Абсолютна та відносна похибки вимірювань. Абсолютна похибка вимірів

Похибка вимірювання- Оцінка відхилення виміряного значення величини від її істинного значення. Похибка виміру є характеристикою (мірою) точності виміру.

Оскільки з'ясувати з абсолютною точністю справжнє значення ніякої величини неможливо, неможливо і вказати величину відхилення виміряного значення від істинного. (Це відхилення прийнято називати помилкою виміру. У ряді джерел, наприклад, у Великій радянській енциклопедії, терміни помилка виміруі похибка вимірюваннявикористовуються як синоніми, але згідно з РМГ 29-99 термін помилка виміруне рекомендується застосовувати як менш вдалий). Можна лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. Насправді замість істинного значення використовують дійсне значення величиних д, тобто значення фізичної величини, отримане експериментальним шляхом і настільки близьке до справжнього значення, що у поставленій вимірювальній задачі може бути використане замість нього. Таке значення зазвичай обчислюється як середньостатистичне значення, отримане при статистичній обробці результатів серії вимірювань. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність. Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2,8±0,1 c. означає, що дійсне значення величини Tлежить в інтервалі від 2,7 с.до 2,9 с.з деякою обумовленою ймовірністю

У 2004 році на міжнародному рівні було прийнято новий документ, що диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних еталонів. Поняття «похибка» почало старіти, замість нього було введено поняття «невизначеність вимірів», проте ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускає використовувати термін похибкадля документів, які у Росії.

Вирізняють такі види похибок:

· Абсолютна похибка;

· Відносна похибка;

· Наведена похибка;

· Основна похибка;

· Додаткова похибка;

· Систематична похибка;

· Випадкова похибка;

· Інструментальна похибка;

· Методична похибка;

· Особиста похибка;

· Статична похибка;

· Динамічна похибка.

Похибки вимірів класифікуються за такими ознаками.

· За способом математичного вираження похибки поділяються на абсолютні похибки та відносні похибки.

· За взаємодією змін у часі та вхідної величини похибки діляться на статичні похибки та динамічні похибки.

· За характером появи похибки поділяються на систематичні похибки та випадкові похибки.

· За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

· За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Абсолютна похибка- Це значення, що обчислюється як різницю між значенням величини, отриманим у процесі вимірювань, і справжнім (дійсним) значенням даної величини. Абсолютна похибка обчислюється за такою формулою:

AQ n = Q n / Q 0 де AQ n - абсолютна похибка; Q n- Значення певної величини, отримане в процесі вимірювання; Q 0– значення тієї самої величини, прийняте за основу порівняння (реальне значення).

Абсолютна похибка міри- Це значення, що обчислюється як різницю між числом, що є номінальним значенням міри, і справжнім (дійсним) значенням мірою величини, що відтворюється.

Відносна погрішність- Це число, що відображає ступінь точності вимірювання. Відносна похибка обчислюється за такою формулою:

Де ∆Q – абсолютна похибка; Q 0- Справжнє (дійсне) значення вимірюваної величини. Відносна похибка виражається у відсотках.

Наведена похибка- Це значення, що обчислюється як відношення значення абсолютної похибки до значення, що нормує.

Нормуюче значення визначається таким чином:

· Для засобів вимірювань, для яких затверджено номінальне значення, це номінальне значення приймається за нормуюче значення;

· Для засобів вимірювань, у яких нульове значення розташовується на краю шкали вимірювання або поза шкалою, нормуюче значення приймається рівним кінцевому значенню з діапазону вимірювань. Винятком є ​​засоби вимірювань із суттєво нерівномірною шкалою виміру;

· Для засобів вимірювань, у яких нульова позначка розташовується всередині діапазону вимірювань, нормуюче значення приймається рівною сумі кінцевих чисельних значень діапазону вимірювань;

· Для засобів вимірювання (вимірювальних приладів), у яких шкала нерівномірна, нормуюче значення приймається рівним цілій довжині шкали вимірювання або довжині її частини, яка відповідає діапазону вимірювання. Абсолютна похибка виражається в одиницях довжини.

Похибка вимірювання включає інструментальну похибку, методичну похибку і похибку відрахування. Причому похибка відрахування виникає через неточність визначення часток розподілу шкали виміру.

Інструментальна похибка- це похибка, що виникає через допущені в процесі виготовлення функціональних частин засобів вимірювання помилок.

