Χωρίστε τον σταυρό σε σχήματα των 5 κελιών. Cutting tasks.docx - εργασίες κοπής

1. Ένα τετράγωνο περιέχει 16 κελιά. Διαχωρίστε το τετράγωνο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των κελιών. (Οι τρόποι κοπής ενός τετραγώνου σε δύο μέρη θα θεωρηθούν διαφορετικοί εάν τα μέρη του τετραγώνου που λαμβάνονται με μια μέθοδο κοπής δεν είναι ίσα με τα μέρη που λαμβάνονται με μια άλλη μέθοδο.) Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
2. Ένα ορθογώνιο 3x4 περιέχει 12 κελιά. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε ένα ορθογώνιο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών (οι μέθοδοι κοπής θεωρούνται διαφορετικές εάν τα μέρη που λαμβάνονται με μια μέθοδο κοπής δεν είναι ίσα με τα μέρη που λαμβάνονται με μια άλλη μέθοδο).
3. Το ορθογώνιο 3Χ5 περιέχει 15 κελιά και το κεντρικό κελί έχει αφαιρεθεί. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε την υπόλοιπη φιγούρα σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών.
4. Ένα τετράγωνο 6x6 χωρίζεται σε 36 πανομοιότυπα τετράγωνα. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων. Σημείωση: το πρόβλημα έχει περισσότερες από 200 λύσεις.
5. Διαχωρίστε το τετράγωνο 4x4 σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών. Πόσους διαφορετικούς τρόπους κοπής μπορείτε να βρείτε;
6. Διαχωρίστε το σχήμα (Εικ. 5) σε τρία ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων.

7. Χωρίστε το σχήμα (Εικ. 6) σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων.

8. Χωρίστε το σχήμα (Εικ. 7) σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε οι γραμμές κοπής να πηγαίνουν κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων. Βρείτε όσο το δυνατόν περισσότερες λύσεις.

9. Χωρίστε το τετράγωνο 5x5 με το κεντρικό τετράγωνο κομμένο σε τέσσερα ίσα μέρη.

10. Κόψτε τα σχήματα που φαίνονται στο Σχ. 8 σε δύο ίσα μέρη κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος και κάθε μέρος πρέπει να έχει έναν κύκλο.

11. Τα σχήματα που φαίνονται στο Σχ. 9 πρέπει να κοπούν κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε τέσσερα ίσα μέρη έτσι ώστε να υπάρχει ένας κύκλος σε κάθε μέρος. Πως να το κάνεις?

12. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 10 κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε τέσσερα ίσα μέρη και διπλώστε τα σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε οι κύκλοι και τα αστέρια να είναι συμμετρικά ως προς όλους τους άξονες συμμετρίας του τετραγώνου.

13. Κόψτε αυτό το τετράγωνο (Εικ. 11) κατά μήκος των πλευρών των κελιών έτσι ώστε όλα τα μέρη να έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα και ότι το καθένα περιέχει έναν κύκλο και έναν αστερίσκο.

14. Κόψτε το καρό τετράγωνο χαρτιού 6×6 που φαίνεται στην Εικόνα 12 σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε το καθένα από αυτά να περιέχει τρία χρωματιστά τετράγωνα.

10. Ένα τετράγωνο φύλλο καρό χαρτιού χωρίζεται σε μικρότερα τετράγωνα από τμήματα που εκτείνονται κατά μήκος των πλευρών των κελιών. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των μηκών αυτών των τμημάτων διαιρείται με το 4. (Το μήκος της πλευράς του κελιού είναι 1).

Λύση: Έστω Q ένα τετράγωνο φύλλο χαρτιού, L(Q) το άθροισμα των μηκών εκείνων των πλευρών των κελιών που βρίσκονται μέσα σε αυτό. Τότε το L(Q) διαιρείται με το 4, αφού όλες οι εξεταζόμενες πλευρές χωρίζονται σε τέσσερις πλευρές, που λαμβάνονται η μία από την άλλη με περιστροφές 90 0 και 180 0 σε σχέση με το κέντρο του τετραγώνου.

Αν το τετράγωνο Q χωριστεί σε τετράγωνα Q 1 , …, Q n , τότε το άθροισμα των μηκών των τμημάτων διαίρεσης είναι ίσο με

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Είναι σαφές ότι αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 4, αφού οι αριθμοί L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) διαιρούνται με το 4.

4. Αμετάβλητα

11. Δίνεται μια σκακιέρα. Επιτρέπεται να ξαναβάψετε με διαφορετικό χρώμα όλα τα κελιά οποιασδήποτε οριζόντιας ή κάθετης ταυτόχρονα. Μπορεί αυτό να οδηγήσει σε έναν πίνακα με ακριβώς ένα μαύρο κελί;

Λύση: Αν βάψετε ξανά μια οριζόντια ή κάθετη γραμμή που περιέχει k μαύρα και 8 k λευκά κελιά θα έχει ως αποτέλεσμα 8-k μαύρα και k λευκά κελιά. Επομένως, ο αριθμός των μαύρων κελιών θα αλλάξει σε (8-k)-k=8-2k, δηλ. για ζυγό αριθμό. Δεδομένου ότι η ισοτιμία του αριθμού των μαύρων κελιών διατηρείται, δεν μπορούμε να πάρουμε ένα μαύρο κελί από τα αρχικά 32 μαύρα κελιά.

12. Δίνεται μια σκακιέρα. Επιτρέπεται να ξαναβάψετε με διαφορετικό χρώμα όλα τα κελιά που βρίσκονται μέσα σε ένα τετράγωνο 2 x 2. Μπορεί να παραμείνει ακριβώς ένα μαύρο κελί στον πίνακα;

Λύση: Ο επαναχρωματισμός ενός τετραγώνου 2 x 2 που περιέχει k μαύρα και 4 k λευκά κελιά θα έχει ως αποτέλεσμα 4-k μαύρα και k λευκά κελιά. Επομένως, ο αριθμός των μαύρων κελιών θα αλλάξει σε (4-k)-k=4-2k, δηλ. για ζυγό αριθμό. Δεδομένου ότι η ισοτιμία του αριθμού των μαύρων κελιών διατηρείται, δεν μπορούμε να πάρουμε ένα μαύρο κελί από τα αρχικά 32 μαύρα κελιά.

13. Να αποδείξετε ότι ένα κυρτό πολύγωνο δεν μπορεί να κοπεί σε πεπερασμένο αριθμό μη κυρτών τετράπλευρων.

Λύση: Έστω ότι ένα κυρτό πολύγωνο M κόβεται σε μη κυρτά τετράπλευρα M 1 ,…, M n . Σε κάθε πολύγωνο N εκχωρούμε έναν αριθμό f(N) ίσο με τη διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των εσωτερικών γωνιών του μικρότερων από 180 και του αθροίσματος των γωνιών που συμπληρώνουν τις γωνίες του στο 360, μεγαλύτερο από 180. Συγκρίνετε τους αριθμούς A=f(M) και B=f(M 1)+…+ f(M n). Θεωρήστε για αυτό όλα τα σημεία που είναι οι κορυφές των τετράπλευρων M 1 ..., M n . Μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις τύπους.

1. Κορυφές του πολυγώνου Μ. Αυτά τα σημεία συμβάλλουν εξίσου στο Α και στο Β.

2. Σημεία στις πλευρές του πολυγώνου Μ ή Μ 1. Η συμβολή κάθε τέτοιου σημείου στο Β στο

180 περισσότερα από ό,τι στην Α.

3. Εσωτερικά σημεία του πολυγώνου στα οποία συναντώνται οι γωνίες του τετράπλευρου,

λιγότερο από 180. Η συνεισφορά κάθε τέτοιου σημείου στο Β είναι 360 περισσότερο από ό,τι στο Α.

4. Εσωτερικά σημεία του πολυγώνου Μ στα οποία συγκλίνουν οι γωνίες των τετραπλεύρων και το ένα από αυτά είναι μεγαλύτερο από 180. Τέτοια σημεία δίνουν μηδενική συμβολή στο Α και στο Β.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Α<В. С другой стороны, А>0 και Β=0. Η ανισότητα A > 0 είναι προφανής και για να αποδείξουμε την ισότητα B=0 αρκεί να ελέγξουμε ότι αν το N είναι μη κυρτό τετράπλευρο, τότε f(N)=0. Έστω οι γωνίες N a>b>c>d. Οποιοδήποτε μη κυρτό τετράπλευρο έχει ακριβώς μία γωνία μεγαλύτερη από 180, άρα f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Λαμβάνεται μια αντίφαση, επομένως ένα κυρτό πολύγωνο δεν μπορεί να κοπεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό μη κυρτών τετράπλευρων.

14. Υπάρχει μια μάρκα στο κέντρο κάθε κελιού της σκακιέρας. Οι μάρκες αναδιατάχθηκαν έτσι ώστε οι αποστάσεις ανά ζεύγη μεταξύ τους να μην μειωθούν. Αποδείξτε ότι στην πραγματικότητα οι αποστάσεις ανά ζεύγη δεν έχουν αλλάξει.

Λύση: Εάν τουλάχιστον μία από τις αποστάσεις μεταξύ των τσιπ αυξανόταν, τότε το άθροισμα όλων των αποστάσεων ανά ζεύγη μεταξύ των τσιπ θα αυξανόταν επίσης, αλλά το άθροισμα όλων των αποστάσεων ανά ζεύγη μεταξύ των τσιπ δεν αλλάζει με καμία μετάθεση.

15. Το τετράγωνο χωράφι χωρίζεται σε 100 πανομοιότυπα τετράγωνα τμήματα, 9 από τα οποία είναι κατάφυτα από ζιζάνια. Είναι γνωστό ότι τα ζιζάνια σε ένα χρόνο εκτείνονται σε εκείνα και μόνο εκείνα τα αγροτεμάχια στα οποία τουλάχιστον δύο παρακείμενα (δηλαδή, με κοινή πλευρά) αγροτεμάχια είναι ήδη κατάφυτα με ζιζάνια. Αποδείξτε ότι το χωράφι δεν θα είναι ποτέ εντελώς κατάφυτο από ζιζάνια.

Λύση: Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το μήκος του ορίου ολόκληρης της περιοχής με τα ζιζάνια (ή πολλών περιοχών) δεν θα αυξηθεί. Στην αρχική στιγμή δεν ξεπερνά το 4*9=36, επομένως την τελική στιγμή δεν μπορεί να είναι ίσο με 40.

Κατά συνέπεια, το χωράφι δεν θα είναι ποτέ εντελώς κατάφυτο από ζιζάνια.

16. Δίνεται ένα κυρτό 2m-gon А 1 …А 2 m. Ένα σημείο P λαμβάνεται μέσα σε αυτό, που δεν βρίσκεται σε καμία από τις διαγώνιους. Αποδείξτε ότι το σημείο Р ανήκει σε ζυγό αριθμό τριγώνων με κορυφές στα σημεία А 1 ,…, А 2 m .

