Bir doğrunun dört formdaki denklemi. Düz bir çizginin genel denklemi

Uzayda bir düz çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan bir yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen bir düz çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Rastgele bir nokta bir doğru üzerinde yer alır ben yalnızca ve vektörleri eşdoğrusal ise, yani şu koşulu karşılıyorlarsa:

.

Yukarıdaki denklemler doğrunun kanonik denklemleridir.

Sayılar m , n ve p yön vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Vektör sıfır olmadığı için, tüm sayılar m , n ve p aynı anda sıfır olamaz. Ancak bir veya iki tanesi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki notasyona izin verilir:

,

yani vektörün eksenler üzerindeki izdüşümleri Oy ve Öz sıfıra eşittir. Bu nedenle, kanonik denklemler tarafından verilen hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. Oy ve Öz, yani uçaklar yOz .

örnek 1 Bir düzleme dik uzayda düz bir çizginin denklemlerini oluşturun ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Öz .

Çözüm. Verilen düzlemin eksenle kesişme noktasını bulun Öz. Çünkü eksen üzerindeki herhangi bir nokta Öz, o zaman, verilen düzlem denkleminde varsayılarak koordinatlara sahiptir x=y= 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 Bu nedenle, verilen düzlemin eksenle kesişme noktası Öz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğu için normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle normal vektör, düz çizginin yönlendirici vektörü olarak hizmet edebilir. verilen uçak

Şimdi noktadan geçen doğrunun istenilen denklemlerini yazıyoruz. A= (0; 0; 2) vektör yönünde :

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki nokta ile tanımlanabilir. ve Bu durumda, düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra çizginin kanonik denklemleri şu formu alır:

.

Yukarıdaki denklemler, verilen iki noktadan geçen düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 2 Uzayda ve noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz çizginin istenen denklemlerini teorik referansta yukarıda verilen biçimde yazıyoruz:

.

beri, o zaman istenen çizgi eksene diktir Oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzayda düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak ve yani iki doğrusal denklem sistemini karşılayan bir noktalar kümesi olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzayda bir doğrunun genel denklemleri de denir.

Örnek 3 Genel denklemler tarafından verilen uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir doğrunun kanonik denklemlerini ya da aynısı olan iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazmak için doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Düz bir çizginin herhangi iki koordinat düzlemiyle kesişme noktaları olabilirler, örneğin yOz ve xOz .

Bir çizginin bir düzlemle kesişme noktası yOz apsisi var x= 0 Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayım x= 0 , iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı y = 2 , z= 6 ile birlikte x= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenilen satırın O zaman verilen denklem sisteminde varsayarsak y= 0 , sistemi elde ederiz

Onun kararı x = -2 , z= 0 ile birlikte y= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen doğrunun denklemlerini yazalım. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

,

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

,

K(x 0; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Burada k, düz çizginin eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 doğrusuna paralel olan doğru şu eşitlikle gösterilir:

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

K(K) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. ;) y = doğrusuna paralel x + .

Örnek 1. M 0 (-2.1) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturun ve aynı zamanda:
a) düz çizgiye paralel 2x+3y -7 = 0;
b) 2x+3y -7 = 0 doğrusuna dik.
Çözüm . Eğim denklemini y = kx + a olarak gösterelim. Bunun için y dışındaki tüm değerleri sağ tarafa aktaracağız: 3y = -2x + 7 . Sonra sağ tarafı katsayıya böleriz 3 . Şunu elde ederiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 doğrusuna paralel K(-2;1) noktasından geçen NK denklemini bulun
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1'i değiştirerek şunu elde ederiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
veya
y = -2 / 3 x - 1 / 3 veya 3y + 2x +1 = 0

Örnek 2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm . Doğrular paralel olduğu için istenen doğrunun denklemi 2x + 5y + C = 0'dır. Bir dik üçgenin a ve b'nin bacakları olduğu alanı. Koordinat eksenleri ile istenen çizginin kesişme noktalarını bulun:
;
.
Yani, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Alan için formülde değiştirin: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y - 10 = 0 .

Örnek 3. (-2; 5) noktasından geçen doğru ile 5x-7y-4=0 paralel doğrusunun denklemini yazınız.
Çözüm. Bu düz çizgi, y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenen çizginin denklemi y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) yani 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek 4. Formül (2)'yi kullanarak örnek 3'ü (A=5, B=-7) çözerek, 5(x+2)-7(y-5)=0'ı buluruz.