Методична похибка– це похибка, що виникає з таких причин:

· Неточність побудови моделі фізичного процесу, на якому базується засіб виміру;

· Неправильне застосування засобів вимірювань.

Суб'єктивна похибка– це похибка, що виникає через низький рівень кваліфікації оператора засобу вимірювань, а також через похибку зорових органів людини, тобто причиною виникнення суб'єктивної похибки є людський фактор.

Похибки щодо взаємодії змін у часі та вхідної величини поділяються на статичні та динамічні похибки.

Статична похибка– це похибка, що виникає у процесі вимірювання постійної (не змінюється у часі) величини.

Динамічна похибка– це похибка, чисельне значення якої обчислюється як різницю між похибкою, що виникає при вимірі непостійної (змінної у часі) величини, та статичної похибкою (похибкою значення вимірюваної величини у певний момент часу).

За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

Основна похибка- Це похибка, отримана в нормальних умовах експлуатації засобу вимірювань (при нормальних значеннях величин, що впливають).

Додаткова похибка- це похибка, яка виникає в умовах невідповідності значень впливових величин їх нормальним значенням, або якщо величина, що впливає, переходить межі області нормальних значень.

Нормальні умови– це умови, у яких всі значення впливових величин є нормальними або виходять за межі області нормальних значень.

Робочі умови– це умови, у яких зміна впливових величин має ширший діапазон (значення впливають не виходять межі робочої області значень).

Робоча область значень впливу величини– це область значень, де проводиться нормування значень додаткової похибки.

За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Адитивна похибка– це похибка, що виникає внаслідок підсумовування чисельних значень і залежна від значення вимірюваної величини, взятого за модулем (абсолютного).

Мультиплікативна похибка– це похибка, що змінюється разом із зміною значень величини, що піддається вимірам.

Слід зауважити, що значення абсолютної адитивної похибки не пов'язане зі значенням вимірюваної величини та чутливістю засобу вимірювання. Абсолютні адитивні похибки незмінні по всьому діапазоні вимірів.

Значення абсолютної адитивної похибки визначає мінімальне значення величини, яке можна виміряти засобом вимірювань.

Значення мультиплікативних похибок змінюються пропорційно до змін значень вимірюваної величини. Значення мультиплікативних похибок також пропорційні чутливості засобу вимірювань. Мультиплікативна похибка виникає через вплив впливу величин на параметричні характеристики елементів приладу.

Похибки, які можуть виникнути у процесі вимірювань, класифікують характером появи. Виділяють:

· Систематичні похибки;

· Випадкові похибки.

У процесі вимірювання можуть з'явитися грубі похибки та промахи.

Систематична похибка– це складова частина всієї похибки результату виміру, не змінюється чи змінюється закономірно при багаторазових вимірах однієї й тієї величини. Зазвичай систематичну похибку намагаються виключити можливими способами (наприклад, застосуванням методів вимірювання, що знижують ймовірність її виникнення), якщо систематичну похибку неможливо виключити, то її прораховують до початку вимірювань і в результат вимірювання вносяться відповідні поправки. У процесі нормування систематичної похибки визначаються межі її допустимих значень. Систематична похибка визначає правильність вимірів засобів виміру (метрологічна властивість). Систематичні похибки часом можна визначити експериментальним шляхом. Результат вимірювань можна уточнити за допомогою введення поправки.

Способи виключення систематичних похибок поділяються на чотири види:

· Ліквідація причин і джерел похибок до початку проведення вимірювань;

· Усунення похибок у процесі вже розпочатого вимірювання способами заміщення, компенсації похибок за знаком, протиставленням, симетричних спостережень;

· Коригування результатів вимірювання за допомогою внесення поправки (усунення похибки шляхом обчислень);

· Визначення меж систематичної похибки у разі, якщо її не можна усунути.

Ліквідація причин та джерел похибок до початку проведення вимірювань. Даний спосіб є найоптимальнішим варіантом, так як його використання спрощує подальший хід вимірів (немає необхідності виключати похибки в процесі вже розпочатого виміру або вносити виправлення в отриманий результат).

Для усунення систематичних похибок у процесі початого виміру застосовуються різні способи

Спосіб запровадження поправокбазується на знанні систематичної похибки та чинних закономірностей її зміни. При використанні даного способу результат вимірювання, отриманий з систематичними похибками, вносять поправки, за величиною рівні цим похибкам, але зворотні по знаку.

