Εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής. Σημειακές εκτιμήσεις της μαθηματικής προσδοκίας

Ας υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή Χμε μαθηματική προσδοκία Μκαι διασπορά ρε, ενώ και οι δύο αυτές παράμετροι είναι άγνωστες. Πάνω από το μέγεθος Χπου παράγονται Νανεξάρτητα πειράματα, τα οποία κατέληξαν σε ένα σύνολο Ναριθμητικά αποτελέσματα x 1, x 2, …, x N. Ως εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας, είναι φυσικό να προτείνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών

(1)

Εδώ ως x iσυγκεκριμένες τιμές (αριθμοί) που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα Νπειράματα. Αν πάρουμε άλλα (ανεξάρτητα από τα προηγούμενα) Νπειράματα, τότε, προφανώς, θα πάρουμε διαφορετική τιμή. Εάν πάρετε περισσότερα Νπειράματα, θα λάβουμε μια ακόμη νέα τιμή . Σημειώστε με X iτυχαία μεταβλητή που προκύπτει από Εγώτο πείραμα, μετά τις πραγματοποιήσεις X iθα είναι οι αριθμοί που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα αυτών των πειραμάτων. Είναι προφανές ότι η τυχαία μεταβλητή X iθα έχει την ίδια πυκνότητα κατανομής πιθανότητας με την αρχική τυχαία μεταβλητή Χ. Υποθέτουμε επίσης ότι οι τυχαίες μεταβλητές X iΚαι Xjείναι ανεξάρτητες στο Εγώ, όχι ίσο ι(διάφορα ανεξάρτητα πειράματα μεταξύ τους). Επομένως, ξαναγράφουμε τον τύπο (1) σε διαφορετική (στατιστική) μορφή:

(2)

Ας δείξουμε ότι η εκτίμηση είναι αμερόληπτη:

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία του μέσου όρου του δείγματος είναι ίση με την πραγματική μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Μ. Αυτό είναι ένα αρκετά προβλέψιμο και κατανοητό γεγονός. Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος (2) μπορεί να ληφθεί ως εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής. Τώρα τίθεται το ερώτημα: τι συμβαίνει με τη διακύμανση της εκτίμησης προσδοκιών καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πειραμάτων; Οι αναλυτικοί υπολογισμοί το δείχνουν

όπου είναι η διακύμανση της εκτίμησης της μαθηματικής προσδοκίας (2), και ρε- αληθινή διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι με την αύξηση Ν(αριθμός πειραμάτων) η διακύμανση της εκτίμησης μειώνεται, δηλ. Όσο περισσότερο συνοψίζουμε τις ανεξάρτητες υλοποιήσεις, τόσο πιο κοντά στην αναμενόμενη τιμή έχουμε την εκτίμηση.

Εκτιμήσεις μαθηματικών διασπορών

Με την πρώτη ματιά, η πιο φυσική εκτίμηση φαίνεται να είναι

(3)

όπου υπολογίζεται με τον τύπο (2). Ας ελέγξουμε αν η εκτίμηση είναι αμερόληπτη. Ο τύπος (3) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Αντικαθιστούμε την έκφραση (2) σε αυτόν τον τύπο:

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της εκτίμησης διασποράς:

(4)

Εφόσον η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής δεν εξαρτάται από το ποια είναι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής, θα πάρουμε τη μαθηματική προσδοκία ίση με 0, δηλ. Μ = 0.

	(5)
στο .	(6)

Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και οι παράμετροί της είναι η μαθηματική προσδοκία ΕΝΑκαι η διακύμανση είναι άγνωστες. Πάνω από την τιμή του Χ, πραγματοποιήθηκαν ανεξάρτητα πειράματα, τα οποία έδωσαν τα αποτελέσματα x 1, x 2, x n.

Χωρίς να μειώσουμε τη γενικότητα του συλλογισμού, θα θεωρήσουμε ότι αυτές οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι διαφορετικές. Θα θεωρήσουμε τις τιμές x 1, x 2, x n ως ανεξάρτητες, πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2, X n .

Η απλούστερη μέθοδος στατιστικής εκτίμησης - η μέθοδος υποκατάστασης και αναλογίας - συνίσταται στο γεγονός ότι ως εκτίμηση του ενός ή του άλλου αριθμητικού χαρακτηριστικού (μέσος όρος, διακύμανση κ.λπ.) του γενικού πληθυσμού, λαμβάνουν το αντίστοιχο χαρακτηριστικό της κατανομής του δείγματος - το χαρακτηριστικό δείγμα.

Με τη μέθοδο αντικατάστασης ως εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας ΕΝΑείναι απαραίτητο να ληφθεί η μαθηματική προσδοκία της κατανομής του δείγματος - ο μέσος όρος του δείγματος. Έτσι, παίρνουμε

Για να ελεγχθεί η αμερόληπτη και η συνέπεια του δείγματος σημαίνει ως εκτιμήσεις ΕΝΑ, θεωρήστε αυτό το στατιστικό στοιχείο ως συνάρτηση του επιλεγμένου διανύσματος (X 1, X 2, X n). Λαμβάνοντας υπόψη ότι καθεμία από τις ποσότητες X 1, X 2, X n έχει τον ίδιο νόμο κατανομής με την ποσότητα X, συμπεραίνουμε ότι τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτών των μεγεθών και της ποσότητας X είναι ίδια: M(X Εγώ) = Μ(Χ) = ένα, Δ(Χ Εγώ) = D(X) = , Εγώ = 1, 2, n , όπου X i είναι συλλογικά ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

Ως εκ τούτου,

Ως εκ τούτου, εξ ορισμού, λαμβάνουμε ότι είναι η αμερόληπτη εκτίμηση ΕΝΑ, και αφού D()®0 ως n®¥, τότε δυνάμει του θεωρήματος της προηγούμενης παραγράφου είναι μια συνεπής εκτίμηση της προσδοκίας ΕΝΑτον γενικό πληθυσμό.

Η αποδοτικότητα ή η αναποτελεσματικότητα της εκτίμησης εξαρτάται από τη μορφή του νόμου κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X. Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η τιμή X κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, τότε η εκτίμηση είναι αποδοτική. Για άλλους νόμους διανομής, αυτό μπορεί να μην ισχύει.

Αμερόληπτη εκτίμηση της γενικής διακύμανσηςείναι η διορθωμένη διακύμανση του δείγματος

,

Επειδή , όπου είναι η γενική απόκλιση. Πραγματικά,

Η εκτίμηση s -- 2 για τη γενική διακύμανση είναι επίσης συνεπής, αλλά όχι αποτελεσματική. Ωστόσο, στην περίπτωση μιας κανονικής κατανομής, είναι «ασυμπτωτικά αποτελεσματική», δηλαδή, όσο αυξάνεται το n, η αναλογία της διακύμανσής της προς την ελάχιστη δυνατή πλησιάζει επ' αόριστον.

Έτσι, δίνεται ένα δείγμα από την κατανομή F( Χ) τυχαία μεταβλητή Χ με άγνωστη μαθηματική προσδοκία ΕΝΑκαι διασπορά, τότε για να υπολογίσουμε τις τιμές αυτών των παραμέτρων, έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους κατά προσέγγιση τύπους:

ένα ,

.

