Να αναφέρετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης καθώς διαβάζονται. Ιδιότητες πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και διαίρεσης ακεραίων

Ας σχεδιάσουμε ένα παραλληλόγραμμο σε ένα χαρτί σε ένα κλουβί με πλευρές 5 εκ. και 3 εκ. Ας το σπάσουμε σε τετράγωνα με πλευρά 1 εκ. (εικ. 143). Ας μετρήσουμε τον αριθμό των κελιών που βρίσκονται στο ορθογώνιο. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, έτσι.

Ο αριθμός των τετραγώνων με πλευρά 1 cm είναι 5 * 3. Κάθε τέτοιο τετράγωνο αποτελείται από τέσσερα κελιά. Επομένως, ο συνολικός αριθμός κελιών είναι (5 * 3 ) * 4 .

Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί διαφορετικά. Κάθε μία από τις πέντε στήλες του ορθογωνίου αποτελείται από τρία τετράγωνα με πλευρά 1 εκ. Επομένως, μια στήλη περιέχει 3 * 4 κελιά. Επομένως, θα υπάρχουν συνολικά 5 * (3 * 4 ) κελιά.

Ο αριθμός των κυττάρων στο Σχήμα 143 απεικονίζει με δύο τρόπους συνειρμική ιδιότητα πολλαπλασιασμούγια τους αριθμούς 5, 3 και 4. Έχουμε: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Για να πολλαπλασιάσετε το γινόμενο δύο αριθμών με έναν τρίτο αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον πρώτο αριθμό με το γινόμενο του δεύτερου και του τρίτου αριθμού.

(ab)c = a(bc)

Από τις μεταθετικές και συσχετιστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού προκύπτει ότι κατά τον πολλαπλασιασμό πολλών αριθμών, οι παράγοντες μπορούν να εναλλάσσονται και να περικλείονται σε αγκύλες, καθορίζοντας έτσι τη σειρά των υπολογισμών.

Για παράδειγμα, οι ισότητες είναι αληθείς:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Στο σχήμα 144, το τμήμα ΑΒ διαιρεί το ορθογώνιο που εξετάστηκε παραπάνω σε ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο.

Μετράμε τον αριθμό των τετραγώνων με πλευρά 1 cm με δύο τρόπους.

Από τη μία πλευρά, υπάρχουν 3 * 3 από αυτά στο τετράγωνο που προκύπτει και 3 * 2 στο ορθογώνιο. Συνολικά παίρνουμε 3 * 3 + 3 * 2 τετράγωνα. Από την άλλη πλευρά, κάθε μία από τις τρεις σειρές αυτού του ορθογωνίου περιέχει 3 + 2 τετράγωνα. Τότε ο συνολικός αριθμός τους είναι 3 * (3 + 2 ).

Ισούται με 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 εικονογραφήσεις κατανεμητική ιδιότητα πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με το άθροισμα δύο αριθμών, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με κάθε όρο και να προσθέσετε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Σε κυριολεκτική μορφή, αυτή η ιδιότητα γράφεται ως εξής:

a(b + c) = ab + ac

Από την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση προκύπτει ότι

ab + ac = a(b + c).

Αυτή η ισότητα επιτρέπει στον τύπο P = 2 a + 2 b να βρει την περίμετρο ενός ορθογωνίου που γράφεται ως εξής:

P = 2 (a + b).

Σημειώστε ότι η ιδιότητα διανομής ισχύει για τρεις ή περισσότερους όρους. Για παράδειγμα:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + υδ.

Ισχύει επίσης η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: αν b > c ή b = c, τότε

a(b − c) = ab − ac

Παράδειγμα 1 . Υπολογίστε με βολικό τρόπο:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Χρησιμοποιούμε τις μεταθετικές και στη συνέχεια τις συσχετιστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Έχουμε:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Παράδειγμα 2 . Απλοποιήστε την έκφραση:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Χρησιμοποιώντας τις μεταθετικές και συσχετιστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, παίρνουμε:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την αφαίρεση, παίρνουμε:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Παράδειγμα 3 . Να γράψετε την παράσταση 5 (2 m + 7) ώστε να μην περιέχει αγκύλες.

Σύμφωνα με την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση, έχουμε:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Ένας τέτοιος μετασχηματισμός ονομάζεται ανοιγόμενα στηρίγματα.

