Ο τύπος για την περιφέρεια ενός κύκλου από γνωστή διάμετρο. Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου: χρησιμοποιώντας τη διάμετρο και την ακτίνα

Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, της οποίας όλα τα σημεία βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο. Αυτό το σχήμα είναι επίπεδο. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα, το ερώτημα του οποίου είναι πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου, είναι αρκετά απλή. Όλες οι διαθέσιμες μέθοδοι, θα εξετάσουμε στο σημερινό άρθρο.

Περιγραφές σχημάτων

Εκτός από έναν αρκετά απλό περιγραφικό ορισμό, υπάρχουν τρία ακόμη μαθηματικά χαρακτηριστικά ενός κύκλου, τα οποία από μόνα τους περιέχουν την απάντηση στο ερώτημα πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου:

• Αποτελείται από τα σημεία Α και Β και όλα τα άλλα από τα οποία το ΑΒ φαίνεται σε ορθή γωνία. Η διάμετρος αυτού του σχήματος είναι ίση με το μήκος του υπό εξέταση τμήματος.
• Περιλαμβάνει μόνο σημεία Χ έτσι ώστε η αναλογία ΑΧ/ΒΧ να είναι σταθερή και όχι ίση με ένα. Αν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε δεν είναι κύκλος.
• Αποτελείται από σημεία, για καθένα από τα οποία ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων προς τα άλλα δύο είναι μια δεδομένη τιμή, η οποία είναι πάντα μεγαλύτερη από το μισό του μήκους του τμήματος μεταξύ τους.

Ορολογία

Δεν είχαν όλοι στο σχολείο καλό δάσκαλο μαθηματικών. Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου περιπλέκεται επίσης από το γεγονός ότι δεν γνωρίζουν όλοι τις βασικές γεωμετρικές έννοιες. Ακτίνα - ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο του σχήματος με ένα σημείο στην καμπύλη. Ειδική περίπτωση στην τριγωνομετρία είναι ο μοναδιαίος κύκλος. Μια χορδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε μια καμπύλη. Για παράδειγμα, το ήδη θεωρημένο AB εμπίπτει σε αυτόν τον ορισμό. Η διάμετρος είναι μια χορδή που περνά από το κέντρο. Ο αριθμός π είναι ίσος με το μήκος του μοναδιαίου ημικυκλίου.

Βασικές φόρμουλες

Οι γεωμετρικοί τύποι απορρέουν άμεσα από τους ορισμούς, οι οποίοι σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τα κύρια χαρακτηριστικά του κύκλου:

1. Το μήκος είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π και της διαμέτρου. Ο τύπος συνήθως γράφεται ως εξής: C = π*D.
2. Η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί με τον υπολογισμό του πηλίκου της διαίρεσης της περιφέρειας με το διπλάσιο του αριθμού π. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: R = C/(2* π) = D/2.
3. Η διάμετρος είναι ίση με την περιφέρεια διαιρούμενη με το π ή δύο φορές την ακτίνα. Ο τύπος είναι αρκετά απλός και μοιάζει με αυτό: D = C/π = 2*R.
4. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π και του τετραγώνου της ακτίνας. Ομοίως, η διάμετρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτόν τον τύπο. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν θα είναι ίσο με το πηλίκο της διαίρεσης του γινομένου του αριθμού π και του τετραγώνου της διαμέτρου με το τέσσερα. Ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως εξής: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου από μια διάμετρο

Για απλότητα της επεξήγησης, δηλώνουμε με γράμματα τα χαρακτηριστικά του αριθμού που είναι απαραίτητα για τον υπολογισμό. Έστω C το επιθυμητό μήκος, D η διάμετρός του και έστω pi περίπου 3,14. Εάν έχουμε μόνο μία γνωστή ποσότητα, τότε το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί λυμένο. Γιατί είναι απαραίτητο στη ζωή; Ας υποθέσουμε ότι αποφασίσαμε να περικλείσουμε μια στρογγυλή πισίνα με φράχτη. Πώς να υπολογίσετε τον απαιτούμενο αριθμό στηλών; Και εδώ έρχεται στη διάσωση η ικανότητα υπολογισμού της περιφέρειας ενός κύκλου. Ο τύπος έχει ως εξής: C = π D. Στο παράδειγμά μας, η διάμετρος προσδιορίζεται με βάση την ακτίνα της πισίνας και την απαιτούμενη απόσταση από τον φράχτη. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η τεχνητή δεξαμενή του σπιτιού μας έχει πλάτος 20 μέτρα και πρόκειται να τοποθετήσουμε στύλους σε απόσταση δέκα μέτρων από αυτήν. Η διάμετρος του κύκλου που προκύπτει είναι 20 + 10 * 2 = 40 μ. Το μήκος είναι 3,14 * 40 = 125,6 μέτρα. Θα χρειαστούμε 25 στήλες αν το κενό μεταξύ τους είναι περίπου 5 m.

