Ομοιόμορφη τυχαία κατανομή. Μετατροπή μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής σε μια κανονικά κατανεμημένη

Ως παράδειγμα συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή X ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (a; b). Λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα (α, β), εάν η πυκνότητα κατανομής του δεν είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα:

Από την συνθήκη κανονικοποίησης, προσδιορίζουμε την τιμή της σταθεράς c . Η περιοχή κάτω από την καμπύλη πυκνότητας κατανομής πρέπει να είναι ίση με ένα, αλλά στην περίπτωσή μας είναι η περιοχή ενός ορθογωνίου με βάση (b - α) και ύψος c (Εικ. 1).

Ρύζι. 1 Ομοιόμορφη πυκνότητα κατανομής
Από εδώ βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς c:

Άρα, η πυκνότητα μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με

Ας βρούμε τώρα τη συνάρτηση κατανομής με τον τύπο:
1) για
2) για
3) για 0+1+0=1.
Με αυτόν τον τρόπο,

Η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής και δεν μειώνεται (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής

Ας βρούμε μαθηματική προσδοκία μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητήςσύμφωνα με τον τύπο:

Διακύμανση ομοιόμορφης κατανομήςυπολογίζεται με τον τύπο και ισούται με

Παράδειγμα #1. Η τιμή διαίρεσης κλίμακας του οργάνου μέτρησης είναι 0,2. Οι ενδείξεις του οργάνου στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο ολόκληρο τμήμα. Βρείτε την πιθανότητα να γίνει λάθος κατά την ανάγνωση: α) μικρότερη από 0,04; β) μεγάλο 0,02
Λύση. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα μεταξύ γειτονικών ακέραιων διαιρέσεων. Θεωρήστε το διάστημα (0, 0,2) ως τέτοια διαίρεση (Εικ. α). Η στρογγυλοποίηση μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο προς το αριστερό περίγραμμα - 0, όσο και προς τα δεξιά - 0,2, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να γίνει δύο φορές σφάλμα μικρότερο ή ίσο με 0,04, το οποίο πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Για τη δεύτερη περίπτωση, η τιμή σφάλματος μπορεί επίσης να υπερβαίνει το 0,02 και στα δύο όρια διαίρεσης, δηλαδή μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερη από 0,02 είτε μικρότερη από 0,18.


Τότε η πιθανότητα ενός λάθους όπως αυτό:

Παράδειγμα #2. Θεωρήθηκε ότι η σταθερότητα της οικονομικής κατάστασης στη χώρα (απουσία πολέμων, φυσικών καταστροφών κ.λπ.) τα τελευταία 50 χρόνια μπορεί να κριθεί από τη φύση της κατανομής του πληθυσμού ανά ηλικία: σε μια ήρεμη κατάσταση, θα έπρεπε να είναι στολή. Ως αποτέλεσμα της μελέτης, ελήφθησαν τα ακόλουθα δεδομένα για μία από τις χώρες.

Υπάρχει κάποιος λόγος να πιστεύουμε ότι υπήρχε μια ασταθής κατάσταση στη χώρα;

Εκτελούμε την απόφαση χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή Έλεγχος υποθέσεων. Πίνακας υπολογισμού δεικτών.

Ομάδες	Διάστημα μέση, x i	Ποσότητα, fi	x i * f i	Σωρευτική συχνότητα, S	|x - x cf |*f	(x - x sr) 2 *f	Συχνότητα, f i /n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Μετρήσεις Κέντρου Διανομής.
σταθμισμένος μέσος όρος


Δείκτες διακύμανσης.
Απόλυτες Διακυμάνσεις.
Το εύρος διακύμανσης είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού της κύριας σειράς.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Διασπορά- χαρακτηρίζει το μέτρο της διασποράς γύρω από τη μέση τιμή του (μέτρο διασποράς, δηλ. απόκλιση από τη μέση τιμή).


Τυπική απόκλιση.

Κάθε τιμή της σειράς διαφέρει από τη μέση τιμή του 43 κατά όχι περισσότερο από 23,92
Έλεγχος υποθέσεων σχετικά με το είδος της κατανομής.
4. Έλεγχος της υπόθεσης για ομοιόμορφη κατανομήτον γενικό πληθυσμό.
Προκειμένου να ελεγχθεί η υπόθεση για την ομοιόμορφη κατανομή του Χ, δηλ. σύμφωνα με το νόμο: f(x) = 1/(b-a) στο διάστημα (a,b)
απαραίτητη:
1. Υπολογίστε τις παραμέτρους a και b - τα άκρα του διαστήματος στο οποίο παρατηρήθηκαν οι πιθανές τιμές του X, σύμφωνα με τους τύπους (το σύμβολο * υποδηλώνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων):

2. Βρείτε την πυκνότητα πιθανότητας της εκτιμώμενης κατανομής f(x) = 1/(b * - a *)
3. Βρείτε τις θεωρητικές συχνότητες:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Συγκρίνετε τις εμπειρικές και τις θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας το τεστ Pearson, υποθέτοντας τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας k = s-3, όπου s είναι ο αριθμός των αρχικών διαστημάτων δειγματοληψίας. εάν, ωστόσο, έγινε ένας συνδυασμός μικρών συχνοτήτων, άρα και των ίδιων των διαστημάτων, τότε s είναι ο αριθμός των διαστημάτων που απομένουν μετά τον συνδυασμό.

