Натуральне значення. Натуральні числа – основи

Числа – це абстрактне поняття. Вони є кількісною характеристикою об'єктів та бувають дійсні, раціональні, негативні, цілі та дробові, а також натуральні.

Натуральний ряд зазвичай використовують за рахунку, у якому природним чином виникають позначення кількості. Знайомство з рахунком починається в ранньому дитинстві. Який малюк уникнув кумедних лічилок, у яких якраз використовувалися елементи натурального рахунку? "Раз, два, три, чотири, п'ять... Вийшов зайчик погуляти!" або "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, цар вирішив мене повісити..."

Для будь-якого натурального числа можна знайти інше, більше його. Це безліч прийнято позначати буквою N і вважатимуться нескінченним у бік зростання. А ось початок у цього безліч є – це одиниця. Хоча існують французькі натуральні числа, до множини яких входить також і нуль. Але основними відмінними рисами і тієї, і іншої множини є той факт, що в них не входять ні дрібні, ні негативні числа.

Потреба у перерахунку найрізноманітніших предметів виникла ще за доісторичні часи. Тоді, ймовірно, сформувалося поняття «натуральні числа». Його формування відбувалося протягом усього процесу зміни світогляду людини, розвитку науки та техніки.

Однак не могли ще мислити абстрактно. Їм складно було усвідомити, в чому полягає спільність понять «три мисливці» або «три дерева». Тому за вказівки кількості людей використовувалося одне визначення, а за вказівки тієї ж кількості предметів іншого роду - зовсім інше визначення.

Причому був надзвичайно коротким. У ньому були лише числа 1 і 2, а закінчувався рахунок поняттям «багато», «стадо», «натовп», «купа».

Пізніше сформувався прогресивніший рахунок, вже ширший. Цікавим є той факт, що існувало всього два числа - 1 і 2, а наступні числа виходили вже додаванням.

Прикладом цього послужили відомості, що дійшли до нас, про числовий ряд австралійського племені. У них 1 означало слово «Енза», а 2 - слово «петчував». Число 3 тому звучало як «петчував-Енза», а 4 - вже як «петчував-петчував».

Більшість народів еталоном рахунку визнавали пальці. Далі розвиток абстрактного поняття «натуральні числа» пішов шляхом використання зарубок на паличці. І тут постала необхідність позначення десятка іншим знаком. Стародавні люди наші вихід стали використовувати іншу паличку, на якій робилися зарубки, що позначають десятки.

Можливості відтворення чисел надзвичайно розширилися з появою писемності. Спочатку числа зображалися рисочками на глиняних табличках або папірусі, але поступово почали використовувати інші значки для запису Так з'явилися римські цифри.

Значно пізніше з'явилися відкриті можливість запису чисел порівняно невеликим набором символів. Сьогодні нескладно записати такі величезні числа, як відстань між планетами і кількість зірок. Варто лише навчитися користуватися ступенями.

Евклід в 3 столітті до нашої ери в книзі «Початку» встановлює нескінченність числової множини А Архімед у «Псаміті» розкриває принципи для побудови назв як завгодно великих чисел. Майже до середини 19 століття перед людьми не виникала потреба чіткого формулювання поняття «натуральні числа». Визначення знадобилося з появою аксіоматичного математичного методу.

І в 70-х роках 19 століття сформулював чітке визначення натуральних чисел, засноване на понятті множини. І ось сьогодні ми вже знаємо, що натуральні числа - це всі цілі числа, починаючи від 1 до нескінченності. Маленькі діти, роблячи свій перший крок у знайомстві з царицею всіх наук – математикою – починають вивчати саме ці числа.

1.1.Визначення

Числа, що застосовуються людьми за рахунку, називаються натуральними(наприклад, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тисячі двісті двадцять один,…) Для запису натуральних чисел використовують спеціальні знаки (символи), які називаються цифрами.

В наш час прийнято десяткова система запису чисел. У десятковій системі (або способі) запису чисел використовуються арабські цифри. Це десять різних символів-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Найменшенатуральне число - це число один, вонозаписується за допомогою десяткової цифри - 1. Наступне натуральне число виходить із попереднього (крім одиниці) додаванням 1 (одиниці). Таке додавання можна робити багато разів (нескінченна кількість разів). Це означає, що ні найбільшогонатурального числа. Тому кажуть, що ряд натуральних чисел необмежений або нескінченний, оскільки він не має кінця. Натуральні числа записують за допомогою десяткових цифр.

