Ας οικοδομήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης στο MS EXCEL για την εκτίμηση της μέσης τιμής της κατανομής στην περίπτωση μιας γνωστής τιμής της διακύμανσης.

Φυσικά η επιλογή επίπεδο εμπιστοσύνηςεξαρτάται πλήρως από την εργασία που έχετε. Έτσι, ο βαθμός εμπιστοσύνης του επιβάτη αεροπλάνου στην αξιοπιστία του αεροσκάφους, φυσικά, θα πρέπει να είναι υψηλότερος από τον βαθμό εμπιστοσύνης του αγοραστή στην αξιοπιστία του λαμπτήρα.

Διατύπωση Εργασίας

Ας υποθέσουμε ότι από πληθυσμόςέχοντας πάρει δείγμαμέγεθος n. Θεωρείται ότι τυπική απόκλισηΑυτή η κατανομή είναι γνωστή. Απαραίτητο με βάση αυτό δείγματααξιολογήσει το άγνωστο μέση κατανομή(μ, ) και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διμερής διάστημα εμπιστοσύνης.

Εκτίμηση σημείων

Όπως είναι γνωστό από στατιστική(ας το πούμε X βλ) είναι αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου όρουΑυτό πληθυσμόςκαι έχει την κατανομή N(μ;σ 2 /n).

Σημείωση: Τι γίνεται αν χρειαστεί να χτίσετε διάστημα εμπιστοσύνηςστην περίπτωση της διανομής, η οποία δεν είναι κανονικός?Σε αυτή την περίπτωση, έρχεται στη διάσωση, η οποία λέει ότι με ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματα n από τη διανομή μη- κανονικός, δειγματοληπτική κατανομή στατιστικών Χ avθα είναι κατά προσέγγισηανταποκρίνομαι κανονική κατανομήμε παραμέτρους N(μ;σ 2 /n).

Ετσι, βαθμολογική εκτίμηση Μέσης τιμές διανομήςέχουμε είναι δείγμα μέσου όρου, δηλ. X βλ. Τώρα ας ασχοληθούμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Χτίζοντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης

Συνήθως, γνωρίζοντας την κατανομή και τις παραμέτρους της, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή από ένα δεδομένο διάστημα. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο: βρείτε το διάστημα στο οποίο η τυχαία μεταβλητή πέφτει με δεδομένη πιθανότητα. Για παράδειγμα, από ακίνητα κανονική κατανομήΕίναι γνωστό ότι με πιθανότητα 95%, κατανέμεται μια τυχαία μεταβλητή κανονικός νόμος, θα εμπίπτει στο διάστημα περίπου +/- 2 από μέση τιμή(δείτε άρθρο σχετικά). Αυτό το διάστημα θα χρησιμεύσει ως πρωτότυπο για διάστημα εμπιστοσύνης.

Τώρα ας δούμε αν γνωρίζουμε την κατανομή , να υπολογίσει αυτό το διάστημα; Για να απαντήσουμε στην ερώτηση, πρέπει να προσδιορίσουμε τη μορφή διανομής και τις παραμέτρους της.

Γνωρίζουμε ότι η μορφή διανομής είναι κανονική κατανομή(θυμηθείτε ότι μιλάμε για δειγματοληψία στατιστική X βλ).

Η παράμετρος μ είναι άγνωστη σε εμάς (απλώς πρέπει να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας διάστημα εμπιστοσύνης), αλλά έχουμε την εκτίμησή του X βλ.υπολογίζεται με βάση δείγμα,που μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Η δεύτερη παράμετρος είναι μέση τυπική απόκλιση δείγματος θα γίνει γνωστό, ισούται με σ/√n.

