Βρείτε τον μέγιστο ρυθμό αύξησης της συνάρτησης. Πώς να βρείτε τη διαβάθμιση μιας συνάρτησης
Βαθμίδα λειτουργίεςείναι ένα διανυσματικό μέγεθος, η εύρεση του οποίου συνδέεται με τον ορισμό μερικών παραγώγων της συνάρτησης. Η κατεύθυνση της κλίσης υποδεικνύει τη διαδρομή της ταχύτερης ανάπτυξης της συνάρτησης από το ένα σημείο του βαθμωτού πεδίου στο άλλο.
Εντολή
1. Για την επίλυση του προβλήματος της διαβάθμισης μιας συνάρτησης, χρησιμοποιούνται μέθοδοι διαφορικού λογισμού, δηλαδή η εύρεση μερικών παραγώγων πρώτης τάξης σε τρεις μεταβλητές. Θεωρείται ότι η ίδια η συνάρτηση και όλες οι μερικές παράγωγοί της έχουν την ιδιότητα της συνέχειας στο πεδίο της συνάρτησης.
2. Η κλίση είναι ένα διάνυσμα, η κατεύθυνση του οποίου δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στη συνάρτηση F. Για να γίνει αυτό, επιλέγονται δύο σημεία M0 και M1 στο γράφημα, τα οποία είναι τα άκρα του διανύσματος. Η τιμή της διαβάθμισης είναι ίση με τον ρυθμό αύξησης της συνάρτησης από το σημείο M0 στο σημείο M1.
3. Η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε όλα τα σημεία αυτού του διανύσματος, επομένως, οι προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων είναι όλες οι μερικές παράγωγές του. Τότε ο τύπος της κλίσης μοιάζει με αυτό: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, όπου i, j, k είναι οι μοναδιαίες διανυσματικές συντεταγμένες. Με άλλα λόγια, η διαβάθμιση μιας συνάρτησης είναι ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι μερικές παράγωγοί του βαθμού F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Παράδειγμα 1. Έστω η συνάρτηση F = sin (x z?) / y. Απαιτείται να βρεθεί η κλίση του στο σημείο (?/6, 1/4, 1).
5. Λύση. Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους σε σχέση με οποιαδήποτε μεταβλητή: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?), F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Αντικαταστήστε τις διάσημες συντεταγμένες σημείων: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.
7. Εφαρμόστε τον τύπο διαβάθμισης συνάρτησης: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Παράδειγμα 2. Να βρείτε τις συντεταγμένες της βαθμίδας της συνάρτησης F = y arсtg (z / x) στο σημείο (1, 2, 1).
9. Λύση. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Η βαθμωτή κλίση πεδίου είναι μια διανυσματική ποσότητα. Έτσι, για να το βρούμε, απαιτείται να προσδιορίσουμε όλες τις συνιστώσες του αντίστοιχου διανύσματος, με βάση τη γνώση για τη διαίρεση του βαθμωτού πεδίου.
Εντολή
1. Διαβάστε σε ένα εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών ποια είναι η κλίση ενός κλιμακωτού πεδίου. Όπως γνωρίζετε, αυτό το διανυσματικό μέγεθος έχει μια κατεύθυνση που χαρακτηρίζεται από τον μέγιστο ρυθμό αποσύνθεσης της βαθμωτής συνάρτησης. Μια τέτοια αίσθηση μιας δεδομένης διανυσματικής ποσότητας δικαιολογείται από μια έκφραση για τον προσδιορισμό των συστατικών της.
2. Θυμηθείτε ότι κάθε διάνυσμα ορίζεται από τις τιμές των συστατικών του. Τα διανυσματικά στοιχεία είναι στην πραγματικότητα προβολές αυτού του διανύσματος σε έναν ή άλλο άξονα συντεταγμένων. Έτσι, εάν ληφθεί υπόψη ο τρισδιάστατος χώρος, τότε το διάνυσμα πρέπει να έχει τρεις συνιστώσες.
3. Γράψτε πώς καθορίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσματος που είναι η διαβάθμιση κάποιου πεδίου. Όλες οι συντεταγμένες ενός τέτοιου διανύσματος είναι ίσες με την παράγωγο του βαθμωτού δυναμικού σε σχέση με τη μεταβλητή της οποίας η συντεταγμένη υπολογίζεται. Δηλαδή, εάν πρέπει να υπολογίσετε τη συνιστώσα «x» του διανύσματος βαθμίδας πεδίου, τότε πρέπει να διαφοροποιήσετε τη βαθμωτή συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή «x». Σημειώστε ότι η παράγωγος πρέπει να είναι πηλίκο. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη διαφοροποίηση, οι υπόλοιπες μεταβλητές που δεν συμμετέχουν σε αυτήν πρέπει να θεωρούνται σταθερές.
4. Γράψτε μια έκφραση για το βαθμωτό πεδίο. Όπως γνωρίζετε, αυτός ο όρος σημαίνει καθεμία μόνο μια κλιμακωτή συνάρτηση πολλών μεταβλητών, οι οποίες είναι επίσης βαθμωτές ποσότητες. Ο αριθμός των μεταβλητών μιας βαθμωτής συνάρτησης περιορίζεται από τη διάσταση του χώρου.
5. Διαφοροποιήστε χωριστά τη βαθμωτή συνάρτηση σε σχέση με κάθε μεταβλητή. Ως αποτέλεσμα, θα έχετε τρεις νέες λειτουργίες. Γράψτε οποιαδήποτε συνάρτηση στην παράσταση για το διάνυσμα κλίσης του βαθμωτού πεδίου. Οποιαδήποτε από τις ληφθείσες συναρτήσεις είναι πραγματικά ένας δείκτης για ένα μοναδιαίο διάνυσμα μιας δεδομένης συντεταγμένης. Έτσι, το τελικό διάνυσμα κλίσης πρέπει να μοιάζει με πολυώνυμο με εκθέτες ως παράγωγους μιας συνάρτησης.
Όταν εξετάζουμε ζητήματα που αφορούν την αναπαράσταση μιας κλίσης, είναι πιο συνηθισμένο να θεωρούμε το καθένα ως ένα βαθμωτό πεδίο. Επομένως, πρέπει να εισάγουμε τον κατάλληλο συμβολισμό.
Θα χρειαστείτε
- - μπουμ?
- - ένα στυλό.