1.2. Число «нуль»

Для позначення відсутності чогось використовують число " нуль" або " нуль". Його записують за допомогою цифри 0 (нуль). Наприклад, у коробці всі кулі червоні. Скільки з-поміж них зелених? - Відповідь: нуль . Значить, зелених кульок у коробці немає! Число 0 може означати, що щось закінчилося. Наприклад, Маша мала 3 яблука. Двома вона поділилася з друзями, одне з'їла сама. Значить, у неї лишилося 0 (нуль) яблук, тобто. жодного не лишилося. Число 0 може означати, що щось не сталося. Наприклад, хокейний матч Збірна Росії - Збірна Канади закінчився з рахунком 3:0 (читаємо "три - нуль") на користь збірної Росії. Отже, збірна Росії забила 3 ​​голи, а збірна Канади 0 голів не змогла забити жодного гола. Треба пам'ятати, що число нуль не є натуральним.

1.3. Запис натуральних чисел

У десятковому способі запису натурального числа кожна цифра може означати різні числа. Це залежить від місця цієї цифри у записі числа. Певне місце у записі натурального числа називається позицією.Тому десяткова система запису чисел називається позиційної.Розглянемо десятковий запис 7777 числа сім тисяч сімсот сімдесят сім.У цьому записі сім тисяч, сім сотень, сім десятків та сім одиниць.

Кожне з місць (позицій) у десятковому записі числа називається розрядом. Кожні три розряди об'єднані в клас.Це об'єднання проводиться праворуч (з кінця запису числа). Різні розряди та класи мають власні назви. Ряд натуральних чисел необмежений. Тому кількість розрядів та класів також не обмежена ( нескінченно). Розглянемо назви розрядів та класів на прикладі числа з десятковим записом

38 001 102 987 000 128 425:

Класи та розряди
квінтильйони		сотні квінтильйонів
		десятки квінтильйонів
		квінтильйони
квадрільйони		сотні квадрильйонів
		десятки квадрильйонів
		квадрільйони
трильйони		сотні трильйонів
		десятки трильйонів
		трильйони
мільярди		сотні мільярдів
		десятки мільярдів
		мільярди
мільйони		сотні мільйонів
		десятки мільйонів
		мільйони
		сотні тисяч
		десятки тисяч

Отже, класи, починаючи з молодшого, мають назви: одиниці, тисячі, мільйони, мільярди, трильйони, квадрильйони, квінтильйони.

1.4. Розрядні одиниці

Кожен із класів у записі натуральних чисел складається з трьох розрядів. Кожен розряд має розрядні одиниці. Наступні числа називаються розрядними одиницями:

1 - розрядна одиниця розряду одиниць,

10 - розрядна одиниця розряду десятків,

100 - розрядна одиниця розряду сотень,

1000 - розрядна одиниця розряду тисяч,

10 000 - розрядна одиниця розряду десятків тисяч,

100 000 - розрядна одиниця розряду сотень тисяч,

1000000 - розрядна одиниця розряду мільйонів, і т. д.

Цифра у якомусь із розрядів показує кількість одиниць даного розряду. Так, цифра 9, у розряді сотень мільярдів, означає, що до складу числа 38001102987000128425 входить дев'ять мільярдів (тобто 9 разів по 1000000000 або 9 розрядних одиниць розряду мільярдів). Порожній розряд сотень квінтильйонів означає, що в цьому числі відсутні сотні квінтильйонів або їх кількість дорівнює нулю. При цьому число 38001102987000128425 можна записати так: 038001102987000128425.

Можна записати інакше: 000038001102987000128425. Нулі на початку числа вказують на порожні старші розряди. Зазвичай їх не пишуть на відміну від нулів усередині десяткового запису, якими обов'язково відзначають порожні розряди. Так, три нулі у класі мільйонів означає, що порожні розряди сотень мільйонів, десятків мільйонів та одиниць мільйонів.

1.5. Скорочення запису чисел

При записі натуральних чисел використовують скорочення. Наведемо приклади:

1000 = 1 тис. (одна тисяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцять три мільйони)

5000000000 = 5 млрд. (П'ять мільярдів)

203000000000000 = 203 трлн. (Двісті три трильйони)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто сім квадрильйонів)

1000000000000000000 = 1 квнт. (один квінтильйон)

Блок 1.1. Словник

Складіть словник нових термінів та визначень із §1. Для цього в порожні клітини впишіть слова зі списку наведеного нижче. У таблиці (наприкінці блоку) вкажіть для кожного визначення номер терміну зі списку.

Блок 1.2. Самопідготовка

У світі великих чисел

Економіка .

1. Бюджет Росії наступного року складе: 6328251684128 рублів.
2. На цей рік заплановано видатків: 5124983252134 рублів.
3. Доходи країни перевищили витрати на 12 032 684 310 94 рублів.

Запитання та завдання

1. Прочитайте всі три вказані числа
2. Запишіть цифри у класі мільйонів кожного із трьох чисел

1. До якого розділу в кожному з чисел належить цифра, яка стоїть на сьомій позиції від кінця запису чисел?
2. Число яких розрядних одиниць показує цифра 2 у записі першого числа?... у записах другого та третього числа?
3. Назвіть розрядну одиницю для восьмої позиції від кінця запису трьох чисел.

