Τι είναι τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές. Ιδιοτιμές (αριθμοί) και ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα λύσεων

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργεί αυτόματα το Wolfram Alpha. Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και νομίζω ότι θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε συνεχώς μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax, μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς συμβολισμούς σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) ανεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος είναι πιο περίπλοκη και χρονοβόρα και θα σας επιτρέψει να επιταχύνετε τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο, καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και μέσα σε 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ των ετικετών καιή αμέσως μετά την ετικέτα . Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί και φορτώνει αυτόματα τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, τότε θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν επικολλήσετε τον δεύτερο κώδικα, τότε οι σελίδες θα φορτωθούν πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του παραπάνω κώδικα φόρτωσης και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στο η αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να ενσωματώσετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Βγαίνει ένα σετ που αποτελείται από 20 εναπομείναντες μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία επ' αόριστον, παίρνουμε το σφουγγάρι Menger.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΜΟΙΟΓΕΝΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ένα σύστημα ομοιογενών γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα της μορφής

Είναι σαφές ότι στην προκειμένη περίπτωση , επειδή όλα τα στοιχεία μιας από τις στήλες σε αυτές τις ορίζουσες είναι ίσα με μηδέν.

Αφού τα άγνωστα βρίσκονται από τους τύπους , τότε στην περίπτωση που Δ ≠ 0, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση μηδέν Χ = y = z= 0. Ωστόσο, σε πολλά προβλήματα ενδιαφέρει το ερώτημα εάν ένα ομοιογενές σύστημα έχει λύσεις άλλες από το μηδέν.

Θεώρημα.Για να έχει ένα σύστημα γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό Δ ≠ 0.

Άρα, αν η ορίζουσα είναι Δ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Αν Δ ≠ 0, τότε το σύστημα γραμμικών ομογενών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Παραδείγματα.

Ιδιοδιανύσματα και Ιδιοτιμές Πίνακα

Ας δοθεί ένας τετραγωνικός πίνακας , Χείναι κάποια μήτρα-στήλη της οποίας το ύψος συμπίπτει με τη σειρά του πίνακα ΕΝΑ. .

Σε πολλά προβλήματα, πρέπει κανείς να εξετάσει την εξίσωση για Χ

όπου λ είναι κάποιος αριθμός. Είναι σαφές ότι για οποιοδήποτε λ αυτή η εξίσωση έχει μηδενική λύση .

Ο αριθμός λ για τον οποίο αυτή η εξίσωση έχει μη μηδενικές λύσεις ονομάζεται ιδιοτιμήμήτρες ΕΝΑ, ένα Χγια τέτοιο λ λέγεται δικό του διάνυσμαμήτρες ΕΝΑ.

Ας βρούμε το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα ΕΝΑ. Επειδή η μι∙Χ=Χ, τότε η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφτεί ως ή . Σε διευρυμένη μορφή, αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Πραγματικά .

Και ως εκ τούτου

Έτσι, πήραμε ένα σύστημα ομοιογενών γραμμικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων x 1, x2, x 3διάνυσμα Χ. Για να έχει το σύστημα μη μηδενικές λύσεις, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζουσα του συστήματος να είναι ίση με το μηδέν, δηλ.

Αυτή είναι μια εξίσωση 3ου βαθμού ως προς το λ. Λέγεται χαρακτηριστική εξίσωσημήτρες ΕΝΑκαι χρησιμεύει για τον προσδιορισμό των ιδιοτιμών λ.

Κάθε ιδιοτιμή λ αντιστοιχεί σε ένα ιδιοδιάνυσμα Χ, των οποίων οι συντεταγμένες προσδιορίζονται από το σύστημα στην αντίστοιχη τιμή του λ.

Παραδείγματα.

ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Κατά τη μελέτη διαφόρων κλάδων της φυσικής, υπάρχουν ποσότητες που καθορίζονται πλήρως με τον καθορισμό των αριθμητικών τους τιμών, για παράδειγμα, μήκος, εμβαδόν, μάζα, θερμοκρασία κ.λπ. Τέτοιες τιμές ονομάζονται βαθμωτές. Ωστόσο, εκτός από αυτά, υπάρχουν και ποσότητες, για τον προσδιορισμό των οποίων, εκτός από την αριθμητική τιμή, είναι επίσης απαραίτητο να γνωρίζουμε την κατεύθυνσή τους στο χώρο, για παράδειγμα, η δύναμη που ασκεί στο σώμα, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος όταν κινείται στο χώρο, την ένταση του μαγνητικού πεδίου σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου κ.λπ. Τέτοιες ποσότητες ονομάζονται διανυσματικές ποσότητες.

