Μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων (μέθοδος Lagrange και προσέγγιση γραφήματος Bond). Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange

μέθοδος πολλαπλασιαστήLagrange(στην αγγλική βιβλιογραφία, η μέθοδος απροσδιόριστων πολλαπλασιαστών "LaGrange") ˗ αυτή είναι μια αριθμητική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε το "υπό όρους" άκρο της αντικειμενικής συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη τιμή)

παρουσία δεδομένων περιορισμών στις μεταβλητές του με τη μορφή ισοτήτων (δηλαδή, ορίζεται το εύρος των αποδεκτών τιμών)

˗ αυτές είναι οι τιμές του ορίσματος συνάρτησης (ελεγχόμενες παράμετροι) στην πραγματική περιοχή στην οποία η τιμή της συνάρτησης τείνει σε ένα άκρο. Η χρήση του ονόματος "υπό όρους" ακραίο οφείλεται στο γεγονός ότι επιβάλλεται πρόσθετος όρος στις μεταβλητές, ο οποίος περιορίζει την περιοχή των αποδεκτών τιμών κατά την αναζήτηση του άκρου της συνάρτησης.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange επιτρέπει τη μετατροπή του προβλήματος της εύρεσης ενός ακραίου άκρου της αντικειμενικής συνάρτησης στο σύνολο των αποδεκτών τιμών στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης άνευ όρων συνάρτησης.

Εάν οι λειτουργίες και είναι συνεχείς μαζί με τις μερικές παραγώγους τους, τότε υπάρχουν μεταβλητές λ που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, υπό τις οποίες ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:

Έτσι, σύμφωνα με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange για την αναζήτηση του άκρου της αντικειμενικής συνάρτησης στο σύνολο των αποδεκτών τιμών, συνθέτω τη συνάρτηση Lagrange L(x, λ), η οποία βελτιστοποιείται περαιτέρω:

όπου λ ˗ είναι ένα διάνυσμα πρόσθετων μεταβλητών που ονομάζονται αόριστοι πολλαπλασιαστές Lagrange.

Έτσι, το πρόβλημα της εύρεσης του εξαρτημένου άκρου της συνάρτησης f(x) έχει περιοριστεί στο πρόβλημα της εύρεσης του ακρότατου άνευ όρων της συνάρτησης L(x, λ).

και

Η απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο της συνάρτησης Lagrange δίνεται από ένα σύστημα εξισώσεων (το σύστημα αποτελείται από εξισώσεις "n + m"):

Η λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό των ορισμάτων της συνάρτησης (X), στα οποία αντιστοιχεί η τιμή της συνάρτησης L(x, λ), καθώς και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης f(x). το ακραίο.

Η τιμή των πολλαπλασιαστών Lagrange (λ) έχει πρακτικό ενδιαφέρον εάν οι περιορισμοί παρουσιάζονται στη μορφή με ελεύθερο όρο της εξίσωσης (σταθερά). Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να εξετάσουμε περαιτέρω (αύξηση/μείωση) την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζοντας την τιμή της σταθεράς στο σύστημα εξισώσεων. Έτσι, ο πολλαπλασιαστής Lagrange χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής στο μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης με μια αλλαγή στην οριακή σταθερά.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τον προσδιορισμό της φύσης του άκρου της συνάρτησης που προκύπτει:

Ο πρώτος τρόπος: Έστω - οι συντεταγμένες του ακραίου σημείου και - η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Λαμβάνεται ένα σημείο που είναι κοντά στο σημείο και υπολογίζεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης:

Αν ένα , τότε υπάρχει ένα μέγιστο στο σημείο.

Αν ένα , τότε υπάρχει ένα ελάχιστο στο σημείο.

Ο δεύτερος τρόπος: Μια επαρκής συνθήκη από την οποία μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη φύση του άκρου είναι το πρόσημο του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange. Το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης Lagrange ορίζεται ως εξής:

Αν σε ένα δεδομένο σημείο ελάχιστο, αν , τότε η αντικειμενική συνάρτηση f(x) έχει υπό όρους το μέγιστο.

