Το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι οι τιμές που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση εξαρτώνται από τυχαίες αιτίες, επομένως τέτοιες μεταβλητές ονομάζονται τυχαίος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, εμφανίζονται ως αποτέλεσμα παρατηρήσεων ή πειραμάτων, τα οποία συνοψίζονται σε πίνακες, στην πρώτη γραμμή των οποίων καταγράφονται οι διάφορες παρατηρούμενες τιμές της τυχαίας μεταβλητής X και στη δεύτερη - η αντίστοιχη συχνότητες. Επομένως, αυτός ο πίνακας ονομάζεται εμπειρική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής Χή μεταβλητές σειρές. Για τη μεταβλητή σειρά, βρήκαμε τη μέση τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

συνεχής, εάν οι τιμές του γεμίσουν πλήρως κάποιο αριθμητικό διάστημα.

Η τυχαία μεταβλητή καλείται διακεκριμένος, εάν μπορούν να απαριθμηθούν όλες οι τιμές του (ιδιαίτερα, εάν χρειάζεται ένας πεπερασμένος αριθμός τιμών).

Πρέπει να σημειωθούν δύο χαρακτηριστικές ιδιότητεςπίνακες κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:

Όλοι οι αριθμοί στη δεύτερη σειρά του πίνακα είναι θετικοί.

Το άθροισμά τους είναι ίσο με ένα.

Σύμφωνα με τις μελέτες που πραγματοποιήθηκαν, μπορεί να υποτεθεί ότι με την αύξηση του αριθμού των παρατηρήσεων, η εμπειρική κατανομή προσεγγίζει τη θεωρητική κατανομή που δίνεται σε μορφή πίνακα.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της.

μαθηματική προσδοκίαη διακριτή τυχαία μεταβλητή X, λαμβάνοντας τιμές , , …, . με πιθανότητες , , …, ονομάζεται αριθμός:

Η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται επίσης μέσος όρος.

Άλλα σημαντικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής περιλαμβάνουν τη διακύμανση (8) και την τυπική απόκλιση (9).

όπου: μαθηματική προσδοκία της τιμής Χ.

. (9)

Η γραφική παρουσίαση των πληροφοριών είναι πολύ πιο ξεκάθαρη από την πίνακα, επομένως χρησιμοποιείται πολύ συχνά η δυνατότητα των υπολογιστικών φύλλων του MS Excel να παρουσιάζουν τα δεδομένα που τοποθετούνται σε αυτά με τη μορφή διάφορων διαγραμμάτων, γραφημάτων και ιστογραμμάτων. Έτσι, εκτός από τον πίνακα, απεικονίζεται και η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας πολύγωνο διανομής. Για να γίνει αυτό, σημεία με συντεταγμένες , , ... χτίζονται στο επίπεδο συντεταγμένων και συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα.

Για να αποκτήσετε ένα ορθογώνιο διανομής χρησιμοποιώντας το MS Excel, πρέπει:

1. Επιλέξτε την καρτέλα "Insert" ® "Area Chart" στη γραμμή εργαλείων.

2. Ενεργοποιήστε την περιοχή για το γράφημα που εμφανίστηκε στο φύλλο MS Excel με το δεξί κουμπί του ποντικιού και χρησιμοποιήστε την εντολή "Select Data" στο μενού περιβάλλοντος.

Ρύζι. 6. Επιλογή πηγής δεδομένων

Αρχικά, ας ορίσουμε το εύρος δεδομένων για το γράφημα. Για να το κάνετε αυτό, στην κατάλληλη περιοχή του πλαισίου διαλόγου "Επιλογή προέλευσης δεδομένων", εισαγάγετε το εύρος C6:I6 (περιέχει τις τιμές συχνότητας που ονομάζονται Row1, Εικ. 7).

Ρύζι. 7. Προσθέστε τη σειρά 1

Για να αλλάξετε το όνομα μιας σειράς, επιλέξτε το κουμπί για να αλλάξετε την περιοχή "Legend στοιχεία (σειρά)" (βλ. Εικ. 7) και ονομάστε την .

