4, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Η μέθοδος Gauss είναι καθολική, αλλά υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Μπορείτε να μάθετε με σιγουριά πώς να επιλύετε συστήματα με άλλες μεθόδους (μέθοδος Cramer, μέθοδος μήτρας) κυριολεκτικά από την πρώτη φορά - υπάρχει ένας πολύ άκαμπτος αλγόριθμος. Αλλά για να αισθάνεστε σίγουροι για τη μέθοδο Gauss, θα πρέπει να «γεμίσετε το χέρι σας» και να λύσετε τουλάχιστον 5-10 δέκα συστήματα. Επομένως, στην αρχή μπορεί να υπάρξει σύγχυση, λάθη στους υπολογισμούς και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή τραγικό σε αυτό.

Βροχερός φθινοπωρινός καιρός έξω από το παράθυρο .... Επομένως, για όλους, ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ένα τέτοιο έργο στην πράξη δεν είναι τόσο σπάνιο. Νομίζω ότι ακόμη και μια τσαγιέρα που έχει μελετήσει λεπτομερώς αυτήν τη σελίδα κατανοεί τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος διαισθητικά. Βασικά το ίδιο - απλώς περισσότερη δράση.

Στο μάθημα εξετάζονται οι περιπτώσεις που το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπές) ή έχει άπειρες λύσεις. Μη συμβατά συστήματα και συστήματα με κοινή λύση. Εκεί μπορείτε να διορθώσετε τον εξεταζόμενο αλγόριθμο της μεθόδου Gauss.

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση : Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε κλιμακωτή μορφή.
Πραγματοποιήθηκαν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί: (1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Προσοχή! Εδώ μπορεί να είναι δελεαστικό να αφαιρέσετε την πρώτη από την τρίτη γραμμή, δεν συνιστώ ανεπιφύλακτα την αφαίρεση - ο κίνδυνος σφάλματος αυξάνεται πολύ. Απλώς διπλώνουμε! (2) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή έχουν αλλάξει. Σημείωση ότι στα «σκαλιά» δεν αρκούμε μόνο σε ένα, αλλά και με -1, που είναι ακόμα πιο βολικό. (3) Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 5. (4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με το 14.

Αντίστροφη κίνηση:

Απάντηση : .

Παράδειγμα 4: Λύση : Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν: (1) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πρώτη γραμμή. Έτσι, η επιθυμητή μονάδα οργανώνεται στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι». (2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 7 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 6 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

Με το δεύτερο «βήμα» όλα είναι χειρότερα , οι «υποψήφιοι» για αυτό είναι οι αριθμοί 17 και 23 και χρειαζόμαστε είτε ένα είτε -1. Οι μετασχηματισμοί (3) και (4) θα στοχεύουν στην απόκτηση της επιθυμητής μονάδας (3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1. (4) Η τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -3, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή. Λαμβάνεται το απαραίτητο στο δεύτερο σκαλοπάτι . (5) Στην τρίτη γραμμή προστίθεται η δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί 6. (6) Η δεύτερη σειρά πολλαπλασιάστηκε με -1, η τρίτη σειρά διαιρέθηκε με -83.

Αντίστροφη κίνηση:

Απάντηση :

Παράδειγμα 5: Λύση : Ας γράψουμε τον πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν: (1) Η πρώτη και η δεύτερη γραμμή έχουν αλλάξει. (2) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -3. (3) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 4 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή. Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή. (4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής έχει αλλάξει. Η τέταρτη γραμμή διαιρέθηκε με 3 και τοποθετήθηκε αντί για την τρίτη γραμμή. (5) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -5.

