Ο τύπος για τον όγκο μιας πυραμίδας ως προς την τριεδρική γωνία. Τύποι για τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
Ένα από τα απλούστερα ογκομετρικά σχήματα είναι μια τριγωνική πυραμίδα, καθώς αποτελείται από τον μικρότερο αριθμό όψεων από τις οποίες μπορεί να σχηματιστεί μια φιγούρα στο χώρο. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τύπους με τους οποίους μπορείτε να βρείτε τον όγκο μιας τριγωνικής κανονικής πυραμίδας.
τριγωνική πυραμίδα
Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό, μια πυραμίδα είναι ένα πολύγωνο, του οποίου όλες οι κορυφές συνδέονται με ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του πολυγώνου. Αν το τελευταίο είναι τρίγωνο, τότε ολόκληρο το σχήμα ονομάζεται τριγωνική πυραμίδα.
Η εξεταζόμενη πυραμίδα αποτελείται από μια βάση (τρίγωνο) και τρεις πλευρικές όψεις (τρίγωνα). Το σημείο στο οποίο συνδέονται οι τρεις πλευρικές όψεις ονομάζεται κορυφή του σχήματος. Η κάθετη που πέφτει στη βάση από αυτή την κορυφή είναι το ύψος της πυραμίδας. Αν το σημείο τομής της κάθετου με τη βάση συμπίπτει με το σημείο τομής των διαμέτρων του τριγώνου στη βάση, τότε μιλούν για κανονική πυραμίδα. Διαφορετικά, θα είναι επικλινή.
Όπως ειπώθηκε, η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας μπορεί να είναι ένα γενικό τρίγωνο. Ωστόσο, εάν είναι ισόπλευρο και η ίδια η πυραμίδα είναι ευθεία, τότε μιλούν για τη σωστή τρισδιάστατη φιγούρα.
Το καθένα έχει 4 όψεις, 6 άκρες και 4 κορυφές. Εάν τα μήκη όλων των άκρων είναι ίσα, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται τετράεδρο.
γενικού τύπου
Πριν καταγράψουμε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, δίνουμε μια έκφραση για αυτή τη φυσική ποσότητα για μια πυραμίδα γενικού τύπου. Αυτή η έκφραση μοιάζει με:
Εδώ S o είναι το εμβαδόν της βάσης, h είναι το ύψος του σχήματος. Αυτή η ισότητα θα ισχύει για κάθε τύπο βάσης του πολυγώνου της πυραμίδας, καθώς και για τον κώνο. Εάν στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με μήκος πλευράς a και ύψος h o χαμηλωμένο σε αυτό, τότε ο τύπος για τον όγκο θα γραφεί ως εξής:
Τύποι για τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
Το τριγωνικό έχει ισόπλευρο τρίγωνο στη βάση του. Είναι γνωστό ότι το ύψος αυτού του τριγώνου σχετίζεται με το μήκος της πλευράς του με την ισότητα:
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον τύπο για τον όγκο μιας τριγωνικής πυραμίδας, που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο, παίρνουμε:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Ο όγκος μιας κανονικής πυραμίδας με τριγωνική βάση είναι συνάρτηση του μήκους της πλευράς της βάσης και του ύψους του σχήματος.
Δεδομένου ότι κάθε κανονικό πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύκλο του οποίου η ακτίνα καθορίζει μοναδικά το μήκος της πλευράς του πολυγώνου, τότε αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως προς την αντίστοιχη ακτίνα r:
Αυτός ο τύπος είναι εύκολο να ληφθεί από τον προηγούμενο, δεδομένου ότι η ακτίνα r του περιγεγραμμένου κύκλου στο μήκος της πλευράς a του τριγώνου καθορίζεται από την έκφραση:
Το έργο του προσδιορισμού του όγκου ενός τετραέδρου
Ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω τύπους για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων γεωμετρίας.
Είναι γνωστό ότι το τετράεδρο έχει μήκος άκρης 7 εκ. Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας-τετράεδρου.
Θυμηθείτε ότι ένα τετράεδρο είναι μια κανονική τριγωνική πυραμίδα στην οποία όλες οι βάσεις είναι ίσες μεταξύ τους. Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να υπολογίσετε δύο ποσότητες:
- το μήκος της πλευράς του τριγώνου·
- ύψος φιγούρας.
Η πρώτη τιμή είναι γνωστή από την κατάσταση του προβλήματος:
Για να προσδιορίσετε το ύψος, εξετάστε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα.