Εδώ x-i- - επιλογές δειγματοληψίας, n- i - - επιλογές συχνότητας x i , - - το μέγεθος του δείγματος.
Για τον υπολογισμό της διορθωμένης διακύμανσης του δείγματος, ο τύπος είναι πιο βολικός

.

Για να απλοποιήσετε τον υπολογισμό, συνιστάται να μεταβείτε σε επιλογές υπό όρους (είναι πλεονεκτικό να ληφθεί η αρχική παραλλαγή που βρίσκεται στο μέσο της σειράς διαλειμματικής παραλλαγής ως c). Επειτα

, .

εκτίμηση διαστήματος

Παραπάνω, εξετάσαμε το ζήτημα της εκτίμησης μιας άγνωστης παραμέτρου ΕΝΑένας αριθμός. Τέτοιες εκτιμήσεις ονομάσαμε σημειακές εκτιμήσεις. Έχουν το μειονέκτημα ότι, με ένα μικρό μέγεθος δείγματος, μπορούν να διαφέρουν σημαντικά από τις εκτιμώμενες παραμέτρους. Επομένως, για να έχουμε μια ιδέα της εγγύτητας μεταξύ μιας παραμέτρου και της εκτίμησής της, οι λεγόμενες εκτιμήσεις διαστήματος εισάγονται στις μαθηματικές στατιστικές.

Ας βρεθεί μια σημειακή εκτίμηση q * στο δείγμα για την παράμετρο q. Συνήθως, οι ερευνητές δίνονται εκ των προτέρων με κάποια αρκετά μεγάλη πιθανότητα g (για παράδειγμα, 0,95, 0,99 ή 0,999) έτσι ώστε ένα γεγονός με πιθανότητα g να μπορεί να θεωρηθεί πρακτικά βέβαιο και εγείρουν το ζήτημα της εύρεσης μιας τέτοιας τιμής e > 0 για οι οποίες

.

Τροποποιώντας αυτήν την ισότητα, παίρνουμε:

και σε αυτή την περίπτωση θα πούμε ότι το διάστημα ]q * - e; Το q * + e[ καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο q με πιθανότητα g.

Διάστημα ]q * -e; q * +e [ καλείται διάστημα εμπιστοσύνης .

Η πιθανότητα g ονομάζεται αξιοπιστία (πιθανότητα εμπιστοσύνης) εκτίμηση διαστήματος.

Τα άκρα του διαστήματος εμπιστοσύνης, δηλ. Τα σημεία q * -e και q * +e λέγονται όρια εμπιστοσύνης .

Ο αριθμός e ονομάζεται ακρίβεια αξιολόγησης .

Ως παράδειγμα του προβλήματος του καθορισμού ορίων εμπιστοσύνης, εξετάστε το ζήτημα της εκτίμησης της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, η οποία έχει νόμο κανονικής κατανομής με παραμέτρους ΕΝΑκαι s, δηλ. X = N( ένα, s). Η μαθηματική προσδοκία σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με ΕΝΑ. Σύμφωνα με τις παρατηρήσεις X 1 , X 2 , X n υπολογίστε τον μέσο όρο και αξιολόγηση διασπορά s 2 .

Αποδεικνύεται ότι σύμφωνα με τα δεδομένα του δείγματος, είναι δυνατή η κατασκευή μιας τυχαίας μεταβλητής

που έχει κατανομή Student (ή t-κατανομή) με n = n -1 βαθμούς ελευθερίας.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα Α.1.3 και ας βρούμε για τη δεδομένη πιθανότητα g και τον αριθμό n τον αριθμό t g έτσι ώστε η πιθανότητα

P(|t(n)|< t g) = g,

.

Αφού κάνουμε προφανείς μετασχηματισμούς, παίρνουμε

Η διαδικασία για την εφαρμογή του κριτηρίου F είναι η εξής:

1. Γίνεται μια υπόθεση για την κανονική κατανομή των πληθυσμών. Σε ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας a, διατυπώνεται η μηδενική υπόθεση H 0: s x 2 = s y 2 σχετικά με την ισότητα των γενικών διακυμάνσεων των κανονικών πληθυσμών κάτω από την ανταγωνιστική υπόθεση H 1: s x 2 > s y 2 .

2. Λαμβάνονται δύο ανεξάρτητα δείγματα από τους πληθυσμούς X και Y των n x και n y αντίστοιχα.

3. Υπολογίστε τις τιμές των διορθωμένων αποκλίσεων δείγματος s x 2 και s y 2 (οι μέθοδοι υπολογισμού αναλύονται στην §13.4). Η μεγαλύτερη από τις διασπορές (s x 2 ή s y 2) ορίζεται ως s 1 2, η μικρότερη - s 2 2.

4. Η τιμή του κριτηρίου F υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο F obs = s 1 2 / s 2 2 .

5. Σύμφωνα με τον πίνακα των κρίσιμων σημείων της κατανομής Fisher - Snedecor, για ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας α και τον αριθμό βαθμών ελευθερίας n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας μιας μεγαλύτερης διορθωμένης διακύμανσης), το κρίσιμο σημείο βρίσκεται F cr (a, n 1, n 2).

Σημειώστε ότι ο Πίνακας A.1.7 δείχνει τις κρίσιμες τιμές του κριτηρίου F της μονής ουράς. Επομένως, εάν εφαρμοστεί ένα κριτήριο δύο όψεων (H 1: s x 2 ¹ s y 2), τότε το δεξιό κρίσιμο σημείο F cr (a / 2, n 1, n 2) αναζητείται από το επίπεδο σημαντικότητας a / 2 (το μισό από το καθορισμένο) και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας n 1 και n 2 (n 1 - ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας μεγαλύτερης διασποράς). Το αριστερό κρίσιμο σημείο μπορεί να μην βρεθεί.

6. Συνάγεται το συμπέρασμα ότι εάν η υπολογισμένη τιμή του κριτηρίου F είναι μεγαλύτερη ή ίση με την κρίσιμη (F obs ³ F cr), τότε οι διακυμάνσεις διαφέρουν σημαντικά σε ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας. Διαφορετικά (ΣΤ παρατηρ< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Εργασία 15.1. Η κατανάλωση πρώτων υλών ανά μονάδα παραγωγής σύμφωνα με την παλιά τεχνολογία ήταν:

Νέα τεχνολογία:

Υποθέτοντας ότι οι αντίστοιχοι γενικοί πληθυσμοί X και Y έχουν κανονικές κατανομές, ελέγξτε ότι η κατανάλωση πρώτων υλών για νέες και παλιές τεχνολογίες δεν διαφέρει σε μεταβλητότητα, εάν λάβουμε το επίπεδο σημαντικότητας a = 0,1.

Λύση. Ενεργούμε με τη σειρά που αναφέρεται παραπάνω.