Εντολή
1. Έστω η συνάρτηση να δίνεται με τρία ορίσματα u=f(x, y, z). Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης, για παράδειγμα σε σχέση με το x, ορίζεται ως η παράγωγος σε σχέση με αυτό το όρισμα, που προκύπτει με τον καθορισμό των υπόλοιπων ορισμάτων. Τα υπόλοιπα επιχειρήματα είναι παρόμοια. Ο συμβολισμός μερικής παραγώγου γράφεται ως: df / dx \u003d u'x ...
2. Η συνολική διαφορά θα είναι ίση με du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Οι μερικές παράγωγοι μπορούν να γίνουν κατανοητές ως παράγωγοι στις κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων. Κατά συνέπεια, τίθεται το ερώτημα εύρεσης της παραγώγου ως προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου διανύσματος s στο σημείο M(x, y, z) (μην ξεχνάτε ότι η κατεύθυνση s καθορίζει ένα μοναδιαίο διάνυσμα-ort s^o). Σε αυτή την περίπτωση, το διαφορικό διάνυσμα των ορισμάτων είναι (dx, dy, dz)=(dscos(άλφα), dscos(beta), dscos(γάμα)).
3. Λαμβάνοντας υπόψη τη μορφή του συνολικού διαφορικού du, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος ως προς την κατεύθυνση s στο σημείο M είναι: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(άλφα) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(γάμα). Αν s= s(sx,sy,sz), τότε συνημίτονα κατεύθυνσης (cos(άλφα), cos(beta), cos( γάμμα)) υπολογίζονται (βλ. Εικ. 1α).
4. Ο ορισμός της παραγώγου στην κατεύθυνση, θεωρώντας το σημείο M ως μεταβλητή, μπορεί να γραφτεί ξανά ως γινόμενο με τελείες: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (γάμα)))=(grad u, s^o). Αυτή η έκφραση θα είναι αντικειμενική για ένα βαθμωτό πεδίο. Αν θεωρήσουμε μια εύκολη συνάρτηση, τότε το gradf είναι ένα διάνυσμα που έχει συντεταγμένες που συμπίπτουν με τις μερικές παραγώγους f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Εδώ (i, j, k) είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
5. Εάν χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή διαφορικού διανύσματος Hamilton Nabla, τότε το gradf μπορεί να γραφτεί ως ο πολλαπλασιασμός αυτού του διανύσματος τελεστή με το βαθμωτό f (βλ. Εικ. 1β). Από την άποψη της σύνδεσης του gradf με την κατευθυντική παράγωγο, η ισότητα (gradf, s^o)=0 είναι αποδεκτή εάν τα διανύσματα αυτά είναι ορθογώνια. Κατά συνέπεια, το gradf συχνά ορίζεται ως η κατεύθυνση της ταχύτερης μεταμόρφωσης ενός βαθμωτού πεδίου. Και από την άποψη των διαφορικών πράξεων (το gradf είναι μία από αυτές), οι ιδιότητες του gradf επαναλαμβάνουν ακριβώς τις ιδιότητες της διαφοροποίησης των συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, αν f=uv, τότε gradf=(vgradu+ugradv).
Σχετικά βίντεο
Βαθμίδααυτό είναι ένα εργαλείο που στους επεξεργαστές γραφικών γεμίζει τη σιλουέτα με μια ομαλή μετάβαση από το ένα χρώμα στο άλλο. Βαθμίδαμπορεί να δώσει σε μια σιλουέτα το αποτέλεσμα του όγκου, να προσομοιώσει τον φωτισμό, τις αντανακλάσεις του φωτός στην επιφάνεια ενός αντικειμένου ή το αποτέλεσμα ενός ηλιοβασιλέματος στο φόντο μιας φωτογραφίας. Αυτό το εργαλείο έχει ευρεία χρήση, επομένως, για την επεξεργασία φωτογραφιών ή τη δημιουργία εικονογραφήσεων, είναι πολύ σημαντικό να μάθετε πώς να το χρησιμοποιείτε.
Θα χρειαστείτε
- Υπολογιστής, πρόγραμμα επεξεργασίας γραφικών Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ή άλλα.
Εντολή
1. Ανοίξτε την εικόνα στο πρόγραμμα ή φτιάξτε μια νέα. Κάντε μια σιλουέτα ή επιλέξτε την επιθυμητή περιοχή στην εικόνα.
2. Ενεργοποιήστε το εργαλείο Gradient στη γραμμή εργαλείων του προγράμματος επεξεργασίας γραφικών. Τοποθετήστε τον κέρσορα του ποντικιού σε ένα σημείο μέσα στην επιλεγμένη περιοχή ή σιλουέτα, όπου θα ξεκινήσει το 1ο χρώμα της διαβάθμισης. Κάντε κλικ και κρατήστε πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Μετακινήστε τον κέρσορα στο σημείο όπου η διαβάθμιση πρέπει να μεταβεί στο τελικό χρώμα. Αφήστε το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Η επιλεγμένη σιλουέτα θα γεμίσει με ένα ντεγκραντέ γέμισμα.
3. Βαθμίδα y είναι δυνατό να ρυθμίσετε τη διαφάνεια, τα χρώματα και την αναλογία τους σε ένα συγκεκριμένο σημείο πλήρωσης. Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε το παράθυρο Επεξεργασία κλίσης. Για να ανοίξετε το παράθυρο επεξεργασίας στο Photoshop, κάντε κλικ στο παράδειγμα διαβάθμισης στον πίνακα Επιλογές.
4. Στο παράθυρο που ανοίγει, εμφανίζονται ως παραδείγματα οι διαθέσιμες επιλογές πλήρωσης κλίσης. Για να επεξεργαστείτε μία από τις επιλογές, επιλέξτε την με ένα κλικ του ποντικιού.
5. Ένα παράδειγμα διαβάθμισης εμφανίζεται στο κάτω μέρος του παραθύρου με τη μορφή μιας ευρείας κλίμακας με ρυθμιστικά. Τα ρυθμιστικά υποδεικνύουν τα σημεία στα οποία η διαβάθμιση θα πρέπει να έχει τις καθορισμένες συστοιχίες και στο διάστημα μεταξύ των ρυθμιστικών, το χρώμα μεταβαίνει ομοιόμορφα από αυτό που καθορίζεται στο πρώτο σημείο στο χρώμα του 2ου σημείου.
6. Τα ρυθμιστικά που βρίσκονται στην κορυφή της κλίμακας ορίζουν τη διαφάνεια της κλίσης. Για να αλλάξετε τη διαφάνεια, κάντε κλικ στο ρυθμιστικό που θέλετε. Κάτω από την κλίμακα θα εμφανιστεί ένα πεδίο, στο οποίο εισάγετε τον απαιτούμενο βαθμό διαφάνειας σε ποσοστό.
