Παραδείγματα ορισμένου ολοκληρώματος κατά εξαρτήματα. Επίλυση ολοκληρωμάτων online

Προηγουμένως, για μια δεδομένη συνάρτηση, καθοδηγούμενη από διάφορους τύπους και κανόνες, βρήκαμε την παράγωγό της. Το παράγωγο έχει πολλές εφαρμογές: είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). κλίση της εφαπτομένης στο γράφημα της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να διερευνήσετε τη συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. Βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Αλλά μαζί με το πρόβλημα της εύρεσης της ταχύτητας από έναν γνωστό νόμο κίνησης, υπάρχει επίσης ένα αντίστροφο πρόβλημα - το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης από μια γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.

Παράδειγμα 1Ένα υλικό σημείο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής, η ταχύτητα της κίνησής του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο v=gt. Βρείτε το νόμο της κίνησης.
Λύση. Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = v(t). Έτσι, για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να επιλέξετε μια συνάρτηση s = s(t), της οποίας η παράγωγος είναι ίση με gt. Είναι εύκολο να μαντέψετε ότι \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Πράγματι
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Απάντηση: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Σημειώνουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Πήραμε \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος του κίνηση, αφού \(\αριστερά (\frac(gt^2)(2) +C \δεξιά)" = gt \)

Για να κάνουμε το πρόβλημα πιο συγκεκριμένο, έπρεπε να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη του κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα, στο t = 0. Αν, ας πούμε, s(0) = s 0 , τότε από την ισότητα s(t) = (gt 2)/2 + C παίρνουμε: s(0) = 0 + C, δηλ. C = s 0 . Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

Στα μαθηματικά, στις αμοιβαίες αντίστροφες πράξεις εκχωρούνται διαφορετικά ονόματα, βγαίνουν με ειδικούς συμβολισμούς, για παράδειγμα: τετραγωνισμός (x 2) και εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας (\(\sqrt(x) \)), ημιτόνου (sin x) και arcsine ( arcsin x) κ.λπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ως προς μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση, και η αντίστροφη πράξη, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης μιας συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο, - ενσωμάτωση.

Ο ίδιος ο όρος "παράγωγο" μπορεί να δικαιολογηθεί "με κοσμικό τρόπο": η συνάρτηση y \u003d f (x) "παράγει στον κόσμο" μια νέα συνάρτηση y" \u003d f "(x). Η συνάρτηση y \u003d f (x) λειτουργεί σαν "γονέας", αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν την αποκαλούν "γονέα" ή "παραγωγό", λένε ότι αυτό είναι, σε σχέση με τη συνάρτηση y " = f" (x) , η κύρια εικόνα ή αντιπαράγωγο.

Ορισμός.Μια συνάρτηση y = F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση y = f(x) σε ένα διάστημα X εάν το \(x \σε X \) ικανοποιεί την ισότητα F"(x) = f(x)

Στην πράξη, το διάστημα Χ συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο της συνάρτησης).

Ας δώσουμε παραδείγματα.
1) Η συνάρτηση y \u003d x 2 είναι μια αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d 2x, αφού για κάθε x η ισότητα (x 2) "\u003d 2x είναι αληθής
2) Η συνάρτηση y \u003d x 3 είναι μια αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d 3x 2, αφού για κάθε x η ισότητα (x 3)" \u003d 3x 2 είναι αληθής
3) Η συνάρτηση y \u003d sin (x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d cos (x), αφού για κάθε x η ισότητα (sin (x)) "= cos (x) είναι αληθής

Κατά την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι, αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.

Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 1Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.

Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 2Εάν το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το f(x), τότε το kF(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το kf(x).

Θεώρημα 1.Αν y = F(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(kx + m) είναι η συνάρτηση \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Θεώρημα 2.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση y = f(x) σε ένα διάστημα X, τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F(x) + Γ.