1. Θα κρίνουμε τη μεταβλητότητα της κατανάλωσης πρώτων υλών για νέες και παλιές τεχνολογίες ως προς τις τιμές διασποράς. Έτσι, η μηδενική υπόθεση έχει τη μορφή H 0: s x 2 = s y 2 . Ως ανταγωνιστική υπόθεση, αποδεχόμαστε την υπόθεση H 1: s x 2 ¹ s y 2, αφού δεν είμαστε βέβαιοι εκ των προτέρων ότι κάποια από τις γενικές διακυμάνσεις είναι μεγαλύτερη από την άλλη.

2-3. Βρείτε τις διακυμάνσεις του δείγματος. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, ας προχωρήσουμε στις επιλογές υπό όρους:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Θα κανονίσουμε όλους τους υπολογισμούς με τη μορφή των παρακάτω πινάκων:

u i	m i	m i u i	m i u i 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

Έλεγχος: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Έλεγχος: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Βρείτε τις διορθωμένες αποκλίσεις του δείγματος:

4. Συγκρίνετε τις διακυμάνσεις. Βρείτε τον λόγο της μεγαλύτερης διορθωμένης διακύμανσης προς τη μικρότερη:

.

5. Κατά συνθήκη, η ανταγωνιστική υπόθεση έχει τη μορφή s x 2 ¹ s y 2 , επομένως, η κρίσιμη περιοχή είναι διπλής όψης και κατά την εύρεση του κρίσιμου σημείου, θα πρέπει να ληφθούν επίπεδα σημασίας που είναι τα μισά του δεδομένου.

Σύμφωνα με τον Πίνακα A.1.7, από το επίπεδο σημαντικότητας a/2 = 0,1/2 = 0,05 και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο F cr (0,05; 12; 8) = 3,28.

6. Εφόσον F obl.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Παραπάνω, κατά τον έλεγχο των υποθέσεων, θεωρήθηκε ότι η κατανομή των τυχαίων μεταβλητών που μελετήθηκαν ήταν κανονική. Ωστόσο, ειδικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι είναι πολύ σταθεροί (ειδικά με μεγάλα μεγέθη δειγμάτων) ως προς την απόκλιση από την κανονική κατανομή.

Παράμετροι κατανομής και στατιστικά στοιχεία

Οποιεσδήποτε παράμετροι της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, όπως η μαθηματική προσδοκία ή η διακύμανση, για παράδειγμα, είναι θεωρητικές τιμές που δεν είναι άμεσα μετρήσιμες, αν και μπορούν να εκτιμηθούν. Είναι ποσοτικά πληθυσμός και μπορούν να προσδιοριστούν από μόνες τους μόνο κατά τη διάρκεια της θεωρητικής μοντελοποίησης ως υποθετικές τιμές, αφού περιγράφουν τα χαρακτηριστικά της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής στον ίδιο τον γενικό πληθυσμό. Για τον προσδιορισμό τους στην πράξη, ο ερευνητής που διεξάγει το πείραμα πραγματοποιεί την επιλεκτική αξιολόγησή τους. Μια τέτοια αξιολόγηση περιλαμβάνει στατιστικό υπολογισμό.

Στατιστική αντιπροσωπεύει ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό των μελετημένων παραμέτρων που χαρακτηρίζουν την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, που λαμβάνεται με βάση μια μελέτη τιμών δείγματος. Η στατιστική χρησιμοποιείται είτε για την περιγραφή του ίδιου του δείγματος, είτε, που είναι υψίστης σημασίας στη θεμελιώδη πειραματική έρευνα, για την εκτίμηση των παραμέτρων κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής στον υπό μελέτη γενικό πληθυσμό.

Διαχωρισμός εννοιών "παράμετρος" Και "στατιστική" είναι πολύ σημαντικό, καθώς επιτρέπει την αποφυγή ορισμένων σφαλμάτων που σχετίζονται με εσφαλμένη ερμηνεία των δεδομένων που ελήφθησαν στο πείραμα. Το γεγονός είναι ότι όταν υπολογίζουμε τις παραμέτρους της κατανομής χρησιμοποιώντας στατιστικά δεδομένα, παίρνουμε τιμές που είναι μόνο σε κάποιο βαθμό κοντά στις εκτιμώμενες παραμέτρους. Υπάρχει σχεδόν πάντα κάποια διαφορά μεταξύ παραμέτρων και στατιστικών και συνήθως δεν μπορούμε να πούμε πόσο μεγάλη είναι αυτή η διαφορά. Θεωρητικά, όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόσο πιο κοντά είναι οι εκτιμώμενες παράμετροι στα χαρακτηριστικά του δείγματός τους. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος, αναπόφευκτα θα πλησιάσουμε την εκτιμώμενη παράμετρο, θα μειώσουμε τη διαφορά μεταξύ αυτής και των υπολογισμένων στατιστικών. Στην πράξη, τα πράγματα μπορεί να αποδειχθούν πολύ πιο περίπλοκα.

Εάν θεωρητικά η αναμενόμενη τιμή της στατιστικής συμπίπτει με την εκτιμώμενη παράμετρο, τότε μια τέτοια εκτίμηση ονομάζεται αμερόληπτος. Μια εκτίμηση στην οποία η αναμενόμενη τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου διαφέρει από την ίδια την παράμετρο κατά κάποιο ποσό ονομάζεται εκτοπισμένοι.

Είναι επίσης απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ σημειακών και διαστημάτων εκτιμήσεων των παραμέτρων κατανομής. διάσπαρτος ονομάζεται εκτίμηση χρησιμοποιώντας κάποιο αριθμό. Για παράδειγμα, εάν αναφέρουμε ότι η τιμή του χωρικού ορίου της απτικής ευαισθησίας για ένα δεδομένο θέμα υπό δεδομένες συνθήκες και σε μια δεδομένη περιοχή του δέρματος είναι 21,8 mm, τότε μια τέτοια εκτίμηση θα είναι μια σημειακή εκτίμηση. Ομοίως, μια σημειακή εκτίμηση προκύπτει όταν το δελτίο καιρού μας λέει ότι είναι 25°C έξω. Εκτίμηση Διαστήματος περιλαμβάνει τη χρήση ενός συνόλου ή ενός εύρους αριθμών στην αξιολόγηση. Αξιολογώντας το χωρικό όριο της απτικής ευαισθησίας, μπορούμε να πούμε ότι αποδείχθηκε ότι ήταν στην περιοχή από 20 έως 25 mm. Αντίστοιχα, οι μετεωρολόγοι ενδέχεται να αναφέρουν ότι σύμφωνα με τις προβλέψεις τους η θερμοκρασία του αέρα θα φτάσει τους 22-24°C το επόμενο 24ωρο. Η εκτίμηση διαστήματος μιας τυχαίας μεταβλητής μας επιτρέπει όχι μόνο να προσδιορίσουμε την επιθυμητή τιμή αυτής της μεταβλητής, αλλά και να ορίσουμε την πιθανή ακρίβεια για μια τέτοια εκτίμηση.

Μαθηματική προσδοκία και αξιολόγησή της

Ας επιστρέψουμε στην εμπειρία μας στην ρίψη νομισμάτων.

Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα: πόσες φορές πρέπει να πέσει ο «αετός» αν πετάξουμε ένα νόμισμα δέκα φορές; Η απάντηση φαίνεται να είναι προφανής. Εάν οι πιθανότητες καθενός από τα δύο αποτελέσματα είναι ίσες, τότε τα ίδια τα αποτελέσματα πρέπει να είναι ίσα κατανεμημένα. Με άλλα λόγια, όταν ένα συνηθισμένο νόμισμα πετιέται δέκα φορές, έχουμε το δικαίωμα να περιμένουμε ότι μια από τις πλευρές του, για παράδειγμα, τα «κεφάλια», θα πέσει ακριβώς πέντε φορές. Ομοίως, όταν ένα νόμισμα πετιέται 100 φορές, τα κεφάλια πρέπει να πέσουν ακριβώς 50 φορές, και εάν ένα νόμισμα πεταχτεί 4236 φορές, τότε η πλευρά που μας ενδιαφέρει θα πρέπει να εμφανίζεται 2118 φορές, ούτε περισσότερες ούτε λιγότερες.

Έτσι, συνήθως ονομάζεται η θεωρητική τιμή ενός τυχαίου γεγονότος μαθηματική προσδοκία. Η μαθηματική προσδοκία μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τη θεωρητική πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής με τον αριθμό των δοκιμών. Πιο επίσημα, όμως, ορίζεται ως κεντρική στιγμή πρώτης τάξης. Έτσι, η μαθηματική προσδοκία είναι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής στην οποία τείνει θεωρητικά κατά τη διάρκεια επαναλαμβανόμενων δοκιμών, σε σχέση με την οποία ποικίλλει.

Είναι σαφές ότι η θεωρητική τιμή της μαθηματικής προσδοκίας ως παραμέτρου κατανομής δεν είναι πάντα ίση με την εμπειρική τιμή της τυχαίας μεταβλητής που μας ενδιαφέρει, που εκφράζεται σε στατιστικές. Εάν κάνουμε το πείραμα με την ρίψη ενός νομίσματος, είναι πολύ πιθανό ότι, από τα δέκα αποτελέσματα, τα κεφάλια θα ανέβουν μόνο τέσσερις ή τρεις φορές, ή ίσως, αντίθετα, θα εμφανιστούν οκτώ φορές ή ίσως ποτέ . Είναι σαφές ότι ορισμένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι πιο πιθανά, άλλα είναι λιγότερο πιθανά. Αν χρησιμοποιήσουμε τον νόμο της κανονικής κατανομής, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όσο περισσότερο το αποτέλεσμα αποκλίνει από το θεωρητικά αναμενόμενο, που δίνεται από την τιμή της μαθηματικής προσδοκίας, τόσο λιγότερο πιθανό είναι στην πράξη.

Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι έχουμε κάνει αυτή τη διαδικασία αρκετές φορές και δεν έχουμε παρατηρήσει ποτέ τη θεωρητικά αναμενόμενη τιμή. Τότε μπορεί να έχουμε αμφιβολίες για τη γνησιότητα του νομίσματος. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το κέρμα μας δεν έχει στην πραγματικότητα 50% πιθανότητα να ανέβει. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί η πιθανότητα αυτού του γεγονότος και, κατά συνέπεια, η αξία της μαθηματικής προσδοκίας. Μια τέτοια ανάγκη προκύπτει όποτε, σε ένα πείραμα, διερευνούμε την κατανομή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, όπως ο χρόνος αντίδρασης, χωρίς να έχουμε εκ των προτέρων κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Κατά κανόνα, αυτό είναι το πρώτο υποχρεωτικό βήμα στην πορεία της ποσοτικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων του πειράματος.

Η μαθηματική προσδοκία μπορεί να εκτιμηθεί με τρεις τρόπους, που στην πράξη μπορεί να δώσουν ελαφρώς διαφορετικά αποτελέσματα, αλλά θεωρητικά σίγουρα θα πρέπει να μας οδηγήσουν στην αξία της μαθηματικής προσδοκίας.

Η λογική μιας τέτοιας αξιολόγησης απεικονίζεται στο Σχ. 1.2. Η μαθηματική προσδοκία μπορεί να θεωρηθεί ως κεντρική τάση στην κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, ως η πιο πιθανή και άρα η πιο συχνή τιμή του και ως ένα σημείο διαιρώντας την κατανομή σε δύο ίσα μέρη.

Ρύζι. 1.2.

Ας συνεχίσουμε τα φανταστικά μας πειράματα με ένα νόμισμα και ας πραγματοποιήσουμε τρία πειράματα με δεκαπλάσια ρίψη νομισμάτων. Ας υποθέσουμε ότι στο πρώτο πείραμα ο «αετός» έπεσε έξω τέσσερις φορές, το ίδιο συνέβη στο δεύτερο πείραμα, στο τρίτο πείραμα ο «αετός» έπεφτε έξω πάνω από μιάμιση φορές πιο συχνά - επτά φορές. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η μαθηματική προσδοκία του γεγονότος που μας ενδιαφέρει βρίσκεται στην πραγματικότητα κάπου μεταξύ αυτών των τιμών.

Πρώτα, πρωτόζωο μέθοδος αξιολόγησης η μαθηματική προσδοκία θα συνίσταται στην εύρεση αριθμητικός μέσος όρος. Στη συνέχεια, η εκτίμηση της αναμενόμενης τιμής με βάση τις παραπάνω τρεις μετρήσεις θα είναι (4 + 4 + 7) / 3 = 5. Ομοίως, σε πειράματα με χρόνο αντίδρασης, η αναμενόμενη τιμή μπορεί να εκτιμηθεί υπολογίζοντας τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των τιμών που λαμβάνονται Χ. Αν ξοδέψαμε λοιπόν Π μετρήσεις χρόνου αντίδρασης Χ, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω τύπο, που μας δείχνει ότι για να υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο Χ είναι απαραίτητο να αθροιστούν όλες οι εμπειρικά ληφθείσες τιμές και να διαιρεθούν με τον αριθμό των παρατηρήσεων:

Στον τύπο (1.2), το μέτρο της μαθηματικής προσδοκίας συνήθως συμβολίζεται ως ̅ Χ (διαβάζεται ως "x με μια γραμμή"), αν και μερικές φορές μπορεί να συμβολιστεί ως Μ (από τα Αγγλικά. σημαίνω - μέση τιμή).

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας. Σε τέτοιες περιπτώσεις, θεωρείται ότι η μέτρηση μιας τυχαίας μεταβλητής πραγματοποιείται σε μετρικός κλίμακα. Είναι σαφές ότι το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να συμπίπτει ή να μην συμπίπτει με την πραγματική αξία της μαθηματικής προσδοκίας, την οποία ποτέ δεν γνωρίζουμε. Είναι σημαντικό, ωστόσο, ότι αυτή η μέθοδος είναι αμερόληπτος εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας. Αυτό σημαίνει ότι η αναμενόμενη τιμή της εκτιμώμενης τιμής είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία της: .