Μήκος διαμέσου της ακτίνας

Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε αναθέτοντας κύκλους γραμμάτων σε χαρακτηριστικά. Στην πραγματικότητα, είναι καθολικές, επομένως οι μαθηματικοί από διαφορετικές χώρες δεν χρειάζεται να γνωρίζουν ο ένας τη γλώσσα του άλλου. Ας υποθέσουμε ότι C είναι η περιφέρεια ενός κύκλου, r είναι η ακτίνα του και π είναι περίπου 3,14. Ο τύπος μοιάζει με αυτόν σε αυτήν την περίπτωση: C = 2*π*r. Προφανώς, πρόκειται για μια απολύτως σωστή ισότητα. Όπως έχουμε ήδη καταλάβει, η διάμετρος ενός κύκλου είναι ίση με το διπλάσιο της ακτίνας του, οπότε αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτόν. Στη ζωή, αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης συχνά να είναι χρήσιμη. Για παράδειγμα, ψήνουμε ένα κέικ σε ειδική συρόμενη φόρμα. Για να μην λερωθεί χρειαζόμαστε διακοσμητικό περιτύλιγμα. Αλλά πώς να κόψετε έναν κύκλο του επιθυμητού μεγέθους. Εδώ έρχονται να σώσουν τα μαθηματικά. Όσοι ξέρουν πώς να μάθουν την περιφέρεια ενός κύκλου θα πουν αμέσως ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό π με το διπλάσιο της ακτίνας του σχήματος. Εάν η ακτίνα του είναι 25 εκατοστά, τότε το μήκος θα είναι 157 εκατοστά.

Παραδείγματα εργασιών

Έχουμε ήδη εξετάσει αρκετές πρακτικές περιπτώσεις της αποκτηθείσας γνώσης για το πώς να ανακαλύψουμε την περιφέρεια ενός κύκλου. Συχνά όμως δεν μας απασχολούν αυτά, αλλά τα πραγματικά μαθηματικά προβλήματα που περιέχονται στο σχολικό βιβλίο. Άλλωστε ο δάσκαλος τους δίνει πόντους! Επομένως, ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα αυξημένης πολυπλοκότητας. Ας υποθέσουμε ότι η περιφέρεια είναι 26 εκ. Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός τέτοιου σχήματος;

Παράδειγμα Λύσης

Αρχικά, ας γράψουμε τι μας δίνεται: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Θυμηθείτε επίσης τον τύπο: C = 2* π*R. Από αυτό μπορείτε να εξαγάγετε την ακτίνα του κύκλου. Έτσι, R= C/2/π. Τώρα ας προχωρήσουμε στον άμεσο υπολογισμό. Αρχικά, διαιρέστε το μήκος με δύο. Παίρνουμε 13. Τώρα πρέπει να διαιρέσουμε με την τιμή του αριθμού π: 13 / 3,14 \u003d 4,14 εκ. Είναι σημαντικό να μην ξεχάσουμε να γράψουμε σωστά την απάντηση, δηλαδή με μονάδες μέτρησης, διαφορετικά όλο το πρακτικό χάνεται το νόημα τέτοιων προβλημάτων. Επιπλέον, για μια τέτοια απροσεξία, μπορείτε να πάρετε μια βαθμολογία χαμηλότερη. Και όσο ενοχλητικό κι αν είναι, πρέπει να ανεχτείς αυτή την κατάσταση.

Το θηρίο δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο είναι ζωγραφισμένο

Έτσι καταλάβαμε με την πρώτη ματιά ένα τόσο δύσκολο έργο. Όπως αποδείχθηκε, πρέπει απλώς να κατανοήσετε την έννοια των όρων και να θυμάστε μερικές εύκολες φόρμουλες. Τα μαθηματικά δεν είναι τόσο τρομακτικά, απλά πρέπει να κάνετε λίγη προσπάθεια. Η γεωμετρία λοιπόν σας περιμένει!