Αντίστροφη κίνηση:

Απάντηση :

Η μέθοδος Gauss, που ονομάζεται επίσης μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων, συνίσταται στα εξής. Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, το σύστημα γραμμικών εξισώσεων φέρεται σε τέτοια μορφή που ο πίνακας συντελεστών του αποδεικνύεται ότι είναι τραπεζοειδές (ίδιο με τριγωνικό ή βαθμιδωτό) ή κοντά σε τραπεζοειδή (η άμεση πορεία της μεθόδου Gauss, τότε - απλώς μια άμεση κίνηση). Ένα παράδειγμα τέτοιου συστήματος και η λύση του φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Σε ένα τέτοιο σύστημα, η τελευταία εξίσωση περιέχει μόνο μία μεταβλητή και η τιμή της μπορεί να βρεθεί μοναδικά. Τότε η τιμή αυτής της μεταβλητής αντικαθίσταται στην προηγούμενη εξίσωση ( Gaussian όπισθεν , τότε - απλώς μια αντίστροφη κίνηση), από την οποία βρίσκεται η προηγούμενη μεταβλητή και ούτω καθεξής.

Σε ένα τραπεζοειδές (τριγωνικό) σύστημα, όπως βλέπουμε, η τρίτη εξίσωση δεν περιέχει πλέον μεταβλητές yΚαι Χ, και η δεύτερη εξίσωση - μεταβλητή Χ .

Αφού η μήτρα του συστήματος λάβει τραπεζοειδές σχήμα, δεν είναι πλέον δύσκολο να διευθετηθεί το ζήτημα της συμβατότητας του συστήματος, να προσδιοριστεί ο αριθμός των λύσεων και να βρεθούν οι ίδιες οι λύσεις.

Πλεονεκτήματα της μεθόδου:

1. Όταν επιλύονται συστήματα γραμμικών εξισώσεων με περισσότερες από τρεις εξισώσεις και αγνώστους, η μέθοδος Gauss δεν είναι τόσο περίπλοκη όσο η μέθοδος Cramer, καθώς απαιτούνται λιγότεροι υπολογισμοί κατά την επίλυση της μεθόδου Gauss.
2. χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε να λύσετε αόριστα συστήματα γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή έχοντας μια κοινή λύση (και θα τις αναλύσουμε σε αυτό το μάθημα) και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer, μπορείτε μόνο να δηλώσετε ότι το σύστημα είναι αβέβαιο.
3. μπορείτε να λύσετε συστήματα γραμμικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των αγνώστων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων (θα τα αναλύσουμε επίσης σε αυτό το μάθημα).
4. η μέθοδος βασίζεται σε στοιχειώδεις (σχολικές) μεθόδους - τη μέθοδο αντικατάστασης αγνώστων και τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων, που θίξαμε στο αντίστοιχο άρθρο.

Για να εμποτιστεί ο καθένας με την απλότητα με την οποία επιλύονται τραπεζοειδή (τριγωνικά, βηματικά) συστήματα γραμμικών εξισώσεων, παρουσιάζουμε τη λύση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιώντας την αντίστροφη διαδρομή. Μια γρήγορη λύση σε αυτό το σύστημα παρουσιάστηκε στην εικόνα στην αρχή του μαθήματος.

Παράδειγμα 1Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την αντίστροφη κίνηση:

Λύση. Σε αυτό το τραπεζοειδές σύστημα, η μεταβλητή zβρίσκεται μοναδικά από την τρίτη εξίσωση. Αντικαθιστούμε την τιμή της στη δεύτερη εξίσωση και παίρνουμε την τιμή της μεταβλητής y:

Τώρα γνωρίζουμε τις τιμές δύο μεταβλητών - zΚαι y. Τα αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και παίρνουμε την τιμή της μεταβλητής Χ:

Από τα προηγούμενα βήματα, γράφουμε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων:

Για να αποκτήσουμε ένα τέτοιο τραπεζοειδές σύστημα γραμμικών εξισώσεων, το οποίο λύσαμε πολύ απλά, απαιτείται η εφαρμογή μιας άμεσης κίνησης που σχετίζεται με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Επίσης δεν είναι πολύ δύσκολο.

Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Επαναλαμβάνοντας τη σχολική μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης των εξισώσεων του συστήματος, ανακαλύψαμε ότι μια άλλη εξίσωση του συστήματος μπορεί να προστεθεί σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος και κάθε εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με κάποιους αριθμούς. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμο με το δεδομένο. Σε αυτήν, μια εξίσωση περιείχε ήδη μόνο μία μεταβλητή, αντικαθιστώντας την τιμή της οποίας με άλλες εξισώσεις, καταλήγουμε σε μια λύση. Μια τέτοια προσθήκη είναι ένας από τους τύπους στοιχειώδους μετασχηματισμού του συστήματος. Όταν χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Gauss, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορους τύπους μετασχηματισμών.

Η παραπάνω κινούμενη εικόνα δείχνει πώς το σύστημα των εξισώσεων σταδιακά μετατρέπεται σε τραπεζοειδές. Αυτό δηλαδή που είδατε στο πρώτο κινούμενο σχέδιο και βεβαιωθείτε ότι είναι εύκολο να βρείτε τις τιμές όλων των αγνώστων από αυτό. Πώς να εκτελέσετε έναν τέτοιο μετασχηματισμό και, φυσικά, παραδείγματα, θα συζητηθούν περαιτέρω.

Κατά την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με οποιονδήποτε αριθμό εξισώσεων και αγνώστων στο σύστημα εξισώσεων και στον διευρυμένο πίνακα του συστήματος Μπορώ:

1. swap lines (αυτό αναφέρθηκε στην αρχή αυτού του άρθρου).
2. εάν ως αποτέλεσμα άλλων μετασχηματισμών εμφανίστηκαν ίσες ή αναλογικές γραμμές, μπορούν να διαγραφούν, εκτός από μία.
3. διαγράψτε τις "μηδενικές" σειρές, όπου όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.
4. πολλαπλασιάστε ή διαιρέστε οποιαδήποτε συμβολοσειρά με κάποιο αριθμό.
5. προσθέστε σε οποιαδήποτε γραμμή μια άλλη γραμμή πολλαπλασιασμένη με κάποιο αριθμό.

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμο με τη δεδομένη.

Αλγόριθμος και παραδείγματα επίλυσης με τη μέθοδο Gauss συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τετραγωνικό πίνακα του συστήματος

Ας εξετάσουμε πρώτα τη λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των αγνώστων είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων. Ο πίνακας ενός τέτοιου συστήματος είναι τετράγωνος, δηλαδή, ο αριθμός των γραμμών σε αυτό είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Παράδειγμα 2Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη χρήση σχολικών μεθόδων, πολλαπλασιάσαμε όρο προς όρο μία από τις εξισώσεις με έναν συγκεκριμένο αριθμό, έτσι ώστε οι συντελεστές της πρώτης μεταβλητής στις δύο εξισώσεις να είναι αντίθετοι αριθμοί. Κατά την προσθήκη εξισώσεων, αυτή η μεταβλητή εξαλείφεται. Η μέθοδος Gauss λειτουργεί με παρόμοιο τρόπο.

Για να απλοποιηθεί η εμφάνιση της λύσης συνθέτουν τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

Σε αυτόν τον πίνακα, οι συντελεστές των αγνώστων βρίσκονται στα αριστερά πριν από την κατακόρυφη γραμμή και τα ελεύθερα μέλη βρίσκονται στα δεξιά μετά την κάθετη γραμμή.

Για τη διευκόλυνση της διαίρεσης των συντελεστών των μεταβλητών (για να πάρετε μια διαίρεση με ένα) ανταλλάξτε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά του πίνακα συστήματος. Λαμβάνουμε ένα σύστημα ισοδύναμο με το δεδομένο, αφού στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων μπορεί κανείς να αναδιατάξει τις εξισώσεις:

Με τη νέα πρώτη εξίσωση εξάλειψη της μεταβλητής Χαπό τη δεύτερη και όλες τις επόμενες εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με (στην περίπτωσή μας με ) στη δεύτερη σειρά του πίνακα και την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με (στην περίπτωσή μας με ) στην τρίτη σειρά.