Παράδειγμα 4 . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 125 * 24 * 283 με βολικό τρόπο.

Λύση. Εχουμε:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Παράδειγμα 5 . Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό: 3 ημέρες 18 ώρες * 6.

Λύση. Εχουμε:

3 ημέρες 18 ώρες * 6 = 18 ημέρες 108 ώρες = 22 ημέρες 12 ώρες

Κατά την επίλυση του παραδείγματος χρησιμοποιήθηκε η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση:

3 ημέρες 18 ώρες * 6 = (3 ημέρες + 18 ώρες) * 6 = 3 ημέρες * 6 + 18 ώρες * 6 = 18 ημέρες + 108 ώρες = 18 ημέρες + 96 ώρες + 12 ώρες = 18 ημέρες + 4 ημέρες + 12 ώρες = 22 ημέρες 12 ώρες

Μπορεί να σημειωθεί ένας αριθμός εγγενών αποτελεσμάτων αυτής της ενέργειας. Αυτά τα αποτελέσματα ονομάζονται ιδιότητες πρόσθεσης φυσικών αριθμών. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις ιδιότητες της πρόσθεσης φυσικών αριθμών, θα τους γράψουμε χρησιμοποιώντας γράμματα και θα δώσουμε επεξηγηματικά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Συνειρμική ιδιότητα πρόσθεσης φυσικών αριθμών.

Τώρα δίνουμε ένα παράδειγμα που απεικονίζει τη συσχετιστική ιδιότητα της πρόσθεσης φυσικών αριθμών.

Φανταστείτε μια κατάσταση: 1 μήλο έπεσε από την πρώτη μηλιά και 2 μήλα και 4 ακόμη μήλα έπεσαν από τη δεύτερη μηλιά. Τώρα σκεφτείτε την ακόλουθη κατάσταση: 1 μήλο και 2 ακόμη μήλα έπεσαν από την πρώτη μηλιά και 4 μήλα έπεσαν από τη δεύτερη μηλιά. Είναι σαφές ότι ο ίδιος αριθμός μήλων θα υπάρχουν στο έδαφος τόσο στην πρώτη όσο και στη δεύτερη περίπτωση (τα οποία μπορούν να ελεγχθούν επανυπολογισμός). Δηλαδή, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης του αριθμού 1 στο άθροισμα των αριθμών 2 και 4 είναι ίσο με το αποτέλεσμα της πρόσθεσης του αθροίσματος των αριθμών 1 και 2 στον αριθμό 4.

Το εξεταζόμενο παράδειγμα μας επιτρέπει να διατυπώσουμε τη συσχετιστική ιδιότητα της πρόσθεσης φυσικών αριθμών: για να προσθέσετε ένα δεδομένο άθροισμα δύο αριθμών σε έναν δεδομένο αριθμό, μπορείτε να προσθέσετε τον πρώτο όρο αυτού του αθροίσματος σε αυτόν τον αριθμό και να προσθέσετε τον δεύτερο όρο του αυτό το άθροισμα στο αποτέλεσμα που προκύπτει. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας γράμματα όπως αυτό: α+(β+γ)=(α+β)+γ, όπου a , b και c είναι αυθαίρετοι φυσικοί αριθμοί.

Σημειώστε ότι στην ισότητα a+(b+c)=(a+b)+c υπάρχουν παρενθέσεις "(" και ")". Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται σε εκφράσεις για να υποδείξουν τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες - οι ενέργειες σε αγκύλες εκτελούνται πρώτα (περισσότερα για αυτό στην ενότητα). Με άλλα λόγια, οι αγκύλες περικλείουν εκφράσεις των οποίων οι τιμές αξιολογούνται πρώτα.

Συμπερασματικά αυτής της ενότητας, σημειώνουμε ότι η συσχετιστική ιδιότητα της πρόσθεσης μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε μοναδικά πρόσθεση τριών, τεσσάρων ή περισσότερων φυσικών αριθμών.

Η ιδιότητα της πρόσθεσης μηδέν και ενός φυσικού αριθμού, η ιδιότητα της πρόσθεσης μηδέν στο μηδέν.