Το σημειωμένο τρίγωνο ABC είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπου η γωνία ABC είναι 90o. Η πλευρά AC είναι η υποτείνουσα, της οποίας το μήκος είναι α. Με απλό γεωμετρικό συλλογισμό, μπορεί να φανεί ότι η πλευρά BC έχει μήκος:
Σημειώστε ότι το μήκος BC είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).
Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε το h και το a στον αντίστοιχο τύπο όγκου:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Έτσι, έχουμε τον τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου. Μπορεί να φανεί ότι ο όγκος εξαρτάται μόνο από το μήκος της πλευράς. Αν αντικαταστήσουμε την τιμή από την συνθήκη του προβλήματος στην έκφραση, τότε παίρνουμε την απάντηση:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Αν συγκρίνουμε αυτήν την τιμή με τον όγκο ενός κύβου που έχει την ίδια ακμή, παίρνουμε ότι ο όγκος ενός τετραέδρου είναι 8,5 φορές μικρότερος. Αυτό δείχνει ότι το τετράεδρο είναι μια συμπαγής φιγούρα, η οποία πραγματοποιείται σε ορισμένες φυσικές ουσίες. Για παράδειγμα, το μόριο μεθανίου είναι τετραεδρικό και κάθε άτομο άνθρακα στο διαμάντι συνδέεται με τέσσερα άλλα άτομα για να σχηματίσει ένα τετράεδρο.
Πρόβλημα με ομοθετικές πυραμίδες
Ας λύσουμε ένα περίεργο γεωμετρικό πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια τριγωνική κανονική πυραμίδα με κάποιο όγκο V 1 . Κατά πόσες φορές πρέπει να μειωθεί το μέγεθος αυτού του σχήματος για να ληφθεί μια πυραμίδα ομοθετική σε αυτό με όγκο τρεις φορές μικρότερο από τον αρχικό;
Ας ξεκινήσουμε να λύνουμε το πρόβλημα γράφοντας τον τύπο για την αρχική κανονική πυραμίδα:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Έστω ο όγκος του σχήματος που απαιτείται από τη συνθήκη του προβλήματος πολλαπλασιάζοντας τις παραμέτρους του με τον συντελεστή k. Εχουμε:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Δεδομένου ότι η αναλογία των όγκων των ψηφίων είναι γνωστή από τη συνθήκη, λαμβάνουμε την τιμή του συντελεστή k:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Σημειώστε ότι θα είχαμε πάρει παρόμοια τιμή του συντελεστή k για έναν αυθαίρετο τύπο πυραμίδας, και όχι μόνο για μια κανονική τριγωνική.
Ορισμός. Προφίλ- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η αντίθετη πλευρά της συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).
Ορισμός. Πλαϊνά πλευράείναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες υπάρχουν γωνίες σε ένα πολύγωνο.
Ορισμός. ύψος πυραμίδαςείναι μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.
Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι η κάθετη της πλευρικής όψης της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.
Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα της πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.
Ορισμός. Σωστή πυραμίδα- Αυτή είναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο και το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης.
Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας
Τύπος. όγκος πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:
ιδιότητες πυραμίδας
Εάν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, η κάθετη που πέφτει από την κορυφή περνάει από το κέντρο της βάσης (κύκλος).
Εάν όλες οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο βάσης με τις ίδιες γωνίες.
Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο βάσης ή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Εάν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης σε μία γωνία, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας να προβάλλεται στο κέντρο της.
Εάν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο βάσης κατά μία γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.
2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση στις ίδιες γωνίες με τη βάση.
4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.
7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.
8. Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.
9. Εάν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π / n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.
Η σύνδεση της πυραμίδας με τη σφαίρα
Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.
Μια σφαίρα μπορεί πάντα να περιγραφεί γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.
Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.
Η σύνδεση της πυραμίδας με τον κώνο
Ένας κώνος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα.
Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.
Σύνδεση πυραμίδας με κύλινδρο
Μια πυραμίδα λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.
Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιεσδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν ακουμπούν.
Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριεδρική γωνία.
Το τμήμα που συνδέει την κορυφή του τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).
Διμέσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).
Όλα τα δίμεσα και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, τα δίμεσα χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι σε αναλογία 3: 1 ξεκινώντας από την κορυφή.
Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. αμβλεία πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. κανονικό τετράεδροΈνα τετράεδρο του οποίου οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (σε μια κορυφή) είναι ίσες.
Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο που έχει ορθή γωνία μεταξύ τριών ακμών στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριεδρική γωνίακαι οι όψεις είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.
Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροΟνομάζεται τετράεδρο στο οποίο οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Οι όψεις ενός τέτοιου τετραέδρου είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδρολέγεται τετράεδρο στο οποίο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη τέμνονται σε ένα σημείο.