Η δεύτερη μέθοδος αξιολόγησης Η μαθηματική προσδοκία είναι να πάρουμε ως τιμή την πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή της μεταβλητής που μας ενδιαφέρει. Αυτή η τιμή ονομάζεται μόδα διανομής. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που μόλις εξετάστηκε με το πέταγμα ενός νομίσματος, το "τέσσερα" μπορεί να ληφθεί ως η τιμή της μαθηματικής προσδοκίας, αφού στις τρεις δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν αυτή η τιμή εμφανίστηκε δύο φορές. γι' αυτό ο τρόπος διανομής σε αυτή την περίπτωση αποδείχθηκε ίσος με τέσσερα. Η εκτίμηση τρόπου λειτουργίας χρησιμοποιείται κυρίως όταν ο πειραματιστής ασχολείται με μεταβλητές που λαμβάνουν διακριτές τιμές που δίνονται στο μη μετρικό κλίμακα.

Για παράδειγμα, περιγράφοντας την κατανομή των βαθμών των μαθητών σε μια εξέταση, μπορεί κανείς να κατασκευάσει την κατανομή συχνότητας των βαθμών των μαθητών. Αυτή η κατανομή συχνότητας ονομάζεται ιστόγραμμα. Σε αυτή την περίπτωση, η πιο κοινή εκτίμηση μπορεί να ληφθεί ως η τιμή της κεντρικής τάσης (μαθηματική προσδοκία). Στη μελέτη μεταβλητών που χαρακτηρίζονται από συνεχείς τιμές, αυτό το μέτρο πρακτικά δεν χρησιμοποιείται ή χρησιμοποιείται σπάνια. Εάν η κατανομή συχνότητας των ληφθέντων αποτελεσμάτων είναι ωστόσο κατασκευασμένη, τότε, κατά κανόνα, δεν αφορά τις τιμές του υπό μελέτη χαρακτηριστικού που λήφθηκαν στο πείραμα, αλλά ορισμένα διαστήματα της εκδήλωσής του. Για παράδειγμα, όταν εξετάζετε το ύψος των ανθρώπων, μπορείτε να δείτε πόσα άτομα πέφτουν στο διάστημα ύψους έως 150 cm, πόσα πέφτουν στο διάστημα από 150 έως 155 cm και ούτω καθεξής. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τρόπος λειτουργίας θα σχετίζεται με τις τιμές διαστήματος του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, σε αυτήν την περίπτωση, την ανάπτυξη.

Είναι σαφές ότι ο τρόπος λειτουργίας, όπως και ο αριθμητικός μέσος όρος, μπορεί να συμπίπτει ή να μην συμπίπτει με την πραγματική τιμή της μαθηματικής προσδοκίας. Αλλά ακριβώς όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, η λειτουργία είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας.

Προσθέτουμε ότι εάν δύο τιμές στο δείγμα εμφανίζονται εξίσου συχνά, τότε μια τέτοια κατανομή ονομάζεται διτροπικός. Εάν τρεις ή περισσότερες τιμές στο δείγμα εμφανίζονται εξίσου συχνά, τότε ένα τέτοιο δείγμα λέγεται ότι δεν έχει λειτουργία. Τέτοιες περιπτώσεις με αρκετά μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων, κατά κανόνα, υποδεικνύουν ότι τα δεδομένα εξάγονται από τον γενικό πληθυσμό, η φύση της κατανομής στον οποίο διαφέρει από την κανονική.

Τελικά, τρίτη μέθοδος αξιολόγησης Η μαθηματική προσδοκία είναι να διαιρέσουμε το δείγμα των θεμάτων σύμφωνα με την παράμετρο που μας ενδιαφέρει ακριβώς στο μισό. Η τιμή που χαρακτηρίζει αυτό το όριο ονομάζεται διάμεσος διανομή.

Ας υποθέσουμε ότι είμαστε παρόντες σε έναν αγώνα σκι και μετά την ολοκλήρωσή τους θέλουμε να αξιολογήσουμε ποιος από τους αθλητές έδειξε το αποτέλεσμα πάνω από τον μέσο όρο και ποιος - κάτω. Εάν η σύνθεση των συμμετεχόντων είναι λίγο-πολύ ομοιόμορφη, τότε κατά την αξιολόγηση του μέσου αποτελέσματος, είναι λογικό να υπολογίζεται ο αριθμητικός μέσος όρος. Ας υποθέσουμε όμως ότι ανάμεσα στους επαγγελματίες συμμετέχοντες υπάρχουν αρκετοί ερασιτέχνες. Δεν είναι πολλά από αυτά, αλλά παρουσιάζουν αποτελέσματα σημαντικά κατώτερα από τα υπόλοιπα. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να αποδειχθεί ότι από τους 100 συμμετέχοντες στο διαγωνισμό, για παράδειγμα, οι 87 έδειξαν αποτέλεσμα πάνω από τον μέσο όρο. Είναι σαφές ότι μια τέτοια εκτίμηση της μέσης τάσης δεν μπορεί πάντα να μας ταιριάζει. Σε αυτή την περίπτωση, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μέσο αποτέλεσμα εμφανίστηκε από συμμετέχοντες που κατέλαβαν κάπου στην 50η ή 51η θέση. Αυτή θα είναι η διάμεσος της διανομής. 49 συμμετέχοντες τερμάτισαν πριν από τον 50ο φιναλίστ και 49 μετά τον 51ο. Φυσικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι τελείωσαν με τον ίδιο χρόνο. Τότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Δεν υπάρχει πρόβλημα ακόμη και όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μονός. Σε άλλες περιπτώσεις, ωστόσο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων των δύο συμμετεχόντων.

Η διάμεσος είναι μια ειδική περίπτωση του ποσοστού μιας κατανομής. ποσοστό αποτελεί μέρος της διανομής. Τυπικά, μπορεί να οριστεί ως η ακέραια τιμή της κατανομής μεταξύ δύο τιμών της μεταβλητής Χ. Έτσι, η αξία Χ θα είναι η διάμεσος της κατανομής εάν η ακέραια τιμή της κατανομής (πυκνότητα πιθανότητας) είναι από -∞ έως Χ ισούται με την ακέραια τιμή της κατανομής από Χ έως +∞. Ομοίως, η κατανομή μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα, δέκα ή 100 μέρη. Τέτοια ποσοστά ονομάζονται αντίστοιχα τεταρτημόρια, δεκατιανοί Και εκατοστημορίων. Υπάρχουν και άλλοι τύποι ποσοτήρων.

Ακριβώς όπως οι δύο προηγούμενες μέθοδοι για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας, η διάμεσος είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας.

Θεωρητικά, υποτίθεται ότι εάν έχουμε πράγματι να κάνουμε με μια κανονική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, τότε και οι τρεις εκτιμήσεις της μαθηματικής προσδοκίας θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, αφού όλες αντιπροσωπεύουν μια παραλλαγή αμερόληπτος εκτιμήσεις της ίδιας παραμέτρου κατανομής της εκτιμώμενης τυχαίας μεταβλητής (βλ. Εικ. 1.2). Στην πράξη, όμως, αυτό συμβαίνει σπάνια. Αυτό μπορεί να οφείλεται, ειδικότερα, στο γεγονός ότι η αναλυόμενη κατανομή διαφέρει από την κανονική. Αλλά ο κύριος λόγος για τέτοιες αποκλίσεις, κατά κανόνα, είναι ότι, με την εκτίμηση της αξίας της μαθηματικής προσδοκίας, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια τιμή που είναι πολύ σημαντικά διαφορετική από την πραγματική της τιμή. Ωστόσο, όπως σημειώθηκε παραπάνω, έχει αποδειχθεί στις μαθηματικές στατιστικές ότι όσο πιο ανεξάρτητοι έλεγχοι της υπό εξέταση μεταβλητής πραγματοποιούνται, τόσο πιο κοντά θα πρέπει να είναι η εκτιμώμενη τιμή στην αληθινή.