Επειδή δεν γνωρίζουμε το μ, τότε θα δημιουργήσουμε το διάστημα +/- 2 τυπικές αποκλίσειςόχι από μέση τιμή, αλλά από τη γνωστή του εκτίμηση X βλ. Εκείνοι. κατά τον υπολογισμό διάστημα εμπιστοσύνηςΔΕΝ θα το υποθέσουμε X βλθα εμπίπτει στο διάστημα +/- 2 τυπικές αποκλίσειςαπό μ με πιθανότητα 95%, και θα υποθέσουμε ότι το διάστημα είναι +/- 2 τυπικές αποκλίσειςαπό X βλμε πιθανότητα 95% θα καλύψει το μ - ο μέσος όρος του γενικού πληθυσμού,από την οποία δείγμα. Αυτές οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες, αλλά η δεύτερη πρόταση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Επιπλέον, τελειοποιούμε το διάστημα: μια τυχαία μεταβλητή κατανεμημένη κανονικός νόμος, με 95% πιθανότητα εμπίπτει στο διάστημα +/- 1,960 τυπικές αποκλίσεις,όχι +/- 2 τυπικές αποκλίσεις. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0,95) / 2), εκ. Διάστημα φύλλου δείγματος αρχείου.

Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε μια πιθανολογική δήλωση που θα μας χρησιμεύσει για να σχηματίσουμε διάστημα εμπιστοσύνης:
«Η πιθανότητα ότι πληθυσμός μέσος όροςπου βρίσκεται από δείγμα μέσου όρουεντός 1.960" τυπικές αποκλίσεις του μέσου όρου του δείγματος", ισούται με 95%.

Η τιμή πιθανότητας που αναφέρεται στη δήλωση έχει ειδικό όνομα , το οποίο συνδέεται μεεπίπεδο σημασίας α (άλφα) με μια απλή έκφραση επίπεδο εμπιστοσύνης =1 -α . Στην περίπτωσή μας επίπεδο σημασίας α =1-0,95=0,05 .

Τώρα, με βάση αυτή την πιθανολογική πρόταση, γράφουμε μια έκφραση για τον υπολογισμό διάστημα εμπιστοσύνης:

όπου ΖΑ/2 – πρότυπο κανονική κατανομή(μια τέτοια τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής z, τι Π(z>=Ζα/2 )=α/2).

Σημείωση: Ανώτερο α/2-ποσοστόορίζει το πλάτος διάστημα εμπιστοσύνηςσε τυπικές αποκλίσεις δείγμα μέσου όρου. Ανώτερο α/2-ποσοστό πρότυπο κανονική κατανομήείναι πάντα μεγαλύτερο από 0, κάτι που είναι πολύ βολικό.

Στην περίπτωσή μας, στο α=0,05, ανώτερο α/2-ποσοστάσιο ισούται με 1.960. Για άλλα επίπεδα σημαντικότητας α (10%; 1%) ανώτερο α/2-ποσοστάσιο Ζα/2 μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) ή, εάν είναι γνωστό επίπεδο εμπιστοσύνης, =NORM.ST.OBR((1+επίπεδο εμπιστοσύνης)/2).

Συνήθως κατά την κατασκευή διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση του μέσου όρουχρησιμοποιείτε μόνο άνω α/2-ποσοστόκαι μην χρησιμοποιείτε κατώτερο α/2-ποσοστό. Αυτό είναι δυνατό γιατί πρότυπο κανονική κατανομήσυμμετρικά ως προς τον άξονα x ( πυκνότητα κατανομής τουσυμμετρικό περίπου μέσος όρος, δηλ. 0). Επομένως, δεν υπάρχει λόγος υπολογισμού χαμηλότερο α/2-ποσοστάσιο(λέγεται απλά α /2-ποσοστό), επειδή είναι ίσο άνω α/2-ποσοστόμε αρνητικό πρόσημο.

Θυμηθείτε ότι, ανεξάρτητα από το σχήμα της κατανομής του x, η αντίστοιχη τυχαία μεταβλητή X βλδιανέμονται κατά προσέγγιση πρόστιμο N(μ;σ 2 /n) (βλ. άρθρο σχετικά). Επομένως, σε γενικές γραμμές, η παραπάνω έκφραση για διάστημα εμπιστοσύνηςείναι μόνο κατά προσέγγιση. Αν το x κατανέμεται πάνω κανονικός νόμος N(μ;σ 2 /n), στη συνέχεια η έκφραση για διάστημα εμπιστοσύνηςείναι ακριβής.

Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης στο MS EXCEL

Ας λύσουμε το πρόβλημα.
Ο χρόνος απόκρισης ενός ηλεκτρονικού εξαρτήματος σε ένα σήμα εισόδου είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας συσκευής. Ένας μηχανικός θέλει να σχεδιάσει ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο χρόνο απόκρισης σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Από προηγούμενη εμπειρία, ο μηχανικός γνωρίζει ότι η τυπική απόκλιση του χρόνου απόκρισης είναι 8 ms. Είναι γνωστό ότι ο μηχανικός έκανε 25 μετρήσεις για να υπολογίσει τον χρόνο απόκρισης, η μέση τιμή ήταν 78 ms.

Λύση: Ένας μηχανικός θέλει να μάθει τον χρόνο απόκρισης μιας ηλεκτρονικής συσκευής, αλλά καταλαβαίνει ότι ο χρόνος απόκρισης δεν είναι σταθερός, αλλά μια τυχαία μεταβλητή που έχει τη δική της κατανομή. Έτσι, το καλύτερο που μπορεί να ελπίζει είναι να καθορίσει τις παραμέτρους και το σχήμα αυτής της κατανομής.

Δυστυχώς, από την κατάσταση του προβλήματος, δεν γνωρίζουμε τη μορφή κατανομής του χρόνου απόκρισης (δεν χρειάζεται να είναι κανονικός). , αυτή η κατανομή είναι επίσης άγνωστη. Μόνο αυτός είναι γνωστός τυπική απόκλισησ=8. Επομένως, ενώ δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες και να κατασκευάσουμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Ωστόσο, αν και δεν γνωρίζουμε την κατανομή χρόνος ξεχωριστή απάντηση, γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με CPT, δειγματοληψία μέσος χρόνος απόκρισηςείναι περίπου κανονικός(θα υποθέσουμε ότι οι προϋποθέσεις CPTεκτελούνται, γιατί το μέγεθος δείγματααρκετά μεγάλο (n=25)) .

Επί πλέον, μέση τιμήαυτή η κατανομή είναι ίση με μέση τιμήκατανομές απόκρισης μονάδων, π.χ. μ. ΑΛΛΑ τυπική απόκλισηαυτής της κατανομής (σ/√n) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =8/ROOT(25) .

Είναι επίσης γνωστό ότι ο μηχανικός έλαβε βαθμολογική εκτίμησηπαράμετρος μ ίση με 78 ms (X cf). Επομένως, τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες, γιατί γνωρίζουμε τη φόρμα διανομής ( κανονικός) και τις παραμέτρους του (Χ σρ και σ/√n).

Ο μηχανικός θέλει να μάθει αναμενόμενη αξίαμ της κατανομής του χρόνου απόκρισης. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αυτό το μ είναι ίσο με προσδοκία της κατανομής του δείγματος του μέσου χρόνου απόκρισης. Αν χρησιμοποιήσουμε κανονική κατανομή N(X cf; σ/√n), τότε το επιθυμητό μ θα είναι στην περιοχή +/-2*σ/√n με πιθανότητα περίπου 95%.

Επίπεδο σημασίαςισούται με 1-0,95=0,05.

Τέλος, βρείτε το αριστερό και το δεξί περίγραμμα διάστημα εμπιστοσύνης.
Αριστερό περίγραμμα: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
Δεξί περίγραμμα: \u003d 78 + NORM. ST. OBR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81,136

Αριστερό περίγραμμα: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
Δεξί περίγραμμα: =NORM.INV(1-0,05/2, 78, 8/SQRT(25))

Απάντηση: διάστημα εμπιστοσύνηςστο 95% επίπεδο εμπιστοσύνης και σ=8msecισοδυναμεί 78+/-3,136 ms

ΣΤΟ παράδειγμα αρχείου στο φύλλο Sigmaγνωστός δημιούργησε μια φόρμα για υπολογισμό και κατασκευή διμερής διάστημα εμπιστοσύνηςγια αυθαίρετα δείγματαμε δεδομένο σ και επίπεδο σημασίας.