Γνωρίζουμε ότι το μηδέν ΔΕΝ είναι φυσικός αριθμός. Γιατί λοιπόν αποφασίσαμε να εξετάσουμε την ιδιότητα πρόσθεσης του μηδενός και ενός φυσικού αριθμού σε αυτό το άρθρο; Υπάρχουν τρεις λόγοι για αυτό. Πρώτον, αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται όταν πρόσθεση στηλών φυσικών αριθμών. Δεύτερον, αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται όταν αφαίρεση φυσικών αριθμών. Τρίτον: αν υποθέσουμε ότι το μηδέν σημαίνει την απουσία κάτι, τότε η έννοια της προσθήκης μηδέν και ενός φυσικού αριθμού είναι ίδια με αίσθηση πρόσθεσης δύο φυσικών αριθμών.

Ας εκτελέσουμε τον συλλογισμό που θα μας βοηθήσει να διατυπώσουμε την ιδιότητα πρόσθεσης του μηδενός και ενός φυσικού αριθμού. Φανταστείτε ότι δεν υπάρχουν στοιχεία στο πλαίσιο (με άλλα λόγια, υπάρχουν 0 στοιχεία στο πλαίσιο) και τοποθετούνται ένα στοιχείο σε αυτό, όπου α είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός. Δηλαδή, προστέθηκαν 0 και ένα στοιχεία. Είναι ξεκάθαρο ότι μετά από αυτή την ενέργεια υπάρχουν αντικείμενα στο πλαίσιο. Επομένως, η ισότητα 0+a=a είναι αληθής.

Ομοίως, εάν ένα πλαίσιο περιέχει ένα στοιχείο και προστεθούν 0 στοιχεία σε αυτό (δηλαδή, δεν προστίθενται στοιχεία), τότε μετά από αυτήν την ενέργεια, ένα στοιχείο θα βρίσκεται στο πλαίσιο. Άρα a+0=a .

Τώρα μπορούμε να δηλώσουμε την ιδιότητα της πρόσθεσης του μηδενός και ενός φυσικού αριθμού: το άθροισμα δύο αριθμών, εκ των οποίων ο ένας είναι μηδέν, ισούται με τον δεύτερο αριθμό. Μαθηματικά, αυτή η ιδιότητα μπορεί να γραφτεί ως η ακόλουθη ισότητα: 0+a=aή a+0=a, όπου a είναι ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός.

Ξεχωριστά, δίνουμε προσοχή στο γεγονός ότι κατά την πρόσθεση ενός φυσικού αριθμού και του μηδενός, η μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης παραμένει αληθής, δηλαδή a+0=0+a .

Τέλος, διατυπώνουμε την ιδιότητα προσθήκης μηδέν-μηδέν (είναι αρκετά προφανής και δεν χρειάζεται πρόσθετα σχόλια): το άθροισμα δύο αριθμών που ο καθένας είναι μηδέν είναι μηδέν. Αυτό είναι, 0+0=0 .

Τώρα ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς πρόσθεση φυσικών αριθμών.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για τις τάξεις 1, 2, 3, 4 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
• Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για 5 τάξεις εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Το θέμα στο οποίο είναι αφιερωμένο αυτό το μάθημα είναι «Ιδιότητες πρόσθεσης». Σε αυτό, θα εξοικειωθείτε με τις μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης, εξετάζοντάς τις με συγκεκριμένα παραδείγματα. Μάθετε πότε μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε για να διευκολύνετε τη διαδικασία υπολογισμού. Οι περιπτώσεις δοκιμών θα σας βοηθήσουν να προσδιορίσετε πόσο καλά έχετε μάθει το υλικό.

Μάθημα: Ιδιότητες προσθήκης

Ρίξτε μια προσεκτική ματιά στην έκφραση:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Πρέπει να βρούμε την αξία του. Ας το κάνουμε.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Το αποτέλεσμα της παράστασης 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Πες μου, ήταν βολικό να υπολογίσω; Ο υπολογισμός δεν ήταν πολύ βολικός. Κοιτάξτε ξανά τους αριθμούς σε αυτήν την έκφραση. Είναι δυνατόν να τα ανταλλάξουμε ώστε να είναι πιο βολικοί οι υπολογισμοί;

Αν αναδιατάξουμε τους αριθμούς διαφορετικά:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Το τελικό αποτέλεσμα της έκφρασης είναι 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Βλέπουμε ότι τα αποτελέσματα των εκφράσεων είναι τα ίδια.