Ας εισάγουμε έναν αυστηρό ορισμό.

Κατευθυντικό τμήμαΑς ονομάσουμε ένα τμήμα, σε σχέση με τα άκρα του οποίου είναι γνωστό ποιο από αυτά είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο.

Διάνυσμαονομάζεται ένα κατευθυνόμενο τμήμα, που έχει ορισμένο μήκος, δηλ. Αυτό είναι ένα τμήμα συγκεκριμένου μήκους, στο οποίο ένα από τα σημεία που το περιορίζουν λαμβάνεται ως αρχή και το δεύτερο ως τέλος. Αν ένα ΕΝΑείναι η αρχή του διανύσματος, σιείναι το τέλος του, τότε το διάνυσμα συμβολίζεται με το σύμβολο, επιπλέον, το διάνυσμα συχνά υποδηλώνεται με ένα μόνο γράμμα . Στο σχήμα, το διάνυσμα υποδεικνύεται με ένα τμήμα και η κατεύθυνσή του με ένα βέλος.

μονάδα μέτρησηςή μήκοςδιάνυσμα ονομάζεται το μήκος του κατευθυνόμενου τμήματος που το ορίζει. Συμβολίζεται με || ή ||.

Το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα, του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν, θα αναφέρεται επίσης ως διανύσματα. Είναι σημειωμένο. Το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει συγκεκριμένη διεύθυνση και το μέτρο του είναι ίσο με μηδέν ||=0.

Διανύσματα και καλούνται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε αυτή την περίπτωση, εάν τα διανύσματα και είναι εξίσου κατευθυνόμενα, θα γράψουμε , αντίθετα.

Τα διανύσματα που βρίσκονται σε ευθείες παράλληλες στο ίδιο επίπεδο ονομάζονται ομοεπίπεδη.

Δύο διανύσματα και λέγονται ίσοςεάν είναι συγγραμμικά, έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε μήκος. Σε αυτήν την περίπτωση, γράψτε .

Από τον ορισμό της ισότητας των διανυσμάτων προκύπτει ότι ένα διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί παράλληλα με τον εαυτό του τοποθετώντας την αρχή του σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου.

Για παράδειγμα.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό.

   Το γινόμενο ενός διανύσματος με έναν αριθμό λ είναι ένα νέο διάνυσμα έτσι ώστε:

   Το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός αριθμού λ συμβολίζεται με .

   

   Για παράδειγμα,είναι ένα διάνυσμα που δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα και έχει μήκος το μισό από αυτό του διανύσματος .

   Η εισαγόμενη λειτουργία έχει τα εξής ιδιότητες:

2. Προσθήκη διανυσμάτων.

   Έστω και είναι δύο αυθαίρετα διανύσματα. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο Οκαι κατασκευάστε ένα διάνυσμα. Μετά από αυτό, από το σημείο ΕΝΑπαραμερίστε το διάνυσμα . Το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του δεύτερου ονομάζεται άθροισμααυτών των διανυσμάτων και συμβολίζεται .

   

   Ο διατυπωμένος ορισμός της πρόσθεσης διανύσματος ονομάζεται κανόνας παραλληλογράμμου, αφού το ίδιο άθροισμα διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί ως εξής. Αφήστε στην άκρη από το σημείο Οφορείς και . Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο σε αυτά τα διανύσματα OABC. Δεδομένου ότι τα διανύσματα , τότε το διάνυσμα , που είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προέρχεται από την κορυφή Ο, θα είναι προφανώς το άθροισμα των διανυσμάτων .

   

   Είναι εύκολο να ελέγξετε τα παρακάτω ιδιότητες προσθήκης διανύσματος.

3. Διαφορά διανυσμάτων.