Λύση: Οι διαγώνιοι χωρίζουν το πολύγωνο σε πολλά μέρη. θα καλέσουμε γειτονικόςαυτά που έχουν κοινή πλευρά. Είναι σαφές ότι μπορεί κανείς να φτάσει από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του πολυγώνου σε οποιοδήποτε άλλο σημείο, περνώντας κάθε φορά μόνο από το γειτονικό μέρος στο γειτονικό. Το τμήμα του επιπέδου που βρίσκεται εκτός του πολυγώνου μπορεί επίσης να θεωρηθεί ένα από αυτά τα μέρη. Ο αριθμός των τριγώνων που εξετάζουμε για τα σημεία αυτού του τμήματος είναι ίσος με μηδέν, επομένως αρκεί να αποδειχθεί ότι κατά τη μετάβαση από ένα γειτονικό τμήμα σε ένα γειτονικό τμήμα, διατηρείται η ισοτιμία του αριθμού των τριγώνων.

Αφήστε την κοινή πλευρά δύο γειτονικών τμημάτων να βρίσκεται στη διαγώνιο (ή την πλευρά) PQ. Στη συνέχεια, σε όλα τα εξεταζόμενα τρίγωνα, εκτός από τα τρίγωνα με πλευρά PQ, και τα δύο αυτά μέρη είτε ανήκουν είτε δεν ανήκουν. Επομένως, όταν μετακινούμαστε από το ένα μέρος στο άλλο, ο αριθμός των τριγώνων αλλάζει κατά k 1 -k 2 , όπου k 1 είναι ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου που βρίσκονται στη μία πλευρά του PQ. Εφόσον k 1 +k 2 =2m-2, τότε ο αριθμός k 1 -k 2 είναι άρτιος.

4. Βοηθητικός χρωματισμός σε μοτίβο σκακιέρας

17. Υπάρχει ένα σκαθάρι σε κάθε τετράγωνο της σανίδας 5 x 5. Σε κάποιο σημείο, όλα τα σκαθάρια σέρνονται σε γειτονικά (οριζόντια ή κάθετα) κελιά. Αυτό αφήνει απαραίτητα ένα κενό κελί;

Λύση: Εφόσον ο συνολικός αριθμός των κελιών σε μια σκακιέρα 5 x 5 είναι περιττός, δεν μπορεί να υπάρχουν ίσοι αριθμοί μαύρων και λευκών κελιών. Ας υπάρχουν περισσότερα μαύρα κελιά για βεβαιότητα. Τότε υπάρχουν λιγότερα σκαθάρια που κάθονται στα λευκά κύτταρα από τα μαύρα κύτταρα. Επομένως, τουλάχιστον ένα από τα μαύρα κύτταρα παραμένει άδειο, αφού μόνο τα σκαθάρια που κάθονται στα λευκά κύτταρα σέρνονται πάνω στα μαύρα κύτταρα.

19. Αποδείξτε ότι ένας πίνακας 10 x 10 τετραγώνων δεν μπορεί να κοπεί σε σχήματα Τ που αποτελούνται από τέσσερα τετράγωνα.

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι ο πίνακας των 10 x 10 τετραγώνων χωρίζεται σε τέτοια σχήματα. Κάθε σχήμα περιέχει είτε 1 είτε 3 μαύρα κελιά, δηλ. πάντα μονός αριθμός. Οι ίδιες οι φιγούρες πρέπει να είναι 100/4 = 25 τεμάχια. Επομένως, περιέχουν μονό αριθμό μαύρων κελιών και υπάρχουν συνολικά 100/2=50 μαύρα κελιά. Έχει προκύψει μια αντίφαση.

5. Προβλήματα σχετικά με το χρωματισμό

20. Το αεροπλάνο είναι βαμμένο σε δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο σημεία του ίδιου χρώματος, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι ακριβώς 1.

Λύση: Θεωρήστε ένα κανονικό τρίγωνο με πλευρά 1.

αντίγραφο

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscow, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Προβλήματα κοπής. Μ.: MTsNMO, σελ.: ill. Σειρά: «Μυστικά της διδασκαλίας των μαθηματικών». Αυτό το βιβλίο είναι το πρώτο βιβλίο της σειράς Secrets of Teaching Mathematics, που σχεδιάστηκε για να παρουσιάσει και να συνοψίσει τη συσσωρευμένη εμπειρία στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης. Αυτή η συλλογή είναι ένα από τα μέρη του μαθήματος "Ανάπτυξη λογικής στις τάξεις 5-7". Σε όλα τα προβλήματα που δίνονται στο βιβλίο δίνονται λύσεις ή οδηγίες. Το βιβλίο προτείνεται για εξωσχολική εργασία στα μαθηματικά. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Εισαγωγή Επί του παρόντος, η παραδοσιακή άποψη για τη σύνθεση των θεμάτων που μελετούν οι μαθητές αναθεωρείται και βελτιώνεται. Διάφορα νέα μαθήματα εισάγονται στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Ένα από αυτά τα θέματα είναι η λογική. Η μελέτη της λογικής συμβάλλει στην κατανόηση της ομορφιάς και της κομψότητας του συλλογισμού, στην ικανότητα λογικής, στη δημιουργική ανάπτυξη του ατόμου, στην αισθητική αγωγή ενός ατόμου. Κάθε καλλιεργημένος άνθρωπος θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος με λογικά προβλήματα, παζλ, παιχνίδια που είναι γνωστά εδώ και αρκετούς αιώνες ή και χιλιετίες σε πολλές χώρες του κόσμου. Η ανάπτυξη της ευρηματικότητας, της ευρηματικότητας και της ανεξαρτησίας της σκέψης είναι απαραίτητη για κάθε άτομο εάν θέλει να πετύχει και να πετύχει αρμονία στη ζωή. Η εμπειρία μας δείχνει ότι η συστηματική μελέτη τυπικής λογικής ή θραυσμάτων μαθηματικής λογικής θα πρέπει να μετατεθεί στις ανώτερες τάξεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ταυτόχρονα, είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί η λογική σκέψη όσο το δυνατόν νωρίτερα. Μάλιστα, κατά τη μελέτη των σχολικών μαθημάτων, ο συλλογισμός και η απόδειξη εμφανίζονται μόνο στην 7η τάξη (όταν ξεκινά το μάθημα της συστηματικής γεωμετρίας). Για πολλούς μαθητές, η απότομη μετάβαση (δεν υπήρχε συλλογισμός έγινε πολύς συλλογισμός) είναι αφόρητα δύσκολη. Κατά την ανάπτυξη της λογικής για τις τάξεις 5-7, είναι πολύ πιθανό να διδάξουμε τους μαθητές να συλλογίζονται, να αποδεικνύουν και να βρίσκουν πρότυπα. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση μαθηματικών γρίφων, πρέπει όχι μόνο να μαντέψει (να πάρει) πολλές απαντήσεις, αλλά και να αποδείξει ότι έχει ληφθεί μια πλήρης λίστα πιθανών απαντήσεων. Είναι πολύ καλό για μαθητή της 5ης δημοτικού. Αλλά στη διαδικασία διδασκαλίας της λογικής στις τάξεις 5-7 των σχολείων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, οι δάσκαλοι αντιμετωπίζουν ορισμένες δυσκολίες: την έλλειψη σχολικών βιβλίων, διδακτικού υλικού, εγχειριδίων και οπτικού υλικού. Όλα αυτά πρέπει να τα συντάξει, να γράψει και να σχεδιάσει ο ίδιος ο δάσκαλος. Ένας από τους στόχους αυτής της συλλογής είναι να διευκολύνει τον δάσκαλο στην προετοιμασία και τη διεξαγωγή μαθημάτων. Θα δώσουμε μερικές συστάσεις για τη διεξαγωγή μαθημάτων πριν από την εργασία με τη συλλογή.

4 4 Εισαγωγή Είναι επιθυμητό να ξεκινήσετε τη διδασκαλία της λογικής σε μαθητές από την πέμπτη τάξη, και ίσως και νωρίτερα. Η λογική πρέπει να διδάσκεται με χαλαρό, σχεδόν αυτοσχεδιαστικό ύφος. Αυτή η φαινομενική ελαφρότητα απαιτεί στην πραγματικότητα πολλή σοβαρή προετοιμασία από τον δάσκαλο. Είναι απαράδεκτο, για παράδειγμα, η διόρθωση ενός ενδιαφέροντος και διασκεδαστικού προβλήματος από ένα χοντρό χειρόγραφο τετράδιο, όπως κάνουν μερικές φορές οι δάσκαλοι. Σας συνιστούμε να διεξάγετε μαθήματα σε μη τυπική μορφή. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο οπτικό υλικό στα μαθήματα: διάφορες κάρτες, εικόνες, σετ φιγούρων, εικονογραφήσεις για την επίλυση προβλημάτων, διαγράμματα. Δεν πρέπει να ασχολείστε με νεότερους μαθητές για το ίδιο θέμα για μεγάλο χρονικό διάστημα. Όταν αναλύετε ένα θέμα, θα πρέπει να προσπαθήσετε να επισημάνετε τα κύρια λογικά ορόσημα και να επιτύχετε κατανόηση (και όχι απομνημόνευση) αυτών των σημείων. Είναι απαραίτητο να επιστρέφετε συνεχώς στο υλικό που καλύπτεται. Αυτό μπορεί να γίνει σε ανεξάρτητη εργασία, ομαδικούς διαγωνισμούς (κατά τη διάρκεια των μαθημάτων), τεστ στο τέλος του τριμήνου, προφορικές και γραπτές ολυμπιάδες, matboys (εκτός σχολικού ωραρίου). Είναι επίσης απαραίτητο να χρησιμοποιείτε ψυχαγωγικές και κωμικές εργασίες στην τάξη, μερικές φορές είναι χρήσιμο να αλλάξετε την κατεύθυνση της δραστηριότητας. Αυτή η συλλογή είναι ένα από τα μέρη του μαθήματος "Ανάπτυξη λογικής στις τάξεις 5-7" "Προβλήματα κοπής". Αυτό το μέρος δοκιμάστηκε στα μαθήματα λογικής στις τάξεις 5-7 του σχολείου λυκείου 74 στο Ομσκ. Πολλοί επιστήμονες αγαπούν την κοπή προβλημάτων από την αρχαιότητα. Λύσεις σε πολλά απλά προβλήματα κοπής βρέθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες και Κινέζους, αλλά η πρώτη συστηματική πραγματεία σχετικά με αυτό το θέμα γράφτηκε από τον Abul-Vef, τον διάσημο Πέρση αστρονόμο του 10ου αιώνα, ο οποίος έζησε στη Βαγδάτη. Οι γεωμέτροι ασχολήθηκαν σοβαρά με την επίλυση προβλημάτων κοπής μορφών στον μικρότερο αριθμό τμημάτων και στη συνέχεια συνθέτοντας ένα ή άλλο νέο σχήμα από αυτά μόνο στις αρχές του 20ού αιώνα. Ένας από τους ιδρυτές αυτού του συναρπαστικού κλάδου της γεωμετρίας ήταν ο διάσημος μεταγλωττιστής παζλ Henry