Λύση:
1. Βρείτε τις εκτιμήσεις των παραμέτρων a * και b * της ομοιόμορφης κατανομής χρησιμοποιώντας τους τύπους:


2. Βρείτε την πυκνότητα της υποτιθέμενης ομοιόμορφης κατανομής:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Βρείτε τις θεωρητικές συχνότητες:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Τα υπόλοιπα n θα είναι ίσα:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

Εγώ	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 /n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6Ε-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4,0Ε-6
8	0.18	0.17	0.00589	3,5Ε-5	0.000199
Σύνολο	1				0.0532

Ας ορίσουμε το όριο της κρίσιμης περιοχής. Εφόσον η στατιστική Pearson μετρά τη διαφορά μεταξύ της εμπειρικής και της θεωρητικής κατανομής, όσο μεγαλύτερη είναι η παρατηρούμενη τιμή του K obs, τόσο ισχυρότερο είναι το επιχείρημα κατά της κύριας υπόθεσης.
Επομένως, η κρίσιμη περιοχή για αυτό το στατιστικό στοιχείο είναι πάντα δεξιόστροφη: εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι σταθερή σε αυτό το τμήμα και εκτός είναι 0 (δηλ. μια τυχαία μεταβλητή Χεπικεντρώθηκε στο τμήμα [ ένα, σι], στο οποίο έχει σταθερή πυκνότητα). Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η πυκνότητα ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου στο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χμοιάζει με:

όπου Μευπάρχει κάποιο νούμερο. Ωστόσο, είναι εύκολο να το βρείτε χρησιμοποιώντας την ιδιότητα πυκνότητας πιθανότητας για r.v. συγκεντρωμένη στο τμήμα [ ένα, σι]:
. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
, όπου
. Επομένως, η πυκνότητα κατανεμημένη ομοιόμορφα στο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χμοιάζει με:

.

Να κρίνουμε την ομοιομορφία της κατανομής του ν.σ.β. Χείναι δυνατό από την ακόλουθη θεώρηση. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [ ένα, σι] εάν παίρνει τιμές μόνο από αυτό το τμήμα και οποιοσδήποτε αριθμός από αυτό το τμήμα δεν έχει πλεονέκτημα έναντι άλλων αριθμών αυτού του τμήματος με την έννοια ότι μπορεί να είναι η τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Οι τυχαίες μεταβλητές με ομοιόμορφη κατανομή περιλαμβάνουν μεταβλητές όπως ο χρόνος αναμονής μιας μεταφοράς σε στάση (σε σταθερό διάστημα κίνησης, ο χρόνος αναμονής κατανέμεται ομοιόμορφα σε αυτό το διάστημα), το σφάλμα στρογγυλοποίησης του αριθμού σε έναν ακέραιο (ομοιόμορφα κατανεμημένο στις [−0,5 , 0.5 ]) και άλλοι.

Τύπος συνάρτησης διανομής φά(Χ) ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χαναζητείται από τη γνωστή πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) χρησιμοποιώντας τον τύπο της σύνδεσής τους
. Ως αποτέλεσμα των αντίστοιχων υπολογισμών, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ) ομοιόμορφα κατανεμημένο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χ :

.

Τα σχήματα δείχνουν γραφήματα της πυκνότητας πιθανότητας φά(Χ) και συναρτήσεις διανομής φά(Χ) ομοιόμορφα κατανεμημένο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χ :

Μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση, τρόπος και διάμεσος ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου τμήματος [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χυπολογίζεται από την πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) με τον συνηθισμένο τρόπο (και πολύ απλά λόγω της απλής εμφάνισης φά(Χ) ). Το αποτέλεσμα είναι οι παρακάτω τύποι:

αλλά μόδα ρε(Χ) είναι οποιοσδήποτε αριθμός του τμήματος [ ένα, σι].

Ας βρούμε την πιθανότητα να χτυπήσουμε το ομοιόμορφα κατανεμημένο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χστο μεσοδιάστημα
, εντελώς ξαπλωμένο μέσα [ ένα, σι]. Λαμβάνοντας υπόψη τη γνωστή μορφή της συνάρτησης διανομής, λαμβάνουμε:

Έτσι, η πιθανότητα να χτυπηθεί το ομοιόμορφα κατανεμημένο τμήμα [ ένα, σι] τυχαία μεταβλητή Χστο μεσοδιάστημα
, εντελώς ξαπλωμένο μέσα [ ένα, σι], δεν εξαρτάται από τη θέση αυτού του διαστήματος, αλλά εξαρτάται μόνο από το μήκος του και είναι ευθέως ανάλογο με αυτό το μήκος.

Παράδειγμα. Το μεσοδιάστημα λεωφορείων είναι 10 λεπτά. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επιβάτης που φτάνει σε μια στάση λεωφορείου να περιμένει λιγότερο από 3 λεπτά για το λεωφορείο; Ποιος είναι ο μέσος χρόνος αναμονής για ένα λεωφορείο;

Κανονική κατανομή

Αυτή η κατανομή συναντάται συχνότερα στην πράξη και παίζει εξαιρετικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων και στις μαθηματικές στατιστικές και τις εφαρμογές τους, αφού τόσες πολλές τυχαίες μεταβλητές στις φυσικές επιστήμες, τα οικονομικά, την ψυχολογία, την κοινωνιολογία, τις στρατιωτικές επιστήμες κ.λπ. έχουν τέτοια κατανομή. Αυτή η κατανομή είναι ο περιοριστικός νόμος, τον οποίο προσεγγίζουν (υπό ορισμένες φυσικές συνθήκες) πολλοί άλλοι νόμοι κατανομής. Με τη βοήθεια του νόμου της κανονικής κατανομής περιγράφονται επίσης φαινόμενα που υπόκεινται στη δράση πολλών ανεξάρτητων τυχαίων παραγόντων οποιασδήποτε φύσης και οποιουδήποτε νόμου κατανομής τους. Ας προχωρήσουμε στους ορισμούς.