7. Τα ρυθμιστικά στο κάτω μέρος της κλίμακας ορίζουν τα χρώματα της διαβάθμισης. Κάνοντας κλικ σε ένα από αυτά, θα μπορείτε να προτιμήσετε το επιθυμητό χρώμα.
8. Βαθμίδαμπορεί να έχει πολλαπλά χρώματα μετάβασης. Για να ορίσετε άλλο χρώμα, κάντε κλικ σε ένα κενό χώρο στο κάτω μέρος της κλίμακας. Ένα άλλο ρυθμιστικό θα εμφανιστεί σε αυτό. Ορίστε το επιθυμητό χρώμα για αυτό. Η κλίμακα θα εμφανίσει ένα παράδειγμα κλίσης με ένα ακόμη σημείο. Μπορείτε να μετακινήσετε τα ρυθμιστικά κρατώντας τα με την υποστήριξη του αριστερού πλήκτρου του ποντικιού για να πετύχετε τον επιθυμητό συνδυασμό.
9. ΒαθμίδαΥπάρχουν διάφοροι τύποι που μπορούν να δώσουν σχήμα σε επίπεδες σιλουέτες. Ας πούμε, για να δώσει σε έναν κύκλο το σχήμα μπάλας, εφαρμόζεται μια ακτινωτή κλίση και για να δοθεί το σχήμα κώνου, εφαρμόζεται μια κωνική κλίση. Μια κατοπτρική κλίση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει στην επιφάνεια την ψευδαίσθηση της διόγκωσης και μια κλίση διαμαντιού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσει τονισμένα σημεία.
Σχετικά βίντεο
Σχετικά βίντεο
Εάν σε κάθε σημείο του χώρου ή μέρος του χώρου ορίζεται η τιμή μιας ορισμένης ποσότητας, τότε λέγεται ότι δίνεται το πεδίο αυτής της ποσότητας. Το πεδίο ονομάζεται βαθμωτό εάν η εξεταζόμενη τιμή είναι βαθμωτή, δηλ. χαρακτηρίζεται καλά από την αριθμητική του αξία. Για παράδειγμα, το πεδίο θερμοκρασίας. Το βαθμωτό πεδίο δίνεται από τη βαθμωτή συνάρτηση του σημείου u = /(M). Εάν ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εισάγεται στο χώρο, τότε υπάρχει συνάρτηση τριών μεταβλητών x, yt z - οι συντεταγμένες του σημείου M: Ορισμός. Η επίπεδη επιφάνεια ενός βαθμωτού πεδίου είναι το σύνολο των σημείων στα οποία η συνάρτηση f(M) παίρνει την ίδια τιμή. Παράδειγμα εξίσωσης επιφάνειας επιπέδου 1. Εύρεση επιφανειών βαθμίδας ενός κλιμακωτού πεδίου ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Βαθμωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές επιπέδου Κατευθυντική Παράγωγος Παράγωγος Κλίσης Βαθμώδους Πεδίου Βασικές Ιδιότητες Κλίσης Αναλλοίωτος Ορισμός Κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό ενός επιπέδου, εξίσωση επιφάνειας θα είναι. Αυτή είναι η εξίσωση μιας σφαίρας (με Ф 0) με κέντρο στην αρχή. Ένα κλιμακωτό πεδίο ονομάζεται επίπεδο εάν το πεδίο είναι το ίδιο σε όλα τα επίπεδα παράλληλα σε κάποιο επίπεδο. Εάν το καθορισμένο επίπεδο ληφθεί ως το επίπεδο xOy, τότε η συνάρτηση πεδίου δεν θα εξαρτάται από τη συντεταγμένη z, δηλ. θα είναι συνάρτηση μόνο των ορισμάτων x και y, καθώς και της σημασίας. Εξίσωση γραμμής επιπέδου - Παράδειγμα 2. Βρείτε τις γραμμές επιπέδου ενός βαθμωτού πεδίου Οι γραμμές επιπέδου δίνονται με εξισώσεις Στο c = 0 παίρνουμε ένα ζεύγος γραμμών, παίρνουμε μια οικογένεια υπερβολών (Εικ. 1). 1.1. Κατευθυντική παράγωγος Έστω ένα βαθμωτό πεδίο που ορίζεται από μια βαθμωτή συνάρτηση u = /(Af). Ας πάρουμε το σημείο Afo και ας επιλέξουμε την κατεύθυνση που καθορίζεται από το διάνυσμα I. Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο M έτσι ώστε το διάνυσμα M0M να είναι παράλληλο με το διάνυσμα 1 (Εικ. 2). Ας συμβολίσουμε το μήκος του διανύσματος MoM με A/ και την αύξηση της συνάρτησης /(Af) - /(Afo), που αντιστοιχεί στη μετατόπιση D1, με Di. Ο λόγος καθορίζει τον μέσο ρυθμό μεταβολής του βαθμωτού πεδίου ανά μονάδα μήκους προς τη δεδομένη κατεύθυνση. Ας τείνει τώρα στο μηδέν έτσι ώστε το διάνυσμα М0М να παραμένει παράλληλο στο διάνυσμα I όλη την ώρα. Ορισμός. Αν για το D/O υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της σχέσης (5), τότε ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο Afo προς τη δεδομένη κατεύθυνση I και συμβολίζεται με το σύμβολο zr!^. Άρα, εξ ορισμού, αυτός ο ορισμός δεν σχετίζεται με την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, δηλαδή έχει χαρακτήρα **παραλλαγής. Ας βρούμε μια έκφραση για την παράγωγο σε σχέση με την κατεύθυνση στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Αφήστε τη συνάρτηση / να είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο. Θεωρήστε την τιμή /(Af) σε ένα σημείο. Τότε η συνολική αύξηση της συνάρτησης μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: όπου και τα σύμβολα σημαίνουν ότι οι επιμέρους παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο Afo. Επομένως, εδώ οι ποσότητες jfi, ^ είναι τα συνημίτονο κατεύθυνσης του διανύσματος. Δεδομένου ότι τα διανύσματα MoM και I είναι συν-κατευθυνόμενα, τα συνημίτονά τους είναι τα ίδια: παράγωγοι, είναι παράγωγοι της συνάρτησης και κατά μήκος των κατευθύνσεων των αξόνων συντεταγμένων με το εξωτερικό nno- Παράδειγμα 3. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης προς το σημείο Το διάνυσμα έχει μήκος. Τα συνημίτονα κατεύθυνσής του: Με τον τύπο (9) θα έχουμε Το γεγονός ότι, σημαίνει ότι το βαθμωτό πεδίο σε ένα σημείο σε μια δεδομένη διεύθυνση ηλικίας- Για ένα επίπεδο πεδίο, η παράγωγος προς την κατεύθυνση I σε ένα σημείο υπολογίζεται από τον τύπο όπου a είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα I με τον άξονα Oh. Zmmchmm 2. Ο τύπος (9) για τον υπολογισμό της παραγώγου κατά την κατεύθυνση I σε ένα δεδομένο σημείο Afo παραμένει σε ισχύ ακόμη και όταν το σημείο M τείνει στο σημείο Mo κατά μήκος μιας καμπύλης για την οποία το διάνυσμα I εφάπτεται στο σημείο PrISchr 4. Υπολογίστε η παράγωγος του βαθμωτού πεδίου στο σημείο Afo(l, 1). που ανήκει σε παραβολή στην κατεύθυνση αυτής της καμπύλης (στην κατεύθυνση της αυξανόμενης τετμημένης). Η κατεύθυνση ] μιας παραβολής σε ένα σημείο είναι η διεύθυνση της εφαπτομένης της παραβολής σε αυτό το σημείο (Εικ. 3). Έστω η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Afo σχηματίζει γωνία o με τον άξονα Ox. Τότε από πού κατευθύνονται συνημίτονα μιας εφαπτομένης Ας υπολογίσουμε τιμές και σε ένα σημείο. Έχουμε Τώρα με τον τύπο (10) λαμβάνουμε. Βρείτε την παράγωγο του βαθμωτού πεδίου σε ένα σημείο προς την κατεύθυνση του κύκλου Η διανυσματική εξίσωση του κύκλου έχει τη μορφή. Βρίσκουμε το μοναδιαίο διάνυσμα m της εφαπτομένης στον κύκλο Το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου. Κλίση βαθμωτών πεδίου Έστω ότι ένα βαθμωτό πεδίο ορίζεται από μια βαθμωτή συνάρτηση που υποτίθεται ότι είναι διαφορίσιμη. Ορισμός. Η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου » σε ένα δεδομένο σημείο M είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται με το σύμβολο grad και ορίζεται με την ισότητα Είναι σαφές ότι αυτό το διάνυσμα εξαρτάται τόσο από τη συνάρτηση / όσο και από το σημείο M στο οποίο υπολογίζεται η παράγωγός του. Έστω 1 ένα μοναδιαίο διάνυσμα προς την κατεύθυνση Τότε ο τύπος για την κατευθυντική παράγωγο μπορεί να γραφεί ως εξής: . Έτσι, η παράγωγος της συνάρτησης u κατά τη διεύθυνση 1 είναι ίση με το κλιμακωτό γινόμενο της βαθμίδας της συνάρτησης u(M) και του μοναδιαίου διανύσματος 1° της διεύθυνσης I. 2.1. Βασικές ιδιότητες της κλίσης Θεώρημα 1. Η βαθμιδωτή κλίση πεδίου είναι κάθετη στην επιφάνεια του επιπέδου (ή στη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο). (2) Ας σχεδιάσουμε μια επίπεδη επιφάνεια u = const μέσω ενός αυθαίρετου σημείου M και ας επιλέξουμε μια ομαλή καμπύλη L σε αυτή την επιφάνεια που διέρχεται από το σημείο M (Εικ. 4). Έστω I ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη L στο σημείο M. Δεδομένου ότι στην επίπεδη επιφάνεια u(M) = u(M|) για οποιοδήποτε σημείο Mj ∈ L, τότε Από την άλλη πλευρά, = (gradu, 1°) . Να γιατί. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα grad και και 1° είναι ορθογώνια.Έτσι, το διανυσματικό grad και είναι ορθογώνιο σε οποιαδήποτε εφαπτομένη της επίπεδης επιφάνειας στο σημείο Μ. Έτσι, είναι ορθογώνιο στην ίδια την στάθμη επιφάνεια στο σημείο Μ. Θεώρημα 2 Η κλίση κατευθύνεται προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης πεδίου. Νωρίτερα αποδείξαμε ότι η κλίση του βαθμωτού πεδίου κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια, η οποία μπορεί να προσανατολιστεί είτε προς την αύξηση της συνάρτησης u(M) είτε προς τη μείωσή της. Σημειώστε με n την κανονική της επιφάνειας στάθμης που είναι προσανατολισμένη στην κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης ti(M) και βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης u προς την κατεύθυνση αυτής της κανονικής (Εικ. 5). Έχουμε Αφού σύμφωνα με την συνθήκη του Σχ. 5 και επομένως ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βαθμιακό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος Κλίμακα πεδίου Βασικές ιδιότητες της κλίσης Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό της διαβάθμισης Ακολουθεί ότι η βαθμίδα και κατευθύνεται σε την ίδια κατεύθυνση με αυτήν που επιλέξαμε το κανονικό n, δηλαδή προς την κατεύθυνση της αύξουσας συνάρτησης u(M). Θεώρημα 3. Το μήκος της βαθμίδας είναι ίσο με τη μεγαλύτερη παράγωγο ως προς την κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου, (εδώ, το μέγιστο $ λαμβάνεται σε όλες τις πιθανές κατευθύνσεις σε ένα δεδομένο σημείο M προς το σημείο). Έχουμε πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων 1 και βαθμού n. Επειδή η μεγαλύτερη τιμή είναι το Παράδειγμα 1. Βρείτε την κατεύθυνση του μεγαλύτερου μονίου του βαθμωτού πεδίου στο σημείο και επίσης το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης αλλαγής στο καθορισμένο σημείο. Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο υποδεικνύεται από ένα διάνυσμα. Έχουμε έτσι Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης στο πεδίο σε ένα σημείο. Η τιμή της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο σε αυτό το σημείο είναι 2,2. Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες του υπό μελέτη αντικειμένου και δεν εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων ονομάζονται αμετάβλητα του δεδομένου αντικειμένου. Για παράδειγμα, το μήκος μιας καμπύλης είναι αμετάβλητο αυτής της καμπύλης, αλλά η γωνία της εφαπτομένης στην καμπύλη με τον άξονα x δεν είναι αμετάβλητη. Με βάση τις παραπάνω τρεις ιδιότητες της βαθμίδωσης πεδίου, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο αμετάβλητο ορισμό της κλίσης. Ορισμός. Η βαθμωτή κλίση πεδίου είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης πεδίου και έχει μήκος ίσο με τη μεγαλύτερη κατευθυντική παράγωγο (σε ένα δεδομένο σημείο). Έστω ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση του αυξανόμενου πεδίου. Στη συνέχεια, Παράδειγμα 2. Βρείτε την κλίση απόστασης - κάποιο σταθερό σημείο, και M(x,y,z) - την τρέχουσα. 