Рівняння х2 у2. Розв'язання рівнянь із двома змінними

1. Системи лінійних рівнянь із параметром

Системи лінійних рівнянь з параметром вирішуються тими самими основними методами, як і звичайні системи рівнянь: метод підстановки, метод складання рівнянь і графічний метод. Знання графічної інтерпретації лінійних систем дозволяє легко відповісти на питання про кількість коренів та їх існування.

приклад 1.

Знайти всі значення для параметра а, у яких система рівнянь немає рішень.

(х + (а 2 - 3) у = а,
(х + у = 2).

Рішення.

Розглянемо кілька способів вирішення цього завдання.

1 спосіб.Використовуємо властивість: система не має рішень, якщо відношення коефіцієнтів перед х дорівнює відношенню коефіцієнтів перед у, але не дорівнює відношенню вільних членів (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тоді маємо:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 або систему

(а 2 - 3 = 1,
(А ≠ 2.

З першого рівняння а 2 = 4, тому з урахуванням умови, що а ≠ 2 отримуємо відповідь.

Відповідь: а = -2.

2 спосіб.Вирішуємо методом підстановки.

(2 – у + (а 2 – 3) у = а,
(х = 2 - у,

((а 2 – 3)у – у = а – 2,
(х = 2 – у.

Після винесення у першому рівнянні загального множника у за дужки, отримаємо:

((а 2 - 4) у = а - 2,
(х = 2 – у.

Система не має рішень, якщо перше рівняння не матиме рішень, тобто

(а 2 - 4 = 0,
(а - 2 ≠ 0.

Очевидно, що а = ±2, але з урахуванням другої умови у відповідь йде лише відповідь з мінусом.

Відповідь:а = -2.

приклад 2.

Знайти всі значення для параметра а, у яких система рівнянь має безліч рішень.

(8х + ау = 2,
(Ах + 2у = 1.

Рішення.

За властивістю, якщо відношення коефіцієнтів при х і у однакове, і дорівнює відношенню вільних членів системи, вона має безліч рішень (тобто а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Отже, 8/а = а/2 = 2/1. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь знаходимо, що а = 4 – у цьому прикладі.

Відповідь:а = 4.

2. Системи раціональних рівнянь із параметром

приклад 3.

(3 | х | + у = 2,
(|х| + 2у = a.

Рішення.

Помножимо перше рівняння системи на 2:

(6 | х | + 2у = 4,
(|х| + 2у = a.

Віднімемо з першого друге рівняння, отримаємо 5|х| = 4 – а. Це рівняння матиме єдине рішення за а = 4. В інших випадках це рівняння матиме два рішення (при а< 4) или ни одного (при а > 4).

Відповідь: а = 4.

приклад 4.

Знайти всі значення параметра, у яких система рівнянь має єдине рішення.

(х + у = а,
(у - х 2 = 1.

Рішення.

Дану систему вирішимо з використанням графічного методу. Так, графік другого рівняння системи є парабола, піднята по осі Оу вгору на один одиничний відрізок. Перше рівняння задає безліч прямих, паралельних прямий y = -x (малюнок 1). З малюнка добре видно, що система має розв'язок, якщо пряма у = -х + а є дотичною до параболі в точці з координатами (-0,5; 1,25). Підставивши в рівняння прямий замість х і ці координати, знаходимо значення параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Відповідь: а = 0,75.

Приклад 5.

Використовуючи метод підстановки, з'ясуйте, за якого значення параметра а, система має єдине рішення.

(ах - у = а + 1,
(ах + (а + 2) у = 2.

Рішення.

З першого рівняння висловимо у і підставимо у друге:

(у = ах - а - 1,
(ах + (а + 2) (ах - а - 1) = 2.

Наведемо друге рівняння до виду kx = b, яке матиме єдине рішення при k ≠ 0. Маємо:

ах + а 2 х - а 2 - а + 2ах - 2а - 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратний тричлен а 2 + 3а + 2 представимо у вигляді твору дужок

(а + 2) (а + 1), а зліва винесемо х за дужки:

(а 2 + 3а) х = 2 + (а + 2) (а + 1).