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή ονομάζεται κατανεμημένη κανονικός νόμος (ή νόμος Gaussian), αν η πυκνότητα πιθανότητάς του έχει τη μορφή:

,

που είναι οι αριθμοί ένακαι σ (σ>0 ) είναι οι παράμετροι αυτής της κατανομής.

Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο νόμος του Gauss για την κατανομή των τυχαίων μεταβλητών έχει πολλές εφαρμογές. Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, κατανέμονται σφάλματα μέτρησης ανά όργανα, απόκλιση από το κέντρο του στόχου κατά τη βολή, διαστάσεις κατασκευασμένων εξαρτημάτων, βάρος και ύψος ανθρώπων, ετήσια βροχόπτωση, αριθμός νεογνών και πολλά άλλα.

Ο παραπάνω τύπος για την πυκνότητα πιθανότητας μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής περιέχει, όπως ειπώθηκε, δύο παραμέτρους ένακαι σ , και επομένως ορίζει μια οικογένεια συναρτήσεων που ποικίλλουν ανάλογα με τις τιμές αυτών των παραμέτρων. Εάν εφαρμόσουμε τις συνήθεις μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης της μελέτης των συναρτήσεων και της γραφικής παράστασης στην πυκνότητα πιθανότητας μιας κανονικής κατανομής, μπορούμε να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα.

είναι τα σημεία καμπής του.

Με βάση τις πληροφορίες που λάβαμε, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της πυκνότητας πιθανότητας φά(Χ) κανονική κατανομή (λέγεται καμπύλη Gauss - σχήμα).

Ας μάθουμε πώς επηρεάζει η αλλαγή των παραμέτρων ένακαι σ στο σχήμα της καμπύλης Gauss. Είναι προφανές (αυτό φαίνεται από τον τύπο για την πυκνότητα της κανονικής κατανομής) ότι η αλλαγή στην παράμετρο έναδεν αλλάζει το σχήμα της καμπύλης, αλλά οδηγεί μόνο στη μετατόπισή της προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα Χ. ΕΞΑΡΤΗΣΗ σ πιο δύσκολο. Από την παραπάνω μελέτη φαίνεται πώς η τιμή του μέγιστου και οι συντεταγμένες των σημείων καμπής εξαρτώνται από την παράμετρο σ . Επιπλέον, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι για τυχόν παραμέτρους ένακαι σ η περιοχή κάτω από την καμπύλη Gauss παραμένει ίση με 1 (αυτή είναι μια γενική ιδιότητα της πυκνότητας πιθανότητας). Από όσα ειπώθηκαν προκύπτει ότι με αύξηση της παραμέτρου σ η καμπύλη γίνεται πιο επίπεδη και τεντώνεται κατά μήκος του άξονα Χ. Το σχήμα δείχνει τις καμπύλες Gaussian για διάφορες τιμές της παραμέτρου σ (σ 1 < σ< σ 2 ) και την ίδια τιμή παραμέτρου ένα.

Βρείτε την πιθανολογική σημασία των παραμέτρων ένακαι σ κανονική κατανομή. Ήδη από τη συμμετρία της καμπύλης Gauss ως προς την κατακόρυφη γραμμή που διέρχεται από τον αριθμό έναστον άξονα Χείναι σαφές ότι η μέση τιμή (δηλαδή η μαθηματική προσδοκία M(X)) μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής ισούται με ένα. Για τους ίδιους λόγους, ο τρόπος και η διάμεσος πρέπει επίσης να είναι ίσοι με τον αριθμό α. Οι ακριβείς υπολογισμοί σύμφωνα με τους αντίστοιχους τύπους το επιβεβαιώνουν. Αν γράψουμε την παραπάνω έκφραση για φά(Χ) υποκατάστατο στον τύπο για τη διακύμανση
, τότε μετά τον (μάλλον δύσκολο) υπολογισμό του ολοκληρώματος, παίρνουμε στην απάντηση τον αριθμό σ 2 . Έτσι, για μια τυχαία μεταβλητή Χκατανεμημένα σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, ελήφθησαν τα ακόλουθα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά:

Επομένως, η πιθανολογική σημασία των παραμέτρων της κανονικής κατανομής ένακαι σ Επόμενο. Αν r.v. Χένακαι σ ένα σ.

Ας βρούμε τώρα τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) για μια τυχαία μεταβλητή Χ, κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για την πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) και φόρμουλα
. Κατά την αντικατάσταση φά(Χ) λαμβάνουμε ένα «χωρίς» ολοκλήρωμα. Όλα όσα μπορούν να γίνουν για να απλοποιηθεί η έκφραση για φά(Χ), αυτή είναι η αναπαράσταση αυτής της συνάρτησης με τη μορφή:

,

όπου F(x)- το λεγομενο Συνάρτηση Laplace, που μοιάζει με

.

