Симетрія як критерій зовнішньої краси. Асиметрія особи: причини виникнення патологічних порушень та методи їх корекції

)
Дата: 2017-10-17 Перегляди: 18 963 Оцінка: 5.0

Мета тренування:скоригувати асиметрію обличчя по 3 точках (брови, очі, губи).

Обличчя людини не симетричне, так само як і тіло, і в цьому немає нічого дивного.

Однак, бувають випадки, коли асиметрія обличчя сильно виражена і доставляє вам психологічний дискомфорт. Відразу зазначу, що не всі види асиметрії піддаються коригування за допомогою вправ.

Асиметрію не можна виправити вправами, якщо:

• вона спричинена кістковими деформаціями;
• патологічні деформації;
• дуже «застарілі» неврити лицевого нерва;
• у деяких випадках наслідки уколів "ботексу", так звана побочка.

Причини асиметрії

Також асиметрія обличчя багато в чому залежить від стану Вашого тіла. Про взаємозв'язок особи та тіла.

Якщо двома словами, то при сколіозах, лордозах, перекосах таза та інших змінах опорно-рухового апарату асиметрія має місце бути і корекцію її варто починати з п'ят!

Але АСИМЕТРІЯ може бути наслідком надмірної міміки обличчя, мімічних утисків та поведінкових звичок. Все це з'ясовується при уважному розгляданні своєї фізіономії на відео, наприклад.

Посміхатися, говорити, жувати тільки на один бік або постійно підривати одну з брів. Пам'ятаєте про існування м'язової пам'яті? А вона про Вас пам'ятає і тягне активну брову весь час нагору, а одне око робить візуально менше.

Як виміряти асиметрію?

Як перевірити симетрію обличчя? Потрібно фото! Заберіть волосся від обличчя, попросіть Вас сфотографувати. Фото як на паспорт: не посміхаємося, не намагаємося класно вийти на знімку.

Беремо лінійку і проводимо горизонтальну лінію по очах (зіницях), по бровах, по губах. Починайте саме з очей. Адже наш внутрішній рівень (рівень) прагне до горизонту саме в зоні очей, щоб ви могли ходити рівно і не падати.

А тепер дивимося 3 ліній, що вийшли. Можливо одна брова буде вищою, а інша нижче, кути губ можуть не опинитися на одній лінії.

Пам'ятайте, що є допустимі значення асиметрії, і це абсолютно природно і не потребує коригування.

Там, де є відхилення від горизонту, потрібно попрацювати з м'язами, а деяким буде достатньо відкоригувати поведінкові стереотипи і на обличчі встане все НА СВОЇ МІСЦЯ.

Вправи для особи при асиметрії

Переходимо до вправ їх, до речі, можна поєднувати з будь-яким з комплексів: , . Просто додавайте їх у тренувальну програму. Наприклад, виконуючи , потім зробіть вправи для корекції асиметрії цієї зони.

У прикладі я розглядаю варіант корекції односторонньої асиметрії обличчя, коли частина особи, розташована нижче щодо своєї половинки та гірше працює, ви її менше відчуваєте! Наприклад, ліва брова, ліве око, лівий кут губи розташовані нижче, ніж на правій стороні обличчя - така асиметрія називається односторонньою.

Асиметрія обличчя може бути діагональною, складною. У разі вправи краще підбирати індивідуально.

Рекомендується 30 повтореньна останній рахунок статична затримка 5 секунд. Тренування будується на виконанні бази-базових вправ з додаванням спеціальних вправ для корекції асиметрії конкретної зони.

Лоб. Корекція положення брів

Вправа №1: Підняття брів угору

Це базова вправа. При виконанні його зверніть увагу на брови? Яка гірша піднімається? Яку менше відчуваєте?

Розташуйте пальці над бровами. Брови із зусиллям штовхайте нагору, пальцями чиніть опір. Слідкуйте, щоб під час вправи горизонтальних зморшок на лобі не було, плечі намагайтеся розслабити та опустити донизу, щільно фіксуйте шкіру над бровами. Після виконання вправи постукайте пальцями по лобі.

Переходимо до комплексу вправ для корекції різного становища висоти брів:

Вправа №2: почергове підняття брів

На лоб, над бровами покладіть пальці і фалангами трохи притримуйте шкіру, щоб вона не збиралася в складки. Тепер піднімайте брови по черзі: то ліву, то праву.

Відчуйте яка з брів гірше піднімається, або при піднятті однієї їх брови виникає напруга та дискомфорт. Ту брову, яка піднімається гірше, необхідно дотягувати на 2 рахунки: 1-підняли, 2- дотягнули. Після виконання вправи постукайте пальцями по лобі.

Вправа №3: ​​підняття однієї брови

Після того, як Ви знайшли брову, яка працює гірше та розташована нижче, її потрібно "потренувати" окремо.

Фіксуємо брову, яка розташована вище, рукою, а іншу піднімаємо нагору, притримуючи фалангами пальців шкіру над бровою, щоб вона не збиралася в складки. Після виконання вправи постукайте пальцями по лобі.

Очі

Загальне відео:

Вправа №1: для зміцнення верхньої повіки

Це базова вправа. Під час виконання відстежуйте відчуття під вказівними пальцями, під одним із пальців пульсація, тремтіння м'яза буде менш вираженим. Це око, коли закриваєте, намагайтеся верхньою повікою трохи сильніше натиснути на нижнє. ВАЖЛИВО! Чи не тиснути пальцями сильно і не розтягувати шкіру в різні боки!

Притримуємо куточки очей пальцями і з невеликим зусиллям заплющуємо очі, натискаючи верхньою повікою на нижні. Намагайтеся, щоб брови залишалися дома і повзли вниз за верхнім століттям, лоб розслабити. Потім розплющуємо очі. Після виконання вправи поморгайте очима.

Вправа №2: почергова робота очей

Закриватимемо очі по черзі. Вказівний та середній палець у куточки очей ставимо, не давимо і не тягнемо шкіру. Очі закриваємо по черзі: ліве, праве, ліве.... Коли одне око закриваєте, друге потрібно тримати відкритим. Обов'язково розслабляємо лоба, щоб брова не опускалася разом із верхнім століттям вниз. Після виконання вправи поморгайте очима.

Куточки губ

Загальне відео:

Вправа №1: допомагає підняти опущені кути губ

Це базова вправа. Пальцями фіксуємо носогубну зону (від куточка рота до ніздрі). Піднімаємо куточки губ нагору, начебто посміхаєтеся, пальцями чинимо опір, рух куточків губ йде під очі нагору, центр губ при цьому розслаблений. Намагайтеся, щоб пальці по обличчю не їздили, при піднятті кут губи впирається в пальці.

Вправа №2 почергове підняття куточків губ

Пальцями фіксуємо носогубну зону (від куточка рота до ніздрі). Піднімаємо куточки губ нагору ПО ЧЕРГІ, начебто посміхаєтеся одним куточком губи, пальцями чинимо опір, рух куточків губ йде під очі вгору, центр губ при цьому розслаблений. Намагайтеся, щоб пальці по обличчю не їздили, при піднятті кут губи впирається в пальці.

Вправа №3 підняття одного куточка губи

Пальцями фіксуємо носогубну зону (від куточка рота до ніздрі) з боку кута губи, розташованого нижче. Протилежний кут рота просто фіксуємо рукою, щоб він не вмикався в роботу. Піднімаємо кут губ нагору, начебто посміхаєтеся одним куточком губи, пальцями чинимо опір, рух кута губи йде під око вгору, центр губ при цьому розслаблений. Намагайтеся, щоб пальці по обличчю не їздили, при піднятті кут губи впирається в пальці.