Ο τρίτος τρόπος: Επίσης, η φύση του άκρου της συνάρτησης μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη την Έσσια της συνάρτησης Lagrange. Ο πίνακας Hessian είναι ένας συμμετρικός τετράγωνος πίνακας των δεύτερων μερικών παραγώγων της συνάρτησης στο σημείο όπου τα στοιχεία του πίνακα είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο.

Για να προσδιορίσετε τον τύπο του ακραίου (μέγιστο ή ελάχιστο μιας συνάρτησης), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα Sylvester:

1. Για να είναι θετικό πρόσημο το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης Lagrange είναι απαραίτητο τα γωνιακά ελάσσονα της συνάρτησης να είναι θετικά. Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο σε αυτό το σημείο.

2. Για να είναι το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης Lagrange αρνητικό πρόσημο , είναι απαραίτητο τα γωνιακά ελάσσονα της συνάρτησης να εναλλάσσονται και το πρώτο στοιχείο του πίνακα πρέπει να είναι αρνητικό sv . Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο σε αυτό το σημείο.

Ένα γωνιακό δευτερεύον είναι ένα δευτερεύον που βρίσκεται στις πρώτες k σειρές και k στήλες του αρχικού πίνακα.

Η κύρια πρακτική σημασία της μεθόδου Lagrange είναι ότι σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από τη βελτιστοποίηση υπό όρους στην άνευ όρων και, κατά συνέπεια, να επεκτείνετε το οπλοστάσιο των διαθέσιμων μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος. Ωστόσο, το πρόβλημα της επίλυσης του συστήματος εξισώσεων, στο οποίο ανάγεται αυτή η μέθοδος, στη γενική περίπτωση δεν είναι απλούστερο από το αρχικό πρόβλημα της εύρεσης ενός άκρου. Τέτοιες μέθοδοι ονομάζονται έμμεσες. Η χρήση τους εξηγείται από την ανάγκη να βρεθεί μια λύση σε ένα ακραίο πρόβλημα σε αναλυτική μορφή (για παράδειγμα, για ορισμένους θεωρητικούς υπολογισμούς). Κατά την επίλυση συγκεκριμένων πρακτικών προβλημάτων, χρησιμοποιούνται συνήθως άμεσες μέθοδοι, βασισμένες σε επαναληπτικές διαδικασίες υπολογισμού και σύγκρισης των τιμών των συναρτήσεων που βελτιστοποιούνται.

Τρόπος υπολογισμού

1 βήμα: Καθορίζουμε τη συνάρτηση Lagrange από τη δεδομένη αντικειμενική συνάρτηση και το σύστημα των περιορισμών:

Προς τα εμπρός

Για να προσθέσετε το σχόλιό σας στο άρθρο, εγγραφείτε στον ιστότοπο.

Όνομα παραμέτρου	Εννοια
Θέμα άρθρου:	Μέθοδος Lagrange.
Ρουμπρίκα (θεματική κατηγορία)	Μαθηματικά

Για να βρείτε ένα πολυώνυμο σημαίνει να προσδιορίσετε τις τιμές του συντελεστή του . Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τη συνθήκη παρεμβολής, μπορείτε να σχηματίσετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE).

Η ορίζουσα αυτού του SLAE συνήθως ονομάζεται ορίζουσα Vandermonde. Η ορίζουσα Vandermonde δεν είναι ίση με μηδέν όταν για , δηλαδή στην περίπτωση που δεν υπάρχουν κόμβοι που να ταιριάζουν στον πίνακα αναζήτησης. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το SLAE έχει μια λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Επίλυση του SLAE και προσδιορισμός των άγνωστων συντελεστών μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα πολυώνυμο παρεμβολής.

Ένα πολυώνυμο που ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, όταν παρεμβάλλεται με τη μέθοδο Lagrange, κατασκευάζεται ως γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων n ου βαθμού:

Τα πολυώνυμα ονομάζονται βασικόςπολυώνυμα. Προς την Πολυώνυμο Lagrangeικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, είναι εξαιρετικά σημαντικό να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες για τα βασικά του πολυώνυμα:

Για .

