Απόλυτα και σχετικά σφάλματα μέτρησης. Απόλυτο σφάλμα μέτρησης

Σφάλμα μέτρησης- εκτίμηση της απόκλισης της μετρούμενης τιμής μιας ποσότητας από την πραγματική της τιμή. Το σφάλμα μέτρησης είναι χαρακτηριστικό (μέτρο) ακρίβειας μέτρησης.

Δεδομένου ότι είναι αδύνατο να βρεθεί με απόλυτη ακρίβεια η πραγματική τιμή οποιασδήποτε ποσότητας, είναι επίσης αδύνατο να υποδειχθεί το μέγεθος της απόκλισης της μετρούμενης τιμής από την αληθινή. (Αυτή η απόκλιση συνήθως ονομάζεται σφάλμα μέτρησης. Σε πολλές πηγές, για παράδειγμα, στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, οι όροι σφάλμα μέτρησηςκαι σφάλμα μέτρησηςχρησιμοποιούνται ως συνώνυμα, αλλά σύμφωνα με το RMG 29-99 ο όρος σφάλμα μέτρησηςδεν συνιστάται ως λιγότερο επιτυχημένη). Είναι δυνατό να εκτιμηθεί μόνο το μέγεθος αυτής της απόκλισης, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους. Στην πράξη, αντί για την πραγματική αξία, χρησιμοποιούμε πραγματική αξία x d, δηλαδή η τιμή μιας φυσικής ποσότητας που λαμβάνεται πειραματικά και είναι τόσο κοντά στην πραγματική τιμή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί για αυτήν στην εργασία μέτρησης συνόλου. Μια τέτοια τιμή υπολογίζεται συνήθως ως η μέση τιμή που προκύπτει από τη στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων μιας σειράς μετρήσεων. Αυτή η τιμή που λαμβάνεται δεν είναι ακριβής, αλλά μόνο η πιο πιθανή. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται στις μετρήσεις ποια είναι η ακρίβειά τους. Για να γίνει αυτό, μαζί με το αποτέλεσμα που προκύπτει, υποδεικνύεται το σφάλμα μέτρησης. Για παράδειγμα, η καταχώρηση Τ=2,8±0,1ντο. σημαίνει ότι η πραγματική αξία της ποσότητας Τβρίσκεται στο διάστημα από 2,7 δευτπριν 2,9 δευτμε κάποια καθορισμένη πιθανότητα

Το 2004, ένα νέο έγγραφο εγκρίθηκε σε διεθνές επίπεδο, το οποίο υπαγορεύει τις προϋποθέσεις για τη διεξαγωγή μετρήσεων και καθορίζει νέους κανόνες για τη σύγκριση των κρατικών προτύπων. Η έννοια του "λάθους" έγινε παρωχημένη, εισήχθη η έννοια της "αβεβαιότητας μέτρησης", ωστόσο, το GOST R 50.2.038-2004 επιτρέπει τη χρήση του όρου λάθοςγια έγγραφα που χρησιμοποιούνται στη Ρωσία.

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι σφαλμάτων:

Το απόλυτο λάθος

Σχετικό λάθος

το μειωμένο σφάλμα?

Το κύριο λάθος

Πρόσθετο σφάλμα

· συστηματικό σφάλμα.

Τυχαίο σφάλμα

Σφάλμα οργάνου

· μεθοδικό λάθος.

· Προσωπικό λάθος.

· Στατικό σφάλμα.

δυναμικό σφάλμα.

Τα σφάλματα μέτρησης ταξινομούνται σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια.

· Σύμφωνα με τη μέθοδο της μαθηματικής έκφρασης, τα λάθη χωρίζονται σε απόλυτα σφάλματα και σε σχετικά σφάλματα.

· Σύμφωνα με την αλληλεπίδραση των αλλαγών στο χρόνο και την τιμή εισόδου, τα σφάλματα χωρίζονται σε στατικά σφάλματα και σε δυναμικά σφάλματα.

Από τη φύση της εμφάνισης των σφαλμάτων χωρίζονται σε συστηματικά σφάλματα και τυχαία σφάλματα.

· Ανάλογα με τη φύση της εξάρτησης του σφάλματος από τις τιμές που επηρεάζουν, τα σφάλματα χωρίζονται σε βασικά και πρόσθετα.

· Ανάλογα με τη φύση της εξάρτησης του σφάλματος από την τιμή εισόδου, τα σφάλματα χωρίζονται σε αθροιστικά και πολλαπλασιαστικά.

Απόλυτο λάθοςείναι η τιμή που υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ της τιμής της ποσότητας που λαμβάνεται κατά τη διαδικασία μέτρησης και της πραγματικής (πραγματικής) τιμής της δεδομένης ποσότητας. Το απόλυτο σφάλμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

AQ n =Q n /Q 0 , όπου AQ n είναι το απόλυτο σφάλμα. Qn- την τιμή μιας ορισμένης ποσότητας που λαμβάνεται κατά τη διαδικασία μέτρησης· Q0- η τιμή της ίδιας ποσότητας, που λαμβάνεται ως βάση σύγκρισης (πραγματική αξία).

Απόλυτο λάθος μέτρησηςείναι η τιμή που υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ του αριθμού, που είναι η ονομαστική τιμή του μέτρου, και της πραγματικής (πραγματικής) αξίας της ποσότητας που αναπαράγεται από το μέτρο.

Σχετικό λάθοςείναι ένας αριθμός που αντικατοπτρίζει τον βαθμό ακρίβειας της μέτρησης. Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Όπου ΔQ είναι το απόλυτο σφάλμα. Q0είναι η πραγματική (πραγματική) τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Το σχετικό σφάλμα εκφράζεται ως ποσοστό.

Μειωμένο σφάλμαείναι η τιμή που υπολογίζεται ως ο λόγος της απόλυτης τιμής σφάλματος προς την τιμή κανονικοποίησης.

Η τιμή κανονικοποίησης ορίζεται ως εξής:

Για όργανα μετρήσεων για τα οποία έχει εγκριθεί μια ονομαστική τιμή, αυτή η ονομαστική τιμή λαμβάνεται ως τιμή κανονικοποίησης.

· για όργανα μέτρησης, στα οποία η μηδενική τιμή βρίσκεται στο άκρο της κλίμακας μέτρησης ή εκτός της κλίμακας, η τιμή κανονικοποίησης λαμβάνεται ίση με την τελική τιμή από το εύρος μέτρησης. Εξαίρεση αποτελούν τα όργανα μέτρησης με σημαντικά ανομοιόμορφη κλίμακα μέτρησης.

· για όργανα μέτρησης, στα οποία το μηδενικό σημείο βρίσκεται εντός του εύρους μέτρησης, η τιμή κανονικοποίησης λαμβάνεται ίση με το άθροισμα των τελικών αριθμητικών τιμών του εύρους μέτρησης.

Για όργανα μέτρησης (όργανα μέτρησης) με ανομοιόμορφη κλίμακα, η τιμή κανονικοποίησης λαμβάνεται ίση με ολόκληρο το μήκος της κλίμακας μέτρησης ή το μήκος εκείνου του τμήματος της που αντιστοιχεί στο εύρος μέτρησης. Στη συνέχεια, το απόλυτο σφάλμα εκφράζεται σε μονάδες μήκους.

Το σφάλμα μέτρησης περιλαμβάνει σφάλμα οργάνου, μεθοδολογικό σφάλμα και σφάλμα ανάγνωσης. Επιπλέον, το σφάλμα ανάγνωσης προκύπτει λόγω της ανακρίβειας στον προσδιορισμό των κλασμάτων διαίρεσης της κλίμακας μέτρησης.