Очевидно, що а 2 + 3а не повинно дорівнювати нулю, тому,

а 2 + 3а ≠ 0, а (а + 3) ≠ 0, а отже а ≠ 0 і ≠ -3.

Відповідь:а ≠ 0; ≠ -3.

Приклад 6.

Використовуючи графічний метод рішення, визначте, за якого значення параметра а, система має єдине рішення.

(х 2 + у 2 = 9,
(у - | х | = а.

Рішення.

Виходячи з умови, будуємо коло з центром на початку координат і радіусом 3 одиничних відрізка, саме його задає перше рівняння системи

х 2 + у 2 = 9. Друге рівняння системи (у = | х | + а) - ламана. За допомогою малюнку 2розглядаємо всі можливі випадки її розташування щодо кола. Легко бачити, що а = 3.

Відповідь: а = 3.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати системи рівнянь?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Інструкція

Спосіб підстановки Виразіть одну змінну та підставте її в інше рівняння. Висловлювати можна будь-яку змінну на вашу думку. Наприклад, висловіть «у другого рівняння:
х-у = 2 => у = х-2 Потім підставте все в перше рівняння:
2х + (х-2) = 10 Перенесіть все без «х в праву частину і підрахуйте:
2х + х = 10 +2
3х=12 Далі, щоб «х, розділіть обидві частини рівняння на 3:
х=4.Отже, ви знайшли «х. Знайдіть «у. Для цього підставте "х на те рівняння, з якого ви висловили" у:
у = х-2 = 4-2 = 2
у=2.

Зробіть перевірку. Для цього підставте значення, що вийшло, в рівняння:
2*4+2=10
4-2=2
Невідомі знайдені правильно!

Спосіб складання або віднімання рівнянь Позбавтеся відразу зміненої. У нашому випадку це простіше зробити з «у.
Оскільки у рівнянні «у зі знаком «+ , тоді як у другому «- , ви можете виконати операцію складання, тобто. ліву частину складаємо з лівої, а праву з правої:
2х+у+(х-у)=10+2Перетворіть:
2х+у+х-у=10+2
3х = 12
х=4Підставте "х у будь-яке рівняння і знайдіть "у:
2*4+у=10
8+у=10
у = 10-8
у=2По 1-му методу можете перевірити, що коріння знайдено правильно.

Якщо немає чітко виражених змінних, необхідно трохи перетворити рівняння.
У першому рівнянні маємо "2х, а в другому просто" х. Для того, щоб при додаванні або відніманні «х скоротився», друге рівняння помножте на 2:
х-у = 2
2х-2у = 4 Потім відніміть з першого рівняння друге:
2х+у-(2х-2у)=10-4Помітимо, якщо перед дужкою стоїть мінус, то після розкриття поміняйте знаки на протилежні:
2х+у-2х+2у=6
3у = 6
у=2«х знайдіть, виразивши з будь-якого рівняння, тобто.
х = 4

Відео на тему

При розв'язанні диференціальних рівнянь який завжди явно доступний аргумент x (чи час t у завданнях фізичних). Проте це спрощений окремий випадок завдання диференціального рівняння, що часто сприяє спрощенню пошуку його інтеграла.

Інструкція

Розгляньте фізичне завдання, що призводить до диференціального рівняння, в якому немає аргументу t. Це завдання про коливання масою m, підвішеного на нитці довжиною r, розташованої у вертикальній площині. Потрібно рівняння руху маятника, якщо початковий був нерухомий і відхилений від стану рівноваги на кут α. Сил слід знехтувати (див. рис. 1a).

Рішення. Математичний маятник є матеріальною точкою, підвішеною на невагомій і нерозтяжній нитці в точці О. На точку діють дві сили: сила тяжіння G = mg і сила натягу нитки N. Обидві ці сили лежать у вертикальній площині. Тому для розв'язання задачі можна застосувати рівняння обертального руху точки навколо горизонтальної осі, що проходить через точку О. Рівняння обертального руху тіла має вигляд, наведений на рис. 1b. У цьому I - момент інерції матеріальної точки; j - кут повороту нитки разом з точкою, що відраховується від вертикальної осі проти годинникової стрілки; M – момент сил, прикладених до матеріальної точки.