Πολλά αντικείμενα στον κόσμο γύρω μας είναι στρογγυλά. Πρόκειται για τροχούς, στρογγυλά ανοίγματα παραθύρων, σωλήνες, διάφορα σκεύη και πολλά άλλα. Μπορείτε να υπολογίσετε την περιφέρεια ενός κύκλου γνωρίζοντας τη διάμετρο ή την ακτίνα του.

Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί αυτού του γεωμετρικού σχήματος.

• Είναι μια κλειστή καμπύλη που αποτελείται από σημεία που βρίσκονται στην ίδια απόσταση από ένα δεδομένο σημείο.
• Αυτή είναι μια καμπύλη που αποτελείται από τα σημεία Α και Β, που είναι τα άκρα του τμήματος, και όλα τα σημεία από τα οποία τα Α και Β είναι ορατά σε ορθή γωνία. Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα ΑΒ είναι η διάμετρος.
• Για το ίδιο τμήμα AB, αυτή η καμπύλη περιλαμβάνει όλα τα σημεία C έτσι ώστε ο λόγος AC/BC να είναι σταθερός και να μην ισούται με 1.
• Αυτή είναι μια καμπύλη που αποτελείται από σημεία για τα οποία ισχύει το εξής: αν προσθέσετε τα τετράγωνα των αποστάσεων από ένα σημείο σε δύο δεδομένα άλλα σημεία Α και Β, θα έχετε έναν σταθερό αριθμό μεγαλύτερο από το 1/2 του τμήματος που συνδέει το Α και το Α και ΣΙ. Αυτός ο ορισμός προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Σημείωση!Υπάρχουν και άλλοι ορισμοί. Ένας κύκλος είναι μια περιοχή μέσα σε έναν κύκλο. Η περίμετρος ενός κύκλου είναι το μήκος του. Σύμφωνα με διάφορους ορισμούς, ένας κύκλος μπορεί να περιλαμβάνει ή όχι την ίδια την καμπύλη, η οποία είναι το όριό της.

Ορισμός κύκλου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Πώς να υπολογίσετε την περιφέρεια ενός κύκλου χρησιμοποιώντας την ακτίνα; Αυτό γίνεται με έναν απλό τύπο:

όπου L είναι η επιθυμητή τιμή,

Το π είναι ο αριθμός pi, περίπου ίσος με 3,1413926.

Συνήθως, για να βρείτε την επιθυμητή τιμή, αρκεί να χρησιμοποιήσετε π μέχρι το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή 3,14, αυτό θα παρέχει την επιθυμητή ακρίβεια. Στις αριθμομηχανές, ιδιαίτερα στις μηχανικές, μπορεί να υπάρχει ένα κουμπί που εισάγει αυτόματα την τιμή του αριθμού π.

Σημειογραφία

Για να βρείτε τη διάμετρο, υπάρχει ο ακόλουθος τύπος:

Εάν το L είναι ήδη γνωστό, μπορείτε εύκολα να μάθετε την ακτίνα ή τη διάμετρο. Για να γίνει αυτό, το L πρέπει να διαιρεθεί με 2π ή π, αντίστοιχα.

Εάν έχει ήδη δοθεί ένας κύκλος, πρέπει να καταλάβετε πώς να βρείτε την περιφέρεια από αυτά τα δεδομένα. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι S = πR2. Από εδώ βρίσκουμε την ακτίνα: R = √(S/π). Επειτα

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Ο υπολογισμός του εμβαδού σε L είναι επίσης εύκολος: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι:

• μέσω της ακτίνας – L = 2πR;
• μέσω της διαμέτρου - L = πD;
• μέσα από την περιοχή ενός κύκλου – L = 2√(Sπ).

Πι

Χωρίς τον αριθμό π, δεν θα είναι δυνατή η επίλυση του προβλήματος που εξετάζουμε. Ο αριθμός π βρέθηκε για πρώτη φορά ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Αυτό το έκαναν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι και Ινδοί. Το βρήκαν με μεγάλη ακρίβεια - τα αποτελέσματά τους διέφεραν από τη γνωστή πλέον τιμή του π όχι περισσότερο από 1%. Η σταθερά προσεγγίστηκε με κλάσματα όπως 25/8, 256/81, 339/108.