5 Εισαγωγή 5 E. Dudeni. Ένας ιδιαίτερα μεγάλος αριθμός προϋπαρχόντων αριθμών που κόβουν ρεκόρ καταρρίφθηκε από έναν ειδικό στο Αυστραλιανό Γραφείο Διπλωμάτων Ευρεσιτεχνίας, τον Χάρι Λίντγκρεν. Είναι κορυφαίος κόφτης φιγούρων. Σήμερα, οι λάτρεις του παζλ λατρεύουν την επίλυση προβλημάτων, κυρίως επειδή δεν υπάρχει καθολική μέθοδος επίλυσης τέτοιων προβλημάτων και όλοι όσοι αναλαμβάνουν τη λύση τους μπορούν να επιδείξουν πλήρως την εφευρετικότητα, τη διαίσθησή τους και την ικανότητά τους να σκέφτονται δημιουργικά. Δεδομένου ότι δεν απαιτείται βαθιά γνώση της γεωμετρίας εδώ, οι ερασιτέχνες μπορούν μερικές φορές να ξεπεράσουν ακόμη και τους επαγγελματίες μαθηματικούς. Ταυτόχρονα, τα προβλήματα τεμαχισμού δεν είναι επιπόλαια ή άχρηστα, δεν απέχουν πολύ από σοβαρά μαθηματικά προβλήματα. Από προβλήματα κοπής, γεννήθηκε το θεώρημα Boyai-Gervin ότι οποιαδήποτε δύο ίσου μεγέθους πολύγωνα συντίθενται εξίσου (το αντίστροφο είναι προφανές), και στη συνέχεια το τρίτο πρόβλημα του Hilbert: ισχύει παρόμοια δήλωση για τα πολύεδρα; Οι εργασίες κοπής βοηθούν τους μαθητές να σχηματίσουν γεωμετρικές παραστάσεις όσο το δυνατόν νωρίτερα σε μια ποικιλία υλικών. Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, υπάρχει μια αίσθηση ομορφιάς, νόμου και τάξης στη φύση. Η συλλογή «Προβλήματα κοπής» χωρίζεται σε δύο ενότητες. Κατά την επίλυση προβλημάτων από την πρώτη ενότητα, οι μαθητές δεν θα χρειαστούν γνώσεις για τα βασικά της επιπεδομετρίας, αλλά θα χρειαστούν ευρηματικότητα, γεωμετρική φαντασία και αρκετά απλές γεωμετρικές πληροφορίες που είναι γνωστές σε όλους. Η δεύτερη ενότητα είναι προαιρετικές εργασίες. Αυτά περιελάμβαναν εργασίες, η επίλυση των οποίων θα απαιτήσει γνώση βασικών γεωμετρικών πληροφοριών σχετικά με τα σχήματα, τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους, τη γνώση ορισμένων θεωρημάτων. Κάθε ενότητα χωρίζεται σε παραγράφους, στις οποίες προσπαθήσαμε να συνδυάσουμε εργασίες για ένα θέμα και αυτές, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε μαθήματα που περιέχουν καθεμία ομοιογενείς εργασίες κατά σειρά αυξανόμενης δυσκολίας. Η πρώτη ενότητα περιέχει οκτώ παραγράφους. 1. Εργασίες σε καρό χαρτί. Αυτή η ενότητα περιέχει προβλήματα στα οποία η κοπή μορφών (κυρίως τετραγώνων και ορθογωνίων) πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών. Η παράγραφος περιέχει 4 μαθήματα, τα προτείνουμε για μάθηση από μαθητές της Ε' τάξης.

6 6 Εισαγωγή 2. Pentomino. Αυτή η παράγραφος περιέχει εργασίες που σχετίζονται με φιγούρες pentomino, επομένως για αυτά τα μαθήματα είναι σκόπιμο να διανείμετε σετ από αυτές τις φιγούρες στα παιδιά. Υπάρχουν δύο μαθήματα εδώ, τα προτείνουμε για φοίτηση σε μαθητές 5-6 τάξεων. 3. Δύσκολες εργασίες κοπής. Εδώ συλλέγονται εργασίες για την κοπή σχημάτων πιο σύνθετου σχήματος, για παράδειγμα, με περιγράμματα που είναι τόξα, και πιο σύνθετες εργασίες για κοπή. Υπάρχουν δύο μαθήματα σε αυτή την παράγραφο, συνιστούμε να διδάσκονται στην 7η τάξη. 4. Διάσπαση του αεροπλάνου. Εδώ συγκεντρώνονται προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε συμπαγή χωρίσματα ορθογωνίων σε ορθογώνια πλακίδια, προβλήματα για τη σύνταξη παρκέ, προβλήματα για την πιο πυκνή συσκευασία σχημάτων σε ένα ορθογώνιο ή τετράγωνο. Σας συνιστούμε να μελετήσετε αυτήν την παράγραφο στις τάξεις 6-7. 5. Τάνγκραμ. Εδώ συγκεντρώνονται εργασίες που σχετίζονται με το αρχαίο κινέζικο παζλ "Tangram". Για αυτό το μάθημα, είναι επιθυμητό να έχετε αυτό το παζλ, τουλάχιστον από χαρτόνι. Αυτή η ενότητα προτείνεται για σπουδές στην 5η τάξη. 6. Προβλήματα κοπής στο χώρο. Εδώ, οι μαθητές εισάγονται στην ανάπτυξη ενός κύβου, μιας τριγωνικής πυραμίδας, σχεδιάζονται παράλληλοι και φαίνονται διαφορές μεταξύ σχημάτων σε επίπεδο και τρισδιάστατων σωμάτων, που σημαίνει διαφορές στην επίλυση προβλημάτων. Η παράγραφος περιέχει ένα μάθημα, το οποίο προτείνουμε για μελέτη από μαθητές της Στ΄ τάξης. 7. Εργασίες για χρωματισμό. Δείχνει πώς ο χρωματισμός ενός σχήματος βοηθά στην επίλυση ενός προβλήματος. Δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι η λύση του προβλήματος της κοπής κάποιας φιγούρας σε μέρη είναι δυνατή, αρκεί να παρέχουμε κάποιον τρόπο κοπής. Αλλά είναι πιο δύσκολο να αποδείξουμε ότι η κοπή είναι αδύνατη. Ο χρωματισμός της φιγούρας μας βοηθά να το κάνουμε αυτό. Υπάρχουν τρία μαθήματα σε αυτή την παράγραφο. Τα προτείνουμε για φοίτηση σε μαθητές της 7ης τάξης. 8. Εργασίες με χρωματισμό στην κατάσταση. Εδώ συλλέγονται εργασίες στις οποίες πρέπει να χρωματίσετε μια φιγούρα με συγκεκριμένο τρόπο, απαντήστε στην ερώτηση: πόσα χρώματα χρειάζονται για έναν τέτοιο χρωματισμό (ο μικρότερος ή ο μεγαλύτερος αριθμός) κ.λπ. Υπάρχουν επτά μαθήματα στην παράγραφο. Τα προτείνουμε για φοίτηση σε μαθητές της 7ης τάξης. Η δεύτερη ενότητα περιλαμβάνει εργασίες που μπορούν να επιλυθούν σε επιπλέον τάξεις. Περιέχει τρεις παραγράφους.

7 Εισαγωγή 7 9. Μετασχηματισμός σχημάτων. Περιέχει εργασίες στις οποίες μια φιγούρα κόβεται σε μέρη από τα οποία συντίθεται μια άλλη εικόνα. Υπάρχουν τρία μαθήματα σε αυτή την παράγραφο, το πρώτο ασχολείται με τη «μεταμόρφωση» διαφόρων μορφών (αρκετά εύκολες εργασίες συγκεντρώνονται εδώ) και το δεύτερο μάθημα ασχολείται με τη γεωμετρία του μετασχηματισμού ενός τετραγώνου. 10. Διαφορετικές εργασίες για κοπή. Αυτό περιλαμβάνει διάφορες εργασίες κοπής που επιλύονται με διάφορες μεθόδους. Υπάρχουν τρία μαθήματα σε αυτή την ενότητα. 11. Το εμβαδόν των μορφών. Υπάρχουν δύο μαθήματα σε αυτή την ενότητα. Στο πρώτο μάθημα εξετάζονται προβλήματα, στη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να κόψετε τα σχήματα σε μέρη και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι τα σχήματα αποτελούνται εξίσου, στο δεύτερο μάθημα, προβλήματα στη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν τις ιδιότητες των εμβαδών των σχημάτων.

8 Ενότητα 1 1. Εργασίες σε καρό χαρτί Μάθημα 1.1 Θέμα: Εργασίες κοπής σε καρό χαρτί. Σκοπός: Να αναπτύξουν συνδυαστικές δεξιότητες (να εξετάσουν διάφορους τρόπους κατασκευής μιας γραμμής κοπής φιγούρων, τους κανόνες που επιτρέπουν να μην χαθούν λύσεις κατά την κατασκευή αυτής της γραμμής), να αναπτύξουν ιδέες για τη συμμετρία. Λύνουμε προβλήματα στο μάθημα, πρόβλημα 1,5 για το σπίτι Το τετράγωνο περιέχει 16 κελιά. Διαχωρίστε το τετράγωνο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των κελιών. (Οι τρόποι κοπής ενός τετραγώνου σε δύο μέρη θα θεωρηθούν διαφορετικοί εάν τα μέρη του τετραγώνου που λαμβάνονται με μια μέθοδο κοπής δεν είναι ίσα με τα μέρη που λαμβάνονται με μια άλλη μέθοδο.) Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Εντολή. Η εύρεση πολλών λύσεων σε αυτό το πρόβλημα δεν είναι τόσο δύσκολη. Στο σχ. 1, μερικές από αυτές φαίνονται και οι λύσεις β) και γ) είναι οι ίδιες, καθώς οι αριθμοί που λαμβάνονται σε αυτές μπορούν να συνδυαστούν με υπέρθεση (αν περιστρέψετε το τετράγωνο c) κατά 90 μοίρες). Ρύζι. 1 Αλλά το να βρεις όλες τις λύσεις και να μην χάσεις καμία λύση είναι ήδη πιο δύσκολο. Σημειώστε ότι η διακεκομμένη γραμμή που χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ίσα μέρη είναι συμμετρική ως προς το κέντρο του τετραγώνου.Αυτή η παρατήρηση μας επιτρέπει να πατήσουμε