Εάν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, τότε για οποιαδήποτε έχουμε:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, η εκπλήρωση των δεδομένων συνθηκών για τα βασικά πολυώνυμα σημαίνει ότι ικανοποιούνται και οι συνθήκες παρεμβολής.

Ας προσδιορίσουμε τη μορφή των βασικών πολυωνύμων με βάση τους περιορισμούς που τους επιβάλλονται.

1η προϋπόθεση:στο .

2η προϋπόθεση: .

Τέλος, για το βασικό πολυώνυμο, μπορούμε να γράψουμε:

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα έκφραση για τα βασικά πολυώνυμα στο αρχικό πολυώνυμο, λαμβάνουμε την τελική μορφή του πολυωνύμου Lagrange:

Μια συγκεκριμένη μορφή του πολυωνύμου Lagrange at ονομάζεται συνήθως τύπος γραμμικής παρεμβολής:

.

Το πολυώνυμο Lagrange που λαμβάνεται συνήθως ονομάζεται τύπος τετραγωνικής παρεμβολής:

Μέθοδος Lagrange. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Μέθοδος Lagrange." 2017, 2018.

- Μέθοδος Lagrange (μέθοδος μεταβολής αυθαίρετης σταθεράς).

Γραμμικά τηλεχειριστήρια. Ορισμός. έλεγχος τύπου δηλ. γραμμική ως προς την άγνωστη συνάρτηση και η παράγωγός της ονομάζεται γραμμική. Για μια λύση αυτού του τύπου, η ur-th εξετάστε δύο μεθόδους: τη μέθοδο Lagrange και τη μέθοδο Bernoulli. Ας εξετάσουμε μια ομοιογενή DE.

- Γραμμικό τηλεχειριστήριο, ομοιογενές και ετερογενές. Η έννοια της γενικής λύσης. Η μέθοδος του Lagrange για τη μεταβολή των γινομένων σταθερών.

Ορισμός. Το DU ονομάζεται ομοιογενές εάν το f-i μπορεί να αναπαρασταθεί ως f-i σε σχέση με τα ορίσματά τους Παράδειγμα. Η F-th ονομάζεται ομοιογενής f-th μέτρηση εάν Παραδείγματα: 1) - 1η τάξη ομοιογένειας. 2) - 2η τάξη ομοιογένειας. 3) - μηδενική τάξη ομοιογένειας (απλώς ομοιογενής... .

- Διάλεξη 8. Εφαρμογή μερικών παραγώγων: εργασίες για ακραία. Μέθοδος Lagrange.

Τα ακραία καθήκοντα έχουν μεγάλη σημασία στους οικονομικούς υπολογισμούς. Αυτός είναι ο υπολογισμός, για παράδειγμα, του μέγιστου εισοδήματος, του κέρδους, του ελάχιστου κόστους, ανάλογα με διάφορες μεταβλητές: πόρους, περιουσιακά στοιχεία παραγωγής κ.λπ. Η θεωρία της εύρεσης ακραίων συναρτήσεων... .

- Τ.2.3. ΔΕ ανώτερων τάξεων. Εξίσωση σε ολικά διαφορικά. Τ.2.4. Γραμμική ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος Lagrange.

3. 2. 1. DE με διαχωρίσιμες μεταβλητές S.R. 3. Στις φυσικές επιστήμες, την τεχνολογία και τα οικονομικά, συχνά πρέπει να ασχοληθεί κανείς με εμπειρικούς τύπους, δηλ. τύπους που καταρτίζονται με βάση την επεξεργασία στατιστικών δεδομένων ή ...