PS.Я Розробляю індивідуальні програми для тренувань з фейсбілдингу, веду заняття зі Скайпу. Якщо вам цікаво -

Встановлення асиметрії обличчя стало своєрідною сенсацією, оскільки асиметрія рідко впадає у вічі. Виявилося, що люди відрізняються за рівнем своєї асиметрії так само сильно, як і за межами обличчя. Це підтвердили не лише виміри, а й порівняння портретів, складених із фотографій правої та лівої половин (одна з них має бути перевернута під час друку) із звичайним портретом людини, знятої точно у фас. Виходять зовсім різні особи.

У світі немає ідеальної симетрії. Помилково вважати симетрію обличчя неодмінною умовою його краси. Змішення спадкових рис не може не позначитися на обличчі дитини. Для оцінки краси обличчя важлива сукупність ознак і невелика асиметрія, властива, до речі, особам всіх людей і зовсім не применшує переваг портрета. Навіть на скульптурних зображеннях Венери Мілоської та Аполлона Бельведерського їхні особи не мають повної симетрії. З повною підставою можна сказати, що немає жодної особи з безперечною суворою симетрією правої та лівої половини. Ймовірно, тому Клавдій Гален писав, що «справжня краса виявляється досконало призначення і перша мета всіх частин - доцільність структури». Безперечно, мав рацію П. Ф. Лесгафт, коли писав, що «при гармонійному розвитку всіх м'язів і м'язових груп обличчя втратило б свій певний вираз. Індивідуальність рис обличчя набувається внаслідок частого вживання відповідних м'язів».

Michelle Monaghan

Отже, слід визнати як факт асиметрію особи, тобто нерівнозначність правої та лівої її половин: одна з них, як правило, ширша, інша вже одна вище, інша нижче. Причиною асиметрії є здебільшого нерівноцінність конструктивних елементів кісток черепа. На обличчі людини посилення асиметрії визначається специфічністю міміки (фізіологічна асиметрія).

Naomi Watts

Є наукові роботи, у яких вчені виявляють такі закономірності асиметрії особи. Якщо одна половина особи вища, то вона ж і вужча. У цьому випадку брова розташована вище, ніж на протилежній, ширшій половині обличчя, щілина очей більша. Око загалом здається зверненим догори. Ліва половина особи зазвичай вища за праву. Багато авторів і зараз вважають, що права половина обличчя більша за ліву, різкіше виступає, виражає мужність. Ліва половина загалом м'якше, відбиває риси жіночності.

Kate Bosworth

Асиметрія обличчя давно спостерігається як відображення загальної асиметрії тіла. Були зроблені спроби реставрації обличчя на портреті за точною половиною фотографії та її дзеркальним відображенням. Права та ліва половини давали різні зображення. Вони збігалися і з вихідним варіантом. Мімічна асиметрія, хоч і нашаровується на диспропорції правої та лівої половин лицьового черепа, має також свої власні особливості. Встановлено, що нервова регуляція правої мімічної мускулатури багатша, рух голови і очей вправо відтворюються з більшою готовністю. Навіть заплющування правого ока виявляються звичнішими.

Кандидат медичних наук, пластичний хірург.

Ще в XV столітті Леонардо да Вінчі створив креслення, що відображають «божественні» пропорції людської особи та тіла, які й досі є еталоном (Рис.1). Однак у цих пропорціях не враховано факт, що у живої природі немає абсолютно симетричних об'єктів: у кожному їх завжди є єдність симетрії і асиметрії.

Мал. 1.

Протягом усієї історії люди намагалися «виміряти» красу, описати за допомогою математичних формул чи геометричних пропорцій, тим самим забезпечити можливість її відтворення. Так, у Стародавній Греції впорядкованість і гармонія, що спостерігається в природі, уособлювалися в сяючих образах богів і богинь, увічнених у прекрасних статуях.

На думку грецьких скульпторів, симетрія характеризує гармонійність, пропорційність, стрункість природних тіл та тіла людини. Тому поняття симетрії та краси тотожні. Досить суворо симетричне побудова архітектурних пам'яток, візерунки традиційних орнаментів, що закономірно повторюються, дивовижну стрункість грецьких ваз (Рис.2).

Факт асиметрії обличчя і тіла людини був відомий художникам і скульпторам античного світу і використовувався ними для надання виразності та одухотвореності творів, що створювалися.

Яскравим прикладом асиметрії є обличчя Венери Мілоської (Рис. 3). Прибічники симетрії критикували несиметричність форм цього загальновизнаного зразка жіночої краси, вважаючи, що обличчя Венери було красивіше, якби воно було симетричним. Проте, розглядаючи композиційні знімки, бачимо, що це негаразд.

Саме поняття «симетрія» безпосередньо з гармонією.Воно походить від давньогрецького слова συμμετρία (пропорційність) і означає щось гармонійне та пропорційне в об'єкті. До людини застосовується поняття «дзеркальної» симетрії. Ця симетрія є основним джерелом нашого естетичного замилування добре складеним людським тілом.

Така симетрія не лише гарна, а й функціональна. Так, симетричні кінцівки дозволяють легко переміщатися у просторі, розташування очей – створювати правильний зоровий образ, рівна носова перегородка забезпечує адекватне дихання. Однак симетрія живих організмів не проявляється з математичною точністю у зв'язку з нерівномірністю розвитку та функції.

Симетрія обличчя та стандарти краси

З часом стандарти краси змінювалися, проте принципи та параметри, що визначають співвідношення та пропорції обличчя, і, відповідно, його привабливість, збереглися з давніх-давен. Для того щоб особа була гармонійною, її різні частини повинні співвідноситися до певної пропорції, за допомогою якої досягається загальний баланс. Жодна частина особи не існує і не функціонує у відриві від інших. Будь-яка зміна в будь-якій конкретній частині особи надаватиме справжній або здавалося б вплив на сприйняття інших частин і особи в цілому.

Звичайно, що всі пропорції людського обличчя мають лише приблизне значення для його естетикивнаслідок кількох причин:

• По-перше, пропорції особи змінюються залежно від віку, статі, фізичного розвитку людини та багато в чому визначаються індивідуальними особливостями будови
• По-друге, оцінка пропорційності ускладнюється залежно від положення голови
• Третя складність полягає в асиметрії людської особи, яка часто проявляється у формі носа, положенні очних щілин та брів, положенні кутів рота. Дві сторони обличчя не дають однакового дзеркального зображення, навіть якщо обличчя сприймається як ідеально правильне.

Таким чином, факт асиметрії особи, що виражається нерівнозначністю правої та лівої половин, одна з яких, як правило, ширша і вища, інша - вже і нижче, є на сьогоднішній день загальновизнаним.

З фотографій, що представлені на рис.4, видно, що абсолютно симетричні особи явно відрізняються від оригінального зображення обличчя з природною асиметрією. На наш погляд, «синтетичні» симетричні обличчя здаються менш привабливимиЯк на вихідних фотографіях, хоча ми й відбирали для створення композиційних портретів особи акторів, чия зовнішність оцінюється найбільш високо. Більше того, саме ці особи відрізняються більш вираженою симетрією, ніж це спостерігається у більшості людей, проте легка асиметрія лише підкреслює їхню привабливість.

Краса в асиметрії?