Обчисліть ці величини. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Але M(N)=0, тому що лінія дії сили проходить через точку О. M(G)=-mgrsinj. Знак «-» означає, що момент сили спрямований у бік протилежного руху. Підставте момент інерції та момент сили у рівняння руху та отримайте рівняння, відображене на рис. 1с. Зменшуючи масу, виникає співвідношення (див. рис. 1d). Тут немає аргументу t.

Рішення рівнянь у цілих числах є одним із найдавніших математичних завдань. Вже на початку 2 тисячоліття до зв. е. Вавилоняни вміли вирішувати системи таких рівнянь із двома змінними. Найбільшого розквіту ця область математики досягла у Стародавній Греції. Основним джерелом для нас є «Арифметика» Діофанта, що містить різні типи рівнянь. У ній Діофант (за його ім'ям і назва рівнянь – діофантові рівняння) передбачає ряд методів дослідження рівнянь 2-го і 3-го ступенів, що розвинулися лише в 19 столітті.

Найпростіші діофантові рівняння ах + ву = 1 (рівняння з двома змінними, першого ступеня) х2 + у2 = z2 (рівняння з трьома змінними, другого ступеня)

Найбільш повно вивчено рівняння алгебри, їх вирішення було одним з найважливіших завдань алгебри в 16-17 ст.

На початку 19 століття працями П. Ферма, Л. Ейлера, К. Гауса було досліджено діофантове рівняння виду: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, де a, в, с, d, e, f числа; х, у невідомі змінні.

Це рівняння другого ступеня з двома невідомими.

Гаусс побудував загальну теорію квадратичних форм, що є основою розв'язання деяких типів рівнянь з двома змінними (діофантових рівнянь). Існує велика кількість конкретних діофантових рівнянь, які вирішуються елементарними способами. /p>

Теоретичний матеріал.

У цій частині роботи будуть описані основні математичні поняття, дані визначення термінів, сформульована теорема про розкладання з використанням методу невизначених коефіцієнтів, які були вивчені та розглянуті при вирішенні рівнянь з двома змінними.

Визначення 1: Рівняння виду ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 де а, в, с, d, e, f числа; х, у невідомі змінні називається рівнянням другого ступеня із двома змінними.

У шкільному курсі математики вивчається квадратне рівняння ах2+вх +с=0 , де а,в,з числа х змінна, з одного змінної. Існує багато способів розв'язання такого рівняння:

1. Знаходження коріння, використовуючи дискримінант;

2. Знаходження коренів для парного коефіцієнта (по Д1=);

3. Знаходження коренів за теоремою Вієта;

4. Знаходження коріння з допомогою виділення повного квадрата двочлена.

Вирішити рівняння - значить, знайти все його коріння або довести, що їх немає.

Визначення 2: Корінь рівняння – це число, яке при підстановці рівняння утворює правильну рівність.

Визначення 3: Рішення рівняння з двома змінними називається пара чисел (х,у) при підстановці яких на рівняння, воно перетворюється на правильну рівність.

Процес розшукування рішень рівняння часто-густо полягає зазвичай у заміні рівняння рівносильним рівнянням, але простішим під час вирішення. Такі рівняння називаються рівносильними.

Визначення 4: Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне рішення одного рівняння є рішенням іншого рівняння, і навпаки, причому обидва рівняння розглядаються в одній і тій же області.

Для вирішення рівнянь із двома змінними використовують теорему про розкладання рівняння на суму повних квадратів (методом невизначених коефіцієнтів).

Для рівняння другого порядку ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0(1) має місце розкладання а(х+ру+q)2+r(y+s)2+h(2)

Сформулюємо умови, за яких має місце розкладання (2) для рівняння (1) двох змінних.

Теорема: Якщо коефіцієнти а,в,з рівняння (1) задовольняють умовам а0 і 4ав - с20, то розкладання (2) визначається єдиним способом.

Тобто рівняння (1) з двома змінними можна за допомогою методу невизначених коефіцієнтів привести до виду (2), якщо виконані умови теореми.