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής (μέθοδος αντικατάστασης)

Η μέθοδος ολοκλήρωσης υποκατάστασης συνίσταται στην εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης (δηλαδή μιας αντικατάστασης). Σε αυτήν την περίπτωση, το δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα νέο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι πίνακας ή αναγώγιμο σε αυτό. Δεν υπάρχουν γενικές μέθοδοι για την επιλογή αντικαταστάσεων. Η ικανότητα ορθού προσδιορισμού της αντικατάστασης αποκτάται με την πρακτική.
Έστω ότι απαιτείται να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \(\textstyle \int F(x)dx \). Ας κάνουμε μια αντικατάσταση \(x= \varphi(t) \) όπου \(\varphi(t) \) είναι μια συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο.
Στη συνέχεια, \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) και με βάση την ιδιότητα αμετάβλητης του αόριστου τύπου ολοκληρωτικής ολοκλήρωσης, λαμβάνουμε τον τύπο ολοκλήρωσης αντικατάστασης:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Ενσωμάτωση παραστάσεων όπως \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Αν το m είναι περιττό, m > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση sin x = t.
Αν το n είναι περιττό, n > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση cos x = t.
Αν τα n και m είναι άρτια, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση tg x = t.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα

Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα - εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο για ενσωμάτωση:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ή:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων

Γεια σου και πάλι. Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να ενσωματώνουμε ανά μέρη. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του ολοκληρωτικού λογισμού. Στο τεστ, στις εξετάσεις, ο μαθητής σχεδόν πάντα προσφέρεται να λύσει ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων: το απλούστερο ολοκλήρωμα (δείτε άρθρο)ή ένα ολοκλήρωμα για την αλλαγή της μεταβλητής (δείτε άρθρο)ή το αναπόσπαστο ακριβώς επάνω μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα.

Όπως πάντα, στο χέρι θα πρέπει να είναι: Πίνακας ολοκληρωμάτωνκαι Πίνακας παραγώγων. Αν πάλι δεν τα έχετε, επισκεφθείτε την αποθήκη του ιστότοπού μου: Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώνετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνεπή, απλό και προσιτό τρόπο· δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση ανά μέρη.

Τι πρόβλημα λύνει η ενσωμάτωση με εξαρτήματα; Η μέθοδος ενσωμάτωσης με εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα, σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, δουλειάλειτουργίες, και σε ορισμένες περιπτώσεις - και ιδιωτικές. Όπως θυμόμαστε, δεν υπάρχει βολική φόρμουλα: . Υπάρχει όμως αυτό: είναι ο τύπος για την ενσωμάτωση από εξαρτήματα αυτοπροσώπως. Ξέρω, ξέρω, είσαι ο μόνος - μαζί της θα δουλέψουμε όλο το μάθημα (είναι ήδη πιο εύκολο).

Και αμέσως η λίστα στο στούντιο. Τα ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων λαμβάνονται ανά εξαρτήματα:

1) , , - λογάριθμος, λογάριθμος πολλαπλασιασμένος με κάποιο πολυώνυμο.

2) ,είναι μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο πολυώνυμο. Αυτό περιλαμβάνει επίσης ολοκληρώματα όπως - μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με ένα πολυώνυμο, αλλά στην πράξη είναι 97 τοις εκατό, ένα όμορφο γράμμα "e" εμφανίζεται κάτω από το ολοκλήρωμα. ... το άρθρο αποδεικνύεται κάτι λυρικό, ω ναι ... ήρθε η άνοιξη.

3) , , είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.

4) , - αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ("καμάρες"), "καμάρες", πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.

Επίσης, μερικά κλάσματα λαμβάνονται σε μέρη, θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.

Ολοκληρώματα λογαρίθμων

Παράδειγμα 1

Κλασσικός. Κατά καιρούς, αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι επιθυμητό να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει μπέρι-μπέρι την άνοιξη και θα μαλώσει πολύ. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Εμείς αποφασίζουμε:

Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα:

Ο τύπος εφαρμόζεται από αριστερά προς τα δεξιά

Κοιτάμε την αριστερή πλευρά:. Προφανώς, στο παράδειγμά μας (και σε όλα τα άλλα που θα εξετάσουμε), κάτι πρέπει να συμβολίζεται με , και κάτι με .

Στα ολοκληρώματα του υπό εξέταση τύπου συμβολίζουμε πάντα τον λογάριθμο.

Τεχνικά, ο σχεδιασμός της λύσης υλοποιείται ως εξής, γράφουμε στη στήλη:

Δηλαδή, γιατί συμβολίσαμε τον λογάριθμο και για - το υπόλοιπο μέροςολοκληρωτέου.

Επόμενο βήμα: βρείτε το διαφορικό:

Το διαφορικό είναι σχεδόν το ίδιο με την παράγωγο, έχουμε ήδη συζητήσει πώς να το βρούμε σε προηγούμενα μαθήματα.

Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση. Για να βρεθεί η συνάρτηση είναι απαραίτητο να ενσωματωθεί σωστη πλευραχαμηλότερη ισότητα:

Τώρα ανοίγουμε τη λύση μας και κατασκευάζουμε τη δεξιά πλευρά του τύπου: .
Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα τελικής λύσης με μικρές σημειώσεις:

Η μόνη στιγμή στο γινόμενο, αναδιάταξα αμέσως και, αφού συνηθίζεται να γράφω τον πολλαπλασιαστή πριν από τον λογάριθμο.

Όπως μπορείτε να δείτε, η εφαρμογή της φόρμουλας ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα μείωσε ουσιαστικά τη λύση μας σε δύο απλά ολοκληρώματα.

Σημειώστε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις αμέσως μετάΕφαρμογή του τύπου, πραγματοποιείται αναγκαστικά μια απλοποίηση κάτω από το υπόλοιπο ολοκλήρωμα - στο υπό εξέταση παράδειγμα, μειώσαμε το ολοκλήρωμα κατά "x".

Ας κάνουμε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την παράγωγο της απάντησης:

Λαμβάνεται το αρχικό ολοκλήρωμα, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα έχει λυθεί σωστά.

Κατά την επαλήθευση, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων: . Και αυτό δεν είναι τυχαίο.

Ενσωμάτωση με τύπο εξαρτημάτων και φόρμουλα Αυτοί είναι δύο αμοιβαία αντίστροφοι κανόνες.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Το ολοκλήρωμα είναι το γινόμενο του λογάριθμου και του πολυωνύμου.
Εμείς αποφασίζουμε.

Θα περιγράψω για άλλη μια φορά λεπτομερώς τη διαδικασία εφαρμογής του κανόνα, στο μέλλον τα παραδείγματα θα γίνουν πιο συνοπτικά και αν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες να το λύσετε μόνοι σας, πρέπει να επιστρέψετε στα δύο πρώτα παραδείγματα του μαθήματος .

Όπως αναφέρθηκε ήδη, γιατί είναι απαραίτητο να ορίσουμε τον λογάριθμο (το γεγονός ότι είναι σε βαθμό δεν έχει σημασία). δηλώνουμε το υπόλοιπο μέροςολοκληρωτέου.

Γράφουμε σε στήλη:

Πρώτα βρίσκουμε τη διαφορά:

Εδώ χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης . Δεν είναι τυχαίο ότι στο πρώτο κιόλας μάθημα του θέματος Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνΕπικεντρώθηκα στο γεγονός ότι για να κατακτήσεις τα ολοκληρώματα πρέπει να «πιάσεις το χέρι σου» στα παράγωγα. Τα παράγωγα θα πρέπει να αντιμετωπίσουν περισσότερες από μία φορές.

Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση, για αυτό ενσωματώνουμε σωστη πλευραχαμηλότερη ισότητα:

Για την ολοκλήρωση, εφαρμόσαμε τον απλούστερο πίνακα τύπου

Τώρα είστε έτοιμοι να εφαρμόσετε τον τύπο . Το ανοίγουμε με έναν "αστερίσκο" και "σχεδιάζουμε" τη λύση σύμφωνα με τη δεξιά πλευρά:

Κάτω από το ολοκλήρωμα, έχουμε πάλι ένα πολυώνυμο στον λογάριθμο! Επομένως, η λύση διακόπτεται ξανά και εφαρμόζεται δεύτερη φορά ο κανόνας της ενσωμάτωσης κατά εξαρτήματα. Μην ξεχνάτε ότι για παρόμοιες καταστάσεις ο λογάριθμος συμβολίζεται πάντα.

Θα ήταν ωραίο αν σε αυτό το σημείο μπορούσατε να βρείτε προφορικά τα απλούστερα ολοκληρώματα και παράγωγα.

(1) Μην μπερδεύεστε στα ζώδια! Πολύ συχνά ένα μείον χάνεται εδώ, σημειώστε επίσης ότι ισχύει το μείον σε όλουςυποστήριγμα , και αυτές οι αγκύλες πρέπει να ανοίξουν σωστά.

(2) Αναπτύξτε τις αγκύλες. Απλοποιούμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.

(3) Παίρνουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.

(4) «Χτενίζοντας» την απάντηση.

Η ανάγκη εφαρμογής του κανόνα της ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα δύο φορές (ή και τρεις φορές) δεν είναι ασυνήθιστη.

Και τώρα μερικά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό το παράδειγμα λύνεται με την αλλαγή της μεθόδου μεταβλητής (ή την υπαγωγή κάτω από το διαφορικό πρόσημο)! Και γιατί όχι - μπορείτε να προσπαθήσετε να το πάρετε σε μέρη, έχετε ένα αστείο πράγμα.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αλλά αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται από μέρη (το υποσχεμένο κλάσμα).