9 Μάθημα προς βήμα για να σχεδιάσετε μια πολύγραμμη από δύο άκρα. Για παράδειγμα, εάν η αρχή της πολύγραμμης βρίσκεται στο σημείο Α, τότε το τέλος της θα είναι στο σημείο Β (Εικ. 2). Βεβαιωθείτε ότι για αυτό το πρόβλημα, η αρχή και το τέλος της πολύγραμμης μπορούν να σχεδιαστούν με δύο τρόπους, όπως φαίνεται στην Εικ. 2. Όταν κατασκευάζετε μια διακεκομμένη γραμμή, για να μην χάσετε καμία λύση, μπορείτε να ακολουθήσετε αυτόν τον κανόνα. Εάν ο επόμενος σύνδεσμος της πολυγραμμής μπορεί να σχεδιαστεί με δύο τρόπους, τότε πρώτα πρέπει να προετοιμάσετε ένα δεύτερο παρόμοιο σχέδιο και να εκτελέσετε αυτό το βήμα σε ένα σχέδιο με τον πρώτο τρόπο και από την άλλη με τον δεύτερο τρόπο (Εικ. 3 δείχνει δύο συνέχειες του Σχ. 2 (α)). Ομοίως, πρέπει να ενεργείτε όταν δεν υπάρχουν δύο, αλλά τρεις μέθοδοι (Το Σχ. 4 δείχνει τρεις συνέχειες του Σχ. 2 (β)). Η καθορισμένη διαδικασία βοηθά στην εύρεση όλων των λύσεων. Ρύζι. 2 Εικ. 3 Το ορθογώνιο ρυζιού 3 4 περιέχει 12 κελιά. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε ένα ορθογώνιο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών (οι μέθοδοι κοπής θεωρούνται διαφορετικές εάν τα μέρη που λαμβάνονται με μια μέθοδο κοπής δεν είναι ίσα με τα μέρη που λαμβάνονται με μια άλλη μέθοδο) Ορθογώνιο Το 3 5 περιέχει 15 κύτταρα και αφαιρέθηκε ένα κεντρικό κελί. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε το υπόλοιπο σχήμα

10 10 1. Οι εργασίες σε καρό χαρτί χωρίζονται σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών.Το τετράγωνο 6 6 χωρίζεται σε 36 πανομοιότυπα τετράγωνα. Βρείτε πέντε τρόπους για να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων Το πρόβλημα 1.4 έχει περισσότερες από 200 λύσεις. Βρείτε τουλάχιστον 15 από αυτά. Μάθημα 1.2 Θέμα: Προβλήματα κοπής σε καρό χαρτί. Σκοπός: Να συνεχίσει να αναπτύσσει ιδέες για τη συμμετρία, προετοιμασία για το θέμα "Πεντάμινο" (εξέταση διαφόρων μορφών που μπορούν να κατασκευαστούν από πέντε κελιά). Προβλήματα Μπορεί ένα τετράγωνο 5 5 κελιών να κοπεί σε δύο ίσα μέρη έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των κελιών; Αιτιολογήστε την απάντησή σας Διαχωρίστε το τετράγωνο 4 4 σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των κελιών. Πόσους διαφορετικούς τρόπους κοπής μπορείτε να βρείτε; 1.8. Διαχωρίστε το σχήμα (Εικ. 5) σε τρία ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να τρέχει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων. Ρύζι. 5 Εικ. Εικ. 6 Χωρίστε το σχήμα (Εικ. 6) σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε η γραμμή κοπής να πηγαίνει κατά μήκος των πλευρών των τετραγώνων. τετράγωνα. Βρείτε όσο το δυνατόν περισσότερες λύσεις.

11 Μάθημα Διαιρέστε ένα τετράγωνο 5 5 κελιών με ένα κομμένο κεντρικό κελί σε τέσσερα ίσα μέρη. Μάθημα 1.3 Θέμα: Κοπή προβλημάτων σε καρό χαρτί. Σκοπός: Να συνεχίσει να αναπτύσσει ιδέες για τη συμμετρία (αξονική, κεντρική). Εργασίες Κόψτε τα σχήματα που φαίνονται στο σχ. 8, σε δύο ίσα μέρη κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος και σε καθένα από τα μέρη πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος. Ρύζι. 8 Εικόνα Τα σχήματα που φαίνονται στο σχ. 9, είναι απαραίτητο να κόψετε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε τέσσερα ίσα μέρη, έτσι ώστε να υπάρχει ένας κύκλος σε κάθε μέρος. Πως να το κάνεις? Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 10, κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε τέσσερα ίσα μέρη και διπλώστε τα σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε οι κύκλοι και τα αστέρια να είναι διατεταγμένα συμμετρικά γύρω από όλους τους άξονες συμμετρίας του τετραγώνου. Ρύζι. δέκα

12 12 1. Εργασίες σε καρό χαρτί Κόψτε αυτό το τετράγωνο (Εικ. 11) στις πλευρές των κελιών έτσι ώστε όλα τα μέρη να έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα και το καθένα να περιέχει έναν κύκλο και έναν αστερίσκο. 12 σε τέσσερα πανομοιότυπα μέρη έτσι ώστε το καθένα από αυτά να περιέχει τρία γεμάτα κελιά. Μάθημα 1.4 11 Εικ. 12 Θέμα: Προβλήματα κοπής σε καρό χαρτί. Στόχος: Μάθετε να κόβετε ένα ορθογώνιο σε δύο ίσα μέρη, από τα οποία μπορείτε να προσθέσετε ένα τετράγωνο, ένα άλλο ορθογώνιο. Μάθετε να προσδιορίζετε από ποια ορθογώνια, κόβοντάς τα, μπορείτε να κάνετε ένα τετράγωνο. Εργασίες Πρόσθετες εργασίες 1.23, 1.24 (αυτές οι εργασίες μπορούν να εξεταστούν στην αρχή του μαθήματος για προθέρμανση) Κόψτε το ορθογώνιο 4 9 κελιά κατά μήκος των πλευρών των κελιών σε δύο ίσα μέρη, ώστε στη συνέχεια να διπλωθούν σε ένα τετράγωνο κουτί ένα ορθογώνιο 4 8 κελιά κόβονται σε δύο μέρη κατά μήκος των πλευρών των κελιών έτσι ώστε να μπορούν να σχηματίσουν ένα τετράγωνο; Από ένα ορθογώνιο 10 7 κελιών, κόπηκε ένα ορθογώνιο 1 6 κελιών, όπως φαίνεται στο Σχ. 13. Κόψτε τη φιγούρα που προέκυψε σε δύο μέρη έτσι ώστε να διπλωθούν σε τετράγωνο.Οι γεμάτες φιγούρες κόπηκαν από ένα ορθογώνιο 8 9 κελιών, όπως φαίνεται στο σχ. 14. Κόψτε τη φιγούρα που προκύπτει σε δύο ίσα μέρη, ώστε να μπορείτε να προσθέσετε ένα ορθογώνιο 6 10 από αυτά.

13 Μάθημα Εικ. 13 Ρύζι Ένα τετράγωνο 5 5 κυττάρων σχεδιάζεται σε καρό χαρτί. Δείξτε πώς να το κόψετε κατά μήκος των πλευρών των κελιών σε 7 διαφορετικά ορθογώνια Κόψτε το τετράγωνο σε 5 ορθογώνια κατά μήκος των πλευρών των κελιών έτσι ώστε και οι δέκα αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων να είναι διαφορετικοί ακέραιοι Διαιρέστε τα σχήματα που φαίνονται στο σχ. . 15, σε δύο ίσα μέρη. (Μπορείτε να κόψετε όχι μόνο κατά μήκος των κυτταρικών γραμμών, αλλά και κατά μήκος των διαγωνίων τους.) Εικ. δεκαπέντε

14 14 2. Pentomino Κόψτε τα σχήματα που φαίνονται στην εικ. 16, σε τέσσερα ίσα μέρη. 2. Pentomino Εικ. 16 Μάθημα 2.1 Θέμα: Pentomino. Σκοπός: Ανάπτυξη συνδυαστικών δεξιοτήτων των μαθητών. Εργασίες Οι φιγούρες από ντόμινο, τρομίνο, τετραμινό (ένα παιχνίδι με τέτοιες φιγούρες ονομάζεται Tetris), τα πεντομίνο αποτελούνται από δύο, τρία, τέσσερα, πέντε τετράγωνα έτσι ώστε κάθε τετράγωνο να έχει κοινή πλευρά με τουλάχιστον ένα τετράγωνο. Από δύο πανομοιότυπα τετράγωνα μπορεί να γίνει μόνο μία φιγούρα ντόμινο (βλ. Εικ. 17). Οι φιγούρες Trimino μπορούν να ληφθούν από μια μοναδική φιγούρα ντόμινο προσαρτώντας ένα άλλο τετράγωνο σε αυτήν με διάφορους τρόπους. Θα λάβετε δύο φιγούρες tromino (Εικ. 18). Ρύζι. 17 Ρύζι Φτιάξτε κάθε λογής τετραμινικές φιγούρες (από την ελληνική λέξη «τέτρα» τέσσερα). Πόσα πήραν; (Τα σχήματα που λαμβάνονται με περιστροφή ή συμμετρική απεικόνιση από οποιαδήποτε άλλα δεν θεωρούνται νέα).

15 Μάθημα Φτιάξτε όλα τα πιθανά σχήματα του πεντόμινου (από το ελληνικό «πεντα» πέντε). Πόσα πήραν; 2.3. Συνθέστε τα σχήματα που φαίνονται στο Σχ. 19, από πεντομινό ειδώλια. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα για κάθε σχήμα; Σχήμα Διπλώστε ένα ορθογώνιο 3 5 τεμαχίων πεντομινό. Πόσες διαφορετικές λύσεις θα βρείτε; 2.5. Συνθέστε τα σχήματα που φαίνονται στο Σχ. 20, από πεντομινό ειδώλια. Ρύζι. είκοσι

16 16 2. Pentomino Μάθημα 2.2 Θέμα: Pentomino. Σκοπός: Ανάπτυξη ιδεών για τη συμμετρία. Προβλήματα Στο πρόβλημα 2.2 φτιάξαμε όλα τα πιθανά κομμάτια πεντομινό. Δείτε τα στο σχ. 21. Εικ. 21 Το σχήμα 1 έχει την ακόλουθη ιδιότητα. Εάν είναι κομμένο από χαρτί και λυγισμένο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής a (Εικ. 22), τότε το ένα μέρος του σχήματος θα συμπίπτει με το άλλο. Το σχήμα λέγεται ότι είναι συμμετρικό ως προς τον ευθύ άξονα συμμετρίας. Το σχήμα 12 έχει επίσης άξονα συμμετρίας, ακόμη και δύο από αυτές είναι ευθείες b και c, ενώ το σχήμα 2 δεν έχει άξονες συμμετρίας. Σχήμα Πόσους άξονες συμμετρίας έχει κάθε σχήμα πεντομινό; 2.7. Από όλες τις 12 φιγούρες πεντόμινο, διπλώστε ένα ορθογώνιο. Επιτρέπεται να αναποδογυριστούν ασύμμετρα κομμάτια Διπλώστε ένα ορθογώνιο 6 10 με δώδεκα φιγούρες πεντόμινο και έτσι ώστε κάθε στοιχείο να αγγίζει τη μία πλευρά αυτού του ορθογωνίου.