Αυτό είναι δυνατό γιατί

Εάν υπήρχαν περισσότερες από τρεις εξισώσεις στο σύστημά μας, τότε η πρώτη γραμμή θα πρέπει να προστεθεί σε όλες τις επόμενες εξισώσεις, πολλαπλασιαζόμενη με την αναλογία των αντίστοιχων συντελεστών, που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν πίνακα ισοδύναμο με το δεδομένο σύστημα ενός νέου συστήματος εξισώσεων, στον οποίο όλες οι εξισώσεις, ξεκινώντας από το δεύτερο δεν περιέχουν μεταβλητή Χ :

Για να απλοποιήσουμε τη δεύτερη σειρά του προκύπτοντος συστήματος, την πολλαπλασιάζουμε με και παίρνουμε ξανά τον πίνακα του συστήματος εξισώσεων που ισοδυναμεί με αυτό το σύστημα:

Τώρα, διατηρώντας την πρώτη εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος αμετάβλητη, χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, εξαλείφουμε τη μεταβλητή y από όλες τις επόμενες εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη δεύτερη σειρά πολλαπλασιασμένη επί (στην περίπτωσή μας, επί ) στην τρίτη σειρά του πίνακα συστήματος.

Εάν υπήρχαν περισσότερες από τρεις εξισώσεις στο σύστημά μας, τότε η δεύτερη γραμμή θα πρέπει να προστεθεί σε όλες τις επόμενες εξισώσεις, πολλαπλασιαζόμενη με την αναλογία των αντίστοιχων συντελεστών, που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε και πάλι τον πίνακα του συστήματος που ισοδυναμεί με το δεδομένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Λάβαμε ένα τραπεζοειδές σύστημα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμο με το δεδομένο:

Εάν ο αριθμός των εξισώσεων και των μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από ό,τι στο παράδειγμά μας, τότε η διαδικασία διαδοχικής εξάλειψης των μεταβλητών συνεχίζεται έως ότου ο πίνακας του συστήματος γίνει τραπεζοειδής, όπως στο παράδειγμα επίδειξης.

Θα βρούμε τη λύση «από το τέλος» - αντίστροφα. Για αυτό από την τελευταία εξίσωση που προσδιορίζουμε z:
.
Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην προηγούμενη εξίσωση, εύρημα y:

Από την πρώτη εξίσωση εύρημα Χ:

Απάντηση: η λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων - .

: σε αυτήν την περίπτωση, η ίδια απάντηση θα δοθεί εάν το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Εάν το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων, τότε θα είναι και η απάντηση, και αυτό είναι το θέμα του πέμπτου μέρους αυτού του μαθήματος.

Λύστε μόνοι σας ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss και μετά δείτε τη λύση

Μπροστά μας είναι και πάλι ένα παράδειγμα ενός συνεπούς και ορισμένου συστήματος γραμμικών εξισώσεων, στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων. Η διαφορά από το επίδειξη παραδείγματός μας από τον αλγόριθμο είναι ότι υπάρχουν ήδη τέσσερις εξισώσεις και τέσσερις άγνωστοι.

Παράδειγμα 4Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Τώρα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη εξίσωση για να εξαιρέσετε τη μεταβλητή από τις επόμενες εξισώσεις. Ας κάνουμε κάποιες προπαρασκευαστικές εργασίες. Για να το κάνετε πιο βολικό με την αναλογία των συντελεστών, πρέπει να πάρετε μια μονάδα στη δεύτερη στήλη της δεύτερης σειράς. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε την τρίτη σειρά από τη δεύτερη σειρά και πολλαπλασιάστε τη δεύτερη σειρά που προκύπτει με -1.

Ας πραγματοποιήσουμε τώρα την πραγματική εξάλειψη της μεταβλητής από την τρίτη και την τέταρτη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε το δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με , στην τρίτη γραμμή και το δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με , στην τέταρτη.

