Διάμεσος δειγματοληπτικών δεδομένων. Διάμεση συνάρτηση στο excel για την εκτέλεση στατιστικής ανάλυσης
Μαζί με τις μέσες τιμές, οι δομικοί μέσοι όροι υπολογίζονται ως στατιστικά χαρακτηριστικά της σειράς μεταβλητής κατανομής - μόδακαι διάμεσος.
ΜόδαΤο (Mo) αντιπροσωπεύει την τιμή του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, που επαναλαμβάνεται με την υψηλότερη συχνότητα, δηλ. mode είναι η τιμή της δυνατότητας που εμφανίζεται πιο συχνά.
διάμεσος(Εγώ) είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που πέφτει στη μέση του ταξινομημένου (διατεταγμένου) πληθυσμού, δηλ. διάμεσος - η κεντρική τιμή της σειράς παραλλαγής.
Η κύρια ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή ∑|x i - Me|=min.
Προσδιορισμός λειτουργίας και διάμεσων δεδομένων από μη ομαδοποιημένα δεδομένα
Σκεφτείτε προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι τα συνεργεία εργασίας, που αποτελούνται από 9 άτομα, έχουν τις ακόλουθες μισθολογικές κατηγορίες: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Δεδομένου ότι αυτή η ομάδα έχει τους περισσότερους εργαζόμενους της 3ης κατηγορίας, αυτή η κατηγορία τιμολόγησης θα είναι modal. Mo = 3.Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να ταξινομήσετε: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Κεντρική θέση σε αυτή τη σειρά είναι ο εργάτης της 4ης κατηγορίας, επομένως, αυτή η κατηγορία θα είναι η διάμεσος. Εάν η σειρά κατάταξης περιλαμβάνει ζυγό αριθμό μονάδων, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών.
Εάν ο τρόπος λειτουργίας αντικατοπτρίζει την πιο κοινή παραλλαγή της τιμής του χαρακτηριστικού, τότε η διάμεσος πρακτικά εκτελεί τις λειτουργίες ενός μέσου όρου για έναν ετερογενή πληθυσμό που δεν υπακούει στον κανονικό νόμο κατανομής. Ας επεξηγήσουμε τη γνωστική του σημασία με το ακόλουθο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να χαρακτηρίσουμε το μέσο εισόδημα μιας ομάδας ανθρώπων που αριθμούν 100 άτομα, εκ των οποίων τα 99 έχουν εισοδήματα από 100 έως 200 $ το μήνα και το μηνιαίο εισόδημα των τελευταίων είναι 50.000 $ (Πίνακας 1).
Πίνακας 1 - Μηνιαία εισοδήματα της υπό μελέτη ομάδας ατόμων. Αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, παίρνουμε ένα μέσο εισόδημα περίπου 600 - 700 δολαρίων, το οποίο έχει ελάχιστα κοινά με τα έσοδα του κύριου μέρους της ομάδας. Η διάμεσος, σε αυτή την περίπτωση ίση με Me = 163 δολάρια, θα μας επιτρέψει να δώσουμε μια αντικειμενική περιγραφή του επιπέδου εισοδήματος του 99% αυτής της ομάδας ανθρώπων.
Εξετάστε τον ορισμό του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου κατά ομαδοποιημένα δεδομένα (σειρές διανομής).
Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των εργαζομένων ολόκληρης της επιχείρησης στο σύνολό της σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία έχει την ακόλουθη μορφή (Πίνακας 2).
Πίνακας 2 - Κατανομή των εργαζομένων της επιχείρησης σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία
Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για μια διακριτή σειρά
Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσος για μια σειρά διαστήματος
Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της μέσης τιμής για μια σειρά παραλλαγής
Προσδιορισμός της λειτουργίας από μια σειρά διακριτών παραλλαγής
Χρησιμοποιείται η σειρά τιμών χαρακτηριστικών που δημιουργήθηκαν νωρίτερα, ταξινομημένα κατά τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μονό, πάρτε την κεντρική τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών.Προσδιορισμός της λειτουργίας από μια σειρά διακριτών παραλλαγής: η 5η κατηγορία τιμολογίων έχει την υψηλότερη συχνότητα (60 άτομα), επομένως, είναι modal. Mo = 5.
Για να προσδιοριστεί η διάμεση τιμή του χαρακτηριστικού, ο αριθμός της διάμεσης μονάδας της σειράς (N Me) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , όπου n είναι ο όγκος του πληθυσμού.
Στην περίπτωσή μας:
.
Η προκύπτουσα κλασματική τιμή, η οποία εμφανίζεται πάντα με ζυγό αριθμό μονάδων πληθυσμού, δείχνει ότι η ακριβής μέση τιμή είναι μεταξύ 95 και 96 εργαζομένων. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποια ομάδα ανήκουν οι εργαζόμενοι με αυτούς τους σειριακούς αριθμούς. Αυτό μπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των συσσωρευμένων συχνοτήτων. Δεν υπάρχουν εργαζόμενοι με αυτούς τους αριθμούς στην πρώτη ομάδα, όπου είναι μόνο 12 άτομα, και δεν είναι στη δεύτερη ομάδα (12+48=60). Οι εργαζόμενοι του 95ου και του 96ου ανήκουν στην τρίτη ομάδα (12+48+56=116), επομένως, η 4η μισθολογική κατηγορία είναι η διάμεσος.
Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου σε μια σειρά διαστήματος
Σε αντίθεση με τις διακριτές μεταβλητές σειρές, ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής από σειρές διαστήματος απαιτεί ορισμένους υπολογισμούς με βάση τους ακόλουθους τύπους:
, (5.6)
όπου x0- το κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων (το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται τροπικό)
Εγώείναι η τιμή του τροπικού διαστήματος.
fMoείναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.
fMo-1είναι η συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.
f Mo +1είναι η συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.
(5.7)
όπου x0– το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος (διάμεσος είναι το πρώτο διάστημα, του οποίου η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων).
Εγώείναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.
S Me-1- συσσωρευμένο διάστημα που προηγείται της διάμεσης τιμής.
στ Εγώείναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.
Παρουσιάζουμε την εφαρμογή αυτών των τύπων χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον Πίνακα. 3.
Το διάστημα με τα όρια 60 - 80 σε αυτή την κατανομή θα είναι τροπικό, γιατί έχει την υψηλότερη συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.6), προσδιορίζουμε τον τρόπο:
Για να καθοριστεί το διάμεσο διάστημα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συσσωρευμένη συχνότητα κάθε επόμενου διαστήματος έως ότου υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων (στην περίπτωσή μας, 50%) (Πίνακας 5.11).
Διαπιστώθηκε ότι η διάμεσος είναι το διάστημα με τα όρια των 100 - 120 χιλιάδων ρούβλια. Τώρα ορίζουμε τη διάμεσο:
Πίνακας 3 - Κατανομή του πληθυσμού της Ρωσικής Ομοσπονδίας με βάση το μέσο κατά κεφαλήν ονομαστικό εισόδημα σε μετρητά τον Μάρτιο του 1994
| Ομάδες κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν μηνιαίου εισοδήματος, χιλιάδες ρούβλια | Μερίδιο του πληθυσμού, % |
| Μέχρι 20 | 1,4 |
| 20 – 40 | 7,5 |
| 40 – 60 | 11,9 |
| 60 – 80 | 12,7 |
| 80 – 100 | 11,7 |
| 100 – 120 | 10,0 |
| 120 – 140 | 8,3 |
| 140 –160 | 6,8 |
| 160 – 180 | 5,5 |
| 180 – 200 | 4,4 |
| 200 – 220 | 3,5 |
| 220 – 240 | 2,9 |
| 240 – 260 | 2,3 |
| 260 – 280 | 1,9 |
| 280 – 300 | 1,5 |
| Πάνω από 300 | 7,7 |
| Σύνολο | 100,0 |
Πίνακας 4 - Ορισμός του μέσου διαστήματος
Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως γενικευμένο χαρακτηριστικό των τιμών ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού για μονάδες ενός ταξινομημένου πληθυσμού.
Το κύριο χαρακτηριστικό του κέντρου διανομής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όλες οι αποκλίσεις από αυτό (θετικές και αρνητικές) αθροίζονται στο μηδέν. Είναι χαρακτηριστικό για τη διάμεσο ότι το άθροισμα των αποκλίσεων από αυτήν στο συντελεστή είναι ελάχιστο και η λειτουργία είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Η αναλογία του τρόπου λειτουργίας, της διάμεσης και του αριθμητικού μέσου όρου δείχνει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο, μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Στις συμμετρικές κατανομές και τα τρία χαρακτηριστικά είναι ίδια. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου, τόσο πιο ασύμμετρη είναι η σειρά. Για μέτρια λοξές σειρές, η διαφορά μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου είναι περίπου τριπλάσια της διαφοράς μεταξύ της διάμεσης και του μέσου όρου, δηλ.:
|Mo–`x| = 3 |Εγώ –`x|.
Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου με γραφική μέθοδο
Η λειτουργία και η διάμεσος σε μια σειρά διαστήματος μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά. Η λειτουργία καθορίζεται από το ιστόγραμμα της κατανομής. Για να γίνει αυτό, επιλέγεται το ψηλότερο ορθογώνιο, το οποίο σε αυτή την περίπτωση είναι modal. Στη συνέχεια συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω δεξιά γωνία του προηγούμενου ορθογωνίου. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου είναι με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Από το σημείο τομής τους κατεβάζουμε την κάθετη προς τον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος κατανομής (Εικ. 5.3).
Ρύζι. 5.3. Γραφικός ορισμός της μόδας με ιστόγραμμα.
Ρύζι. 5.4. Γραφικός προσδιορισμός της διάμεσης τιμής με αθροιστική
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος από ένα σημείο της κλίμακας των συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνοτήτων) που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης μέχρι τη διασταύρωση με τη συσσώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής, μια κάθετη κατεβάζεται στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.