Μάθημα 17 Κόψτε το ορθογώνιο που φαίνεται στην εικ. 23 (α), κατά μήκος των εσωτερικών γραμμών σε δύο τέτοια μέρη, από τα οποία είναι δυνατόν να διπλωθεί μια φιγούρα με τρεις τετράγωνες τρύπες στο μέγεθος ενός κελιού (Εικ. 23 (β)). Εικ. Από τις φιγούρες πεντόμινο, διπλώστε ένα τετράγωνο 8 8 με ένα τετράγωνο 2 2 κομμένο στη μέση. Βρείτε πολλές λύσεις Δώδεκα πεντομινό είναι τοποθετημένα σε ένα ορθογώνιο Επαναφέρετε τα όρια των μορφών (Εικ. 24) εάν κάθε αστέρι πέφτει ακριβώς σε ένα πεντομίνο. Ρύζι. 24 Εικόνα Δώδεκα κομμάτια πεντομινό στοιβάζονται σε ένα κουτί 12 10 όπως φαίνεται στην εικ. 25. Προσπαθήστε να τοποθετήσετε ένα άλλο σετ πεντομινό στο υπόλοιπο ελεύθερο πεδίο.

18 18 3. Δύσκολα προβλήματα κοπής 3. Δύσκολα προβλήματα κοπής Μάθημα 3.1 Θέμα: Προβλήματα κοπής σχημάτων πιο σύνθετου σχήματος με όρια που είναι τόξα. Σκοπός: Να μάθετε πώς να κόβετε σχήματα πιο σύνθετου σχήματος με περιθώρια που είναι τόξα και να κάνετε ένα τετράγωνο από τα μέρη που προκύπτουν. Εργασίες Στο σχ. Το 26 δείχνει 4 σχήματα. Με ένα κόψιμο, χωρίστε το καθένα σε δύο μέρη και φτιάξτε ένα τετράγωνο από αυτά. Το καρό χαρτί θα σας διευκολύνει να λύσετε το πρόβλημα. Ρύζι Κόβοντας το τετράγωνο 6 6 σε μέρη, προσθέστε τα σχήματα που φαίνονται στο σχ. 27. Εικ. 27

19 Μάθημα 28 δείχνει μέρος του τείχους του φρουρίου. Μια από τις πέτρες έχει τόσο παράξενο σχήμα που αν την τραβήξεις από τον τοίχο και την βάλεις διαφορετικά, ο τοίχος θα γίνει ομοιόμορφος. Σχεδιάστε αυτήν την πέτρα Για ποιο λόγο θα χρησιμοποιηθεί περισσότερο χρώμα: να ζωγραφίσετε ένα τετράγωνο ή αυτό το ασυνήθιστο δαχτυλίδι (Εικ. 29); Ρύζι. 28 Ρύζι Κόψτε το βάζο που φαίνεται στην εικ. 30, σε τρία μέρη, από τα οποία μπορεί να διπλωθεί ένας ρόμβος. Ρύζι. 30 Εικ. 31 Εικ. 32 Μάθημα 3.2 Θέμα: Πιο πολύπλοκα προβλήματα κοπής. Στόχος: Εξάσκηση στην επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων κοπής. Λύνουμε προβλήματα στο μάθημα, πρόβλημα 3.12 για το σπίτι Κόψτε το σχήμα (Εικ. 31) με δύο ευθείες τομές σε τέτοια μέρη από τα οποία μπορείτε να προσθέσετε ένα τετράγωνο 32 σχήμα σε τέσσερα ίσα μέρη, από τα οποία θα ήταν δυνατό να προστεθεί ένα τετράγωνο Κόψτε το γράμμα Ε, που φαίνεται στο σχ. 33, σε πέντε μέρη και διπλώστε τα σε ένα τετράγωνο. Μην γυρίζετε τα εξαρτήματα ανάποδα

20 20 4. Επιτρέπεται η διαίρεση του αεροπλάνου. Είναι δυνατόν να τα βγάλεις πέρα ​​με τέσσερα μέρη, αν επιτρέψεις να αναποδογυριστούν τα εξαρτήματα; 3.9. Ο σταυρός, που αποτελείται από πέντε τετράγωνα, πρέπει να κοπεί σε τέτοια μέρη, από τα οποία θα μπορούσε να γίνει ένας σταυρός ίσου μεγέθους (δηλαδή ίσος σε εμβαδόν) τετράγωνο. Δίνονται δύο σκακιέρα: μια συνηθισμένη, σε 64 κελιά και άλλο σε 36 κελιά. Απαιτείται να κόψετε το καθένα από αυτά σε δύο μέρη έτσι ώστε από τα τέσσερα μέρη που λαμβάνονται να φτιάξετε μια νέα σκακιέρα από κελιά.Ο επιπλοποιός έχει ένα κομμάτι σκακιέρας 7 7 κυψελών από πολύτιμο μαόνι. Θέλει χωρίς σπατάλη υλικού και σάρωση Fig. 33 κοψίματα μόνο κατά μήκος των άκρων των κελιών, κόψτε τον πίνακα σε 6 μέρη έτσι ώστε να κάνουν τρία νέα τετράγωνα, όλα διαφορετικών μεγεθών. Πως να το κάνεις? Είναι δυνατόν να λυθεί το πρόβλημα 3.11 εάν ο αριθμός των εξαρτημάτων πρέπει να είναι 5 και το συνολικό μήκος των τομών είναι 17; 4. Διαίρεση επιπέδου Μάθημα 4.1 Θέμα: Στερεά χωρίσματα ορθογωνίων. Σκοπός: Να μάθουν πώς να χτίζουν συμπαγή χωρίσματα ορθογωνίων με ορθογώνια πλακίδια. Απαντήστε στην ερώτηση υπό ποιες συνθήκες το ορθογώνιο δέχεται μια τέτοια διαίρεση του επιπέδου. Οι εργασίες (α) λύνονται στο μάθημα. Οι εργασίες 4.5 (β), 4.6, 4.7 μπορούν να μείνουν στο σπίτι. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια απεριόριστη προσφορά 2 1 ορθογώνιων πλακιδίων και θέλουμε να τα χρησιμοποιήσουμε για να απλώσουμε ένα ορθογώνιο δάπεδο και δεν πρέπει να επικαλύπτονται δύο πλακάκια Τοποθετήστε πλακάκια 2 1 στο πάτωμα σε ένα δωμάτιο 5 6. Είναι σαφές ότι αν δάπεδο σε ένα ορθογώνιο δωμάτιο p q είναι πλακάκι 2 1, τότε το p q είναι άρτιο (καθώς η περιοχή διαιρείται με το 2). Και αντίστροφα: εάν το p q είναι ομοιόμορφο, τότε το δάπεδο μπορεί να τοποθετηθεί με πλακάκια 2 1.

21 Μάθημα Πράγματι, στην περίπτωση αυτή ένας από τους αριθμούς p ή q πρέπει να είναι άρτιος. Εάν, για παράδειγμα, p = 2r, τότε το δάπεδο μπορεί να τοποθετηθεί όπως φαίνεται στο Σχ. 34. Αλλά σε τέτοια παρκέ υπάρχουν γραμμές σπασίματος που διασχίζουν ολόκληρο το «δωμάτιο» από τοίχο σε τοίχο, αλλά δεν διασχίζουν τα πλακάκια. Αλλά στην πράξη, χρησιμοποιούνται παρκέ χωρίς τέτοιες γραμμές - συμπαγή παρκέ. Fig Απλώστε πλακάκια 2 1 συμπαγές παρκέ του δωματίου Προσπαθήστε να βρείτε ένα συνεχές πλακάκι 2 1 α) ορθογώνιο 4 6; β) τετράγωνα πλακάκια 2 1 μασίφ παρκέ α) δωμάτια 5 8; β) δωμάτια 6 8. Φυσικά, τίθεται το ερώτημα για ποια p και q το ορθογώνιο p q δέχεται συνεχή διαίρεση σε πλακίδια 2 1; Γνωρίζουμε ήδη τις απαραίτητες προϋποθέσεις: 1) το p q διαιρείται με το 2, 2) (p, q) (6, 6) και (p, q) (4, 6). Μια ακόμη συνθήκη μπορεί επίσης να επαληθευτεί: 3) p 5, q 5. Αποδεικνύεται ότι αυτές οι τρεις συνθήκες αποδεικνύονται επίσης επαρκείς. Πλακάκια άλλων μεγεθών Τοποθετήστε πλακάκια 3 2 χωρίς κενά α) ορθογώνιο 11 18; β) ορθογώνιο Τοποθετήστε χωρίς κενά, αν είναι δυνατόν, ένα τετράγωνο με πλακάκια. Είναι δυνατόν, παίρνοντας ένα τετράγωνο καρό χαρτί μεγέθους 5 5 κελιών, να κόψετε 1 κελί από αυτό ώστε το υπόλοιπο να κοπεί σε πιάτα των 1 3 κύτταρα; Μάθημα 4.2 Θέμα: Παρκέ.

22 22 4. Διαίρεση του επιπέδου Σκοπός: Να μάθουν πώς να καλύπτουν το αεροπλάνο με διάφορες φιγούρες (επιπλέον, τα παρκέ μπορεί να είναι με γραμμές θραύσης ή συμπαγή) ή να αποδείξουν ότι αυτό είναι αδύνατο. Προβλήματα Ένα από τα πιο σημαντικά ερωτήματα στη θεωρία του διαχωρισμού ενός επιπέδου είναι: «Τι σχήμα πρέπει να έχει ένα πλακίδιο ώστε τα αντίγραφά του να μπορούν να καλύπτουν το επίπεδο χωρίς κενά και διπλά καλύμματα;» Αρκετές προφανείς μορφές έρχονται αμέσως στο μυαλό. Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μόνο τρία κανονικά πολύγωνα που μπορούν να καλύψουν το επίπεδο. Αυτό είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο και εξάγωνο (βλ. Εικ. 35). Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός ακανόνιστων πολυγώνων που μπορούν να καλύψουν το επίπεδο. Εικ. Διαιρέστε ένα αυθαίρετο αμβλύ τρίγωνο σε τέσσερα ίσα και παρόμοια τρίγωνα. Στο πρόβλημα 4.8 χωρίζουμε το τρίγωνο σε τέσσερα ίσα και παρόμοια τρίγωνα. Καθένα από τα τέσσερα τρίγωνα που προκύπτουν μπορεί με τη σειρά του να χωριστεί σε τέσσερα ίσα και όμοια τρίγωνα κ.λπ. Αν κινηθούμε προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή προσθέστε τέσσερα ίσα αμβλεία τρίγωνα έτσι ώστε να έχουμε ένα τρίγωνο παρόμοιο με αυτά, αλλά τέσσερις φορές μεγαλύτερο , κ.λπ., τότε τέτοια τρίγωνα μπορούν να πλακώσουν το αεροπλάνο. Το επίπεδο μπορεί να καλυφθεί με άλλα σχήματα, για παράδειγμα, τραπεζοειδή, παραλληλόγραμμα Καλύψτε το επίπεδο με τα ίδια σχήματα που φαίνονται στο σχ. 36.