Το ολοκλήρωμα ως προς το οποίο εκφράζεται η συνάρτηση Laplace επίσης δεν λαμβάνεται (αλλά για το καθένα Χαυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση με οποιαδήποτε προκαθορισμένη ακρίβεια). Ωστόσο, δεν απαιτείται ο υπολογισμός του, καθώς στο τέλος οποιουδήποτε εγχειριδίου για τη θεωρία πιθανοτήτων υπάρχει ένας πίνακας για τον προσδιορισμό των τιμών της συνάρτησης F(x)σε μια δεδομένη τιμή Χ. Σε αυτό που ακολουθεί, θα χρειαστούμε την ιδιότητα παραδοξότητας της συνάρτησης Laplace: F(−x)=−F(x)για όλους τους αριθμούς Χ.

Ας βρούμε τώρα την πιθανότητα ότι μια κανονικά κατανεμημένη r.v. Χθα πάρει μια τιμή από το δεδομένο αριθμητικό διάστημα (α, β) . Από τις γενικές ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής Р(α< Χ< β)= φά(β) − φά(α) . Αντικατάσταση α και β στην παραπάνω έκφραση για φά(Χ) , παίρνουμε

.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, εάν το r.v. Χκατανέμεται κανονικά με παραμέτρους ένακαι σ , τότε η μέση τιμή του είναι ίση με ένα, και η τυπική απόκλιση είναι ίση με σ. Να γιατί μέση τιμήαπόκλιση των τιμών αυτής της r.v. όταν ελέγχεται από τον αριθμό έναισοδυναμεί σ. Αλλά αυτή είναι η μέση απόκλιση. Επομένως, είναι πιθανές και μεγαλύτερες αποκλίσεις. Ανακαλύπτουμε πόσο πιθανές είναι αυτές ή εκείνες οι αποκλίσεις από τη μέση τιμή. Ας βρούμε την πιθανότητα ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο Χαποκλίνει από τη μέση του Μ(Χ)=αμικρότερο από κάποιον αριθμό δ, δηλ. R(| Χ− ένα|<δ ): . Με αυτόν τον τρόπο,

.

Αντικατάσταση σε αυτή την ισότητα δ=3σ, λαμβάνουμε την πιθανότητα ότι η τιμή του r.v. Χ(σε μία δοκιμή) θα αποκλίνει από το μέσο όρο λιγότερο από τρεις φορές σ (με μέση απόκλιση, όπως θυμόμαστε, ίση με σ ): (εννοείται F(3)λαμβάνονται από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης Laplace). Είναι σχεδόν 1 ! Τότε η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος (ότι η τιμή αποκλίνει κατά τουλάχιστον 3σ) είναι ίσο με 1 −0.997=0.003 , που είναι πολύ κοντά στο 0 . Επομένως, αυτό το γεγονός είναι "σχεδόν αδύνατο" − συμβαίνει πολύ σπάνια (κατά μέσο όρο 3 φορές άουτ 1000 ). Αυτό το σκεπτικό είναι το σκεπτικό του γνωστού «κανόνα των τριών σίγμα».

Κανόνας τριών σίγμα. Κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή σε ένα μόνο τεστπρακτικά δεν αποκλίνει από τον μέσο όρο του περισσότερο από 3σ.

Για άλλη μια φορά τονίζουμε ότι μιλάμε για ένα τεστ. Εάν υπάρχουν πολλές δοκιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, τότε είναι πολύ πιθανό κάποιες από τις τιμές της να μετακινηθούν περισσότερο από τον μέσο όρο 3σ. Αυτό επιβεβαιώνει το εξής

Παράδειγμα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι μετά από 100 δοκιμές μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή Χτουλάχιστον μία από τις τιμές του θα αποκλίνει από τον μέσο όρο κατά περισσότερο από τρεις φορές την τυπική απόκλιση; Τι γίνεται με τις 1000 δοκιμές;

Λύση. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑσημαίνει ότι κατά τον έλεγχο μιας τυχαίας μεταβλητής ΧΗ τιμή του απέκλινε από τον μέσο όρο περισσότερο από 3σ.Όπως μόλις διαπιστώθηκε, η πιθανότητα αυτού του γεγονότος ρ=Ρ(Α)=0,003.Έχουν πραγματοποιηθεί 100 τέτοιες δοκιμές. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ότι το γεγονός ΑΛΛΑσυνέβη τουλάχιστονφορές, δηλ. προήλθε από 1 πριν 100 μια φορά. Αυτό είναι ένα τυπικό πρόβλημα σχήματος Bernoulli με παραμέτρους n=100 (αριθμός ανεξάρτητων δοκιμών), p=0,003(πιθανότητα συμβάντος ΑΛΛΑσε ένα τεστ) q=1− Π=0.997 . Ήθελε να βρει R 100 (1≤ κ≤100) . Σε αυτή την περίπτωση, βέβαια, είναι ευκολότερο να βρούμε πρώτα την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος R 100 (0) − η πιθανότητα το γεγονός ΑΛΛΑδεν συνέβη ποτέ (δηλαδή συνέβη 0 φορές). Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση μεταξύ των πιθανοτήτων του ίδιου του γεγονότος και του αντιθέτου του, παίρνουμε:

Όχι και τόσο λίγο. Μπορεί κάλλιστα να συμβεί (συμβαίνει κατά μέσο όρο σε κάθε τέταρτη τέτοια σειρά δοκιμών). Στο 1000 δοκιμές σύμφωνα με το ίδιο σχήμα, μπορεί να ληφθεί ότι η πιθανότητα μιας τουλάχιστον απόκλισης είναι μεγαλύτερη από 3σ, ισούται με: . Επομένως, είναι ασφαλές να περιμένετε τουλάχιστον μία τέτοια απόκλιση.