Σφάλμα οργάνου- αυτό είναι το σφάλμα που προκύπτει από τα σφάλματα που έγιναν στη διαδικασία κατασκευής των λειτουργικών μερών των οργάνων μέτρησης σφαλμάτων.

Μεθοδολογικό λάθοςείναι σφάλμα για τους εξής λόγους:

· ανακρίβεια στην κατασκευή ενός μοντέλου της φυσικής διαδικασίας στην οποία βασίζεται το όργανο μέτρησης.

Λανθασμένη χρήση οργάνων μέτρησης.

Υποκειμενικό λάθος- πρόκειται για σφάλμα που προκύπτει λόγω του χαμηλού βαθμού προσόντων του χειριστή του οργάνου μέτρησης, καθώς και λόγω του σφάλματος των ανθρώπινων οπτικών οργάνων, δηλαδή ο ανθρώπινος παράγοντας είναι η αιτία του υποκειμενικού σφάλματος.

Τα σφάλματα στην αλληλεπίδραση των αλλαγών στο χρόνο και στην τιμή εισόδου χωρίζονται σε στατικά και δυναμικά σφάλματα.

Στατικό σφάλμα- αυτό είναι το σφάλμα που εμφανίζεται στη διαδικασία μέτρησης μιας σταθερής (δεν αλλάζει χρονικά) τιμή.

Δυναμικό σφάλμα- πρόκειται για σφάλμα, η αριθμητική τιμή του οποίου υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ του σφάλματος που προκύπτει κατά τη μέτρηση μιας μη σταθερής (μεταβλητής χρονικής περιόδου) ποσότητας και ενός στατικού σφάλματος (το σφάλμα στην τιμή της μετρούμενης ποσότητας σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή).

Ανάλογα με τη φύση της εξάρτησης του σφάλματος από τα μεγέθη που επηρεάζουν, τα σφάλματα χωρίζονται σε βασικά και πρόσθετα.

Βασικό σφάλμαείναι το σφάλμα που προκύπτει υπό κανονικές συνθήκες λειτουργίας του οργάνου μέτρησης (σε κανονικές τιμές των μεγεθών που επηρεάζουν).

Πρόσθετο σφάλμα- αυτό είναι το σφάλμα που εμφανίζεται όταν οι τιμές των μεγεθών που επηρεάζουν δεν αντιστοιχούν στις κανονικές τους τιμές ή εάν η επηρεαζόμενη ποσότητα υπερβαίνει τα όρια της περιοχής των κανονικών τιμών.

Φυσιολογικές συνθήκεςείναι οι συνθήκες υπό τις οποίες όλες οι τιμές των μεγεθών που επηρεάζουν είναι κανονικές ή δεν υπερβαίνουν τα όρια του εύρους των κανονικών τιμών.

Συνθήκες εργασίας- αυτές είναι συνθήκες στις οποίες η αλλαγή των μεγεθών που επηρεάζουν έχει ευρύτερο εύρος (οι τιμές των επηρεαζόμενων δεν υπερβαίνουν τα όρια του εύρους τιμών εργασίας).

Εύρος εργασίας τιμών της επηρεαζόμενης ποσότηταςείναι το εύρος τιμών στο οποίο κανονικοποιούνται οι τιμές του πρόσθετου σφάλματος.

Ανάλογα με τη φύση της εξάρτησης του σφάλματος από την τιμή εισόδου, τα σφάλματα χωρίζονται σε αθροιστικά και πολλαπλασιαστικά.

Προσθετικό σφάλμα- αυτό είναι το σφάλμα που προκύπτει λόγω του αθροίσματος των αριθμητικών τιμών και δεν εξαρτάται από την τιμή της μετρούμενης ποσότητας, που λαμβάνεται modulo (απόλυτη).

Πολλαπλασιαστικό σφάλμα- αυτό είναι ένα σφάλμα που αλλάζει μαζί με μια αλλαγή στις τιμές της ποσότητας που μετράται.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του απόλυτου αθροιστικού σφάλματος δεν σχετίζεται με την τιμή της μετρούμενης ποσότητας και την ευαισθησία του οργάνου μέτρησης. Τα απόλυτα προσθετικά σφάλματα παραμένουν αμετάβλητα σε όλο το εύρος μέτρησης.

Η τιμή του απόλυτου σφάλματος πρόσθετου καθορίζει την ελάχιστη τιμή της ποσότητας που μπορεί να μετρηθεί από το όργανο μέτρησης.

Οι τιμές των πολλαπλασιαστικών σφαλμάτων αλλάζουν ανάλογα με τις αλλαγές στις τιμές της μετρούμενης ποσότητας. Οι τιμές των πολλαπλασιαστικών σφαλμάτων είναι επίσης ανάλογες με την ευαισθησία του οργάνου μέτρησης Το πολλαπλασιαστικό σφάλμα προκύπτει λόγω της επίδρασης των μεγεθών που επηρεάζουν τα παραμετρικά χαρακτηριστικά των στοιχείων του οργάνου.

Τα σφάλματα που ενδέχεται να προκύψουν κατά τη διαδικασία μέτρησης ταξινομούνται ανάλογα με τη φύση της εμφάνισής τους. Διανέμω:

συστηματικά λάθη?

τυχαία σφάλματα.

Μπορούν επίσης να εμφανιστούν μεγάλα σφάλματα και αστοχίες στη διαδικασία μέτρησης.

Συστηματικό λάθος- αυτό είναι αναπόσπαστο μέρος του συνόλου του σφάλματος του αποτελέσματος της μέτρησης, το οποίο δεν αλλάζει ή αλλάζει φυσικά με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας τιμής. Συνήθως, ένα συστηματικό σφάλμα επιχειρείται να εξαλειφθεί με πιθανά μέσα (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μεθόδους μέτρησης που μειώνουν την πιθανότητα εμφάνισής του), αλλά εάν ένα συστηματικό σφάλμα δεν μπορεί να αποκλειστεί, τότε υπολογίζεται πριν από την έναρξη των μετρήσεων και κατάλληλα γίνονται διορθώσεις στο αποτέλεσμα της μέτρησης. Κατά τη διαδικασία κανονικοποίησης του συστηματικού σφάλματος, καθορίζονται τα όρια των αποδεκτών τιμών του. Το συστηματικό σφάλμα καθορίζει την ορθότητα των μετρήσεων των οργάνων μέτρησης (μετρολογική ιδιότητα). Τα συστηματικά σφάλματα σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν να προσδιοριστούν πειραματικά. Το αποτέλεσμα της μέτρησης μπορεί στη συνέχεια να βελτιωθεί με την εισαγωγή μιας διόρθωσης.

Οι μέθοδοι για την εξάλειψη συστηματικών σφαλμάτων χωρίζονται σε τέσσερις τύπους:

εξάλειψη των αιτιών και των πηγών σφαλμάτων πριν από την έναρξη των μετρήσεων·

· Εξάλειψη σφαλμάτων στη διαδικασία μέτρησης που έχει ήδη ξεκινήσει με μεθόδους αντικατάστασης, αντιστάθμιση σφαλμάτων στο πρόσημο, αντιθέσεις, συμμετρικές παρατηρήσεις.

Διόρθωση των αποτελεσμάτων της μέτρησης με τροποποίηση (εξάλειψη σφαλμάτων με υπολογισμούς).

