Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

за изучаване на темата „Линейни диференциални уравнения от втори ред“ от студенти от счетоводния факултет за задочно обучение (NISPO)

Горки, 2013 г

Линейни диференциални уравнения

втори ред с константикоефициенти

Линейни хомогенни диференциални уравнения

Линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти наречено уравнение на формата

тези. уравнение, което съдържа търсената функция и нейните производни само на първа степен и не съдържа техните произведения. В това уравнение И
- някои числа и функция
дадени на определен интервал
.

Ако
на интервала
, тогава уравнение (1) ще приеме формата

, (2)

и се нарича линеен хомогенен . В противен случай се извиква уравнение (1). линейни нехомогенни .

Разгледайте сложната функция

, (3)

Където
И
- реални функции. Ако функция (3) е комплексно решение на уравнение (2), тогава реалната част
, и имагинерната част
решения
отделно са решения на едно и също хомогенно уравнение. По този начин всяко сложно решение на уравнение (2) генерира две реални решения на това уравнение.

Решенията на хомогенно линейно уравнение имат следните свойства:

Ако е решение на уравнение (2), тогава функцията
, Където СЪС– произволна константа също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако И има решения на уравнение (2), след това функцията
също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако И има решения на уравнение (2), след това тяхната линейна комбинация
също ще бъде решение на уравнение (2), където И
– произволни константи.

Функции
И
са наречени линейно зависими на интервала
, ако има такива числа И
, не равно на нула в същото време, че на този интервал равенството

Ако равенство (4) възниква само когато
И
, след това функциите
И
са наречени линейно независими на интервала
.

Пример 1 . Функции
И
са линейно зависими, тъй като
на цялата числова ос. В този пример
.

Пример 2 . Функции
И
са линейно независими на всеки интервал, тъй като равенството
е възможно само в случай, когато
, И
.

Построяване на общо решение на линейно хомогенно

уравнения

За да намерите общо решение на уравнение (2), трябва да намерите две от неговите линейно независими решения И . Линейна комбинация от тези решения
, Където И
са произволни константи и ще дадат общо решение на линейно хомогенно уравнение.

Ще търсим линейно независими решения на уравнение (2) във формата

, (5)

Където – определено число. Тогава
,
. Нека заместим тези изрази в уравнение (2):

или
.

защото
, Че
. Така че функцията
ще бъде решение на уравнение (2), ако ще задоволи уравнението

. (6)

Уравнение (6) се нарича характеристично уравнение за уравнение (2). Това уравнение е алгебрично квадратно уравнение.

Позволявам И има корени на това уравнение. Те могат да бъдат или реални и различни, или сложни, или реални и равни. Нека разгледаме тези случаи.

Нека корените И характеристичните уравнения са реални и различни. Тогава решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
И
. Тези решения са линейно независими, тъй като равенството
може да се извърши само когато
, И
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

,

Където И
- произволни константи.

Пример 3
.

Решение . Характеристичното уравнение за този диференциал ще бъде
. След като решихме това квадратно уравнение, намираме неговите корени
И
. Функции
И
са решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение е
.

Комплексно число наречен израз на формата
, Където И са реални числа и
наречена въображаема единица. Ако
, след това числото
се нарича чисто въображаемо. Ако
, след това числото
се идентифицира с реално число .

Номер се нарича реална част от комплексно число и - въображаема част. Ако две комплексни числа се различават едно от друго само по знака на въображаемата част, тогава те се наричат ​​спрегнати:
,
.

Пример 4 . Решаване на квадратно уравнение
.

Решение . Дискриминантно уравнение
. Тогава. по същия начин,
. По този начин това квадратно уравнение има спрегнати комплексни корени.

Нека корените на характеристичното уравнение са комплексни, т.е.
,
, Където
. Решенията на уравнение (2) могат да бъдат записани във формата
,
или
,
. Според формулите на Ойлер

,
.

Тогава ,. Както е известно, ако сложна функция е решение на линейно хомогенно уравнение, тогава решенията на това уравнение са както реалната, така и въображаемата част на тази функция. Така решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
И
. От равенството

може да се изпълни само ако
И
, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

Където И
- произволни константи.