Розглянемо з прикладу, як реалізується метод невизначених коефіцієнтів.

СПОСІБ №1. Розв'язати рівняння методом невизначених коефіцієнтів

2х2 + у2 + 2ху + 2х +1 = 0.

1. Перевіримо виконання умови теореми, а=2, в=1, с=2, отже, а=2,4ав – с2=4∙2∙1-22=40.

2. Умови теореми виконані можна розкласти за формулою (2).

3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, виходячи з умов теореми обидві частини тотожності рівносильні. Спростимо праву частину тотожності.

4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2х2 + 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових змінних зі своїми ступенями.

х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h

6. Отримаємо систему рівнянь, розв'яжемо її та знайдемо значення коефіцієнтів.

7. Підставимо коефіцієнти в (2), тоді рівняння набуде вигляду

2х2 + у2 + 2ху + 2х +1 = 2 (х + 0,5 y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 +0

Таким чином, вихідне рівняння рівносильне рівнянню

2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), це рівняння рівносильне системі двох лінійних рівнянь.

Відповідь: (-1; 1).

Якщо звернути увагу на вид розкладання (3), то можна помітити, що воно за формою ідентично виділення повного квадрата із квадратного рівняння з однією змінною: ах2 + вх + с = а (х +) 2 +.

Застосуємо цей прийом під час вирішення рівняння з двома змінними. Вирішимо за допомогою виділення повного квадрата вже вирішене з використанням теореми квадратне рівняння з двома змінними.

СПОСІБ №2: Розв'язати рівняння 2х2+у2+2ху+2х+1=0.

Рішення: 1. Представимо 2х2 у вигляді суми двох доданків х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1 = 0.

2. Згрупуємо доданки таким чином, щоб можна було згорнути за формулою повного квадрата.

(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1) = 0.

3. Виділимо повні квадрати з виразів у дужках.

(х + у) 2 + (х + 1) 2 = 0.

4. Дане рівняння рівносильне системі лінійних рівнянь.

Відповідь: (-1; 1).

Якщо порівняти результати, то видно, що рівняння, вирішене способом №1 з використанням теореми та методом невизначених коефіцієнтів і рівняння, вирішене способом №2, за допомогою виділення повного квадрата мають однакове коріння.

Висновок: Квадратне рівняння із двома змінними можна розкладати на суму квадратів двома способами:

➢ Перший спосіб – це метод невизначених коефіцієнтів, в основі якого лежить теорема та розкладання (2).

➢ Другий спосіб – за допомогою тотожних перетворень, що дозволяють виділити послідовно повні квадрати.

Звичайно ж, при вирішенні завдань другий спосіб є кращим, тому що не вимагає запам'ятовування розкладання (2) та умови.

Цей метод можна застосовувати і для квадратних рівнянь із трьома змінними. Виділення повного квадрата в таких рівняннях є більш трудомістким. Такого виду перетвореннями я займатимуся наступного року.

Цікаво помітити, що функцію, що має вигляд: f(х,у) = ах2 + вху + су2 + dx + ey + f називають квадратичною функцією двох змінних. Квадратичним функцій належить важлива роль різних розділах математики:

У математичному програмуванні (квадратичне програмування)

У лінійній алгебрі та геометрії (квадратичні форми)

Теоретично диференціальних рівнянь (приведення лінійного рівняння другого порядку до канонічного виду).

При вирішенні цих різних завдань, доводиться, по суті, застосовувати процедуру виділення повного квадрата із квадратного рівняння (однієї, двох і більше змінних).

Лінії, рівняння яких описуються квадратним рівнянням двох змінних, називаються кривими другого порядку.

Це коло, еліпс, гіпербола.

При побудові графіків цих кривих використовується метод послідовного виділення повного квадрата.

Розглянемо, як працює метод послідовного виділення повного квадрата на конкретних прикладах.

Практична частина.

Розв'язати рівняння методом послідовного виділення повного квадрата.

1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;

(х +1) 2 + (х + у) 2 = 0;

Відповідь: (-1; 1).