Οι όροι μπορούν να εναλλάσσονται εάν είναι βολικό για υπολογισμούς και η αξία του αθροίσματος δεν θα αλλάξει από αυτό.

Υπάρχει ένας νόμος στα μαθηματικά: Μεταθετικός νόμος της πρόσθεσης. Λέει ότι το άθροισμα δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των όρων.

Ο θείος Φιόντορ και ο Σαρίκ μάλωναν. Ο Σαρίκ βρήκε την αξία της έκφρασης όπως ήταν γραμμένη και ο θείος Φιόντορ είπε ότι ήξερε έναν άλλο, πιο βολικό τρόπο υπολογισμού. Βλέπετε πιο βολικό τρόπο υπολογισμού;

Η μπάλα έλυσε την έκφραση όπως είναι γραμμένη. Και ο θείος Φιόντορ είπε ότι γνωρίζει τον νόμο που σας επιτρέπει να αλλάξετε τους όρους και άλλαξε τους αριθμούς 25 και 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο, αλλά ο υπολογισμός έχει γίνει πολύ πιο εύκολος.

Δείτε τις παρακάτω εκφράσεις και διαβάστε τις.

6 + (24 + 51) = 81 (στο 6 προσθέστε το άθροισμα των 24 και 51)
Υπάρχει κάποιος βολικός τρόπος υπολογισμού;
Βλέπουμε ότι αν προσθέσουμε 6 και 24, παίρνουμε έναν στρογγυλό αριθμό. Είναι πάντα πιο εύκολο να προσθέσετε κάτι σε έναν στρογγυλό αριθμό. Πάρτε σε παρένθεση το άθροισμα των αριθμών 6 και 24.
(6 + 24) + 51 = …
(προσθέστε 51 στο άθροισμα των αριθμών 6 και 24)

Ας υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης και ας δούμε αν έχει αλλάξει η τιμή της παράστασης;

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Βλέπουμε ότι η αξία της έκφρασης παραμένει η ίδια.

Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα.

(27 + 19) + 1 = 47 (προσθέστε 1 στο άθροισμα των αριθμών 27 και 19)
Ποιοι αριθμοί μπορούν εύκολα να ομαδοποιηθούν με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ένας βολικός τρόπος;
Μαντέψατε ότι αυτοί είναι οι αριθμοί 19 και 1. Ας πάρουμε το άθροισμα των αριθμών 19 και 1 σε αγκύλες.
27 + (19 + 1) = …
(στο 27 προσθέστε το άθροισμα των αριθμών 19 και 1)
Ας βρούμε την αξία αυτής της έκφρασης. Θυμόμαστε ότι η ενέργεια στην παρένθεση εκτελείται πρώτα.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Το νόημα της έκφρασής μας παραμένει το ίδιο.

Συνειρμικός νόμος της πρόσθεσης: δύο γειτονικοί όροι μπορούν να αντικατασταθούν από το άθροισμά τους.

Τώρα ας εξασκηθούμε χρησιμοποιώντας και τους δύο νόμους. Πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Πρώτον, χρησιμοποιούμε την ανταλλακτική ιδιότητα της πρόσθεσης, η οποία μας επιτρέπει να ανταλλάσσουμε όρους. Ας ανταλλάξουμε τους όρους 14 και 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Τώρα χρησιμοποιούμε τη συσχετιστική ιδιότητα, η οποία μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε δύο γειτονικούς όρους με το άθροισμά τους.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Αρχικά, βρίσκουμε την τιμή του αθροίσματος των 38 και 2.

Τώρα το άθροισμα είναι 14 και 6.

3. Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Ανοιχτό Μάθημα» ().

κάντε στο σπίτι

1. Υπολογίστε το άθροισμα των όρων με διάφορους τρόπους:

α) 5 + 3 + 5 β) 7 + 8 + 13 γ) 24 + 9 + 16

2. Υπολογίστε τα αποτελέσματα των παραστάσεων:

α) 19 + 4 + 16 + 1 β) 8 + 15 + 12 + 5 γ) 20 + 9 + 30 + 1

3. Υπολογίστε το ποσό με βολικό τρόπο:

α) 10 + 12 + 8 + 20 β) 17 + 4 + 3 + 16 γ) 9 + 7 + 21 + 13

Έχουμε ορίσει πρόσθεση, πολλαπλασιασμό, αφαίρεση και διαίρεση ακεραίων. Αυτές οι ενέργειες (πράξεις) έχουν μια σειρά από χαρακτηριστικά αποτελέσματα, τα οποία ονομάζονται ιδιότητες. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των ακεραίων, από τις οποίες προκύπτουν όλες οι άλλες ιδιότητες αυτών των πράξεων, καθώς και οι ιδιότητες της αφαίρεσης και της διαίρεσης ακεραίων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η πρόσθεση ακεραίων έχει πολλές άλλες πολύ σημαντικές ιδιότητες.