Περαιτέρω, η τιμή αυτής της σταθεράς εξετάστηκε όχι μόνο από την άποψη της γεωμετρίας, αλλά και από την άποψη της μαθηματικής ανάλυσης μέσω των αθροισμάτων σειρών. Ο συμβολισμός αυτής της σταθεράς με το ελληνικό γράμμα π χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον William Jones το 1706, και έγινε δημοφιλής μετά το έργο του Euler.

Είναι πλέον γνωστό ότι αυτή η σταθερά είναι ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, είναι παράλογη, δηλαδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως λόγος δύο ακεραίων. Με τη βοήθεια υπολογισμών σε υπερυπολογιστές το 2011, έμαθαν το πρόσημο των 10 τρισεκατομμυρίων μιας σταθεράς.

Είναι ενδιαφέρον!Για την απομνημόνευση των πρώτων χαρακτήρων του αριθμού π, επινοήθηκαν διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ορισμένα σάς επιτρέπουν να αποθηκεύετε μεγάλο αριθμό ψηφίων στη μνήμη, για παράδειγμα, ένα γαλλικό ποίημα θα σας βοηθήσει να θυμάστε pi έως 126 χαρακτήρες.

Εάν χρειάζεστε την περιφέρεια, η ηλεκτρονική αριθμομηχανή θα σας βοηθήσει σε αυτό. Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμομηχανές, πρέπει μόνο να εισαγάγουν την ακτίνα ή τη διάμετρο. Ορισμένοι από αυτούς έχουν και τις δύο αυτές επιλογές, άλλοι υπολογίζουν το αποτέλεσμα μόνο μέσω του R. Ορισμένοι αριθμομηχανές μπορούν να υπολογίσουν την επιθυμητή τιμή με διαφορετική ακρίβεια, πρέπει να καθορίσετε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Επίσης, χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικές αριθμομηχανές, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή ενός κύκλου.

Τέτοιοι αριθμομηχανές είναι εύκολο να βρεθούν με οποιαδήποτε μηχανή αναζήτησης. Υπάρχουν επίσης εφαρμογές για κινητά που θα βοηθήσουν στην επίλυση του προβλήματος του πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου.

Χρήσιμο βίντεο: περιφέρεια

Πρακτική χρήση

Η επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος είναι τις περισσότερες φορές απαραίτητη για μηχανικούς και αρχιτέκτονες, αλλά στην καθημερινή ζωή, η γνώση των απαραίτητων τύπων μπορεί επίσης να είναι χρήσιμη. Για παράδειγμα, απαιτείται να τυλίξετε ένα κέικ ψημένο σε μια φόρμα με διάμετρο 20 cm με μια λωρίδα χαρτιού. Τότε δεν θα είναι δύσκολο να βρείτε το μήκος αυτής της λωρίδας:

L \u003d πD \u003d 3,14 * 20 \u003d 62,8 cm.

Ένα άλλο παράδειγμα: πρέπει να χτίσετε έναν φράχτη γύρω από μια κυκλική πισίνα σε μια ορισμένη απόσταση. Εάν η ακτίνα της πισίνας είναι 10 m και ο φράκτης πρέπει να τοποθετηθεί σε απόσταση 3 m, τότε το R για τον κύκλο που προκύπτει θα είναι 13 m. Τότε το μήκος του είναι:

L \u003d 2πR \u003d 2 * 3,14 * 13 \u003d 81,68 m.

Χρήσιμο βίντεο: κύκλος - ακτίνα, διάμετρος, περιφέρεια

Αποτέλεσμα

Η περίμετρος ενός κύκλου είναι εύκολο να υπολογιστεί με απλούς τύπους που περιλαμβάνουν διάμετρο ή ακτίνα. Μπορείτε επίσης να βρείτε την επιθυμητή τιμή μέσα από την περιοχή του κύκλου. Οι ηλεκτρονικές αριθμομηχανές ή οι εφαρμογές για κινητές συσκευές θα σας βοηθήσουν να λύσετε αυτό το πρόβλημα, στο οποίο πρέπει να εισαγάγετε έναν μόνο αριθμό - διάμετρο ή ακτίνα.

Σε επαφή με

Πολύ συχνά, κατά την επίλυση σχολικών εργασιών στη φυσική ή τη φυσική, τίθεται το ερώτημα - πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου, γνωρίζοντας τη διάμετρο; Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν δυσκολίες στην επίλυση αυτού του προβλήματος, απλά πρέπει να καταλάβετε ξεκάθαρα τι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι, απαιτούνται έννοιες και ορισμοί για αυτό.