Отже, чи є вихідно властива всім нам асиметрія насправді гарною чи ні? Цілком очевидно, що значні порушення симетрії у будові обличчя ми вважаємо привабливими. Проте невеликі відхилення від симетрії не вносять дисгармонію, лише вигідно відтіняють індивідуальність.

Більшість пацієнтів, які звернулися до пластичного хірурга, не помічають несиметричність пропорцій свого обличчя та тіла. Тому одне з важливих завдань хірурга в ході консультації - звернути увагу пацієнта на особливості його пропорцій, докладно описати зміни в результаті операції. Коригування асиметрії обличчя значно полегшує застосування малоінвазивних методів, таких як і .

Отже, виражена асиметрія зазвичай вважається неестетичною, і в подібних випадках бажання досягти більш симетричної зовнішності є цілком природним і може бути показанням до пластичної операції. Однак невелика асиметрія обличчя лише надає йому привабливості та індивідуальності, а тому прагнути абсолютної симетрії не варто.

Симетрія та пропорційність - це важливі складові зовнішньої краси людини, а в деяких випадках і показники здоров'я. Але не всі знають, як оцінити пропорції та симетричність свого обличчя та тіла. Саме про це йтиметься.

Чи може довгий ніс не псувати зовнішність людини? Однозначно так. Якщо ніс пропорційний його обличчю.

Щоб оцінити пропорції свого обличчя, потрібно підійти до дзеркала і виміряти три відстані:
від межі росту волосся на лобі до перенісся
від перенісся до верхньої губи
від верхньої губи до підборіддя.

Якщо вони рівні – ви щасливий володар пропорційної особи.

Якщо ні, то є диспропорція, що зовсім не є приводом для зневіри. По-перше, у цьому може полягати певна привабливість та оригінальність особи, по-друге, пропорції можна змінити.

Збільшення або зменшення першої відстані вдається досягти за допомогою зачіски, а також надання певної форми бровам. Друга відстань практично завжди коригується зміною довжини носа. Візуально вплинути на третю відстань може правильно підібрана губна помада або довговічніший захід – збільшення губ.

Симетрію особи також неважко оцінити. Потрібно звернути увагу на розташування та форму парних анатомічних утворень: брів, очей, вух, носогубних складок.

Якщо вони розташовані на одному рівні та мають однакову форму, то обличчя симетричне. Симетрія обличчя дуже важлива не лише з естетичного погляду. Раптове її порушення – важлива діагностична ознака при низці серйозних неврологічних захворювань.

Про пропорції тіла найпростіше судити за його обсягами: обсяг грудей, талії та стегон.

У пропорційно складеного чоловіка переважає об'єм грудей. Геометрично ідеал чоловічої фігури – перевернений основою догори рівнобедрений трикутник.

У пропорційній жіночій фігурі об'єм грудей і стегон приблизно рівні між собою. А обсяг талії має бути на 1/3 меншим від цих двох обсягів. Досить відомий стандарт: 90см -60 см-90см. Однак і співвідношення 120см-80см-120см є не менш пропорційним. Геометричне вираження ідеалу – форма пісочного годинника.

Візуально необхідні пропорції досягаються одягом, корсетною білизною, певними фізичними вправами. Однак є проблемні зони, які досить важко піддаються корекції, наприклад горезвісне «галіфе» - верхня частина бічних поверхонь стегон. Тут ефективно може допомогти грамотно проведена ліпосакція.

Симетрія тіла оцінюється також за парними утвореннями. На одному рівні повинні бути ключиці, соски, лопатки, передні верхні остюки клубових кісток, сідничні складки.

Варто знати, що порушення симетрії тіла – завжди привід для ретельного обстеження опорно-рухового апарату.

Загалом, оцінюючи свою зовнішність за будь-яким параметром, чи то пропорційність, симетрія чи щось ще, не потрібно бути надмірно прискіпливим.

Певні особливості, недосконалості, диспропорції – те, що відрізняє нас друг від друга, отже, робить неповторними.

Не станемо поки що розбиратися, чи існує насправді абсолютно симетрична людина. У кожного, зрозуміло, виявиться родимка, пасмо волосся або якась інша деталь, що порушує зовнішню симетрію. Ліве око ніколи не буває точно таким, як праве, та й куточки рота знаходяться на різній висоті, принаймні у більшості людей. І все-таки це лише дрібні невідповідності. Ніхто не засумнівається, що зовні людина побудована симетрично: лівій руці завжди відповідає права та обидві руки абсолютно однакові! Стоп. Тут варто зупинитись. Якби наші руки справді були однакові, ми могли б у будь-який момент поміняти їх. Було б можливо, скажімо, шляхом трансплантації пересадити ліву долоню на праву руку, або, простіше, ліва рукавичка підходила тоді до правої руки, але насправді це не так.

Ну звичайно, кожному відомо, що схожість між нашими руками, вухами, очима та іншими частинами тіла така сама, як між предметом і його відображенням у дзеркалі. Саме питанням симетрії та дзеркального відображення і присвячена книга, що лежить перед вами.

Багато художників звертали пильну увагу на симетрію та пропорції людського тіла, принаймні до тих цор, поки ними керувало бажання у своїх творах якомога точніше дотримуватися природи. Відомі канони продорцій, складені Альбрехтом Дюрером та Леонардо да Вінчі. Згідно з цими канонами, людське тіло не лише симетричне, а й пропорційне. Леонардо відкрив, що тіло вписується в коло та квадрат. Дюрер займався пошуками єдиної міри, яка була б у певному співвідношенні з довжиною тулуба або ноги (такою мірою він вважав довжину руки до ліктя).

У сучасних школах живопису як єдина міра найчастіше приймається розмір голови по вертикалі. З відомим припущенням можна вважати, що довжина тулуба перевищує розмір голови у вісім разів. На перший погляд, це здається дивним. Але не можна забувати, більшість високих людей відрізняються подовженим черепом і, навпаки, рідко можна зустріти низькорослого товстуна з головою подовженої форми.

Розміру голови пропорційна як довжина тулуба, а й розміри інших частин тіла. За цим принципом побудовані всі люди, тому ми загалом схожі один на одного. (До схожості чи подоби ми ще повернемося через кілька сторінок.) Однак наші пропорції узгоджуються лише приблизно, а тому люди лише схожі, але не однакові. Принаймні всі ми симетричні! До того ж, деякі художники у своїх творах особливо підкреслюють цю симетрію.

Бездоганна симетрія нудна

І в одязі людина теж, як правило, намагається підтримувати враження симетричності: правий рукав відповідає лівому, права штанина – лівою.

Ґудзики на куртці та на сорочці сидять рівно посередині, а якщо і відступають від неї, то на симетричні відстані. Лише зрідка жінка має достатню сміливість, щоб одягнути по-справжньому асиметричну сукню (наскільки сильні відхилення від симетрії допустимі, ми побачимо далі).

Але на тлі цієї загальної симетрії в дрібних деталях ми навмисне допускаємо асиметрію, наприклад, розчісуючи волосся на косий проділ - ліворуч або праворуч. Або, скажімо, поміщаючи на костюмі асиметричну кишеньку на грудях, нерідко підкреслену ще й хустинкою. Або одягнувши кільце на безіменний палець лише однієї руки. Лише на одному боці грудей носяться ордени та значки (частіше на лівій).