23 Μάθημα Τοποθετήστε πλακάκια στο επίπεδο με τις ίδιες «αγκύλες» που φαίνονται στην εικ. 37. Εικ. 36 Ρύζι Υπάρχουν τέσσερα τετράγωνα με πλευρά 1, οκτώ με πλευρά 2, δώδεκα με πλευρά 3. Μπορείτε να φτιάξετε ένα μεγάλο τετράγωνο από αυτά; Είναι δυνατόν να διπλώσετε ένα τετράγωνο οποιουδήποτε μεγέθους από τα ξύλινα πλακάκια που υποδεικνύονται στο σχ. 38 είδη, χρησιμοποιώντας πλακάκια και των δύο ειδών; Μάθημα 4.3 Θέμα: Προβλήματα της πιο πυκνής συσκευασίας. Ρύζι. 38 Σκοπός: Να διαμορφωθεί η έννοια της βέλτιστης λύσης. Εργασίες Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός λωρίδων μεγέθους 1 5 κελιών που μπορούν να κοπούν από ένα τετράγωνο καρό χαρτί 8 8 κελιά; Ο πλοίαρχος έχει ένα φύλλο από τετράγωνο κασσίτερο. dm. Ο πλοίαρχος θέλει να κόψει όσο το δυνατόν περισσότερα ορθογώνια κενά 3 5 τετραγωνικών μέτρων από αυτό. dm. Βοηθήστε τον Είναι δυνατόν να κόψετε το ορθογώνιο του κελιού σε ορθογώνια μεγέθους 5 7 χωρίς υπολείμματα; Αν είναι δυνατόν, πώς; Εάν όχι, γιατί όχι; Σε ένα φύλλο καρό χαρτί, σημειώστε τις τομές με το μέγεθος των κελιών, με τη βοήθεια των οποίων μπορείτε να πάρετε τόσες ολόκληρες φιγούρες όπως φαίνεται στο Σχ. 39. Οι μορφές που απεικονίζονται στο σχ. 39 (β, δ), μπορεί να αναποδογυριστεί.

24 24 5. Tangram Rice Tangram Μάθημα 5.1 Θέμα: Tangram. Σκοπός: Να γνωρίσουν οι μαθητές το κινέζικο παζλ «Tangram». Εξάσκηση γεωμετρικής έρευνας, σχεδίασης. Αναπτύξτε συνδυαστικές δεξιότητες. Προβλήματα Μιλώντας για προβλήματα κοπής, δεν μπορούμε να παραλείψουμε να αναφέρουμε το αρχαίο κινεζικό παζλ "Tangram", το οποίο προέκυψε στην Κίνα πριν από 4 χιλιάδες χρόνια. Στην Κίνα λέγεται «chi tao tu», δηλαδή νοητικό παζλ επτά κομματιών. Κατευθυντήριες γραμμές. Για τη διεξαγωγή αυτού του μαθήματος, είναι επιθυμητό να έχετε φυλλάδια: ένα παζλ (το οποίο μπορούν να φτιάξουν οι ίδιοι οι μαθητές), σχέδια με φιγούρες που πρέπει να διπλωθούν. Εικόνα Φτιάξτε μόνοι σας ένα παζλ: μεταφέρετε ένα τετράγωνο χωρισμένο σε επτά μέρη (Εικ. 40) σε χοντρό χαρτί και κόψτε το Χρησιμοποιώντας και τα επτά μέρη του παζλ, φτιάξτε τις φιγούρες που φαίνονται στο σχ. 41.

25 Μάθημα Εικ. 41 Εικ. 42 Κατευθυντήριες γραμμές. Στα παιδιά μπορούν να δοθούν σχέδια των σχημάτων α), β) σε πλήρες μέγεθος. Και έτσι ο μαθητής μπορεί να λύσει το πρόβλημα βάζοντας μέρη από τα παζλ στο σχέδιο της φιγούρας και επιλέγοντας έτσι τα σωστά μέρη, κάτι που απλοποιεί την εργασία. Και σχέδια με σχήματα

26 26 6. Προβλήματα κοπής στο διάστημα γ), δ) μπορούν να δοθούν σε μικρότερη κλίμακα. Κατά συνέπεια, αυτές οι εργασίες θα είναι πιο δύσκολο να επιλυθούν. Στο σχ. Δίνονται 42 ακόμη φιγούρες για αυτο-σύνταξη Προσπαθήστε να δημιουργήσετε τη δική σας φιγούρα χρησιμοποιώντας και τα επτά μέρη του τάγκραμ Στο τάγκραμ, ανάμεσα στα επτά μέρη του, υπάρχουν ήδη τρίγωνα διαφορετικών μεγεθών. Αλλά από τα μέρη του μπορείτε ακόμα να προσθέσετε διάφορα τρίγωνα. Διπλώστε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας τέσσερα μέρη ενός τάγκραμ: α) ένα μεγάλο τρίγωνο, δύο μικρά τρίγωνα και ένα τετράγωνο. β) ένα μεγάλο τρίγωνο, δύο μικρά τρίγωνα και ένα παραλληλόγραμμο. γ) ένα μεγάλο τρίγωνο, ένα μεσαίο τρίγωνο και δύο μικρά τρίγωνα Μπορείτε να φτιάξετε ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας μόνο δύο μέρη ενός τάγκραμ; Τρία μέρη; Πέντε μέρη; Έξι μέρη; Και τα επτά μέρη του τάγκραμ; 5.6. Είναι προφανές ότι ένα τετράγωνο είναι φτιαγμένο και από τα επτά μέρη του τάγκραμ. Είναι δυνατόν ή αδύνατο να φτιάξουμε ένα τετράγωνο δύο μερών; Από τα τρία; Από τα τέσσερα; 5.7. Ποια διαφορετικά μέρη ενός τάγκραμ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξουμε ένα ορθογώνιο; Ποια άλλα κυρτά πολύγωνα μπορούν να κατασκευαστούν; 6. Προβλήματα κοπής στο χώρο Μάθημα 6.1 Θέμα: Προβλήματα κοπής στο διάστημα. Σκοπός: Η ανάπτυξη της χωρικής φαντασίας. Μάθετε να δημιουργείτε μια σάρωση μιας τριγωνικής πυραμίδας, ενός κύβου, προσδιορίστε ποιες σαρώσεις είναι λανθασμένες. Εξασκηθείτε στην επίλυση προβλημάτων για την κοπή σωμάτων στο διάστημα (η λύση τέτοιων προβλημάτων διαφέρει από την επίλυση προβλημάτων για την κοπή σχημάτων σε ένα επίπεδο). Εργασίες Ο Πινόκιο είχε χαρτί, στη μία πλευρά κολλημένο με πολυαιθυλένιο. Έφτιαξε το κομμάτι που φαίνεται στο Σχ. 43 για να κολλήσετε σακούλες γάλακτος (τριγωνικές πυραμίδες) από αυτό. Και η αλεπού η Αλίκη μπορεί να κάνει άλλο ένα κενό. Τι?

27 Μάθημα Ο Rice Cat Basilio πήρε επίσης αυτό το χαρτί, αλλά θέλει να κολλήσει κύβους (σακούλες κεφίρ). Έκανε τα κενά που φαίνονται στο Σχ. 44. Και η αλεπού η Αλίκη λέει ότι μερικές μπορούν να πεταχτούν αμέσως, γιατί δεν είναι καλές. Έχει δίκιο; Η Πυραμίδα του Χέοπα έχει τετράγωνο στη βάση της και οι πλευρικές της όψεις είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Ο Πινόκιο ανέβηκε και μέτρησε τη γωνία της άκρης στην κορυφή (AMD, στην Εικ. 45). Αποδείχθηκε 100. Και η αλεπού Αλίκη λέει ότι υπερθερμάνθηκε στον ήλιο, γιατί αυτό δεν μπορεί να είναι. Έχει δίκιο; 6.4. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός επίπεδων κοπών που χρειάζονται για να χωριστεί ένας κύβος σε 64 μικρούς κύβους; Μετά από κάθε κοπή, επιτρέπεται να μετατοπίζονται τα μέρη του κύβου όπως θέλετε.Ο ξύλινος κύβος βάφτηκε εξωτερικά με λευκή μπογιά και μετά κάθε μία από τις άκρες του Εικ. 45 χωρίστηκε σε 5 ίσα μέρη, μετά από τα οποία πριονίστηκε έτσι ώστε να ληφθούν μικροί κύβοι, στους οποίους η άκρη είναι 5 φορές μικρότερη από αυτή του αρχικού κύβου. Πόσοι μικροί κύβοι υπάρχουν; Πόσοι κύβοι έχουν ζωγραφισμένες τρεις πλευρές; Δύο άκρες; Μία άκρη; Πόσοι άβαφοι κύβοι έχουν μείνει; 6.6. Το καρπούζι κόπηκε σε 4 κομμάτια και φαγώθηκε. Βγήκαν 5 κρούστες. Θα μπορούσε να είναι αυτό;