   Ένα διάνυσμα συγγραμμικό με ένα δεδομένο διάνυσμα, ίσο σε μήκος και αντίθετα κατευθυνόμενο, ονομάζεται απεναντι αποδιάνυσμα για ένα διάνυσμα και συμβολίζεται με . Το αντίθετο διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού διανυσμάτων με τον αριθμό λ = –1: .

Ένα ιδιοδιάνυσμα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι αυτό που, όταν πολλαπλασιαστεί με έναν δεδομένο πίνακα, οδηγεί σε ένα συγγραμμικό διάνυσμα. Με απλά λόγια, όταν ένας πίνακας πολλαπλασιάζεται με ένα ιδιοδιάνυσμα, το τελευταίο παραμένει το ίδιο, αλλά πολλαπλασιάζεται με κάποιο αριθμό.

Ορισμός

Ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα V, το οποίο, όταν πολλαπλασιαστεί με έναν τετραγωνικό πίνακα M, γίνεται ο εαυτός του, αυξημένο κατά κάποιο αριθμό λ. Στην αλγεβρική σημειογραφία, αυτό μοιάζει με:

M × V = λ × V,

όπου λ είναι μια ιδιοτιμή του πίνακα M.

Ας εξετάσουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Για ευκολία γραφής, οι αριθμοί στον πίνακα θα διαχωρίζονται με ένα ερωτηματικό. Ας πούμε ότι έχουμε έναν πίνακα:

• Μ = 0; τέσσερα?
• 6; 10.

Ας το πολλαπλασιάσουμε με ένα διάνυσμα στήλης:

• V = -2;

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα με ένα διάνυσμα στήλης, παίρνουμε επίσης ένα διάνυσμα στήλης. Στην αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο τύπος για τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα 2 × 2 με ένα διάνυσμα στήλης θα μοιάζει με αυτό:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 σημαίνει το στοιχείο του πίνακα M, που βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη, και M22 είναι το στοιχείο που βρίσκεται στη δεύτερη σειρά και στη δεύτερη στήλη. Για τον πίνακα μας, αυτά τα στοιχεία είναι M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Για ένα διάνυσμα στήλης, αυτές οι τιμές είναι V11 = –2, V21 = 1. Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, παίρνουμε τα εξής αποτέλεσμα του γινόμενου τετραγωνικού πίνακα με διάνυσμα:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Για ευκολία, γράφουμε το διάνυσμα στήλης σε μια σειρά. Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον τετραγωνικό πίνακα με το διάνυσμα (-2; 1), με αποτέλεσμα το διάνυσμα (4; -2). Προφανώς, αυτό είναι το ίδιο διάνυσμα πολλαπλασιασμένο με λ = -2. Το λάμδα σε αυτή την περίπτωση υποδηλώνει μια ιδιοτιμή του πίνακα.

Το ιδιοδιάνυσμα ενός πίνακα είναι ένα συγγραμμικό διάνυσμα, δηλαδή ένα αντικείμενο που δεν αλλάζει τη θέση του στο χώρο όταν πολλαπλασιάζεται με έναν πίνακα. Η έννοια της συγγραμμικότητας στη διανυσματική άλγεβρα είναι παρόμοια με τον όρο του παραλληλισμού στη γεωμετρία. Στη γεωμετρική ερμηνεία, τα συγγραμμικά διανύσματα είναι παράλληλα κατευθυνόμενα τμήματα διαφορετικού μήκους. Από την εποχή του Ευκλείδη, γνωρίζουμε ότι μια μεμονωμένη ευθεία έχει άπειρο αριθμό γραμμών παράλληλων με αυτήν, επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι κάθε πίνακας έχει άπειρο αριθμό ιδιοδιανυσμάτων.

Από το προηγούμενο παράδειγμα, μπορεί να φανεί ότι και τα δύο (-8; 4), και (16; -8), και (32, -16) μπορούν να είναι ιδιοδιανύσματα. Όλα αυτά είναι συγγραμμικά διανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ = -2. Όταν πολλαπλασιάζουμε τον αρχικό πίνακα με αυτά τα διανύσματα, θα έχουμε ως αποτέλεσμα ένα διάνυσμα, το οποίο διαφέρει από τον αρχικό κατά 2 φορές. Γι' αυτό, κατά την επίλυση προβλημάτων για την εύρεση ενός ιδιοδιανύσματος, απαιτείται να βρεθούν μόνο γραμμικά ανεξάρτητα διανυσματικά αντικείμενα. Τις περισσότερες φορές, για έναν n × n πίνακα, υπάρχει ο ν-ος αριθμός ιδιοδιανυσμάτων. Η αριθμομηχανή μας έχει σχεδιαστεί για την ανάλυση τετραγωνικών πινάκων δεύτερης τάξης, επομένως σχεδόν πάντα θα βρίσκονται δύο ιδιοδιανύσματα ως αποτέλεσμα, εκτός αν συμπίπτουν.