τεταρτημόρια, δεκατιανές, εκατοστιαίες μονάδες
Ομοίως, με την εύρεση της διάμεσης τιμής στη μεταβλητή σειρά κατανομής, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης με τη σειρά. Έτσι, για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού σε μονάδες που χωρίζουν τη σειρά σε τέσσερα ίσα μέρη, σε 10 ή 100 μέρη. Αυτές οι τιμές ονομάζονται "τεταρτημόρια", "δεκατιανό", "εκατοστημόρια".Τα τεταρτημόρια είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τον πληθυσμό σε 4 ίσα μέρη.
Διακρίνετε μεταξύ του κατώτερου τεταρτημορίου (Q 1), το οποίο χωρίζει το ¼ του πληθυσμού με τις χαμηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού, και του άνω τεταρτημορίου (Q 3), το οποίο αποκόπτει το ¼ τμήμα με τις υψηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού . Αυτό σημαίνει ότι το 25% των μονάδων πληθυσμού θα είναι μικρότερο από το Q 1 . Οι μονάδες 25% θα περικλείονται μεταξύ Q 1 και Q 2 . 25% - μεταξύ Q 2 και Q 3, και το υπόλοιπο 25% είναι ανώτερο από το Q 3. Το μεσαίο τεταρτημόριο του Q 2 είναι το διάμεσο.
Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων με βάση τη σειρά μεταβολών διαστήματος, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:
, 
,
όπου x Q 1– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 25%).
x Q 3– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 75%).
Εγώ– τιμή διαστήματος.
S Q 1-1είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
S Q 3-1είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο·
f Q 1είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο.
f Q 3είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο.
Εξετάστε τον υπολογισμό του κάτω και του άνω τεταρτημορίου σύμφωνα με τον Πίνακα. 5.10. Το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 60 - 80, η αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 33,5%. Το ανώτερο τεταρτημόριο βρίσκεται στην περιοχή 160 - 180 με συσσωρευμένη συχνότητα 75,8%. Έχοντας αυτό υπόψη, παίρνουμε:
,
.
Εκτός από τα τεταρτημόρια, τα δεκατιανά μπορούν να προσδιοριστούν στις τάξεις μεταβλητής κατανομής - επιλογές που διαιρούν τις ταξινομημένες μεταβλητές σειρές σε δέκα ίσα μέρη. Το πρώτο δεκαδικό (d 1) διαιρεί τον πληθυσμό 1/10 έως 9/10, το δεύτερο δεκαδικό (d 1) 2/10 έως 8/10, και ούτω καθεξής.
Υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους:
, 
.
Οι τιμές χαρακτηριστικών που χωρίζουν τη σειρά σε εκατό μέρη ονομάζονται εκατοστημόρια. Οι λόγοι της διάμεσης τιμής, των τεταρτημορίων, των δεκαδικών και των εκατοστημόνων φαίνονται στο Σχήμα. 5.5.
Μισθοί σε διάφορους τομείς της οικονομίας, θερμοκρασία και βροχόπτωση στην ίδια περιοχή για συγκρίσιμες χρονικές περιόδους, αποδόσεις καλλιεργειών σε διαφορετικές γεωγραφικές περιοχές κ.λπ. Ωστόσο, ο μέσος όρος δεν είναι σε καμία περίπτωση ο μόνος γενικευμένος δείκτης - σε ορισμένες περιπτώσεις για πιο ακριβή αξιολόγηση είναι κατάλληλη μια τιμή όπως η διάμεσος. Στις στατιστικές, χρησιμοποιείται ευρέως ως βοηθητικό περιγραφικό χαρακτηριστικό της κατανομής ενός χαρακτηριστικού σε έναν μεμονωμένο πληθυσμό. Ας δούμε πώς διαφέρει από τον μέσο όρο, καθώς και τι προκάλεσε την ανάγκη χρήσης του.
Διάμεσος στις στατιστικές: ορισμός και ιδιότητες
Φανταστείτε την εξής κατάσταση: 10 άτομα συνεργάζονται με τον διευθυντή σε μια εταιρεία. Οι απλοί υπάλληλοι λαμβάνουν 1.000 hryvnia ο καθένας και ο διευθυντής τους, ο οποίος, επιπλέον, είναι ο ιδιοκτήτης, λαμβάνει 10.000 hryvnia. Αν υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, αποδεικνύεται ότι ο μέσος μισθός σε αυτήν την επιχείρηση είναι 1900 UAH. Θα είναι αλήθεια αυτή η δήλωση; Ή για να πάρουμε αυτό το παράδειγμα, στο ίδιο δωμάτιο του νοσοκομείου υπάρχουν εννέα άτομα με θερμοκρασία 36,6°C και ένα άτομο με θερμοκρασία 41°C. Ο αριθμητικός μέσος όρος σε αυτήν την περίπτωση είναι: (36,6 * 9 + 41) / 10 \u003d 37,04 ° C. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι όλοι οι παρόντες είναι άρρωστοι. Όλα αυτά υποδηλώνουν ότι ο μέσος όρος από μόνος του συχνά δεν είναι αρκετός, και γι' αυτό χρησιμοποιείται και ο διάμεσος. Στα στατιστικά, αυτός ο δείκτης ονομάζεται παραλλαγή που βρίσκεται ακριβώς στη μέση μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών. Εάν το υπολογίσετε για τα παραδείγματά μας, θα λάβετε, αντίστοιχα, 1000 UAH. και 36,6 °C. Με άλλα λόγια, η διάμεσος στα στατιστικά είναι η τιμή που διαιρεί τη σειρά στο μισό με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της (πάνω ή κάτω) να βρίσκεται ο ίδιος αριθμός μονάδων του δεδομένου πληθυσμού. Λόγω αυτής της ιδιότητας, αυτός ο δείκτης έχει πολλά άλλα ονόματα: το 50ο εκατοστημόριο ή το 0,5 εκατοστημόριο.
Πώς να βρείτε τη διάμεσο στα στατιστικά
Η μέθοδος υπολογισμού αυτής της τιμής εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τον τύπο μεταβλητής σειράς που έχουμε: διακριτή ή διαλειμματική. Στην πρώτη περίπτωση, η διάμεσος στα στατιστικά στοιχεία είναι αρκετά απλή. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να βρείτε το άθροισμα των συχνοτήτων, να διαιρέσετε με το 2 και στη συνέχεια να προσθέσετε το ½ στο αποτέλεσμα. Θα ήταν καλύτερο να εξηγήσετε την αρχή υπολογισμού με το ακόλουθο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ομαδοποιήσει δεδομένα γονιμότητας και θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η διάμεσος.
Αριθμός ομάδας οικογένειας κατά αριθμό παιδιών | Αριθμός οικογενειών |
Έχοντας πραγματοποιήσει μερικούς απλούς υπολογισμούς, παίρνουμε ότι ο επιθυμητός δείκτης είναι ίσος με: 195/2 + ½ = επιλογή. Για να μάθετε τι σημαίνει αυτό, θα πρέπει να συγκεντρώνετε διαδοχικά τις συχνότητες, ξεκινώντας από τις μικρότερες επιλογές. Άρα, το άθροισμα των δύο πρώτων γραμμών μας δίνει 30. Σαφώς, δεν υπάρχουν 98 επιλογές εδώ. Αλλά αν προσθέσουμε τη συχνότητα της τρίτης επιλογής (70) στο αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα άθροισμα ίσο με 100. Περιέχει απλώς την 98η επιλογή, που σημαίνει ότι η διάμεσος θα είναι μια οικογένεια που έχει δύο παιδιά.
Όσον αφορά τη σειρά διαστημάτων, εδώ χρησιμοποιείται συνήθως ο ακόλουθος τύπος:
M e \u003d X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me, στην οποία:
- X Me - η πρώτη τιμή του διάμεσου διαστήματος.
- ∑f είναι ο αριθμός της σειράς (το άθροισμα των συχνοτήτων της).
- i Me - η τιμή της διάμεσης περιοχής.
- f Me - συχνότητα της διάμεσης περιοχής.
- S Me-1 - το άθροισμα των αθροιστικών συχνοτήτων στις περιοχές που προηγούνται της διάμεσης.
Και πάλι, είναι δύσκολο να το καταλάβουμε αυτό χωρίς παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δεδομένα για την τιμή
Μισθός, χιλιάδες ρούβλια | Συσσωρευμένες Συχνότητες |
|
Για να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο, πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε το διάμεσο διάστημα. Ως τέτοιο εύρος, επιλέγεται ένα, του οποίου η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει ή είναι ίση με το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων. Έτσι, διαιρώντας το 510 με 2, παίρνουμε ότι αυτό το κριτήριο αντιστοιχεί σε ένα διάστημα με μισθολογική αξία 250.000 ρούβλια. έως 300.000 ρούβλια Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε όλα τα δεδομένα στον τύπο:
M e \u003d X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me \u003d 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 \u003d 286,96 χιλιάδες ρούβλια.
Ελπίζουμε ότι το άρθρο μας ήταν χρήσιμο και τώρα έχετε μια ξεκάθαρη ιδέα για το τι είναι ο διάμεσος στα στατιστικά στοιχεία και πώς πρέπει να υπολογιστεί.
Για τον υπολογισμό της διάμεσης τιμής στο MS EXCEL υπάρχει μια ειδική συνάρτηση MEDIAN() . Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε τη διάμεσο και θα μάθουμε πώς να την υπολογίζουμε για ένα δείγμα και για έναν δεδομένο νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ας ξεκινήσουμε με διάμεσοιΓια δείγματα(δηλαδή για ένα σταθερό σύνολο τιμών).
Διάμεσος δείγματος
Διάμεσος(διάμεσος) είναι ο αριθμός που είναι το μέσο του συνόλου αριθμών: οι μισοί από τους αριθμούς στο σύνολο είναι μεγαλύτεροι από διάμεσος, και οι μισοί από τους αριθμούς είναι μικρότεροι από διάμεσος.
Να υπολογίσω διάμεσοιχρειάζεται πρώτα (τιμές σε δειγματοληψία). Για παράδειγμα, διάμεσοςγια δείγμα (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) θα είναι 4. Αφού. Μόνο σε δειγματοληψία 7 τιμές, τρεις από αυτές μικρότερες από 4 (δηλαδή 2; 3; 3) και τρεις τιμές μεγαλύτερες από (δηλαδή 5; 7; 10).