Παράδειγμα. Το ύψος των ανδρών μιας συγκεκριμένης ηλικιακής ομάδας κατανέμεται κανονικά με μαθηματική προσδοκία ένακαι τυπική απόκλιση σ . Τι αναλογία κοστουμιών κ-η ανάπτυξη θα πρέπει να περιλαμβάνεται στη συνολική παραγωγή για μια δεδομένη ηλικιακή ομάδα εάν κ-η ανάπτυξη καθορίζεται από τα ακόλουθα όρια:

1 ανάπτυξη : 158 − 164 cm 2ανάπτυξη : 164 - 170 cm 3ανάπτυξη : 170 - 176 cm 4ανάπτυξη : 176 - 182 εκ

Λύση. Ας λύσουμε το πρόβλημα με τις ακόλουθες τιμές παραμέτρων: a=178,σ=6,κ=3 . Αφήστε r.v. Χ − το ύψος ενός τυχαία επιλεγμένου άνδρα (κατανέμεται σύμφωνα με την κατάσταση κανονικά με τις δεδομένες παραμέτρους). Βρείτε την πιθανότητα που θα χρειαστεί ένας τυχαία επιλεγμένος άνδρας 3 ανάπτυξη. Χρησιμοποιώντας την παραδοξότητα της συνάρτησης Laplace F(x)και πίνακα με τις τιμές του: P(170 Επομένως, στο συνολικό όγκο παραγωγής είναι απαραίτητο να παρέχεται 0.2789*100%=27.89% κοστούμια 3 ανάπτυξη.

Κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, το οποίο παίρνει όλες τις τιμές από το διάστημα , λέγεται στολή, αν η πυκνότητα πιθανότητάς του σε αυτό το τμήμα είναι σταθερή, και εκτός είναι ίση με μηδέν. Έτσι, η πυκνότητα πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, κατανεμημένη ομοιόμορφα στο τμήμα , μοιάζει με:

Ας ορίσουμε αναμενόμενη αξία, διασποράκαι για μια τυχαία μεταβλητή με ομοιόμορφη κατανομή.

, , .

Παράδειγμα.Όλες οι τιμές μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα . Βρείτε την πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (3;5) .

a=2, b=8, .

Διωνυμική κατανομή

Αφήστε το να παραχθεί nδοκιμές και την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι Πκαι δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα άλλων δοκιμών (ανεξάρτητες δοκιμές). Δεδομένου ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑσε μια δοκιμή είναι Π, τότε η πιθανότητα μη εμφάνισής του ισούται με q=1-p.

Αφήστε το γεγονός ΕΝΑήρθε σε nδοκιμές Μμια φορά. Αυτό το περίπλοκο συμβάν μπορεί να γραφτεί ως προϊόν:

.

Τότε η πιθανότητα ότι nδοκιμαστική εκδήλωση ΕΝΑθα έρθω Μφορές , υπολογίζεται με τον τύπο:

ή (1)

Ο τύπος (1) ονομάζεται Φόρμουλα Bernoulli.

Αφήνω Χείναι μια τυχαία μεταβλητή ίση με τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος ΕΝΑσε nδοκιμές, οι οποίες λαμβάνουν τιμές με πιθανότητες:

Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που προκύπτει ονομάζεται νόμος διωνυμικής κατανομής.

Χ				Μ		n
Π

Αναμενόμενη αξία, διασποράκαι τυπική απόκλισηΟι τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο καθορίζονται από τους τύπους:

, , .

Παράδειγμα.Εκτελούνται τρεις βολές στον στόχο και η πιθανότητα να χτυπηθεί κάθε βολή είναι 0,8. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Χ- τον αριθμό των χτυπημάτων στο στόχο. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

p=0,8, q=0,2, n=3, , , .

- πιθανότητα 0 χτυπημάτων.

Πιθανότητα ενός χτυπήματος.

Πιθανότητα δύο χτυπημάτων.

είναι η πιθανότητα τριών χτυπημάτων.

Παίρνουμε τον νόμο διανομής:

Χ
Π	0,008	0,096	0,384	0,512

Καθήκοντα

1. Ένα νόμισμα ρίχνεται 7 φορές. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει ανάποδα 4 φορές.

2. Ένα νόμισμα ρίχνεται 8 φορές. Βρείτε την πιθανότητα το εθνόσημο να εμφανίζεται όχι περισσότερο από τρεις φορές.

3. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος κατά την βολή από όπλο p=0,6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού χτυπημάτων, εάν εκτελεστούν 10 βολές.

4. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των λαχείων που θα κερδίσουν εάν αγοραστούν 20 εισιτήρια και η πιθανότητα να κερδίσετε για ένα δελτίο είναι 0,3.