Τώρα, χρησιμοποιώντας την τρίτη εξίσωση, εξαλείφουμε τη μεταβλητή από την τέταρτη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, στην τέταρτη γραμμή, προσθέστε την τρίτη, πολλαπλασιαζόμενη επί . Λαμβάνουμε μια διευρυμένη μήτρα τραπεζοειδούς σχήματος.

Έχουμε αποκτήσει ένα σύστημα εξισώσεων, το οποίο είναι ισοδύναμο με το δεδομένο σύστημα:

Επομένως, τα προκύπτοντα και τα δεδομένα συστήματα είναι συνεπή και καθορισμένα. Βρίσκουμε την τελική λύση «από το τέλος». Από την τέταρτη εξίσωση, μπορούμε να εκφράσουμε άμεσα την τιμή της μεταβλητής "x τέταρτο":

Αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή στην τρίτη εξίσωση του συστήματος και παίρνουμε

,

,

Τέλος, αντικατάσταση αξίας

Στην πρώτη εξίσωση δίνει

,

όπου βρίσκουμε το "x πρώτα":

Απάντηση: Αυτό το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση. .

Μπορείτε επίσης να ελέγξετε τη λύση του συστήματος σε μια αριθμομηχανή που λύνει με τη μέθοδο του Cramer: σε αυτήν την περίπτωση, η ίδια απάντηση θα δοθεί εάν το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων με τη μέθοδο Gauss στο παράδειγμα ενός προβλήματος για κράματα

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση πραγματικών αντικειμένων του φυσικού κόσμου. Ας λύσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα - για τα κράματα. Παρόμοιες εργασίες - εργασίες για μείγματα, το κόστος ή το ειδικό βάρος μεμονωμένων αγαθών σε μια ομάδα αγαθών και παρόμοια.

Παράδειγμα 5Τρία κομμάτια κράματος έχουν συνολική μάζα 150 kg. Το πρώτο κράμα περιέχει 60% χαλκό, το δεύτερο - 30%, το τρίτο - 10%. Ταυτόχρονα, στο δεύτερο και στο τρίτο κράμα μαζί, ο χαλκός είναι 28,4 kg λιγότερο από το πρώτο κράμα και στο τρίτο κράμα ο χαλκός είναι 6,2 kg λιγότερο από το δεύτερο. Βρείτε τη μάζα κάθε κομματιού κράματος.

Λύση. Συνθέτουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση με 10, παίρνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Συνθέτουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Προσοχή, άμεση κίνηση. Προσθέτοντας (στην περίπτωσή μας, αφαιρώντας) μια σειρά, πολλαπλασιαζόμενη με έναν αριθμό (τον εφαρμόζουμε δύο φορές), συμβαίνουν οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί με τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Η ευθεία διαδρομή τελείωσε. Πήραμε μια διευρυμένη μήτρα τραπεζοειδούς σχήματος.

Ας χρησιμοποιήσουμε το αντίστροφο. Βρίσκουμε λύση από το τέλος. Το βλέπουμε αυτό.

Από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε

Από την τρίτη εξίσωση -

Μπορείτε επίσης να ελέγξετε τη λύση του συστήματος σε μια αριθμομηχανή που λύνει με τη μέθοδο του Cramer: σε αυτήν την περίπτωση, η ίδια απάντηση θα δοθεί εάν το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Η απλότητα της μεθόδου Gauss αποδεικνύεται από το γεγονός ότι ο Γερμανός μαθηματικός Carl Friedrich Gauss χρειάστηκε μόνο 15 λεπτά για να την εφεύρει. Εκτός από τη μέθοδο του ονόματός του, από το έργο του Gauss, το ρητό «Δεν πρέπει να συγχέουμε αυτό που μας φαίνεται απίστευτο και αφύσικο με το απολύτως αδύνατο» είναι ένα είδος σύντομης εντολής για να κάνουμε ανακαλύψεις.