Εάν το σύνολο περιέχει ζυγό αριθμό αριθμών, τότε υπολογίζεται για δύο αριθμούς στη μέση του συνόλου. Για παράδειγμα, διάμεσοςγια δείγμα (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) θα είναι 4,5, γιατί (3+6)/2=4,5.
Για τον καθορισμό διάμεσοιστο MS EXCEL υπάρχει μια συνάρτηση με το ίδιο όνομα MEDIAN() , η αγγλική έκδοση του MEDIAN().
Διάμεσοςδεν ταιριάζει απαραίτητα. Μια αντιστοίχιση προκύπτει μόνο εάν οι τιμές στο δείγμα κατανέμονται συμμετρικά γύρω Μέσης. Για παράδειγμα, για δείγματα (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) διάμεσοςκαι μέση τιμήισούνται με 3,5.
Αν είναι γνωστό συνάρτηση διανομής F(x) ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Π(Χ), έπειτα διάμεσοςμπορεί να βρεθεί από την εξίσωση:
Για παράδειγμα, λύνοντας αναλυτικά αυτήν την εξίσωση για τη Λογοραμική κατανομή lnN(μ; σ 2), παίρνουμε ότι διάμεσοςυπολογίζεται με τον τύπο =EXP(μ). Για μ=0, η διάμεσος είναι 1.
Δώστε προσοχή στην τελεία Λειτουργίες διανομής, για το οποίο φά(x)=0,5(δείτε την παραπάνω εικόνα) . Η τετμημένη αυτού του σημείου είναι 1. Αυτή είναι η τιμή της διάμεσης τιμής, η οποία φυσικά συμπίπτει με την προηγουμένως υπολογισμένη τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο em.
στο MS EXCEL διάμεσοςΓια λογαριθμική κατανομήΤο LnN(0;1) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =LOGNORM.INV(0,5,0,1).
Σημείωση: Υπενθυμίζουμε ότι το ολοκλήρωμα του σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού μια τυχαία μεταβλητή ισούται με ένα.
Επομένως, η διάμεση γραμμή (x=Median) διαιρεί την περιοχή κάτω από το γράφημα συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότηταςσε δύο ίσα μέρη.
Λόγω του ότι ο ερευνητής δεν έχει στοιχεία για τον όγκο των πωλήσεων σε κάθε ανταλλακτήριο, ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής ανά δολάριο είναι ακατάλληλος.
Διάμεσος μιας σειράς αριθμών
Ωστόσο, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η τιμή του χαρακτηριστικού, το οποίο ονομάζεται διάμεσος (Me). Διάμεσος
στο παράδειγμά μας 
Διάμεσος αριθμός: NoMe = ;
Μόδα
Πίνακας 3.6.
φάείναι το άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς.
S αθροιστικές συχνότητες
12_
_
Τα S είναι συσσωρευμένες συχνότητες.
Στο σχ. 3.2. Εμφανίζεται ένα ιστόγραμμα μιας σειράς κατανομής των τραπεζών ανά κέρδος (σύμφωνα με τον Πίνακα 3.6.).
x είναι το ποσό του κέρδους, εκατομμύρια ρούβλια,
f είναι ο αριθμός των τραπεζών.
"ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑΣ"
Κείμενο HTML έκδοση της δημοσίευσης
Περίληψη του μαθήματος της άλγεβρας στην 7η τάξη
Θέμα μαθήματος: «ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΣΜΕΝΗΣ ΣΕΙΡΑΣ».
δάσκαλος του κλάδου Lake School του γυμνασίου MKOU Burkovskaya Eremenko Tatyana Alekseevna
Στόχοι:
την έννοια της διάμεσης τιμής ως στατιστικό χαρακτηριστικό μιας διατεταγμένης σειράς· να σχηματίσουν τη δυνατότητα εύρεσης της διάμεσης τιμής για ταξινομημένες σειρές με άρτιο και μονό αριθμό μελών. να διαμορφώσει την ικανότητα ερμηνείας των τιμών της διάμεσης τιμής ανάλογα με την πρακτική κατάσταση, να εδραιώσει την έννοια του αριθμητικού μέσου συνόλου αριθμών. Αναπτύξτε δεξιότητες ανεξάρτητης εργασίας. Δημιουργήστε ένα ενδιαφέρον για τα μαθηματικά.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
προφορική εργασία.
Δίνονται σειρές: 1) 4; ένας; οκτώ; 5; ένας; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; τέσσερα? 6; 7.3; 6. Βρείτε: α) τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές κάθε σειράς. β) το εύρος κάθε σειράς. γ) η μόδα της κάθε σειράς.
II. Επεξήγηση νέου υλικού.
Εργασία σχολικού βιβλίου. 1. Εξετάστε το πρόβλημα από την παράγραφο 10 του σχολικού βιβλίου. Τι σημαίνει διατεταγμένη σειρά; Τονίζω ότι πριν βρείτε τη διάμεσο, πρέπει πάντα να ταξινομείτε τις σειρές δεδομένων. 2. Στον πίνακα, εξοικειωνόμαστε με τους κανόνες εύρεσης του μέσου όρου για σειρές με άρτιο και μονό αριθμό μελών:
διάμεσος
τακτικός
σειρά
αριθμοί
Με
Περιττός
αριθμός
μέλη
κάλεσε τον αριθμό που γράφτηκε στη μέση, και
διάμεσος
διατεταγμένη σειρά
αριθμοί
με ζυγό αριθμό μελών
ονομάζεται αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών που γράφονται στη μέση.
διάμεσος
αυθαίρετος
σειρά
ονομάζεται διάμεσος 1 3 1 7 5 4 της αντίστοιχης διατεταγμένης σειράς.
Σημειώνω ότι οι δείκτες είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο τρόπος και ο διάμεσος για
διαφορετικά
χαρακτηρίζω
δεδομένα,
έλαβε
αποτέλεσμα
παρατηρήσεις.
III. Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων.
1η ομάδα. Ασκήσεις για την εφαρμογή τύπων για την εύρεση της διάμεσου μιας σειράς διατεταγμένης και μη διατεταγμένης. ένας.
№ 186.
Λύση:α) Αριθμός μελών της σειράς Π= 9; διάμεσος Μου= 41; σι) Π= 7, η σειρά είναι διατεταγμένη, Μου= 207; σε) Π= 6, η σειρά είναι διατεταγμένη, Μου== 21; ΣΟΛ) Π= 8, η σειρά είναι διατεταγμένη, Μου== 2,9. Απάντηση: α) 41; β) 207; στα 21? δ) 2.9. Οι μαθητές σχολιάζουν πώς βρίσκεται η διάμεσος. 2. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο και τη διάμεσο μιας σειράς αριθμών: α) 27, 29, 23, 31, 21, 34; σε) ; 1. β) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Λύση:Για να βρείτε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να ταξινομήσετε κάθε σειρά: α) 21, 23, 27, 29, 31, 34. Π = 6; Χ = = 27,5; Μου== 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + β) 56, 58, 62, 64, 66, 74.
Πώς να βρείτε τη διάμεσο στα στατιστικά
Π = 6; Χ = 63,3; Μου== 63; σε) ; ένας. Π = 5; Χ = : 5 = 3: 5 = 0,6; Μου = . 3.
№ 188
(προφορικά). Απάντηση: ναι? β) όχι? γ) όχι? δ) ναι. 4. Γνωρίζοντας ότι η παραγγελθείσα σειρά περιέχει tαριθμοί, όπου tείναι περιττός αριθμός, υποδείξτε τον αριθμό του όρου που είναι η διάμεσος αν tισούται με: α) 5; β) 17; γ) 47; δ) 201. Απάντηση: α) 3; β) 9; γ) 24; δ) 101. 2η ομάδα. Πρακτικές εργασίες για την εύρεση του μέσου όρου της αντίστοιχης σειράς και την ερμηνεία του αποτελέσματος. ένας.
№ 189.
Λύση:Αριθμός μελών της σειράς Π= 12. Για να βρεθεί η διάμεσος, η σειρά πρέπει να ταξινομηθεί: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Διάμεσος της σειράς Μου= = 176. Η μηνιαία παραγωγή ήταν μεγαλύτερη από τη διάμεση τιμή για τα ακόλουθα μέλη του artel: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 17 xx+ + = 1) Kvitko; 4) Bobkov; 2) Baranov; 5) Rylov; 3) Αντόνοφ; 6) Αστάφιεφ. Απάντηση: 176. 2.
№ 192.
Λύση:Ας τακτοποιήσουμε τις σειρές δεδομένων: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42. αριθμός μελών της σειράς Π= 20. Σύρετε ΕΝΑ = ΧΜέγιστη- Χ min = 42 - 30 = 12. Λειτουργία Μο= 32 (αυτή η τιμή εμφανίζεται 6 φορές - πιο συχνά από άλλες). Διάμεσος Μου= = 35. Σε αυτήν την περίπτωση, το εύρος δείχνει τη μεγαλύτερη διασπορά χρόνου για την επεξεργασία του εξαρτήματος. η λειτουργία δείχνει την πιο τυπική τιμή του χρόνου επεξεργασίας. διάμεσος είναι ο χρόνος επεξεργασίας που δεν ξεπέρασαν οι μισοί τορναδόροι. Απάντηση: 12; 32; 35.
IV. Περίληψη του μαθήματος.
Ποια είναι η διάμεσος μιας σειράς αριθμών; – Μπορεί η διάμεσος μιας σειράς αριθμών να μην συμπίπτει με κανέναν από τους αριθμούς της σειράς; – Ποιος αριθμός είναι η διάμεσος μιας διατεταγμένης σειράς που περιέχει 2 Παριθμοί; 2 Π– 1 νούμερα; Πώς να βρείτε τη διάμεσο μιας σειράς χωρίς παραγγελία;
Εργασία για το σπίτι:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =
Στην ενότητα βασική γενική εκπαίδευση
Λειτουργία και διάμεσος
Οι μέσες τιμές περιλαμβάνουν επίσης τη λειτουργία και τη διάμεσο.