Σε επαφή με

Βασικές έννοιες και ορισμοί

1. Η ακτίνα είναι η γραμμή που συνδέει το κέντρο του κύκλου και το αυθαίρετο σημείο του. Συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα r.
2. Μια χορδή είναι μια γραμμή που συνδέει δύο αυθαίρετα σημεία σε έναν κύκλο.
3. Η διάμετρος είναι η γραμμή που συνδέει δύο σημεία ενός κύκλου και περνώντας από το κέντρο του. Συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα d.
4. - αυτή είναι μια γραμμή που αποτελείται από όλα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα επιλεγμένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του. Το μήκος του θα συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα l.

Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ολόκληρη η περιοχή περικλείεται σε κύκλο. Είναι μετρημένο σε τετραγωνικές μονάδεςκαι συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα s.

Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς μας, συμπεραίνουμε ότι η διάμετρος ενός κύκλου είναι ίση με τη μεγαλύτερη χορδή του.

Προσοχή!Από τον ορισμό της ακτίνας ενός κύκλου, μπορείτε να μάθετε ποια είναι η διάμετρος ενός κύκλου. Αυτές είναι δύο ακτίνες που βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις!

Διάμετρος κύκλου.

Εύρεση της περιφέρειας ενός κύκλου και του εμβαδού του

Αν μας δοθεί η ακτίνα ενός κύκλου, τότε η διάμετρος του κύκλου περιγράφεται από τον τύπο d = 2*r. Έτσι, για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε τη διάμετρο ενός κύκλου, γνωρίζοντας την ακτίνα του, αρκεί το τελευταίο πολλαπλασιάστε επί δύο.

Ο τύπος για την περιφέρεια ενός κύκλου, εκφρασμένος ως προς την ακτίνα του, είναι l \u003d 2 * P * r.

Προσοχή!Το λατινικό γράμμα P (Pi) υποδηλώνει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και αυτό είναι ένα μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Στα σχολικά μαθηματικά θεωρείται ότι είναι γνωστή τιμή πίνακα ίση με 3,14!

Τώρα ας ξαναγράψουμε τον προηγούμενο τύπο για να βρούμε την περιφέρεια ενός κύκλου ως προς τη διάμετρό του, θυμόμαστε ποια είναι η διαφορά του σε σχέση με την ακτίνα. Παίρνω: l \u003d 2 * P * r \u003d 2 * r * P \u003d P * d.

Από το μάθημα των μαθηματικών είναι γνωστό ότι ο τύπος που περιγράφει την περιοχή ενός κύκλου έχει τη μορφή: s \u003d P * r ^ 2.

Τώρα ας ξαναγράψουμε τον προηγούμενο τύπο για να βρούμε το εμβαδόν ενός κύκλου ως προς τη διάμετρό του. Παίρνουμε

s = P*r^2 = P*d^2/4.

Ένα από τα πιο δύσκολα καθήκοντα σε αυτό το θέμα είναι ο προσδιορισμός της περιοχής ενός κύκλου ως προς την περιφέρεια και αντίστροφα. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι s = P*r^2 και l = 2*P*r. Από εδώ παίρνουμε r = l/(2*П). Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα έκφραση για την ακτίνα στον τύπο για την περιοχή, παίρνουμε: s = l^2/(4P). Η περιφέρεια ενός κύκλου προσδιορίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ως προς το εμβαδόν ενός κύκλου.

Προσδιορισμός μήκους και διαμέτρου ακτίνας

Σπουδαίος!Πρώτα απ 'όλα, θα μάθουμε πώς να μετράμε τη διάμετρο. Είναι πολύ απλό - σχεδιάζουμε οποιαδήποτε ακτίνα, την επεκτείνουμε προς την αντίθετη κατεύθυνση μέχρι να διασταυρωθεί με το τόξο. Μετράμε την απόσταση που προκύπτει με πυξίδα και με τη βοήθεια οποιουδήποτε μετρικού εργαλείου ανακαλύπτουμε τι ψάχνουμε!

Ας απαντήσουμε στην ερώτηση πώς να μάθουμε τη διάμετρο ενός κύκλου, γνωρίζοντας το μήκος του. Για να γίνει αυτό, το εκφράζουμε από τον τύπο l \u003d P * d. Παίρνουμε d = l/P.