Καθορισμός των ορίων συστηματικού σφάλματος σε περίπτωση που δεν μπορεί να εξαλειφθεί.

Εξάλειψη των αιτιών και των πηγών σφαλμάτων πριν από την έναρξη των μετρήσεων. Αυτή η μέθοδος είναι η καλύτερη επιλογή, καθώς η χρήση της απλοποιεί την περαιτέρω πορεία των μετρήσεων (δεν χρειάζεται να εξαλειφθούν τα σφάλματα στη διαδικασία μιας ήδη ξεκινήσεις μέτρησης ή να τροποποιηθεί το αποτέλεσμα που προκύπτει).

Για την εξάλειψη συστηματικών σφαλμάτων στη διαδικασία μιας μέτρησης που έχει ήδη ξεκινήσει, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι.

Τροποποίηση Μέθοδοςβασίζεται στη γνώση του συστηματικού σφάλματος και των σημερινών μοτίβων αλλαγής του. Όταν χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος, το αποτέλεσμα της μέτρησης που λαμβάνεται με συστηματικά σφάλματα υπόκειται σε διορθώσεις ίσες σε μέγεθος με αυτά τα σφάλματα, αλλά αντίθετα σε πρόσημο.

μέθοδος αντικατάστασηςσυνίσταται στο γεγονός ότι η μετρούμενη τιμή αντικαθίσταται από ένα μέτρο τοποθετημένο στις ίδιες συνθήκες στις οποίες βρισκόταν το αντικείμενο μέτρησης. Η μέθοδος αντικατάστασης χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση των ακόλουθων ηλεκτρικών παραμέτρων: αντίσταση, χωρητικότητα και επαγωγή.

Μέθοδος αντιστάθμισης σφαλμάτων υπογραφήςσυνίσταται στο ότι οι μετρήσεις εκτελούνται δύο φορές με τέτοιο τρόπο ώστε το σφάλμα, άγνωστο σε μέγεθος, να περιλαμβάνεται στα αποτελέσματα των μετρήσεων με το αντίθετο πρόσημο.

Μέθοδος αντίθεσηςπαρόμοια με την αποζημίωση βάσει σημάτων. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι οι μετρήσεις εκτελούνται δύο φορές με τέτοιο τρόπο ώστε η πηγή σφάλματος στην πρώτη μέτρηση να έχει το αντίθετο αποτέλεσμα στο αποτέλεσμα της δεύτερης μέτρησης.

τυχαίο σφάλμα- αυτό είναι ένα στοιχείο του σφάλματος του αποτελέσματος της μέτρησης, το οποίο αλλάζει τυχαία, ακανόνιστα κατά τη διάρκεια επαναλαμβανόμενων μετρήσεων της ίδιας τιμής. Η εμφάνιση ενός τυχαίου σφάλματος δεν μπορεί να προβλεφθεί και να προβλεφθεί. Το τυχαίο σφάλμα δεν μπορεί να εξαλειφθεί εντελώς· πάντα παραμορφώνει τα τελικά αποτελέσματα της μέτρησης σε κάποιο βαθμό. Αλλά μπορείτε να κάνετε το αποτέλεσμα της μέτρησης πιο ακριβές κάνοντας επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Η αιτία ενός τυχαίου σφάλματος μπορεί να είναι, για παράδειγμα, μια τυχαία αλλαγή σε εξωτερικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη διαδικασία μέτρησης. Ένα τυχαίο σφάλμα κατά τη διάρκεια πολλαπλών μετρήσεων με επαρκώς υψηλό βαθμό ακρίβειας οδηγεί σε διασπορά των αποτελεσμάτων.

Αστοχίες και γκάφεςείναι σφάλματα που είναι πολύ μεγαλύτερα από τα αναμενόμενα συστηματικά και τυχαία σφάλματα υπό τις δεδομένες συνθήκες μέτρησης. Μπορεί να εμφανιστούν ολισθήσεις και μεγάλα σφάλματα λόγω μεγάλων σφαλμάτων στη διαδικασία μέτρησης, τεχνικής δυσλειτουργίας του οργάνου μέτρησης και απροσδόκητων αλλαγών στις εξωτερικές συνθήκες.

Αφήστε κάποια τυχαία μεταβλητή έναμετρημένος nφορές υπό τις ίδιες συνθήκες. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων έδωσαν ένα σύνολο nδιάφορους αριθμούς

Απόλυτο λάθος- τιμή διαστάσεων. Αναμεταξύ nΟι τιμές των απόλυτων σφαλμάτων ανταποκρίνονται απαραίτητα τόσο στα θετικά όσο και στα αρνητικά.

Για την πιο πιθανή τιμή της ποσότητας ένασυνήθως παίρνουν μέση τιμήτη σημασία των αποτελεσμάτων της μέτρησης

.

Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των μετρήσεων, τόσο πιο κοντά είναι η μέση τιμή στην πραγματική τιμή.

Απόλυτο λάθοςΕγώ

.

Σχετικό λάθοςΕγώΗ διάσταση ονομάζεται ποσότητα

Το σχετικό σφάλμα είναι μια αδιάστατη ποσότητα. Συνήθως, το σχετικό σφάλμα εκφράζεται ως ποσοστό, για αυτό e iπολλαπλασιάστε επί 100%. Η τιμή του σχετικού σφάλματος χαρακτηρίζει την ακρίβεια της μέτρησης.

Μέσο απόλυτο σφάλμαορίζεται ως εξής:

.

Τονίζουμε την ανάγκη να αθροιστούν οι απόλυτες τιμές (ενότητες) των ποσοτήτων D και εγώ .Διαφορετικά, θα ληφθεί το ίδιο μηδενικό αποτέλεσμα.

Μέσο σχετικό σφάλμαονομάζεται ποσότητα

.

Για μεγάλο αριθμό μετρήσεων.

Το σχετικό σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί ως η τιμή του σφάλματος ανά μονάδα της μετρούμενης ποσότητας.

Η ακρίβεια των μετρήσεων κρίνεται με βάση τη σύγκριση των σφαλμάτων των αποτελεσμάτων των μετρήσεων. Επομένως, τα σφάλματα μέτρησης εκφράζονται με τέτοια μορφή που, για να εκτιμηθεί η ακρίβεια, θα αρκούσε η σύγκριση μόνο των σφαλμάτων των αποτελεσμάτων, χωρίς να συγκρίνονται τα μεγέθη των μετρούμενων αντικειμένων ή να γνωρίζουμε πολύ κατά προσέγγιση αυτά τα μεγέθη. Είναι γνωστό από την πράξη ότι το απόλυτο σφάλμα μέτρησης της γωνίας δεν εξαρτάται από την τιμή της γωνίας και το απόλυτο σφάλμα μέτρησης του μήκους εξαρτάται από την τιμή του μήκους. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του μήκους, τόσο μεγαλύτερο είναι το απόλυτο σφάλμα για αυτήν τη μέθοδο και τις συνθήκες μέτρησης. Επομένως, σύμφωνα με το απόλυτο σφάλμα του αποτελέσματος, είναι δυνατό να κριθεί η ακρίβεια της μέτρησης της γωνίας, αλλά είναι αδύνατο να κριθεί η ακρίβεια της μέτρησης του μήκους. Η έκφραση του σφάλματος σε σχετική μορφή καθιστά δυνατή τη σύγκριση, σε ορισμένες περιπτώσεις, της ακρίβειας των γωνιακών και γραμμικών μετρήσεων.

Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Τυχαίο σφάλμα.