Η διάμεσος και ο τρόπος χρησιμοποιούνται συχνά ως μέσο χαρακτηριστικό σε εκείνους τους πληθυσμούς όπου ο υπολογισμός του μέσου όρου (αριθμητικός, αρμονικός κ.λπ.) είναι αδύνατος ή μη πρακτικός.
Για παράδειγμα, μια δειγματοληπτική έρευνα στην πόλη του Ομσκ με 12 εμπορικά γραφεία συναλλάγματος κατέστησε δυνατό τον καθορισμό διαφόρων τιμών για το δολάριο κατά την πώλησή του (στοιχεία από τις 10 Οκτωβρίου 1995 με τη συναλλαγματική ισοτιμία του δολαρίου -4493 ρούβλια) .
Λόγω του γεγονότος ότι ο ερευνητής δεν έχει στοιχεία για τον όγκο των πωλήσεων σε κάθε ανταλλακτήριο, ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής ανά δολάριο είναι ακατάλληλος. Ωστόσο, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η τιμή του χαρακτηριστικού, το οποίο ονομάζεται διάμεσος (Me). Διάμεσοςβρίσκεται στη μέση της σειράς κατάταξης και την διχοτομεί.
Ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής για μη ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται ως εξής:
α) τακτοποιήστε τις επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού σε αύξουσα σειρά:
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570
β) προσδιορίστε τον αύξοντα αριθμό της διάμεσης τιμής με τον τύπο:
στο παράδειγμά μας Αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος σε αυτήν την περίπτωση βρίσκεται μεταξύ της έκτης και της έβδομης τιμής χαρακτηριστικών της σειράς κατάταξης, καθώς η σειρά έχει ζυγό αριθμό μεμονωμένων τιμών. Έτσι, το Me είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών τιμών: 4550, 4560.
γ) εξετάστε τη διαδικασία για τον υπολογισμό της διάμεσης τιμής στην περίπτωση περιττού αριθμού μεμονωμένων τιμών.
Ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε όχι 12, αλλά 11 σημεία ανταλλαγής νομισμάτων, τότε η σειρά κατάταξης θα μοιάζει με αυτό (απορρίπτουμε τον 12ο βαθμό):
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570
Διάμεσος αριθμός: NoMe = ;
στην έκτη θέση είναι = 4560, που είναι η διάμεσος: Me = 4560. Και στις δύο πλευρές του είναι ο ίδιος αριθμός πόντων.
Μόδα- αυτή είναι η πιο κοινή τιμή του χαρακτηριστικού σε μονάδες αυτού του πληθυσμού. Αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη χαρακτηριστική τιμή.
Στην περίπτωσή μας, η τιμή μοντάζ ανά δολάριο μπορεί να ονομαστεί 4560 ρούβλια: αυτή η τιμή επαναλαμβάνεται 4 φορές, πιο συχνά από όλες τις άλλες.
Στην πράξη, ο τρόπος και η διάμεσος βρίσκονται συνήθως από ομαδοποιημένα δεδομένα. Ως αποτέλεσμα της ομαδοποίησης, προέκυψε μια σειρά κατανομής των τραπεζών σύμφωνα με το ποσό του κέρδους που ελήφθη για τη χρήση (Πίνακας 3.6.).
Πίνακας 3.6.
Ομαδοποίηση τραπεζών κατά το ποσό των κερδών που εισπράχθηκαν για το έτος
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα των αθροιστικών συχνοτήτων. Η αύξηση του συνόλου συνεχίζεται έως ότου το σωρευτικό άθροισμα των συχνοτήτων υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συχνοτήτων. Στο παράδειγμά μας, το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων (12) υπερβαίνει το ήμισυ όλων των τιμών (20:2). Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο διάμεσο διάστημα, το οποίο περιέχει τη διάμεσο (5,5 - 6,4). Ας προσδιορίσουμε την τιμή του με τον τύπο:
πού είναι η αρχική τιμή του διαστήματος που περιέχει τη διάμεσο;
- την τιμή του διάμεσου διαστήματος.
φάείναι το άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς.
είναι το άθροισμα των αθροιστικών συχνοτήτων που προηγούνται του διάμεσου διαστήματος.
είναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.
Έτσι, το 50% των τραπεζών έχει κέρδη 6,1 εκατομμύρια ρούβλια και το 50% των τραπεζών - περισσότερα από 6,1 εκατομμύρια ρούβλια.
Η υψηλότερη συχνότητα αντιστοιχεί επίσης στο διάστημα 5,5 - 6,4, δηλ. η λειτουργία πρέπει να βρίσκεται σε αυτό το διάστημα. Η τιμή του καθορίζεται από τον τύπο:
πού είναι η αρχική τιμή του διαστήματος που περιέχει τη λειτουργία;
- την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.
είναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.
- τη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.
- τη συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.
Η δεδομένη φόρμουλα μόδας μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεταβλητές σειρές με ίσα διαστήματα.
Έτσι, σε αυτό το σύνολο, το πιο κοινό κέρδος είναι 6,10 εκατομμύρια ρούβλια.
Η διάμεσος και η λειτουργία μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά. Η διάμεσος προσδιορίζεται από τη σώρευση (Εικ. 3.1.). Για την κατασκευή του, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι αθροιστικές συχνότητες και συχνότητες. Οι αθροιστικές συχνότητες δείχνουν πόσες μονάδες του πληθυσμού έχουν τιμές χαρακτηριστικών όχι μεγαλύτερες από την εξεταζόμενη τιμή και καθορίζεται από τη διαδοχική άθροιση των συχνοτήτων διαστήματος. Κατά την κατασκευή της αθροιστικής σειράς κατανομής διαστήματος, το κάτω όριο του πρώτου διαστήματος αντιστοιχεί σε συχνότητα ίση με μηδέν και το ανώτερο όριο αντιστοιχεί σε ολόκληρη τη συχνότητα του δεδομένου διαστήματος. Το ανώτερο όριο του δεύτερου διαστήματος αντιστοιχεί στη αθροιστική συχνότητα ίση με το άθροισμα των συχνοτήτων των δύο πρώτων διαστημάτων κ.ο.κ.
Ας φτιάξουμε μια αθροιστική καμπύλη σύμφωνα με τον Πίνακα. 6 σχετικά με την κατανομή των τραπεζών κατά κέρδος.
S αθροιστικές συχνότητες
12_
_
3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Χ κέρδος
Ρύζι. 3.1. Η σωρευτική κατανομή των τραπεζών ανά κέρδος:
x είναι το ποσό του κέρδους, εκατομμύρια ρούβλια,
Τα S είναι συσσωρευμένες συχνότητες.
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος, το ύψος της μεγαλύτερης τεταγμένης, που αντιστοιχεί στον συνολικό πληθυσμό, διαιρείται στο μισό. Μια ευθεία γραμμή χαράσσεται μέσω του ληφθέντος σημείου, παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης, έως ότου τέμνεται με τη σώρευση. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.
Η λειτουργία καθορίζεται από το ιστόγραμμα της κατανομής. Το ιστόγραμμα είναι κατασκευασμένο ως εξής:
Στον άξονα της τετμημένης σχεδιάζονται ίσα τμήματα, τα οποία, στην αποδεκτή κλίμακα, αντιστοιχούν στο μέγεθος των διαστημάτων της σειράς διακύμανσης. Πάνω στα τμήματα χτίζονται ορθογώνια, τα εμβαδά των οποίων είναι ανάλογα με τις συχνότητες (ή τις συχνότητες) του διαστήματος.
Διάμεσος στα στατιστικά στοιχεία
3.2. Εμφανίζεται ένα ιστόγραμμα μιας σειράς κατανομής των τραπεζών ανά κέρδος (σύμφωνα με τον Πίνακα 3.6.).
3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Χ
Ρύζι. 3.2. Κατανομή εμπορικών τραπεζών κατά κέρδος:
x είναι το ποσό του κέρδους, εκατομμύρια ρούβλια,
f είναι ο αριθμός των τραπεζών.
Για να προσδιορίσουμε τη μόδα, συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω δεξιά γωνία του προηγούμενου ορθογωνίου και την αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος διανομής.
Διάμεσος (στατιστική)
Διάμεσος (στατιστική), στη μαθηματική στατιστική, ένας αριθμός που χαρακτηρίζει ένα δείγμα (για παράδειγμα, ένα σύνολο αριθμών). Εάν όλα τα στοιχεία στο δείγμα είναι διαφορετικά, τότε η διάμεσος είναι ο αριθμός του δείγματος έτσι ώστε ακριβώς τα μισά από τα στοιχεία του δείγματος να είναι μεγαλύτερα από αυτό και τα άλλα μισά να είναι λιγότερα από αυτό. Σε μια γενικότερη περίπτωση, η διάμεσος μπορεί να βρεθεί ταξινομώντας τα στοιχεία του δείγματος σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά και λαμβάνοντας το μεσαίο στοιχείο. Για παράδειγμα, το δείγμα (11, 9, 3, 5, 5) μετά την παραγγελία μετατρέπεται σε (3, 5, 5, 9, 11) και η διάμεσος είναι ο αριθμός 5. Εάν το δείγμα έχει ζυγό αριθμό στοιχείων, το Η διάμεσος μπορεί να μην προσδιορίζεται μοναδικά: για τα αριθμητικά δεδομένα, χρησιμοποιείται συχνότερα το μισό άθροισμα δύο γειτονικών τιμών (δηλαδή, η διάμεσος του συνόλου (1, 3, 5, 7) λαμβάνεται ίση με 4).
Με άλλα λόγια, η διάμεσος στα στατιστικά είναι η τιμή που διαιρεί τη σειρά στο μισό με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της (πάνω ή κάτω) να βρίσκεται ο ίδιος αριθμός μονάδων του δεδομένου πληθυσμού.