Η συνάρτηση διανομής σε αυτήν την περίπτωση, σύμφωνα με το (5.7), θα έχει τη μορφή:

όπου: m είναι η μαθηματική προσδοκία, s η τυπική απόκλιση.

Η κανονική κατανομή ονομάζεται επίσης Gaussian από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Gauss. Το γεγονός ότι μια τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή με παραμέτρους: m,, συμβολίζεται ως εξής: N (m, s), όπου: m =a =M ;

Αρκετά συχνά, στους τύπους, η μαθηματική προσδοκία συμβολίζεται με ένα . Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο N(0,1), τότε ονομάζεται κανονικοποιημένη ή τυποποιημένη κανονική τιμή. Η συνάρτηση διανομής για αυτό έχει τη μορφή:

.

Η γραφική παράσταση της πυκνότητας της κανονικής κατανομής, η οποία ονομάζεται κανονική καμπύλη ή καμπύλη Gauss, φαίνεται στο Σχ. 5.4.

Ρύζι. 5.4. Κανονική πυκνότητα κατανομής

Ο προσδιορισμός των αριθμητικών χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής από την πυκνότητά της εξετάζεται σε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 6.

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δίνεται από την πυκνότητα κατανομής: .

Προσδιορίστε το είδος της κατανομής, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) και τη διακύμανση Δ(Χ).

Συγκρίνοντας τη δεδομένη πυκνότητα κατανομής με το (5.16), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δίνεται ο νόμος της κανονικής κατανομής με m =4. Επομένως, μαθηματική προσδοκία M(X)=4, διακύμανση D(X)=9.

Τυπική απόκλιση s=3.

Η συνάρτηση Laplace, η οποία έχει τη μορφή:

,

σχετίζεται με τη συνάρτηση κανονικής κατανομής (5.17), από τη σχέση:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Η συνάρτηση Laplace είναι περιττή.

Ф(-x)=-Ф(x).

Οι τιμές της συνάρτησης Laplace Ф(х) παρουσιάζονται σε πίνακα και λαμβάνονται από τον πίνακα σύμφωνα με την τιμή του x (βλ. Παράρτημα 1).

Η κανονική κατανομή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία των πιθανοτήτων και στην περιγραφή της πραγματικότητας· είναι πολύ διαδεδομένη στα τυχαία φυσικά φαινόμενα. Στην πράξη, πολύ συχνά υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές που σχηματίζονται ακριβώς ως αποτέλεσμα της άθροισης πολλών τυχαίων όρων. Συγκεκριμένα, η ανάλυση των σφαλμάτων μέτρησης δείχνει ότι αποτελούν το άθροισμα διαφόρων ειδών σφαλμάτων. Η πρακτική δείχνει ότι η κατανομή πιθανοτήτων των σφαλμάτων μέτρησης είναι κοντά στον κανονικό νόμο.

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Laplace, μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα υπολογισμού της πιθανότητας πτώσης σε ένα δεδομένο διάστημα και μια δεδομένη απόκλιση μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής.

Αυτό το ζήτημα έχει μελετηθεί από καιρό λεπτομερώς και η μέθοδος των πολικών συντεταγμένων, που προτάθηκε από τους George Box, Mervyn Muller και George Marsaglia το 1958, χρησιμοποιήθηκε ευρύτερα. Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να λάβετε ένα ζεύγος ανεξάρτητων κανονικά κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών με μέσο όρο 0 και διακύμανση 1 ως εξής:

Όπου Z 0 και Z 1 είναι οι επιθυμητές τιμές, s \u003d u 2 + v 2 και u και v είναι τυχαίες μεταβλητές ομοιόμορφα κατανεμημένες στο τμήμα (-1, 1), επιλεγμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη 0< s < 1.
Πολλοί χρησιμοποιούν αυτούς τους τύπους χωρίς καν να σκέφτονται, και πολλοί δεν υποψιάζονται καν την ύπαρξή τους, αφού χρησιμοποιούν έτοιμες υλοποιήσεις. Υπάρχουν όμως άνθρωποι που έχουν απορίες: «Από πού προήλθε αυτή η φόρμουλα; Και γιατί παίρνετε ένα ζευγάρι αξιών ταυτόχρονα; Στη συνέχεια, θα προσπαθήσω να δώσω μια ξεκάθαρη απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα.

Αρχικά, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ποια είναι η πυκνότητα πιθανότητας, η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής και η αντίστροφη συνάρτηση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποια τυχαία μεταβλητή, η κατανομή της οποίας δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας f(x), η οποία έχει την εξής μορφή:

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα ότι η τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής θα είναι στο διάστημα (A, B) είναι ίση με την περιοχή της σκιασμένης περιοχής. Και κατά συνέπεια, η περιοχή ολόκληρης της σκιασμένης περιοχής θα πρέπει να είναι ίση με τη μονάδα, αφού σε κάθε περίπτωση η τιμή της τυχαίας μεταβλητής θα εμπίπτει στον τομέα της συνάρτησης f.
Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι αναπόσπαστο της συνάρτησης πυκνότητας. Και σε αυτή την περίπτωση, η κατά προσέγγιση μορφή του θα είναι η εξής:

Εδώ το νόημα είναι ότι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής θα είναι μικρότερη από την Α με πιθανότητα Β. Και ως αποτέλεσμα, η συνάρτηση δεν μειώνεται ποτέ και οι τιμές της βρίσκονται στο διάστημα .