Συνάρτηση CONFIDENCE.NORM().

Αν οι τιμές δείγματαβρίσκονται στην περιοχή B20:B79 , ένα επίπεδο σημασίαςίσο με 0,05; τότε τύπος MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE(0,05,σ, COUNT(B20:B79))
θα επιστρέψει το αριστερό περίγραμμα διάστημα εμπιστοσύνης.

Το ίδιο όριο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

Σημείωση: Η συνάρτηση TRUST.NORM() εμφανίστηκε στο MS EXCEL 2010. Προηγούμενες εκδόσεις του MS EXCEL χρησιμοποιούσαν τη συνάρτηση TRUST().

Διάστημα εμπιστοσύνης για μαθηματική προσδοκία - αυτό είναι ένα τέτοιο διάστημα που υπολογίζεται από τα δεδομένα, το οποίο με γνωστή πιθανότητα περιέχει τη μαθηματική προσδοκία του γενικού πληθυσμού. Η φυσική εκτίμηση για τη μαθηματική προσδοκία είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών της. Επομένως, περαιτέρω κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους «μέσος όρος», «μέση τιμή». Σε προβλήματα υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης, η απάντηση που απαιτείται συχνότερα είναι "Το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου αριθμού [τιμή σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα] είναι από [χαμηλότερη τιμή] σε [υψηλότερη τιμή]". Με τη βοήθεια του διαστήματος εμπιστοσύνης, είναι δυνατό να αξιολογηθούν όχι μόνο οι μέσες τιμές, αλλά και το μερίδιο ενός ή άλλου χαρακτηριστικού του γενικού πληθυσμού. Οι μέσες τιμές, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και το σφάλμα, μέσω των οποίων θα καταλήξουμε σε νέους ορισμούς και τύπους, αναλύονται στο μάθημα Χαρακτηριστικά δείγματος και πληθυσμού .

Σημειακές και διαστημικές εκτιμήσεις του μέσου όρου

Εάν η μέση τιμή του γενικού πληθυσμού εκτιμάται με έναν αριθμό (σημείο), τότε ένας συγκεκριμένος μέσος όρος που υπολογίζεται από ένα δείγμα παρατηρήσεων λαμβάνεται ως εκτίμηση του άγνωστου μέσου όρου του γενικού πληθυσμού. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή του μέσου όρου του δείγματος - μια τυχαία μεταβλητή - δεν συμπίπτει με τη μέση τιμή του γενικού πληθυσμού. Επομένως, όταν υποδεικνύεται η μέση τιμή του δείγματος, είναι επίσης απαραίτητο να υποδεικνύεται ταυτόχρονα το σφάλμα δείγματος. Το τυπικό σφάλμα χρησιμοποιείται ως μέτρο του δειγματοληπτικού σφάλματος, το οποίο εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το μέσο όρο. Επομένως, χρησιμοποιείται συχνά ο ακόλουθος συμβολισμός: .

Εάν η εκτίμηση του μέσου όρου απαιτείται να συσχετιστεί με μια ορισμένη πιθανότητα, τότε η παράμετρος του γενικού πληθυσμού ενδιαφέροντος πρέπει να εκτιμηθεί όχι από έναν μόνο αριθμό, αλλά από ένα διάστημα. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα στο οποίο, με μια ορισμένη πιθανότητα, Πβρίσκεται η τιμή του εκτιμώμενου δείκτη του γενικού πληθυσμού. Διάστημα εμπιστοσύνης στο οποίο με πιθανότητα Π = 1 - α είναι μια τυχαία μεταβλητή, υπολογίζεται ως εξής:

,

α = 1 - Π, το οποίο μπορείτε να βρείτε στο παράρτημα σχεδόν οποιουδήποτε βιβλίου για τις στατιστικές.

Στην πράξη, ο μέσος όρος του πληθυσμού και η διακύμανση δεν είναι γνωστοί, επομένως η διακύμανση του πληθυσμού αντικαθίσταται από τη διακύμανση του δείγματος και ο μέσος όρος του πληθυσμού από τον μέσο όρο του δείγματος. Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης στις περισσότερες περιπτώσεις υπολογίζεται ως εξής:

.