Εργασία αριθμός 1. Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου, της τροπικής και της διάμεσης τιμής
Λόγω αυτής της ιδιότητας, αυτός ο δείκτης έχει πολλά άλλα ονόματα: το 50ο εκατοστημόριο ή το 0,5 εκατοστημόριο.
- Σημαίνω
- Διάμεσος
- Μόδα
Διάμεσος (στατιστική)
Διάμεσος (στατιστική), στη μαθηματική στατιστική, ένας αριθμός που χαρακτηρίζει ένα δείγμα (για παράδειγμα, ένα σύνολο αριθμών). Εάν όλα τα στοιχεία στο δείγμα είναι διαφορετικά, τότε η διάμεσος είναι ο αριθμός του δείγματος έτσι ώστε ακριβώς τα μισά από τα στοιχεία του δείγματος να είναι μεγαλύτερα από αυτό και τα άλλα μισά να είναι λιγότερα από αυτό. Σε μια γενικότερη περίπτωση, η διάμεσος μπορεί να βρεθεί ταξινομώντας τα στοιχεία του δείγματος σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά και λαμβάνοντας το μεσαίο στοιχείο. Για παράδειγμα, το δείγμα (11, 9, 3, 5, 5) μετά την παραγγελία μετατρέπεται σε (3, 5, 5, 9, 11) και η διάμεσος του είναι ο αριθμός 5.
5.5 Λειτουργία και διάμεσος. Ο υπολογισμός τους σε διακριτές και διαλειμματικές μεταβλητές σειρές
Εάν το δείγμα έχει ζυγό αριθμό στοιχείων, η διάμεσος μπορεί να μην προσδιορίζεται μοναδικά: για αριθμητικά δεδομένα, χρησιμοποιείται συχνότερα το μισό άθροισμα δύο γειτονικών τιμών (δηλαδή η διάμεσος του συνόλου (1, 3, 5, 7) λαμβάνεται ίσο με 4).
Με άλλα λόγια, η διάμεσος στα στατιστικά είναι η τιμή που διαιρεί τη σειρά στο μισό με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της (πάνω ή κάτω) να βρίσκεται ο ίδιος αριθμός μονάδων του δεδομένου πληθυσμού. Λόγω αυτής της ιδιότητας, αυτός ο δείκτης έχει πολλά άλλα ονόματα: το 50ο εκατοστημόριο ή το 0,5 εκατοστημόριο.
Η διάμεσος χρησιμοποιείται αντί για τον αριθμητικό μέσο όρο όταν οι ακραίες παραλλαγές της σειράς κατάταξης (μικρότερη και μεγαλύτερη) σε σύγκριση με τις υπόλοιπες αποδεικνύονται υπερβολικά μεγάλες ή υπερβολικά μικρές.
Η συνάρτηση MEDIAN μετρά την κεντρική τάση, η οποία είναι το κέντρο ενός συνόλου αριθμών σε μια στατιστική κατανομή. Υπάρχουν τρεις πιο συνηθισμένοι τρόποι προσδιορισμού της κεντρικής τάσης:
- Σημαίνω- τον αριθμητικό μέσο όρο, ο οποίος υπολογίζεται προσθέτοντας ένα σύνολο αριθμών, ακολουθούμενο από διαίρεση του αθροίσματος που προκύπτει με τον αριθμό τους.
Για παράδειγμα, ο μέσος όρος για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 5, που είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αθροίσματος τους, που είναι 30, με τον αριθμό τους, που είναι 6. - Διάμεσος- ένας αριθμός που είναι το μέσο ενός συνόλου αριθμών: οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές μεγαλύτερες από τη διάμεσο και οι μισοί από τους αριθμούς είναι μικρότεροι.
Για παράδειγμα, η διάμεσος για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 4. - Μόδαείναι ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά στο δεδομένο σύνολο αριθμών.
Για παράδειγμα, η λειτουργία για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 θα είναι 3.
Μάθημα Άλγεβρας στην 7η τάξη.
Θέμα «Διάμεσος ως στατιστικό χαρακτηριστικό».
Η δασκάλα Egorova N.I.
Σκοπός του μαθήματος: να κατανοήσουν οι μαθητές τη διάμεσο ενός συνόλου αριθμών και την ικανότητα να τον υπολογίζουν για απλά αριθμητικά σύνολα, καθορίζοντας την έννοια του αριθμητικού μέσου συνόλου αριθμών.
Είδος μαθήματος: επεξήγηση νέου υλικού.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
1. Οργανωτική στιγμή.
Ενημερώστε το θέμα του μαθήματος και διατυπώστε τους στόχους του.
2. Πραγματοποίηση προηγούμενης γνώσης.
Ερωτήσεις για μαθητές:
Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών;
Πού βρίσκεται ο αριθμητικός μέσος όρος μέσα σε ένα σύνολο αριθμών;
Τι χαρακτηρίζει τον αριθμητικό μέσο όρο ενός συνόλου αριθμών;
Πού χρησιμοποιείται συχνά ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών;
Προφορικές εργασίες:
Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο ενός συνόλου αριθμών:
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Σχολικό βιβλίο: Νο 169, Νο 172.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
Στο προηγούμενο μάθημα, γνωρίσαμε ένα τέτοιο στατιστικό χαρακτηριστικό όπως ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών. Σήμερα θα αφιερώσουμε ένα μάθημα σε ένα άλλο στατιστικό χαρακτηριστικό - τη διάμεσο.
Όχι μόνο ο αριθμητικός μέσος όρος δείχνει πού βρίσκονται στην αριθμητική γραμμή οι αριθμοί οποιουδήποτε συνόλου και πού βρίσκεται το κέντρο τους. Ένας άλλος δείκτης είναι η διάμεσος.
Η διάμεσος ενός συνόλου αριθμών είναι ο αριθμός που χωρίζει το σύνολο σε δύο ίσα μέρη. Αντί για «μέσο» θα μπορούσε κανείς να πει «μεσαία».
Αρχικά, χρησιμοποιώντας παραδείγματα, θα αναλύσουμε πώς να βρούμε τη διάμεσο και στη συνέχεια θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό.
Εξετάστε το ακόλουθο λεκτικό παράδειγμα χρησιμοποιώντας έναν προβολέα
Στο τέλος της σχολικής χρονιάς 11 μαθητές της 7ης τάξης πέρασαν το πρότυπο για τρέξιμο 100 μέτρων. Καταγράφηκαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:
Αφού τα παιδιά έτρεξαν την απόσταση, ο Petya πλησίασε τον δάσκαλο και ρώτησε ποιο ήταν το αποτέλεσμά του.
«Περισσότερο μέσο όρο: 16,9 δευτερόλεπτα», απάντησε ο δάσκαλος
"Γιατί?" Η Πέτυα ξαφνιάστηκε. - Εξάλλου, ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των αποτελεσμάτων είναι περίπου 18,3 δευτερόλεπτα και έτρεξα ένα δευτερόλεπτο ή περισσότερο. Και γενικά, το αποτέλεσμα της Katya (18,4) είναι πολύ πιο κοντά στον μέσο όρο από το δικό μου».
«Το αποτέλεσμά σας είναι μέτριο γιατί πέντε άτομα έτρεξαν καλύτερα από εσάς και πέντε χειρότερα. Άρα είσαι ακριβώς στη μέση», είπε ο δάσκαλος.
Γράψτε έναν αλγόριθμο για να βρείτε τη διάμεσο ενός συνόλου αριθμών:
Παραγγείλετε το αριθμητικό σύνολο (συνθέστε μια σειρά κατάταξης).
Ταυτόχρονα, διαγράφουμε τους «μεγαλύτερους» και «μικρότερους» αριθμούς αυτού του συνόλου αριθμών μέχρι να μείνουν ένας ή δύο αριθμοί.
Εάν υπάρχει μόνο ένας αριθμός, τότε αυτός είναι ο διάμεσος.
Εάν απομένουν δύο αριθμοί, τότε η διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο υπολοίπων αριθμών.
Προσκαλέστε τους μαθητές να διατυπώσουν ανεξάρτητα τον ορισμό της διαμέσου ενός συνόλου αριθμών, στη συνέχεια να διαβάσουν τον ορισμό της διαμέσου στο σχολικό βιβλίο (σελ. 40) και στη συνέχεια να λύσουν τον αριθμό 186 (α, β), τον αριθμό 187 (α) του το σχολικό βιβλίο (σελ. 41).
Σχόλιο:
Εφιστήστε την προσοχή των μαθητών σε μια σημαντική περίσταση: η διάμεσος είναι πρακτικά μη ευαίσθητη σε σημαντικές αποκλίσεις μεμονωμένων ακραίων τιμών συνόλων αριθμών. Στα στατιστικά, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται σταθερότητα. Η σταθερότητα ενός στατιστικού δείκτη είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα, μας ασφαλίζει από τυχαία σφάλματα και μεμονωμένα αναξιόπιστα δεδομένα.
4. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης.
Επίλυση προβλήματος.
Δηλώστε x-αριθμητικό μέσο όρο, Me-διάμεσο.
Σετ αριθμών: 1,3,5,7,9.
x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,
Σετ αριθμών: 1,3,5,7,14.
x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.
α) Σύνολο αριθμών: 3,4,11,17,21
β) Σύνολο αριθμών: 17,18,19,25,28
γ) Σύνολο αριθμών: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Συμπέρασμα: η διάμεσος ενός συνόλου αριθμών που αποτελείται από περιττό αριθμό μελών είναι ίση με τον αριθμό στη μέση.
α) Ένα σύνολο αριθμών: 2, 4, 8, 9.
Εγώ = (4+8):2=12:2=6
β) Ένα σύνολο αριθμών: 1,3,5,7,8,9.
Εγώ = (5+7):2=12:2=6
Η διάμεσος ενός συνόλου αριθμών που περιέχει ζυγό αριθμό μελών είναι το ήμισυ του αθροίσματος των δύο αριθμών στη μέση.
Ο μαθητής έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς στην άλγεβρα κατά τη διάρκεια του τριμήνου:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Βρείτε τη μέση βαθμολογία και τη διάμεση τιμή αυτού του συνόλου.