28 28 7. Εργασίες χρωματισμού 6.7. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κομματιών που μπορεί να κοπεί μια τηγανίτα με τρία ίσια κοψίματα; Πόσα κομμάτια μπορούν να ληφθούν με τρία κομμάτια από ένα καρβέλι ψωμί; 7. Εργασίες χρωματισμού Μάθημα 7.1 Θέμα: Ο χρωματισμός βοηθά στην επίλυση προβλημάτων. Σκοπός: Να μάθουν πώς να αποδεικνύουν ότι ορισμένα προβλήματα κοπής δεν έχουν λύσεις, χρησιμοποιώντας έναν καλά επιλεγμένο χρωματισμό (για παράδειγμα, χρωματισμό σε μοτίβο σκακιέρας), βελτιώνοντας έτσι τη λογική κουλτούρα των μαθητών. Προβλήματα Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι η λύση του προβλήματος της κοπής κάποιας φιγούρας σε μέρη είναι δυνατή: αρκεί να παρέχουμε κάποια μέθοδο κοπής. Η εύρεση όλων των λύσεων, δηλαδή όλων των τρόπων κοπής, είναι ήδη πιο δύσκολη. Και το να αποδείξεις ότι η κοπή είναι αδύνατη είναι επίσης αρκετά δύσκολο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο χρωματισμός της φιγούρας μας βοηθά να το κάνουμε αυτό.Πήραμε ένα τετράγωνο καρό χαρτί διαστάσεων 8 8, κόψαμε δύο κελιά από αυτό (κάτω αριστερά και πάνω δεξιά). Είναι δυνατόν να καλυφθεί πλήρως η φιγούρα που προκύπτει με ορθογώνια "ντόμινο" 1 2; 7.2. Στη σκακιέρα υπάρχει μια φιγούρα «καμήλας», η οποία κινεί τρία κελιά κάθετα και ένα οριζόντια ή τρία οριζόντια και ένα κάθετα, με κάθε κίνηση. Μπορεί μια «καμήλα» αφού κάνει πολλές κινήσεις να μπει σε ένα κελί δίπλα στην αρχική της πλευρά; 7.3. Υπάρχει ένα σκαθάρι σε κάθε κελί του 5 5 τετραγώνου. Κατόπιν εντολής, κάθε σκαθάρι σύρθηκε σε ένα από τα διπλανά κελιά στο πλάι. Μπορεί τότε να αποδειχθεί ότι ακριβώς ένα σκαθάρι θα κάθεται ξανά σε κάθε κελί; Τι θα γινόταν αν το αρχικό τετράγωνο είχε διαστάσεις 6 6; 7.4. Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα τετράγωνο από καρό χαρτί 4x4 σε ένα βάθρο, ένα τετράγωνο, μια στήλη και ένα ζιγκ-ζαγκ (Εικ. 46);

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscow, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Προβλήματα κοπής. Μ.: MTsNMO, 2002. 120 σελ.: ill. Σειρά: «Μυστικά της διδασκαλίας των μαθηματικών». Αυτό

V.A. Smirnov, Ι.Μ. Smirnova, I.V. Yashchenko ΤΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ 5 6 ΤΑΞΕΙΣ Τα αποτελέσματα του GIA και η ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά δείχνουν ότι το κύριο πρόβλημα της γεωμετρικής

Τα προβλήματα στα πλέγματα V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l είναι ακέραιοι, τότε και μόνο τότε δημιουργεί το ίδιο πλέγμα,

IV Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Περικοπές Τα γεωμετρικά σχήματα ονομάζονται ίσα εάν μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο έτσι ώστε να συμπίπτουν πλήρως. 1. Κόβουμε κάθε σχήμα

V.A. Smirnov, Ι.Μ. Smirnova GEOMETRY Εγχειρίδιο για την προετοιμασία για το GIA Εργασίες για την επιλογή των σωστών δηλώσεων 2015 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το εγχειρίδιο έχει σχεδιαστεί για να προετοιμαστεί για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων του GIA στα μαθηματικά.

Δοκιμή 448 Κατακόρυφες γωνίες 1. Εάν οι γωνίες δεν είναι κάθετες, τότε δεν είναι ίσες. 2. Οι ίσες γωνίες είναι κάθετες γωνίες μόνο αν είναι κεντρικά συμμετρικές. 3. Αν οι γωνίες είναι ίσες και η ένωσή τους έχει

I. V. Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MathUs.ru Παραδείγματα και κατασκευές 1. (All-Russian, 2018, ШЭ, 5.2) Το κορίτσι αντικατέστησε κάθε γράμμα στο όνομά της με τον αριθμό του στο ρωσικό αλφάβητο. Το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός 2011533.

ΔΙΑΛΕΞΗ 24 ΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 1. Τύπος Euler για επίπεδα γραφήματα Ορισμός 44: Ένα επίπεδο γράφημα είναι μια εικόνα ενός γραφήματος σε ένα επίπεδο χωρίς αυτοτομές. Σημείωση Το γράφημα δεν είναι το ίδιο με το επίπεδο

Δευτεροβάθμια (πλήρης) γενική εκπαίδευση MI Bashmakov Μαθηματικά 11η τάξη Συλλογή προβλημάτων 3η έκδοση UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov MI B336 Μαθηματικά. Βαθμός 11. Συλλογή εργασιών: δευτερεύουσα (πλήρη)

V.A. Smirnov 1. Αναγνώριση σχημάτων 1. Ποιο πολύεδρο ονομάζεται κύβος; 2. Πόσες κορυφές, ακμές, όψεις έχει ένας κύβος; 3. Σχεδιάστε έναν κύβο σε καρό χαρτί. 4. Ποιο πολύεδρο ονομάζεται παραλληλεπίπεδο;

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURES IN SPACE Εγχειρίδιο για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2013 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το εγχειρίδιο έχει σχεδιαστεί για να προετοιμαστεί για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων της Εξέτασης Ενιαίας Πολιτείας στα μαθηματικά. Οι στόχοι του είναι:

1 μάθουν να χρησιμοποιούν τη γεωμετρική γλώσσα και τον γεωμετρικό συμβολισμό για να περιγράφουν τα αντικείμενα του κόσμου. πραγματοποιούν απλή αιτιολογία και αιτιολόγηση στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων που προβλέπονται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5.1-5.3 τάξεις (τεχνολογικό προφίλ) Ενότητα Τράπεζας εργασιών «Γεωμετρία» «Τρίγωνα και τετράπλευρα. Ευθείες γραμμές και κύκλοι. Συμμετρία. Πολύεδρα» Απαιτούνται βασικές θεωρητικές πληροφορίες

Tasks for the Third Minsk City Open Tournament of Young Mathematicians 2016 (junior league, βαθμοί 5-7) 10-12 Μαρτίου 2016 Προκαταρκτικές αιτήσεις που αναφέρουν το εκπαιδευτικό ίδρυμα, τον επικεφαλής, τον αριθμό τηλεφώνου του

Δημοτικό δημοσιονομικό προσχολικό εκπαιδευτικό ίδρυμα "Νηπιαγωγείο 30" της Κεντρικής Περιφέρειας του Barnaul

1 Ο ακραίος κανόνας Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Ας ξεκινήσουμε με τα ακόλουθα τρία προβλήματα: Πρόβλημα1. Σε ένα άπειρο φύλλο καρό, ένας φυσικός αριθμός είναι γραμμένος σε κάθε κελί. Είναι γνωστό

Η γνώση είναι η πιο εξαιρετική κατοχή. Όλοι το προσπαθούν, δεν έρχεται από μόνο του. Abu-r-Raykhan al-buruni "Η έννοια του εμβαδού ενός πολυγώνου" Γεωμετρία Βαθμός 8 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Κλειστή πολυγραμμή,

Επεξηγηματική σημείωση 1. Γενικά χαρακτηριστικά του μαθήματος Αυτό το πρόγραμμα καταρτίζεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του ομοσπονδιακού κρατικού εκπαιδευτικού προτύπου για τη βασική γενική εκπαίδευση και προορίζεται

Master class "Geometry and stereometry at the Unified State Examination in the Mathematics, part 1. October 2017. Για να λύσετε προβλήματα, χρειάζεστε γνώσεις για τα γεωμετρικά σχήματα και τις ιδιότητές τους, υπολογίζοντας τις περιοχές επίπεδων σχημάτων, όγκων

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα «Γυμνάσιο 2» Παράρτημα 3.20. Πρόγραμμα εργασίας για το μάθημα "Οπτική γεωμετρία" τάξεις 5-6 Προγραμματιστές: Ovchinnikova N.V.,

Θέμα 1. Ισοτιμία 1. Υπάρχουν 13 γρανάζια στο τραπέζι, συνδεδεμένα σε κλειστή αλυσίδα. Μπορούν όλες οι ταχύτητες να στρίβουν ταυτόχρονα; 2. Μπορεί μια ευθεία που δεν περιέχει κορυφές να σχηματίσει μια κλειστή πολύγραμμη με το 13

Ανάλυση εργασιών του τρίτου μέρους των εργασιών 1 2 Ηλεκτρονικό σχολείο Znanik Ανάλυση εργασιών του τρίτου μέρους των εργασιών Βαθμός 4 6 7 8 9 10 A B A C D Εργασία 6 Υπάρχουν σημεία ελέγχου μέσα στη σήραγγα κάθε 10 m.

IX Πανρωσική βάρδια "Νέος μαθηματικός". VDC "Eaglet". VI Τουρνουά μαθηματικών παιχνιδιών. Μαθηματικό παιχνίδι "Μονομαχία". Junior League. Λύσεις. 08 Σεπτεμβρίου 2013 1. Ο ίδιος αριθμός μαθητών σπουδάζει σε δύο ομάδες

Ενδιαφέροντα προβλήματα με κύβους Πρόβλημα 1. Αριθμήστε 8 κορυφές του κύβου με τακτικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε καθεμία από τις έξι όψεις του να είναι το ίδιο ( Εικ. 1α).

Συγκρότημα εργασιών στα μαθηματικά 6η τάξη "Πολύγωνα και πολύεδρα" 1. Πολύεδρο είναι μια κλειστή επιφάνεια που αποτελείται από: παραλληλόγραμμα πολυγώνων και τρίγωνα πολυγώνων πολυγώνων

ΚΡΑΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK Σχολή αλληλογραφίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Βαθμός 0, εργασία 3. Novosibirsk

Το πρόγραμμα εργασίας του θέματος "Ο κόσμος των σημείων και των αριθμών" Βαθμός 5 1. Προγραμματισμένα αποτελέσματα της ανάπτυξης του θέματος "Ο κόσμος των σημείων και των αριθμών" κατακτώντας τη γεωμετρική γλώσσα, χρησιμοποιώντας την για να περιγράψετε

Εξωσχολικό μάθημα εικαστικής γεωμετρίας στην 7η τάξη. Θέμα: «Γεωμετρία του ψαλιδιού. Προβλήματα κοπής και διπλώματος σχημάτων"

ΤΟΥΣ. SMIRNOV, V.A. ΣΜΙΡΝΟΦ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΕΛΕΓΜΕΝΟ ΧΑΡΤΙ Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα Μόσχα 2009 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το προτεινόμενο εγχειρίδιο περιέχει πενήντα έξι προβλήματα για την κατασκευή και

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ 1 Έννοια μετασχηματισμού Παράδειγμα 1. Μετασχηματισμός ομόκεντρων κύκλων ο ένας στον άλλο. Ο κύκλος c 1 μετατρέπεται στον ομόκεντρο κύκλο του c 2 όπως φαίνεται

Φθινοπωρινή Εντατική Φυσική και Μαθηματικά «100 Ώρες» ΠΟΛΥΟΜΙΝΗ Παιχνίδια και παζλ με καρό φιγούρες Khozin Mikhail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 Οκτωβρίου 2 Νοεμβρίου 2016 ΤΙ ΕΙΝΑΙ POLYMONO; Όλοι ξέρουν ντόμινο