2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;

(х + у) 2 + (2у + 1) 2 = 0;

Відповідь: (0,5; - 0,5).

3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;

3х2 + 3у2 + у2 - 6ху - 2у +1 = 0;

3х2 +3у2 - 6ху + у2 -2у +1 = 0;

3(х2 - 2ху + у2) + у2 - 2у + 1 = 0;

3(х2 - 2ху + у2) + (у2 - 2у + 1) = 0;

3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;

Відповідь: (-1; 1).

Розв'язати рівняння:

1. 2х2 + 3у2 - 4ху + 6у +9 = 0

(Привести до вигляду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)

Відповідь: (-3; -3)

2. - 3х2 - 2у2 - 6ху -2у + 1 = 0

(Привести до вигляду: -3(х + у) 2 + (у -1) 2 = 0)

Відповідь: (-1; 1)

3. х2 + 3у2 +2ху + 28у +98 = 0

(Привести до вигляду: (х + у) 2 +2 (у + 7) 2 = 0)

Відповідь: (7; -7)

Висновок.

У цій роботі були вивчені рівняння з двома змінними другого ступеня, розглянуті способи їх вирішення. Поставлена ​​задача виконана, сформульований та описаний більш короткий спосіб рішення, заснований на виділенні повного квадрата та заміні рівняння на рівносильну систему рівнянь, в результаті спрощено процедуру знаходження коренів рівняння з двома змінними.

Важливим моментом роботи є те, що прийом застосовується при вирішенні різних математичних завдань пов'язаних з квадратичною функцією, побудовою кривих другого порядку, знаходженням найбільшого (найменшого) значення виразів.

Таким чином, прийом розкладання рівняння другого порядку з двома змінними на суму квадратів має численні застосування в математиці.

Невизначені рівняння у натуральних числах.

ГУО "Речицький Районний Ліцей"

Підготував: .

Керівник: .

Вступ

1.Рішення рівнянь шляхом розкладання на множники…………4

2.Рішення рівнянь із двома змінними (дискримінантний метод)…………………………………………………………………….11

3.Метод залишків.............................................. ...................................13

4.Метод «нескінченного спуску»........................................... ..............15

5.Метод проб…………………………………………………………...16

Висновок................................................. ........................................18

Вступ

Я - Слава навчаюсь у Речицькому Районному Ліцеї, учень 10 класу.

Все починається з ідеї! Мені запропонували вирішити рівняння з трьома невідомими 29х+30у+31 z =366. Тепер я це рівняння розцінюю як завдання – жарт, а вперше поламала голову. Для мене це рівняння стало своєрідним невизначеним, як його вирішувати, яким способом.

Під невизначеними рівняннямими повинні розуміти, що це рівняння, що містять більше одного невідомого. Зазвичай люди, які вирішують ці рівняння, шукають рішення в цілих числах.

Рішення невизначених рівнянь – це дуже захоплююче і пізнавальне заняття, що сприяє формуванню в учнів кмітливості, спостережливості, уважності, розвитку пам'яті і орієнтації, вмінню логічно мислити, аналізувати, зіставляти і узагальнювати. Загальної методики я поки що не знайшла, але про деякі прийоми розв'язання таких рівнянь у натуральних числах зараз я вам розповім.

Ця тема недостатньо повно викладена в підручниках математики, що діють, а завдання пропонуються на олімпіадах і на централізованому тестуванні. Це мене зацікавило і захопило настільки, що вирішуючи різні рівняння та завдання, у мене зібралася ціла колекція власних рішень, які з учителем ми розбили за методами та способами розв'язання. Тож яка моя мета роботи?

Моя метарозібрати розв'язки рівнянь з декількома змінними на множині натуральних чисел.

Для початку ми розглянемо практичні завдання, а потім перейдемо до розв'язання рівнянь.

Яка довжина сторін прямокутника, якщо його периметр чисельно дорівнює площі?

Р=2(х+у),

S = ху, х N і у N

P = S

2х+2у=ху, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Відповідь: (4:4); (3:6); (6:3).

Знайти способи сплати 47 рублів, якщо цього можна використовувати лише трьох і п'ятирублеві купюри.