Ας βρούμε τον μέσο όρο βαθμολογίας, δηλαδή τον αριθμητικό μέσο όρο:
x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4
Βρείτε τη διάμεσο αυτού του συνόλου αριθμών:
Ας παραγγείλουμε ένα σύνολο αριθμών: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Μόνο 10 αριθμοί, για να βρείτε τη διάμεσο πρέπει να πάρετε δύο μεσαίους αριθμούς και να βρείτε το μισό άθροισμά τους.
Εγώ = (5+5):2 = 5
Ερώτηση προς τους μαθητές: Αν ήσασταν δάσκαλος, τι βαθμό θα δίνατε σε αυτόν τον μαθητή για ένα τρίμηνο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση.
Ο πρόεδρος της εταιρείας λαμβάνει μισθό 300.000 ρούβλια. τρεις από τους αναπληρωτές του λαμβάνουν 150.000 ρούβλια ο καθένας, σαράντα υπάλληλοι - 50.000 ρούβλια ο καθένας. και ο μισθός μιας καθαρίστριας είναι 10.000 ρούβλια. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο και τη διάμεσο των μισθών στην εταιρεία. Ποιο από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσει ο πρόεδρος για διαφημιστικούς σκοπούς;
x \u003d (300000 + 3 150000 + 40 50000 + 10000): (1 + 3 + 40 + 1) \u003d 2760000: 45 \u003d 61333,33 (ρούβλια)
Νο 6. Προφορικά.
Α) Πόσοι αριθμοί υπάρχουν στο σύνολο αν η διάμεσος είναι ο ένατος όρος του;
Β) Πόσοι αριθμοί υπάρχουν στο σύνολο αν η διάμεσος του είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του 7ου και του 8ου μέλους;
Γ) Σε ένα σύνολο επτά αριθμών, ο μεγαλύτερος αριθμός αυξήθηκε κατά 14. Αυτό θα αλλάξει τόσο τον αριθμητικό μέσο όρο όσο και τον διάμεσο;
Δ) Καθένας από τους αριθμούς του συνόλου έχει αυξηθεί κατά 3. Τι θα συμβεί με τον αριθμητικό μέσο όρο και τη διάμεσο;
Τα γλυκά στο κατάστημα πωλούνται κατά βάρος. Για να μάθει πόσα γλυκά περιέχει ένα κιλό, η Μάσα αποφάσισε να βρει το βάρος μιας καραμέλας. Ζύγισε πολλές καραμέλες και πήρε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Και τα δύο χαρακτηριστικά είναι κατάλληλα για την εκτίμηση του βάρους μιας καραμέλας, αφού δεν διαφέρουν πολύ μεταξύ τους.
Έτσι, για τον χαρακτηρισμό των στατιστικών πληροφοριών, χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος και ο διάμεσος. Σε πολλές περιπτώσεις, ορισμένα από τα χαρακτηριστικά μπορεί να μην έχουν κανένα νόημα (για παράδειγμα, έχοντας πληροφορίες για την ώρα των τροχαίων ατυχημάτων, δεν έχει νόημα να μιλήσουμε για τον αριθμητικό μέσο όρο αυτών των δεδομένων).
Εργασία για το σπίτι: παράγραφος 10, αρ. 186 (γ, δ), αρ. 190.
5. Τα αποτελέσματα του μαθήματος. Αντανάκλαση.
«Στατιστική έρευνα: συλλογή και ομαδοποίηση στατιστικών δεδομένων»
Μάθημα
… Θέματαπροτείνεται για την έβδομη τάξη. ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ. § ένας. ΣτατιστικόςΧαρακτηριστικά. P 1. Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίας 1h. Σ 2. Διάμεσοςπωςστατιστικόςχαρακτηριστικό γνώρισμα …
Το πρόγραμμα εργασιών του εκπαιδευτικού μαθήματος «άλγεβρα» στην 7η τάξη (βασικό επίπεδο) επεξηγηματικό σημείωμα
Πρόγραμμα εργασίας
... στοιχείο 10 Διάμεσοςπωςστατιστικόςχαρακτηριστικό γνώρισμα 23 σελ.9 Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίας 24 Εξέταση Νο. 2 ενεργοποιημένη θέμα …
Πρόγραμμα εργασίας. Μαθηματικά. Ε' τάξη Σελ. Κανάσι. 2011
Πρόγραμμα εργασίας
... εξισώσεις. Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίας. Διάμεσοςπωςστατιστικόςχαρακτηριστικό γνώρισμα. Στόχος είναι να συστηματοποιηθούν και να συνοψιστούν πληροφορίες για ... και δεξιότητες που αποκτήθηκαν σε μαθήματασύμφωνα με Θέματα(Καλά άλγεβρα 10 τάξη). 11 Τάξη(4 ώρες την εβδομάδα...
Παραγγελία Αρ. 51 της 30ης Αυγούστου 2012 Πρόγραμμα Εργασίας Άλγεβρα Βαθμός 7
Πρόγραμμα εργασίας
… εκπαιδευτικό υλικό Διάμεσοςπωςστατιστικόςχαρακτηριστικό γνώρισμαΝα γνωρίζετε τον ορισμό του αριθμητικού μέσου όρου, του εύρους, του τρόπου λειτουργίας και διάμεσοιπωςστατιστικόςΧαρακτηριστικάΜετωπική και ατομική...
Πρόγραμμα εργασίας στα μαθηματικά τάξη 7 ii επίπεδο βασικό επίπεδο (1)
Πρόγραμμα εργασίας
Πώς να βρείτε τη διάμεσο μιας σειράς
ίδιο, πωςστις 6 αίθουσα διδασκαλίας. Η μελέτη Θέματατελειώνει εισάγοντας τους μαθητές στα πιο απλά στατιστικόςΧαρακτηριστικά: μέσο ... Μ .: Εκδοτικός οίκος "Genzher", 2009. 3. Zhokhov, V.I. Μαθήματαάλγεβραστις 7 αίθουσα διδασκαλίας: Βιβλίο. για τον δάσκαλο / V. I. Zhokhov ...
Άλλα σχετικά έγγραφα..
Το 1906, ο μεγάλος επιστήμονας και διάσημος ευγονιστής Φράνσις Γκάλτον επισκέφτηκε την ετήσια Έκθεση Ζώων και Πουλερικών στη δυτική Αγγλία, όπου, κατά τύχη, πραγματοποίησε ένα ενδιαφέρον πείραμα.
Σύμφωνα με τον James Surowetsky, συγγραφέα του The Wisdom of the Crowd, υπήρχε ένας διαγωνισμός στο Galton Fair στον οποίο οι άνθρωποι έπρεπε να μαντέψουν το βάρος ενός σφαγμένου ταύρου. Αυτός που ονόμασε τον πλησιέστερο στον πραγματικό αριθμό ανακηρύχθηκε νικητής.
Ο Galton ήταν γνωστός για την περιφρόνησή του για τις πνευματικές ικανότητες των απλών ανθρώπων. Πίστευε ότι μόνο πραγματικοί ειδικοί θα μπορούσαν να κάνουν ακριβείς δηλώσεις σχετικά με το βάρος του ταύρου. Και 787 συμμετέχοντες του διαγωνισμού δεν ήταν ειδικοί.
Ο επιστήμονας επρόκειτο να αποδείξει την ανικανότητα του πλήθους υπολογίζοντας τον μέσο αριθμό από τις απαντήσεις των συμμετεχόντων. Ποια ήταν η έκπληξή του όταν αποδείχθηκε ότι το αποτέλεσμα που έλαβε αντιστοιχούσε σχεδόν ακριβώς στο πραγματικό βάρος του ταύρου!
Μέση τιμή - καθυστερημένη εφεύρεση
Φυσικά, η ακρίβεια της απάντησης εξέπληξε τον ερευνητή. Αλλά ακόμη πιο αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι ο Galton σκέφτηκε να χρησιμοποιήσει καθόλου τον μέσο όρο.
Στον σημερινό κόσμο, οι μέσοι όροι και οι λεγόμενες διάμεσοι είναι παντού: η μέση θερμοκρασία στη Νέα Υόρκη τον Απρίλιο είναι 52 βαθμοί Φαρενάιτ. Ο Stephen Curry έχει μέσο όρο 30 πόντους ανά παιχνίδι. Το μεσαίο οικογενειακό εισόδημα στις ΗΠΑ είναι 51.939 $/έτος.
Ωστόσο, η ιδέα ότι πολλά διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν μόνο αριθμό είναι αρκετά νέα. Μέχρι τον 17ο αιώνα, οι μέσοι όροι δεν χρησιμοποιούνταν γενικά.
Πώς προέκυψε και αναπτύχθηκε η έννοια των μέσων όρων και των διαμέσου; Και πώς κατάφερε να γίνει η κύρια τεχνική μέτρησης στην εποχή μας;
Η υπεροχή των μέσων έναντι των διάμεσων είχε εκτεταμένες συνέπειες για την κατανόησή μας των πληροφοριών. Και συχνά παρέσυρε τους ανθρώπους.
Μέσες και διάμεσες τιμές
Φανταστείτε ότι λέτε μια ιστορία για τέσσερα άτομα που δείπνησαν μαζί σας χθες το βράδυ σε ένα εστιατόριο. Θα έδινες σε έναν από αυτούς 20 χρόνια, σε άλλους 30, στον τρίτο 40 και στον τέταρτο 50. Τι θα έλεγες για τις ηλικίες τους στην ιστορία σου;
Πιθανότατα, θα τους ονομάσετε μέση ηλικία.
Ο μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνά για να μεταφέρει πληροφορίες για κάτι, καθώς και για να περιγράψει ένα σύνολο μετρήσεων. Τεχνικά, ο μέσος όρος είναι αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν «αριθμητικό μέσο» - το άθροισμα όλων των μετρήσεων διαιρούμενο με τον αριθμό των μετρήσεων.
Αν και η λέξη "μέσος όρος" χρησιμοποιείται συχνά ως συνώνυμο της λέξης "διάμεσος" (διάμεσος), η τελευταία αναφέρεται συχνότερα ως η μέση κάποιου πράγματος. Αυτή η λέξη προέρχεται από το λατινικό "medianus", που σημαίνει "μέση".