Ξέρουμε ήδη πώς να βρούμε τη διάμετρό του από την περιφέρεια ενός κύκλου και θα βρούμε την ακτίνα με τον ίδιο τρόπο.

l \u003d 2 * P * r, επομένως r \u003d l / 2 * P. Γενικά, για να βρεθεί η ακτίνα, πρέπει να εκφραστεί ως προς τη διάμετρο και το αντίστροφο.

Ας τώρα απαιτείται να προσδιοριστεί η διάμετρος, γνωρίζοντας την περιοχή του κύκλου. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι s \u003d P * d ^ 2/4. Εκφράζουμε από εδώ δ. Αποδεικνύεται d^2 = 4*s/P. Για να προσδιορίσετε την ίδια τη διάμετρο, πρέπει να εξαγάγετε τετραγωνική ρίζα της δεξιάς πλευράς. Αποδεικνύεται d \u003d 2 * sqrt (s / P).

Λύση τυπικών εργασιών

1. Μάθετε πώς να βρίσκετε τη διάμετρο δεδομένης της περιφέρειας ενός κύκλου. Έστω ίσο με 778,72 χιλιόμετρα. Πρέπει να βρεθεί δ. d \u003d 778,72 / 3,14 \u003d 248 χιλιόμετρα. Ας θυμηθούμε ποια είναι η διάμετρος και προσδιορίζουμε αμέσως την ακτίνα, για αυτό διαιρούμε την τιμή d που ορίστηκε παραπάνω στο μισό. Αποδεικνύεται r=248/2=124χιλιόμετρα.
2. Σκεφτείτε πώς να βρείτε το μήκος ενός δεδομένου κύκλου, γνωρίζοντας την ακτίνα του. Έστω ότι το r έχει τιμή 8 dm 7 εκ. Ας τα μεταφράσουμε όλα αυτά σε εκατοστά, τότε το r θα είναι ίσο με 87 εκατοστά. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε το άγνωστο μήκος ενός κύκλου. Τότε το επιθυμητό μας θα είναι ίσο με l=2*3,14*87=546,36cm. Ας μεταφράσουμε την τιμή που λάβαμε σε ακέραιους αριθμούς μετρικών τιμών l \u003d 546,36 cm \u003d 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου χρησιμοποιώντας τον τύπο ως προς τη γνωστή διάμετρό του. Έστω d = 815 μέτρα. Θυμηθείτε τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κύκλου. Αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές εδώ, παίρνουμε s \u003d 3,14 * 815 ^ 2/4 \u003d 521416,625 τετρ. Μ.
4. Τώρα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την περιοχή ενός κύκλου, γνωρίζοντας το μήκος της ακτίνας του. Έστω η ακτίνα 38 εκ. Χρησιμοποιούμε τον τύπο που γνωρίζουμε. Αντικαταστήστε εδώ την τιμή που μας δίνεται από συνθήκη. Παίρνετε τα εξής: s \u003d 3,14 * 38 ^ 2 \u003d 4534,16 τετραγωνικά μέτρα. εκ.
5. Η τελευταία εργασία είναι να προσδιορίσετε την περιοχή του κύκλου από τη γνωστή περιφέρεια. Έστω l = 47 μέτρα. s \u003d 47 ^ 2 / (4P) \u003d 2209 / 12,56 \u003d 175,87 τετρ. Μ.

Περιφέρεια

Ένας κύκλος είναι μια καμπύλη γραμμή που περικλείει έναν κύκλο. Στη γεωμετρία, τα σχήματα είναι επίπεδα, επομένως ο ορισμός αναφέρεται σε μια δισδιάστατη εικόνα. Υποτίθεται ότι όλα τα σημεία αυτής της καμπύλης βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο του κύκλου.

Ο κύκλος έχει πολλά χαρακτηριστικά, βάσει των οποίων γίνονται οι υπολογισμοί που σχετίζονται με αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Αυτά περιλαμβάνουν: διάμετρο, ακτίνα, εμβαδόν και περιφέρεια. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι αλληλένδετα, δηλαδή, πληροφορίες για τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία είναι επαρκείς για τον υπολογισμό τους. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα ενός γεωμετρικού σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, μπορείτε να βρείτε την περιφέρεια, τη διάμετρο και το εμβαδόν του.