Ορισμός. πυραμίδα αστεριώνΈνα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι ονομάζεται.
Για να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζετε αρκετούς τύπους. Ας τα εξετάσουμε.
Πώς να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας - 1ος τρόπος
Ο όγκος μιας πυραμίδας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το ύψος και το εμβαδόν της βάσης της. V = 1/3*S*h. Έτσι, για παράδειγμα, εάν το ύψος της πυραμίδας είναι 10 cm και το εμβαδόν της βάσης της είναι 25 cm 2, τότε ο όγκος θα είναι ίσος με V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3
Πώς να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας - 2η μέθοδος
Εάν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, τότε ο όγκος του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), όπου a είναι η πλευρά του πολυγώνου που βρίσκεται στο βάση, και n είναι ο αριθμός των πλευρών του. Για παράδειγμα: Η βάση είναι κανονικό εξάγωνο, δηλαδή n = 6. Εφόσον είναι κανονική, όλες οι πλευρές της είναι ίσες, δηλαδή όλες οι α είναι ίσες. Ας πούμε a = 10 και h - 15. Εισάγουμε τους αριθμούς στον τύπο και παίρνουμε μια κατά προσέγγιση απάντηση - 1299 cm 3
Πώς να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας - 3ος τρόπος
Εάν ένα ισόπλευρο τρίγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, τότε ο όγκος του μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τύπο: V = ha 2 /4√3, όπου a είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου. Για παράδειγμα: το ύψος της πυραμίδας είναι 10 cm, η πλευρά της βάσης είναι 5 εκ. Ο όγκος θα είναι ίσος με V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Συνήθως, αυτό που συνέβη στο ο παρονομαστής δεν υπολογίζεται και αφήνεται στην ίδια μορφή. Μπορείτε επίσης να πολλαπλασιάσετε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 4√3 για να πάρετε 1000√3/48. Μειώνοντας παίρνουμε 125√ 3/6 cm 3.
Πώς να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας - 4ος τρόπος
Εάν ένα τετράγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, τότε ο όγκος του μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τύπο: V = 1/3*h*a 2, όπου a είναι οι πλευρές του τετραγώνου. Για παράδειγμα: ύψος - 5 cm, πλευρά του τετραγώνου - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3
Πώς να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας - 5ος τρόπος
Εάν η πυραμίδα είναι τετράεδρο, δηλαδή όλες οι όψεις της είναι ισόπλευρα τρίγωνα, μπορείτε να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: V = a 3 √2/12, όπου a είναι μια άκρη του τετραέδρου. Για παράδειγμα: ακμή τετραέδρου \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3
Η λέξη «πυραμίδα» συνδέεται άθελά της με τους μεγαλειώδεις γίγαντες στην Αίγυπτο, διατηρώντας πιστά την ειρήνη των Φαραώ. Ίσως γι' αυτό η πυραμίδα αναγνωρίζεται αδιαμφισβήτητα από όλους, ακόμα και από τα παιδιά.
Ωστόσο, ας προσπαθήσουμε να του δώσουμε έναν γεωμετρικό ορισμό. Ας φανταστούμε πολλά σημεία (Α1, Α2,..., Αν) στο επίπεδο και ένα ακόμη (Ε) που δεν ανήκει σε αυτό. Έτσι, εάν το σημείο Ε (πάνω) συνδέεται με τις κορυφές του πολυγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία A1, A2, ..., An (βάση), παίρνετε ένα πολύεδρο, το οποίο ονομάζεται πυραμίδα. Προφανώς, το πολύγωνο στη βάση της πυραμίδας μπορεί να έχει οποιοδήποτε αριθμό κορυφών και ανάλογα με τον αριθμό τους, η πυραμίδα μπορεί να ονομαστεί τριγωνική και τετράγωνη, πενταγωνική κ.λπ.
Εάν κοιτάξετε προσεκτικά την πυραμίδα, θα καταστεί σαφές γιατί ορίζεται επίσης διαφορετικά - ως ένα γεωμετρικό σχήμα με ένα πολύγωνο στη βάση και τρίγωνα ενωμένα με μια κοινή κορυφή ως πλευρικές όψεις.
Εφόσον η πυραμίδα είναι ένα χωρικό σχήμα, τότε έχει και ένα τέτοιο ποσοτικό χαρακτηριστικό, καθώς υπολογίζεται από το γνωστό ίσο τρίτο του γινομένου της βάσης της πυραμίδας και του ύψους της:
Ο όγκος της πυραμίδας, κατά την εξαγωγή του τύπου, υπολογίζεται αρχικά για έναν τριγωνικό, λαμβάνοντας ως βάση μια σταθερή αναλογία που σχετίζεται με αυτήν την τιμή με τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος που έχει την ίδια βάση και ύψος, ο οποίος, όπως αποδεικνύεται, είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από αυτόν τον όγκο.