Η μέθοδος για τον προσδιορισμό του ακραίου υπό όρους ξεκινά με την κατασκευή μιας βοηθητικής συνάρτησης Lagrange, η οποία, στην περιοχή των εφικτών λύσεων, φτάνει στο μέγιστο για τις ίδιες τιμές μεταβλητών Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , που είναι η αντικειμενική συνάρτηση z . Έστω το πρόβλημα του προσδιορισμού του ακραίου υπό όρους της συνάρτησης z=f(X) υπό περιορισμούς φ Εγώ ( Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) = 0, Εγώ = 1, 2, ..., Μ , Μ < n

Συνθέστε μια συνάρτηση

το οποιο ονομαζεται Λειτουργία Lagrange. Χ , - σταθεροί παράγοντες ( Πολλαπλασιαστές Lagrange). Σημειώστε ότι στους πολλαπλασιαστές Lagrange μπορεί να δοθεί οικονομική σημασία. Αν ένα f(x 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) - εισόδημα σύμφωνα με το σχέδιο X = (x 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) και τη συνάρτηση φ Εγώ (Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n ) είναι τα κόστη του i-ου πόρου που αντιστοιχεί σε αυτό το σχέδιο, λοιπόν Χ , - τιμή (εκτίμηση) του i-ου πόρου, που χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ακραίας τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης ανάλογα με τη μεταβολή του μεγέθους του i-ου πόρου (οριακή εκτίμηση). L(X) - λειτουργία n+m μεταβλητές (Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Ο προσδιορισμός των ακίνητων σημείων αυτής της συνάρτησης οδηγεί στη λύση του συστήματος των εξισώσεων

Είναι εύκολο να το δεις αυτό . Έτσι, το πρόβλημα της εύρεσης του ακραίου υπό όρους της συνάρτησης z=f(X) ανάγεται στην εύρεση του τοπικού άκρου της συνάρτησης L(X) . Εάν βρεθεί το ακίνητο σημείο, τότε το ζήτημα της ύπαρξης άκρου στις απλούστερες περιπτώσεις λύνεται με βάση επαρκείς συνθήκες για το άκρο - τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού ρε 2 L(X) σε ακίνητο σημείο, με την προϋπόθεση ότι η μεταβλητή αυξάνεται Δx Εγώ - σχετίζονται με σχέσεις

που προκύπτει διαφοροποιώντας τις εξισώσεις περιορισμών.

Επίλυση συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυση

Σύνθεση Εύρεση Λύσηςσας επιτρέπει να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

όπου
- μη γραμμική συνάρτηση μεταβλητών Χ και y ,
είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Είναι γνωστό ότι το ζευγάρι Χ , y ) είναι μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων (10) εάν και μόνο εάν είναι μια λύση στην ακόλουθη εξίσωση σε δύο άγνωστα:

ΑΠΟΑπό την άλλη πλευρά, η λύση του συστήματος (10) είναι τα σημεία τομής δύο καμπυλών: φά ] (Χ, y) = ντο και φά 2 (x, y) = C 2 στην επιφάνεια XOΥ.

Από αυτό ακολουθεί μια μέθοδος για την εύρεση των ριζών του συστήματος. μη γραμμικές εξισώσεις:

Προσδιορίστε (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) το διάστημα ύπαρξης μιας λύσης στο σύστημα των εξισώσεων (10) ή της εξίσωσης (11). Εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο τύπος των εξισώσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα, το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις εξισώσεις τους κ.λπ. Μερικές φορές χρησιμοποιείται η επιλογή της αρχικής προσέγγισης της λύσης.

Καταγράψτε τη λύση της εξίσωσης (11) για τις μεταβλητές x και y στο επιλεγμένο διάστημα ή δημιουργήστε γραφήματα συναρτήσεων φά 1 (Χ, y) = C, και φά 2 (x, y) = C 2 (σύστημα(10)).

Εντοπίστε τις υποτιθέμενες ρίζες του συστήματος εξισώσεων - βρείτε πολλές ελάχιστες τιμές από τον πίνακα πίνακα των ριζών της εξίσωσης (11) ή προσδιορίστε τα σημεία τομής των καμπυλών που περιλαμβάνονται στο σύστημα (10).

4. Βρείτε τις ρίζες για το σύστημα των εξισώσεων (10) χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Αναζήτηση λύσης.