Σε πολλά εφαρμοσμένα προβλήματα, μπορεί να μην υπάρχει τρίτος περιορισμός, δηλαδή μια τρίτη εξίσωση, τότε είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss ή, αντίθετα, υπάρχουν λιγότεροι άγνωστοι από εξισώσεις. Αρχίζουμε τώρα να λύνουμε τέτοια συστήματα εξισώσεων.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε να προσδιορίσετε εάν κάποιο σύστημα είναι συνεπές ή ασυνεπές nγραμμικές εξισώσεις με nμεταβλητές.

Μέθοδος Gauss και συστήματα γραμμικών εξισώσεων με άπειρο αριθμό λύσεων

Το επόμενο παράδειγμα είναι ένα συνεπές αλλά αόριστο σύστημα γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Μετά την εκτέλεση μετασχηματισμών στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος (μετατροπή σειρών, πολλαπλασιασμός και διαίρεση σειρών με έναν ορισμένο αριθμό, προσθήκη μιας σειράς στην άλλη), σειρές της φόρμας

Αν σε όλες τις εξισώσεις που έχουν τη μορφή

Τα ελεύθερα μέλη είναι ίσα με μηδέν, αυτό σημαίνει ότι το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρο αριθμό λύσεων και οι εξισώσεις αυτού του τύπου είναι «περιττές» και εξαιρούνται από το σύστημα.

Παράδειγμα 6

Λύση. Ας συνθέσουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την πρώτη εξίσωση, αφαιρούμε τη μεταβλητή από τις επόμενες εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, στη δεύτερη, τρίτη και τέταρτη γραμμή, προσθέστε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με, αντίστοιχα:

Τώρα ας προσθέσουμε τη δεύτερη σειρά στην τρίτη και τέταρτη.

Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στο σύστημα

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις έγιναν εξισώσεις της μορφής . Αυτές οι εξισώσεις ικανοποιούνται για οποιεσδήποτε τιμές των αγνώστων και μπορούν να απορριφθούν.

Για να ικανοποιήσουμε τη δεύτερη εξίσωση, μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετες τιμές για και , τότε η τιμή για θα καθοριστεί αναμφίβολα: . Από την πρώτη εξίσωση, η τιμή για βρίσκεται επίσης μοναδικά: .

Τόσο το δεδομένο όσο και το τελευταίο σύστημα είναι συμβατά αλλά αόριστα και οι τύποι

για αυθαίρετα και να μας δώσει όλες τις λύσεις του δεδομένου συστήματος.

Μέθοδος Gauss και συστήματα γραμμικών εξισώσεων που δεν έχουν λύσεις

Το παρακάτω παράδειγμα είναι ένα ασυνεπές σύστημα γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Η απάντηση σε τέτοια προβλήματα διατυπώνεται ως εξής: το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Όπως αναφέρθηκε ήδη σε σχέση με το πρώτο παράδειγμα, μετά την εκτέλεση μετασχηματισμών στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, γραμμές της μορφής

που αντιστοιχεί σε μια εξίσωση της μορφής

Αν ανάμεσά τους υπάρχει τουλάχιστον μία εξίσωση με έναν μη μηδενικό ελεύθερο όρο (δηλ. ), τότε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις και αυτό ολοκληρώνει τη λύση του.

Παράδειγμα 7Να λύσετε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss:

Λύση. Συνθέτουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος. Χρησιμοποιώντας την πρώτη εξίσωση, αποκλείουμε τη μεταβλητή από τις επόμενες εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη πολλαπλασιασμένη με στη δεύτερη σειρά, την πρώτη πολλαπλασιασμένη με την τρίτη σειρά και την πρώτη πολλαπλασιασμένη με την τέταρτη σειρά.

Τώρα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη εξίσωση για να εξαιρέσετε τη μεταβλητή από τις επόμενες εξισώσεις. Για να λάβουμε ακέραιους λόγους των συντελεστών, ανταλλάσσουμε τη δεύτερη και την τρίτη σειρά του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος.