Ο τύπος διαστήματος εμπιστοσύνης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού εάν

• Η τυπική απόκλιση του γενικού πληθυσμού είναι γνωστή.
• ή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού δεν είναι γνωστή, αλλά το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 30.

Ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού. Με τη σειρά του, η διακύμανση του δείγματος δεν είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού. Για να ληφθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού στον τύπο διακύμανσης του δείγματος, το μέγεθος του δείγματος είναι nπρέπει να αντικατασταθεί με n-1.

Παράδειγμα 1Συλλέγονται πληροφορίες από 100 τυχαία επιλεγμένα καφέ σε μια συγκεκριμένη πόλη που ο μέσος αριθμός εργαζομένων σε αυτά είναι 10,5 με τυπική απόκλιση 4,6. Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης του 95% του αριθμού των εργαζομένων σε καφετέριες.

όπου είναι η κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για το επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 .

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον μέσο αριθμό εργαζομένων σε καφετέριες ήταν μεταξύ 9,6 και 11,4.

Παράδειγμα 2Για ένα τυχαίο δείγμα από έναν γενικό πληθυσμό 64 παρατηρήσεων, υπολογίστηκαν οι ακόλουθες συνολικές τιμές:

άθροισμα τιμών σε παρατηρήσεις,

άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων τιμών από το μέσο όρο .

Υπολογίστε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την αναμενόμενη τιμή.

υπολογίστε την τυπική απόκλιση:

,

υπολογίστε τη μέση τιμή:

.

Αντικαταστήστε τις τιμές στην έκφραση για το διάστημα εμπιστοσύνης:

όπου είναι η κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για το επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 .

Παίρνουμε:

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μαθηματική προσδοκία αυτού του δείγματος κυμάνθηκε από 7.484 έως 11.266.

Παράδειγμα 3Για ένα τυχαίο δείγμα από έναν γενικό πληθυσμό 100 παρατηρήσεων, υπολογίστηκε μια μέση τιμή 15,2 και μια τυπική απόκλιση 3,2. Υπολογίστε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την αναμενόμενη τιμή και, στη συνέχεια, το διάστημα εμπιστοσύνης 99%. Εάν η ισχύς του δείγματος και η διακύμανσή του παραμένουν ίδιες, αλλά ο παράγοντας εμπιστοσύνης αυξάνεται, το διάστημα εμπιστοσύνης θα περιοριστεί ή θα διευρυνθεί;

Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην έκφραση για το διάστημα εμπιστοσύνης:

όπου είναι η κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για το επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 .

Παίρνουμε:

.

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον μέσο όρο αυτού του δείγματος ήταν από 14,57 έως 15,82.

Και πάλι, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην έκφραση για το διάστημα εμπιστοσύνης:

όπου είναι η κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για το επίπεδο σημαντικότητας α = 0,01 .

Παίρνουμε:

.

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης 99% για τον μέσο όρο αυτού του δείγματος ήταν από 14,37 έως 16,02.

Όπως μπορείτε να δείτε, καθώς αυξάνεται ο παράγοντας εμπιστοσύνης, αυξάνεται επίσης η κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής και, επομένως, τα σημεία έναρξης και τέλους του διαστήματος βρίσκονται πιο μακριά από τον μέσο όρο, και επομένως το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία αυξάνει.

Σημειακές και διαστημικές εκτιμήσεις του ειδικού βάρους

Το μερίδιο κάποιου χαρακτηριστικού του δείγματος μπορεί να ερμηνευτεί ως σημειακή εκτίμηση του μεριδίου Πτο ίδιο χαρακτηριστικό στον γενικό πληθυσμό. Εάν αυτή η τιμή πρέπει να συσχετιστεί με μια πιθανότητα, τότε θα πρέπει να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης του ειδικού βάρους Πχαρακτηριστικό στο γενικό πληθυσμό με πιθανότητα Π = 1 - α :

.