Μια αντίστροφη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που επιστρέφει το όρισμα της αρχικής συνάρτησης εάν μεταβιβάσετε την τιμή της αρχικής συνάρτησης σε αυτήν. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση x 2 το αντίστροφο θα είναι η συνάρτηση εξαγωγής ρίζας, για το sin (x) είναι το arcsin (x), κ.λπ.

Δεδομένου ότι οι περισσότερες γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών δίνουν μόνο μια ομοιόμορφη κατανομή στην έξοδο, συχνά καθίσταται απαραίτητη η μετατροπή της σε κάποια άλλη. Σε αυτή την περίπτωση, σε έναν κανονικό Gaussian:

Η βάση όλων των μεθόδων για τη μετατροπή μιας ομοιόμορφης κατανομής σε οποιαδήποτε άλλη κατανομή είναι η μέθοδος αντίστροφου μετασχηματισμού. Λειτουργεί ως εξής. Βρίσκεται μια συνάρτηση που είναι αντίστροφη προς τη συνάρτηση της απαιτούμενης κατανομής και μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο τμήμα (0, 1) μεταβιβάζεται σε αυτήν ως όρισμα. Στην έξοδο, λαμβάνουμε μια τιμή με την απαιτούμενη κατανομή. Για λόγους σαφήνειας, εδώ είναι η παρακάτω εικόνα.

Έτσι, ένα ομοιόμορφο τμήμα, όπως λέμε, κηλιδώνεται σύμφωνα με τη νέα κατανομή, προβάλλοντας σε έναν άλλο άξονα μέσω μιας αντίστροφης συνάρτησης. Αλλά το πρόβλημα είναι ότι το ολοκλήρωμα της πυκνότητας της κατανομής Gauss δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί, οπότε οι παραπάνω επιστήμονες έπρεπε να εξαπατήσουν.

Υπάρχει μια κατανομή χ-τετράγωνο (κατανομή Pearson), η οποία είναι η κατανομή του αθροίσματος των τετραγώνων των k ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών. Και στην περίπτωση που k = 2, αυτή η κατανομή είναι εκθετική.

Αυτό σημαίνει ότι εάν ένα σημείο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει τυχαίες συντεταγμένες X και Y κατανεμημένες κανονικά, τότε μετά τη μετατροπή αυτών των συντεταγμένων στο πολικό σύστημα (r, θ), το τετράγωνο της ακτίνας (η απόσταση από την αρχή στο σημείο) θα κατανεμηθεί εκθετικά, αφού το τετράγωνο της ακτίνας είναι το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων (σύμφωνα με τον Πυθαγόρειο νόμο). Η πυκνότητα κατανομής τέτοιων σημείων στο επίπεδο θα μοιάζει με αυτό:

Εφόσον είναι ίση προς όλες τις κατευθύνσεις, η γωνία θ θα έχει ομοιόμορφη κατανομή στην περιοχή από 0 έως 2π. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν καθορίσετε ένα σημείο στο σύστημα πολικών συντεταγμένων χρησιμοποιώντας δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (η γωνία κατανεμημένη ομοιόμορφα και η ακτίνα κατανεμημένη εκθετικά), τότε οι ορθογώνιες συντεταγμένες αυτού του σημείου θα είναι ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές. Και η εκθετική κατανομή από την ομοιόμορφη κατανομή είναι ήδη πολύ πιο εύκολο να ληφθεί, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο αντίστροφου μετασχηματισμού. Αυτή είναι η ουσία της πολικής μεθόδου Box-Muller.
Τώρα ας πάρουμε τους τύπους.

(1)

Για να ληφθούν τα r και θ, είναι απαραίτητο να δημιουργηθούν δύο τυχαίες μεταβλητές ομοιόμορφα κατανεμημένες στο τμήμα (0, 1) (ας τις ονομάσουμε u και v), η κατανομή μιας από τις οποίες (ας πούμε v) πρέπει να μετατραπεί σε εκθετική σε λάβετε την ακτίνα. Η συνάρτηση εκθετικής κατανομής μοιάζει με αυτό:

Η αντίστροφη συνάρτησή του:

Δεδομένου ότι η ομοιόμορφη κατανομή είναι συμμετρική, ο μετασχηματισμός θα λειτουργήσει παρόμοια με τη συνάρτηση

Από τον τύπο κατανομής χ-τετράγωνο προκύπτει ότι λ = 0,5. Αντικαθιστούμε τα λ, v σε αυτή τη συνάρτηση και παίρνουμε το τετράγωνο της ακτίνας και μετά την ίδια την ακτίνα:

Λαμβάνουμε τη γωνία τεντώνοντας το τμήμα μονάδας στο 2π:

Τώρα αντικαθιστούμε τα r και θ στους τύπους (1) και παίρνουμε:

(2)