7 σχήματα σχεδιάζονται σημείο προς σημείο όπως φαίνεται στις παρακάτω εικόνες. C A G B F Δείξτε πώς να χρησιμοποιήσετε αυτά τα στοιχεία για να φτιάξετε τα σχήματα στα παρακάτω σχήματα D E A) (βαθμοί 0 βαθμοί) B) (βαθμοί 0 βαθμοί) Γ) (3 βαθμοί

ΧΡΗΣΗ 2010. Μαθηματικά. Πρόβλημα Β9. Τετράδιο εργασίας Smirnov V.A. (υπό την επιμέλεια των A. L. Semenov και I. V. Yashchenko) M .: MTsNMO Publishing House; 2010, 48 σελίδες Τετράδιο εργασιών Μαθηματικών της USE 2010. Σειρά Μαθηματικών

1) IDm2014_006 απαντήσεις του αγωνιστικού γύρου 2) Αρχηγός ομάδας Poyarkova Olga Sergeevna 3) Τεχνικός εκτελεστής (συντονιστής) όχι 4) URL της ιστοσελίδας με τις απαντήσεις του αγωνιστικού γύρου (αν υπάρχουν) όχι 5) Πίνακας

10.1 (τεχνολογικό προφίλ), 10.2 (επίπεδο προφίλ) Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Δείγμα εργασιών για προετοιμασία για δοκιμές στα μαθηματικά, ενότητα "Γεωμετρία" (σχολικό βιβλίο Atanasyan L.S., επίπεδο προφίλ)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Κανονική, ημικανονική και σε σχήμα αστεριού πολύεδρα Μόσχα MTsNMO Publishing House 010

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK ΕΙΔΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Μαθηματικά Βαθμός 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Novosibirsk I. Σχεδιασμός

2016 σχολικό έτος 2017 5η τάξη 51 Τοποθετήστε αγκύλες και πινακίδες δράσης στην καταχώριση 2 2 2 2 2 έτσι ώστε να βγει 24 52 Η Anya λέει ψέματα κάθε Τρίτη, Τετάρτη και Πέμπτη και λέει την αλήθεια όλες τις άλλες ημέρες της εβδομάδας

Θέμα 16. Πολύεδρα 1. Πρίσμα και τα στοιχεία του: Πρίσμα είναι ένα πολύεδρο, δύο όψεις του οποίου είναι ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και οι υπόλοιπες όψεις είναι παραλληλόγραμμα.

Γεωμετρία σε γεωμετρία. PDA, Γεωμετρία, Τρίτο Μάθημα (Maksimov D.V.) 28 Ιουνίου 2017 Οπτική γεωμετρία Ένας κύβος 3x3x3 αποτελείται από 13 λευκούς και 14 σκοτεινούς κύβους. Σε ποια εικόνα είναι; Φαίνεται παρακάτω

Βαθμός 7 7.1. Μπορεί να αποδειχθεί ότι 1000 συμμετέχοντες στην Ολυμπιάδα θα λύσουν σωστά αυτό το πρόβλημα και μεταξύ αυτών θα υπάρχουν 43 περισσότερα αγόρια από κορίτσια; 7.2. Η Lada και η Lera μαντέψαμε με φυσικό αριθμό. Αν ένα

Επιτροπή της Διοίκησης της Περιφέρειας Zmeinogorsk της Επικράτειας Altai για θέματα εκπαίδευσης και νεολαίας Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα "Zmeinogorsk δευτεροβάθμιο σχολείο με προχωρημένα

Εισαγωγικές εξετάσεις στο Εσπερινό Μαθηματικό Σχολείο στη Σχολή Επιστήμης Υπολογιστών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας με το όνομα M. V. Lomonosov (29 Σεπτεμβρίου 2018) Τάξεις 8-9 1. Οι ομάδες "Mathematicians", "Physicists" και "Programmers" έπαιξαν ποδόσφαιρο

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα της πόλης Abakan "Δευτεροβάθμια εκπαίδευση 11" ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ εξωσχολικών δραστηριοτήτων του κύκλου "Νέος μαθηματικός" για τις τάξεις 1-4 Εξωσχολικό πρόγραμμα

Θέμα Ι. Πρόβλημα ισοτιμίας 1. Ο τετράγωνος πίνακας 25 25 είναι χρωματισμένος σε 25 χρώματα έτσι ώστε κάθε σειρά και κάθε στήλη να περιέχει όλα τα χρώματα. Να αποδείξετε ότι αν η διάταξη των χρωμάτων είναι συμμετρική ως προς

1. Σετ. Πράξεις στα σύνολα 1. Είναι αλήθεια ότι για οποιαδήποτε σύνολα A, B ισχύει η ισότητα A \ (A \ B) A B; 2. Είναι αλήθεια ότι για οποιαδήποτε σύνολα A, B η ισότητα (A \ B) (B \ A)

Κωδικός ενότητας Απαιτήσεις (δεξιότητες) που ελέγχθηκαν με τελικές εργασίες Ανοιχτή τράπεζα εργασιών με θέμα «Μαθηματικά» για μαθητές της Δ’ τάξης Εργασίες 4. ΧΩΡΙΚΟΙ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ

Εικόνα πολυέδρων Μια εικόνα παρόμοια με την προβολή της σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο λαμβάνεται ως εικόνα μιας φιγούρας. Επιλέγεται μια εικόνα που δίνει μια σωστή ιδέα για το σχήμα του σχήματος, είναι

Εργασίες για την 5η τάξη Ο ιστότοπος στοιχειωδών μαθηματικών του Dmitri Gushchin www.mathnet.spb.ru σε ένα πλαίσιο 5. Ποιος κερδίζει αν παίξει καλύτερα; 2. Σχεδιάζονται γραμμές στο τετράγωνο 5 5 χωρίζοντάς το σε

Τμήμα Παιδείας της Περιφερειακής Διοίκησης Krasnogvardeisky Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα "Kalinovskaya δευτεροβάθμιο σχολείο" Εγκρίνω: Διευθυντής του MBOU "Kalinovskaya δευτεροβάθμιο σχολείο" Belousova

Δωδέκατη Πανρωσική Ολυμπιάδα Γεωμετρίας. I. F. Sharygina Δέκατη τέταρτη Προφορική Ολυμπιάδα στη Γεωμετρία Μόσχα, 17 Απριλίου 2016 Λύσεις προβλημάτων 8 9 τάξη 1. (A. Blinkov) Σε ένα εξάγωνο είναι ίσα

Εργασίες Ζ -11.5.16. S πλευρά = P κύρια. * Τύπος H για εύρεση της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος Г -11.5.17. S πλευρά = 1 P κύρια. * h τύπος για την εύρεση της πλευράς 2 της επιφάνειας της πυραμίδας 6. Διάφορα προβλήματα Г-10.6.1.

VIII ομαδικό-προσωπικό τουρνουά "Mathematical all-around" 27 Νοεμβρίου 2015, Μόσχα Γεωμετρία (λύσεις) Junior league 1. Δίνεται ένας κύκλος και η χορδή του. Οι εφαπτομένες σχεδιάζονται στα άκρα της χορδής στον κύκλο

1. Σχεδιάστηκε μια φιγούρα σε καρό χαρτί. Το χωρίζουμε στα 4 ίσα
μέρη κατά μήκος των γραμμών από καρό χαρτί. Βρείτε όλα τα πιθανά σχήματα για τα οποία
μπορείτε να κόψετε αυτόν τον αριθμό ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος.
Λύση.
2. Από το τετράγωνο 5 5 κόψτε το κεντρικό κελί. Κόψτε το προκύπτον
χωρίζονται σε δύο ίσα μέρη με δύο τρόπους.
Λύση.

3. Χωρίστε το παραλληλόγραμμο 3×4 σε δύο ίσα μέρη. Βρείτε πώς μπορείτε
περισσότερους τρόπους. Μπορείτε να κόψετε μόνο κατά μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου 1 × 1 και μεθόδους
θεωρούνται διαφορετικά εάν τα στοιχεία που προκύπτουν δεν είναι ίσα για το καθένα
τρόπος.
Λύση.
4. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε 2 ίσα μέρη.
Λύση.
5. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε 2 ίσα μέρη.

Λύση.
6. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε δύο ίσα μέρη κατά μήκος
γραμμές πλέγματος και σε κάθε ένα από τα μέρη πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος.
Λύση.
7. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε τέσσερα ίσα μέρη

Λύση.

8. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε τέσσερα ίσα μέρη
κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος και σε κάθε ένα από τα μέρη πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος.
Λύση.
9. Κόψτε αυτό το τετράγωνο κατά μήκος των πλευρών των κελιών έτσι ώστε όλα τα μέρη
να είναι του ίδιου μεγέθους και σχήματος και να περιέχει το καθένα από ένα
κούπα και σταυρός.
Λύση.

10. Κόψτε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος
τέσσερα ίσα μέρη και τα διπλώνουμε σε ένα τετράγωνο ώστε οι κύκλοι και οι σταυροί
που βρίσκεται συμμετρικά ως προς όλους τους άξονες συμμετρίας του τετραγώνου.
Λύση.
11. Κόψτε το τετράγωνο 6  6 κελιά που φαίνεται στο σχήμα στα τέσσερα
πανομοιότυπα μέρη έτσι ώστε καθένα από αυτά να περιέχει τρία γεμάτα κελιά.

Λύση.
12. Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε κάθε μέρος
ήταν σε επαφή με τα άλλα τρία (τα μέρη βρίσκονται σε επαφή αν έχουν κοινό
συνοριακή περιοχή);
Λύση.
13. Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα ορθογώνιο 9 4 κελιών σε δύο ίσα μέρη κατά μήκος

τότε πώς να το κάνουμε;
Λύση Το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι 36 κελιά, δηλαδή η πλευρά του είναι 6
κύτταρα. Η μέθοδος κοπής φαίνεται στο σχήμα.

14. Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα ορθογώνιο 5 10 κελιών σε δύο ίσα μέρη κατά μήκος
τις πλευρές των κελιών ώστε να μπορούν να σχηματίσουν ένα τετράγωνο; Αν ναι,
τότε πώς να το κάνουμε;
Λύση Το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι 50 κελιά, δηλαδή η πλευρά του είναι
περισσότερα από 7, αλλά λιγότερα από 8 ολόκληρα κύτταρα. Έτσι, για να κόψετε ένα τέτοιο ορθογώνιο
με τον απαιτούμενο τρόπο στις πλευρές των κυψελών είναι αδύνατο.
15. Υπήρχαν 9 φύλλα χαρτιού. Μερικά από αυτά κόπηκαν σε τρία μέρη. Σύνολο
έγιναν 15 φύλλα. Πόσα φύλλα χαρτιού κόπηκαν;
Λύση Κόψτε 3 φύλλα: 3 ∙ 3 + 6 = 15.