Παράδειγμα 4Υπάρχουν δύο υποψήφιοι σε μια συγκεκριμένη πόλη ΕΝΑκαι σιυποψήφιος δήμαρχος. 200 κάτοικοι της πόλης ρωτήθηκαν τυχαία, εκ των οποίων το 46% απάντησε ότι θα ψήφιζε τον υποψήφιο ΕΝΑ, 26% - για τον υποψήφιο σικαι το 28% δεν ξέρει ποιον θα ψηφίσει. Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το ποσοστό των κατοίκων της πόλης που υποστηρίζουν τον υποψήφιο ΕΝΑ.

Ανάθεση υπηρεσίας. Αυτή η υπηρεσία ορίζει:

• διάστημα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο, διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση.
• διάστημα εμπιστοσύνης για την τυπική απόκλιση, διάστημα εμπιστοσύνης για το γενικό κλάσμα.

Παράδειγμα #1. Σε συλλογικό αγρόκτημα, από ένα συνολικό κοπάδι 1.000 προβάτων, 100 πρόβατα υποβλήθηκαν σε κούρεμα επιλεκτικού ελέγχου. Ως αποτέλεσμα, καθιερώθηκε μια μέση ψαλίδα μαλλιού 4,2 kg ανά πρόβατο. Προσδιορίστε με πιθανότητα 0,99 το τυπικό σφάλμα του δείγματος στον προσδιορισμό της μέσης διάτμησης μαλλιού ανά πρόβατο και τα όρια στα οποία βρίσκεται η τιμή διάτμησης εάν η απόκλιση είναι 2,5. Το δείγμα δεν είναι επαναλαμβανόμενο.
Παράδειγμα #2. Από την παρτίδα των εισαγόμενων προϊόντων στο ταχυδρομείο του Βόρειου Τελωνείου της Μόσχας, ελήφθησαν 20 δείγματα του προϊόντος "Α" με τη σειρά της τυχαίας επαναδειγματοληψίας. Ως αποτέλεσμα του ελέγχου, καθορίστηκε η μέση περιεκτικότητα σε υγρασία του προϊόντος "Α" στο δείγμα, η οποία αποδείχθηκε ότι ήταν 6% με τυπική απόκλιση 1%.
Προσδιορίστε με πιθανότητα 0,683 τα όρια της μέσης περιεκτικότητας σε υγρασία του προϊόντος σε ολόκληρη την παρτίδα των εισαγόμενων προϊόντων.
Παράδειγμα #3. Μια έρευνα σε 36 μαθητές έδειξε ότι ο μέσος αριθμός των διδακτικών βιβλίων που διάβασαν οι ίδιοι ανά ακαδημαϊκό έτος ήταν 6. Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των σχολικών βιβλίων που διαβάζει ένας φοιτητής ανά εξάμηνο έχει κανονικό νόμο κατανομής με τυπική απόκλιση ίση με 6, βρείτε : Α) με αξιοπιστία 0,99 εκτίμηση διαστήματος για τη μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Β) με ποια πιθανότητα μπορεί να υποστηριχθεί ότι ο μέσος αριθμός των σχολικών βιβλίων που διαβάζει ένας φοιτητής ανά εξάμηνο, που υπολογίζεται για αυτό το δείγμα, δεν αποκλίνει από τη μαθηματική προσδοκία σε απόλυτη τιμή κατά όχι περισσότερο από 2.

Ταξινόμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης

Ανά τύπο δείγματος:

1. Διάστημα εμπιστοσύνης για άπειρη δειγματοληψία.
2. Διάστημα εμπιστοσύνης για το τελικό δείγμα.

Υπολογισμός του μέσου δειγματοληπτικού σφάλματος για τυχαία επιλογή

Δείγματα τύπων μέσου σφάλματος
επανεπιλογή		μη επαναλαμβανόμενη επιλογή
για μέση	για μερίδιο	για μέση	για μερίδιο

Τύποι για τον υπολογισμό του μεγέθους του δείγματος με σωστή μέθοδο τυχαίας επιλογής