Географія (довжина)

1. Екваторіальний радіус Землі: 6378245 м
2. Довжина кола екватора: 40075696 м
3. Найбільша глибина світового океану (Маріанська западина у Тихому океані) 11500 м

Запитання та завдання

1. Переведіть усі три величини в сантиметри та прочитайте отримані числа.
2. Для першого числа (в см) запишіть цифри, що стоять у розділах:

сотні тисяч _______

десятки мільйонів _______

тисячі _______

мільярди _______

сотні мільйонів _______

1. Для другого числа (у см) запишіть розрядні одиниці, що відповідають цифрам 4, 7, 5, 9 у записі числа

1. Переведіть третю величину міліметри, прочитайте отримане число.
2. Для всіх позицій у записі третього числа (в мм) вкажіть у таблиці розряди та розрядні одиниці:

Географія (площа)

1. Площа всієї поверхні Землі становить 510083 тисячі квадратних кілометрів.
2. Площа поверхні сум Землі становить 148628 тисяч квадратних кілометрів.
3. Площа водної поверхні Землі становить 361,455 млн квадратних кілометрів.

Запитання та завдання

1. Переведіть усі три величини у квадратні метри та прочитайте отримані числа.
2. Назвіть класи та розряди, які відповідають відмінним від нуля цифрам у записі цих чисел (у кв. м).
3. У записі третього числа (у кв. м) назвіть розрядні одиниці, які відповідають цифрам 1, 3, 4, 6.
4. У двох записах другої величини (у кв. км і кв. м) вкажіть, до яких розрядів належить цифра 2.
5. Запишіть розрядні одиниці для цифр 2 у записах другої величини.

Блок 1.3. Діалог з комп'ютером.

Відомо, що великі числа часто використовуються в астрономії. Наведемо приклади. Середня відстань Місяця від Землі дорівнює 384 тис. км. Відстань Землі від Сонця (середнє) становить 149 504 тис. км, Землі від Марса 55 млн. км. На комп'ютері за допомогою текстового редактора Word створіть таблиці так, щоб кожна цифра запису вказаних чисел була в окремій клітинці (комірці). Для цього виконайте команди на панелі інструментів: таблиця → додати таблицю → число рядків (за допомогою курсору ставимо 1) → число стовпців (порахуйте самі). Створіть таблиці для інших чисел (блоку «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Естафета великих чисел

У першому рядку таблиці записано велику кількість. Прочитайте його. Потім виконайте завдання: переміщуючи цифри у записі числа праворуч або ліворуч, отримуйте наступні числа та читайте їх. (Нулі наприкінці числа не пересувайте!). У класі естафету можна проводити, передаючи її один одному.

Рядок 2 . Усі цифри числа у першому рядку перемістіть ліворуч через дві клітинки. Цифри 5 замініть наступною цифрою. Порожні клітини заповніть нулями. Читайте число.

Рядок 3 . Усі цифри числа у другому рядку перемістіть праворуч через три клітинки. Цифри 3 та 4 у записі числа замініть наступними цифрами. Порожні клітини заповніть нулями. Читайте число.

Рядок 4. Усі цифри числа у рядку 3 перемістіть на одну клітинку вліво. Цифру 6 у класі трильйонів замініть на попередню, а у класі мільярдів на наступну цифру. Порожні клітини заповніть нулями. Прочитайте отримане число.

Рядок 5 . Усі цифри числа у рядку 4 перемістіть через одну клітинку праворуч. Цифру 7 у розряді "десятки тисяч" замініть на попередню, а в розряді "десятки мільйонів" на наступну. Прочитайте отримане число.

Рядок 6 . Усі цифри числа у рядку 5 перемістіть ліворуч через 3 клітинки. Цифру 8 у розряді сотень мільярдів замініть на попередню, а цифру 6 у розряді сотень мільйонів на наступну цифру. Порожні клітини заповніть нулями. Прорахуйте отримане число.

Рядок 7 . Усі цифри числа у рядку 6 перемістіть праворуч на одну клітинку. Поміняйте місцями цифри у розрядах десятків квадрильйонів та десятків мільярдів. Прочитайте отримане число.

Рядок 8 . Усі цифри числа у рядку 7 перемістіть ліворуч через одну клітинку. Поміняйте місцями цифри у розрядах квінтильйонів та квадрильйонів. Порожні клітини заповніть нулями. Прочитайте отримане число.

Рядок 9 . Усі цифри числа у рядку 8 перемістіть праворуч через три клітинки. Поміняйте місцями дві цифри, що стоять поряд у числовому ряду, з класів мільйонів і трильйонів. Прочитайте отримане число.

Рядок 10 . Усі цифри числа у рядку 9 перемістіть на одну клітинку праворуч. Прочитайте отримане число. Виділіть цифри, що позначають рік Московської олімпіади.

