Намиране на втората производна, зададена параметрично. Производна на функция, дефинирана параметрично

Досега разглеждахме уравнения на прави в равнина, които директно свързват текущите координати на точките от тези прави. Въпреки това, често се използва друг метод за дефиниране на линия, при който текущите координати се разглеждат като функции на трета променлива.

Нека са дадени две функции на променлива

разглеждани за същите стойности на t. Тогава всяка от тези стойности на t съответства на определена стойност и определена стойност на y и следователно на определена точка. Когато променливата t преминава през всички стойности от областта на дефиниране на функциите (73), точката описва определена линия C в равнината.Уравненията (73) се наричат ​​параметрични уравнения на тази линия, а променливата се нарича параметър.

Да приемем, че функцията има обратна функция. Замествайки тази функция във второто от уравненията (73), получаваме уравнението

изразяване на y като функция

Нека се съгласим да кажем, че тази функция е дадена параметрично чрез уравнения (73). Преходът от тези уравнения към уравнение (74) се нарича елиминиране на параметър. Когато разглеждаме функции, дефинирани параметрично, изключването на параметъра не само не е необходимо, но и не винаги е практически възможно.

В много случаи е много по-удобно, като се имат предвид различни стойности на параметъра, след това да се изчислят, като се използват формули (73), съответните стойности на аргумента и функцията y.

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1. Нека е произволна точка върху окръжност с център в началото и радиус R. Декартовите координати x и y на тази точка се изразяват чрез нейния полярен радиус и полярен ъгъл, които тук означаваме с t, както следва ( виж глава I, § 3, параграф 3):

Уравнения (75) се наричат ​​параметрични уравнения на окръжност. Параметърът в тях е полярният ъгъл, който варира от 0 до .

Ако уравненията (75) се повдигнат на квадрат член по член и се добавят, тогава по силата на тъждеството параметърът се елиминира и се получава уравнението на окръжност в декартовата координатна система, което дефинира две елементарни функции:

Всяка от тези функции е зададена параметрично чрез уравнения (75), но диапазоните на параметрите за тези функции са различни. За първия от тях; Графиката на тази функция е горният полукръг. За втората функция нейната графика е долният полукръг.

Пример 2. Разгледайте едновременно елипса

и окръжност с център в началото и радиус a (фиг. 138).

Към всяка точка M от елипсата свързваме точка N от окръжността, която има същата абциса като точката M и се намира с нея от същата страна на оста Ox. Положението на точка N, а следователно и точка M, се определя изцяло от полярния ъгъл t на точката.В този случай за общата им абциса получаваме следния израз: x = a. Намираме ординатата в точка М от уравнението на елипсата:

Знакът е избран, защото ординатата на точка M и ординатата на точка N трябва да имат еднакви знаци.

Така се получават следните параметрични уравнения за елипсата:

Тук параметърът t варира от 0 до .

Пример 3. Да разгледаме окръжност с център в точка а) и радиус а, която очевидно докосва оста х в началото (фиг. 139). Да приемем, че тази окръжност се търкаля без приплъзване по оста x. Тогава точката M от окръжността, която в началния момент съвпада с началото на координатите, описва права, наречена циклоида.

Нека изведем параметричните уравнения на циклоидата, като вземем за параметър t ъгъла MSV на завъртане на окръжността при преместване на нейната фиксирана точка от позиция O в позиция M. Тогава за координатите и y на точка M получаваме следните изрази:

Поради факта, че кръгът се търкаля по оста без приплъзване, дължината на сегмента OB е равна на дължината на дъгата BM. Тъй като дължината на дъгата BM е равна на произведението на радиуса a и централния ъгъл t, тогава . Ето защо . Но следователно,

Тези уравнения са параметричните уравнения на циклоидата. Когато параметърът t се промени от 0 до кръгът ще направи един пълен оборот. Точка М ще описва една дъга от циклоидата.

Изключването на параметъра t тук води до тромави изрази и е практически непрактично.

Параметричната дефиниция на линиите се използва особено често в механиката, а ролята на параметъра се играе от времето.

Пример 4. Да определим траекторията на снаряд, изстрелян от оръдие с начална скорост под ъгъл a спрямо хоризонталата. Пренебрегваме съпротивлението на въздуха и размерите на снаряда, считайки го за материална точка.