5 numaralı örnek. (-2;5) noktasından geçen doğru ile paralel olan 7x+10=0 doğrusunun denklemini yazınız.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 verir, yani x+2=0. Formül (1) uygulanamaz, çünkü bu denklem y'ye göre çözülemez (bu düz çizgi y eksenine paraleldir).

Düz çizgi M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçsin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi (10.6) karşılamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x2 -x1).

Buradan, bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılır.

x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. Onun denklemi x = x 1 .

y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, düz çizgi M 1 M 2 x eksenine paraleldir.

Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

Düz çizginin Öküz eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini - M 2 (0; b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
şunlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi segmentleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektöre n = (A; B) dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Düz çizgi üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir Belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu çizginin normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - serbest üye. Denklem (10.9) düz bir çizginin genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Düz çizginin kanonik denklemleri

,

Neresi
çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci Dereceden Çemberin Eğrileri

Bir daire, merkez olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir çemberin kanonik denklemi R bir nokta merkezli
:

Özellikle, kazığın merkezi orijine denk geliyorsa, denklem şöyle görünür:

Elips

Bir elips, bir düzlemdeki noktalar kümesidir, her birinden verilen iki noktaya olan mesafelerin toplamıdır. ve odaklar olarak adlandırılan sabit bir değerdir
, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Öküz ekseni üzerinde bulunan ve orijini odaklar arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de a ana yarı eksenin uzunluğu; b küçük yarı eksenin uzunluğudur (Şekil 2).

Düzlemde bir çizginin denklemi.

Bilindiği gibi, bazı koordinat sistemlerinde düzlem üzerindeki herhangi bir nokta iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri, temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisidir.

Çizgi denkleminin parametrik bir şekilde ifade edilebileceğini, yani her noktanın her bir koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. t.

Tipik bir örnek, hareket eden bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda, zaman bir parametrenin rolünü oynar.

Bir düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir çizgi birinci dereceden bir denklemle verilebilir.

Ah + Wu + C = 0,

ayrıca, A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir, yani. A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denkleme denir bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C \u003d 0, A  0, B  0 - çizgi orijinden geçer

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - çizgi Öküz eksenine paraleldir

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - çizgi Oy eksenine paraleldir

B \u003d C \u003d 0, A  0 - düz çizgi Oy ekseni ile çakışıyor

A \u003d C \u003d 0, B  0 - düz çizgi Öküz ekseni ile çakışıyor

Düz bir çizginin denklemi, verilen herhangi bir başlangıç ​​koşuluna bağlı olarak çeşitli şekillerde sunulabilir.

Düz bir çizginin bir nokta ve bir normal vektör ile denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, bileşenleri (A, B) olan bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen doğruya diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1,2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. (3, -1).

A \u003d 3 ve B \u003d -1'de düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x - y + C \u003d 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını ortaya çıkan ifadede değiştiririz.

Şunu elde ederiz: 3 - 2 + C \u003d 0, dolayısıyla C \u003d -1.

Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilsin, sonra bu noktalardan geçen doğrunun denklemi:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Bir düzlemde, yukarıda yazılan bir düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

x 1  x 2 ve x \u003d x 1 ise, x 1 \u003d x 2 ise.

kesir
=k denir eğim faktörü dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Düz bir çizginin bir nokta ve bir eğimle denklemi.

Ax + Vy + C = 0 doğrusunun genel denklemi şu şekildeyse:

ve belirlemek
, daha sonra elde edilen denklem denir eğimli düz bir çizginin denklemik.

Bir nokta üzerindeki doğrunun denklemi ve yönlendirici vektör.

Bir düz çizginin normal vektör üzerinden denklemini ele alan nokta ile benzetme yaparak, bir noktadan geçen bir düz çizginin atamasını ve bir düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Her sıfır olmayan vektör ( 1 ,  2), bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu sağlayan doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Ah + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü olan düz bir çizginin denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçmek.

İstenen düz çizginin denklemini şu şekilde arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre, katsayılar şu koşulları sağlamalıdır:

1A + (-1)B = 0, yani A = B

O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de С/A = -3 elde ederiz, yani istenen denklem:

Parçalarda düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ah + Wu + C = 0 C 0 ise, o zaman –C'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının açizginin x ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatıdır ve b- düz çizginin Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x - y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verildiğinde, bu doğrunun doğrunun parçalarındaki denklemini bulun.

C \u003d 1,
, bir = -1, b = 1.