Рішення

5х +3у = 47

х = 1, у = 14

х=1 – 3К, у= 14+5К, К€ Z

Натуральні значення х і у відповідають К = 0 -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Завдання-жарт

Доведіть, що існує рішення рівняння 29х+30у+31 z=336 у натуральних числах.

Доведення

У високосному році 366 днів і один місяць – 29 днів, чотири місяці – 30 днів,

7 місяців – 31 день.

Рішенням є трійка (1:4:7). Це означає, що існує рішення рівняння у натуральних числах.

1. Розв'язання рівнянь методом розкладання на множники

1) Розв'яжіть рівняння х2-у2=91 у натуральних числах

Рішення

(х-у) (х + у) = 91

Рішення 8 систем

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-у=1

х + у = 91

(46:45)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-у=91

х + у = 1

(46: -45)

х-у = 13

х + у = 7

(10: -3)

х-у = 7

х + у = 13

(10:3)

х-у = -1

х + у = -91

(-46: 45)

х-у = -91

х + у = -1

(-46: -45)

х-у = -13

х + у = -7

(-10:3)

х-у font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

х + у = -13

(-10: -3)

Відповідь: ( 46:45):(10:3).

2) Розв'яжіть рівняння х3+91 =у3 у натуральних числах

Рішення

(у-х)(у2+ху+х2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Рішення 8 систем

у-х = 1

у2+ху+х2=91

(5:6)(-6: -5)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-х= 91

у2+ху+х2= 1

у-х = 13

у2+ху+х2=7

не має рішень у цілих числах

у-х = 7

у2+ху+х2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Інші 4 системи немає рішень у цілих числах. Умовою задовольняє одне рішення.

Відповідь: (5:6).

3) Розв'язати рівняння ху=х+у у натуральних числах

Рішення

ху-х-у+1=1

х(у-1)-(у-1)=1

(у-1) (х-1) = 1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Рішення 2 системи

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1= -1

х-1 = -1

(0:0)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-1=1

х-1 = 1

(2:2)

Відповідь: (2:2).

4) Розв'язати рівняння 2х2+5ху-12у2=28 у натуральних числах

Рішення

2х2-3ху+8ху-12у2=28

(2х-3у) (х + 4у) = 28

х; у - натуральні числа; (х+4у) € N

(х+4у)≥5

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у=1

х + 4у = 28

(8:5)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2х-3у =4

х + 4у = 7

2х-3у = 2

х + 4у = 14

немає рішень у натуральних числах

Відповідь: (8:5).

5) Вирішити рівняння 2ху = х2 +2у у натуральних числах

Рішення

х2-2ху+2у=0

(х2-2ху+у2)-у2+2у-1+1=0

(х-у) 2-(у-1) 2 = -1

(х-у-у+1)(х-у+у-1) = -1

(х-2у +1) (х-1) = -1

х-2у +1 = -1

х-1 = 1

(2:2)

х-2у+1=1

х-1 = -1

немає рішень у натуральних числах

Відповідь: (2:2).

6) Вирішити рівняння xуz-3 xy-2 xz+ yz+6 x-3 y-2 z= -4 у натуральних числах

Рішення

ху(z-3)-2 x (z-3)+y(z-3)-2 z +4=0

ху(z-3)-2 x (z-3)+y(z-3)-2 z +6-2=0

ху(z-3)-2 x (z-3)+y(z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Рішення 6 систем

z -3 = 1

x +1 = 1

y -2 = 2

(0 : 4 : 4 )

z-3 = -1

x+1=-1

y-2 = 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2 = 1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3 = -1

x +1 = 2

y -2 = -1

(1:1:2)

z -3 = 2

x +1 = -1

y -2 = -1

(-2:1:5)

Відповідь: (1:3:4).

Розглянемо складніше мені рівняння.