Μέση αξία στην Αρχαία Ελλάδα
Η ιστορία της διάμεσης αξίας προέρχεται από τις διδασκαλίες του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα. Για τον Πυθαγόρα και τη σχολή του, ο διάμεσος είχε έναν σαφή ορισμό και ήταν πολύ διαφορετικός από το πώς αντιλαμβανόμαστε τον μέσο όρο σήμερα. Χρησιμοποιήθηκε μόνο στα μαθηματικά, όχι στην ανάλυση δεδομένων.
Στην Πυθαγόρεια σχολή, η διάμεση τιμή ήταν ο μέσος αριθμός σε μια τριμερή ακολουθία αριθμών, σε «ίσο» σε σχέση με γειτονικούς όρους. Ο λόγος "ίσος" θα μπορούσε να σημαίνει την ίδια απόσταση. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 στη σειρά 2,4,6. Ωστόσο, θα μπορούσε επίσης να εκφράσει μια γεωμετρική πρόοδο, όπως το 10 στην ακολουθία 1,10,100.
Ο στατιστικολόγος Churchill Eisenhart εξηγεί ότι στην αρχαία Ελλάδα, η διάμεσος δεν χρησιμοποιήθηκε ως αντιπροσωπευτικό ή υποκατάστατο για κανένα σύνολο αριθμών. Απλώς υποδήλωνε τη μέση και χρησιμοποιήθηκε συχνά σε μαθηματικές αποδείξεις.
Ο Άιζενχαρτ πέρασε δέκα χρόνια μελετώντας τη μέση και τη διάμεσο. Αρχικά προσπάθησε να βρει την αντιπροσωπευτική λειτουργία της διάμεσης στις πρώιμες επιστημονικές κατασκευές. Αντίθετα, ωστόσο, διαπίστωσε ότι οι περισσότεροι από τους πρώτους φυσικούς και αστρονόμους βασίζονταν σε μεμονωμένες, επιδέξια μετρήσεις και δεν διέθεταν μια μεθοδολογία για να επιλέξουν το καλύτερο αποτέλεσμα ανάμεσα σε πολλές παρατηρήσεις.
Οι σύγχρονοι ερευνητές βασίζουν τα συμπεράσματά τους στη συλλογή μεγάλων ποσοτήτων δεδομένων, όπως, για παράδειγμα, οι βιολόγοι που μελετούν το ανθρώπινο γονιδίωμα. Οι αρχαίοι επιστήμονες, από την άλλη, μπορούσαν να κάνουν πολλές μετρήσεις, αλλά επέλεξαν μόνο τις καλύτερες για να χτίσουν τις θεωρίες τους.
Όπως έγραψε ο ιστορικός της αστρονομίας Otto Neugebauer, «αυτό είναι σύμφωνο με τη συνειδητή επιθυμία των αρχαίων ανθρώπων να ελαχιστοποιήσουν την ποσότητα των εμπειρικών δεδομένων στην επιστήμη, επειδή δεν πίστευαν στην ακρίβεια των άμεσων παρατηρήσεων».
Για παράδειγμα, ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος Πτολεμαίος υπολόγισε τη γωνιακή διάμετρο της σελήνης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παρατήρησης και τη θεωρία της κίνησης της γης. Το σκορ του ήταν 31'20. Σήμερα γνωρίζουμε ότι η διάμετρος της Σελήνης κυμαίνεται από 29'20 έως 34'6, ανάλογα με την απόσταση από τη Γη. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε λίγα δεδομένα στους υπολογισμούς του, αλλά είχε κάθε λόγο να πιστεύει ότι ήταν ακριβείς.
Ο Άιζενχαρτ γράφει: «Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η σχέση μεταξύ παρατήρησης και θεωρίας στην αρχαιότητα ήταν διαφορετική από ό,τι είναι σήμερα. Τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων δεν έγιναν κατανοητά ως γεγονότα στα οποία θα έπρεπε να προσαρμοστεί η θεωρία, αλλά ως συγκεκριμένες περιπτώσεις που μπορούν να είναι χρήσιμες μόνο ως ενδεικτικά παραδείγματα της αλήθειας της θεωρίας.
Τελικά, οι επιστήμονες θα στραφούν σε αντιπροσωπευτικές μετρήσεις των δεδομένων, αλλά αρχικά δεν χρησιμοποιήθηκαν ούτε μέσα ούτε διάμεσοι για αυτόν τον ρόλο. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, μια άλλη μαθηματική έννοια έχει χρησιμοποιηθεί ως τέτοιο αντιπροσωπευτικό μέσο - το μισό άθροισμα των ακραίων τιμών.
Μισό άθροισμα ακραίων τιμών
Τα νέα επιστημονικά εργαλεία προκύπτουν σχεδόν πάντα από την ανάγκη επίλυσης ενός συγκεκριμένου προβλήματος σε κάποιον κλάδο. Η ανάγκη να βρεθεί η καλύτερη τιμή μεταξύ πολλών μετρήσεων προέκυψε από την ανάγκη ακριβούς προσδιορισμού της γεωγραφικής θέσης.
Ο πνευματικός γίγαντας του 11ου αιώνα Al-Biruni είναι γνωστός ως ένας από τους πρώτους ανθρώπους που χρησιμοποίησαν τη μεθοδολογία των αντιπροσωπευτικών νοημάτων. Ο Al-Biruni έγραψε ότι όταν είχε πολλές μετρήσεις στη διάθεσή του και ήθελε να βρει την καλύτερη από αυτές, χρησιμοποίησε τον ακόλουθο «κανόνα»: πρέπει να βρείτε έναν αριθμό που αντιστοιχεί στη μέση μεταξύ δύο ακραίων τιμών. Κατά τον υπολογισμό του μισού αθροίσματος των ακραίων τιμών, όλοι οι αριθμοί μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής δεν λαμβάνονται υπόψη, αλλά βρίσκεται μόνο ο μέσος όρος αυτών των δύο αριθμών.
Ο Al-Biruni εφάρμοσε αυτή τη μέθοδο σε διάφορους τομείς, συμπεριλαμβανομένου του υπολογισμού του γεωγραφικού μήκους της πόλης Ghazni, η οποία βρίσκεται στο έδαφος του σύγχρονου Αφγανιστάν, καθώς και στις μελέτες του για τις ιδιότητες των μετάλλων.
Ωστόσο, τους τελευταίους αιώνες, το μισό άθροισμα των άκρων χρησιμοποιείται όλο και λιγότερο. Στην πραγματικότητα, στη σύγχρονη επιστήμη, δεν είναι καθόλου σχετικό. Η διάμεση τιμή αντικατέστησε το μισό άθροισμα.
Μετάβαση στους μέσους όρους
Στις αρχές του 19ου αιώνα, η χρήση της διάμεσης/μέσης τιμής είχε γίνει μια κοινή μέθοδος για την εύρεση της ακριβέστερης αντιπροσωπευτικής τιμής από μια ομάδα δεδομένων. Ο Φρίντριχ φον Γκάους, ένας εξαιρετικός μαθηματικός της εποχής του, έγραψε το 1809: «Πιστευόταν ότι αν ένας συγκεκριμένος αριθμός καθοριζόταν από πολλές άμεσες παρατηρήσεις που έγιναν υπό τις ίδιες συνθήκες, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η πιο αληθινή τιμή. Εάν δεν είναι αρκετά αυστηρό, τότε τουλάχιστον είναι κοντά στην πραγματικότητα, και επομένως μπορεί κανείς πάντα να βασιστεί σε αυτό.
Γιατί υπήρξε μια τέτοια αλλαγή στη μεθοδολογία;
Αυτή η ερώτηση είναι μάλλον δύσκολο να απαντηθεί. Στην έρευνά του, ο Churchill Eisenhart προτείνει ότι η μέθοδος εύρεσης του αριθμητικού μέσου όρου θα μπορούσε να προέρχεται από το πεδίο της μέτρησης της μαγνητικής απόκλισης, δηλαδή στην εύρεση της διαφοράς μεταξύ της κατεύθυνσης της βελόνας της πυξίδας που δείχνει προς το βορρά και τον πραγματικό βορρά. Αυτή η μέτρηση ήταν εξαιρετικά σημαντική κατά την Εποχή της Ανακάλυψης.
Ο Eisenhart διαπίστωσε ότι μέχρι τα τέλη του 16ου αιώνα, οι περισσότεροι επιστήμονες που μετρούσαν τη μαγνητική απόκλιση χρησιμοποιούσαν την ad hoc μέθοδο (από τα λατινικά "to this, for this case, for this purpose") στην επιλογή της πιο ακριβούς μέτρησης.
Αλλά το 1580, ο επιστήμονας William Borough αντιμετώπισε το πρόβλημα διαφορετικά. Πήρε οκτώ διαφορετικές μετρήσεις εκτροπής και τις συνέκρινε, και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η πιο ακριβής ένδειξη ήταν μεταξύ 11 ⅓ και 11 ¼ μοιρών. Μάλλον υπολόγισε τον αριθμητικό μέσο όρο, που ήταν σε αυτό το εύρος. Ωστόσο, ο ίδιος ο Borough δεν αποκάλεσε ανοιχτά την προσέγγισή του τη νέα μέθοδο.
Πριν από το 1635, δεν υπήρχαν καθόλου σαφείς περιπτώσεις χρήσης της μέσης τιμής ως αντιπροσωπευτικού αριθμού. Ωστόσο, τότε ήταν που ο Άγγλος αστρονόμος Henry Gellibrand έκανε δύο διαφορετικές μετρήσεις της μαγνητικής εκτροπής. Το ένα έγινε το πρωί (11 βαθμοί) και το άλλο το απόγευμα (11 βαθμοί και 32 λεπτά). Υπολογίζοντας την πιο αληθινή τιμή, έγραψε:
«Αν βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο, μπορούμε να πούμε με μεγάλη πιθανότητα ότι το αποτέλεσμα μιας ακριβούς μέτρησης θα πρέπει να είναι περίπου 11 μοίρες και 16 λεπτά».