Στο παραπάνω παράδειγμα, γνωρίζαμε εκ των προτέρων το ιδιοδιάνυσμα του αρχικού πίνακα και προσδιορίσαμε οπτικά τον αριθμό λάμδα. Ωστόσο, στην πράξη, όλα συμβαίνουν αντίστροφα: στην αρχή υπάρχουν ιδιοτιμές και μόνο τότε ιδιοδιανύσματα.

Αλγόριθμος λύσης

Ας δούμε ξανά τον αρχικό πίνακα M και ας προσπαθήσουμε να βρούμε και τα δύο ιδιοδιανύσματά του. Οπότε ο πίνακας μοιάζει με:

• Μ = 0; τέσσερα?
• 6; 10.

Αρχικά, πρέπει να προσδιορίσουμε την ιδιοτιμή λ, για την οποία πρέπει να υπολογίσουμε την ορίζουσα του ακόλουθου πίνακα:

• (0 − λ); τέσσερα?
• 6; (10 − λ).

Αυτός ο πίνακας προκύπτει αφαιρώντας το άγνωστο λ από τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο. Ο προσδιοριστής προσδιορίζεται από τον τυπικό τύπο:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Εφόσον το διάνυσμά μας δεν πρέπει να είναι μηδέν, παίρνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως γραμμικά εξαρτώμενη και εξισώνουμε την ορίζουσα detA με μηδέν.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας πάρουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Αυτή είναι μια τυπική τετραγωνική εξίσωση που πρέπει να λυθεί ως προς τη διάκριση.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Η ρίζα του διαχωριστή είναι sqrt(D) = 14, άρα λ1 = -2, λ2 = 12. Τώρα για κάθε τιμή λάμδα, πρέπει να βρούμε ένα ιδιοδιάνυσμα. Ας εκφράσουμε τους συντελεστές του συστήματος για λ = -2.

• M − λ × E = 2; τέσσερα?
• 6; 12.

Σε αυτόν τον τύπο, το Ε είναι ο πίνακας ταυτότητας. Με βάση τον λαμβανόμενο πίνακα, συνθέτουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

2x + 4y = 6x + 12y

όπου x και y είναι στοιχεία του ιδιοδιανύσματος.

Ας μαζέψουμε όλα τα Χ στα αριστερά και όλα τα Υ στα δεξιά. Προφανώς - 4x = 8y. Διαιρέστε την παράσταση με -4 και λάβετε x = -2y. Τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρώτο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα λαμβάνοντας οποιεσδήποτε τιμές των αγνώστων (θυμηθείτε το άπειρο των γραμμικά εξαρτημένων ιδιοδιανυσμάτων). Ας πάρουμε y = 1, μετά x = -2. Επομένως, το πρώτο ιδιοδιάνυσμα μοιάζει με V1 = (–2; 1). Επιστροφή στην αρχή του άρθρου. Ήταν αυτό το διανυσματικό αντικείμενο με το οποίο πολλαπλασιάσαμε τον πίνακα για να δείξουμε την έννοια του ιδιοδιανύσματος.

Τώρα ας βρούμε το ιδιοδιάνυσμα για λ = 12.

• Μ - λ × Ε = -12; τέσσερις
• 6; -2.

Ας συνθέσουμε το ίδιο σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Τώρα ας πάρουμε x = 1, άρα y = 3. Έτσι, το δεύτερο ιδιοδιάνυσμα μοιάζει με V2 = (1; 3). Όταν πολλαπλασιάζουμε τον αρχικό πίνακα με αυτό το διάνυσμα, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο διάνυσμα πολλαπλασιασμένο επί 12. Αυτό ολοκληρώνει τον αλγόριθμο επίλυσης. Τώρα ξέρετε πώς να ορίσετε χειροκίνητα ένα ιδιοδιάνυσμα ενός πίνακα.