Σύντομη θεωρία

Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού (κυρίως κυρτών). Δυστυχώς, στην πρακτική εφαρμογή της μεθόδου, ενδέχεται να παρουσιαστούν σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες, περιορίζοντας την περιοχή χρήσης της. Θεωρούμε εδώ τη μέθοδο Lagrange κυρίως επειδή είναι μια συσκευή που χρησιμοποιείται ενεργά για να δικαιολογήσει διάφορες σύγχρονες αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Όσον αφορά τη συνάρτηση Lagrange και τους πολλαπλασιαστές Lagrange, παίζουν έναν ανεξάρτητο και εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη θεωρία και τις εφαρμογές όχι μόνο του μαθηματικού προγραμματισμού.

Εξετάστε ένα κλασικό πρόβλημα βελτιστοποίησης:

Μεταξύ των περιορισμών αυτού του προβλήματος δεν υπάρχουν ανισότητες, δεν υπάρχουν προϋποθέσεις για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών, τη διακριτικότητα τους και τις συναρτήσεις και είναι συνεχείς και έχουν μερικές παραγώγους τουλάχιστον δεύτερης τάξης.

Η κλασική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος δίνει ένα σύστημα εξισώσεων (απαραίτητες προϋποθέσεις) που πρέπει να ικανοποιούνται από το σημείο που παρέχει στη συνάρτηση ένα τοπικό άκρο στο σύνολο των σημείων που ικανοποιούν τους περιορισμούς (για ένα κυρτό πρόβλημα προγραμματισμού, το σημείο που βρέθηκε θα είναι ταυτόχρονα το παγκόσμιο ακραίο σημείο).

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση (1) έχει ένα τοπικό ακρότατο υπό όρους στο σημείο και η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με . Τότε οι απαραίτητες προϋποθέσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

είναι η συνάρτηση Lagrange. είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange.

Υπάρχουν επίσης επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες η λύση του συστήματος των εξισώσεων (3) καθορίζει το ακραίο σημείο της συνάρτησης . Αυτή η ερώτηση λύνεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange. Ωστόσο, οι επαρκείς προϋποθέσεις έχουν κυρίως θεωρητικό ενδιαφέρον.

Μπορείτε να καθορίσετε την ακόλουθη διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος (1), (2) με τη μέθοδο πολλαπλασιαστή Lagrange:

1) συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange (4).

2) βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange σε σχέση με όλες τις μεταβλητές και εξισώστε τις

μηδέν. Έτσι, θα προκύψει ένα σύστημα (3) που αποτελείται από εξισώσεις Λύστε το σύστημα που προκύπτει (αν αποδειχθεί ότι είναι δυνατό!) και έτσι βρείτε όλα τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange.

3) από σταθερά σημεία που λαμβάνονται χωρίς συντεταγμένες, επιλέξτε σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει υπό όρους τοπικά άκρα παρουσία περιορισμών (2). Αυτή η επιλογή γίνεται, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για ένα τοπικό εξτρέμ. Συχνά η μελέτη απλοποιείται εάν χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το έργο

Η επιχείρηση παράγει δύο είδη αγαθών σε ποσότητες και . Η συνάρτηση χρήσιμου κόστους ορίζεται από τη σχέση . Οι τιμές των αγαθών αυτών στην αγορά είναι ίσες και αντίστοιχα.

Προσδιορίστε σε ποιους όγκους παραγωγής επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος και με τι είναι ίσο εάν το συνολικό κόστος δεν υπερβαίνει

Δυσκολεύεστε να κατανοήσετε τη διαδικασία λύσης; Ο ιστότοπος διαθέτει μια υπηρεσία Επίλυση προβλημάτων με μεθόδους βέλτιστων λύσεων κατά παραγγελία

Η λύση του προβλήματος

Οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος

Λειτουργία κέρδους:

Όρια κόστους:

Παίρνουμε το ακόλουθο οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο:

Επιπλέον, σύμφωνα με το νόημα της εργασίας

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange:

Βρίσκουμε μερικές παραγώγους 1ης τάξης:

Συνθέτουμε και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Από τότε

Μέγιστο κέρδος:

Απάντηση

Επομένως, είναι απαραίτητο να παραχθούν μονάδες. εμπορεύματα 1ου τύπου και μονάδες. εμπορεύματα 2ου τύπου. Σε αυτή την περίπτωση, το κέρδος θα είναι μέγιστο και θα είναι 270.
Δίνεται ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος του τετραγωνικού κυρτού προγραμματισμού με γραφική μέθοδο.