Είναι πιθανό ότι αυτή ήταν η πρώτη φορά που χρησιμοποιήθηκε ο μέσος όρος ως ο πλησιέστερος στο αληθινό!
Η λέξη "μέσος όρος" χρησιμοποιήθηκε στα αγγλικά στις αρχές του 16ου αιώνα για να αναφερθεί στις οικονομικές απώλειες από ζημιές που υπέστη ένα πλοίο ή ένα φορτίο κατά τη διάρκεια ενός ταξιδιού. Για τα επόμενα εκατό χρόνια, δήλωνε ακριβώς αυτές τις απώλειες, οι οποίες υπολογίστηκαν ως ο αριθμητικός μέσος όρος. Για παράδειγμα, εάν ένα πλοίο υπέστη ζημιά κατά τη διάρκεια ενός ταξιδιού και το πλήρωμα έπρεπε να πετάξει κάποια αγαθά στη θάλασσα για να γλιτώσει το βάρος του πλοίου, οι επενδυτές υπέστησαν οικονομική ζημία ίση με το ποσό της επένδυσής τους - αυτές οι απώλειες υπολογίστηκαν με τον ίδιο τρόπο που αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι σταδιακά οι τιμές του μέσου όρου (μέσος όρος) και του αριθμητικού μέσου όρου συγκλίνουν.
Μέση τιμή
Σήμερα, ο μέσος όρος ή ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται ως ο κύριος τρόπος επιλογής μιας αντιπροσωπευτικής τιμής ενός συνόλου μετρήσεων. Πώς συνέβη? Γιατί αυτός ο ρόλος δεν ανατέθηκε στη διάμεση τιμή;
Ο Φράνσις Γκάλτον ήταν ο μέσος πρωταθλητής
Ο όρος "διάμεση τιμή" (διάμεσος) - ο μεσαίος όρος σε μια σειρά αριθμών, που διαιρεί αυτή τη σειρά στο μισό - εμφανίστηκε περίπου την ίδια στιγμή με τον αριθμητικό μέσο όρο. Το 1599, ο μαθηματικός Edward Wright, ο οποίος εργαζόταν για το πρόβλημα της κανονικής απόκλισης σε μια πυξίδα, πρότεινε για πρώτη φορά τη χρήση της διάμεσης τιμής.
«... Ας πούμε ότι πολλοί τοξότες πυροβολούν σε κάποιον στόχο. Ο στόχος αφαιρείται στη συνέχεια. Πώς μπορείτε να μάθετε πού ήταν ο στόχος; Πρέπει να βρείτε τη μεσαία θέση ανάμεσα σε όλα τα βέλη. Ομοίως, μεταξύ του συνόλου των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων, το πιο κοντινό στην αλήθεια θα είναι αυτό που βρίσκεται στη μέση.
Η διάμεσος χρησιμοποιήθηκε ευρέως τον δέκατο ένατο αιώνα, και έγινε αναπόσπαστο μέρος οποιασδήποτε ανάλυσης δεδομένων εκείνη την εποχή. Χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Francis Galton, τον διαπρεπή αναλυτή του δέκατου ένατου αιώνα. Στην ιστορία της ζύγισης ταύρου στην αρχή αυτού του άρθρου, ο Galton αρχικά χρησιμοποίησε τη διάμεσο ως αντιπροσώπευση της γνώμης του πλήθους.
Πολλοί αναλυτές, συμπεριλαμβανομένου του Galton, προτίμησαν τη διάμεσο επειδή είναι ευκολότερο να υπολογιστεί για μικρότερα σύνολα δεδομένων.
Ωστόσο, ο διάμεσος δεν ήταν ποτέ πιο δημοφιλής από τον μέσο όρο. Πιθανότατα, αυτό συνέβη λόγω των ειδικών στατιστικών ιδιοτήτων που είναι εγγενείς στη μέση τιμή, καθώς και της σχέσης της με την κανονική κατανομή.
Σχέση μέσης και κανονικής κατανομής
Όταν κάνουμε πολλές μετρήσεις, τα αποτελέσματα είναι, όπως λένε οι στατιστικολόγοι, «κανονικά κατανεμημένα». Αυτό σημαίνει ότι εάν αυτά τα δεδομένα απεικονίζονται σε ένα γράφημα, τότε τα σημεία σε αυτό θα απεικονίζουν κάτι παρόμοιο με ένα κουδούνι. Αν τα συνδέσετε, έχετε μια καμπύλη σε σχήμα καμπάνας. Πολλά στατιστικά στοιχεία ταιριάζουν στην κανονική κατανομή, όπως το ύψος των ανθρώπων, το IQ και η υψηλότερη ετήσια θερμοκρασία.
Όταν τα δεδομένα κατανέμονται κανονικά, ο μέσος όρος θα είναι πολύ κοντά στο υψηλότερο σημείο της καμπύλης καμπάνας και ένας πολύ μεγάλος αριθμός μετρήσεων θα είναι κοντά στον μέσο όρο. Υπάρχει ακόμη και ένας τύπος που προβλέπει πόσες μετρήσεις θα είναι κάποια απόσταση από τον μέσο όρο.
Έτσι, ο υπολογισμός του μέσου όρου δίνει στους ερευνητές πολλές πρόσθετες πληροφορίες.
Η σχέση του μέσου όρου με την τυπική απόκλιση του δίνει ένα μεγάλο πλεονέκτημα, επειδή η διάμεσος δεν έχει τέτοια σχέση. Αυτή η σύνδεση είναι ένα σημαντικό μέρος της ανάλυσης των πειραματικών δεδομένων και της στατιστικής επεξεργασίας πληροφοριών. Γι' αυτό ο μέσος όρος έχει γίνει ο πυρήνας των στατιστικών και όλων των επιστημών που βασίζονται σε πολλαπλά δεδομένα για τα συμπεράσματά τους.
Το πλεονέκτημα του μέσου όρου οφείλεται επίσης στο γεγονός ότι υπολογίζεται εύκολα από υπολογιστές. Αν και η διάμεση τιμή για μια μικρή ομάδα δεδομένων είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστεί μόνος σας, είναι πολύ πιο εύκολο να γράψετε ένα πρόγραμμα υπολογιστή που θα μπορούσε να βρει τη μέση τιμή. Εάν χρησιμοποιείτε το Microsoft Excel, πιθανότατα γνωρίζετε ότι η συνάρτηση διάμεσης τιμής δεν είναι τόσο εύκολο να υπολογιστεί όσο η συνάρτηση μέσης τιμής.
Ως αποτέλεσμα, λόγω της μεγάλης επιστημονικής του αξίας και της ευκολίας χρήσης, η μέση τιμή έχει γίνει η κύρια αντιπροσωπευτική τιμή. Ωστόσο, αυτή η επιλογή δεν είναι πάντα η καλύτερη.
Πλεονεκτήματα της διάμεσης τιμής
Σε πολλές περιπτώσεις όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το κέντρο μιας κατανομής, η διάμεσος είναι το καλύτερο μέτρο. Αυτό συμβαίνει επειδή η μέση τιμή καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τις ακραίες μετρήσεις.
Πολλοί αναλυτές πιστεύουν ότι η αλόγιστη χρήση του μέσου όρου επηρεάζει αρνητικά την κατανόησή μας για τις ποσοτικές πληροφορίες. Ο κόσμος κοιτάζει τον μέσο όρο και πιστεύει ότι είναι «φυσιολογικός». Αλλά στην πραγματικότητα μπορεί να οριστεί από κάποιον όρο που ξεχωρίζει έντονα από την ομοιογενή σειρά.
Φανταστείτε έναν αναλυτή που θέλει να μάθει μια αντιπροσωπευτική αξία για την αξία πέντε κατοικιών. Τέσσερα σπίτια αξίζουν 100.000 δολάρια και το πέμπτο είναι 900.000 δολάρια. Ο μέσος όρος θα ήταν τότε 200.000 $ και ο διάμεσος θα ήταν 100.000 $. Σε αυτήν, όπως και σε πολλές άλλες περιπτώσεις, η διάμεση τιμή δίνει μια καλύτερη κατανόηση αυτού που μπορεί να ονομαστεί "πρότυπο".
Κατανοώντας πώς οι ακραίες τιμές μπορούν να επηρεάσουν τον μέσο όρο, η διάμεση τιμή χρησιμοποιείται για να αντικατοπτρίζει τις αλλαγές στο εισόδημα των νοικοκυριών στις ΗΠΑ.
Ο διάμεσος είναι επίσης λιγότερο ευαίσθητος στα «βρώμικα» δεδομένα με τα οποία ασχολούνται σήμερα οι αναλυτές. Πολλοί στατιστικολόγοι και αναλυτές συλλέγουν πληροφορίες παίρνοντας συνεντεύξεις από ανθρώπους στο Διαδίκτυο. Εάν ο χρήστης προσθέσει κατά λάθος ένα επιπλέον μηδέν στην απάντηση, το οποίο μετατρέπει το 100 σε 1000, τότε αυτό το σφάλμα θα επηρεάσει τον μέσο όρο πολύ περισσότερο από τον διάμεσο.
Μέσος ή διάμεσος;
Η επιλογή μεταξύ της διάμεσης και της μέσης τιμής έχει εκτεταμένες επιπτώσεις, από την κατανόηση των επιπτώσεων των φαρμάκων στην υγεία έως τη γνώση μας για τον τυπικό προϋπολογισμό μιας οικογένειας.
Καθώς η συλλογή και η ανάλυση δεδομένων καθορίζει όλο και περισσότερο τον τρόπο με τον οποίο κατανοούμε τον κόσμο, το ίδιο ισχύει και για την αξία των ποσοτήτων που χρησιμοποιούμε. Σε έναν ιδανικό κόσμο, οι αναλυτές θα χρησιμοποιούσαν τόσο τον μέσο όρο όσο και τον διάμεσο για να σχεδιάσουν τα δεδομένα.
Ζούμε όμως σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου και προσοχής. Λόγω αυτών των περιορισμών, συχνά χρειάζεται να επιλέξουμε μόνο έναν. Και σε πολλές περιπτώσεις, η διάμεση τιμή είναι προτιμότερη.