Για να προσθέσετε μια ετικέτα για τον άξονα Χ, χρησιμοποιήστε το κουμπί "Επεξεργασία" στην περιοχή "Ετικέτες οριζόντιων αξόνων (κατηγορίες)"
(Εικ. 8) και υποδείξτε τις τιμές της σειράς (εύρος $C$6:$I$6).

Ρύζι. 8. Η τελική προβολή του πλαισίου διαλόγου "Επιλογή προέλευσης δεδομένων"

Επιλέγοντας ένα κουμπί στο παράθυρο διαλόγου Επιλογή προέλευσης δεδομένων
(Εικ. 8) θα σας επιτρέψει να αποκτήσετε το απαιτούμενο πολύγωνο της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής (Εικ. 9).

Ρύζι. 9. Κατανομή πολυγώνου τυχαίας μεταβλητής

Ας κάνουμε μερικές αλλαγές στη σχεδίαση των ληφθέντων γραφικών πληροφοριών:

Προσθέστε μια ετικέτα άξονα x.

Επεξεργαστείτε την ετικέτα του άξονα Y.

- Ας προσθέσουμε έναν τίτλο για το γράφημα "Πολύγωνο διανομής".

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε την καρτέλα «Εργασία με γραφήματα» στην περιοχή της γραμμής εργαλείων, την καρτέλα «Διάταξη» και στη γραμμή εργαλείων που εμφανίζεται, τα αντίστοιχα κουμπιά: «Όνομα γραφήματος», «Ονόματα αξόνων» (Εικ. 10).

Ρύζι. 10. Η τελική μορφή του πολυγώνου της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής

Τυχαία μεταβλητήΚαλείται μια ποσότητα η οποία, ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να λάβει μια ή άλλη τιμή που δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ασυνεχής (διακριτός)και συνεχήςτύπος. Οι πιθανές τιμές των ασυνεχών ποσοτήτων μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων. Οι πιθανές τιμές συνεχών ποσοτήτων δεν μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων και να συμπληρώνουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο κενό.

Ένα παράδειγμα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

1) Ο αριθμός εμφάνισης του θυρεού σε τρεις ρίψεις νομισμάτων. (οι πιθανές τιμές είναι 0;1;2;3)

2) Η συχνότητα εμφάνισης του θυρεού στο ίδιο πείραμα. (πιθανές τιμές)

3) Ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε μια συσκευή που αποτελείται από πέντε στοιχεία. (Οι πιθανές τιμές είναι 0;1;2;3;4;5)

Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών:

1) Τετταγμένη (τεταγμένη) του σημείου κρούσης κατά την εκτόξευση.

2) Η απόσταση από το σημείο πρόσκρουσης μέχρι το κέντρο του στόχου.

3) Χρόνος μη αστοχίας λειτουργίας της συσκευής (ραδιοσωλήνες).

Οι τυχαίες μεταβλητές σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα και οι πιθανές τιμές τους με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα. Για παράδειγμα, το X είναι ο αριθμός των χτυπημάτων με τρεις βολές. πιθανές τιμές: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Θεωρήστε μια ασυνεχή τυχαία μεταβλητή X με πιθανές τιμές X 1 , X 2 , … , X n . Κάθε μία από αυτές τις τιμές είναι δυνατή, αλλά όχι βέβαιη, και η τιμή του X μπορεί να πάρει καθεμία από αυτές με κάποια πιθανότητα. Ως αποτέλεσμα του πειράματος, η ποσότητα X θα λάβει μία από αυτές τις τιμές, δηλαδή, θα συμβεί ένα από την πλήρη ομάδα των ασυμβίβαστων γεγονότων.

Ας υποδηλώσουμε τις πιθανότητες αυτών των γεγονότων με τα γράμματα p με τους αντίστοιχους δείκτες:

Εφόσον τα ασύμβατα συμβάντα αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε

Δηλαδή, το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με 1. Αυτή η συνολική πιθανότητα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των επιμέρους τιμών. Μια τυχαία μεταβλητή θα περιγραφεί πλήρως από πιθανολογική σκοπιά, αν προσδιορίσουμε αυτήν την κατανομή, δηλαδή υποδείξουμε τι ακριβώς πιθανότητα έχει το καθένα από τα γεγονότα. (Αυτό θα δημιουργήσει τον λεγόμενο νόμο της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών.)

Ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητήςΟποιαδήποτε σχέση δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και της αντίστοιχης πιθανότητας καλείται. (Σχετικά με μια τυχαία μεταβλητή, θα πούμε ότι υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής)

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που παραθέτει τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες.

Τραπέζι 1.

τυχαίες μεταβλητές. Πολύγωνο διανομής Τυχαίες μεταβλητές: διακριτές και συνεχείς. Κατά τη διεξαγωγή ενός στοχαστικού πειράματος, σχηματίζεται ένας χώρος στοιχειωδών γεγονότων - τα πιθανά αποτελέσματα αυτού του πειράματος. Θεωρείται ότι σε αυτόν τον χώρο των στοιχειωδών εκδηλώσεων τυχαία τιμήΧ, αν δοθεί νόμος (κανόνας) σύμφωνα με τον οποίο αποδίδεται ένας αριθμός σε κάθε στοιχειώδες γεγονός. Έτσι, η τυχαία μεταβλητή X μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση που ορίζεται στο χώρο των στοιχειωδών γεγονότων. ■ Τυχαία- μια τιμή που, κατά τη διάρκεια κάθε δοκιμής, παίρνει μια ή την άλλη αριθμητική τιμή (δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια), ανάλογα με τυχαίες αιτίες που δεν μπορούν να ληφθούν εκ των προτέρων υπόψη. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου και οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σημειώνονται με μικρά γράμματα. Έτσι, όταν ρίχνεται ένα ζάρι, συμβαίνει ένα γεγονός που σχετίζεται με τον αριθμό x, όπου x είναι ο αριθμός των πόντων που ρίχνονται. Ο αριθμός των πόντων είναι μια τυχαία τιμή και οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6 είναι οι πιθανές τιμές αυτής της τιμής. Η απόσταση που θα πετάξει ένα βλήμα όταν εκτοξεύεται από ένα όπλο είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή (εξαρτάται από την εγκατάσταση του σκοπευτικού, τη δύναμη και την κατεύθυνση του ανέμου, τη θερμοκρασία και άλλους παράγοντες) και τις πιθανές τιμές αυτής της ποσότητας ανήκουν σε ένα ορισμένο διάστημα (α; β). ■ Διακριτή τυχαία μεταβλητή- μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει ξεχωριστές, απομονωμένες πιθανές τιμές με ορισμένες πιθανότητες. Ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος. ■ Συνεχής τυχαία μεταβλητήείναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει όλες τις τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα. Ο αριθμός των δυνατών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος. Για παράδειγμα, ο αριθμός των πόντων που πέφτουν κατά τη ρίψη ενός ζαριού, η βαθμολογία για μια εργασία ελέγχου είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές. η απόσταση που πετάει ένα βλήμα όταν πυροβολεί από ένα όπλο, το σφάλμα μέτρησης του δείκτη του χρόνου αφομοίωσης του εκπαιδευτικού υλικού, το ύψος και το βάρος ενός ατόμου είναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής– αντιστοιχία μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους, δηλ. Κάθε πιθανή τιμή x i σχετίζεται με την πιθανότητα p i με την οποία η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει αυτήν την τιμή. Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να δοθεί σε πίνακα (με τη μορφή πίνακα), αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά. Έστω μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X να λάβει τις τιμές x 1 , x 2 , …, x n με πιθανότητες p 1 , p 2 , …, p n αντίστοιχα, δηλ. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Με μια ανάθεση σε πίνακα του νόμου κατανομής αυτής της τιμής, η πρώτη σειρά του πίνακα περιέχει τις πιθανές τιμές x 1, x 2, ..., x n και η δεύτερη - τις πιθανότητές τους Χ x 1 x2 … x n Π p1 p2 … p n Ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η διακριτή τυχαία μεταβλητή X λαμβάνει μία και μόνο μία από τις πιθανές τιμές, έτσι τα γεγονότα X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη, και , επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι ίσο με ένα , δηλ. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Κατανομή πολυγώνου (πολύγωνο). Όπως γνωρίζετε, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να λάβει συγκεκριμένες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους - με τα αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςείναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους. 1. Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα: όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … . γ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x). Ιδιότητες της συνάρτησης F(x) 3. Ο νόμος κατανομής μπορεί να καθοριστεί γραφικά - από ένα πολύγωνο διανομής (πολύγωνο) (βλ. εργασία 3). Σημειώστε ότι για να λυθούν κάποια προβλήματα δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του νόμου διανομής. Μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της "μέσης τιμής" μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής: Μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) διακριτής τυχαίας μεταβλητής M(X)=Σ x i p i . Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ Διασπορά διακριτής τυχαίας μεταβλητής D(X)= M 2 ή D(X) = M(X 2)− 2 . Η διαφορά X–M(X) ονομάζεται απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία. Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λ Τυπική απόκλιση (τυπική απόκλιση) σ(X)=√D(X). · Για τη σαφήνεια της αναπαράστασης της σειράς παραλλαγής, οι γραφικές αναπαραστάσεις της έχουν μεγάλη σημασία. Γραφικά, μια μεταβλητή σειρά μπορεί να εμφανιστεί ως πολύγωνο, ιστόγραμμα και συσσώρευση. · Ένα πολύγωνο διανομής (κυριολεκτικά, πολύγωνο διανομής) ονομάζεται διακεκομμένη γραμμή, η οποία είναι χτισμένη σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Η τιμή του χαρακτηριστικού απεικονίζεται στην τετμημένη, οι αντίστοιχες συχνότητες (ή σχετικές συχνότητες) - κατά μήκος της τεταγμένης. Τα σημεία (ή ) συνδέονται με τμήματα γραμμής και προκύπτει ένα πολύγωνο κατανομής. Τις περισσότερες φορές, τα πολύγωνα χρησιμοποιούνται για την εμφάνιση διακριτών σειρών παραλλαγών, αλλά μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για σειρές διαστημάτων. Στην περίπτωση αυτή, σημεία που αντιστοιχούν στα μέσα αυτών των διαστημάτων σχεδιάζονται στον άξονα της τετμημένης.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται κοντά σε διανομήτυχαίες μεταβλητές.