• καθοριστικός;
• ίχνος, δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο.
• κατάταξη, δηλαδή ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών/στηλών.

Το πρόγραμμα λειτουργεί σύμφωνα με τον παραπάνω αλγόριθμο ελαχιστοποιώντας τη διαδικασία επίλυσης. Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι στο πρόγραμμα το λάμδα συμβολίζεται με το γράμμα «γ». Ας δούμε ένα αριθμητικό παράδειγμα.

Παράδειγμα προγράμματος

Ας προσπαθήσουμε να ορίσουμε ιδιοδιανύσματα για τον ακόλουθο πίνακα:

• Μ=5; 13;
• 4; 14.

Ας εισαγάγουμε αυτές τις τιμές στα κελιά της αριθμομηχανής και ας λάβουμε την απάντηση στην ακόλουθη μορφή:

• Κατάταξη Matrix: 2;
• Ορίζουσα μήτρας: 18;
• Ίχνος μήτρας: 19;
• Υπολογισμός ιδιοδιανύσματος: c 2 − 19,00c + 18,00 (χαρακτηριστική εξίσωση);
• Υπολογισμός ιδιοδιανύσματος: 18 (πρώτη τιμή λάμδα).
• Υπολογισμός ιδιοδιανύσματος: 1 (δεύτερη τιμή λάμδα).
• Σύστημα εξισώσεων του διανύσματος 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Σύστημα εξισώσεων του διανύσματος 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Ιδιοδιάνυσμα 1: (1; 1);
• Ιδιοδιάνυσμα 2: (-3,25; 1).

Έτσι, έχουμε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα.

συμπέρασμα

Η γραμμική άλγεβρα και η αναλυτική γεωμετρία είναι τυπικά μαθήματα για κάθε πρωτοετή φοιτητή στη μηχανική. Ένας μεγάλος αριθμός διανυσμάτων και πινάκων είναι τρομακτικός και είναι εύκολο να κάνουμε λάθος σε τόσο δυσκίνητους υπολογισμούς. Το πρόγραμμά μας θα επιτρέψει στους μαθητές να ελέγξουν τους υπολογισμούς τους ή να λύσουν αυτόματα το πρόβλημα της εύρεσης ενός ιδιοδιανύσματος. Υπάρχουν και άλλοι αριθμομηχανές γραμμικής άλγεβρας στον κατάλογό μας, χρησιμοποιήστε τους στη μελέτη ή την εργασία σας.

Ορισμός 9.3.Διάνυσμα Χ που ονομάζεται δικό του διάνυσμαμήτρες ΑΛΛΑαν υπάρχει τέτοιος αριθμός λ, ότι ισχύει η ισότητα: ΑΛΛΑ Χ= λ Χ, δηλαδή το αποτέλεσμα της αίτησης σε Χ γραμμικός μετασχηματισμός που δίνεται από τον πίνακα ΑΛΛΑ, είναι ο πολλαπλασιασμός αυτού του διανύσματος με τον αριθμό λ . Ο ίδιος ο αριθμός λ που ονομάζεται δικός αριθμόςμήτρες ΑΛΛΑ.

Αντικατάσταση σε τύπους (9.3) x` j = λx j ,λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του ιδιοδιανύσματος:

. (9.5)

Αυτό το γραμμικό ομοιογενές σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση μόνο εάν ο κύριος προσδιοριστής του είναι 0 (κανόνας του Cramer). Γράφοντας αυτή τη συνθήκη με τη μορφή:

παίρνουμε μια εξίσωση για τον προσδιορισμό των ιδιοτιμών λ που ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση. Εν συντομία, μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

| A-λE | = 0, (9.6)

αφού η αριστερή του πλευρά είναι η ορίζουσα του πίνακα A-λE. Πολυώνυμο σε σχέση με λ | A-λE| που ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμομήτρες α.

Ιδιότητες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου:

1) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός γραμμικού μετασχηματισμού δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης. Απόδειξη. (βλ. (9.4)), αλλά Συνεπώς, . Έτσι, δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης. Ως εκ τούτου, και | A-λE| δεν αλλάζει κατά τη μετάβαση σε νέα βάση.