7) Розв'язати рівняння х2-4ху-5у2=1996 у натуральних числах

Рішення

(х2-4ху +4у2)-9у2 = 1996

(х-2у) 2-9у2 = 1996

(х-5у) (х +5у) = 1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

х € N, у € N; (х + у) € N; (х+у)>1

х-5у = 1

х + у = 1996

немає рішень

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=499

х + у = 4

немає рішень

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х-5у=4

х + у = 499

немає рішень

х-5у = 2

х + у = 998

(832:166)

х-5у = 988

х + у = 2

немає рішень

Відповідь:х = 832, у = 166.

Зробимо висновок:при розв'язанні рівнянь методом розкладання на множники застосовуються формули скороченого множення, спосіб угруповання, метод виділення повного квадрата .

2. Розв'язання рівнянь із двома змінними (дискримінантний метод)

1) Вирішити рівняння 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0 у натуральних числах

Рішення

5х2+(8у-2)х+5у2+2у+2=0

Д= (8у – 2)2 – 4*5*(5у2+2у+2)= 4((4у – 1)2 –5*(5у2+2у+2))

х1,2 = font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

Д=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=0

у=-1, х=1

Відповідь:рішень немає.

2) Розв'язати рівняння 3(х2+ху+у2)=х+8у у натуральних числах

Рішення

3(х2+ху+у2)=х+8у

3х2+3(у-1)х+3у2-8у=0

Д=(3у-1)2-4*3(3у2-8у)=9у2-6у+1-36у2+96у=-27у2+90у+1

Д≥0, -27у2+90у+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤у≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>у€ N , у = 1, 2, 3. Перебираючи ці значення, маємо (1:1).

Відповідь: (1:1).

3)Вирішіть рівняння х4-у4-20х2+28у2=107 у натуральних числах

Рішення

Вводимо заміну: х2 = а, у2 = а;

а2-а2-20а +28а = 107

а2-20а+28а-а2=0

а1,2=-10±96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>а2-20а+28а-а2-96=11

а1,2 = 10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(а-14)

а1 = а-4, а2 = 24-а

Рівняння має вигляд:

(а-а+4)(а+а-24)=1

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х2-у2+4=1

х2 + у2 - 24 = 11

немає рішень у натуральних числах;

х2 - у2+4=11

х2 + у2 - 24 = 1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>х2 - у2+4= -1

х2 + у2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

х2 - у2 +4 = -11

х2+у2 – 24= -1 немає рішень у натуральних та цілих числахВідповідь: (4:3),(2:3).

3. Метод залишків

При розв'язанні рівнянь методом залишків часто-густо використовують завдання:

А) Які залишки можуть давати при розподілі на 3 і 4?

Все дуже просто, при розподілі на 3 або 4 точні квадрати можуть давати два можливі залишки: 0 або 1.

Б) Які залишки можуть давати точні куби при розподілі на 7 та 9?

При розподілі на 7 можуть давати залишки: 0, 1, 6; а при розподілі на 9: 0, 1, 8.

1) Розв'язати рівняння х2+у2=4 z-1 у натуральних числах

Рішення

х2+у2+1=4 z

Розглянемо, які залишки можуть давати при розподілі на 4 ліва та права частини цього рівняння. При розподілі на 4 точні квадрати можуть давати тільки два різні залишки 0 і 1. Тоді х2+у2+1 при розподілі на 4 дають залишки 1, 2, 3, а 4 z ділиться без залишку.

Отже, це рівняння немає рішень.

2) Розв'яжіть рівняння 1!+2!+3!+ …+х!= у2в натуральних числах

Рішення

a) Х=1, 1!=1, тоді у2=1, у=±1 (1:1)

b) х=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, тобто у2= 9, у=±3 (3:3)

c) х=2, 1!+2!= 1+2= 3, у2=3, тобто у=±font-size:14.0pt;line-height:150%; font-family:" times new roman>d)х = 4, 1! +2! +3! +4! = 1 +2 +6 +24 = 33, х = 4 (ні), у2 = 33

e) х≥5, 5!+6!+…+х!, представимо 10 n , n € N

1! +2! +3! +5!+…+х!=33+10 n

Число, що закінчується цифрою 3 означає, що воно не може бути квадратом цілого числа. Отже, х≥5 не має рішень у натуральних числах.

Відповідь:(3:3) та (1:1).