Блок 1.5. Давайте пограємо

Запали вогник

Ігрове поле – це малюнок новорічної ялинки. На ній 24 лампочки. Але підключено до електромережі лише 12 із них. Щоб вибрати підключені лампи, треба правильно відповісти на запитання словами «Так» або «Ні». Цю гру можна виконати на комп'ютері правильна відповідь «запалює» лампочку.

1. Чи вірно, що цифри – це спеціальні знаки для запису натуральних чисел? (1 - так, 2 - ні)
2. Чи правильно, що число 0 це найменше натуральне число? (3 - так, 4 - ні)
3. Чи правильно, що в позиційній системі числення одна й та сама цифра може означати різні числа? (5 - так, 6 - ні)
4. Чи вірно, що певне місце у десятковому записі чисел називається розрядом? (7 - так, 8 - ні)
5. Дано число 543 384. Чи вірно, що в ньому число найстарших розрядних одиниць дорівнює 543, а наймолодших 384? (9 - так, 10 - ні)
6. Чи правда, що в класі мільярдів найстарша з розрядних одиниць – це сто мільярдів, а наймолодша – один мільярд? (11 - так, 12 - ні)
7. Дано число 458 121. Чи вірно, що сума числа найстарших розрядних одиниць та числа наймолодших дорівнює 5? (13 - так, 14 - ні)
8. Чи правда, що найстарша з розрядних одиниць класу трильйонів у мільйон разів більша за найстаршу з розрядних одиниць класу мільйонів? (15 - так, 16 - ні)
9. Дано два числа 637 508 і 831. Чи правильно, що найстарша розрядна одиниця першого числа в 1000 разів більша за саму старшу розрядну одиницю другого числа? (17 - так, 18 - ні)
10. Дано число 432. Чи вірно, що найстарша розрядна одиниця цього числа в 2 рази більша за наймолодшу? (19 - так, 20 - ні)
11. Дано число 100 000 000. Чи вірно, що в ньому число розрядних одиниць, що становлять 10 000, дорівнює 1000? (21 - так, 22 - ні)
12. Чи правда, що перед класом трильйонів знаходиться клас квадрильйонів, а перед цим класом – клас квінтильйонів? (23 - так, 24 - ні)

1.6. З історії чисел

З давніх-давен людина стикалася з необхідністю підраховувати кількість речей, порівнювати кількості об'єктів (наприклад, п'ять яблук, сім стріл ...; у племені 20 чоловіків і тридцять жінок, ...). Була також необхідність встановлювати порядок усередині певної кількості об'єктів. Наприклад, на полюванні першим йде вождь племені, другим найсильніший воїн племені тощо. Для цього використовувалися числа. Для них були вигадані спеціальні назви. У промові вони називаються числівниками: один, два, три і т. д. – це кількісні числівники, а перший, другий, третій – порядкові числівники. Записувалися числа за допомогою спеціальних знаків – цифр.

Згодом з'явилися системи числення.Це системи, що включають способи запису чисел та різних дій над ними. Найдавніші з відомих систем числення - це єгипетська, вавилонська, римська системи числення. На Русі за старих часів для написання цифр використовувалися літери алфавіту зі спеціальним знаком ~ (титло). Нині найбільшого поширення набула десяткова система числення. Широко використовуються, особливо в комп'ютерному світі, двійкова, вісімкова та шістнадцяткова системи числення.

Отже, для запису однієї й тієї числа можна використовувати різні знаки - цифри. Так, число чотириста двадцять п'ять можна записати єгипетськими цифрами – ієрогліфами:

Це єгипетський спосіб запису чисел. Це число римськими цифрами: CDXXV(римський спосіб запису чисел) або десятковими цифрами 425 (десяткова система запису чисел). У двійковій системі запису воно виглядає так: 110101001 (двійкова або бінарна система запису чисел), а у вісімковій - 651 (вісімкова система запису чисел). У шістнадцятковій системі числення воно запишеться: 1А9(шістнадцяткова система запису чисел). Можна зробити зовсім просто: зробити, подібно Робінзону Крузо, чотириста двадцять п'ять зарубок (або штрихів) на дерев'яному стовпі. IIIIIIIII…... IIII. Це найперші зображення натуральних чисел.

Отже, у десятковій системі запису чисел (у десятковому способі запису чисел) використовуються арабські цифри. Це десять різних символів – цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . У двійковій – дві двійкові цифри: 0, 1; у вісімковій – вісім вісімкових цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; у шістнадцятковій - шістнадцять різних шістнадцяткових цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; у шістдесятковій (вавилонській) - шістдесят різних символів - цифр і т.д.)

Десяткові цифри прийшли до країн Європи із країн Близького Сходу, Арабських країн. Звідси назва - арабські цифри. Але до арабів вони потрапили з Індії, де були винайдені приблизно в середині першого тисячоліття.