Και δεδομένου ότι οποιαδήποτε πυραμίδα χωρίζεται σε τριγωνικές και ο όγκος της δεν εξαρτάται από τις κατασκευές που εκτελούνται στην απόδειξη, η εγκυρότητα του παραπάνω τύπου όγκου είναι προφανής.
Ανάμεσα σε όλες τις πυραμίδες ξεχωρίζουν οι σωστές, στις οποίες βρίσκεται η βάση, ενώ θα πρέπει να «τελειώνει» στο κέντρο της βάσης.
Στην περίπτωση ενός ακανόνιστου πολυγώνου στη βάση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης, θα χρειαστείτε:
- σπάστε το σε τρίγωνα και τετράγωνα.
- υπολογίστε την περιοχή καθενός από αυτά.
- προσθέστε τα ληφθέντα δεδομένα.
Στην περίπτωση ενός κανονικού πολυγώνου στη βάση της πυραμίδας, το εμβαδόν του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έτοιμους τύπους, επομένως ο όγκος μιας κανονικής πυραμίδας υπολογίζεται πολύ απλά.
Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του όγκου μιας τετράγωνης πυραμίδας, εάν είναι κανονική, το μήκος της πλευράς ενός κανονικού τετραγώνου (τετράγωνο) στη βάση είναι τετράγωνο και, πολλαπλασιάζοντας με το ύψος της πυραμίδας, το γινόμενο που προκύπτει διαιρείται με τρία.
Ο όγκος της πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας άλλες παραμέτρους:
- ως το ένα τρίτο του γινόμενου της ακτίνας της μπάλας που είναι εγγεγραμμένη στην πυραμίδα και του εμβαδού της συνολικής της επιφάνειας.
- ως τα δύο τρίτα του γινομένου της απόστασης μεταξύ δύο αυθαίρετα τραβηγμένων διασταυρούμενων ακμών και της περιοχής του παραλληλογράμμου που σχηματίζει τα μέσα των υπόλοιπων τεσσάρων άκρων.
Ο όγκος της πυραμίδας υπολογίζεται επίσης απλά στην περίπτωση που το ύψος της συμπίπτει με ένα από τα πλευρικά άκρα, δηλαδή στην περίπτωση μιας ορθογώνιας πυραμίδας.
Μιλώντας για πυραμίδες, δεν μπορεί κανείς να αγνοήσει τις κολοβωμένες πυραμίδες που λαμβάνονται με την κοπή της πυραμίδας με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση. Ο όγκος τους είναι σχεδόν ίσος με τη διαφορά μεταξύ των όγκων ολόκληρης της πυραμίδας και της αποκομμένης κορυφής.
Ο πρώτος τόμος της πυραμίδας, αν και όχι αρκετά στη σύγχρονη μορφή της, αλλά ίσος με το 1/3 του όγκου του πρίσματος που μας είναι γνωστό, βρέθηκε από τον Δημόκριτο. Ο Αρχιμήδης ονόμασε τη μέθοδο μέτρησής του «χωρίς απόδειξη», αφού ο Δημόκριτος πλησίασε την πυραμίδα ως μια μορφή που αποτελείται από απείρως λεπτές, παρόμοιες πλάκες.
Η διανυσματική άλγεβρα «αποτέλεσε» επίσης το ζήτημα της εύρεσης του όγκου της πυραμίδας, χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κορυφών της για αυτό. Η πυραμίδα που χτίζεται στην τριάδα των διανυσμάτων a,b,c ισούται με το ένα έκτο του συντελεστή του μικτού γινομένου των δεδομένων διανυσμάτων.
Εδώ θα αναλύσουμε παραδείγματα που σχετίζονται με την έννοια του όγκου. Για να επιλύσετε τέτοιες εργασίες, πρέπει να γνωρίζετε τον τύπο για τον όγκο της πυραμίδας:
μικρό
h - το ύψος της πυραμίδας
Η βάση μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύγωνο. Αλλά στις περισσότερες εργασίες στις εξετάσεις, η προϋπόθεση, κατά κανόνα, αφορά τις σωστές πυραμίδες. Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω μια από τις ιδιότητες του:
Η κορυφή μιας κανονικής πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης της
Δείτε την προβολή των κανονικών τριγωνικών, τετραγωνικών και εξαγωνικών πυραμίδων (TOP VIEW):
Μπορείτε στο blog, όπου εξετάστηκαν οι εργασίες που σχετίζονται με την εύρεση του όγκου της πυραμίδας.Εξετάστε τα καθήκοντα:
27087. Να βρείτε τον όγκο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας της οποίας οι πλευρές της βάσης είναι ίσες με 1 και το ύψος της ίσο με τη ρίζα του τριών.