Τυχαίο σφάλμα ονομάζεται το στοιχείο του σφάλματος μέτρησης, το οποίο αλλάζει τυχαία με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας.

Όταν οι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας σταθερής, αμετάβλητης ποσότητας πραγματοποιούνται με την ίδια προσοχή και υπό τις ίδιες συνθήκες, παίρνουμε αποτελέσματα μετρήσεων - μερικά από αυτά διαφέρουν μεταξύ τους και μερικά από αυτά συμπίπτουν. Τέτοιες αποκλίσεις στα αποτελέσματα των μετρήσεων υποδεικνύουν την παρουσία στοιχείων τυχαίου σφάλματος σε αυτά.

Το τυχαίο σφάλμα προκύπτει από την ταυτόχρονη δράση πολλών πηγών, καθεμία από τις οποίες έχει από μόνη της μια ανεπαίσθητη επίδραση στο αποτέλεσμα της μέτρησης, αλλά η συνολική επίδραση όλων των πηγών μπορεί να είναι αρκετά ισχυρή.

Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτη συνέπεια οποιασδήποτε μέτρησης και οφείλονται:

α) ανακριβείς μετρήσεις στην κλίμακα οργάνων και εργαλείων·

β) μη πανομοιότυπες συνθήκες για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις.

γ) τυχαίες αλλαγές σε εξωτερικές συνθήκες (θερμοκρασία, πίεση, πεδίο δύναμης κ.λπ.) που δεν μπορούν να ελεγχθούν.

δ) όλες τις άλλες επιδράσεις στις μετρήσεις, οι αιτίες των οποίων είναι άγνωστες σε εμάς. Το μέγεθος του τυχαίου σφάλματος μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με την επανειλημμένη επανάληψη του πειράματος και την κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία των αποτελεσμάτων.

Ένα τυχαίο σφάλμα μπορεί να λάβει διαφορετικές απόλυτες τιμές, οι οποίες δεν μπορούν να προβλεφθούν για μια δεδομένη πράξη μέτρησης. Αυτό το σφάλμα μπορεί να είναι εξίσου θετικό και αρνητικό. Τα τυχαία σφάλματα υπάρχουν πάντα σε ένα πείραμα. Ελλείψει συστηματικών σφαλμάτων, προκαλούν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις να διασκορπίζονται γύρω από την πραγματική τιμή.

Ας υποθέσουμε ότι με τη βοήθεια ενός χρονόμετρου μετράμε την περίοδο ταλάντωσης του εκκρεμούς, και η μέτρηση επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Σφάλματα κατά την εκκίνηση και τη διακοπή του χρονόμετρου, ένα σφάλμα στην τιμή της αναφοράς, μια μικρή ανομοιόμορφη κίνηση του εκκρεμούς - όλα αυτά προκαλούν διασπορά στα αποτελέσματα επαναλαμβανόμενων μετρήσεων και επομένως μπορούν να ταξινομηθούν ως τυχαία σφάλματα.

Εάν δεν υπάρχουν άλλα σφάλματα, τότε ορισμένα αποτελέσματα θα είναι κάπως υπερεκτιμημένα, ενώ άλλα θα είναι ελαφρώς υποτιμημένα. Αν όμως, εκτός από αυτό, το ρολόι είναι επίσης πίσω, τότε όλα τα αποτελέσματα θα υποτιμηθούν. Αυτό είναι ήδη ένα συστηματικό σφάλμα.

Ορισμένοι παράγοντες μπορούν να προκαλέσουν τόσο συστηματικά όσο και τυχαία σφάλματα ταυτόχρονα. Έτσι, ενεργοποιώντας και απενεργοποιώντας το χρονόμετρο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μικρή ακανόνιστη κατανομή στις στιγμές εκκίνησης και διακοπής του ρολογιού σε σχέση με την κίνηση του εκκρεμούς και έτσι να εισάγουμε ένα τυχαίο σφάλμα. Αλλά αν, επιπλέον, κάθε φορά που βιαζόμαστε να ανάβουμε το χρονόμετρο και αργούμε κάπως να το σβήσουμε, τότε αυτό θα οδηγήσει σε συστηματικό σφάλμα.

Τα τυχαία σφάλματα προκαλούνται από ένα σφάλμα παράλλαξης κατά την ανάγνωση των διαιρέσεων της κλίμακας του οργάνου, το τίναγμα της θεμελίωσης του κτιρίου, την επίδραση της ελαφριάς κίνησης του αέρα κ.λπ.

Αν και είναι αδύνατο να αποκλειστούν τα τυχαία σφάλματα μεμονωμένων μετρήσεων, η μαθηματική θεωρία των τυχαίων φαινομένων μας επιτρέπει να μειώσουμε την επίδραση αυτών των σφαλμάτων στο τελικό αποτέλεσμα της μέτρησης. Παρακάτω θα φανεί ότι για αυτό είναι απαραίτητο να κάνουμε όχι μία, αλλά πολλές μετρήσεις και όσο μικρότερη είναι η τιμή σφάλματος που θέλουμε να λάβουμε, τόσο περισσότερες μετρήσεις πρέπει να γίνουν.

Λόγω του γεγονότος ότι η εμφάνιση τυχαίων σφαλμάτων είναι αναπόφευκτη και αναπόφευκτη, το κύριο καθήκον κάθε διαδικασίας μέτρησης είναι να ελαχιστοποιήσει τα σφάλματα.

Η θεωρία των σφαλμάτων βασίζεται σε δύο κύριες υποθέσεις, που επιβεβαιώνονται από την εμπειρία:

1. Με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, τυχαία σφάλματα ίδιου μεγέθους, αλλά διαφορετικού πρόσημου, δηλαδή λάθη στην κατεύθυνση αύξησης και μείωσης του αποτελέσματος είναι αρκετά συχνά.

2. Τα μεγάλα απόλυτα σφάλματα είναι λιγότερο συχνά από τα μικρά, επομένως η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται όσο αυξάνεται η τιμή του.

Η συμπεριφορά των τυχαίων μεταβλητών περιγράφεται από στατιστικές κανονικότητες, οι οποίες αποτελούν αντικείμενο της θεωρίας πιθανοτήτων. Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας w iεξελίξεις Εγώείναι η στάση

όπου n- συνολικός αριθμός πειραμάτων, n i- τον αριθμό των πειραμάτων στα οποία το συμβάν Εγώσυνέβη. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συνολικός αριθμός των πειραμάτων θα πρέπει να είναι πολύ μεγάλος ( n®¥). Με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, τα τυχαία σφάλματα υπακούουν σε μια κανονική κατανομή (Gaussian κατανομή), τα κύρια χαρακτηριστικά της οποίας είναι τα ακόλουθα:

1. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση της τιμής της μετρούμενης τιμής από την πραγματική τιμή, τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα ενός τέτοιου αποτελέσματος.

2. Οι αποκλίσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις από την πραγματική τιμή είναι εξίσου πιθανές.

Από τις παραπάνω παραδοχές, προκύπτει ότι για να μειωθεί η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων, είναι απαραίτητο να μετρηθεί αυτή η ποσότητα πολλές φορές. Ας υποθέσουμε ότι μετράμε κάποια τιμή x. Αφήστε να παραχθεί nΜετρήσεις: x 1 , x 2 , ... x n- με την ίδια μέθοδο και με την ίδια φροντίδα. Μπορεί να αναμένεται ότι ο αριθμός dnελήφθησαν αποτελέσματα, τα οποία βρίσκονται σε ένα αρκετά στενό διάστημα από Χπριν x + dx, θα πρέπει να είναι ανάλογη με:

Η τιμή του ληφθέντος διαστήματος dx;

Συνολικός αριθμός μετρήσεων n.