Αυτές οι φόρμουλες είναι έτοιμες για χρήση. Τα X και Y θα είναι ανεξάρτητα και κανονικά κατανέμονται με διακύμανση 1 και μέσο όρο 0. Για να λάβετε μια κατανομή με άλλα χαρακτηριστικά, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα της συνάρτησης με την τυπική απόκλιση και να προσθέσετε τη μέση τιμή.
Αλλά είναι δυνατό να απαλλαγούμε από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθορίζοντας τη γωνία όχι άμεσα, αλλά έμμεσα μέσω των ορθογώνιων συντεταγμένων ενός τυχαίου σημείου σε έναν κύκλο. Στη συνέχεια, μέσω αυτών των συντεταγμένων, θα είναι δυνατός ο υπολογισμός του μήκους του διανύσματος ακτίνας και στη συνέχεια να βρεθεί το συνημίτονο και το ημίτονο διαιρώντας το x και το y με αυτό, αντίστοιχα. Πώς και γιατί λειτουργεί;
Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο από ομοιόμορφα κατανεμημένο στον κύκλο της μονάδας ακτίνας και συμβολίζουμε το τετράγωνο του μήκους του διανύσματος ακτίνας αυτού του σημείου με το γράμμα s:

Η επιλογή γίνεται εκχωρώντας τυχαίες ορθογώνιες συντεταγμένες x και y ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα (-1, 1) και απορρίπτοντας σημεία που δεν ανήκουν στον κύκλο, καθώς και το κεντρικό σημείο στο οποίο βρίσκεται η γωνία του διανύσματος ακτίνας μη καθορισμένο. Δηλαδή η συνθήκη 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Παίρνουμε τους τύπους, όπως στην αρχή του άρθρου. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η απόρριψη σημείων που δεν περιλαμβάνονται στον κύκλο. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας μόνο το 78,5% των δημιουργούμενων τυχαίων μεταβλητών. Σε παλαιότερους υπολογιστές, η έλλειψη τριγωνομετρικών συναρτήσεων ήταν ακόμα ένα μεγάλο πλεονέκτημα. Τώρα, όταν μια εντολή επεξεργαστή υπολογίζει ταυτόχρονα το ημίτονο και το συνημίτονο σε μια στιγμή, νομίζω ότι αυτές οι μέθοδοι μπορούν ακόμα να ανταγωνιστούν.

Προσωπικά, έχω άλλες δύο ερωτήσεις:

• Γιατί η τιμή του s κατανέμεται ομοιόμορφα;
• Γιατί το άθροισμα των τετραγώνων δύο κανονικών τυχαίων μεταβλητών κατανέμεται εκθετικά;

Δεδομένου ότι s είναι το τετράγωνο της ακτίνας (για απλότητα, η ακτίνα είναι το μήκος του διανύσματος ακτίνας που καθορίζει τη θέση ενός τυχαίου σημείου), πρώτα ανακαλύπτουμε πώς κατανέμονται οι ακτίνες. Εφόσον ο κύκλος είναι γεμάτος ομοιόμορφα, είναι προφανές ότι ο αριθμός των σημείων με ακτίνα r είναι ανάλογος με την περιφέρεια του κύκλου με ακτίνα r. Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι ανάλογη της ακτίνας. Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητα κατανομής των ακτίνων αυξάνεται ομοιόμορφα από το κέντρο του κύκλου προς τα άκρα του. Και η συνάρτηση πυκνότητας έχει τη μορφή f(x) = 2x στο διάστημα (0, 1). Συντελεστής 2 έτσι ώστε το εμβαδόν του σχήματος κάτω από το γράφημα να είναι ίσο με ένα. Όταν μια τέτοια πυκνότητα τετραγωνιστεί, γίνεται ομοιόμορφη. Δεδομένου ότι θεωρητικά, σε αυτήν την περίπτωση, για αυτό είναι απαραίτητο να διαιρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας με την παράγωγο της συνάρτησης μετασχηματισμού (δηλαδή από x 2). Και οπτικά συμβαίνει ως εξής:

Εάν γίνει ένας παρόμοιος μετασχηματισμός για μια κανονική τυχαία μεταβλητή, τότε η συνάρτηση πυκνότητας του τετραγώνου της θα αποδειχθεί παρόμοια με μια υπερβολή. Και η προσθήκη δύο τετραγώνων κανονικών τυχαίων μεταβλητών είναι ήδη μια πολύ πιο περίπλοκη διαδικασία που σχετίζεται με τη διπλή ολοκλήρωση. Και το ότι το αποτέλεσμα θα είναι εκθετική κατανομή, προσωπικά, μου μένει να το ελέγξω με πρακτική μέθοδο ή να το αποδεχτώ ως αξίωμα. Και για όσους ενδιαφέρονται, προτείνω να εξοικειωθείτε με το θέμα πιο κοντά, αντλώντας γνώσεις από αυτά τα βιβλία:

• Wentzel E.S. Θεωρία πιθανοτήτων
• Knut D.E. Η Τέχνη του Προγραμματισμού Τόμος 2

Εν κατακλείδι, θα δώσω ένα παράδειγμα υλοποίησης μιας κανονικά κατανεμημένης γεννήτριας τυχαίων αριθμών σε JavaScript:

Συνάρτηση Gauss() ( var ready = false; var second = 0,0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) other ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u, this.ready = true, return r * v * dev + mean; ) ) ) g = new Gauss(); // δημιουργία αντικειμένου a = g.next(); // δημιουργήστε ένα ζεύγος τιμών και λάβετε την πρώτη b = g.next(); // πάρτε το δεύτερο c = g.next(); // δημιουργήστε ξανά ένα ζεύγος τιμών και λάβετε την πρώτη
Οι παράμετροι μέσης τιμής (μαθηματική προσδοκία) και dev (τυπική απόκλιση) είναι προαιρετικές. Εφιστώ την προσοχή σας στο γεγονός ότι ο λογάριθμος είναι φυσικός.