μικρό- περιοχή της βάσης της πυραμίδας
η- το ύψος της πυραμίδας
Βρείτε την περιοχή της βάσης της πυραμίδας, αυτό είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Χρησιμοποιούμε τον τύπο - το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των γειτονικών πλευρών από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους, που σημαίνει:
Απάντηση: 0,25
27088. Να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας με πλευρές βάσης ίσες με 2 και όγκο ίσο με τη ρίζα τριών.
Έννοιες όπως το ύψος της πυραμίδας και τα χαρακτηριστικά της βάσης της σχετίζονται με τον τύπο όγκου:
μικρό- περιοχή της βάσης της πυραμίδας
η- το ύψος της πυραμίδας
Γνωρίζουμε τον ίδιο τον όγκο, μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν της βάσης, αφού είναι γνωστές οι πλευρές του τριγώνου, που είναι η βάση. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές, μπορούμε εύκολα να βρούμε το ύψος.
Για να βρούμε το εμβαδόν της βάσης, χρησιμοποιούμε τον τύπο - το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των γειτονικών πλευρών από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους, που σημαίνει:
Έτσι, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο όγκου, μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος της πυραμίδας:
Το ύψος είναι τρία.
Απάντηση: 3
27109. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το ύψος είναι 6, η πλευρική άκρη είναι 10. Βρείτε τον όγκο της.
Ο όγκος της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:
μικρό- περιοχή της βάσης της πυραμίδας
η- το ύψος της πυραμίδας
Ξέρουμε το ύψος. Πρέπει να βρείτε την περιοχή της βάσης. Να σας υπενθυμίσω ότι η κορυφή μιας κανονικής πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης της. Η βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο. Μπορούμε να βρούμε τη διαγώνιο του. Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (επισημασμένο με μπλε):
Το τμήμα που συνδέει το κέντρο του τετραγώνου με το σημείο Β είναι ένα σκέλος, το οποίο είναι ίσο με τη μισή διαγώνιο του τετραγώνου. Μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό το σκέλος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Άρα BD = 16. Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο τετράπλευρου εμβαδού:
Συνεπώς:
Έτσι, ο όγκος της πυραμίδας είναι:
Απάντηση: 256
27178. Σε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, το ύψος είναι 12, ο όγκος είναι 200. Βρείτε το πλευρικό άκρο αυτής της πυραμίδας.
Το ύψος της πυραμίδας και ο όγκος της είναι γνωστά, οπότε μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του τετραγώνου, που είναι η βάση. Γνωρίζοντας το εμβαδόν ενός τετραγώνου, μπορούμε να βρούμε τη διαγώνιο του. Περαιτέρω, έχοντας εξετάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, υπολογίζουμε το πλευρικό άκρο:
Βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου (η βάση της πυραμίδας):
Υπολογίστε τη διαγώνιο του τετραγώνου. Εφόσον το εμβαδόν του είναι 50, τότε η πλευρά θα είναι ίση με τη ρίζα του πενήντα και σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Το σημείο Ο διαιρεί τη διαγώνιο BD στο μισό, άρα το σκέλος του ορθογωνίου τριγώνου ΟΒ = 5.
Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο ισούται με το πλευρικό άκρο της πυραμίδας:
Απάντηση: 13
245353. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας που φαίνεται στο σχήμα. Η βάση του είναι ένα πολύγωνο του οποίου οι διπλανές πλευρές είναι κάθετες και η μία από τις πλευρικές ακμές είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης και ισούται με 3.
Όπως έχει ειπωθεί επανειλημμένα - ο όγκος της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:
μικρό- περιοχή της βάσης της πυραμίδας
η- το ύψος της πυραμίδας
Η κάθετη στη βάση πλευρική άκρη είναι τρεις, που σημαίνει ότι το ύψος της πυραμίδας είναι τρεις. Η βάση της πυραμίδας είναι ένα πολύγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι:
Με αυτόν τον τρόπο:
Απάντηση: 27
27086. Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ορθογώνιο με πλευρές 3 και 4. Ο όγκος της είναι 16. Βρείτε το ύψος αυτής της πυραμίδας.