Спосіб заміщенняполягає в тому, що вимірювана величина замінюється мірою, поміщеною в ті самі умови, в яких знаходився об'єкт вимірювання. Спосіб заміщення застосовується при вимірі наступних електричних параметрів: опору, ємності та індуктивності.

Спосіб компенсації похибки за знакомполягає в тому, що вимірювання виконуються двічі таким чином, щоб похибка, невідома за величиною, включалася до результатів вимірювань із протилежним знаком.

Спосіб протиставленнясхожий спосіб компенсації по знаку. Даний спосіб полягає в тому, що вимірювання виконують двічі таким чином, щоб джерело похибки при першому вимірі протилежним чином діяв результат другого вимірювання.

Випадкова похибка- Це складова частина похибки результату вимірювання, що змінюється випадково, незакономірно при проведенні повторних вимірювань однієї і тієї ж величини. Поява випадкової похибки не можна передбачити та передбачити. Випадкову похибку неможливо повністю усунути, вона завжди дещо спотворює кінцеві результати вимірювань. Але можна зробити результат виміру більш точним за рахунок проведення повторних вимірів. Причиною випадкової похибки може стати, наприклад, випадкова зміна зовнішніх факторів, що впливають на процес виміру. Випадкова похибка під час проведення багаторазових вимірів з досить великим ступенем точності призводить до розсіювання результатів.

Промахи та грубі похибки- це похибки, що набагато перевищують передбачувані в даних умовах проведення вимірювань систематичні та випадкові похибки. Промахи та грубі похибки можуть з'являтися через грубі помилки в процесі проведення вимірювання, технічної несправності засобу вимірювання, несподіваної зміни зовнішніх умов.

Нехай деяка випадкова величина aвимірюється nразів у однакових умовах. Результати вимірів дали набір nрізних чисел

Абсолютна похибка- Розмірна величина. Серед nзначень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, і негативні.

За найбільш ймовірне значення величини азазвичай приймають середнє арифметичнезначення результатів вимірів

.

Чим більша кількість вимірів, тим ближче середнє значення до істинного.

Абсолютною похибкоюi

.

Відносною похибкоюi-го виміру називається величина

Відносна похибка – величина безрозмірна. Зазвичай відносна похибка виражається у відсотках, при цьому e iпримножують на 100%. Розмір відносної похибки характеризує точність виміру.

Середня абсолютна похибкавизначається так:

.

Наголосимо на необхідності підсумовування абсолютних значень (модулів) величин D а i.В іншому випадку вийде тотожний нульовий результат.

Середньою відносною похибкоюназивається величина

.

При великій кількості вимірів.

Відносну похибку можна як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.

Про точність вимірів судять виходячи з порівняння похибок результатів вимірів. Тому похибки вимірів виражають у такій формі, щоб для оцінки точності достатньо було зіставити тільки одні похибки результатів, не порівнюючи при цьому розміри об'єктів, що вимірюваються або знаючи ці розміри вельми наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка виміру кута залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значення довжини, тим за даного методу та умов вимірювання абсолютна похибка буде більшою. Отже, за абсолютною похибкою результату про точність вимірювання кута можна судити, а про точність вимірювання довжини не можна. Вираз похибки у відносній формі дозволяє порівнювати у відомих випадках точність кутових та лінійних вимірів.

Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.

Випадковою похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірювань однієї і тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань – деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі непомітно впливає на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкові помилки є неминучим наслідком будь-яких вимірів та обумовлені:

а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;

б) не ідентичність умов повторних вимірів;

в) безладними змінами зовнішніх умов (температури, тиску, силового поля тощо), які неможливо контролювати;

г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту та відповідної математичної обробки отриманих результатів.

Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка однаково може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо справжнього значення.

Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірів і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяє зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірювань потрібно провести.

У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче і неусувно, основним завданням будь-якого процесу виміру є доведення похибок до мінімуму.

В основі теорії похибок лежать два основні припущення, що підтверджуються досвідом:

1. При великому числі вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака, тобто похибки у бік збільшення та зменшення результату трапляються досить часто.

2. Великі по абсолютній величині похибки зустрічаються рідше, ніж малі, отже, ймовірність виникнення похибки зменшується зі зростанням її величини.

Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, що є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначенням ймовірності w iподії iє відношення

де n- загальна кількість дослідів, n i- кількість дослідів, у яких подія iсталося. При цьому загальна кількість дослідів має бути дуже великою. n®¥). При великій кількості вимірів випадкові помилки підпорядковуються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є:

1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менша ймовірність такого результату.

2. Відхилення обидві сторони від справжнього значення рівноймовірні.

З наведених вище припущень випливає, що зменшення впливу випадкових помилок необхідно зробити вимір цієї величини кілька разів. Припустимо, що вимірюємо деяку величину x. Нехай зроблено nвимірювань: x 1, x 2, ... x n- тим самим методом і з однаковою ретельністю. Очікується, що число dnотриманих результатів, які лежать у деякому досить вузькому інтервалі від xдо x + dx, має бути пропорційно:

Величині взятого інтервалу dx;

Загальній кількості вимірів n.

Ймовірність dw(x) того, що деяке значення xлежить в інтервалі від xдо x + dx,визначається так :

(при числі вимірів n ®¥).

Функція f(х) називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.

Як постулат теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань та їх випадкові похибки при великій їх кількості підпорядковуються закону нормального розподілу.

Знайдена Гаусом функція розподілу безперервної випадкової величини xмає такий вигляд:

де mіs - параметри розподілу .

Параметр нормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яка при довільній відомій функції розподілу визначається інтегралом

.

Таким чином, величина m є найімовірнішим значенням вимірюваної величини x, тобто. її найкращою оцінкою.

Параметр s 2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, що у загальному випадку визначається наступним інтегралом

.

Квадратний корінь із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Середнє відхилення (похибка) випадкової величини визначається за допомогою функції розподілу наступним чином

Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гаусса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:

< s > = 0,8s.

Параметри s і m пов'язані між собою так:

.

Цей вираз дозволяє знаходити середнє квадратичне відхилення s якщо є крива нормального розподілу.

Графік функції Гауса представлений малюнки. Функція f(x) симетрична щодо ординати, проведеної в точці x = m; проходить через максимум у точці x = m і має перегин у точках m±s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше виміру, тим ближчі один до справжнього значення результати окремих вимірів, тобто. величина s – менше. На малюнку A зображено функцію f(x) для трьох значень s .

Площа фігури, обмеженою кривою f(x) і вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 та x 2 (рис.б) , чисельно дорівнює ймовірності потрапляння результату виміру в інтервал D x = x 1 - x 2 яка називається довірчою ймовірністю. Площа під усією кривою f(x) дорівнює ймовірності влучення випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто.

,

оскільки можливість достовірного події дорівнює одиниці.

Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить і вирішує дві основні задачі. Перша – оцінка точності проведених вимірювань. Друга – оцінка точності середнього арифметичного значення результатів вимірів. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.

Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, в якому з певною ймовірністю wперебувають результати окремих вимірів. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, а відповідний інтервал (<x> ± D x)wназивається довірчим інтервалом.Довірча ймовірність також дорівнює відносної частки результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.

Якщо кількість вимірів nдосить велике, то довірча ймовірність висловлює частку із загальної кількості nтих вимірів, у яких виміряна величина виявилася не більше довірчого інтервалу. Кожній довірчій ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал. 2 80%. Чим ширший довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат усередині цього інтервалу. Теоретично ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірів.

Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, що відповідає середній похибці, тобто D a =áD аñ, то при досить великій кількості вимірювань він відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні кількості вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчому інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.

Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої похибки аñ .

Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме величину довірчого інтервалу та величину довірчої ймовірності . Вказівка ​​однієї лише величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлена ​​сенсу.

Якщо відома середня похибка вимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x> ± ásñ) w, визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.

Якщо відоме середнє квадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, зазначений інтервал має вигляд (<x>± t w s) w, де t w- Коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і розраховується за розподілом Гаусса.

Найбільш часто використовувані величини D xнаведено у таблиці 1.

Сторінка 1

Абсолютна помилка визначення не перевищує 001 мкг фосфору. Цей метод був застосований нами для визначення фосфору в азотній, оцтовій, соляній та сірчаній кислотах та ацетоні з попереднім випарюванням їх.

Абсолютна помилка визначення становить 02 - 03 мг.

Абсолютна помилка визначення цинку в цинк-марганцевих феритах запропонованим методом не перевищує 02% отн.