Повна бездоганна симетрія виглядала б нестерпно нудно. Саме невеликі відхилення від неї і надають характерних, індивідуальних рис. Знаменитий автопортрет Альбрехта Дюрера здавалося б абсолютно симетричним. Але, придивившись уважніше, ви помітите маленьку асиметричну деталь, яка й повідомляє картині жвавість та життєвість: пасмо волосся біля проділу.

І водночас людина намагається підкреслити, посилити різницю між лівим і правим. У середні віки чоловіки у свій час хизувалися в панталонах зі штанинами різних кольорів (наприклад, однієї червоної, а іншої чорної або білої). А в наші дні були популярні джинси з яскравими латками чи кольоровими розлученнями. Але така мода завжди недовговічна. Лише тактовні, скромні відхилення від симетрії залишаються довгі часи.

ЩО ТАКЕ ПОДІБ?

Нерідко ми говоримо, що якісь дві людини схожі одна на одну. Діти зазвичай схожі на своїх батьків (принаймні, на думку їхніх бабусь). Схожі, але однакові!

Спробуємо розібратися, що розуміється під подібністю чи подобою математики. У подібних постатей відповідні відрізки пропорційні один одному. У нашому випадку ми можемо сформулювати це положення так: такі носи мають однакову форму, але можуть відрізнятися розміром. При цьому кожній окремій ділянці носа (наприклад, переніссі) повинні бути пропорційні всі інші.

Цей закон подібності іноді таїть у собі каверзу. Наприклад, у задачі такого роду:

Висота вежі А 10 м. На деякій відстані X від неї знаходиться шестиметрова вежа В. Якщо провести прямі від підніжжя і від вершини вежі через вершину вежі В, то вони зустрінуться відповідно з підніжжям і вершиною вежі С, що має висоту 15м. Яка відстань від вежі А до вежі?

Здавалося б, для вирішення достатньо взяти до рук циркуль та лінійку. Але тут же з'ясується, що відповідей буде безліч. Іншими словами, на питання про значення X не може бути однозначної відповіді.

У цій книзі ви нерідко стикатиметеся з завданнями, що вимагають роздумів. У цьому вся є певний педагогічний сенс. Такі завдання, навіть якщо вони й не мають рішення, як, наприклад, запропонована вище, стосуються будь-якої проблеми, що лежить в межах нашого знання. Здебільшого це ті самі межі, перед якими пасує знаменитий «здоровий глузд», і лише строго математичне логічне мислення разом з природничо пізнанням здатне привести до правильного рішення.

Звернемося знову до людини: при порівнянні живих істот подібність відчувається явно, якщо збігаються їхні пропорції. Тому можуть бути схожі діти та дорослі. Хоча маса і розміри будь-якої частини тіла, чи то ніс чи рот, різні, але пропорції схожих індивідів збігаються.

Вражаючий приклад подібності – окомірна оцінка відстані за допомогою великого пальця. У такий спосіб військові та моряки прикидають відстань між двома пунктами на місцевості чи в морі, зіставляючи їх із шириною пальця чи кулака. У найпростішому випадку заплющують одне око і дивляться відкритим оком на палець витягнутої руки, використовуючи його як візир.

При візуванні за допомогою великого пальця витягнутої руки (один раз лівим оком, а другий - правим) палець "відскакує" приблизно на 6°

Якщо розкрити раніше закрите око (а друге заплющити), палець на видиму відстань переміститься убік. У градусному вираженні це відстань становить 6°. І до того ж величина цього «стрибка» (у межах припустимої помилки) однакова у всіх людей! Так, правофланговий роти, хлопець двометрового зросту, і найменший - левофланговий, зріст лише метр шістдесят, порівнявши ці «стрибки» пальця, отримають одну і ту ж величину.

Причина цього явища в кінцевому підсумку криється в подобі людей і, звичайно, в законах оптики, яким підкоряється наш зір.

Відомо й «правило кулака» - у прямому значенні цього слова - для грубої прикидки величини кута. Якщо ми подивимося одним оком на кулак витягнутої руки (на цей раз тим самим оком), то ширина кулака становитиме 10°, а відстань між двома кісточками фаланг 3°. Кулак і відстовбурчений у бік великий палець становитимуть 15°. Комбінуючи ці мірки, можна приблизно виміряти всі кути біля.

І нарешті, ще один кутовий захід нашого тіла, який може стати в нагоді при домашніх роботах. Кут між великим пальцем та мізинцем розчепіреної долоні становить 90°. Це здається малоймовірним, але ви можете відразу ж перевірити всі самі, приклавши розчепірені пальці долоні до кута нашої книги. Покладіть мізинець строго паралельно до одного краю і рухайте руку вздовж нього вниз, поки великий палець також не ляже на нижній край. Переконалися?

Звичайно, тут помилка часом виявляється порівняно великою, тому що в залежності від віку та розробленості кисті великий палець може відставлятися на різні відстані. Але для першого випробування, що дозволяє вирішити, чи істотно відхиляється кут, що вимірюється, від прямого, такий метод цілком придатний.

ЛАЙНЛАНДІЯ І ФЛАТЛАНДІЯ

Люди, наділені уявою, вже давно звернули увагу на те, що закони конгруентності, такі суворі для двовимірного простору, при застосуванні практично нерідко вимагають використання третього виміру.

Коли сервірують стіл до парадного прийому гостей, серветки зазвичай складають трикутником. Але варто зібрати ці трикутники в стопку, один на інший, як виявляється, що трикутників цих два види: одні відразу ж "підходять" один до одного, а інші доводиться перевернути "на правильну сторону". Аналогічна проблема виникає і при штампуванні дрібних деталей, коли хтось намагається скласти готову продукцію до штабелю.

Поетам і письменникам властиво фантазувати навколо більш-менш ймовірних ситуацій. Так, існують твори, в яких малюється життя у двовимірному просторі (де «серветку» ніяк не перевернеш).

Деякі автори йдуть ще далі і намагаються уявити життя в одномірному просторі, у Країні Прямої - Лайнландії. Лайнландія населена лише тоненькими дерев'яними паличками, які в найпростішому випадку нічим не відрізняються один від одного. Однак варто надати їм головки (відразу згадуються сірники!), і в них відразу з'являються дві можливості.

Або всі сірники звернені головками в один бік - тоді їхнє поєднання не викликає труднощів. Або частина сірників лежить головками наліво, а частина - головками направо. Математик із Лайнландії не має практичної можливості перевести «ліві» сірники в «праві». Але математик з Країни Площини - Флатландії, який має ще один вимір, відразу знайде просте рішення: поверне сірник у площині.

Однак, на думку деяких письменників, життя і у Флатландії не таке просте. Уявімо, що жителі цієї країни маленькі прямокутники з оком (а око у них лише одне) в одному з кутів. Бачити такий прямокутник може, звичайно, тільки в площині, і йому ніколи не вдається глянути на цю площину зверху. Отже, жоден флатландець ніколи не зможе уявити собі, як насправді він виглядає: для цього вже необхідний погляд із тривимірного простору. Будиночки флатландців були б приблизно такими, як на дитячих малюнках. З тією різницею, що двері були б збоку і відчинялися б тільки в цій же площині. Але ось дверні петлі довелося б робити поза площиною, вищою або нижчою за неї. Крім того, знадобилася б складна система підпірок, щоб стіна будиночка не впала, коли його мешканці захотіли б відчинити двері. А двоє флатландців змогли б глянути один на одного лише в тому випадку, якби одному з них вдалося стати на голову.