Да изберем координатна система. Нека приемем точката на излитане на снаряда от дулото за начало на координатите. Нека насочим оста Ox хоризонтално, а оста Oy вертикално, като ги поставим в една равнина с дулото на пистолета. Ако нямаше сила на гравитацията, тогава снарядът щеше да се движи праволинейно, сключвайки ъгъл a с оста Ox, и за времето t щеше да измине разстоянието.Координатите на снаряда в момент t биха били съответно равни да се: . Благодарение на гравитацията снарядът трябва до този момент да се спусне вертикално с определена сума.Следователно в действителност в момента t координатите на снаряда се определят по формулите:

Тези уравнения съдържат постоянни величини. Когато t се промени, координатите в точката на траекторията на снаряда също ще се променят. Уравненията са параметрични уравнения на траекторията на снаряда, в които параметърът е времето

Изразяване от първото уравнение и заместването му в

второто уравнение, получаваме уравнението на траекторията на снаряда във формата Това е уравнението на парабола.

Помислете за дефиниране на права в равнина, в която променливите x, y са функции на трета променлива t (наречена параметър):

За всяка стойност Tот определен интервал съответстват определени стойности хИ у а, следователно определена точка M (x, y) от равнината. Кога Tминава през всички стойности от даден интервал, след това точката М (x, y) описва някакъв ред Л. Уравнения (2.2) се наричат ​​уравнения на параметрични линии Л.

Ако функцията x = φ(t) има обратна t = Ф(x), тогава замествайки този израз в уравнението y = g(t), получаваме y = g(Ф(x)), което определя гкато функция на х. В този случай казваме, че уравнения (2.2) дефинират функцията гпараметрично.

Пример 1.Позволявам M(x,y)– произволна точка върху окръжност с радиус Ри центриран в началото. Позволявам T– ъгъл между осите воли радиус ОМ(виж Фиг. 2.3). Тогава x, yсе изразяват чрез T:

Уравнения (2.3) са параметрични уравнения на окръжност. Нека изключим параметъра t от уравненията (2.3). За да направим това, повдигаме на квадрат всяко уравнение и го добавяме, получаваме: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) или x 2 + y 2 = R 2 – уравнението на окръжност в декартовата система координатна система. Той дефинира две функции: Всяка от тези функции е дадена от параметрични уравнения (2.3), но за първата функция , а за втората .

Пример 2. Параметрични уравнения

дефинирайте елипса с полуоси а, б(фиг. 2.4). Изключване на параметъра от уравненията T, получаваме каноничното уравнение на елипсата:

Пример 3. Циклоида е линия, описана от точка, лежаща върху окръжност, ако тази окръжност се търкаля без плъзгане по права линия (фиг. 2.5). Нека въведем параметричните уравнения на циклоидата. Нека радиусът на кръга на търкаляне е а, точка М, описващ циклоидата, в началото на движението съвпада с началото на координатите.

Да определим координатите х, y точки Мслед като кръгът се е завъртял под ъгъл T
(фиг. 2.5), t = ÐMCB. Дължината на дъгата М.Б.равна на дължината на отсечката O.B.тъй като кръгът се търкаля без приплъзване, следователно

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – цена).

Така се получават параметричните уравнения на циклоидата:

При промяна на параметър Tот 0 до 2πкръгът се завърта с един оборот, а точката Мописва една дъга от циклоида. Уравнения (2.5) дават гкато функция на х. Въпреки че функцията x = a(t – sint)има обратна функция, но не се изразява чрез елементарни функции, така че функцията y = f(x)не се изразява чрез елементарни функции.

Нека разгледаме диференцирането на функция, дефинирана параметрично с уравнения (2.2). Функцията x = φ(t) на определен интервал на изменение t има обратна функция t = Ф(x), Тогава y = g(Ф(x)). Позволявам x = φ(t), y = g(t)имат производни и x"t≠0. Според правилото за диференциране на сложни функции y"x=y"t×t"x.Въз основа на правилото за диференциране на обратната функция, следователно:

Получената формула (2.6) позволява да се намери производната за функция, зададена параметрично.