• Η ακτίνα ενός κύκλου είναι ένα τμήμα μέσα στον κύκλο που συνδέεται με το κέντρο του.
• Η διάμετρος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα μέσα σε έναν κύκλο που συνδέει τα σημεία του και διέρχεται από το κέντρο. Στην πραγματικότητα, η διάμετρος είναι δύο ακτίνες. Αυτός ακριβώς είναι ο τύπος για τον υπολογισμό του: D=2r.
• Υπάρχει ένα άλλο στοιχείο του κύκλου - η χορδή. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο, αλλά δεν διέρχεται πάντα από το κέντρο. Άρα η χορδή που την περνά λέγεται και διάμετρος.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου; Τώρα ας μάθουμε.

Περιφέρεια: τύπος

Το λατινικό γράμμα p έχει επιλεγεί για να υποδηλώσει αυτό το χαρακτηριστικό. Ο Αρχιμήδης απέδειξε επίσης ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ο ίδιος αριθμός για όλους τους κύκλους: είναι ο αριθμός π, ο οποίος είναι περίπου ίσος με 3,14159. Ο τύπος για τον υπολογισμό του π μοιάζει με αυτό: π = p/d. Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή του p είναι ίση με πd, δηλαδή η περιφέρεια: p= πd. Εφόσον η d (διάμετρος) ισούται με δύο ακτίνες, ο ίδιος τύπος περιφέρειας μπορεί να γραφτεί ως p=2πr. Ας εξετάσουμε την εφαρμογή του τύπου χρησιμοποιώντας απλά προβλήματα ως παράδειγμα:

Εργασία 1

Στη βάση της Καμπάνας του Τσάρου, η διάμετρος είναι 6,6 μέτρα. Ποια είναι η περιφέρεια της βάσης του κουδουνιού;

1. Άρα, ο τύπος για τον υπολογισμό του κύκλου είναι p= πd
2. Αντικαθιστούμε την υπάρχουσα τιμή στον τύπο: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Απάντηση: Η περιφέρεια της βάσης της καμπάνας είναι 20,7 μέτρα.

Εργασία 2

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης περιστρέφεται σε απόσταση 320 km από τον πλανήτη. Η ακτίνα της Γης είναι 6370 km. Ποιο είναι το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου;

1. 1. Υπολογίστε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου της Γης: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Υπολογίστε το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου χρησιμοποιώντας τον τύπο: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Απάντηση: το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου της Γης είναι 42013,2 km.

Μέθοδοι μέτρησης της περιφέρειας

Ο υπολογισμός της περιφέρειας ενός κύκλου δεν χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη. Ο λόγος για αυτό είναι η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού π. Στην καθημερινή ζωή, μια ειδική συσκευή χρησιμοποιείται για να βρει το μήκος ενός κύκλου - ένα καμπυλόμετρο. Ένα αυθαίρετο σημείο αναφοράς σημειώνεται στον κύκλο και η συσκευή καθοδηγείται από αυτό αυστηρά κατά μήκος της γραμμής μέχρι να φτάσουν ξανά σε αυτό το σημείο.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου; Απλά πρέπει να έχετε κατά νου απλούς τύπους για υπολογισμούς.

Ένας κύκλος είναι μια σειρά σημείων σε ίση απόσταση από ένα σημείο, το οποίο, με τη σειρά του, είναι το κέντρο αυτού του κύκλου. Ο κύκλος έχει επίσης τη δική του ακτίνα, ίση με την απόσταση αυτών των σημείων από το κέντρο.

Ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ο ίδιος για όλους τους κύκλους. Αυτή η αναλογία είναι ένας αριθμός που είναι μια μαθηματική σταθερά, η οποία συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π .

Προσδιορισμός της περιφέρειας ενός κύκλου

Μπορείτε να υπολογίσετε τον κύκλο χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

L= π D=2 π r

r- ακτίνα κύκλου

ρε- διάμετρος κύκλου

μεγάλο- περιφέρεια

π - 3.14

Μια εργασία:

Υπολογίστε την περιφέρειαμε ακτίνα 10 εκατοστών.

Λύση:

Τύπος για τον υπολογισμό του dyne ενός κύκλουμοιάζει με:

L= π D=2 π r

όπου L είναι η περιφέρεια, π είναι 3,14, r είναι η ακτίνα του κύκλου, D είναι η διάμετρος του κύκλου.