Για να δώσουν στη σειρά διανομής μια πιο οπτική μορφή, καταφεύγουν στη γραφική αναπαράστασή της: οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι πιθανότητες αυτών των τιμών σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. (Για λόγους σαφήνειας, τα ληφθέντα σημεία συνδέονται με τμήματα γραμμής.)

Σχήμα 1 - πολύγωνο κατανομής

Μια τέτοια φιγούρα ονομάζεται πολύγωνο διανομής. Το πολύγωνο διανομής, όπως και η σειρά διανομής, χαρακτηρίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή. είναι μια μορφή του νόμου της κατανομής.

Παράδειγμα:

εκτελείται ένα πείραμα στο οποίο μπορεί να εμφανιστεί ή όχι το συμβάν Α. Πιθανότητα συμβάντος Α = 0,3. Λαμβάνεται υπόψη μια τυχαία μεταβλητή Χ - ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε αυτό το πείραμα. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια σειρά και ένα πολύγωνο της κατανομής του X.

Πίνακας 2.

Εικόνα 2 - Συνάρτηση κατανομής

συνάρτηση διανομήςείναι ένα καθολικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής. Υπάρχει για όλες τις τυχαίες μεταβλητές: τόσο ασυνεχείς όσο και μη ασυνεχείς. Η συνάρτηση κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή από πιθανολογική άποψη, δηλαδή είναι μια από τις μορφές του νόμου κατανομής.

Για να ποσοτικοποιηθεί αυτή η κατανομή πιθανότητας, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί όχι η πιθανότητα του γεγονότος X=x, αλλά η πιθανότητα του γεγονότος X

Η συνάρτηση κατανομής F(x) μερικές φορές ονομάζεται επίσης συνάρτηση ολοκληρωτικής κατανομής ή νόμος ολοκληρωτικής κατανομής.

Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής

1. Η συνάρτηση κατανομής F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση του ορίσματός της, δηλαδή για ;

2. Στο μείον άπειρο:

3. Στο συν άπειρο:

Σχήμα 3 - γράφημα της συνάρτησης κατανομής

Διάγραμμα συνάρτησης κατανομήςστη γενική περίπτωση, είναι ένα γράφημα μιας μη φθίνουσας συνάρτησης, οι τιμές της οποίας ξεκινούν από το 0 και φτάνουν στο 1.

Γνωρίζοντας τη σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, είναι δυνατό να κατασκευαστεί η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα:

για τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, κατασκευάστε μια συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Ας κατασκευάσουμε τη συνάρτηση κατανομής X:

Σχήμα 4 - συνάρτηση κατανομής X

συνάρτηση διανομήςγια κάθε ασυνεχή διακριτή τυχαία μεταβλητή υπάρχει πάντα μια ασυνεχής συνάρτηση βήματος της οποίας τα άλματα συμβαίνουν σε σημεία που αντιστοιχούν στις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και είναι ίσα με τις πιθανότητες αυτών των τιμών. Το άθροισμα όλων των αλμάτων στη συνάρτηση κατανομής είναι 1.

Καθώς ο αριθμός των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής αυξάνεται και τα διαστήματα μεταξύ τους μειώνονται, ο αριθμός των αλμάτων γίνεται μεγαλύτερος και τα ίδια τα άλματα γίνονται μικρότερα:

Εικόνα 5

Η καμπύλη βημάτων γίνεται πιο ομαλή:

Εικόνα 6

Μια τυχαία μεταβλητή προσεγγίζει σταδιακά μια συνεχή τιμή και η συνάρτηση κατανομής της προσεγγίζει μια συνεχή συνάρτηση. Υπάρχουν επίσης τυχαίες μεταβλητές των οποίων οι πιθανές τιμές γεμίζουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο κενό, αλλά για τις οποίες η συνάρτηση κατανομής δεν είναι παντού συνεχής. Και σε κάποια σημεία σπάει. Τέτοιες τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται μικτές.

Εικόνα 7

Εργασία 14.Στην κλήρωση μετρητών, παίζεται 1 νίκη των 1.000.000 ρούβλια, 10 νίκες των 100.000 ρούβλια το καθένα. και 100 κέρδη των 1000 ρούβλια. με συνολικό αριθμό εισιτηρίων 10000. Βρείτε τον νόμο της διανομής των τυχαίων κερδών Χγια τον κάτοχο ενός λαχνού.

Λύση. Πιθανές τιμές για Χ: Χ 1 = 0; Χ 2 = 1000; Χ 3 = 100000;

Χ 4 \u003d 1000000. Οι πιθανότητες τους είναι αντίστοιχα ίσες: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Επομένως, ο νόμος κατανομής της αποπληρωμής Χμπορεί να δοθεί από τον παρακάτω πίνακα:

Εργασία 15. Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τον νόμο διανομής:

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

Λύση. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και κατά μήκος του άξονα της τετμημένης θα σχεδιάσουμε τις πιθανές τιμές x i,και κατά μήκος του άξονα y - οι αντίστοιχες πιθανότητες πι. Ας χτίσουμε πόντους Μ 1 (1;0,2), Μ 2 (3;0,1), Μ 3 (6; 0,4) και Μ 4 (8; 0,3). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, λαμβάνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

§2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

Μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται πλήρως από τον νόμο κατανομής της. Μια μέση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

2.1. Αναμενόμενη αξία. Διασπορά.

Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες αντίστοιχα.

Ορισμός. Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων:

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή χαρακτηρίζεται από τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Για τους υπολογισμούς, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος

Ιδιότητες διασποράς.

2. , όπου υπάρχουν αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

3. Τυπική απόκλιση.

Εργασία 16.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ = X+ 2Υ, εάν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ: Μ(Χ) = 5, Μ(Υ) = 3.

Λύση. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας. Τότε παίρνουμε:

Μ(X+ 2Υ)= Μ(Χ) + Μ(2Υ) = Μ(Χ) + 2Μ(Υ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Εργασία 17.Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής Χίση με 3. Να βρείτε τη διακύμανση των τυχαίων μεταβλητών: α) –3 Χ;β) 4 Χ + 3.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε τις ιδιότητες 3, 4 και 2 της διασποράς. Εχουμε:

ένα) ρε(–3Χ) = (–3) 2 ρε(Χ) = 9ρε(Χ) = 9 . 3 = 27;

σι) ρε(4X + 3) = ρε(4Χ) + ρε(3) = 16ρε(Χ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Εργασία 18.Δίνεται μια ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή Υείναι ο αριθμός των πόντων που σημειώνονται με τη ρίψη ζαριού. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Υ.

Λύση.Πίνακας κατανομής τυχαίας μεταβλητής Υμοιάζει με:

Επειτα Μ(Υ) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

ρε(Υ) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 \u003d 2,917; σ (Υ) =Ö 2,917 = 1,708.

Εργασία 14.Στην κλήρωση μετρητών, παίζεται 1 νίκη των 1.000.000 ρούβλια, 10 νίκες των 100.000 ρούβλια το καθένα. και 100 κέρδη των 1000 ρούβλια. με συνολικό αριθμό εισιτηρίων 10000. Βρείτε τον νόμο της διανομής των τυχαίων κερδών Χγια τον κάτοχο ενός λαχνού.

Λύση. Πιθανές τιμές για Χ: Χ 1 = 0; Χ 2 = 1000; Χ 3 = 100000;

Χ 4 \u003d 1000000. Οι πιθανότητες τους είναι αντίστοιχα ίσες: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Επομένως, ο νόμος κατανομής της αποπληρωμής Χμπορεί να δοθεί από τον παρακάτω πίνακα:

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

Λύση. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και κατά μήκος του άξονα της τετμημένης θα σχεδιάσουμε τις πιθανές τιμές x i,και κατά μήκος του άξονα y - οι αντίστοιχες πιθανότητες πι. Ας χτίσουμε πόντους Μ 1 (1;0,2), Μ 2 (3;0,1), Μ 3 (6; 0,4) και Μ 4 (8; 0,3). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, λαμβάνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

§2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

Μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται πλήρως από τον νόμο κατανομής της. Μια μέση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

2.1. Αναμενόμενη αξία. Διασπορά.

Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες αντίστοιχα.

Ορισμός. Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων:

.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή χαρακτηρίζεται από τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Για τους υπολογισμούς, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος

Ιδιότητες διασποράς.

2. , όπου υπάρχουν αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

3. Τυπική απόκλιση .

Εργασία 16.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ = X+ 2Υ, εάν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ: Μ(Χ) = 5, Μ(Υ) = 3.

Λύση. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας. Τότε παίρνουμε:

Μ(X+ 2Υ)= Μ(Χ) + Μ(2Υ) = Μ(Χ) + 2Μ(Υ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Εργασία 17.Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής Χίση με 3. Να βρείτε τη διακύμανση των τυχαίων μεταβλητών: α) –3 Χ;β) 4 Χ + 3.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε τις ιδιότητες 3, 4 και 2 της διασποράς. Εχουμε:

ένα) ρε(–3Χ) = (–3) 2 ρε(Χ) = 9ρε(Χ) = 9 . 3 = 27;

σι) ρε(4X + 3) = ρε(4Χ) + ρε(3) = 16ρε(Χ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Εργασία 18.Δίνεται μια ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή Υείναι ο αριθμός των πόντων που σημειώνονται με τη ρίψη ζαριού. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Υ.

Λύση.Πίνακας κατανομής τυχαίας μεταβλητής Υμοιάζει με:

Επειτα Μ(Υ) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

ρε(Υ) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 \u003d 2,917; σ (Υ) =Ö 2,917 = 1,708.