Пример 4. Нека функцията г, в зависимост от х, се задава параметрично:

Решение. .
Пример 5.Намерете наклона кдопирателна към циклоидата в точка M 0, съответстваща на стойността на параметъра.
Решение.От циклоидните уравнения: y" t = asint, x" t = a(1 – цена),Ето защо

Наклон на допирателната в точка M0равна на стойността при t 0 = π/4:

ДИФЕРЕНЦИАЛНА ФУНКЦИЯ

Нека функцията в точката х 0има производна. A-приори:
следователно, според свойствата на границата (раздел 1.8), където а– безкрайно малък при Δx → 0. Оттук

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Тъй като Δx → 0, вторият член в равенството (2.7) е безкрайно малък от по-висок порядък в сравнение с , следователно Δy и f " (x 0)×Δx са еквивалентни, безкрайно малки (за f "(x 0) ≠ 0).

По този начин нарастването на функцията Δy се състои от два члена, от които първият f "(x 0)×Δx е Главна част нарастване Δy, линейно по отношение на Δx (за f "(x 0)≠ 0).

Диференциалфункция f(x) в точка x 0 се нарича основната част от нарастването на функцията и се означава: dyили df(x0). следователно

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1.Намерете диференциала на функция dyи увеличението на функцията Δy за функцията y = x 2 при:
1) произволно хи Δ х; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ако x 0 = 20, Δx = 0,1, тогава Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Нека запишем равенството (2.7) във вида:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Увеличението Δy е различно от диференциала dyдо безкрайно малко от по-висок порядък в сравнение с Δx, следователно при приблизителни изчисления се използва приблизителното равенство Δy ≈ dy, ако Δx е достатъчно малко.

Като се има предвид, че Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), получаваме приблизителна формула:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Пример 2. Изчислете приблизително.

Решение.Обмисли:

Използвайки формула (2.10), получаваме:

И така, ≈ 2,025.

Нека разгледаме геометричния смисъл на диференциала df(x 0)(фиг. 2.6).

Нека начертаем допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точка M 0 (x0, f(x 0)), нека φ е ъгълът между допирателната KM0 и оста Ox, тогава f"( x 0) = tanφ От ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Но PN е нарастването на допирателната ордината, когато x се променя от x 0 на x 0 + Δx.

Следователно диференциалът на функцията f(x) в точката x 0 е равен на увеличението на ординатата на допирателната.

Нека намерим диференциала на функцията
y = x. Тъй като (x)" = 1, тогава dx = 1×Δx = Δx. Ще приемем, че диференциалът на независимата променлива x е равен на нейното нарастване, т.е. dx = Δx.

Ако x е произволно число, то от равенството (2.8) получаваме df(x) = f "(x)dx, откъдето .
По този начин производната за функция y = f(x) е равна на отношението на нейния диференциал към диференциала на аргумента.

Нека разгледаме свойствата на диференциала на функция.

Ако u(x), v(x) са диференцируеми функции, тогава са валидни следните формули:

За доказване на тези формули се използват производни формули за сбор, произведение и частно на функция. Нека докажем например формула (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Нека разгледаме диференциала на сложна функция: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогава dy = y" t dt, но y" t = y" x × x" t, така че dy = y" x x" t dt. Имайки в предвид,

че x" t = dx, получаваме dy = y" x dx =f "(x)dx.

Така диференциалът на сложна функция y = f(x), където x =φ(t), има формата dy = f "(x)dx, същата като в случая, когато x е независима променлива. Това свойство е наречен инвариантност на формата на диференциала А.

Нека функцията е определена по параметричен начин:
(1)
където е някаква променлива, наречена параметър. И нека функциите имат производни при определена стойност на променливата. Освен това функцията има и обратна функция в определена околност на точката. Тогава функция (1) има производна в точката, която в параметрична форма се определя от формулите:
(2)

Тук и са производните на функциите и по отношение на променливата (параметър). Те често се записват по следния начин:
;
.

Тогава система (2) може да бъде записана по следния начин:

Доказателство

По условие функцията има обратна функция. Нека го обозначим като
.
Тогава оригиналната функция може да бъде представена като сложна функция:
.
Нека намерим неговата производна, като използваме правилата за диференциране на сложни и обратни функции:
.

Правилото е доказано.

Доказателство по втория начин

Нека намерим производната по втория начин, въз основа на дефиницията на производната на функцията в точката:
.
Нека въведем обозначението:
.
Тогава предишната формула приема формата:
.

Нека се възползваме от факта, че функцията има обратна функция в околността на точката.
Нека въведем следната нотация:
; ;
; .
Разделете числителя и знаменателя на дробта на:
.
В , . Тогава
.

Правилото е доказано.