Έτσι, στην πράξη, η επιλογή μιας μεθόδου για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας δεν καθορίζεται από την επιθυμία να επιτευχθεί μια πιο ακριβής και αξιόπιστη εκτίμηση αυτής της παραμέτρου, αλλά μόνο από λόγους ευκολίας. Επίσης, ορισμένο ρόλο στην επιλογή της μεθόδου για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας παίζει η κλίμακα μέτρησης, η οποία αντανακλά τις παρατηρήσεις της εκτιμώμενης τυχαίας μεταβλητής.

Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή με άγνωστη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση να υποβληθεί σε ανεξάρτητα πειράματα που απέδωσαν αποτελέσματα - . Ας υπολογίσουμε συνεπείς και αμερόληπτες εκτιμήσεις για τις παραμέτρους και .

Ως εκτίμηση για τη μαθηματική προσδοκία, παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των πειραματικών τιμών

. (2.9.1)

Σύμφωνα με το νόμο των μεγάλων αριθμών, αυτή η εκτίμηση είναι πλούσιος , με μέγεθος σε πιθανότητα. Η ίδια εκτίμηση είναι αμερόληπτος , επειδή η

. (2.9.2)

Η απόκλιση αυτής της εκτίμησης είναι

. (2.9.3)

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για μια κανονική κατανομή, αυτή η εκτίμηση είναι αποτελεσματικός . Για άλλους νόμους, αυτό μπορεί να μην ισχύει.

Ας υπολογίσουμε τώρα τη διακύμανση. Ας επιλέξουμε πρώτα έναν τύπο για την εκτίμηση στατιστική διασπορά

. (2.9.4)

Ας ελέγξουμε τη συνέπεια της εκτίμησης διασποράς. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στον τύπο (2.9.4)

.

Για , ο πρώτος όρος συγκλίνει κατά πιθανότητα προς την ποσότητα , στο δεύτερο - έως . Έτσι, η εκτίμησή μας συγκλίνει ως προς την πιθανότητα στη διακύμανση

,

εξ ου και αυτή είναι πλούσιος .

Ας ελέγξουμε αμερόληπτη εκτιμήσεις για την ποσότητα. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε την έκφραση (2.9.1) με τον τύπο (2.9.4) και λαμβάνουμε υπόψη ότι οι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος

,

. (2.9.5)

Ας περάσουμε στον τύπο (2.9.5) σε διακυμάνσεις τυχαίων μεταβλητών

Επεκτείνοντας τις αγκύλες, παίρνουμε

,

. (2.9.6)

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία της τιμής (2.9.6), λαμβάνοντας υπόψη ότι

. (2.9.7)

Η σχέση (2.9.7) δείχνει ότι η τιμή που υπολογίζεται από τον τύπο (2.9.4) δεν είναι αμερόληπτος εκτιμητής για διασπορά. Η μαθηματική του προσδοκία δεν είναι ίση, αλλά κάπως μικρότερη. Μια τέτοια εκτίμηση οδηγεί σε συστηματικό σφάλμα προς τα κάτω. Για να εξαλειφθεί μια τέτοια προκατάληψη, είναι απαραίτητο να εισαχθεί μια διόρθωση πολλαπλασιάζοντας όχι την τιμή . Τότε μια τέτοια διορθωμένη στατιστική διακύμανση μπορεί να χρησιμεύσει ως αμερόληπτη εκτίμηση για τη διακύμανση

. (2.9.8)

Αυτή η εκτίμηση είναι εξίσου συνεπής με την εκτίμηση , γιατί για .

Στην πράξη, αντί για εκτίμηση (2.9.8), μερικές φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείται μια ισοδύναμη εκτίμηση που σχετίζεται με τη δεύτερη αρχική στατιστική στιγμή

. (2.9.9)

Οι εκτιμήσεις (2.9.8), (2.9.9) δεν είναι αποτελεσματικές. Μπορεί να αποδειχθεί ότι στην περίπτωση μιας κανονικής κατανομής θα είναι ασυμπτωτικά αποτελεσματική (πότε θα τείνει στην ελάχιστη δυνατή τιμή).

Έτσι, είναι δυνατό να διατυπωθούν οι ακόλουθοι κανόνες για την επεξεργασία περιορισμένου στατιστικού υλικού. Αν σε ανεξάρτητα πειράματα η τυχαία μεταβλητή παίρνει τις τιμές με άγνωστη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση, τότε για τον προσδιορισμό αυτών των παραμέτρων, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατά προσέγγιση εκτιμήσεις

(2.9.10)

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει σε:

Σημειώσεις διάλεξης για τα μαθηματικά θεωρία πιθανοτήτων μαθηματικές στατιστικές

Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών και Πληροφορικής.. σημειώσεις διαλέξεων.. στα μαθηματικά..

Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό αποδείχθηκε χρήσιμο για εσάς, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

τιτίβισμα

Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:

Θεωρία πιθανοτήτων
Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τα μοτίβα φαινομένων τυχαίας μάζας. Το τυχαίο είναι ένα φαινόμενο που

Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας
Ένα συμβάν είναι ένα τυχαίο φαινόμενο που, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, μπορεί να εμφανιστεί ή να μην εμφανιστεί (φαινόμενο δύο τιμών). Προσδιορίστε εκδηλώσεις με κεφαλαία λατινικά γράμματα

Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων
Αφήστε ένα σύνολο γεγονότων να συσχετιστεί με κάποια εμπειρία και: 1) ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, ένα και μοναδικό

Δράσεις σε εκδηλώσεις
Το άθροισμα δύο γεγονότων και

Μεταθέσεις
Συμβολίζεται ο αριθμός των διαφορετικών μεταθέσεων στοιχείων

Διαμονή
Τοποθέτηση στοιχείων από

Συνδυασμοί
Συνδυασμός στοιχείων

Ο τύπος για την προσθήκη πιθανοτήτων για ασύμβατα συμβάντα
Θεώρημα. Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. (1

Τύπος προσθήκης πιθανοτήτων για αυθαίρετα γεγονότα
Θεώρημα. Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα του γινόμενου τους.