1.7. Римська система числення

Одна з найдавніших систем числення, яка використовується в наші дні, – це римська система. Наведемо у таблиці основні цифри римської системи числення та відповідні числа десяткової системи.

Римська цифра					C
				50 п'ятдесят		500 п'ятсот	1000 тисяч

Римська система числення є системою складання.У ній на відміну від позиційних систем (наприклад, десяткової) кожна цифра позначає те саме число. Так, запис II- Позначає число два (1 + 1 = 2), запис III- Число три (1 + 1 + 1 = 3), запис XXX- Число тридцять (10 + 10 + 10 = 30) і т.д. Для запису чисел застосовуються такі правила.

1. Якщо менша цифра коштує післябільшою, то вона додається до більшої: VII- Число сім (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- Число сімнадцять (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- Число одна тисяча сто п'ятдесят (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Якщо менша цифра коштує передбільшою, то вона віднімається від більшої: IX- Число дев'ять (9 = 10 - 1), LM- Число дев'ятсот п'ятдесят (1000 - 50 = 950).

Для запису великих чисел доводиться використовувати (вигадувати) нові символи – цифри. При цьому записи чисел виходять громіздкими, робити обчислення з римськими цифрами дуже складно. Так рік запуску першого штучного супутника Землі (1957 р.) у римському записі має вигляд MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Читання натуральних чисел

Ці завдання перевіряються за допомогою карти з колами. Пояснимо її застосування. Виконавши всі завдання та знайшовши правильні відповіді (вони позначені літерами А, Б, В тощо), накладіть на картку аркуш прозорого паперу. Знаками «X» позначте на ньому правильні відповіді, а також позначку «+». Потім накладіть прозорий лист на сторінку так, щоб збіглися позначки суміщення. Якщо всі знаки «X» потрапили в сірі кружечки на цій сторінці, то завдання виконані правильно.

1.9. Порядок читання натуральних чисел

Під час читання натурального числа надходять у такий спосіб.

1. Подумки розбивають число на трійки (класи) праворуч – наліво, з кінця запису числа.

1. Починаючи з молодшого класу, праворуч – ліворуч (з кінця запису числа) записують назви класів: одиниці, тисячі, мільйони, мільярди, трильйони, квадрильйони, квінтильйони.
2. Читають число, починаючи зі старших класів. При цьому називають число розрядних одиниць та назву класу.
3. Якщо у розряді стоїть нуль (розряд порожній), його не називають. Якщо всі три розряду званого класу - нулі (розряди порожні), цей клас не називається.

Прочитаємо (назвемо) число, записане в таблиці (див.§1), відповідно до кроків 1 - 4. Подумки розбиваємо число 38001102987000128425 на класи справа - наліво: 038 001 102 987 000 128 42 його записи: одиниці, тисячі, мільйони, мільярди, трильйони, квадрильйони, квінтильйони. Тепер можна прочитати число, починаючи зі старшого класу. Називаємо тризначні, двозначні та однозначні числа, додаючи назву відповідного класу. Порожні класи не називаємо. Отримуємо таке число:

• 038 - тридцять вісім квінтильйонів
• 001 - один квадрильйон
• 102 - сто два трильйони
• 987 - дев'ятсот вісімдесят сім мільярдів
• 000 - не називаємо (не читаємо)
• 128 – сто двадцять вісім тисяч
• 425 - чотириста двадцять п'ять

В результаті натуральне число 38001102987000128425 прочитаємо так: "Тридцять вісім квінтильйонів один квадрильйон сто два трильйони дев'ятсот вісімдесят сім мільярдів сто двадцять вісім тисяч чотириста двадцять п'ять".

1.9. Порядок запису натуральних чисел

Запис натуральних чисел виконують у порядку.

1. Записують три цифри кожного класу, починаючи з старшого класу до розряду одиниць. При цьому для старшого класу цифр може бути дві чи одна.
2. Якщо клас чи розряд не названо, то у відповідних розрядах записують нулі.

Наприклад, число двадцять п'ять мільйонів триста двазаписано у вигляді: 25 000 302 (клас тисяч не названо, тому в усіх розрядах класу тисяч записано нулі).

1.10. Подання натуральних чисел у вигляді суми розрядних доданків

Наведемо приклад: 7563429 - це десятковий запис числа сім мільйонів п'ятсот шістдесят три тисячі чотириста двадцять і дев'ять.Дане число містить сім мільйонів, п'ять сотень тисяч, шість десятків тисяч, три тисячі, чотири сотні, два десятки та дев'ять одиниць. Його можна як суму: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Такий запис називається поданням натурального числа як суми розрядних доданків.

Блок 1.11. Давайте пограємо

Скарби підземелля

На ігровому полі малюнок до казки Кіплінга "Мауглі". На п'яти скринях навісні замки. Щоб відкрити їх, треба розв'язати завдання. При цьому, відкривши дерев'яну скриню, ви отримуєте одне очко. Відкривши олов'яну скриню, отримуєте два очки, мідний – три очки, срібний – чотири, золотий – п'ять. Виграє той, хто швидше відкриє всі скрині. Цю гру можна виконати на комп'ютері.