Производни от по-висок порядък

За да се намерят производни от по-високи разряди, е необходимо да се извърши диференциране няколко пъти. Да кажем, че трябва да намерим производната от втори ред на функция, дефинирана параметрично, със следната форма:
(1)

Използвайки формула (2), намираме първата производна, която също се определя параметрично:
(2)

Нека означим първата производна с променливата:
.
След това, за да намерите втората производна на функция по отношение на променливата, трябва да намерите първата производна на функцията по отношение на променливата. Зависимостта на променлива от променлива също се определя по параметричен начин:
(3)
Сравнявайки (3) с формули (1) и (2), намираме:

Сега нека изразим резултата чрез функциите и . За да направите това, нека заместим и приложим формулата за производна дроб:
.
Тогава
.

От тук получаваме втората производна на функцията по отношение на променливата:

Дава се и в параметрична форма. Обърнете внимание, че първият ред може да бъде написан и по следния начин:
.

Продължавайки процеса, можете да получите производни на функции от променлива от трети и по-висок ред.

Обърнете внимание, че не е необходимо да въвеждаме нотация за производната. Можете да го напишете така:
;
.

Пример 1

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Решение

Намираме производни по отношение на .
От таблицата на производните намираме:
;
.
Прилагаме:

.
Тук .

.
Тук .

Необходимата производна:
.

Отговор

Пример 2

Намерете производната на функцията, изразена чрез параметъра:

Решение

Нека разширим скобите, като използваме формули за степенни функции и корени:
.

Намиране на производната:

.

Намиране на производната. За да направим това, въвеждаме променлива и прилагаме формулата за производна на сложна функция.

.

Намираме търсената производна:
.

Отговор

Пример 3

Намерете производните от втори и трети ред на функцията, дефинирана параметрично в пример 1:

Решение

В пример 1 открихме производната от първи ред:

Нека представим обозначението. Тогава функцията е производна по отношение на . Задава се параметрично:

За да намерим втората производна по отношение на , трябва да намерим първата производна по отношение на .

Нека разграничим по.
.
Намерихме производната на в пример 1:
.
Производната от втори ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

И така, намерихме производната от втори ред по отношение на параметричната форма:

Сега намираме производната от трети ред. Нека представим обозначението. След това трябва да намерим производната от първи ред на функцията, която е зададена по параметричен начин:

Намерете производната по отношение на . За да направим това, ние го пренаписваме в еквивалентна форма:
.
от
.

Производната от трети ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

Коментирайте

Не е необходимо да въвеждате променливите и , които са производни съответно на и . След това можете да го напишете така:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Отговор

При параметрично представяне производната от втори ред има следната форма:

Производна от трети ред.

Функцията може да бъде определена по няколко начина. Зависи от правилото, което се използва за определянето му. Изричната форма на специфициране на функцията е y = f (x). Има моменти, когато описанието му е невъзможно или неудобно. Ако има много двойки (x; y), които трябва да бъдат изчислени за параметъра t в интервала (a; b). За решаване на системата x = 3 cos t y = 3 sin t с 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Дефиниция на параметрична функция

От тук имаме, че x = φ (t), y = ψ (t) са дефинирани за стойност t ∈ (a; b) и имат обратна функция t = Θ (x) за x = φ (t), тогава говорим за определяне на параметрично уравнение на функция от вида y = ψ (Θ (x)) .

Има случаи, когато за изследване на функция е необходимо да се търси производната по x. Нека разгледаме формулата за производната на параметрично дефинирана функция от формата y x " = ψ " (t) φ " (t), нека поговорим за производната от 2-ри и n-ти ред.

Извеждане на формулата за производна на параметрично дефинирана функция

Имаме, че x = φ (t), y = ψ (t), дефинирани и диференцируеми за t ∈ a; b, където x t " = φ " (t) ≠ 0 и x = φ (t), тогава има обратна функция на формата t = Θ (x).

Като начало трябва да преминете от параметрична задача към изрична. За да направите това, трябва да получите сложна функция от формата y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), където има аргумент x.

Въз основа на правилото за намиране на производната на сложна функция получаваме, че y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Това показва, че t = Θ (x) и x = φ (t) са обратни функции от формулата за обратна функция Θ " (x) = 1 φ " (t), тогава y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Нека да преминем към разглеждане на решаването на няколко примера с помощта на таблица с производни според правилото за диференциране.

Пример 1

Намерете производната на функцията x = t 2 + 1 y = t.