Düz bir çizginin normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı da Ax + Wy + C = 0 bölü sayı ise
, denilen normalleştirici faktör, sonra alırız

xcos + ysin - p = 0 –

bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti öyle seçilmelidir ki С< 0.

p, orijinden düz çizgiye düşürülen dikeyin uzunluğu ve , bu dikeyin Öküz ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verildiğinde 12x - 5y - 65 = 0. Bu doğru için çeşitli denklem türleri yazmak gerekir.

bu düz çizginin segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğim ile denklemi: (5'e bölün)

düz bir çizginin normal denklemi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya orijinden geçen düz çizgiler gibi parçalar halinde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenlerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm 2 ise doğrunun denklemini yazınız.

Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:
, bir = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -dört.

a = -4 problemin durumuna uymuyor.

Toplam:
veya x + y - 4 = 0.

Örnek. A (-2, -3) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemini yazınız.

Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:
, burada x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Düzlemdeki çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğru y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 olarak verilirse, bu doğrular arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

teorem. Düz çizgiler Ax + Vy + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C, sonra çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Verilen bir noktadan geçen doğrunun denklemi

bu çizgiye dik

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y \u003d kx + b çizgisine dik olan çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

teorem. Eğer bir nokta M(x 0 , y 0 ), o zaman Ax + Vy + C = 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından verilen doğruya düşen dikmenin tabanı olsun. O zaman M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

x 1 ve y 1 koordinatları, denklem sistemine bir çözüm olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir doğruya dik geçen düz bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini şu forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözerek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de değiştirerek şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlanmıştır.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Örnek. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösteriniz.

Bulduk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C tepe noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

İstenen yükseklik denklemi: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k = . O zaman y =
. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse, koordinatları şu denklemi sağlar:
dolayısıyla b = 17. Toplam:
.

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda çizgi denklemi.

Uzayda bir doğrunun bir nokta ile denklemi ve

yön vektörü.

Rastgele bir çizgi ve bir vektör alın (m, n, p) verilen doğruya paralel. Vektör aranan kılavuz vektör dümdüz.

Düz çizgi üzerinde rastgele iki M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M(x, y, z) noktası alalım.

z

M1

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: ve , açıktır ki - =
.

Çünkü vektörler
ve doğrusaldır, o zaman ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + t.

Çünkü bu denklem, doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekildedir: düz bir çizginin parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat formunda gösterilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek, uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

.

Tanım. yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir , aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayıları denir eğim faktörleri dümdüz. Çünkü sıfır olmayan bir vektördür, m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan biri veya ikisi sıfır olabilir. Bu durumda, bir düz çizginin denkleminde karşılık gelen paylar sıfıra eşitlenmelidir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki nokta aracılığıyla.

Eğer rastgele iki nokta M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) uzayda düz bir çizgi üzerinde işaretleniyorsa, bu noktaların koordinatları denklemi sağlamalıdır. yukarıda elde edilen düz çizgi:

.

Ek olarak, M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözerek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzayda iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesiştiği bir çizginin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör formundaki bir düzlem aşağıdaki denklemle verilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - düzlemin keyfi bir noktasının yarıçap vektörü.

Bu makale, bir düzlem üzerinde bulunan bir dikdörtgen koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denkleminin türetilmesini açıklamaktadır. Dikdörtgen koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini türetiyoruz. İşlenen malzemeyle ilgili birkaç örneği görsel olarak gösterecek ve çözeceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı hususlara dikkat etmek gerekir. Bir düzlemde çakışmayan iki noktadan düz bir çizgi ve yalnızca bir tane çizmenin mümkün olduğunu söyleyen bir aksiyom vardır. Başka bir deyişle, düzlemin verilen iki noktası, bu noktalardan geçen bir doğru tarafından belirlenir.

Düzlem dikdörtgen koordinat sistemi Oxy tarafından verilirse, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz çizginin denklemine karşılık gelecektir. Doğrunun yön vektörü ile de bir bağlantısı vardır.Bu veriler verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini oluşturmak için yeterlidir.

Benzer bir sorunu çözmek için bir örnek düşünün. Kartezyen koordinat sisteminde bulunan M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) eşleşmeyen iki noktadan geçen bir düz çizginin denklemini oluşturmak gerekir.

Bir düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denkleminde, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y, M koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen düz bir çizgi ile belirtilir. 1 (x 1, y 1) bir kılavuz vektör ile a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan a düz çizgisinin kanonik denklemini oluşturmak gerekir.

Düz çizgi a, M 1 ve M 2 noktalarını kesiştiği için koordinatlarla (x 2 - x 1, y 2 - y 1) bir M 1 M 2 → yönlendirme vektörüne sahiptir. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerlerinde yatan M 1 noktalarının koordinatları ile kanonik denklemi dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 şeklinde bir denklem elde ederiz.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.