Становище ускладнилося б ще більше, якби Флатландію населяли два народці. Скажімо, ліво- та правосторонні флатландці. Потрібна велика уява, щоб малювати всі можливі наслідки такої ситуації, особливо якщо врахувати, що ми звикли мислити в трьох вимірах!

Оскільки і Лайнландія, і Флатландія представлялися письменникам у гумористичному світлі, годі дивуватися, що література з цього приводу виникла Англії.

У 1880р. англійський педагог Едвін Ебоні Ебботт написав книгу про Флатландію та її мешканців ( Ебботт Е. Е. Флатландія. У кн.: Ебботт Е. Е. Флатландія. Бюргер Д. Сферландія. -М: Світ, 1976). Флатландець Ебботта, потрапивши уві сні до Лайнландії, марно намагається переконати тамтешніх мешканців існування площині.

По ходу дії одному з флатландців вдається пізнати тривимірний простір, за що його визнають «шаленим з божевільних».

Через двадцять із лишком років, в 1907 р., Ч. Г. Хінтон опублікував роман «Випадок у Флатландії». У ньому два флатландські народці ведуть війну. Оскільки всі флатландці звернені обличчям в один бік, один із народців завжди в безнадійному програші: він не може повернутися і завдати удару у відповідь у потрібному напрямку - ненависний ворог постійно сидить у нього на шиї. Але зрештою добро перемагає. Якась розумна голова зауважує, що Флатландія розташована на кульці і, отже, можна, обіжаючи навколо неї, зайти ворогові в тил.

Автор роману будує свою розповідь у мовчазному припущенні, що флатландці можуть рухатися лише за певними генеральними напрямками, що виключають обхід збоку, а перекинути ворога через голову їм неможливо.

Як видно, з приводу життя у двовимірному просторі висувалися найвитонченіші теорії, проте вони ніколи не знаходили застосування. Треба думати, і ці книги, і їхні автори були б давно забуті, якби Лайнландія і Флатландія не були такими потрібними для пояснення теорії дзеркального відображення і якби укладачам завдань на кмітливість не доводилося все знову і знову звертатися до Флатландії, щоб отримувати ідеї з її двомірство (до речі, нещодавно в Угорщині було створено мультфільм про подорож школяра Адоляра до Флатландії).

У тому числі флатландці перевозять вантажі, накочуючи платформи на кола. Щоразу, коли вантаж пройде коло, тамтешній транспортний службовець перекочує це коло вперед і ставить перед платформою.

Тут виникає безліч цікавих завдань. Але нас цікавить лише одна: якщо вісь колеса рухається зі швидкістю 10 м за хвилину, з якою швидкістю рухається вантаж?

Про наш земний автомобіль ми знаємо, що жодне колесо (точніше, жодна колісна вісь) не може рухатися швидше, ніж весь автомобіль. Але у флатландського автомобіля колесо не пов'язане жорстко з вантажем. Подумавши, неважко збагнути, що вантаж тут бере участь у двох рухах.

По-перше, він рухається разом із віссю обертання колеса (це так само, як і у автомобіля). Крім того, вантаж ще котиться по колу колеса, і при цьому зі швидкістю, теж рівною швидкості обертання осі. Отже, в цілому вантаж котиться з подвійною швидкістю по відношенню до швидкості колеса. Зрозуміло, вантаж повинен рухатися швидше вже тому, що колеса постійно залишаються позаду і їх доводиться постійно переставляти вперед.

Деякі читачі подумають: «Завдання справді цікаве, ну і що з того?»

Проте принцип дії флатландського транспорту знаходить собі місце у нашій техніці. Так, конструктор, проектуючи двері у невеликому приміщенні (наприклад, у маленького ліфта), змушений відмовитись від шарнірів. Він ділить двері на дві половинки (якщо, звичайно, додумається до такого хитрощі!), які ходять паралельно один перед одним. Одна половинка дверей нерухомо скріплена з віссю ролика, а друга рухається коло цього ролика. Поки одна половинка зсувається на половинку ширини дверей, інша встигає перебігти всю ширину прорізу дверей (з подвоєною швидкістю).

Не дивитися на Флатландію і на письменницькі фантазії зверхньо. Припустимо, що флатландці справді мешкають на поверхні кулі. Ця поверхня настільки велика, що жителі можуть не помітити її кривизни. Звичайно, вони думають, що живуть на площині, тому що кулі уявити не можуть: адже третій вимір їм у принципі незнайомий. Тому професори-флатландці розвивають флатландську математику, що вивчається у школах. Діти там зазубрюють, наприклад, таке визначення: дві паралельні прямі перетинаються на кінцевій відстані. Або: сума кутів трикутника перевищує 180 °. Ми ж, люди тривимірного простору, знаємо, що кульова поверхня є двовимірним неевклідовим простіром, який не вкладається в звичну евклідову геометрію.

Подивившись на глобус, бачимо, що два меридіана, паралельні біля екватора, на полюсі перетинаються. Дивлячись на глобус, можна переконатися і в тому, що два меридіани утворюють з екватором кут 90 °. У точки перетину на полюсі з'являється ще один кут. І сума всіх трьох кутів у будь-якому випадку більша за 180°. Але бідні флатландці, звичайно, не можуть і припустити всього цього. Вони впевнені, що живуть на площині.

Один скептично налаштований математик, Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855), всерйоз замислився над тим, чи флатландців не перебуваємо і ми, люди. Можливо, думав Гаус, ми теж живемо в неевклідовому світі, але тільки не помічаємо цього. Якби це було так, простір було б викривлено (чого б ми, звичайно, не могли собі уявити), і досить великий трикутник сума кутів відрізнялася б від 180°. Гаус виміряв трикутник між Брокеном, Інзельбергом і Високим Хагеном, але не знайшов істотного відхилення від 180 °. Це, звичайно, не могло бути безперечним доказом, оскільки трикутник все одно міг виявитися занадто малим.

Втім, не можна просто так порівнювати неевклідове простір, про який йшлося, з простором теорії відносності. Ми з вами, флатландці і Гаус говоримо про суто геометричну, просторову проблему і про те, чи справедливі певні аксіоми (наприклад, про перетин двох паралельних прямих в нескінченності). Прихильники теорії відносності як четверта просторова координати вводять час.

ПРО КОНГРУЕНТНІСТЬ

Дві плоскі фігури конгуентні, якщо вони всі кути і відрізки прямих між відповідними точками рівні.

У школі ми вивчаємо теореми про конгуентність трикутників. Встановлено, наприклад, що площі трикутників рівні, якщо у них одна сторона і два кути, що прилягають до неї, збігаються. Це означає, що, хоча для побудови трикутників можна використовувати бік і два кути, що прилягають до неї, збігатися трикутники повинні всіма своїми частинами.

У розмовної мови (якою ми й користуємося в цій книзі) можна сказати, що конгруентні площини точно накладаються одна на одну або, навпаки, якщо одна плоска фігура точно накладається на іншу, то вони конгруентні. Те саме справедливо і для тривимірних тіл: якщо їх можна поєднати, то вони конгруентні.