Пример 5 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Уравнението
е характерен за даден диференциал. Нека да го решим и да получим сложни корени
,
. Функции
И
са линейно независими решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение е:

Нека корените на характеристичното уравнение са реални и равни, т.е.
. Тогава решенията на уравнение (2) са функциите
И
. Тези решения са линейно независими, тъй като изразът може да бъде идентично равен на нула само когато
И
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата
.

Пример 6 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристично уравнение
има равни корени
. В този случай линейно независими решения на диференциалното уравнение са функциите
И
. Общото решение има формата
.

Нееднородни линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

и специалната дясна страна

Общото решение на линейното нехомогенно уравнение (1) е равно на сумата от общото решение
съответното хомогенно уравнение и всяко конкретно решение
нехомогенно уравнение:
.

В някои случаи определено решение на нехомогенно уравнение може да се намери съвсем просто чрез формата на дясната страна
уравнение (1). Нека да разгледаме случаите, в които това е възможно.

тези. дясната страна на нехомогенното уравнение е полином от степен м. Ако
не е корен на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси под формата на полином от степен м, т.е.

Коефициенти
се определят в процеса на намиране на определено решение.

Ако
е коренът на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата

Пример 7 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Съответното хомогенно уравнение за това уравнение е
. Неговото характеристично уравнение
има корени
И
. Общото решение на еднородното уравнение има вида
.

защото
не е корен на характеристичното уравнение, тогава ще търсим конкретно решение на нееднородното уравнение под формата на функция
. Нека намерим производните на тази функция
,
и ги заместете в това уравнение:

или . Нека приравним коефициентите за и безплатни членове:
След като решихме тази система, получаваме
,
. Тогава определено решение на нехомогенното уравнение има формата
, а общото решение на дадено нехомогенно уравнение ще бъде сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и частното решение на нехомогенното:
.

Нека нееднородното уравнение има формата

Ако
не е корен на характеристичното уравнение, то конкретно решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата. Ако
е коренът на уравнението за характеристична множественост к (к=1 или к=2), то в този случай определено решение на нехомогенното уравнение ще има формата .

Пример 8 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристичното уравнение за съответното хомогенно уравнение има формата
. Неговите корени
,
. В този случай общото решение на съответното хомогенно уравнение се записва във формата
.

Тъй като числото 3 не е корен на характеристичното уравнение, частно решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата
. Нека намерим производните на първи и втори ред:

Нека заместим в диференциалното уравнение:
+ +,
+,.

Нека приравним коефициентите за и безплатни членове:

Оттук
,
. Тогава определено решение на това уравнение има формата
и общото решение

.

Метод на Лагранж за вариация на произволни константи

Методът на вариране на произволни константи може да се приложи към всяко нехомогенно линейно уравнение с постоянни коефициенти, независимо от вида на дясната страна. Този метод ви позволява винаги да намерите общо решение на нехомогенно уравнение, ако общото решение на съответното хомогенно уравнение е известно.

Позволявам
И
са линейно независими решения на уравнение (2). Тогава общото решение на това уравнение е
, Където И
- произволни константи. Същността на метода за промяна на произволни константи е, че общото решение на уравнение (1) се търси във формата

Където
И
- нови неизвестни функции, които трябва да бъдат намерени. Тъй като има две неизвестни функции, за намирането им са необходими две уравнения, съдържащи тези функции. Тези две уравнения съставят системата

която е линейна алгебрична система от уравнения по отношение на
И
. Решавайки тази система, намираме
И
. Интегрирайки двете страни на получените равенства, намираме

И
.

Замествайки тези изрази в (9), получаваме общо решение на нехомогенното линейно уравнение (1).

Пример 9 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение. Характеристичното уравнение за хомогенното уравнение, съответстващо на дадено диференциално уравнение, е
. Корените му са сложни
,
. защото
И
, Че
,
, а общото решение на хомогенното уравнение има формата. След това ще потърсим общо решение на това нехомогенно уравнение във формата където
И
- неизвестни функции.