Πιθανότητα dw(Χ) ότι κάποια αξία Χβρίσκεται στο διάστημα από Χπριν x+dx,ορίζεται ως εξής :

(με τον αριθμό των μετρήσεων n ®¥).

Λειτουργία φά(Χ) ονομάζεται συνάρτηση κατανομής ή πυκνότητα πιθανότητας.

Ως αξίωμα της θεωρίας των σφαλμάτων, θεωρείται ότι τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων και τα τυχαία λάθη τους, με μεγάλο αριθμό από αυτά, υπακούουν στο νόμο της κανονικής κατανομής.

Η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής που βρέθηκε από τον Gauss Χέχει την εξής μορφή:

, όπου μισ - παραμέτρους κατανομής .

Η παράμετρος m της κανονικής κατανομής είναι ίση με τη μέση τιμή α Χñ μια τυχαία μεταβλητή, η οποία, για μια αυθαίρετη γνωστή συνάρτηση κατανομής, προσδιορίζεται από το ολοκλήρωμα

.

Με αυτόν τον τρόπο, η τιμή m είναι η πιο πιθανή τιμή της μετρούμενης τιμής x, δηλ. η καλύτερη εκτίμησή της.

Η παράμετρος s 2 της κανονικής κατανομής είναι ίση με τη διακύμανση D της τυχαίας μεταβλητής, η οποία γενικά καθορίζεται από το ακόλουθο ολοκλήρωμα

.

Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής.

Η μέση απόκλιση (σφάλμα) της τυχαίας μεταβλητής ásñ προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής ως εξής

Το μέσο σφάλμα μέτρησης ásñ, που υπολογίζεται από τη συνάρτηση κατανομής Gauss, σχετίζεται με την τιμή της τυπικής απόκλισης s ως εξής:

< μικρό > = 0,8 δευτ.

Οι παράμετροι s και m σχετίζονται ως εξής:

.

Αυτή η έκφραση σάς επιτρέπει να βρείτε την τυπική απόκλιση s εάν υπάρχει μια κανονική καμπύλη κατανομής.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Gauss φαίνεται στα σχήματα. Λειτουργία φά(Χ) είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη που σχεδιάζεται στο σημείο x=Μ; διέρχεται από το μέγιστο στο σημείο x= m και έχει καμπή στα σημεία m ±s. Έτσι, η διασπορά χαρακτηρίζει το πλάτος της συνάρτησης κατανομής ή δείχνει πόσο ευρέως διασκορπίζονται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με την πραγματική της τιμή. Όσο πιο ακριβείς είναι οι μετρήσεις, τόσο πιο κοντά στην πραγματική τιμή είναι τα αποτελέσματα των επιμέρους μετρήσεων, δηλ. η τιμή του s είναι μικρότερη. Το σχήμα Α δείχνει τη συνάρτηση φά(Χ) για τρεις τιμές s .

Εμβαδόν σχήματος που οριοθετείται από καμπύλη φά(Χ) και κάθετες γραμμές που σχεδιάζονται από σημεία Χ 1 και Χ 2 (Εικ. Β) , είναι αριθμητικά ίσο με την πιθανότητα το αποτέλεσμα της μέτρησης να εμπίπτει στο διάστημα D x = x 1 - Χ 2 , το οποίο ονομάζεται επίπεδο εμπιστοσύνης. Περιοχή κάτω από ολόκληρη την καμπύλη φά(Χ) ισούται με την πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα από 0 έως ¥, δηλ.

,

αφού η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα.

Χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή, η θεωρία σφαλμάτων θέτει και επιλύει δύο κύρια προβλήματα. Το πρώτο είναι μια αξιολόγηση της ακρίβειας των μετρήσεων. Το δεύτερο είναι μια αξιολόγηση της ακρίβειας του αριθμητικού μέσου όρου των αποτελεσμάτων της μέτρησης.5. Διάστημα εμπιστοσύνης. Συντελεστής μαθητή.

Η θεωρία πιθανοτήτων σας επιτρέπει να προσδιορίσετε το μέγεθος του διαστήματος στο οποίο με μια γνωστή πιθανότητα wείναι τα αποτελέσματα μεμονωμένων μετρήσεων. Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται επίπεδο αυτοπεποίθησηςκαι το αντίστοιχο διάστημα (<Χ>±Δ Χ)wπου ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης.Το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι επίσης ίσο με τη σχετική αναλογία των αποτελεσμάτων που εμπίπτουν στο διάστημα εμπιστοσύνης.

Εάν ο αριθμός των μετρήσεων nείναι αρκετά μεγάλο, τότε η πιθανότητα εμπιστοσύνης εκφράζει την αναλογία του συνολικού αριθμού nεκείνες οι μετρήσεις στις οποίες η μετρούμενη τιμή ήταν εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης. Κάθε επίπεδο εμπιστοσύνης wαντιστοιχεί στο διάστημα εμπιστοσύνης του w 2 80%. Όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης, τόσο πιο πιθανό είναι να ληφθεί ένα αποτέλεσμα μέσα σε αυτό το διάστημα. Στη θεωρία πιθανοτήτων, δημιουργείται μια ποσοτική σχέση μεταξύ της τιμής του διαστήματος εμπιστοσύνης, της πιθανότητας εμπιστοσύνης και του αριθμού των μετρήσεων.

Αν επιλέξουμε ως διάστημα εμπιστοσύνης το διάστημα που αντιστοιχεί στο μέσο σφάλμα, δηλαδή το D α =ΕΝΑ Δ έναñ, τότε για αρκετά μεγάλο αριθμό μετρήσεων αντιστοιχεί στην πιθανότητα εμπιστοσύνης w 60%. Καθώς ο αριθμός των μετρήσεων μειώνεται, η πιθανότητα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε ένα τέτοιο διάστημα εμπιστοσύνης (α έναñ ± ΕΝΑ Δ έναñ) μειώνεται.

Έτσι, για να εκτιμηθεί το διάστημα εμπιστοσύνης μιας τυχαίας μεταβλητής, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την τιμή του μέσου όρου σφάλματος. έναñ .

Για να χαρακτηρίσετε το μέγεθος ενός τυχαίου σφάλματος, είναι απαραίτητο να ορίσετε δύο αριθμούς, δηλαδή το μέγεθος του διαστήματος εμπιστοσύνης και το μέγεθος της πιθανότητας εμπιστοσύνης . Ο καθορισμός μόνο του μεγέθους του σφάλματος χωρίς την αντίστοιχη πιθανότητα εμπιστοσύνης είναι σε μεγάλο βαθμό χωρίς νόημα.

Εάν το μέσο σφάλμα μέτρησης ásñ είναι γνωστό, το διάστημα εμπιστοσύνης γράφεται ως (<Χ> ±asñ) w, προσδιορίζεται με πιθανότητα εμπιστοσύνης w= 0,57.

Εάν η τυπική απόκλιση s είναι γνωστή κατανομή των αποτελεσμάτων μέτρησης, το υποδεικνυόμενο διάστημα έχει τη μορφή (<Χ>± twμικρό) w, όπου tw- συντελεστής ανάλογα με την τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης και υπολογίζεται σύμφωνα με την κατανομή Gauss.

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες ποσότητες Δ Χφαίνονται στον πίνακα 1.