Подивіться трикутники, зображені малюнку. Усі вони конгруентні. Очевидно, що обидва трикутники, поміщені ліворуч, поєднаються, якщо їх просто пересунути. А ось трикутник, поміщений праворуч, хоч і конгруентен з двома лівими, але поєднати його з ними лише пересуванням у площині ми не зможемо. Як би ми не крутили його в площині, він ніколи не поєднається з жодним з лівих трикутників. Щоб цього досягти, потрібно підняти трикутник над площиною, повернути його в просторі і знову покласти на площину. Але якщо ми порівняємо взаємне розташування трикутників, поєднаних шляхом зсуву та перевертання, то побачимо, що в обох випадках збігаються їх різні сторони. При зсуві нижня поверхня паперового трикутника накладається на верхню поверхню другого трикутника. Просторове орієнтування поверхні паперового листа не змінилося. У цьому випадку говорять про тотожну конгруентність. Якщо при повороті у просторі поєднуються обидві верхні поверхні паперу, плоскі фігури називаються дзеркально-конгруентними.

Конгруентними називаються плоскі фігури, які ми сприймаємо як рівні, і які можна поєднати один з одним шляхом зсуву в площині або повороту в просторі.

КОНГРУЕНТНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

Конгруентність - властивість геометричних плоских фігур збігатися між собою за величиною та формою.

Тотожно-конгруентними є фігури, які можна поєднати один з одним шляхом повороту та (або) зсуву.

Дзеркально-конгруентними є фігури, суміщення яких необхідна додатково операція дзеркального відображення.

Існує чотири ознаки конгруентності трикутників. Трикутники конгруентні, якщо:

1) три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого (S, S, S);

2) дві сторони та укладений між ними внутрішній кут одного трикутника рівні двом сторонам та укладеному між ними внутрішньому куту іншого трикутника (S, W, S);

3) дві сторони і внутрішній кут одного трикутника, що протилежить більшій з них, рівні двом сторонам і протилежному більшій з них куту іншого трикутника (S, S, W);

4) сторона та обидва прилеглі до неї внутрішні кути одного трикутника рівні стороні та обом прилеглим до неї внутрішнім кутам іншого трикутниками (W, S, W).

ПОДІБ

Збіг плоских фігур формою, але з величиною називається подобою.

Кожен кут однієї з фігур відповідає рівновеликий кут подібної фігури.

У таких фігурах відповідні відрізки пропорційні.

Шляхом зсуву, повороту та (або) дзеркального відображення можна привести дві подібні фігури у положення гомотетії. У цьому положенні відповідні сторони обох постатей паралельні між собою.

ОСІВА СИМЕТРІЯ

Нехай площина розділена прямою s на дві напівплощини. Якщо тепер повернути одну напівплощину навколо прямої 5 на 180 °, то всі точки цієї напівплощини суміщаться з точками іншої напівплощини.

Пряма s називається віссю симетрії.

Зважаючи на те, що точки на перевернутій напівплощині знаходяться в дзеркальному положенні по відношенню до їхнього початкового положення, це перевертання називають також дзеркальним відображенням. Якщо нанести на одну напівплощину лінії, що вказують якісь напрямки обертання, то після дзеркального відображення цей напрямок зміниться на протилежний. Отже, одна операція дзеркального відображення створює дзеркально-конгруентні постаті. Дві такі операції призводять до тотожно-конгруентних фігур. Вони відповідають зсуву або повороту.

РАДІАЛЬНА СИМЕТРІЯ

Радіально-симетричні фігури можуть бути поєднані одна з одною шляхом обертання навколо точки S. Ця точка називається центром симетрії.

При обертанні відповідні точки фігур поєднуються. Напрямок обертання не змінюється. Фігура, відображена у такий спосіб, є тотожно-конгруентною.

Наступні операції обертання не вплинуть на тотожність форм. При куті повороту, що дорівнює 180°, говорять про центральну симетрію.

ТРЮК З КУБІКАМИ

Педагоги стверджують, що гра із кубиками розвиває просторову уяву. І ось батьки купують своїм нащадкам ящики з яскравими кубиками, обклеєними фрагментами картинок із популярних казок. Склавши ці кубики потрібним чином, ви побачите Червону Шапочку із Сірим Вовком або Білосніжку із сімома гномами.

Насправді такого роду кубики та головоломки розвивають просторову уяву не лише у дітей, а й у всіх – від малого до великого. Іноді нам доводиться складати куб із різної форми чурбачків.

При найближчому розгляді цих окремих елементів виявляється, що щонайменше два мають однакові форму і розміри, але ставляться друг до друга як ліва і права рукавички. Творці головоломок такого роду, очевидно, сподіваються, що граючі не відразу вловлять цю різницю. Якщо пригадати, скільки разів ми плутали праві та ліві рукавички, доведеться визнати, що такі надії не позбавлені підстав.

Поєднати ці елементи практично неможливо. Слід зауважити, що, вживаючи тут (або десь нижче) вираз «практично можливий», ми маємо на увазі здійснення подібного завдання на практиці.

Але ж існують ще й математичні чи фізичні методи, що дозволяють поєднувати елементи хоча б теоретично чи за зовнішніми ознаками, – це і є предметом подальшого розгляду. І оскільки тут йшлося про поєднання одного елемента з іншим, слід особливо наголосити на одній важливій обставині. У Флатландії можна було б поєднати пласкі фігури, вийнявши їх із площини і повернувши у просторі. У Лайнландії так само знадобилося б лише одним виміром більше: один поворот у площині, і відрізки стають сумісними.

Але просторові споруди ми можемо повернути лише у просторі! А оскільки четвертий вимір, незважаючи на всі міркування Гауса, для нас закритий, важко навіть уявити, як практично (!) можна розгорнути наші «цеглинки» десь, крім тривимірного простору, щоб вони поєдналися один з одним!

У повсякденному житті нам дуже часто доводиться вирішувати подібні головоломки (я наголошую: саме вирішувати практично, а не грати!), наприклад, при упаковці різних предметів. Або, наприклад, уявіть собі радіатори центрального опалення. В одних із них вентиль для регулювання знаходиться ліворуч, в інших – праворуч. Як поєднати кілька радіаторів в одну батарею?

Холодильники, кухонні плити та інші предмети домашнього вжитку зазвичай виконуються з право- та лівостороннім розташуванням ручок, ключів, кранів. Фантастична можливість повороту подібних предметів у четвертому вимірі дуже порадувала б усіх, хто має справу з їх перевезенням та встановленням.

ЗІГЛЯНІТЬ У СЛОВНИК!

На початку книги ми назвали людину істотою симетричною. Надалі термін «симетрія» більше не вживався. Однак ви вже, напевно, помітили, що у всіх випадках, коли відрізки прямої, плоскі фігури або просторові тіла були подібними, але без додаткових дій поєднати їх було не можна, практично не можна, ми зустрічалися з явищем симетрії. Ці елементи відповідали один одному, як картина та її дзеркальне відображення. Як ліва та права рука. Якщо ми візьмемо на себе працю заглянути в «Словник іноземних слів», то виявимо, що під симетрією розуміється «пропорційність, повна відповідність у розташуванні частин цілого щодо середньої лінії, центру... таке розташування точок щодо точки (центру симетрії), прямої ( осі симетрії) або площині (площині симетрії), при якому кожні дві відповідні точки, що лежать на одній прямій, що проходить через центр симетрії, на одному перпендикулярі до осі або площини симетрії, знаходяться від них на однаковій відстані...» ( Словник іншомовних слів: Изд. 7-е, перероблене. -М.; Російська мова 1980, с. 465)

І це ще не все, як часто буває з іноземними словами, значень слова «симетрія» існує безліч. У цьому полягає перевага подібних висловів, що їх можна використовувати у разі, коли не хочуть дати однозначне визначення або просто не знають чіткої різниці між двома предметами.