4 Έχουμε πού είναι το διάνυσμα διεύθυνσης μονάδας. Κανόνες για τον υπολογισμό της κλίσης όπου c είναι σταθερός αριθμός. Οι παραπάνω τύποι λαμβάνονται απευθείας από τον ορισμό της βαθμίδας και τις ιδιότητες των παραγώγων. Με τον κανόνα της διαφοροποίησης του γινομένου Η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη της ιδιότητας Έστω F(u) μια διαφοροποιήσιμη βαθμωτή συνάρτηση. Τότε 4 Με τον ορισμό της διαβάθμισης, έχουμε Εφαρμογή σε όλους τους όρους στη δεξιά πλευρά τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης. Συγκεκριμένα, ο τύπος (6) ακολουθεί από το επίπεδο τύπου σε δύο σταθερά σημεία αυτού του επιπέδου. Θεωρήστε μια αυθαίρετη έλλειψη με εστίες Fj και F] και αποδείξτε ότι οποιαδήποτε φωτεινή ακτίνα που αναδύεται από τη μία εστία της έλλειψης, μετά από ανάκλαση από την έλλειψη, εισέρχεται στην άλλη εστία της. Οι γραμμές στάθμης της συνάρτησης (7) είναι ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κλιμακωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος Κλίμακα πεδίου Βασικές ιδιότητες της κλίσης Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Κανόνες υπολογισμού κλίσης Οι εξισώσεις (8) περιγράφουν μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες σε σημεία F) και Fj. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 2, έχουμε και διανύσματα ακτίνας. σύρεται στο σημείο P(x, y) από τις εστίες F| και Fj, και επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων ακτίνας (Εικ. 6). Σύμφωνα με το Tooromo 1, η κλίση PQ είναι κάθετη στην έλλειψη (8) στο σημείο. Επομένως, το Σχ.6. το κάθετο προς την έλλειψη (8) σε οποιοδήποτε σημείο διχοτομεί τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ακτίνας που σύρονται σε αυτό το σημείο. Από εδώ και από το γεγονός ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης, λαμβάνουμε: μια ακτίνα φωτός που βγαίνει από τη μια εστία της έλλειψης, που αντανακλάται από αυτήν, σίγουρα θα πέσει στην άλλη εστία αυτής της έλλειψης.
Αφήνω Ζ= φά(Μ) είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Μ(y; x);μεγάλο={ Cos; Cos} – μοναδιαίο διάνυσμα (στο Σχ. 33 1= , 2= ); μεγάλοείναι μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Μ; M1(x1; y1), όπου x1=x+x και y1=y+y- ένα σημείο σε μια γραμμή μεγάλο; μεγάλο- το μέγεθος του τμήματος ΜΜ1; Ζ= φά(x+x, y+y)-φά(Χ, Υ) – αύξηση συνάρτησης φά(Μ) στο σημείο M(x; y).
Ορισμός. Το όριο της σχέσης, αν υπάρχει, λέγεται Παράγωγη συνάρτηση Ζ = φά ( Μ ) στο σημείο Μ ( Χ ; Υ ) προς την κατεύθυνση του διανύσματος μεγάλο .
Ονομασία.
|
|
Εάν η συνάρτηση φά(Μ) διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο M(x; y), μετά στο σημείο M(x; y)υπάρχει παράγωγο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση μεγάλοπου προέρχονται από Μ; υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:
(8)
Οπου Cos Και Cos- συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος μεγάλο.
Παράδειγμα 46. Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης Ζ= Χ2 + Υ2 Χστο σημείο M(1; 2)προς την κατεύθυνση του διανύσματος ΜΜ1, όπου Μ1- σημείο με συντεταγμένες (3; 0).
. Ας βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα μεγάλο, έχοντας αυτή την κατεύθυνση:
Οπου Cos= ; Cos=- .
Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης στο σημείο M(1; 2):
Με τον τύπο (8) λαμβάνουμε 
Παράδειγμα 47. Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης U = xy2 Ζ3 στο σημείο M(3; 2; 1)Σε διανυσματική κατεύθυνση MN, όπου Ν(5; 4; 2) .
. Ας βρούμε το διάνυσμα και τα συνημίτονα κατεύθυνσής του:
Υπολογίστε τις τιμές των μερικών παραγώγων στο σημείο Μ:
Συνεπώς, 
Ορισμός. Βαθμίδα ΛειτουργίεςΖ= φά(Μ) στο σημείο M(x; y) είναι ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες είναι ίσες με τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους u που λαμβάνονται στο σημείο M(x; y).
Ονομασία. 
Παράδειγμα 48. Βρείτε τη διαβάθμιση μιας συνάρτησης Ζ= Χ2 +2 Υ2 -5 στο σημείο M(2; -1).
Λύση. Βρίσκουμε μερικές παραγώγους: 
και τις αξίες τους στο σημείο Μ(2; -1):
Παράδειγμα 49.
Να βρείτε το μέγεθος και την κατεύθυνση της διαβάθμισης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο 
Λύση.Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους και ας υπολογίσουμε τις τιμές τους στο σημείο Μ:
Συνεπώς,
Η κατευθυντική παράγωγος για μια συνάρτηση τριών μεταβλητών ορίζεται παρόμοια U= φά(Χ, Υ, Ζ) , προκύπτουν τύποι
Εισάγεται η έννοια της κλίσης 
Το τονίζουμε αυτό Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης κλίσης πιο σημαντικό για την ανάλυση της οικονομικής βελτιστοποίησης: προς την κατεύθυνση της κλίσης, η συνάρτηση αυξάνεται. Σε οικονομικά προβλήματα, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες της κλίσης:
1) Ας δοθεί μια συνάρτηση Ζ= φά(Χ, Υ) , το οποίο έχει μερικά παράγωγα στον τομέα του ορισμού. Σκεφτείτε κάποιο σημείο M0(x0, y0)από το πεδίο ορισμού. Έστω η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο φά(Χ0 , Υ0 ) . Εξετάστε το γράφημα της συνάρτησης. Μέσα από την τελεία (Χ0 , Υ0 , φά(Χ0 , Υ0 )) τρισδιάστατο χώρο, σχεδιάζουμε ένα επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Στη συνέχεια η διαβάθμιση της συνάρτησης υπολογίζεται στο σημείο (x0, y0), που θεωρείται γεωμετρικά ως διάνυσμα προσαρτημένο σε ένα σημείο (Χ0 , Υ0 , φά(Χ0 , Υ0 )) , θα είναι κάθετη στο επίπεδο της εφαπτομένης. Η γεωμετρική απεικόνιση φαίνεται στο σχ. 34.