Σελίδα 1

Το απόλυτο σφάλμα προσδιορισμού δεν υπερβαίνει τα 0,1 μg φωσφόρου. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε από εμάς για τον προσδιορισμό του φωσφόρου σε νιτρικό, οξικό, υδροχλωρικό και θειικό οξύ και την ακετόνη με την προκαταρκτική εξάτμισή τους.

Το απόλυτο σφάλμα προσδιορισμού είναι 0 2 - 0 3 mg.

Το απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό του ψευδαργύρου σε φερρίτες ψευδαργύρου-μαγγανίου με την προτεινόμενη μέθοδο δεν υπερβαίνει το 0 2 % σχετικό.

Το απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό των υδρογονανθράκων C2 - C4, όταν η περιεκτικότητά τους στο αέριο είναι 0 2 - 50%, είναι 0 01 - 0 2%, αντίστοιχα.

Εδώ το Ay είναι το απόλυτο σφάλμα στον ορισμό του r/, το οποίο προκύπτει από το σφάλμα Yes στον ορισμό του a. Για παράδειγμα, το σχετικό σφάλμα του τετραγώνου ενός αριθμού είναι διπλάσιο από το σφάλμα στον προσδιορισμό του ίδιου του αριθμού και το σχετικό σφάλμα του αριθμού κάτω από την κυβική ρίζα είναι μόλις το ένα τρίτο του σφάλματος στον προσδιορισμό του αριθμού.

Απαιτούνται πιο περίπλοκες σκέψεις κατά την επιλογή ενός μέτρου σύγκρισης των απόλυτων σφαλμάτων για τον προσδιορισμό του χρόνου έναρξης του ατυχήματος TV - Ts, όπου Tv και Ts είναι ο χρόνος του αποκατασταθέντος και του πραγματικού ατυχήματος, αντίστοιχα. Κατ' αναλογία, εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μέσο χρόνο για να φτάσουμε στην κορυφή της ρύπανσης από μια πραγματική απόρριψη σε εκείνα τα σημεία παρακολούθησης που κατέγραψαν ένα ατύχημα κατά τη διέλευση της ρύπανσης Tsm. Ο υπολογισμός της αξιοπιστίας του προσδιορισμού της ισχύος των ατυχημάτων βασίζεται στον υπολογισμό του σχετικού σφάλματος MV - Ms / Mv, όπου Mv και Ms είναι οι αποκατασταθείσες και πραγματικές ισχύς, αντίστοιχα. Τέλος, το σχετικό σφάλμα στον προσδιορισμό της διάρκειας μιας έκτακτης απελευθέρωσης χαρακτηρίζεται από την τιμή rv - rs / re, όπου rv και rs είναι η ανακατασκευασμένη και η πραγματική διάρκεια των ατυχημάτων, αντίστοιχα.

Απαιτούνται πιο περίπλοκες σκέψεις κατά την επιλογή ενός μέτρου σύγκρισης των απόλυτων σφαλμάτων για τον προσδιορισμό του χρόνου έναρξης του ατυχήματος TV - Ts, όπου Tv και Ts είναι ο χρόνος του αποκατασταθέντος και του πραγματικού ατυχήματος, αντίστοιχα. Κατ' αναλογία, εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μέσο χρόνο για να φτάσουμε στην κορυφή της ρύπανσης από μια πραγματική απόρριψη σε εκείνα τα σημεία παρακολούθησης που κατέγραψαν ένα ατύχημα κατά τη διέλευση της ρύπανσης Tsm. Ο υπολογισμός της αξιοπιστίας του προσδιορισμού της ισχύος των ατυχημάτων βασίζεται στον υπολογισμό του σχετικού σφάλματος Mv - Ms / Ms, όπου Mv και Ms είναι οι αποκατασταθείσες και πραγματικές ισχύς, αντίστοιχα. Τέλος, το σχετικό σφάλμα στον προσδιορισμό της διάρκειας μιας έκτακτης απελευθέρωσης χαρακτηρίζεται από την τιμή rv - rs / rs, όπου rv και rs είναι οι ανακατασκευασμένες και οι πραγματικές διάρκειες των ατυχημάτων, αντίστοιχα.

Με το ίδιο απόλυτο σφάλμα μέτρησης ay, το απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό της ποσότητας του τσεκούρι μειώνεται με την αύξηση της ευαισθησίας της μεθόδου.

Δεδομένου ότι τα σφάλματα βασίζονται όχι σε τυχαία, αλλά σε συστηματικά σφάλματα, το τελικό απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό των βεντούζες μπορεί να φτάσει το 10% της θεωρητικά απαιτούμενης ποσότητας αέρα. Μόνο με απαράδεκτα χαλαρούς κλιβάνους (A 0 25) η γενικά αποδεκτή μέθοδος δίνει περισσότερο ή λιγότερο ικανοποιητικά αποτελέσματα. Το περιγραφόμενο είναι πολύ γνωστό στους ρυθμιστές, οι οποίοι, όταν μειώνουν την ισορροπία αέρα των πυκνών κλιβάνων, συχνά λαμβάνουν αρνητικές τιμές αναρρόφησης.

Μια ανάλυση του σφάλματος στον προσδιορισμό της τιμής του κατοικίδιου έδειξε ότι αποτελείται από 4 συστατικά: το απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό της μάζας του πίνακα, τη χωρητικότητα του δείγματος, το ζύγισμα και το σχετικό σφάλμα λόγω διακυμάνσεων στη μάζα του δείγματος γύρω από την τιμή ισορροπίας.

Με την επιφύλαξη όλων των κανόνων επιλογής, μέτρησης όγκων και ανάλυσης αερίων με χρήση του αναλυτή αερίων GKhP-3, το συνολικό απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό της περιεκτικότητας σε CO2 και O2 δεν πρέπει να υπερβαίνει το 0 2 - 0 4% της πραγματικής τους τιμής.

Από τον πίνακα. 1 - 3, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα δεδομένα που χρησιμοποιούμε για τις αρχικές ουσίες, που λαμβάνονται από διαφορετικές πηγές, έχουν σχετικά μικρές διαφορές που έγκεινται στα απόλυτα σφάλματα στον προσδιορισμό αυτών των ποσοτήτων.

Τα τυχαία σφάλματα μπορεί να είναι απόλυτα ή σχετικά. Το τυχαίο σφάλμα, το οποίο έχει τη διάσταση της μετρούμενης τιμής, ονομάζεται απόλυτο σφάλμα προσδιορισμού. Ο αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων σφαλμάτων όλων των επιμέρους μετρήσεων ονομάζεται απόλυτο σφάλμα της μεθόδου ανάλυσης.

Η τιμή της επιτρεπόμενης απόκλισης ή του διαστήματος εμπιστοσύνης δεν ορίζεται αυθαίρετα, αλλά υπολογίζεται από συγκεκριμένα δεδομένα μετρήσεων και τα χαρακτηριστικά των οργάνων που χρησιμοποιούνται. Η απόκλιση του αποτελέσματος μιας μεμονωμένης μέτρησης από την πραγματική τιμή μιας ποσότητας ονομάζεται απόλυτο σφάλμα προσδιορισμού ή απλώς σφάλμα. Ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς τη μετρούμενη τιμή ονομάζεται σχετικό σφάλμα, το οποίο συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό. Η γνώση του σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης δεν έχει καμία ανεξάρτητη σημασία, και σε κάθε σοβαρό πείραμα, πρέπει να πραγματοποιηθούν πολλές παράλληλες μετρήσεις, από τις οποίες υπολογίζεται το σφάλμα του πειράματος. Τα σφάλματα μέτρησης, ανάλογα με τα αίτια της εμφάνισής τους, χωρίζονται σε τρεις τύπους.