Системата от уравнения за намиране на тези неизвестни функции има формата

След като решихме тази система, намираме
,
. Тогава

,
. Нека заместим получените изрази във формулата за общото решение:

Това е общото решение на това диференциално уравнение, получено с помощта на метода на Лагранж.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Кое диференциално уравнение се нарича линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти?

Кое линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно и кое нехомогенно?

Какви свойства притежава линейното хомогенно уравнение?

Какво уравнение се нарича характерно за линейно диференциално уравнение и как се получава?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на различни корени на характеристичното уравнение?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти при еднакви корени на характеристичното уравнение?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение?

Как се записва общото решение на линейно нееднородно уравнение?

В каква форма се търси конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако корените на характеристичното уравнение са различни и не са равни на нула, а дясната страна на уравнението е полином от степен м?

В каква форма се търси конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако сред корените на характеристичното уравнение има една нула и дясната страна на уравнението е полином от степен м?

Каква е същността на метода на Лагранж?

Диференциални уравнения от 2-ри ред

§1. Методи за намаляване реда на уравнение.

Диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( или диференциално" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференциално уравнение от 2-ри ред). Задача на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Така уравнението от 2-ри ред https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решавайки го, получаваме общия интеграл на оригиналното диференциално уравнение в зависимост от две произволни константи: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Решение.

Тъй като оригиналното уравнение не съдържа изрично аргумент https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

От https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Пример 2.Намерете общото решение на уравнението: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Редът на степента се намалява, ако е възможно да се трансформира до такава форма, че двете страни на уравнението да станат пълни производни според https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – зададени функции, непрекъснати на интервала, на който се търси решението. Приемайки, че a0(x) ≠ 0, ние разделяме (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Нека приемем без доказателство, че (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height = "25 src=">, тогава уравнение (2.2) се нарича хомогенно, а уравнение (2.2) се нарича нехомогенно в противен случай.

Нека да разгледаме свойствата на разтворите на жила от 2-ри ред.

Определение.Линейна комбинация от функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

след това тяхната линейна комбинация https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> в (2.3) и показват, че резултатът е идентичността:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Тъй като функциите https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> са решения на уравнение (2.3), тогава всяка от скобите в последното уравнение е идентично е равно на нула, което трябваше да се докаже.

Следствие 1.От доказаната теорема следва, че в https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - решението на уравнението (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> се нарича линейно независим на някакъв интервал, ако нито една от тези функции не може да бъде представена като линейна комбинация от всички останали.

В случай на две функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, т.е..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. По този начин детерминантът на Вронски за две линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула.

Нека https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> отговарят на уравнението (2..gif" width="42" height="25 src = "> – решение на уравнение (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> се получава идентичността. Така,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в който детерминантата за линейно независими решения на уравнението (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> и двата фактора от дясната страна на формула (3.2) са различни от нула.

§4. Структура на общото решение на жилище от 2-ри ред.

Теорема.Ако https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> са линейно независими решения на уравнението (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">е решение на уравнение (2.3), следва от теоремата за свойствата на решенията на сила от 2-ри ред.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Константите https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> от тази система от линейни алгебрични уравнения се определят еднозначно, тъй като детерминантата на тази система е https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Съгласно предходния параграф, общото решение на Lod от 2-ри ред се определя лесно, ако са известни две линейно независими частични решения на това уравнение. Прост метод за намиране на частични решения на уравнение с постоянни коефициенти, предложено от L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, получаваме алгебрично уравнение, което се нарича характеристика:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> ще бъде решение на уравнение (5.1) само за тези стойности на k които са корените на характеристичното уравнение (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> и общото решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Нека проверим дали тази функция удовлетворява уравнение (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Замествайки тези изрази в уравнение (5.1), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, защото..gif" width="137" height="26 src= ">.