Τύπος πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων
Ας δοθούν δύο γεγονότα. Σκεφτείτε ένα γεγονός

Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων
Έστω μια πλήρης ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων, ονομάζονται υποθέσεις. Σκεφτείτε κάποιο γεγονός

Τύπος πιθανοτήτων υποθέσεων (Bayes)
Σκεφτείτε ξανά - την πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων υποθέσεων και το γεγονός

Ασυμπτωτικός τύπος Poisson
Σε περιπτώσεις που ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος και η πιθανότητα να συμβεί κάποιο συμβάν

Τυχαίες διακριτές μεταβλητές
Μια τυχαία τιμή είναι μια ποσότητα που, όταν το πείραμα επαναλαμβάνεται, μπορεί να λάβει άνισες αριθμητικές τιμές. Η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή,

Τυχαίες συνεχείς μεταβλητές
Εάν, ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή από ένα συγκεκριμένο τμήμα ή ολόκληρο τον πραγματικό άξονα, τότε ονομάζεται συνεχής. νόμος

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τυχαίας συνεχούς μεταβλητής
Ας είναι. Σκεφτείτε ένα σημείο και δώστε του μια αύξηση

Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
Οι τυχαίες διακριτές ή συνεχείς μεταβλητές θεωρούνται πλήρως καθορισμένες εάν είναι γνωστοί οι νόμοι κατανομής τους. Πράγματι, γνωρίζοντας τους νόμους της διανομής, μπορεί κανείς πάντα να υπολογίσει την πιθανότητα να χτυπήσει

Ποσότητες τυχαίων μεταβλητών
Ποσότητα της τάξης μιας τυχαίας συνεχούς μεταβλητής

Μαθηματική προσδοκία τυχαίων μεταβλητών
Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής χαρακτηρίζει τη μέση τιμή της. Όλες οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής ομαδοποιούνται γύρω από αυτήν την τιμή. Θεωρήστε πρώτα μια τυχαία διακριτή μεταβλητή

Τυπική απόκλιση και διακύμανση τυχαίων μεταβλητών
Θεωρήστε πρώτα μια τυχαία διακριτή μεταβλητή. Αριθμητικά χαρακτηριστικά του τρόπου λειτουργίας, διάμεσος, ποσοστάσια και μαθηματική προσδοκία

Στιγμές τυχαίων μεταβλητών
Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση, η θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιεί αριθμητικά χαρακτηριστικά υψηλότερων τάξεων, τα οποία ονομάζονται ροπές τυχαίων μεταβλητών.

Θεωρήματα για τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών
Θεώρημα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας μη τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με αυτήν την ίδια την τιμή. Απόδειξη: Αφήστε

Διωνυμικός νόμος κατανομής

Νόμος διανομής Poisson
Αφήστε μια τυχαία διακριτή μεταβλητή να παίρνει τις τιμές

Ομοιόμορφος νόμος διανομής
Ο ομοιόμορφος νόμος κατανομής μιας τυχαίας συνεχούς μεταβλητής είναι ο νόμος της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, ο οποίος

Κανονικός νόμος διανομής
Ο κανονικός νόμος κατανομής μιας τυχαίας συνεχούς μεταβλητής είναι ο νόμος της συνάρτησης πυκνότητας

Νόμος εκθετικής κατανομής
Η εκθετική ή εκθετική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιείται σε τέτοιες εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων όπως η θεωρία ουρών, η θεωρία αξιοπιστίας

Συστήματα τυχαίων μεταβλητών
Στην πράξη, σε εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων, κάποιος συχνά πρέπει να αντιμετωπίσει προβλήματα στα οποία τα αποτελέσματα ενός πειράματος περιγράφονται όχι από μία τυχαία μεταβλητή, αλλά από πολλές τυχαίες μεταβλητές ταυτόχρονα.

Σύστημα δύο τυχαίων διακριτών μεταβλητών
Ας σχηματίσουν ένα σύστημα δύο τυχαίες διακριτές μεταβλητές. Τυχαία τιμή

Σύστημα δύο τυχαίων συνεχών μεταβλητών
Τώρα αφήστε το σύστημα να σχηματιστεί από δύο τυχαίες συνεχείς μεταβλητές. Ο νόμος κατανομής αυτού του συστήματος ονομάζεται πιθανώς

Οι υπό όρους νόμοι διανομής
Έστω και εξαρτώμενες τυχαίες συνεχείς μεταβλητές

Αριθμητικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος δύο τυχαίων μεταβλητών
Η αρχική στιγμή της τάξης του συστήματος των τυχαίων μεταβλητών

Σύστημα πολλών τυχαίων μεταβλητών
Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται για ένα σύστημα δύο τυχαίων μεταβλητών μπορούν να γενικευθούν στην περίπτωση συστημάτων που αποτελούνται από έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών. Αφήστε το σύστημα να σχηματιστεί από το σύνολο

Κανονική κατανομή ενός συστήματος δύο τυχαίων μεταβλητών
Θεωρήστε ένα σύστημα δύο τυχαίων συνεχών μεταβλητών. Ο νόμος κατανομής αυτού του συστήματος είναι ο κανονικός νόμος κατανομής

Οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων
Ο κύριος στόχος του κλάδου της θεωρίας πιθανοτήτων είναι να μελετήσει τα μοτίβα των φαινομένων τυχαίας μάζας. Η πρακτική δείχνει ότι η παρατήρηση μιας μάζας ομοιογενών τυχαίων φαινομένων αποκαλύπτει

Η ανισότητα του Chebyshev
Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία

Το θεώρημα του Chebyshev
Εάν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη και έχουν πεπερασμένες διακυμάνσεις περιορισμένες στον πληθυσμό

Θεώρημα Bernoulli
Με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των πειραμάτων, η συχνότητα εμφάνισης ενός συμβάντος συγκλίνει ως προς την πιθανότητα προς την πιθανότητα ενός γεγονότος

Κεντρικό οριακό θεώρημα
Όταν προσθέτετε τυχαίες μεταβλητές με οποιουσδήποτε νόμους κατανομής, αλλά με αποκλίσεις περιορισμένες στο σύνολο, ο νόμος κατανομής

Κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής
Οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων που συζητήθηκαν παραπάνω είναι μια μαθηματική έκφραση πραγματικών προτύπων που υπάρχουν στην πραγματικότητα σε διάφορα τυχαία φαινόμενα μάζας. μελετώντας

Ένα απλό στατιστικό. Συνάρτηση στατιστικής κατανομής
Εξετάστε μια τυχαία μεταβλητή της οποίας ο νόμος κατανομής είναι άγνωστος. Απαιτείται βάσει εμπειρίας

Στατιστική γραμμή. ραβδόγραμμα
Με μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων (της τάξης των εκατοντάδων), ο γενικός πληθυσμός γίνεται άβολος και δυσκίνητος για την καταγραφή στατιστικού υλικού. Για σαφήνεια και συμπαγή, στατιστικό υλικό

Αριθμητικά χαρακτηριστικά της στατιστικής κατανομής
Στη θεωρία πιθανοτήτων, λήφθηκαν υπόψη διάφορα αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία, διασπορά, αρχικές και κεντρικές ροπές διαφόρων τάξεων. Παρόμοιοι αριθμοί

Επιλογή της θεωρητικής κατανομής με τη μέθοδο των ροπών
Σε κάθε στατιστική κατανομή, υπάρχουν αναπόφευκτα στοιχεία τυχαίας που συνδέονται με τον περιορισμένο αριθμό παρατηρήσεων. Με μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων, αυτά τα στοιχεία της τυχαιότητας εξομαλύνονται,

Έλεγχος της αληθοφάνειας της υπόθεσης για τη μορφή του νόμου κατανομής
Αφήστε τη δεδομένη στατιστική κατανομή να προσεγγιστεί με κάποια θεωρητική καμπύλη ή