Решение

По условие имаме, че φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, от тук получаваме, че φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Трябва да използвате получената формула и да запишете отговора във формата:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Отговор: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Когато работите с производната на функция h, параметърът t определя израза на аргумента x чрез същия параметър t, за да не се загуби връзката между стойностите на производната и параметрично дефинираната функция с аргумента до на които отговарят тези стойности.

За да определите производната от втори ред на параметрично дадена функция, трябва да използвате формулата за производната от първи ред на получената функция, тогава получаваме това

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Пример 2

Намерете производните от 2-ри и 2-ри ред на дадената функция x = cos (2 t) y = t 2 .

Решение

По условие получаваме, че φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

След това след трансформацията

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

От това следва, че y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Получаваме, че формата на производната от първи ред е x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

За да решите, трябва да приложите формулата за производна от втори ред. Получаваме израз на формата

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

След това се указва производната от 2-ри ред с помощта на параметрична функция

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Подобно решение може да бъде решено с друг метод. Тогава

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

От тук разбираме това

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Отговор: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Производни от по-висок порядък с параметрично дефинирани функции се намират по подобен начин.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Логаритмично диференциране

Производни на елементарни функции

Основни правила за диференциране

Функционален диференциал

Главна линейна част от нарастването на функцията Ад хпри определяне на диференцируемостта на функция

д f=f(х)-f(х 0)=А(х - х 0)+o(х – х 0), x®x 0

наречен диференциал на функцията f(х) в точката х 0 и е означено

df(х 0)=f¢(х 0)D х=Ад х.

Разликата зависи от точката х 0 и от нарастване D х.На Д хв същото време те го разглеждат като независима променлива, така че във всяка точка диференциалът е линейна функция на нарастването D х.

Ако разглеждаме като функция f(х)=x, тогава получаваме dx=д x,dy=Adx. Това е в съответствие с нотацията на Лайбниц

Геометрична интерпретация на диференциала като нарастване на ординатата на допирателната.

Ориз. 4.3

1) f=конст , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Последица. (вж(х))¢=cf¢(х), (° С 1 f 1 (х)+...+c n f n(х))¢=c 1 f¢ 1 (х)+...+ c n f¢ n(х)

4) f=u/v, v(х 0)¹0 и производната съществува, тогава f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

За краткост ще обозначим u=u(х), u 0 =u(х 0), тогава

Преминаване до границата при D x® 0 получаваме търсеното равенство.

5) Производна на сложна функция.

Теорема. Ако има f¢(х 0), g¢(х 0)и х 0 =g(T 0), после в някаква махала т 0 дефинирана е комплексна функция f(ж(T)), той е диференцируем в точка t 0 И

Доказателство.

f(х)-f(х 0)=f¢(х 0)(х-х 0)+ а( х)(х-х 0), хÎ U(х 0).

f(ж(T))-f(ж(T 0))= f¢(х 0)(ж(T)-g(T 0))+ а( ж(T))(ж(T)-g(T 0)).

Нека разделим двете страни на това равенство на ( т - т 0) и да отидем до границата при t®t 0 .

6) Изчисляване на производната на обратната функция.

Теорема. Нека f е непрекъснато и строго монотонно върху[а,б]. Нека в точка x 0 Î( а,б)има f¢(х 0)¹ 0 , тогава обратната функция x=f -1 (г)има в точка y 0 производна равна на

Доказателство. Ние броим fстрого монотонно нарастващ, тогава f -1 (г) е непрекъснат, нараства монотонно с [ f(а),f(b)]. Да сложим г 0 =f(х 0), y=f(х), х - х 0 = D х,

y - y 0 = D г. Поради непрекъснатостта на обратната функция D г®0 Þ D х®0, имаме

Преминавайки към границата, получаваме търсеното равенство.

7) Производната на четна функция е нечетна, производната на нечетна функция е четна.

Наистина, ако x® - x 0 , Че - x® x 0 , Ето защо

За четна функция за нечетна функция

1) f= const, f¢(х)=0.

2) f(х)=x,f¢(х)=1.

3) f(х)=e x, f¢(х)= e x ,

4) f(х)=a x ,(a x)¢ = брадвавътре а.

5) вътре а.

6) f(х)=ln х,

Последица. (производната на четна функция е нечетна)

7) (хм )¢= м х m -1 , х>0, хм =дм вътре х .