Για να εξαιρέσετε από την τρίτη και την τέταρτη εξίσωση, προσθέστε τη δεύτερη, πολλαπλασιασμένη με , στην τρίτη σειρά και τη δεύτερη, πολλαπλασιασμένη με , στην τέταρτη.

Τώρα, χρησιμοποιώντας την τρίτη εξίσωση, εξαλείφουμε τη μεταβλητή από την τέταρτη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, στην τέταρτη γραμμή, προσθέστε την τρίτη, πολλαπλασιαζόμενη επί .

Το δεδομένο σύστημα είναι επομένως ισοδύναμο με το ακόλουθο:

Το προκύπτον σύστημα είναι ασυνεπές, αφού η τελευταία του εξίσωση δεν μπορεί να ικανοποιηθεί από καμία τιμή των αγνώστων. Επομένως, αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων λέγονται ισοδύναμα αν το σύνολο όλων των λύσεών τους είναι το ίδιο.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του συστήματος εξισώσεων είναι:

1. Διαγραφή από το σύστημα των τετριμμένων εξισώσεων, δηλ. εκείνα για τα οποία όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.
2. Πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό.
3. Πρόσθεση σε οποιαδήποτε i -η εξίσωση οποιασδήποτε j -ης εξίσωσης, πολλαπλασιασμένη με οποιονδήποτε αριθμό.

Η μεταβλητή x i λέγεται ελεύθερη εάν αυτή η μεταβλητή δεν επιτρέπεται, και επιτρέπεται ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων.

Θεώρημα. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μετατρέπουν το σύστημα εξισώσεων σε ισοδύναμο.

Η έννοια της μεθόδου Gauss είναι να μετασχηματίσει το αρχικό σύστημα εξισώσεων και να αποκτήσει ένα ισοδύναμο επιτρεπόμενο ή ισοδύναμο ασυνεπές σύστημα.

Έτσι, η μέθοδος Gauss αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1. Θεωρήστε την πρώτη εξίσωση. Επιλέγουμε τον πρώτο μη μηδενικό συντελεστή και διαιρούμε όλη την εξίσωση με αυτόν. Λαμβάνουμε μια εξίσωση στην οποία εισάγεται κάποια μεταβλητή x i με συντελεστή 1.
2. Ας αφαιρέσουμε αυτή την εξίσωση από όλες τις άλλες, πολλαπλασιάζοντάς την με αριθμούς έτσι ώστε οι συντελεστές για τη μεταβλητή x i στις υπόλοιπες εξισώσεις να μηδενίζονται. Παίρνουμε ένα σύστημα που επιλύεται σε σχέση με τη μεταβλητή x i και είναι ισοδύναμο με το αρχικό.
3. Εάν προκύψουν ασήμαντες εξισώσεις (σπάνια, αλλά συμβαίνει, για παράδειγμα, 0 = 0), τις διαγράφουμε από το σύστημα. Ως αποτέλεσμα, οι εξισώσεις γίνονται ένα λιγότερο.
4. Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα όχι περισσότερες από n φορές, όπου n είναι ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα. Κάθε φορά επιλέγουμε μια νέα μεταβλητή για «επεξεργασία». Εάν προκύψουν αντικρουόμενες εξισώσεις (για παράδειγμα, 0 = 8), το σύστημα είναι ασυνεπές.