Термін "пропорційний" ми застосовуємо по відношенню до людини, картини або будь-якого предмета, коли дрібні невідповідності не дозволяють вживати слово "симетричний".

Раз ми риємося в довідниках, давайте заглянемо в Енциклопедичний словник ( Радянський енциклопедичний словник – М.: Радянська енциклопедія, 1980, с. 1219-1220). Ми виявимо тут шість статей, що починаються зі слова «симетрія». Крім того, це слово зустрічається в багатьох інших статей.

У математиці слово «симетрія» має менше семи значень (серед них симетричні поліноми, симетричні матриці). У логіці існують симетричні стосунки. Важливу роль відіграє симетрія в кристалографії (щось про це ви ще прочитаєте в цій книзі). Цікаво інтерпретується поняття симетрії у біології. Там описується шість різних видів симетрії. Ми дізнаємося, наприклад, що гребневики дисиметричні, а квітки левового зіва відрізняються білатеральною симетрією. Ми виявимо, що симетрія існує в музиці та хореографії (в танці). Вона тут залежить від чергування тактів. Виявляється, багато народних пісень і танців побудовано симетрично.

Отже, треба домовитися, про яку саме симетрію йтиметься у нас мова. Незалежно від характеру предметів, що розглядаються, основний інтерес для нас представлятиме дзеркальна симетрія - симетрія лівого і правого. Ми побачимо, що це обмеження, що здається, відведе нас далеко в світ науки і техніки і дозволить час від часу піддавати випробуванню здібності нашого мозку (бо саме він запрограмований на симетрію).

ГРА В ТОЧКИ ТА ЛІНІЇ

Ми ще не пішли від Лайнландії та Флатландії. І на те є особлива причина. Якщо навіть там і немає мешканців, то самі прямі та площини цілком реальні!

Подумаємо, як іде з симетрією на прямій. За допомогою двох сірників ми можемо дуже просто уявити собі два можливі випадки. (Деякі сторони цієї ситуації ми вже розглянули раніше.) Сірники можуть лежати головками в один бік. Тоді вони легко поєднуються. Або головками (або кінчиками) один до одного. У цьому випадку на прямій існує точка, в якій дзеркало можна поставити таким чином, що настане суміщення сірника, що здається, зі своїм відображенням. Інакше кажучи, на прямий існує центр симетрії. Нам доведеться уявити, що дзеркало вмістилося в одній точці і в ньому відбивається половинний відрізок прямої. У математичних міркуваннях це цілком можливо.

Плоскі фігури "відбиваються" в осях симетрії

При побудовах на площині наше дзеркало може залишатися точкою, а може бути і прямою. Напевно, правильніше сказати у зворотному порядку: дзеркалом буде пряма чи точка. Адже якщо є пряма, то на ній можливий точковий центр симетрії.

Дзеркальні відображення половинок площин виглядають так само, як і реальні площини: шляхом повороту площини навколо прямої – дзеркала – її можна поєднати з відображенням, звідси виник вираз «вісь симетрії».

Коло має безліч осей симетрії. "Лист конюшини" - лише одну

Отже, ми знаємо тепер, що являють собою центр симетрії і вісь симетрії, а також те, що якийсь предмет (візьмемо це нейтральне слово) є симетричним, якщо одна половина його співвідноситься з іншою, як зображення та його дзеркальне відображення.

У кола є безліч осей симетрії, і всі вони проходять через загальний центр симетрії. В інших фігур число осей симетрії звичайно, але все одно всі осі (дві або більше) проходять через центр симетрії. Це означає, що ми можемо розгорнути фігуру на певний кут (максимально на 180°) і вона знову ляже точно на те саме місце, що й до обертання.

Продовжимо свої міркування про дзеркальну симетрію. Легко встановити, що кожна симетрична плоска фігура може бути за допомогою дзеркала поєднана сама з собою. Варто здивуватись, що такі складні фігури, як п'ятикутна зірка або рівносторонній п'ятикутник, теж симетричні. Як це випливає з осей, вони відрізняються саме високою симетрією. І навпаки: не так просто зрозуміти, чому така, начебто, правильна постать, як косокутний паралелограм, несиметрична. Спочатку здається, що паралельно однієї з його сторін могла б проходити вісь симетрії. Але варто подумки спробувати скористатися нею, як одразу переконуєшся, що це не так. Несиметрична та спіраль.

Як не дивно, така "симетрична" на вигляд фігура, як паралелограм, не має не тільки осей симетрії, а й дзеркальної симетрії взагалі

У той час як симетричні фігури повністю відповідають своєму відображенню, несиметричні відмінні від нього: зі спіралі, що закручується праворуч наліво, в дзеркалі вийде спіраль, що ліворуч закручується. Ця властивість нерідко використовується у масових іграх та змаганнях, що проводяться телебаченням. Граючим пропонується, дивлячись у дзеркало, намалювати якусь несиметричну фігуру, наприклад, спіраль. А потім ще раз намалювати "точно таку ж" спіраль, але вже без дзеркала. Порівняння обох малюнків показує, що спіралі вийшли різні: одна закручується зліва направо, інша справа наліво.

Але те, що тут виглядає жартом, у практичному житті завдає маси складнощів не лише дітям, а й дорослим. Нерідко діти пишуть деякі літери «виворіт». Латинське N виглядає у них як І, замість S і Z виходить S і Z. Якщо ми уважно подивимося на літери латинського алфавіту (а це теж, по суті, плоскі фігури!), то побачимо серед них симетричні та несиметричні. Такі букви, як N, S, Z, не мають жодної осі симетрії (як і F, G, J, L, Р, Q і R). Але N, S і Z особливо легко пишуться «навпаки» ( Вони мають центр симетрії. - Прим. ред). В інших великих букв є як мінімум по одній осі симетрії. Літери А, М, Т, U, V, W і Y можна розділити навпіл для дольной, віссю симетрії. Літери В, С, D, Е, I, К – поперечною віссю симетрії. У літер Н, Про і X є дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

Якщо ви помістите літери перед дзеркалом, розташувавши його паралельно рядку, то помітите, що з них, у яких вісь симетрії проходить горизонтально, можна прочитати і в дзеркалі. А ось ті, у яких вісь розташована вертикально або зовсім відсутня, стають «нечитабельними».

Питання, чому літери з поздовжньою віссю поводяться інакше, ніж з поперечною, досить цікаве. Можливо, і ви замислитеся над ним. Причину цього явища ми ще обговоримо надалі.

Трапляються діти, які пишуть лівою рукою, і всі літери виходять у них у дзеркальному, відбитому вигляді. "Дзеркальним шрифтом" написані щоденники Леонардо да Вінчі. Ймовірно, не існує вагомої підстави, яка змушує нас писати букви саме так, як це ми робимо. Навряд чи дзеркальним шрифтом важче опанувати, ніж наш звичайний.

Правопис від цього не став би простішим, а деякі слова, як, наприклад, ОТТО, взагалі не змінилися б. Існують мови, у яких зображення символів спирається на наявність симетрії. Так, у китайській писемності ієрогліф означає саме справжню середину.

В архітектурі осі симетрії застосовуються як засоби вираження архітектурного задуму. У техніці осі симетрії найбільш чітко позначаються там, де потрібно оцінити відхилення від нульового положення, наприклад, на кермі вантажівки або на штурвалі корабля.