Абсолютна помилка визначення вуглеводнів С2 - С4, при вмісті їх у газі 02 - 50%, становить 001 - 02% відповідно.

Тут Ау - абсолютна помилка визначення г /, яка виходить в результаті помилки Так у визначенні а. Наприклад, відносна помилка квадрата числа вдвічі більша за помилку визначення самого числа, а відносна помилка числа, що стоїть під кубічним коренем, становить просто одну третину від помилки визначення числа.

Більш складні міркування необхідні при виборі міри порівняння абсолютних помилок визначення часу початку аварії TV - Ts, де Tv і Ts - відповідно час відновленої та реальної аварії. За аналогією тут може використовуватися середній час добігання піку забруднень від реального скидання до тих точок моніторингу, які фіксували аварію за час проходження забруднень Tsm. Обчислення достовірності визначення потужності аварій засноване на розрахунку відносної помилки MV – Ms/Мв, де Mv та Ms – відповідно відновлена ​​та реальна потужності. Нарешті, відносна помилка визначення тривалості аварійного викиду характеризується величиною rv – rs/re, де rv та rs – відповідно відновлена ​​та реальна тривалості аварій.

Більш складні міркування необхідні при виборі міри порівняння абсолютних помилок визначення часу початку аварії TV - Ts, де Tv і Ts - відповідно час відновленої та реальної аварії. За аналогією тут може використовуватися середній час добігання піку забруднень від реального скидання до тих точок моніторингу, які фіксували аварію за час проходження забруднень Tsm. Обчислення достовірності визначення потужності аварій засноване на розрахунку відносної помилки Mv – Ms/Ms, де Mv та Ms – відповідно відновлена ​​та реальна потужності. Нарешті, відносна помилка визначення тривалості аварійного викиду характеризується величиною rv – rs/rs, де rv та rs – відповідно відновлена ​​та реальна тривалості аварій.

При одній і тій же абсолютній помилці вимірювання ау абсолютна помилка визначення кількості ах зменшується зі збільшенням чутливості методу.

Оскільки основу помилок лежать не випадкові, а систематичні похибки, підсумкова абсолютна помилка визначення присосів може досягати 10 % теоретично необхідної кількості повітря. Тільки за неприпустимо нещільних топках (А а0 25) загальноприйнятий метод дає більш-менш задовільні результати. Описане добре відомо наладчикам, які при зведенні повітряного балансу щільних топок нерідко набувають негативних значень присосів.

Аналіз похибки визначення величини пет показав, що складається з 4 складових: абсолютної помилки визначення маси матриці, ємності зразка, зважування, відносної помилки з допомогою флуктуації маси зразка близько рівноважного значення.

При дотриманні всіх правил відбору, відліку обсягів та аналізу газів за допомогою газоаналізатора ГХП-3 загальна абсолютна помилка визначення вмісту С02 та О2 не повинна перевищувати 02 - 04% істинної їх величини.

З табл. 1 - 3 можна зробити висновок, що дані, які ми використовуємо для вихідних речовин, взяті з різних джерел, мають порівняно невеликі відмінності, які лежать в межах абсолютних помилок визначення цих величин.

Випадкові помилки можуть бути абсолютними та відносними. Випадкову помилку, що має розмірність вимірюваної величини називають абсолютною помилкою визначення. Середнє арифметичне значення абсолютних помилок всіх окремих вимірів називають абсолютною помилкою методу аналізу.

Величина допустимого відхилення, або довірчий інтервал, встановлюється не довільно, а обчислюється з даних даних вимірювань і характеристик приладів, що використовуються. Відхилення результату окремого виміру від істинного значення величини називається абсолютною помилкою визначення або просто помилкою. Відношення абсолютної помилки до величини, що вимірюється, називається відносною помилкою, яку зазвичай виражають у відсотках. Знання помилки окремого виміру немає самостійного значення, й у кожному серйозно поставленому експерименті має проводитися кілька паралельних вимірів, якими і обчислюють помилку експерименту. Помилки вимірів в залежності від причин їх виникнення поділяються на три види.

Справжнє значення фізичної величини визначити точно практично неможливо, т.к. будь-яка операція виміру пов'язані з низкою помилок чи, інакше, похибок. Причини похибок можуть бути різними. Їх виникнення може бути пов'язане з неточностями виготовлення та регулювання вимірювального приладу, обумовлене фізичними особливостями досліджуваного об'єкта (наприклад, при вимірюванні діаметра дроту неоднорідної товщини результат випадковим чином залежить від вибору ділянки вимірювання), причинами випадкового характеру і т.д.