Κριτήρια συναίνεσης
Εξετάστε ένα από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα τεστ καλής προσαρμογής, το λεγόμενο τεστ Pearson. Υποθέτω

Σημειακές εκτιμήσεις για άγνωστες παραμέτρους κατανομής
Στο p.p. 2.1. - 2.7 εξετάσαμε λεπτομερώς τους τρόπους επίλυσης του πρώτου και του δεύτερου κύριου προβλημάτων της μαθηματικής στατιστικής. Αυτά είναι τα καθήκοντα προσδιορισμού των νόμων κατανομής τυχαίων μεταβλητών σύμφωνα με πειραματικά δεδομένα

Διάστημα εμπιστοσύνης. Πιθανότητα εμπιστοσύνης
Στην πράξη, με έναν μικρό αριθμό πειραμάτων σε μια τυχαία μεταβλητή, μια κατά προσέγγιση αντικατάσταση μιας άγνωστης παραμέτρου

Αφήστε το τυχαίο δείγμα να δημιουργηθεί από την παρατηρούμενη τυχαία μεταβλητή ξ, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση που είναι άγνωστα. Ως εκτιμήσεις για αυτά τα χαρακτηριστικά, προτάθηκε η χρήση του μέσου όρου του δείγματος

και διακύμανση δείγματος

. (3.14)

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των εκτιμήσεων των μαθηματικών προσδοκιών και της διακύμανσης.

1. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία του μέσου όρου του δείγματος:

Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής για .

2. Υπενθυμίζουμε ότι τα αποτελέσματα οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, καθεμία από τις οποίες έχει τον ίδιο νόμο κατανομής με την τιμή, που σημαίνει ότι , , . Θα υποθέσουμε ότι η διακύμανση είναι πεπερασμένη. Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Chebyshev για το νόμο των μεγάλων αριθμών, για οποιοδήποτε ε > 0 έχουμε την ισότητα ,

που μπορεί να γραφτεί ως εξής: . (3.16) Συγκρίνοντας το (3.16) με τον ορισμό της ιδιότητας συνέπειας (3.11), βλέπουμε ότι η εκτίμηση είναι μια συνεπής εκτίμηση της προσδοκίας .

3. Βρείτε τη διακύμανση του μέσου όρου του δείγματος:

. (3.17)

Έτσι, η διακύμανση της εκτίμησης προσδοκιών μειώνεται αντιστρόφως με το μέγεθος του δείγματος.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η τυχαία μεταβλητή ξ κατανέμεται κανονικά, τότε ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια αποτελεσματική εκτίμηση της αναμενόμενης τιμής, δηλαδή, η διακύμανση παίρνει τη μικρότερη τιμή σε σύγκριση με οποιαδήποτε άλλη εκτίμηση της αναμενόμενης τιμής. Για άλλους νόμους κατανομής του ξ, αυτό μπορεί να μην ισχύει.

Η διακύμανση του δείγματος είναι μια μεροληπτική εκτίμηση της διακύμανσης, δεδομένου ότι . (3.18)

Πράγματι, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και του τύπου (3.17), βρίσκουμε

.

Για να ληφθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης, η εκτίμηση (3.14) πρέπει να διορθωθεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί με . Τότε παίρνουμε την αμερόληπτη διακύμανση του δείγματος

. (3.19)

Σημειώνουμε ότι οι τύποι (3.14) και (3.19) διαφέρουν μόνο ως προς τον παρονομαστή και για μεγάλες τιμές το δείγμα και οι αμερόληπτες διακυμάνσεις διαφέρουν ελάχιστα. Ωστόσο, για μικρό μέγεθος δείγματος, θα πρέπει να χρησιμοποιείται η σχέση (3.19).

Για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής, χρησιμοποιείται η λεγόμενη «διορθωμένη» τυπική απόκλιση, η οποία ισούται με την τετραγωνική ρίζα της αμερόληπτης διακύμανσης: .

Εκτιμήσεις διαστήματος

Στη στατιστική, υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την εκτίμηση άγνωστων παραμέτρων των κατανομών: σημείο και διάστημα. Σύμφωνα με την εκτίμηση σημείων, η οποία συζητήθηκε στην προηγούμενη ενότητα, υποδεικνύεται μόνο το σημείο κοντά στο οποίο βρίσκεται η εκτιμώμενη παράμετρος. Ωστόσο, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε πόσο μακριά μπορεί πραγματικά να σταθεί αυτή η παράμετρος από την πιθανή εφαρμογή εκτιμήσεων σε διαφορετικές σειρές παρατηρήσεων.

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα - επίσης κατά προσέγγιση - δίνει έναν άλλο τρόπο εκτίμησης των παραμέτρων - το διάστημα. Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο εκτίμησης, βρίσκεται ένα διάστημα που, με πιθανότητα κοντά στο ένα, καλύπτει μια άγνωστη αριθμητική τιμή της παραμέτρου.

Η έννοια της εκτίμησης διαστήματος

Εκτίμηση σημείων είναι μια τυχαία μεταβλητή και για πιθανές υλοποιήσεις του δείγματος λαμβάνει τιμές μόνο περίπου ίσες με την πραγματική τιμή της παραμέτρου. Όσο μικρότερη είναι η διαφορά, τόσο πιο ακριβής είναι η εκτίμηση. Έτσι, ένας θετικός αριθμός για τον οποίο , χαρακτηρίζει την ακρίβεια της εκτίμησης και καλείται σφάλμα εκτίμησης (ή οριακό σφάλμα).

Πιθανότητα εμπιστοσύνης(ή αξιοπιστία)ονομάζεται πιθανότητα β , με την οποία η ανισότητα , δηλ.

. (3.20)

Αντικατάσταση της ανισότητας την ισοδύναμη διπλή του ανισότητα , ή , παίρνουμε

Διάστημα καλύπτοντας με πιθανότητα β , , άγνωστη παράμετρος , καλείται διάστημα εμπιστοσύνης (ή εκτίμηση διαστήματος),που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης β .

Μια τυχαία μεταβλητή δεν είναι μόνο μια εκτίμηση, αλλά και ένα σφάλμα: η τιμή της εξαρτάται από την πιθανότητα β και, κατά κανόνα, από το δείγμα. Επομένως, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι τυχαίο και η έκφραση (3.21) θα πρέπει να διαβαστεί ως εξής: «Το διάστημα θα καλύψει την παράμετρο με την πιθανότητα β », και όχι ως εξής: «Η παράμετρος θα πέσει στο διάστημα με μια πιθανότητα β ”.

Η έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι ότι με επαναλαμβανόμενη επανάληψη του όγκου του δείγματος στη σχετική αναλογία περιπτώσεων ίση με β , διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης β , καλύπτει την πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου. Άρα το επίπεδο εμπιστοσύνης β χαρακτηρίζει αξιοπιστίααξιολόγηση εμπιστοσύνης: τόσο περισσότερο β , τόσο πιο πιθανό είναι η υλοποίηση του διαστήματος εμπιστοσύνης να περιέχει μια άγνωστη παράμετρο.