Hesaplamalardan sonra, koordinatları M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) olan iki noktadan geçen bir düzlemdeki düz çizginin parametrik denklemlerini yazıyoruz. x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ veya x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ şeklinde bir denklem elde ederiz y \u003d y2 + (y2 - y1) λ.

Birkaç örneğe daha yakından bakalım.

örnek 1

Koordinatları M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 olan verilen 2 noktadan geçen doğrunun denklemini yazın .

Çözüm

x 1 , y 1 ve x 2 , y 2 koordinatlarına sahip iki noktada kesişen bir düz çizgi için kanonik denklem x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 şeklini alır . Sorunun durumuna göre x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 var. X - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denklemindeki sayısal değerleri değiştirmek gerekir. Buradan, kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Bir sorunu farklı bir denklem türüyle çözmeniz gerekiyorsa, o zaman başlangıç ​​​​için kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine gelmek daha kolaydır.

Örnek 2

O x y koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen düz bir çizginin genel denklemini oluşturun.

Çözüm

Öncelikle, verilen iki noktadan geçen belirli bir doğrunun kanonik denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 şeklinde bir denklem elde ederiz.

Kanonik denklemi istenen forma getiriyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .

Cebir derslerinde okul ders kitaplarında bu tür görevlerin örnekleri ele alındı. Okul görevleri, y \u003d k x + b biçimine sahip bir eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklılık gösteriyordu. y \u003d k x + b denkleminin O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M noktalarından geçen bir çizgiyi tanımladığı k eğiminin değerini ve b sayısını bulmanız gerekiyorsa 2 (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 olduğunda , daha sonra eğim sonsuz değerini alır ve M 1 M 2 düz çizgisi, x - x 1 = 0 biçimindeki genel tamamlanmamış bir denklemle tanımlanır .

Çünkü noktalar M 1 ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse, koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini k ve b'ye göre çözmek gerekir.

Bunu yapmak için k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x buluruz. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Bu tür k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi şu şekli alır: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Aynı anda bu kadar çok sayıda formülü ezberlemek işe yaramayacaktır. Bunu yapmak için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.

Örnek 3

M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen eğimli bir doğrunun denklemini yazın.

Çözüm

Sorunu çözmek için, y \u003d k x + b biçiminde eğimli bir formül kullanıyoruz. k ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki, bu denklem M 1 (- 7 , - 5) ve M 2 (2 , 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelmelidir.

puan M 1 ve M2 düz bir çizgi üzerinde bulunursa, koordinatları doğru eşitlik olan y = k x + b denklemini tersine çevirmelidir. Buradan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b olduğunu elde ederiz. Denklemi sistemde birleştirelim - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ve çözelim.

Değiştirme üzerine, bunu elde ederiz

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde değiştirilir. Verilen noktalardan geçen istenen denklemin y = 2 3 x - 1 3 şeklinde bir denklem olacağını anlıyoruz.

Bu şekilde çözme, büyük bir zaman harcamasını önceden belirler. Görevin tam anlamıyla iki adımda çözüldüğü bir yol var.

M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen düz bir çizginin kanonik denklemini x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) şeklinde yazıyoruz. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .

Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip çakışmayan iki nokta ile O x y z dikdörtgen koordinat sistemi varsa, içinden 1 M 2 geçen M düz çizgisi, bu doğrunun denklemini elde etmek için gereklidir.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçimindeki kanonik denklemlere ve x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + biçimindeki parametrik denklemlere sahibiz a z λ, O x y z koordinat sisteminde koordinatları (x 1, y 1, z 1) olan noktalardan a → = (a x, a y, a z) yönlendirme vektörüyle geçen bir doğru ayarlayabilir.

Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) şeklinde bir yön vektörüne sahiptir, burada çizgi M 1 (x 1 , y 1 , z) noktasından geçer 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2), dolayısıyla kanonik denklem x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z biçiminde olabilir 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, sırayla, parametrik x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Uzayda verilen 2 noktayı ve düz bir çizginin denklemini gösteren bir şekil düşünün.

Örnek 4

M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip verilen iki noktadan geçen üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanmış bir doğrunun denklemini yazın ) .

Çözüm

Kanonik denklemi bulmamız gerekiyor. Üç boyutlu uzaydan bahsettiğimiz için, bu, verilen noktalardan düz bir çizgi geçtiğinde, istenen kanonik denklemin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = şeklini alacağı anlamına gelir. z - z 1 z 2 - z 1 .

Koşullu olarak, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Gerekli denklemler aşağıdaki gibi yazılabilir:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.