Завдання експериментатора у тому, щоб зменшити їх впливом геть результат, і навіть вказати, наскільки отриманий результат близький до істинному.

Існують поняття абсолютної та відносної похибки.

Під абсолютною похибкоювимірювань буде розуміти різницю між результатом вимірювання та істинним значенням вимірюваної величини:

∆x i =x i -x та (2)

де ∆x i – абсолютна похибка i-го виміру, x i _- результат i-го виміру, x і – справжнє значення вимірюваної величини.

Результат будь-якого фізичного виміру прийнято записувати як:

де - середнє арифметичне значення вимірюваної величини, найбільш близьке до справжнього значення (справедливість x і буде показана нижче), - абсолютна помилка вимірювань.

Рівність (3) слід розуміти таким чином, що справжнє значення вимірюваної величини лежить в інтервалі [-, +].

Абсолютна похибка - величина розмірна, вона має ту ж розмірність, що і величина, що вимірюється.

Абсолютна похибка в повному обсязі характеризує точність проведених вимірів. Справді, якщо ми виміряємо з однією і тією самою абсолютною помилкою ± 1 мм відрізки довжиною 1 м і 5 мм, точність вимірювань буде незрівнянною. Тому поряд з абсолютною похибкою вимірювання обчислюється відносна похибка.

Відносною похибкоювимірювань називається відношення абсолютної похибки до самої вимірюваної величини:

Відносна похибка – величина безрозмірна. Вона виражається у відсотках:

У наведеному вище прикладі відносні помилки дорівнюють 0,1% та 20%. Вони помітно різняться між собою, хоча абсолютні значення однакові. Відносна помилка дає інформацію про точність

Похибки вимірів

За характером прояву і причин появи похибки можна умовно розділити на такі класи: приладові, систематичні, випадкові та промахи (грубі помилки).

Промах і зумовлені або несправністю приладу, або порушенням методики або умов експерименту, або мають суб'єктивний характер. Практично вони визначаються як результати, що різко відрізняються від інших. Для усунення їх появи потрібно дотримуватися акуратності та ретельності в роботі з приладами. Результати, що містять промахи, слід виключати з розгляду (відкидати).

Приладові похибки. Якщо вимірювальний прилад справний і відрегульований, на ньому можна провести вимірювання з обмеженою точністю, що визначається типом приладу. Прийнято приладову похибку стрілочного приладу вважати рівною половині найменшого поділу його шкали. У приладах з цифровим відліком помилку приладу прирівнюють до величини одного найменшого розряду шкали приладу.

Систематичні похибки - це помилки, величина і знак яких постійні для всієї серії вимірювань, проведених одним і тим же методом і за допомогою тих самих вимірювальних приладів.

При проведенні вимірювань важливим є не тільки облік систематичних помилок, але необхідно також домагатися їх виключення.

Систематичні похибки умовно поділяються на чотири групи:

1) похибки, природа яких відома та його величина то, можливо досить точно визначена. Такою помилкою є, наприклад, зміна вимірюваної маси повітря, яка залежить від температури, вологості, тиску повітря і т.д.;

2) похибки, природа яких відома, але невідома сама величина похибки. До таких похибок належать помилки, зумовлені вимірювальним приладом: несправність самого приладу, невідповідність шкали нульовому значенню, клас точності даного приладу;

3) похибки, про існування яких можна не підозрювати, але величина їх часто може бути значною. Такі помилки виникають найчастіше за складних вимірів. Простим прикладом такої помилки є вимір щільності деякого зразка, що містить усередині порожнини;

4) похибки, зумовлені особливостями самого об'єкта виміру. Наприклад, при вимірі електропровідності металу з останнього беруть відрізок дроту. Похибки можуть виникнути, якщо є якийсь дефект у матеріалі - тріщина, потовщення дроту або неоднорідність, що змінює опір.

Випадкові похибки - це помилки, які змінюються випадковим чином за знаком і величиною за ідентичних умов повторних вимірів однієї й тієї ж величини.

Подібна інформація.