2) Συνάρτηση κλίσης φά(Χ, Υ) στο σημείο M0(x0, y0)δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης της συνάρτησης στο σημείο М0. Επιπλέον, κάθε κατεύθυνση που κάνει οξεία γωνία με την κλίση είναι η κατεύθυνση ανάπτυξης της συνάρτησης στο σημείο М0. Με άλλα λόγια, μια μικρή κίνηση από ένα σημείο (x0, y0)προς την κατεύθυνση της κλίσης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο οδηγεί σε αύξηση της συνάρτησης, και στο μεγαλύτερο βαθμό.
Θεωρήστε ένα διάνυσμα αντίθετο προς τη διαβάθμιση. Ονομάζεται αντι-κλίση . Οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος είναι:
Λειτουργία anti-gradient φά(Χ, Υ) στο σημείο M0(x0, y0)δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης μείωσης της συνάρτησης στο σημείο М0. Οποιαδήποτε κατεύθυνση που σχηματίζει οξεία γωνία με την αντίστροφη κλίση είναι η κατεύθυνση στην οποία η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το σημείο.
3) Κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης, συχνά καθίσταται απαραίτητο να βρούμε τέτοια ζεύγη (x, y)από το εύρος της συνάρτησης, για την οποία η συνάρτηση παίρνει τις ίδιες τιμές. Εξετάστε το σύνολο των σημείων (Χ, Υ) εκτός λειτουργίας φά(Χ, Υ) , τέτοιο που φά(Χ, Υ)= Κωνστ, που είναι η είσοδος “ Κωνστ” σημαίνει ότι η τιμή της συνάρτησης είναι σταθερή και ίση με κάποιο αριθμό από το εύρος της συνάρτησης.
Ορισμός. Γραμμή επιπέδου λειτουργίας U = φά ( Χ , Υ ) κάλεσε τη γραμμήφά(Χ, Υ)=С στο αεροπλάνοXOy, στα σημεία των οποίων η συνάρτηση παραμένει σταθερήU= ντο.
Οι γραμμές επιπέδου απεικονίζονται γεωμετρικά στο επίπεδο μεταβολής των ανεξάρτητων μεταβλητών με τη μορφή καμπύλων γραμμών. Η απόκτηση γραμμών επιπέδου μπορεί να φανταστεί ως εξής. Σκεφτείτε το σετ ΑΠΟ, που αποτελείται από σημεία σε τρισδιάστατο χώρο με συντεταγμένες (Χ, Υ, φά(Χ, Υ)= Κωνστ), που αφενός ανήκουν στο γράφημα της συνάρτησης Ζ= φά(Χ, Υ), από την άλλη πλευρά, βρίσκονται σε ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο συντεταγμένων ΠΩΣ, και χωρίζεται από αυτό με μια τιμή ίση με μια δεδομένη σταθερά. Στη συνέχεια, για να κατασκευάσουμε μια γραμμή επιπέδου, αρκεί να τέμνουμε την επιφάνεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με ένα επίπεδο Ζ= Κωνστκαι προβάλετε τη γραμμή τομής σε ένα επίπεδο ΠΩΣ. Ο παραπάνω συλλογισμός είναι η αιτιολόγηση της δυνατότητας απευθείας κατασκευής γραμμών στάθμης σε ένα επίπεδο ΠΩΣ.
Ορισμός. Το σύνολο των γραμμών επιπέδου ονομάζεται Χάρτης γραμμής επιπέδου.
Γνωστά παραδείγματα γραμμών στάθμης είναι τα επίπεδα του ίδιου ύψους σε έναν τοπογραφικό χάρτη και οι γραμμές της ίδιας βαρομετρικής πίεσης σε έναν χάρτη καιρού.
Ορισμός.
Η κατεύθυνση κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης της συνάρτησης είναι μέγιστος ονομάζεται «προτιμώμενη» κατεύθυνση, ή Κατεύθυνση της ταχύτερης ανάπτυξης.
Η «προτιμώμενη» κατεύθυνση δίνεται από το διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης. Στο σχ. Το 35 δείχνει το μέγιστο, το ελάχιστο και το σημείο σέλας στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών απουσία περιορισμών. Το κάτω μέρος του σχήματος δείχνει τις γραμμές επιπέδου και τις κατευθύνσεις της ταχύτερης ανάπτυξης.
Παράδειγμα 50. Βρείτε γραμμές επιπέδου χαρακτηριστικών U= Χ2 + Υ2 .
Λύση.Η εξίσωση της οικογένειας των γραμμών επιπέδου έχει τη μορφή Χ2 + Υ2 = ντο (ντο>0) . Δίνοντας ΑΠΟδιαφορετικές πραγματικές τιμές, παίρνουμε ομόκεντρους κύκλους με κέντρο την αρχή.
Κατασκευή ισόπεδων γραμμών. Η ανάλυσή τους χρησιμοποιείται ευρέως σε οικονομικά προβλήματα σε μικρο- και μακροεπίπεδο, στη θεωρία της ισορροπίας και σε αποτελεσματικές λύσεις. Ισοκόστη, ισοδύναμα, καμπύλες αδιαφορίας - όλες αυτές είναι γραμμές επιπέδου που έχουν κατασκευαστεί για διαφορετικές οικονομικές λειτουργίες.