1. Дерев'яна скриня

Знайдіть, скільки грошей (у тис. рублів) знаходиться в цій скрині. Для цього треба знайти загальну кількість наймолодших розрядних одиниць класу мільйонів для числа: 125308453231.

1. Олов'яна скриня

Знайдіть, скільки грошей (у тис. рублів) у цій скрині. Для цього в числі 12530845323 знайдіть число наймолодших розрядних одиниць класу одиниць і наймолодших розрядних одиниць класу мільйонів. Потім знайдіть суму цих чисел і праворуч припишіть число, яке стоїть у розряді десятків мільйонів.

1. Мідна скриня

Щоб знайти гроші цієї скрині (у тис. рублів), треба в числі 751305432198203 знайдіть число наймолодших розрядних одиниць у класі трильйонів і наймолодших одиниць у класі мільярдів. Потім знайдіть суму цих чисел і праворуч припишіть натуральні числа класу одиниць цього числа в порядку їхнього розташування.

1. Срібна скриня

Гроші цієї скрині (у млн. рублів) покаже сума двох чисел: числа наймолодших розрядних одиниць класу тисяч та середніх розрядних одиниць класу мільярдів для числа 481534185491502.

1. Золота скриня

Дано число 800123456789123456789. Якщо перемножити числа у найстарших розрядах всіх класів цього числа, то отримаємо гроші цієї скрині в млн. рублів.

Блок 1.12. Встановіть відповідність

Запис натуральних чисел. Подання натуральних чисел у вигляді суми розрядних доданків

Кожному завданню в лівій колонці підберіть рішення з правого стовпчика. Відповідь запишіть у вигляді: 1а; 2г; 3б ...

	Запишіть цифрами число:п'ять мільйонів двадцять п'ять тисяч
	Запишіть цифрами число:п'ять мільярдів двадцять п'ять мільйонів
	Запишіть цифрами число:п'ять трильйонів двадцять п'ять
	Запишіть цифрами число:сімдесят сім мільйонів сімдесят сім тисяч сімсот сімдесят сім
	Запишіть цифрами число:сімдесят сім трильйонів сімсот сімдесят сім тисяч сім
	Запишіть цифрами число:сімдесят сім мільйонів сімсот сімдесят сім тисяч сім
	Запишіть цифрами число:сто двадцять три мільярди чотириста п'ятдесят шість мільйонів сімсот вісімдесят дев'ять тисяч
	Запишіть цифрами число:сто двадцять три мільйони чотириста п'ятдесят шість тисяч сімсот вісімдесят дев'ять
	Запишіть цифрами число:три мільярди одинадцять
	Запишіть цифрами число:три мільярди одинадцять мільйонів

Варіант 2

	тридцять два мільярди сто сімдесят п'ять мільйонів двісті дев'яносто вісім тисяч триста сорок один		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Подайте у вигляді суми розрядних доданків число:триста двадцять один мільйон сорок один		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Подайте у вигляді суми розрядних доданків число: 321000175298341
	Подайте у вигляді суми розрядних доданків число: 101010101
	Подайте у вигляді суми розрядних доданків число: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Запишіть десятковим записом число, подане у вигляді суми розрядних доданків: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Запишіть десятковим записом число, подане у вигляді суми розрядних доданків: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Запишіть десятковим записом число, подане у вигляді суми розрядних доданків: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Запишіть десятковим записом число, подане у вигляді суми розрядних доданків: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетний тест

Назва тесту походить від слова "фасеткове око комах". Це складне око, що складається з окремих «очей». Завдання фасетного тесту утворюються із окремих елементів, позначених цифрами. Зазвичай фасетні тести містять велику кількість завдань. Але в цьому тесті завдань всього чотири, але вони складаються з великої кількості елементів. Це зроблено для того, щоб навчити вас "збирати" завдання тесту. Якщо ви зможете скласти їх, то легко впорайтеся з іншими фасетними тестами.

Як складаються завдання, пояснимо на прикладі третього завдання. Вона складається з елементів тесту під номерами: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Якщо» 1) із таблиці взяти цифри (цифру); 4) 7; 7) помістити їх у розряд; 11) мільярдів; 1) із таблиці взяти цифру; 5) 8; 7) помістити їх у розряди; 9) десятки мільйонів; 10) сотні мільйонів; 16) сотні тисяч; 17) десятки тисяч; 22) у розряди тисяч та сотень помістити цифри 9 та 6. 21) інші розряди заповнити нулями; « ТО» 26) отримаємо число, що дорівнює часу (періоду) звернення планети Плутон навколо Сонця в секундах (с); « Це число одно»: 7880889600 с. У відповідях воно позначено буквою "В".