8) (грех х)¢= cos х,

9) (cos х)¢=- грях х,(тъй като х)¢= (грях( x+ p/2)) ¢= защото ( x+ p/2)=-грех х.

10) (tg х)¢= 1/cos 2 х.

11) (ctg х)¢= -1/грех 2 х.

16)ш х,гл х.

f(x),, от което следва, че f¢(х)=f(х)(вн f(х))¢ .

Същата формула може да се получи по различен начин f(х)=двътре f(х) , f¢=eвътре f(х) (лн f(х))¢.

Пример. Изчисляване на производната на функция f=x x.

=x x = x x = x x = x x(вн x+ 1).

Геометрично място на точките в равнината

ще го наречем графика на функция, дадени параметрично. Те също така говорят за параметрична спецификация на функция.

Бележка 1.Ако x, yнепрекъснато за [а,б] И х(T) строго монотонно на сегмента (например, строго монотонно нараства), след това на [ а,б], a=x(а) , b=xб) дефинирана функция f(х)=г(T(х)), където t(х) – функция, обратна на x(t). Графиката на тази функция съвпада с графиката на функцията

Ако домейнът на дефиницията параметрично зададена функция може да бъде разделена на краен брой сегменти ,k= 1,2,...,н,на всеки от които има функция х(T) е строго монотонна, тогава параметрично дефинираната функция се разлага на краен брой обикновени функции fk(х)=г(T -1 (х)) с домейни [ х(а к), х(б к)] за увеличаване на секциите х(T) и с домейни [ х(б к), х(а к)] за зони с намалена функция х(T). Получените по този начин функции се наричат ​​еднозначни разклонения на параметрично определена функция.

Фигурата показва графика на параметрично дефинирана функция

С избраната параметризация, дефиниционната област е разделена на пет секции на строга монотонност на функцията sin(2 T), точно: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , и, съответно, графиката ще се раздели на пет недвусмислени клона, съответстващи на тези секции.

Ориз. 4.4

Ориз. 4.5

Можете да изберете различна параметризация на едно и също геометрично местоположение на точки

В този случай ще има само четири такива клона. Те ще съответстват на области на строга монотонност TÎ ,TÎ , TÎ ,TÎ функции грях (2 T).

Ориз. 4.6

Четири секции на монотонност на функцията sin(2 T) на дълъг сегмент.

Ориз. 4.7

Изобразяването на двете графики на една фигура ви позволява приблизително да изобразите графиката на параметрично определена функция, като използвате зоните на монотонност на двете функции.

Като пример, разгледайте първия клон, съответстващ на сегмента TÎ . В края на този раздел функцията x=грях (2 T) приема стойности -1 и 1 , така че този клон ще бъде дефиниран на [-1,1] . След това трябва да разгледате областите на монотонност на втората функция y=защото ( T), тя има две части на монотонността . Това ни позволява да кажем, че първият клон има две секции на монотонност. След като намерите крайните точки на графиката, можете да ги свържете с прави линии, за да посочите естеството на монотонността на графиката. След като направим това с всеки клон, получаваме области на монотонност на недвусмислени клонове на графиката (те са маркирани в червено на фигурата)

Ориз. 4.8

Първи клон с една стойност f 1 (х)=г(T(х)) , съответстващ на сайта ще бъде определено за хО[-1,1] . Първи клон с една стойност TÎ , хО[-1,1].

Всички останали три клона също ще имат домейн на дефиниция [-1,1] .

Ориз. 4.9

Втори клон TÎ хО[-1,1].

Ориз. 4.10

Трети клон TÎ хО[-1,1]

Ориз. 4.11

Четвърти клон TÎ хО[-1,1]

Ориз. 4.12

Коментирайте 2. Една и съща функция може да има различни параметрични настройки. Разликите могат да засягат както самите функции х(T), г(T) , и областта на дефиницията тези функции.

Пример за различни параметрични присвоявания за една и съща функция

И TО[-1, 1] .

Бележка 3.Ако x,y са непрекъснати на , х(T)-строго монотонно на сегмента и има производни y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, тогава има f¢(х 0)= .

Наистина ли, .

Последното твърдение се отнася и за еднозначни разклонения на параметрично дефинирана функция.

4.2 Производни и диференциали от по-високи разряди

Висши производни и диференциали. Диференциране на параметрично зададени функции. Формулата на Лайбниц.