Επίλυση γραμμικού προβλήματος με γραφική μέθοδο
Εξετάζεται μια γραφική μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (LPP) με δύο μεταβλητές. Στο παράδειγμα του προβλήματος, δίνεται μια λεπτομερής περιγραφή της κατασκευής ενός σχεδίου και της εύρεσης λύσης.

Μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων Wilson
Στο παράδειγμα της επίλυσης του προβλήματος, εξετάζεται το κύριο μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων (μοντέλο Wilson). Υπολογίζονται δείκτες του μοντέλου όπως το βέλτιστο μέγεθος της παρτίδας παραγγελίας, το ετήσιο κόστος αποθήκευσης, το διάστημα μεταξύ των παραδόσεων και το σημείο της παραγγελίας.

Πίνακας αναλογίας άμεσου κόστους και πίνακας εισροών-εκροών
Στο παράδειγμα της επίλυσης του προβλήματος, εξετάζεται το διατομεακό μοντέλο Leontiev. Εμφανίζεται ο υπολογισμός του πίνακα συντελεστών άμεσου κόστους υλικών, του πίνακα «εισροών-εκροών», του πίνακα συντελεστών έμμεσου κόστους, των διανυσμάτων τελικής κατανάλωσης και ακαθάριστης παραγωγής.

Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:
(1) .
Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:

• μέθοδος σταθερής μεταβολής (Lagrange).

Θεωρήστε τη λύση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange.

Μέθοδος σταθερής μεταβολής (Lagrange)

Στη μέθοδο σταθερής μεταβολής, λύνουμε την εξίσωση σε δύο βήματα. Στο πρώτο στάδιο, απλοποιούμε την αρχική εξίσωση και λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση. Στο δεύτερο στάδιο, θα αντικαταστήσουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης που προκύπτει στο πρώτο στάδιο της λύσης με μια συνάρτηση. Στη συνέχεια αναζητούμε τη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης.

Θεωρήστε την εξίσωση:
(1)

Βήμα 1 Λύση της ομογενούς εξίσωσης

Αναζητούμε λύση στην ομοιογενή εξίσωση:

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση

Διαχωρίστε τις μεταβλητές - πολλαπλασιάστε με dx, διαιρέστε με y:

Ενσωματώνουμε:

Ολοκληρωμένο πάνω από y - πίνακας:

Επειτα

Ενισχύστε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε το πρόσημο του συντελεστή, το οποίο μειώνεται σε πολλαπλασιασμό με τη σταθερά ±1, που συμπεριλαμβάνουμε στο C:

Βήμα 2 Αντικαταστήστε τη σταθερά C με τη συνάρτηση

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση x:
c → u (Χ)
Δηλαδή, θα αναζητήσουμε λύση στην αρχική εξίσωση (1) όπως και:
(2)
Βρίσκουμε την παράγωγο.

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

.
Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση (1) :
(1) ;

.
Δύο όροι μειώνονται:
;
.
Ενσωματώνουμε:
.
Αντικατάσταση σε (2) :
.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τη γενική λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης:
.

Παράδειγμα επίλυσης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με τη μέθοδο Lagrange

λύσει την εξίσωση

Λύση

Λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση:

Διαχωρισμός μεταβλητών:

Ας πολλαπλασιάσουμε με:

Ενσωματώνουμε:

Ολοκληρώματα πίνακα:

Ενισχύστε:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά e C με C και ας αφαιρέσουμε τα πρόσημα του συντελεστή:

Από εδώ:

Ας αντικαταστήσουμε τη σταθερά C με μια συνάρτηση x:
c → u (Χ)

Βρίσκουμε την παράγωγο:
.
Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση:
;
;
Ή:
;
.
Ενσωματώνουμε:
;
Λύση εξίσωσης:
.