Έτσι, η περιφέρεια ενός κύκλου με ακτίνα 10 εκατοστών είναι:

L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 εκατοστά

Κύκλοςείναι ένα γεωμετρικό σχήμα, το οποίο είναι μια συλλογή όλων των σημείων του επιπέδου, απομακρυσμένα από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του, σε απόσταση που δεν είναι ίση με το μηδέν και ονομάζεται ακτίνα. Οι επιστήμονες γνώριζαν πώς να προσδιορίζουν το μήκος του με διάφορους βαθμούς ακρίβειας ήδη από την αρχαιότητα: οι ιστορικοί της επιστήμης πιστεύουν ότι ο πρώτος τύπος για τον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου συντάχθηκε γύρω στο 1900 π.Χ. στην αρχαία Βαβυλώνα.

Με τέτοια γεωμετρικά σχήματα όπως οι κύκλοι, συναντάμε καθημερινά και παντού. Είναι το σχήμα του που έχει την εξωτερική επιφάνεια των τροχών, οι οποίοι είναι εξοπλισμένοι με διάφορα οχήματα. Αυτή η λεπτομέρεια, παρά την εξωτερική απλότητα και την απλότητά της, θεωρείται μια από τις μεγαλύτερες εφευρέσεις της ανθρωπότητας και είναι ενδιαφέρον ότι οι ιθαγενείς της Αυστραλίας και οι Ινδιάνοι της Αμερικής, μέχρι την άφιξη των Ευρωπαίων, δεν είχαν καμία απολύτως ιδέα για το τι ήταν.

Κατά πάσα πιθανότητα, οι πρώτοι τροχοί ήταν κομμάτια κορμών που ήταν τοποθετημένα σε έναν άξονα. Σταδιακά, ο σχεδιασμός του τροχού βελτιώθηκε, ο σχεδιασμός τους γινόταν όλο και πιο περίπλοκος και για την κατασκευή τους ήταν απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν πολλά διαφορετικά εργαλεία. Πρώτα εμφανίστηκαν τροχοί, αποτελούμενοι από ξύλινο χείλος και ακτίνες και στη συνέχεια, για να μειώσουν τη φθορά στην εξωτερική τους επιφάνεια, άρχισαν να το επενδύουν με μεταλλικές λωρίδες. Προκειμένου να προσδιοριστούν τα μήκη αυτών των στοιχείων, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο τύπος για τον υπολογισμό της περιφέρειας (αν και στην πράξη, πιθανότατα, οι τεχνίτες το έκαναν "με το μάτι" ή απλώς ζούσαν τον τροχό με μια λωρίδα και έκοψαν τα απαιτούμενα τμήμα του).

πρέπει να σημειωθεί ότι ρόδαδεν χρησιμοποιείται σε καμία περίπτωση μόνο σε οχήματα. Για παράδειγμα, ο τροχός του αγγειοπλάστη έχει το σχήμα του, καθώς και στοιχεία από γρανάζια γραναζιών που χρησιμοποιούνται ευρέως στην τεχνολογία. Από την αρχαιότητα, οι τροχοί χρησιμοποιούνταν για την κατασκευή νερόμυλων (οι παλαιότερες κατασκευές αυτού του είδους που είναι γνωστές στους επιστήμονες κατασκευάστηκαν στη Μεσοποταμία), καθώς και ρόδες που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή νημάτων από ζωικό μαλλί και φυτικές ίνες.

κύκλουςσυναντάται συχνά στις κατασκευές. Το σχήμα τους είναι αρκετά διαδεδομένα στρογγυλά παράθυρα, πολύ χαρακτηριστικό του ρωμανικού αρχιτεκτονικού στυλ. Η κατασκευή αυτών των κατασκευών είναι ένα πολύ δύσκολο έργο και απαιτεί υψηλή δεξιοτεχνία, καθώς και τη διαθεσιμότητα ενός ειδικού εργαλείου. Μία από τις ποικιλίες στρογγυλών παραθύρων είναι οι φινιστρίνιες που εγκαθίστανται σε πλοία και αεροσκάφη.

Έτσι, οι μηχανικοί σχεδιασμού συχνά πρέπει να λύσουν το πρόβλημα του προσδιορισμού της περιφέρειας ενός κύκλου, αναπτύσσοντας διάφορες μηχανές, μηχανισμούς και συγκροτήματα, καθώς και αρχιτέκτονες και σχεδιαστές. Από τον αριθμό π απαραίτητο για αυτό είναι άπειρο, τότε δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός αυτής της παραμέτρου με απόλυτη ακρίβεια, και ως εκ τούτου, οι υπολογισμοί λαμβάνουν υπόψη αυτόν τον βαθμό του, ο οποίος σε μια συγκεκριμένη περίπτωση είναι απαραίτητος και επαρκής.