Вирішуючи завдання, записуйте олівцем цифри в комірки таблиці.

Фасетний тест. Складіть число

У таблиці записані цифри:

Якщо

1) із таблиці взяти цифру (цифри):

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) помістити цю цифру (цифри) у розряд (розряди);

8) сотні квадрильйонів та десятки квадрилліонів;

9) десятки мільйонів;

10) сотні мільйонів;

11) мільярдів;

12) квінтильйонів;

13) десятки квінтильйонів;

14) сотні квінтильйонів;

15) трильйонів;

16) сотень тисяч;

17) десятки тисяч;

18) заповнити нею (ними) клас (класи);

19) квінтильйонів;

20) мільярдів;

21) інші розряди заповнити нулями;

22) у розряди тисяч і сотень помістити цифри 9 та 6;

23) отримаємо число, що дорівнює масі Землі в десятках тонн;

24) отримаємо число, що дорівнює об'єму Землі в куб.м;

25) отримаємо число, що дорівнює відстані (в метрах) від Сонця до найдальшої планети сонячної системи Плутона;

26) отримаємо число, що дорівнює часу (періоду) звернення планети Плутон навколо Сонця в секундах (с);

Це число дорівнює:

а) 5929000000000

б) 999990000000000000000

г) 598000000000000000000

Розв'яжіть завдання:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Відповіді

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - г

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 -

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

У математиці існує кілька різних множин чисел: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, … повсякденному життіми найчастіше використовуємо натуральні числа, тому що ми стикаємося з ними за рахунку та пошуку, позначення кількості предметів.

Вконтакте

Які числа називаються натуральними

З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:

• За рахунку будь-яких предметів (перший, другий, третій, … п'ятий, … десятий).
• При позначенні кількості предметів (один, два, три…)

N значення завжди цілі та позитивні. Найбільшого N немає, оскільки безліч цілих значень не обмежена.

Увага!Натуральні числа виходять за рахунку предметів або за позначення їх кількості.

Абсолютно будь-яке число може бути розкладене та представлене у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.

Безліч N

Безліч N знаходиться у множині дійсних, цілих та позитивних. На схемі множин вони перебували одне в одному, оскільки безліч натуральних є частиною.

Безліч натуральних чисел позначається буквою N. Ця множина має початок, але не має кінця.

Ще існує розширена множина N, де включається нуль.

Найменше натуральне число

У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, Оскільки відсутність предметів вважається порожнечею.

Але в іноземних математичних школах, наприклад, у французькій, вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує підтвердження деяких теорем.

Ряд значень N, що включає нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).

Ряд натуральних чисел

N ряд – це послідовність усіх N сукупностей цифр. Ця послідовність немає кінця.

Особливість натурального ряду полягає в тому, що наступне число відрізнятиметься на одиницю від попереднього, тобто зростатиме. Але значення не можуть бути негативними.

Увага!Для зручності рахунку існують класи та розряди:

• Одиниці (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотні (100, 200, 300),
• Тисячі (1000, 2000, 3000),
• Десятки тисяч (30.000),
• Сотні тисяч (800.000),
• Мільйони (4000000) і т.д.

Усі N

Усі N перебувають у багатьох дійсних, цілих, неотрицательных значень. Вони є їх складовою.

Ці значення йдуть у нескінченність, можуть належати класам мільйонів, мільярдів, квінтильйонів тощо.

Наприклад:

• П'ять яблук, три кошеня,
• Десять рублів, тридцять олівців,
• Сто кілограмів, триста книг,
• Мільйон зірок, три мільйони людей і т.д.

Послідовність N

У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:

від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто все позитивні цілі відповіді.

N сукупності цифр може бути як парними, і парними. Розглянемо поняття непарності.

Непарні (будь-які непарні закінчуються на цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при двох мають залишок. Наприклад, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Що означає парні N

Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N на 2 залишку не буде, тобто в результаті виходить ціла відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важливо!Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних чи непарних значень, оскільки вони повинні чергуватись: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т.д.

Властивості N

Як і всі інші множини, N мають свої власні, особливі властивості. Розглянемо властивості N низки (не розширеного).

• Значення, яке є найменшим і яке не слідує ні за яким іншим – це одиниця.
• N є послідовністю, тобто одне натуральне значення слід за іншим(крім одиниці – воно перше).
• Коли ми робимо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральнезначення.
• При обчисленнях можна використовувати перестановку та поєднання.
• Кожне наступне значення не може бути меншим за попереднє. Також у N ряді діятиме такий закон: якщо число А менше, то в числовому ряді завжди знайдеться С, для якого справедлива рівність: А+С=В.
• Якщо взяти два натуральні вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо один з виразів: А = В, А більше, А менше В.
• Якщо менше В, а менше З, то звідси випливає, що А менше.
• Якщо А менше, то слід, що: якщо додати до них один і той же вираз (С), то А + С менше В + С. Також справедливо, якщо ці значення помножити на З, то АС менше АВ.
• Якщо більше А, але менше З, то справедливо: В-А менше С-А.