Παράδειγμα 51. Εξετάστε την ακόλουθη οικονομική κατάσταση. Ας περιγραφεί η παραγωγή των προϊόντων Λειτουργία Cobb-Douglas φά(Χ, Υ)=10x1/3y2/3, όπου Χ- ποσότητα εργασίας Στο- ποσό κεφαλαίου. Για την απόκτηση πόρων διατέθηκαν 30 USD. μονάδες, η τιμή της εργασίας είναι 5 c.u. μονάδες, κεφάλαιο - 10 c.u. μονάδες Ας αναρωτηθούμε: ποια είναι η μεγαλύτερη παραγωγή που μπορεί να επιτευχθεί υπό αυτές τις συνθήκες; Εδώ, οι «δεδομένες συνθήκες» αναφέρονται σε δεδομένες τεχνολογίες, τιμές πόρων και τον τύπο της συνάρτησης παραγωγής. Όπως ήδη σημειώθηκε, η συνάρτηση Κομπ-Ντάγκλαςαυξάνεται μονότονα σε κάθε μεταβλητή, δηλαδή, μια αύξηση σε κάθε τύπο πόρου οδηγεί σε αύξηση της παραγωγής. Υπό αυτές τις συνθήκες, είναι σαφές ότι είναι δυνατή η αύξηση της απόκτησης πόρων εφόσον υπάρχουν αρκετά χρήματα. Πακέτα πόρων που κοστίζουν 30 c.u. μονάδες, πληρούν την προϋπόθεση:
5x + 10y = 30,
Δηλαδή, ορίζουν τη γραμμή επιπέδου συνάρτησης:
σολ(Χ, Υ) = 5x + 10y.
Από την άλλη, με τη βοήθεια γραμμών επιπέδου Συναρτήσεις Cobb-Douglas (Εικ. 36) είναι δυνατό να εμφανιστεί η αύξηση της συνάρτησης: σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής επιπέδου, η κατεύθυνση της κλίσης είναι η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης και για να δημιουργηθεί μια κλίση σε ένα σημείο, αρκεί να σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραμμή επιπέδου σε αυτό το σημείο, σχεδιάστε μια κάθετη στην εφαπτομένη και υποδείξτε την κατεύθυνση της κλίσης. Από το σχ. 36 μπορεί να φανεί ότι η κίνηση της γραμμής στάθμης της συνάρτησης Cobb-Douglas κατά μήκος της κλίσης θα πρέπει να εκτελείται έως ότου γίνει εφαπτομένη στη γραμμή στάθμης 5x + 10y = 30. Έτσι, χρησιμοποιώντας τις έννοιες της γραμμής επιπέδου, της κλίσης, των ιδιοτήτων κλίσης, είναι δυνατό να αναπτυχθούν προσεγγίσεις για την καλύτερη χρήση των πόρων όσον αφορά την αύξηση του όγκου της παραγωγής.
Ορισμός. Λειτουργία επίπεδη επιφάνεια U = φά ( Χ , Υ , Ζ ) που ονομάζεται επιφάνειαφά(Χ, Υ, Ζ)=С, στα σημεία των οποίων η συνάρτηση παραμένει σταθερήU= ντο.
Παράδειγμα 52. Βρείτε επιφάνειες επιπέδου χαρακτηριστικών U= Χ2 + Ζ2 - Υ2 .
Λύση.Η εξίσωση της οικογένειας των επίπεδων επιφανειών έχει τη μορφή Χ2 + Ζ2 - Υ2 =Γ. Αν ένα C=0, τότε παίρνουμε Χ2 + Ζ2 - Υ2 =0 - κώνος αν ντο<0 , έπειτα Χ2 + Ζ2 - Υ2 = C -Μια οικογένεια υπερβολοειδών με δύο φύλλα.
Είναι γνωστό από ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών ότι ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Η αρχή και το τέλος του έχουν δύο συντεταγμένες. Οι συντεταγμένες του διανύσματος υπολογίζονται αφαιρώντας τις συντεταγμένες έναρξης από τις συντεταγμένες τέλους.
Η έννοια του διανύσματος μπορεί επίσης να επεκταθεί σε έναν ν-διάστατο χώρο (αντί για δύο συντεταγμένες θα υπάρχουν n συντεταγμένες).
ΒαθμίδαΗ συνάρτηση gradz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) είναι το διάνυσμα των μερικών παραγώγων της συνάρτησης σε ένα σημείο, δηλ. διάνυσμα με συντεταγμένες.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η κλίση μιας συνάρτησης χαρακτηρίζει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης του επιπέδου της συνάρτησης σε ένα σημείο.
Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση z \u003d 2x 1 + x 2 (βλ. Εικόνα 5.8), η κλίση σε οποιοδήποτε σημείο θα έχει συντεταγμένες (2; 1). Μπορεί να κατασκευαστεί σε ένα επίπεδο με διάφορους τρόπους, λαμβάνοντας οποιοδήποτε σημείο ως αρχή του διανύσματος. Για παράδειγμα, μπορείτε να συνδέσετε το σημείο (0; 0) στο σημείο (2; 1) ή το σημείο (1; 0) στο σημείο (3; 1) ή το σημείο (0; 3) στο σημείο (2; 4), ή τ .Π. (βλ. εικόνα 5.8). Όλα τα διανύσματα που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο θα έχουν συντεταγμένες (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
Το σχήμα 5.8 δείχνει ξεκάθαρα ότι το επίπεδο της συνάρτησης αυξάνεται προς την κατεύθυνση της κλίσης, αφού οι κατασκευασμένες γραμμές επιπέδου αντιστοιχούν στις τιμές επιπέδου 4 > 3 > 2.
Εικόνα 5.8 - Διαβάθμιση της συνάρτησης z \u003d 2x 1 + x 2
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα - τη συνάρτηση z= 1/(x 1 x 2). Η κλίση αυτής της συνάρτησης δεν θα είναι πλέον η ίδια σε διαφορετικά σημεία, αφού οι συντεταγμένες της καθορίζονται από τους τύπους (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Το σχήμα 5.9 δείχνει τις γραμμές επιπέδου της συνάρτησης z= 1/(x 1 x 2) για τα επίπεδα 2 και 10 (η γραμμή 1/(x 1 x 2) = 2 υποδεικνύεται με μια διακεκομμένη γραμμή και η γραμμή 1/( x 1 x 2) = 10 είναι συμπαγής γραμμή).