Ένα από αυτά σχετίζεται με την ύπαρξη του μηδενός. Αυτή η ιδιότητα της πρόσθεσης ακεραίων δηλώνει ότι Η προσθήκη μηδέν σε οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό δεν αλλάζει αυτόν τον αριθμό. Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα της πρόσθεσης χρησιμοποιώντας τα γράμματα: a+0=a και 0+a=a (αυτή η ισότητα ισχύει λόγω της αντικαταστατικής ιδιότητας της πρόσθεσης), a είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Μπορεί να ακούσετε ότι ο ακέραιος μηδέν ονομάζεται επιπλέον ουδέτερο στοιχείο. Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα. Το άθροισμα ενός ακέραιου −78 και μηδέν είναι −78 ; Αν προσθέσουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό 999 στο μηδέν, τότε παίρνουμε τον αριθμό 999 ως αποτέλεσμα.

Θα διατυπώσουμε τώρα μια άλλη ιδιότητα της πρόσθεσης ακεραίων, η οποία σχετίζεται με την ύπαρξη αντίθετου αριθμού για κάθε ακέραιο. Το άθροισμα οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού με τον αντίθετό του είναι μηδέν. Εδώ είναι η κυριολεκτική μορφή αυτής της ιδιότητας: a+(−a)=0 , όπου a και −a είναι αντίθετοι ακέραιοι. Για παράδειγμα, το άθροισμα 901+(−901) είναι μηδέν. Ομοίως, το άθροισμα των αντίθετων ακεραίων −97 και 97 είναι μηδέν.

Βασικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού ακεραίων

Ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων αριθμών έχει όλες τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών. Παραθέτουμε τα κύρια από αυτά τα ακίνητα.

Όπως το μηδέν είναι ουδέτερος ακέραιος ως προς την πρόσθεση, το ένα είναι ουδέτερος ακέραιος ως προς τον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Αυτό είναι, Ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού επί ένα δεν αλλάζει τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται. Άρα 1·a=a , όπου a είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως 1=a, αυτό μας επιτρέπει να κάνουμε τη μεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Ας δώσουμε δύο παραδείγματα. Το γινόμενο του ακέραιου αριθμού 556 επί 1 είναι 556. το γινόμενο ενός και ενός αρνητικού ακέραιου −78 είναι −78 .

Η επόμενη ιδιότητα του ακέραιου πολλαπλασιασμού σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού a με το μηδέν είναι μηδέν, δηλαδή ένα 0=0 . Η ισότητα 0·a=0 ισχύει και λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού των ακεραίων. Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, όταν a=0, το γινόμενο μηδέν και μηδέν είναι ίσο με μηδέν.

Για τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων, ισχύει και η ιδιότητα αντίθετη από την προηγούμενη. Ισχυρίζεται ότι το γινόμενο δύο ακεραίων είναι ίσο με μηδέν αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Σε κυριολεκτική μορφή, αυτή η ιδιότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής: a·b=0 , εάν είτε a=0 , είτε b=0 , είτε και τα δύο a και b είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα.

Διανεμητική ιδιότητα πολλαπλασιασμού ακεραίων ως προς την πρόσθεση

Μαζί, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων μας επιτρέπει να εξετάσουμε την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση, η οποία συνδέει τις δύο υποδεικνυόμενες ενέργειες. Η χρήση πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μαζί ανοίγει πρόσθετες δυνατότητες που θα μας έλειπαν αν θεωρούσαμε την πρόσθεση ξεχωριστά από τον πολλαπλασιασμό.