3) Довести, що немає рішень у натуральних числах

х2-у3 = 7

z 2 - 2у2 = 1

Доведення

Припустимо, що система можна розв'язати z 2 = 2у2 +1, z2 - непарне число

z = 2 m +1

y 2 +2 m 2 +2 m , у2- парне число, у = 2 n , n € N

х2 = 8 n 3 +7, тобто х2- непарне число і хнепарне, х = 2 r +1, n € N

Підставимо х і у у перше рівняння,

2(r 2 + r -2 n 3) = 3

Неможливо, оскільки ліва частина рівняння ділиться на два, а права не ділиться, отже, наше припущення не є вірним, тобто система не має рішень у натуральних числах.

4. Метод нескінченного спуску

Вирішуємо за такою схемою:

Припустимо, що рівняння має рішення, ми будуємо якийсь нескінченний процес, тоді як у самому сенсі завдання цей процес має на парному етапі закінчитися.

1)Доведіть, що рівняння 8х4+4у4+2 z4 = t4 не має рішень у натуральних числах

Доведення

Припустимо, що рівняння має рішення у цілих числах, тоді випливає, що

t 4 - парне число, тоді t - теж парне

t=2t1 , t1€ Z

8х4+4у4+2 z 4 = 16t14

4х4+2у4+ z 4 = 8t14

z 4 = 8t14 - 4х4 - 2у4

z 4 – парне, тоді z =2 z 1 , z 1 € Z

Підставимо

4х4+2у4+16 z 4 =8t14

у4 = 4t14 - 2х4 - 8 z 1 4

х – парне, тобто х=2х, х1€ Z тоді

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

І так х, у, z , t – парні числа, тоді х1, у1, z 1 , t 1 - парні. Тоді х, у, z , t і х1, у1, z 1 , t 1 діляться на 2, тобто, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> іfont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>.

Отже, виявилося, що число задовольняє рівняння; кратні 2, і скільки разів ми не ділили б їх на 2, завжди отримуватимемо числа, кратні 2. Єдине число, що задовольняє цій умові – нуль. Але нуль не належить безлічі натуральних чисел.

5. Метод проб

1) Знайти рішення рівняння font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Рішення

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>р(х+у)=ху

ху = рх + ру

ху-рх-ру = 0

ху-рх-ру+р2=р2

х(у-р)-р(у-р)=р2

(у-р) (х-р) = р2

р2=±р=±1=±р2

Рішення 6 систем

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р

х-р = р

у = 2р, х = 2р

у-р= - р

х-р = - р

у = 0, х = 0

у-р=1

х-р=1

у = 1 + р, х = 1 + р

у-р = -1

х-р = -1

у = р-1, х = р-1

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= р2

х-р = р2

у = р2 + р, х = р2 + р

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>у-р= - р2

х-р = - р2

у = р-р2, х = р-р2

Відповідь:(2р:2р), ( 1+р:1+р), (р-1:р-1), (р2+р:р2+р), (р-р2:р-р2).

Висновок

Зазвичай розв'язання невизначених рівнянь шукають у цілих числах. Рівняння, у яких шукають лише цілочислові рішення, називають діафантовими.

Я розібрав рішення рівнянь із числом невідомих більше одного, на множині натуральних чисел. Такі рівняння настільки різноманітні, що навряд існує будь-який спосіб, алгоритм їх вирішення. Вирішення таких рівнянь потребує винахідливість та сприяє набуттю навичок самостійної роботи з математики.

Я вирішував приклади найпростішими прийомами. Найпростішим прийом рішень таких рівнянь у тому, щоб висловити одну змінну через інші, і вийде вираз, який ми досліджуватимемо, з метою знаходження цих змінних, за яких воно є натуральним (цілим).

При цьому, використовується поняття та факти, пов'язані ділимістю, - такі, як прості та складові числа, ознаки ділимості, взаємно прості числа та ін.

Особливо часто застосовуються:

1) Якщо твір ділиться на просте число р, то хоча б один із його співмножників ділиться на р.

2) Якщо твір поділяється на деяке число зі один із співмножників взаємно просте з числом з, то другий множник ділиться на з.