Αυτά είναι παραδείγματα αυτολύσεως, λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Φαίνεται ότι στα παραδείγματα 3,4 τα ολοκληρώματα είναι παρόμοια, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης είναι διαφορετικές! Αυτή είναι ακριβώς η κύρια δυσκολία στην κυριαρχία των ολοκληρωμάτων - αν επιλέξετε τη λάθος μέθοδο για την επίλυση του ολοκληρώματος, τότε μπορείτε να το κάνετε βιολί για ώρες, όπως με ένα πραγματικό παζλ. Επομένως, όσο περισσότερα λύνετε διάφορα ολοκληρώματα, τόσο το καλύτερο, τόσο πιο εύκολο θα είναι το τεστ και η εξέταση. Επιπλέον, το δεύτερο έτος θα υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις και χωρίς εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων και παραγώγων δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε εκεί.

Με λογάριθμους, ίσως περισσότερο από αρκετό. Για ένα σνακ, μπορώ επίσης να θυμηθώ ότι οι φοιτητές τεχνολογίας αποκαλούν λογάριθμους για το γυναικείο στήθος =). Παρεμπιπτόντως, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε από καρδιάς τα γραφήματα των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη τόξου, εκθέτης, πολυώνυμα τρίτου, τέταρτου βαθμού κ.λπ. Όχι, φυσικά, ένα προφυλακτικό σε μια υδρόγειο σφαίρα
Δεν θα τραβήξω, αλλά τώρα θα θυμάστε πολλά από την ενότητα Γραφήματα και συναρτήσεις =).

Ολοκληρώματα του εκθέτη πολλαπλασιαζόμενα με το πολυώνυμο

Γενικός κανόνας:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Χρησιμοποιώντας έναν γνωστό αλγόριθμο, ενσωματώνουμε ανά μέρη:

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με το ενσωματωμένο, τότε θα πρέπει να επιστρέψετε στο άρθρο Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.

Το μόνο άλλο που πρέπει να κάνετε είναι να «χτενίσετε» την απάντηση:

Αλλά αν η τεχνική υπολογισμού σας δεν είναι πολύ καλή, τότε αφήστε την πιο κερδοφόρα επιλογή ως απάντηση. ή ακόμη και

Δηλαδή, το παράδειγμα θεωρείται λυμένο όταν ληφθεί το τελευταίο ολοκλήρωμα. Δεν θα είναι λάθος, είναι ένα άλλο θέμα που μπορεί να ζητήσει ο δάσκαλος για να απλοποιήσει την απάντηση.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται δύο φορές από εξαρτήματα. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στα σημάδια - είναι εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτά, θυμόμαστε επίσης ότι - μια σύνθετη λειτουργία.

Δεν υπάρχουν πολλά περισσότερα να πούμε για τον εκθέτη. Μπορώ μόνο να προσθέσω ότι ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις, είμαι εγώ στο θέμα των ψυχαγωγικών γραφημάτων ανώτερων μαθηματικών =) Σταμάτα-σταμάτα, μην ανησυχείς, ο λέκτορας είναι νηφάλιος.

Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο

Γενικός κανόνας: σημαίνει πάντα το πολυώνυμο

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα:

Χμμμ... και τίποτα να σχολιάσω.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου".

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ένα άλλο παράδειγμα με ένα κλάσμα. Όπως και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα, ένα πολυώνυμο συμβολίζεται με.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα:

Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες ή παρεξήγηση με την εύρεση του ολοκληρώματος, τότε σας προτείνω να παρακολουθήσετε το μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Συμβουλή: πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο ολοκλήρωσης με μέρη, θα πρέπει να εφαρμόσετε κάποιον τριγωνομετρικό τύπο που μετατρέπει το γινόμενο δύο τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε μία συνάρτηση. Ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά την εφαρμογή της μεθόδου ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα, για τα οποία είναι πιο βολικό.

Αυτό, ίσως, είναι όλο σε αυτήν την παράγραφο. Για κάποιο λόγο, θυμήθηκα μια γραμμή από τον ύμνο του Τμήματος Φυσικής και Μαθηματικών "Και το ημιτονογράφημα κύμα μετά το κύμα τρέχει κατά μήκος του άξονα της τετμημένης" ....

Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο

Γενικός κανόνας: σημαίνει πάντα την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.

Υπενθυμίζω ότι οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τόξο, αρκοσίνη, τόξο και εφαπτομένη. Για λόγους συντομίας θα τα ονομάσω "καμάρες"