Конкретни решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> са линейно независими, защото..gif" width="166" височина ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

И двете скоби от лявата страна на това равенство са еднакво равни на нула..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> е решение на уравнение (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

се представя като сума от общото решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

и всяко конкретно решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> ще бъде решение на уравнение (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Това равенство е идентичност, защото..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Следователно.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> са линейно независими решения на това уравнение. По този начин:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> и такъв детерминант, както видяхме по-горе, е различен от нула..gif" width="19" height="25 src="> от системата на уравнения (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> ще реши уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в уравнение (6.5), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> уравнение (7.1) в случай, когато дясната страна f(x ) има специален вид.Този метод се нарича метод на неопределените коефициенти и се състои в избора на конкретно решение в зависимост от вида на дясната страна f(x).Разгледайте десните части на следната форма:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, може да бъде нула. Нека посочим формата, в която трябва да се вземе конкретно решение в този случай.

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Решение.

За уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Намаляваме двете части до https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> от лявата и дясната страна на равенството

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

От получената система от уравнения намираме: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, и общото решение на даденото уравнението е:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Решение.

Съответното характеристично уравнение има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Краен имаме следния израз за общото решение:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> отлично от нулата. Нека посочим вида на конкретното решение в този случай.

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> е коренът на характеристичното уравнение за уравнението (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Решение.

Корени на характеристичното уравнение за уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

Дясната страна на уравнението, дадено в пример 3, има специална форма: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

За да определите https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > и го заместете в даденото уравнение:

Цитирайки подобни термини, приравнявайки коефициентите на https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Крайното общо решение на даденото уравнение е: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> съответно и един от тези полиноми може да бъде равен на нула. Нека посочим типа на конкретното решение в този общ случай .

а) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

б) Ако числото https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, тогава конкретното решение на lndu ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. В израза (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Пример 4.Посочете вида на конкретното решение на уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Общото решение на Lodu има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Допълнителни коефициенти https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > има конкретно решение за уравнението с дясната страна f1(x) и Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариации на произволни константи (метод на Лагранж).

Директното намиране на конкретно решение на уравнение, освен в случай на уравнение с постоянни коефициенти и със специални свободни членове, е много трудно. Следователно, за да се намери общо решение на уравнението, обикновено се използва методът на вариация на произволни константи, което винаги дава възможност да се намери общото решение на уравнението в квадратури, ако е известна основната система от решения на съответното хомогенно уравнение . Този метод е както следва.

Съгласно горното общото решение на линейно хомогенно уравнение е:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не константи, а някои, все още неизвестни, функции на f(x). . трябва да се вземе от интервала. Всъщност в този случай детерминантата на Вронски е различна от нула във всички точки на интервала, т.е. в цялото пространство - комплексният корен на характеристичното уравнение..gif" width="20" height="25 src="> линейно независими частични решения от вида:

В общата формула за решение този корен съответства на израз на формата.

В някои задачи на физиката не е възможно да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но е възможно да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е структурирана по такъв начин, че с нулеви познания по диференциални уравнения можете да се справите със задачата си.

Всеки тип диференциално уравнение е свързано с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Всичко, което трябва да направите, е да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо ще разгледаме типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат разрешени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред от вида.

Нека напишем няколко примера за такова дистанционно управление .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнение, което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f(x) ≠ 0. Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, при които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумент. Примери за такива диференциални уравнения включват:

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LDE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциално уравнение. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или сложни конюгати. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LODE с постоянни коефициенти има формата


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LDDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси под формата на сумата от общото решение на съответния LDDE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f(x) от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариране на произволни константи.

Като примери за LDDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние даваме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробни решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения (LNDE) от втори ред.

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LDDE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен сегмент е представено от линейна комбинация от две линейно независими частични решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частни решения на диференциално уравнение от този тип. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LOD е .

Общото решение на LDDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LDDE, а е частното решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането му, но то може да се определи с помощта на метода на вариране на произволни константи.

Може да се даде пример за LNDU .

Диференциални уравнения от по-високи редове.

Диференциални уравнения, които позволяват редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай първоначалното диференциално уравнение ще бъде намалено до . След намиране на неговото решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната то ще се превърне в уравнение с разделими променливи и редът му ще бъде намален от трети на първи.