Увага!Усі перераховані вище нерівності дійсні й у зворотному напрямку.

Як називаються компоненти множення

У багатьох простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів.

Для того, щоб швидко і правильно множити та вміти вирішувати обернені завдання, необхідно знати компоненти множення.

15. 10 = 150. У даному виразі 15 та 10 є множниками, а 150 – твором.

Множення має властивості, які необхідні при розв'язанні задач, рівнянь та нерівностей:

• Від перестановки множників кінцевий твір не зміниться.
• Щоб знайти невідомий множник, треба твір розділити на відомий множник (справедливо всім множників).

Наприклад: 15 . Х = 150. Розділимо твір на відомий множник. 150: 15 = 10. Зробимо перевірку. 15 . 10 = 150. За таким принципом вирішуються навіть складні лінійні рівняння(якщо спростити їх).

Важливо!Твір може складатися не лише з двох множників. Наприклад: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Що таке натуральні числа у математиці?

Розряди та класи натуральних чисел

Висновок

Підведемо підсумки. N використовуються при рахунку чи позначенні кількості предметів. Ряд натуральних сукупностей цифр нескінченний, але він включає лише цілі і позитивні суми розрядів і класів. Примноження теж необхідне для того, щоб рахувати предмети, а також для вирішення завдань, рівнянь та різних нерівностей.

Математика виділилася із загальної філософії приблизно у шостому столітті до н. е.., і з цього моменту почалася її переможна хода світом. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався на диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутанішими, і настав той момент, коли «почалася найскладніша математика – з неї зникли всі числа». Але що лежало в основі?

Початок початків

Натуральні числа виникли нарівні з першими математичними операціями. Раз корінець, два корінці, три корінці… З'явилися вони завдяки індійським ученим, які вивели першу позиційну

Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри серед строго визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й самі, але числа є рівносильними, оскільки перше включає у собі 7 сотень, тоді як друге - лише 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того виду, що ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями - вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичної сторони, то що таке число? Поле натуральних чисел позначається як N і є нескінченним рядом з чисел, які є цілими та позитивними: 1, 2, 3, … + ∞. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів та вказівки порядку.

Що таке у математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, яким спирається елементарна математика. З часом виділяли поля цілих, раціональних,

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано уможливили подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності та підготували ґрунт для подальших висновків, які виходили за рамки області поля N.

Що таке натуральне число, було з'ясовано раніше простою мовою, нижче буде розглянуто математичне визначення на базі аксіом Пеано.

• Одиниця вважається натуральним числом.
• Число, що йде за натуральним числом, є натуральним.
• Перед одиницею немає натурального числа.
• Якщо число b слід за числом c, і за числом d, то c=d.
• Аксіома індукції, яка у свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деяке твердження, яке залежить від параметра, правильне для числа 1, то припустимо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження правильне і для n =1 із поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Оскільки поле N стало першим для математичних розрахунків, саме до нього ставляться як області визначення, і області значень низки операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю є те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат у рамках множини N незалежно від того, які числа задіяні. Достатньо того, що вони натуральні. Результат інших чисельних взаємодій не настільки однозначний і безпосередньо залежить від цього, що з числа беруть участь у вираженні, оскільки може суперечити основному визначенню. Отже, замкнуті операції:

• додавання - x + y = z де x, y, z включені в поле N;
• множення - x * y = z де x, y, z включені в поле N;
• зведення в ступінь - x y де x, y включені в поле N.

Інші операції, результат яких може існувати у тих визначення "що таке натуральне число", такі:

Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на таких властивостях, найтривіальніших, але від цього не менш важливих.

• Переміщувальна властивість додавання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
• Переміщувальна властивість множення - x * y = y * x, де числа x, y включені до поля N.
• Сполучна властивість додавання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
• Сполучна властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені до поля N.
• розподільна властивість - x(y+z) = x*y+x*z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

p align="justify"> Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не лише з погляду науки, а й як найцінніший науковий пам'ятник.

Ця таблиця множення зазнала з часом ряд змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі...). Вона являє собою таблицю, в якій назви рядків і стовпців - числа, а вміст осередків їх перетину дорівнює їхньому ж твору.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубрювання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: добуток чисел зростає на один крок, який дорівнює заголовку рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати потрібний твір. Ця система значно зручніша за ту, що практикувалася в середні віки: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіальне, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

На даний момент поле натуральних чисел N розглядається лише як одне із підмножин комплексних чисел, але це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе та навколишній світ. Раз пальчик, два пальчики... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину і виводити слідство, готуючи ґрунт для великих відкриттів.

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. До Європи їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
• 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
• 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.