Ως αποτέλεσμα, μετά από μερικά βήματα αποκτούμε είτε ένα επιτρεπόμενο σύστημα (πιθανώς με ελεύθερες μεταβλητές) είτε ένα ασυνεπές. Τα επιτρεπόμενα συστήματα εμπίπτουν σε δύο περιπτώσεις:

1. Ο αριθμός των μεταβλητών είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων. Άρα ορίζεται το σύστημα.
2. Ο αριθμός των μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων. Συλλέγουμε όλες τις δωρεάν μεταβλητές στα δεξιά - παίρνουμε τύπους για επιτρεπόμενες μεταβλητές. Αυτοί οι τύποι είναι γραμμένοι στην απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων λύνεται! Αυτός είναι ένας αρκετά απλός αλγόριθμος και για να τον κατακτήσετε, δεν χρειάζεται να επικοινωνήσετε με έναν δάσκαλο στα μαθηματικά. Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Εργο. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με (−1) και διαιρούμε την τρίτη εξίσωση με (−3) - παίρνουμε δύο εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή x 2 μπαίνει με συντελεστή 1.
3. Προσθέτουμε τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη και αφαιρούμε από την τρίτη. Ας πάρουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 2 ;
4. Τέλος, αφαιρούμε την τρίτη εξίσωση από την πρώτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 3 ;
5. Έχουμε λάβει ένα εξουσιοδοτημένο σύστημα, γράφουμε την απάντηση.

Η γενική λύση ενός κοινού συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι ένα νέο σύστημα, ισοδύναμο με το αρχικό, στο οποίο όλες οι επιτρεπόμενες μεταβλητές εκφράζονται ως ελεύθερες.

Πότε μπορεί να χρειαστεί μια γενική λύση; Εάν πρέπει να κάνετε λιγότερα βήματα από το k (k είναι πόσες εξισώσεις συνολικά). Ωστόσο, οι λόγοι για τους οποίους η διαδικασία τελειώνει σε κάποιο βήμα l< k , может быть две:

1. Μετά το l -ο βήμα, παίρνουμε ένα σύστημα που δεν περιέχει εξίσωση με τον αριθμό (l + 1). Στην πραγματικότητα, αυτό είναι καλό, γιατί. το επιλυμένο σύστημα λαμβάνεται ούτως ή άλλως - ακόμα και λίγα βήματα νωρίτερα.
2. Μετά το l -ο βήμα, προκύπτει μια εξίσωση στην οποία όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών είναι ίσοι με μηδέν και ο ελεύθερος συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν. Αυτή είναι μια ασυνεπής εξίσωση, και, ως εκ τούτου, το σύστημα είναι ασυνεπές.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η εμφάνιση μιας ασυνεπούς εξίσωσης με τη μέθοδο Gauss είναι επαρκής λόγος για ασυνέπεια. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε ότι ως αποτέλεσμα του 1ου βήματος, οι τετριμμένες εξισώσεις δεν μπορούν να παραμείνουν - όλες αυτές διαγράφονται απευθείας στη διαδικασία.

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρέστε την πρώτη εξίσωση επί 4 από τη δεύτερη. Και επίσης προσθέστε την πρώτη εξίσωση στην τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Αφαιρούμε την τρίτη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί 2, από τη δεύτερη - παίρνουμε την αντιφατική εξίσωση 0 = −5.

Άρα, το σύστημα είναι ασυνεπές, αφού έχει βρεθεί μια ασυνεπής εξίσωση.

Εργο. Διερευνήστε τη συμβατότητα και βρείτε τη γενική λύση του συστήματος:

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη (αφού πολλαπλασιάζουμε με δύο) και την τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Αφαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση από την τρίτη. Δεδομένου ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτές τις εξισώσεις είναι ίδιοι, η τρίτη εξίσωση γίνεται ασήμαντη. Ταυτόχρονα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με (−1).
3. Αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 2. Ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων έχει πλέον επίσης επιλυθεί.
4. Εφόσον οι μεταβλητές x 3 και x 4 είναι ελεύθερες, τις μετακινούμε προς τα δεξιά για να εκφράσουμε τις επιτρεπόμενες μεταβλητές. Αυτή είναι η απάντηση.

Άρα, το σύστημα είναι κοινό και αόριστο, αφού υπάρχουν δύο επιτρεπόμενες μεταβλητές (x 1 και x 2) και δύο ελεύθερες (x 3 και x 4).