Абсолютною похибкою виміруназивається величина, що визначається різницею між результатом вимірювання xі дійсним значенням вимірюваної величини x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Величина δ, що дорівнює відношенню абсолютної похибки вимірювання до результату вимірювання, називається відносною похибкою:

приклад 2.1.Наближеним значенням числа π є 3.14. Тоді похибка його дорівнює 0,00159. Абсолютну похибку вважатимуться рівною 0.0016, а відносну похибку дорівнює 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051 %.

Значні цифри.Якщо абсолютна похибка величини a вбирається у однієї одиниці розряду останньої цифри числа a, то кажуть, що з числа всі знаки правильні. Наближені числа слід записувати, зберігаючи лише вірні знаки. Якщо, наприклад, абсолютна похибка числа 52400 дорівнює 100, це число має бути записано, наприклад, у вигляді 524·10 2 або 0.524·10 5 . Оцінити похибку наближеного числа можна, вказавши, скільки правильних цифр воно містить. При підрахунку значущих цифр не рахуються нулі з лівого боку числа.

Наприклад, число 0.0283 має три вірні значущі цифри, а 2.5400 - п'ять вірних значущих цифр.

Правила округлення чисел. Якщо наближене число містить зайві (або неправильні) знаки, його слід округлити. При округленні виникає додаткова похибка, що не перевищує половини одиниці розряду останньої цифри ( d) округленого числа. При заокругленні зберігаються лише вірні знаки; зайві знаки відкидаються, причому якщо перша цифра, що відкидається, більша або дорівнює d/2, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Зайві цифри у цілих числах замінюються нулями, а десяткових дробах відкидаються (як і зайві нулі). Наприклад, якщо похибка виміру 0.001 мм, то результат 1.07005 округляється до 1.070. Якщо перша зі змінюваних нулями і цифр, що відкидаються, менше 5, цифри, що залишаються, не змінюються. Наприклад, число 148935 з точністю вимірювання 50 має округлення 148900. Якщо перша із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються, дорівнює 5, а за нею не слід ніяких цифр або йдуть нулі, то округлення проводиться до найближчого парного числа. Наприклад, число 123.50 округляється до 124. Якщо перша із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються більше 5 або дорівнює 5, але за нею слідує значна цифра, то остання цифра збільшується на одиницю. Наприклад, число 6783.6 округляється до 6784.

приклад 2.2. При округленні числа 1284 до 1300 абсолютна похибка становить 1300 – 1284 = 16, а при округленні до 1280 абсолютна похибка становить 1280 – 1284 = 4.

приклад 2.3. При округленні числа 197 до 200 абсолютна похибка становить 200 - 197 = 3. Відносна похибка дорівнює 3/197 ≈ 0.01523 або приблизно 3/200 ≈ 1.5 %.

Приклад 2.4. Продавець зважує кавун на чашкових вагах. У наборі гир найменша – 50 г. Зважування дало 3600 р. Це число – наближене. Точна вага кавуна невідома. Але абсолютна похибка вбирається у 50 р. Відносна похибка вбирається у 50/3600 = 1.4 %.

Похибки розв'язання задачі на PC

Як основні джерела похибки зазвичай розглядають три види помилок. Це так звані помилки усічення, помилки округлення та помилки поширення. Наприклад, при використанні ітераційних методів пошуку коренів нелінійних рівнянь результати наближені на відміну від прямих методів, що дають точне рішення.

Помилки усічення

Цей вид помилок пов'язаний із похибкою, закладеною у самій задачі. Він може бути обумовлений неточністю визначення вихідних даних. Наприклад, якщо умови завдання задані будь-які розміри, то практично для реальних об'єктів ці розміри відомі завжди з деякою точністю. Те саме стосується будь-яких інших фізичних параметрів. Сюди ж можна віднести неточність розрахункових формул і числових коефіцієнтів, що входять до них.

Помилки розповсюдження

Даний вид помилок пов'язаний із застосуванням того чи іншого способу розв'язання задачі. У результаті обчислень неминуче відбувається накопичення чи, інакше кажучи, поширення помилки. Крім того, що самі вихідні дані не є точними, нова похибка виникає при їх перемноженні, складання тощо. Накопичення помилки залежить від характеру та кількості арифметичних дій, що використовуються в розрахунку.

Помилки округлення

Це тип помилок пов'язані з тим, що справжнє значення числа який завжди точно зберігається комп'ютером. При збереженні речового числа в пам'яті комп'ютера воно записується у вигляді мантиси і порядку приблизно так, як відображається число на калькуляторі.