Είναι πρακτικά αδύνατο να προσδιοριστεί η πραγματική τιμή μιας φυσικής ποσότητας με απόλυτη ακρίβεια, γιατί οποιαδήποτε λειτουργία μέτρησης σχετίζεται με έναν αριθμό σφαλμάτων ή, διαφορετικά, σφαλμάτων. Οι λόγοι για τα σφάλματα μπορεί να είναι πολύ διαφορετικοί. Η εμφάνισή τους μπορεί να οφείλεται σε ανακρίβειες στην κατασκευή και ρύθμιση της συσκευής μέτρησης, λόγω των φυσικών χαρακτηριστικών του υπό μελέτη αντικειμένου (για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση της διαμέτρου ενός σύρματος ανομοιογενούς πάχους, το αποτέλεσμα εξαρτάται τυχαία από την επιλογή την περιοχή μέτρησης), τυχαίους λόγους κ.λπ.

Το καθήκον του πειραματιστή είναι να μειώσει την επιρροή του στο αποτέλεσμα και επίσης να δείξει πόσο κοντά είναι το αποτέλεσμα στο αληθινό.

Υπάρχουν έννοιες του απόλυτου και σχετικού λάθους.

Υπό απόλυτο λάθοςΗ μέτρηση θα κατανοήσει τη διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος της μέτρησης και της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας:

∆x i =x i -x και (2)

όπου ∆x i είναι το απόλυτο σφάλμα της i-ης μέτρησης, x i _ είναι το αποτέλεσμα της i-ης μέτρησης, x i είναι η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής.

Το αποτέλεσμα οποιασδήποτε φυσικής μέτρησης συνήθως γράφεται ως:

όπου είναι η αριθμητική μέση τιμή της μετρούμενης ποσότητας πλησιέστερα στην πραγματική τιμή (η εγκυρότητα των x και ≈ θα παρουσιαστεί παρακάτω), είναι το απόλυτο σφάλμα μέτρησης.

Η ισότητα (3) πρέπει να γίνεται κατανοητή με τέτοιο τρόπο ώστε η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής να βρίσκεται στο διάστημα [ - , + ].

Το απόλυτο σφάλμα είναι μια τιμή διαστάσεων, έχει την ίδια διάσταση με τη μετρούμενη τιμή.

Το απόλυτο σφάλμα δεν χαρακτηρίζει πλήρως την ακρίβεια των μετρήσεων που έγιναν. Πράγματι, αν μετρήσουμε με το ίδιο απόλυτο σφάλμα ± 1 mm τμήματα μήκους 1 m και 5 mm, η ακρίβεια μέτρησης θα είναι ασύγκριτη. Επομένως, μαζί με το απόλυτο σφάλμα μέτρησης, υπολογίζεται και το σχετικό σφάλμα.

Σχετικό λάθοςΟι μετρήσεις είναι ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την ίδια τη μετρούμενη τιμή:

Το σχετικό σφάλμα είναι μια αδιάστατη ποσότητα. Εκφράζεται ως ποσοστό:

Στο παραπάνω παράδειγμα, τα σχετικά σφάλματα είναι 0,1% και 20%. Διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους, αν και οι απόλυτες τιμές είναι ίδιες. Το σχετικό σφάλμα δίνει πληροφορίες σχετικά με την ακρίβεια

Λάθη μέτρησης

Σύμφωνα με τη φύση της εκδήλωσης και τους λόγους για την εμφάνιση του σφάλματος, μπορεί να χωριστεί υπό όρους στις ακόλουθες κατηγορίες: οργανική, συστηματική, τυχαία και αστοχία (μεγάλα σφάλματα).

Οι αστοχίες οφείλονται είτε σε δυσλειτουργία της συσκευής, είτε σε παραβίαση της μεθοδολογίας ή των πειραματικών συνθηκών, είτε είναι υποκειμενικού χαρακτήρα. Στην πράξη, ορίζονται ως αποτελέσματα που διαφέρουν έντονα από άλλα. Για να εξαλειφθεί η εμφάνισή τους, είναι απαραίτητο να παρατηρήσετε την ακρίβεια και την πληρότητα στην εργασία με συσκευές. Τα αποτελέσματα που περιέχουν αστοχίες πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση (απορρίπτονται).

οργανικά σφάλματα. Εάν η συσκευή μέτρησης είναι επισκευή και ρυθμισμένη, τότε μπορούν να ληφθούν μετρήσεις σε αυτήν με περιορισμένη ακρίβεια, που καθορίζεται από τον τύπο της συσκευής. Είναι αποδεκτό ότι το οργανικό σφάλμα του οργάνου δείκτη θεωρείται ίσο με το μισό της μικρότερης διαίρεσης της κλίμακας του. Σε συσκευές με ψηφιακή ένδειξη, το σφάλμα οργάνου ισοδυναμεί με την τιμή ενός μικρότερου ψηφίου στην κλίμακα του οργάνου.

Τα συστηματικά σφάλματα είναι σφάλματα των οποίων το μέγεθος και το πρόσημο είναι σταθερά για ολόκληρη τη σειρά μετρήσεων που πραγματοποιούνται με την ίδια μέθοδο και χρησιμοποιώντας τα ίδια όργανα μέτρησης.

Κατά τη διεξαγωγή μετρήσεων, είναι σημαντικό όχι μόνο να λαμβάνονται υπόψη τα συστηματικά σφάλματα, αλλά είναι επίσης απαραίτητο να επιτευχθεί η εξάλειψή τους.

Τα συστηματικά σφάλματα χωρίζονται υπό όρους σε τέσσερις ομάδες:

1) σφάλματα, η φύση των οποίων είναι γνωστή και το μέγεθός τους μπορεί να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια. Ένα τέτοιο σφάλμα είναι, για παράδειγμα, μια αλλαγή στη μετρούμενη μάζα στον αέρα, η οποία εξαρτάται από τη θερμοκρασία, την υγρασία, την πίεση του αέρα κ.λπ.

2) σφάλματα, η φύση των οποίων είναι γνωστή, αλλά το μέγεθος του ίδιου του σφάλματος είναι άγνωστο. Τέτοια σφάλματα περιλαμβάνουν σφάλματα που προκαλούνται από τη συσκευή μέτρησης: δυσλειτουργία της ίδιας της συσκευής, μη συμμόρφωση της κλίμακας με τη μηδενική τιμή, κατηγορία ακρίβειας αυτής της συσκευής.

3) σφάλματα, η ύπαρξη των οποίων μπορεί να μην είναι ύποπτη, αλλά το μέγεθός τους μπορεί συχνά να είναι σημαντικό. Τέτοια σφάλματα συμβαίνουν συχνότερα με πολύπλοκες μετρήσεις. Ένα απλό παράδειγμα τέτοιου σφάλματος είναι η μέτρηση της πυκνότητας κάποιου δείγματος που περιέχει μια κοιλότητα μέσα.

4) σφάλματα που οφείλονται στα χαρακτηριστικά του ίδιου του αντικειμένου μέτρησης. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας ενός μετάλλου, λαμβάνεται ένα κομμάτι σύρματος από το τελευταίο. Μπορεί να προκύψουν σφάλματα εάν υπάρχει κάποιο ελάττωμα στο υλικό - ρωγμή, πάχυνση του σύρματος ή ανομοιογένεια που αλλάζει την αντίστασή του.

Τα τυχαία σφάλματα είναι σφάλματα που αλλάζουν τυχαία σε πρόσημο και μέγεθος κάτω από ίδιες συνθήκες για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας.

Παρόμοιες πληροφορίες.

Απόλυτο σφάλμα μέτρησηςονομάζεται η τιμή που καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος της μέτρησης Χκαι την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας Χ 0:

Δ Χ = |Χ - Χ 0 |.

Η τιμή δ, ίση με τον λόγο του απόλυτου σφάλματος μέτρησης προς το αποτέλεσμα της μέτρησης, ονομάζεται σχετικό σφάλμα:

Παράδειγμα 2.1.Η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού π είναι 3,14. Τότε το σφάλμα του είναι 0,00159. Το απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί ίσο με 0,0016 και το σχετικό σφάλμα ίσο με 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Σημαντικοί αριθμοί.Εάν το απόλυτο σφάλμα της τιμής a δεν υπερβαίνει τη μία μονάδα του τελευταίου ψηφίου του αριθμού α, τότε λένε ότι ο αριθμός έχει όλα τα πρόσημα σωστά. Οι κατά προσέγγιση αριθμοί πρέπει να καταγράφονται, διατηρώντας μόνο τα σωστά σημάδια. Εάν, για παράδειγμα, το απόλυτο σφάλμα του αριθμού 52400 είναι ίσο με 100, τότε αυτός ο αριθμός πρέπει να γραφεί, για παράδειγμα, ως 524·10 2 ή 0,524·10 5 . Μπορείτε να υπολογίσετε το σφάλμα ενός κατά προσέγγιση αριθμού υποδεικνύοντας πόσα αληθινά σημαντικά ψηφία περιέχει. Κατά την καταμέτρηση σημαντικών ψηφίων, τα μηδενικά στην αριστερή πλευρά του αριθμού δεν μετρώνται.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 0,0283 έχει τρία έγκυρα σημαντικά ψηφία και το 2,5400 έχει πέντε έγκυρα σημαντικά ψηφία.

Κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών. Εάν ο κατά προσέγγιση αριθμός περιέχει επιπλέον (ή λανθασμένους) χαρακτήρες, τότε θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί. Κατά τη στρογγυλοποίηση, εμφανίζεται ένα πρόσθετο σφάλμα, το οποίο δεν υπερβαίνει τη μισή μονάδα του τελευταίου σημαντικού ψηφίου ( ρε) στρογγυλεμένος αριθμός. Κατά τη στρογγυλοποίηση, διατηρούνται μόνο οι σωστές πινακίδες. Οι επιπλέον χαρακτήρες απορρίπτονται και εάν το πρώτο απορριφθέν ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ρε/2, τότε το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο αυξάνεται κατά ένα.

Τα επιπλέον ψηφία στους ακέραιους αντικαθίστανται από μηδενικά και στα δεκαδικά κλάσματα απορρίπτονται (καθώς και τα επιπλέον μηδενικά). Για παράδειγμα, εάν το σφάλμα μέτρησης είναι 0,001 mm, τότε το αποτέλεσμα 1,07005 στρογγυλοποιείται στο 1,070. Εάν το πρώτο από τα μηδενικά τροποποιημένα και απορριφθέντα ψηφία είναι μικρότερο από 5, τα υπόλοιπα ψηφία δεν αλλάζουν. Για παράδειγμα, ο αριθμός 148935 με ακρίβεια μέτρησης 50 έχει στρογγυλοποίηση 148900. Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να αντικατασταθεί με μηδενικά ή να απορριφθεί είναι το 5 και ακολουθείται από κανένα ψηφίο ή μηδενικό, τότε η στρογγυλοποίηση εκτελείται στο πλησιέστερο ζυγό αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 123,50 στρογγυλοποιείται στο 124. Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να αντικατασταθεί με μηδενικά ή να απορριφθεί είναι μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5, αλλά ακολουθείται από ένα σημαντικό ψηφίο, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6783.6 στρογγυλοποιείται στο 6784.

Παράδειγμα 2.2. Κατά τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 1284 στο 1300, το απόλυτο σφάλμα είναι 1300 - 1284 = 16, και κατά τη στρογγυλοποίηση στο 1280, το απόλυτο σφάλμα είναι 1280 - 1284 = 4.

Παράδειγμα 2.3. Κατά τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 197 στο 200, το απόλυτο σφάλμα είναι 200 ​​- 197 = 3. Το σχετικό σφάλμα είναι 3/197 ≈ 0,01523 ή περίπου 3/200 ≈ 1,5%.

Παράδειγμα 2.4. Ο πωλητής ζυγίζει το καρπούζι σε μια ζυγαριά. Στο σύνολο των βαρών το μικρότερο είναι 50 γρ. Ζύγισμα έδωσε 3600 γρ. Αυτός ο αριθμός είναι κατά προσέγγιση. Το ακριβές βάρος του καρπουζιού είναι άγνωστο. Όμως το απόλυτο σφάλμα δεν ξεπερνά τα 50 g. Το σχετικό σφάλμα δεν ξεπερνά το 50/3600 = 1,4%.

Σφάλματα στην επίλυση του προβλήματος Η/Υ

Τρεις τύποι σφαλμάτων θεωρούνται συνήθως ως οι κύριες πηγές σφαλμάτων. Αυτά είναι τα λεγόμενα σφάλματα περικοπής, σφάλματα στρογγυλοποίησης και σφάλματα διάδοσης. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι για την εύρεση των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, τα αποτελέσματα είναι κατά προσέγγιση, σε αντίθεση με τις άμεσες μεθόδους που δίνουν μια ακριβή λύση.

Σφάλματα περικοπής

Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με το σφάλμα που είναι εγγενές στο ίδιο το πρόβλημα. Μπορεί να οφείλεται σε ανακρίβεια στον ορισμό των αρχικών δεδομένων. Για παράδειγμα, εάν προσδιορίζονται οποιεσδήποτε διαστάσεις στην κατάσταση του προβλήματος, τότε στην πράξη για πραγματικά αντικείμενα αυτές οι διαστάσεις είναι πάντα γνωστές με κάποια ακρίβεια. Το ίδιο ισχύει και για οποιεσδήποτε άλλες φυσικές παραμέτρους. Αυτό περιλαμβάνει επίσης την ανακρίβεια των τύπων υπολογισμού και των αριθμητικών συντελεστών που περιλαμβάνονται σε αυτούς.

Σφάλματα διάδοσης

Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με τη χρήση μιας ή άλλης μεθόδου επίλυσης του προβλήματος. Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, συμβαίνει αναπόφευκτα μια συσσώρευση ή, με άλλα λόγια, διάδοση σφαλμάτων. Εκτός από το γεγονός ότι τα ίδια τα αρχικά δεδομένα δεν είναι ακριβή, προκύπτει ένα νέο σφάλμα όταν πολλαπλασιάζονται, προστίθενται κ.λπ. Η συσσώρευση του σφάλματος εξαρτάται από τη φύση και τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό.

Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Αυτός ο τύπος σφάλματος οφείλεται στο γεγονός ότι η πραγματική τιμή ενός αριθμού δεν αποθηκεύεται πάντα με ακρίβεια από τον υπολογιστή. Όταν ένας πραγματικός αριθμός αποθηκεύεται στη μνήμη του υπολογιστή, γράφεται ως μάντισσα και εκθέτης με τον ίδιο τρόπο που εμφανίζεται ένας αριθμός σε μια αριθμομηχανή.