Εικόνα 5.9 - Διαβαθμίσεις της συνάρτησης z \u003d 1 / (x 1 x 2) σε διάφορα σημεία
Πάρτε, για παράδειγμα, το σημείο (0,5; 1) και υπολογίστε τη διαβάθμιση σε αυτό το σημείο: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Σημειώστε ότι το σημείο (0,5; 1) βρίσκεται στη γραμμή επιπέδου 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, επειδή z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Προς σχεδιάστε το διάνυσμα (-4; -2) στο σχήμα 5.9, συνδέστε το σημείο (0.5; 1) με το σημείο (-3.5; -1), επειδή (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο στην ίδια ευθεία επιπέδου, για παράδειγμα, σημείο (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Υπολογίστε τη διαβάθμιση σε αυτό το σημείο (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Για να το απεικονίσουμε στο σχήμα 5.9, συνδέουμε το σημείο (1; 0.5) με το σημείο (-1; -3.5), επειδή (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - τέσσερα).
Ας πάρουμε έναν ακόμη πόντο στην ίδια γραμμή επιπέδου, αλλά μόνο τώρα σε ένα τέταρτο μη θετικών συντεταγμένων. Για παράδειγμα, σημείο (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Η κλίση σε αυτό το σημείο θα είναι (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Ας το απεικονίσουμε στο Σχήμα 5.9 συνδέοντας το σημείο (-0.5; -1) με το σημείο (3.5; 1), επειδή (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Πρέπει να σημειωθεί ότι και στις τρεις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, η διαβάθμιση δείχνει την κατεύθυνση ανάπτυξης του επιπέδου της συνάρτησης (προς τη γραμμή επιπέδου 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η κλίση είναι πάντα κάθετη στη γραμμή στάθμης (επίπεδη επιφάνεια) που διέρχεται από το δεδομένο σημείο.
Ακραία συνάρτησης πολλών μεταβλητών
Ας ορίσουμε την έννοια ακραίογια μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών.
Η συνάρτηση πολλών μεταβλητών f(X) έχει στο σημείο X (0) μέγιστο (ελάχιστο),αν υπάρχει τέτοια γειτονιά αυτού του σημείου ώστε για όλα τα σημεία Χ από αυτή τη γειτονιά να ισχύουν οι ανισώσεις f(X)f(X (0)) ().
Εάν αυτές οι ανισότητες ικανοποιηθούν ως αυστηρές, τότε ονομάζεται ακρότατο ισχυρός, και αν όχι, τότε αδύναμος.
Σημειώστε ότι το άκρο που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι τοπικόςχαρακτήρα, αφού αυτές οι ανισότητες ισχύουν μόνο για κάποια γειτονιά του ακραίου σημείου.
Μια απαραίτητη προϋπόθεση για ένα τοπικό άκρο μιας διαφορίσιμης συνάρτησης z=f(x 1, . . ., x n) σε ένα σημείο είναι η ισότητα προς το μηδέν όλων των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης σε αυτό το σημείο: 
.
Τα σημεία στα οποία ισχύουν αυτές οι ισότητες καλούνται ακίνητος.
Με έναν άλλο τρόπο, η απαραίτητη συνθήκη για ένα άκρο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: στο ακραίο σημείο, η κλίση είναι ίση με μηδέν. Είναι επίσης δυνατό να αποδειχθεί μια γενικότερη δήλωση - στο ακραίο σημείο, οι παράγωγοι της συνάρτησης εξαφανίζονται προς όλες τις κατευθύνσεις.
Τα σταθερά σημεία θα πρέπει να υποβληθούν σε πρόσθετες μελέτες - εάν πληρούνται επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη τοπικού άκρου. Για να το κάνετε αυτό, καθορίστε το πρόσημο του διαφορικού δεύτερης τάξης. Αν για οποιαδήποτε που δεν είναι ταυτόχρονα ίση με μηδέν, είναι πάντα αρνητική (θετική), τότε η συνάρτηση έχει μέγιστο (ελάχιστο). Εάν μπορεί να εξαφανιστεί όχι μόνο με μηδενικές προσαυξήσεις, τότε το ζήτημα του άκρου παραμένει ανοιχτό. Εάν μπορεί να λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές, τότε δεν υπάρχει ακρότατο στο ακίνητο σημείο.
Στη γενική περίπτωση, ο προσδιορισμός του πρόσημου του διαφορικού είναι ένα αρκετά περίπλοκο πρόβλημα, το οποίο δεν θα εξετάσουμε εδώ. Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι αν βρίσκεται σε ακίνητο σημείο 
, τότε υπάρχει μια ακρότητα. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόσημο του δεύτερου διαφορικού συμπίπτει με το πρόσημο 
, δηλ. αν 
, τότε αυτό είναι το μέγιστο, και αν 
, τότε αυτό είναι το ελάχιστο. Αν ένα 
, τότε δεν υπάρχει ακρότατο σε αυτό το σημείο, και αν 
, τότε το ζήτημα του εξτρέμ παραμένει ανοιχτό.
Παράδειγμα 1. Βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης 
.
Ας βρούμε μερικές παραγώγους με τη μέθοδο της λογαριθμικής διαφοροποίησης.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Ομοίως 
.
Ας βρούμε στάσιμα σημεία από το σύστημα των εξισώσεων:
Έτσι, βρίσκονται τέσσερα ακίνητα σημεία (1; 1), (1; -1), (-1; 1) και (-1; -1).
Ας βρούμε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Ομοίως 
;
.
Επειδή 
, σημάδι έκφρασης 
εξαρτάται μόνο από 
. Σημειώστε ότι και στις δύο αυτές παραγώγους ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, επομένως μπορείτε να λάβετε υπόψη μόνο το πρόσημο του αριθμητή ή ακόμα και το πρόσημο των παραστάσεων x (x 2 - 3) και y (y 2 - 3). Ας το προσδιορίσουμε σε κάθε κρίσιμο σημείο και ας ελέγξουμε την εκπλήρωση της επαρκούς ακραίας συνθήκης.
Για το σημείο (1; 1) παίρνουμε 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, και 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Για το σημείο (1; -1) παίρνουμε 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Επειδή το γινόμενο αυτών των αριθμών 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Για το σημείο (-1; -1) παίρνουμε (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. γινόμενο δύο θετικών αριθμών 
> 0, και 
> 0, στο σημείο (-1; -1) μπορείτε να βρείτε ένα ελάχιστο. Είναι ίσο με 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Εύρημα παγκόσμιατο μέγιστο ή το ελάχιστο (η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή της συνάρτησης) είναι κάπως πιο περίπλοκο από το τοπικό άκρο, καθώς αυτές οι τιμές μπορούν να επιτευχθούν όχι μόνο σε σταθερά σημεία, αλλά και στο όριο του τομέα ορισμού. Δεν είναι πάντα εύκολο να μελετήσουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης στο όριο αυτής της περιοχής.