НАШ СВІТ У ДЗЕРКАЛІ

З Лайнландії ми винесли уявлення про центр симетрії, та якщо з Флатландії - про осі симетрії. У тривимірному світі просторових тіл, де ми з вами живемо, існують відповідно площини симетрії. "Дзеркало" завжди має на один вимір менше, ніж світ, який воно відображає. При погляді на круглі тіла відразу видно, що вони мають площини симетрії, але скільки саме - вирішити не завжди просто.

Поставимо перед дзеркалом кулю і почнемо її повільно обертати: зображення в дзеркалі ніяк не відрізнятиметься від оригіналу, звичайно в тому випадку, якщо куля не має будь-яких відмітних ознак на своїй поверхні. Кулька для пінг-понгу виявляє безліч площин симетрії. Візьмемо ніж, відріжемо половину кулі та помістимо її перед дзеркалом. Дзеркальне відображення знову доповнить цю половинку до цілої кульки.

Але якщо ми візьмемо глобус і розглянемо його симетрію з огляду на нанесені на ньому географічні контури, то ми не знайдемо жодної площини симетрії.

У Флатландії фігурою з безліччю осей симетрії було коло. Тому нас не повинно дивувати, що в просторі аналогічні властивості притаманні кулі. Але якщо коло є єдиним у своєму роді, то в тривимірному світі є цілий ряд тіл, що володіють нескінченним безліччю площин симетрії: прямий циліндр з колом у підставі, конус з круговою або напівсферичною основою, куля або сегмент кулі. Або візьмемо приклади з життя: сигарета, сигара, склянка, конусоподібний фунт з морозивом, шматочок дроту, труба.

Якщо ми уважніше придивимося до цих тіл, то зауважимо, що всі вони так чи інакше складаються з кола, через безліч осей симетрії якого проходить безліч площин симетрії. Більшість таких тіл (їх називають тілами обертання) мають, звичайно, і центр симетрії (центр кола), через який проходить щонайменше одна вісь симетрії.

Виразно видно, наприклад, вісь у конуса фунтика з морозивом. Вона проходить від середини кола (стирчить із морозива!) до гострого кінця конуса-фунтика. Сукупність елементів симетрії якогось тіла ми сприймаємо як свого роду міру симетрії. Куля, безперечно, щодо симетрії є неперевершеним втіленням досконалості, ідеалом. Стародавні греки сприймали його як найбільш досконале тіло, а коло, природно, як найбільш досконалу плоску постать.

Загалом ці уявлення цілком прийнятні й донині. Далі грецькі філософи робили висновок у тому, що Всесвіт, безсумнівно, має бути побудована на зразок математичного ідеалу. З цього висновку виникали помилки, про наслідки яких ми ще розповімо. Зрозуміло, що древні греки ще не мали фунтиків з морозивом! Інакше б такий прозовий предмет, що має безліч площин симетрії, міг би порушити їх струнку систему.

Якщо порівняння ми розглянемо куб, то побачимо, що він має дев'ять площин симетрії. Три з них ділять його межі навпіл, а шість проходять через вершини. У порівнянні з кулею це, звичайно, обмаль.

А чи є тіла, що займають за кількістю площин проміжне положення між кулею і кубом? Без сумніву – так. Варто лише згадати, що коло, по суті, складається з багатокутників. Ми проходили це у школі при обчисленні числа π. Якщо над кожним n-кутником ми збудуємо n-вугільну піраміду, то зможемо провести через неї n площин симетрії.

Можна було б вигадати 32-гранну сигару, яка мала б відповідну симетрію!

Але якщо ми сприймаємо куб як більш симетричний предмет, ніж горезвісний фунтик з морозивом, то це пов'язано з будовою поверхні. У кулі поверхня лише одна. У куба їх шість - за кількістю граней, і кожна грань представлена ​​квадратом. Фунтик з морозивом складається з двох поверхонь: кола та конусоподібної оболонки.

Більше двох тисячоліть (ймовірно, завдяки безпосередньому сприйняттю) традиційно віддається перевага «пропорційним» геометричним тілам. Грецький філософ Платон (427-347 до зв. е.) відкрив, що з правильних конгруентних плоских постатей можна побудувати лише п'ять об'ємних тіл.

З чотирьох правильних (рівносторонніх) трикутників виходить тетраедр (чотирьохгранник). З восьми правильних трикутників можна побудувати октаедр (восьмигранник) і, нарешті, із двадцяти правильних трикутників - ікосаедр. І лише з чотирьох, восьми чи двадцяти однакових трикутників можна отримати об'ємне геометричне тіло. З квадратів можна становити лише одну об'ємну фігуру - гексаедр (шестигранник), та якщо з рівносторонніх п'ятикутників - додекаэдр (дванадцятигранник).

А що у нашому тривимірному світі повністю позбавлене дзеркальної симетрії?

Якщо у Флатландії це була пласка спіраль, то у світі такими, безумовно, будуть гвинтові сходи або спіральний бур. Крім того, існують ще тисячі асиметричних речей і предметів у навколишньому житті і техніці. Як правило, гвинт має праве різьблення. Але іноді трапляється і ліва. Так, для більшої безпеки балони з пропаном забезпечені лівим різьбленням, щоб до них не можна було пригвинтити вентиль-редуктор, призначений, наприклад, для балона з іншим газом. У повсякденному житті це означає, що в кемпінгу, перш ніж готувати на похідній плитці, треба завжди спробувати, в який бік відкручується балон.

Між кулею та кубом, з одного боку, і гвинтовими сходами, з іншого, існує ще маса ступенів симетрії. Від куба можна поступово віднімати площини симетрії, осі та центр, доки ми не прийдемо до стану повної асиметрії.

Майже у кінця цього ряду симетрії стоїмо, ми, люди, з єдиною площиною симетрії, що розділяє наше тіло на ліву і праву половини. Ступінь симетрії у нас такий самий, як, наприклад, у звичайного польового шпату (мінералу, що утворює разом зі слюдою та кварцем гнейс або граніт).

П'ЯТЬ ПЛАТОНОВИХ ТІЛ

Для правильних багатогранників справедливі такі твердження:

1. У будь-якому багатограннику (у тому числі і правильному) сума всіх кутів між ребрами, що сходяться в одній вершині, завжди менша за 360°.

2. За теоремою Ейлера для опуклих багатогранників

де е - число вершин, - число граней і k - число ребер.

Гранями правильних багатогранників можуть лише такі правильні багатокутники:

3, 4 або 5 рівносторонніх трикутників із кутом 60°. Шість таких трикутників дають уже 60 Х 6 = 360 і, отже, не можуть обмежувати багатогранний кут.

Три квадрати (90 ° X 3 = 270 °), 3 правильні п'ятикутники (108 ° X 3 = 324 °), 3 правильні шестикутники (120 ° X 3 = 360 °) обмежують багатогранний кут.

З теореми Ейлера та форми граней випливає, що існує лише 5 правильних багатогранників:

Таблиця п'яти правильних багатогранників

Форми граней	Число				Платонові тіла
	граней в одній вершині	вершин	граней	ребер
Рівносторонні трикутники	3	4	4	6	Тетраедр
Те саме	4	6	8	12	Октаедр
Те саме	5	12	20	30	Ікосаедр
Квадрати	3	8	6	12	Гексаедр (куб)
Правильні п'ятикгольники	3	20	12	20	Пентагон-додекаедр

(Будь-яка грань Пентагон-додекаедра є п'ятикутною фігурою, у якої чотири сторони рівні між собою, але відмінні від п'ятої. - Прим. перев.)