2) Αν ο πίνακας ΑΛΛΑγραμμικός μετασχηματισμός είναι συμμετρικός(εκείνοι. a ij = a ji), τότε όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (9.6) είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ιδιότητες ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων:

1) Αν επιλέξουμε βάση από ιδιοδιανύσματα x 1, x 2, x 3 που αντιστοιχεί στις ιδιοτιμές λ 1 , λ 2 , λ 3μήτρες ΑΛΛΑ, τότε σε αυτή τη βάση ο γραμμικός μετασχηματισμός Α έχει έναν διαγώνιο πίνακα:

(9.7) Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας προκύπτει από τον ορισμό των ιδιοδιανυσμάτων.

2) Αν ο μετασχηματισμός ιδιοτιμές ΑΛΛΑείναι διαφορετικά, τότε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

3) Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα ΑΛΛΑέχει τρεις διαφορετικές ρίζες, τότε σε κάποια βάση ο πίνακας ΑΛΛΑέχει διαγώνιο σχήμα.

Ας βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Ας κάνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Βρείτε τις συντεταγμένες των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε κάθε τιμή που βρέθηκε λ. Από την (9.5) προκύπτει ότι αν Χ (1) ={x 1, x 2, x 3) είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί λ 1 = -2, λοιπόν

είναι ένα συνεργατικό αλλά απροσδιόριστο σύστημα. Η λύση του μπορεί να γραφτεί ως Χ (1) ={ένα,0,-ένα), όπου a είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ειδικότερα, εάν το απαιτείτε | Χ (1) |=1, Χ (1) =

Αντικατάσταση στο σύστημα (9.5) λ 2 =3, παίρνουμε ένα σύστημα για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του δεύτερου ιδιοδιανύσματος - Χ (2) ={y1,y2,y3}:

, όπου Χ (2) ={β,-β,β) ή, με την προϋπόθεση | Χ (2) |=1, Χ (2) =

Για λ 3 = 6 βρείτε το ιδιοδιάνυσμα Χ (3) ={z1, z2, z3}:

, Χ (3) ={ντο,2γ, γ) ή στην κανονικοποιημένη έκδοση

x (3) = Μπορεί να φανεί ότι Χ (1) Χ (2) = αβ-αβ= 0, Χ (1) Χ (3) = ac-ac= 0, Χ (2) Χ (3) = προ ΧΡΙΣΤΟΥ- 2π.Χ. + π.Χ= 0. Έτσι, τα ιδιοδιανύσματα αυτού του πίνακα είναι κατά ζεύγη ορθογώνια.

Διάλεξη 10

Τετραγωνικές μορφές και η σύνδεσή τους με συμμετρικούς πίνακες. Ιδιότητες ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμές ενός συμμετρικού πίνακα. Αναγωγή μιας τετραγωνικής μορφής σε κανονική μορφή.

Ορισμός 10.1.τετραγωνική μορφήπραγματικές μεταβλητές x 1, x 2,…, x nονομάζεται ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού ως προς αυτές τις μεταβλητές, το οποίο δεν περιέχει ελεύθερο όρο και όρους του πρώτου βαθμού.

Παραδείγματα τετραγωνικών μορφών:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Θυμηθείτε τον ορισμό ενός συμμετρικού πίνακα που δόθηκε στην τελευταία διάλεξη:

Ορισμός 10.2.Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται συμμετρικός, αν , δηλαδή, εάν τα στοιχεία του πίνακα συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο είναι ίσα.

Ιδιότητες ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός συμμετρικού πίνακα:

1) Όλες οι ιδιοτιμές ενός συμμετρικού πίνακα είναι πραγματικές.

Απόδειξη (για n = 2).

Αφήστε τη μήτρα ΑΛΛΑμοιάζει με: . Ας κάνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

(10.2) Βρείτε το διακριτικό:

Επομένως, η εξίσωση έχει μόνο πραγματικές ρίζες.

2) Τα ιδιοδιανύσματα ενός συμμετρικού πίνακα είναι ορθογώνια.

Απόδειξη (για n= 2).

Οι συντεταγμένες των ιδιοδιανυσμάτων και πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις.