Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη: τι είναι; Πώς να βρείτε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη; Καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση, παραγωγή τύπων, παραδείγματα.

Δεν θα σε πείσω να μην γράφεις cheat sheets. Γράφω! Συμπεριλαμβανομένων των φύλλων εξαπάτησης για την τριγωνομετρία. Αργότερα σκοπεύω να εξηγήσω γιατί χρειάζονται τα cheat sheets και πώς είναι χρήσιμα τα cheat sheets. Και εδώ - πληροφορίες για το πώς να μην μάθετε, αλλά να θυμάστε μερικούς τριγωνομετρικούς τύπους. Έτσι - τριγωνομετρία χωρίς φύλλο εξαπάτησης!Χρησιμοποιούμε συσχετισμούς για απομνημόνευση.

1. Τύποι προσθήκης:

τα συνημίτονα πάντα «πάνε ανά ζεύγη»: συνημιτόνου-συνημίτονου, ημιτόνου. Και κάτι ακόμα: τα συνημίτονα είναι «ανεπαρκή». «Όλα είναι λάθος», έτσι αλλάζουν τα σημάδια: «-» σε «+» και αντίστροφα.

ιγμόρεια - "μίγμα": ημιτονο-συνημιτονικό, συνημίτονο.

2. Τύποι αθροίσματος και διαφοράς:

τα συνημίτονα πάντα «πάνε ανά ζεύγη». Έχοντας προσθέσει δύο συνημίτονα - "κουλούρια", παίρνουμε ένα ζευγάρι συνημίτονα - "koloboks". Και αφαιρώντας, σίγουρα δεν θα πάρουμε koloboks. Παίρνουμε ένα-δυο ημίτονο. Ακόμα με ένα μείον μπροστά.

ιγμόρεια - "μίγμα" :

3. Τύποι μετατροπής προϊόντος σε άθροισμα και διαφορά.

Πότε παίρνουμε ένα ζευγάρι συνημίτονα; Κατά την προσθήκη των συνημιτόνων. Να γιατί

Πότε παίρνουμε ένα ζευγάρι ημιτονοειδών; Κατά την αφαίρεση συνημιτόνων. Από εδώ:

Η "μίξη" επιτυγχάνεται τόσο με πρόσθεση όσο και με αφαίρεση ημιτόνων. Τι είναι πιο διασκεδαστικό: η πρόσθεση ή η αφαίρεση; Σωστά, πάσο. Και για τον τύπο, προσθέστε:

Στον πρώτο και τον τρίτο τύπο σε παρένθεση - το ποσό. Από την αναδιάταξη των θέσεων των όρων το άθροισμα δεν αλλάζει. Η σειρά είναι σημαντική μόνο για τη δεύτερη φόρμουλα. Όμως, για να μην μπερδευτούμε, για ευκολία στη μνήμη, και στις τρεις φόρμουλες στις πρώτες αγκύλες παίρνουμε τη διαφορά

και δεύτερον, το άθροισμα

Τα σεντόνια κούνιας στην τσέπη σας προσφέρουν ηρεμία: αν ξεχάσετε τη φόρμουλα, μπορείτε να τη διαγράψετε. Και δίνουν αυτοπεποίθηση: αν αποτύχετε να χρησιμοποιήσετε το φύλλο εξαπάτησης, οι τύποι μπορούν εύκολα να θυμηθούν.

Στοιχεία αναφοράς για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτόνου (sin x) και συνημιτόνου (cos x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων, παράγωγα, ολοκληρώματα, επεκτάσεις σειρών, διατομή, συνημίτονο. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.

Γεωμετρικός ορισμός ημιτόνου και συνημιτόνου

|BD|- το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο σε ένα σημείο ΕΝΑ.
α είναι μια γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.

Ορισμός
Κόλποςείναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.

συνημίτονο (συν α)είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.

Αποδεκτοί χαρακτηρισμοί

;
;
.

;
;
.

Γράφημα της συνάρτησης ημιτόνου, y = sin x

Γράφημα της συνημίτονος, y = cos x

Ιδιότητες ημιτόνου και συνημιτόνου

Περιοδικότης

Συναρτήσεις y= αμαρτία xκαι y= cos xπεριοδική με περίοδο 2 pi.

Ισοτιμία

Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι περιττή. Η συνημίτονο είναι άρτια.

Τομέας ορισμού και τιμών, άκρα, αύξηση, μείωση

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, δηλαδή για όλα τα x (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητές τους παρουσιάζονται στον πίνακα (n - ακέραιος).

	y= αμαρτία x	y= cos x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Εύρος τιμών	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Αύξουσα
Φθίνων
Μέγιστα, y= 1
Ελάχιστα, y = - 1
Μηδενικά, y= 0
Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0	y= 0	y= 1

Βασικές φόρμουλες

Άθροισμα τετραγώνου ημιτόνου και συνημιτόνου

Τύποι ημιτόνου και συνημιτόνου για άθροισμα και διαφορά

;
;

Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων και συνημιτόνων

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

Έκφραση ημιτόνου μέσω συνημιτόνου

;
;
;
.

Έκφραση συνημιτόνου μέσω ημιτονοειδούς

;
;
;
.

Έκφραση ως προς την εφαπτομένη

; .

Για , έχουμε:
; .

Στο:
; .

Πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών

;

Φόρμουλα Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Secant, συνοδευτικό

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημίτονου είναι το αρξίνη και η αρκοσίνη, αντίστοιχα.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.

- σίγουρα θα υπάρξουν εργασίες στην τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι συχνά αντιπαθής επειδή χρειάζεται να στριμώξουμε μια τεράστια ποσότητα από δύσκολες φόρμουλες γεμάτες με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες. Ο ιστότοπος έδωσε ήδη μια φορά συμβουλές για το πώς να θυμάστε μια ξεχασμένη φόρμουλα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των τύπων Euler και Peel.

Και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι αρκεί να γνωρίζουμε σταθερά μόνο πέντε από τους απλούστερους τριγωνομετρικούς τύπους και να έχουμε μια γενική ιδέα για τους υπόλοιπους και να τους εξάγουμε στην πορεία. Είναι όπως με το DNA: τα πλήρη σχέδια ενός τελειωμένου ζωντανού όντος δεν αποθηκεύονται στο μόριο. Περιέχει, μάλλον, οδηγίες για τη συναρμολόγησή του από τα διαθέσιμα αμινοξέα. Στην τριγωνομετρία λοιπόν, γνωρίζοντας κάποιες γενικές αρχές, θα πάρουμε όλους τους απαραίτητους τύπους από ένα μικρό σύνολο από αυτούς που πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας.

Θα βασιστούμε στους παρακάτω τύπους:

Από τους τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο των αθροισμάτων, γνωρίζοντας ότι η συνάρτηση συνημιτόνου είναι άρτια και ότι η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι περιττή, αντικαθιστώντας το -b για το b, λαμβάνουμε τύπους για τις διαφορές:

1. Ημόριο διαφοράς: αμαρτία(α-β) = αμαρτίαέναcos(-σι)+cosένααμαρτία(-σι) = αμαρτίαέναcosσι-cosένααμαρτίασι
2. διαφορά συνημίτονου: cos(α-β) = cosέναcos(-σι)-αμαρτίαένααμαρτία(-σι) = cosέναcosσι+αμαρτίαένααμαρτίασι

Βάζοντας a \u003d b στους ίδιους τύπους, λαμβάνουμε τους τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο διπλών γωνιών:

1. Ημίτονο διπλής γωνίας: αμαρτία2α = αμαρτία(α+α) = αμαρτίαέναcosένα+cosένααμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcosένα
2. Συνημίτονο διπλής γωνίας: cos2α = cos(α+α) = cosέναcosένα-αμαρτίαένααμαρτίαένα = cos2α-αμαρτία2α

Οι τύποι για άλλες πολλαπλές γωνίες λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο:

1. Ημίτονο τριπλής γωνίας: αμαρτία3α = αμαρτία(2α+α) = αμαρτία2αcosένα+cos2ααμαρτίαένα = (2αμαρτίαέναcosένα)cosένα+(cos2α-αμαρτία2α)αμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcos2α+αμαρτίαέναcos2α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαέναcos2α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα(1-αμαρτία2α)-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα-4αμαρτία 3α
2. Συνημίτονο τριπλής γωνίας: cos3α = cos(2α+α) = cos2αcosένα-αμαρτία2ααμαρτίαένα = (cos2α-αμαρτία2α)cosένα-(2αμαρτίαέναcosένα)αμαρτίαένα = cos 3α- αμαρτία2αcosένα-2αμαρτία2αcosένα = cos 3α-3 αμαρτία2αcosένα = cos 3 α-3(1- cos2α)cosένα = 4cos 3α-3 cosένα

Πριν προχωρήσουμε, ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα.
Δίνεται: η γωνία είναι οξεία.
Βρείτε το συνημίτονο του αν
Λύση που δόθηκε από έναν μαθητή:
Επειδή , Οτι αμαρτίαένα= 3,α cosένα = 4.
(Από μαθηματικό χιούμορ)

Έτσι, ο ορισμός της εφαπτομένης συνδέει αυτή τη συνάρτηση τόσο με το ημιτονοειδές όσο και με το συνημίτονο. Αλλά μπορείτε να πάρετε έναν τύπο που δίνει τη σύνδεση της εφαπτομένης μόνο με το συνημίτονο. Για να το εξαγάγουμε, παίρνουμε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: αμαρτία 2 ένα+cos 2 ένα= 1 και διαιρέστε το με cos 2 ένα. Παίρνουμε:

Η λύση λοιπόν σε αυτό το πρόβλημα θα ήταν:

(Επειδή η γωνία είναι οξεία, το σύμβολο + λαμβάνεται κατά την εξαγωγή της ρίζας)

Ο τύπος για την εφαπτομένη του αθροίσματος είναι ένας άλλος τύπος που είναι δύσκολο να θυμηθούμε. Ας το βγάλουμε ως εξής:

αμέσως έξοδο και

Από τον τύπο συνημιτόνου για διπλή γωνία, μπορείτε να λάβετε τους τύπους ημιτόνου και συνημιτόνου για μισή γωνία. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή πλευρά του τύπου συνημιτόνου διπλής γωνίας:
cos2 ένα = cos 2 ένα-αμαρτία 2 ένα
προσθέτουμε μια μονάδα, και στα δεξιά - μια τριγωνομετρική μονάδα, δηλ. άθροισμα τετραγώνων ημιτόνου και συνημίτονου.
cos2α+1 = cos2α-αμαρτία2α+cos2α+αμαρτία2α
2cos 2 ένα = cos2 ένα+1
εκφράζοντας cosέναδιά μέσου cos2 ένακαι πραγματοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε:

Το σήμα λαμβάνεται ανάλογα με το τεταρτημόριο.

Ομοίως, αφαιρώντας ένα από την αριστερή πλευρά της ισότητας και το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου από τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
cos2α-1 = cos2α-αμαρτία2α-cos2α-αμαρτία2α
2αμαρτία 2 ένα = 1-cos2 ένα

Και τέλος, για να μετατρέψουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο, χρησιμοποιούμε το παρακάτω κόλπο. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αναπαραστήσουμε το άθροισμα των ημιτόνων ως γινόμενο αμαρτίαένα+αμαρτίασι. Ας εισάγουμε τις μεταβλητές x και y έτσι ώστε a = x+y, b+x-y. Επειτα
αμαρτίαένα+αμαρτίασι = αμαρτία(x+y)+ αμαρτία(χ-υ) = αμαρτίαΧ cos y+ cosΧ αμαρτία y+ αμαρτίαΧ cos y- cosΧ αμαρτία y=2 αμαρτίαΧ cos y. Ας εκφράσουμε τώρα τα x και y ως προς τα a και b.

Αφού a = x+y, b = x-y, τότε . Να γιατί

Μπορείτε να αποσύρετε αμέσως

1. Φόρμουλα κατάτμησης προϊόντα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου V ποσό: αμαρτίαέναcosσι = 0.5(αμαρτία(α+β)+αμαρτία(α-β))

Συνιστούμε να εξασκηθείτε και να εξάγετε τύπους για τη μετατροπή του γινομένου της διαφοράς των ημιτόνων και του αθροίσματος και της διαφοράς των συνημιτόνων σε γινόμενο, καθώς και για το διαχωρισμό των γινομένων των ημιτόνων και των συνημιτονίων σε άθροισμα. Έχοντας κάνει αυτές τις ασκήσεις, θα κατακτήσετε πλήρως την ικανότητα εξαγωγής τριγωνομετρικών τύπων και δεν θα χαθείτε ακόμα και στον πιο δύσκολο έλεγχο, ολυμπιάδα ή δοκιμή.

Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β σάς επιτρέπουν να μεταβείτε από το άθροισμα των υποδεικνυόμενων γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2 . Σημειώνουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε την παράγωγή τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής για συγκεκριμένα προβλήματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων

Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο

αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα

cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2, συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 β - α 2

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται, αντίστοιχα, μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα. Δίνουμε ένα σκεύασμα για κάθε τύπο.

Ορισμοί τύπων αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα

Το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημιαθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς.

Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος.

Το άθροισμα των συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.

Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.

Παραγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων

Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Τις παρουσιάζουμε παρακάτω

αμαρτία (α + β) = αμαρτία α cos β + cos α αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - αμαρτία α αμαρτία β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Αντιπροσωπεύουμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.

Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων

Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. Παίρνω

αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2

Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη παράσταση και τον τύπο ημιτόνου των διαφορών γωνίας στη δεύτερη (δείτε τους παραπάνω τύπους)

αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2

αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2

Τα βήματα για την εξαγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.

Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων

αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2

Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2

Παραγωγή του τύπου διαφοράς συνημιτόνου

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2

Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Αρχικά, θα ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2 , β = π 6 . Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, χρησιμοποιούμε τον πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.

Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές των γωνιών διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε την τιμή της διαφοράς μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.

Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου ημιτονικής διαφοράς

α = 165 ° , β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων, μπορείτε να μεταβείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από το άθροισμα στο προϊόν. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και στη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το άρθρο, θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά στο . Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και σας επιτρέπουν να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.

Παραθέτουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες, τις οποίες θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Τα γράφουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω δίνουμε την παραγωγή αυτών των τύπων και δίνουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας

Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότηταείδος . Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και αντίστοιχα, και οι ισότητες Και ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα το συζητήσουμε λεπτομερέστερα στις επόμενες παραγράφους.

Είναι δηλαδή η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.

Πριν αποδείξουμε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, δίνουμε τη διατύπωσή της: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.

Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε μετασχηματισμός τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει την αντικατάσταση του αθροίσματος των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς

Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας της μορφής και προκύπτουν αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, .

Λόγω αυτής της προφανείας των ταυτοτήτων και Συχνά οι ορισμοί της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης δίνονται όχι μέσω του λόγου της τετμημένης και της τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας, και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.

Για να ολοκληρώσουμε αυτή την ενότητα, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και ισχύει για όλες αυτές τις γωνίες για τις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε αυτές. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε άλλο εκτός από (διαφορετικά ο παρονομαστής θα είναι μηδέν και δεν ορίσαμε τη διαίρεση με το μηδέν) και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .

Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Μια ακόμη πιο εμφανής τριγωνομετρική ταυτότητα από τις δύο προηγούμενες είναι η ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι λαμβάνει χώρα για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από , διαφορετικά δεν ορίζεται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.

Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού . Η απόδειξη θα μπορούσε να γίνει με λίγο διαφορετικό τρόπο. Αφού και , Οτι .

Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας, στην οποία έχουν νόημα, είναι.