Έτσι, η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση λέει ότι το γινόμενο ενός ακέραιου αριθμού a και του αθροίσματος δύο ακεραίων αριθμών a και b είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των a b και a c, δηλαδή, α (β+γ)=α β+α γ. Η ίδια ιδιότητα μπορεί να γραφτεί με άλλη μορφή: (α+β) γ=α γ+β γ .

Η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ακεραίων σε σχέση με την πρόσθεση, μαζί με τη συσχετιστική ιδιότητα της πρόσθεσης, καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου με το άθροισμα τριών ή περισσότερων ακεραίων και στη συνέχεια τον πολλαπλασιασμό του αθροίσματος των ακεραίων με το άθροισμα.

Σημειώστε επίσης ότι όλες οι άλλες ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ακεραίων μπορούν να ληφθούν από τις ιδιότητες που υποδείξαμε, δηλαδή είναι συνέπειες των παραπάνω ιδιοτήτων.

Ιδιότητες αφαίρεσης ακεραίων

Από την ισότητα που προκύπτει, καθώς και από τις ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ακεραίων, ακολουθούν οι ακόλουθες ιδιότητες αφαίρεσης ακεραίων (α, β και γ είναι αυθαίρετοι ακέραιοι):

• Η αφαίρεση ακεραίων γενικά ΔΕΝ έχει την ανταλλάξιμη ιδιότητα: a−b≠b−a .
• Η διαφορά ίσων ακεραίων είναι ίση με μηδέν: a−a=0 .
• Η ιδιότητα της αφαίρεσης του αθροίσματος δύο ακεραίων από έναν δεδομένο ακέραιο: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Η ιδιότητα της αφαίρεσης ενός ακέραιου από το άθροισμα δύο ακεραίων: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: a (b−c)=a b−a c και (a−b) c=a c−b γ.
• Και όλες οι άλλες ιδιότητες της αφαίρεσης ακεραίων.

Ιδιότητες διαίρεσης ακέραιων αριθμών

Διαφωνώντας για την έννοια της διαίρεσης των ακεραίων, ανακαλύψαμε ότι η διαίρεση ακεραίων είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Δώσαμε τον ακόλουθο ορισμό: διαίρεση ακεραίων είναι η εύρεση ενός άγνωστου παράγοντα με ένα γνωστό γινόμενο και έναν γνωστό παράγοντα. Δηλαδή, ονομάζουμε ακέραιο c το πηλίκο του ακέραιου a διαιρούμενο με τον ακέραιο b όταν το γινόμενο c·b είναι ίσο με a .

Αυτός ο ορισμός, καθώς και όλες οι ιδιότητες των πράξεων σε ακέραιους αριθμούς που εξετάστηκαν παραπάνω, μας επιτρέπουν να καθορίσουμε την εγκυρότητα των ακόλουθων ιδιοτήτων διαίρεσης ακεραίων:

• Κανένας ακέραιος δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν.
• Η ιδιότητα της διαίρεσης του μηδενός με έναν αυθαίρετο μη μηδενικό ακέραιο αριθμό a : 0:a=0 .
• Ιδιότητα διαίρεσης ίσων ακεραίων: a:a=1 , όπου a είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός ακέραιος.
• Η ιδιότητα της διαίρεσης ενός αυθαίρετου ακέραιου α με ένα: a:1=a .
• Γενικά, η διαίρεση ακεραίων ΔΕΝ έχει τη μεταθετική ιδιότητα: a:b≠b:a .
• Οι ιδιότητες της διαίρεσης του αθροίσματος και της διαφοράς δύο ακεραίων με έναν ακέραιο είναι: (a+b):c=a:c+b:c και (a−b):c=a:c−b:c , όπου α , b , και c είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε τόσο το a όσο και το b διαιρούνται με το c και το c είναι μη μηδενικό.
• Η ιδιότητα της διαίρεσης του γινομένου δύο ακεραίων a και b με έναν μη μηδενικό ακέραιο c : (a b):c=(a:c) b αν το a διαιρείται με το c ; (a b):c=a (b:c) αν το b διαιρείται με το c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) αν και το a και το b διαιρούνται με το c .
• Η ιδιότητα της διαίρεσης ενός ακέραιου αριθμού a με το γινόμενο δύο ακεραίων b και c (αριθμοί a , b και c έτσι ώστε να είναι δυνατή η διαίρεση του a με το b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) β .
• Οποιαδήποτε άλλη ιδιότητα διαίρεσης ακεραίων.