En basit kuyruk sistemlerinin matematiksel modelleri. p0(t) ve p1(t) fonksiyonları, tek kanallı bir QS'de geçici süreci belirler ve karakteristik bir zaman sabiti d ile limit durumuna üssel olarak yaklaşan QS sürecini tanımlar.
23 Ekim 2013, 14:22Squeak: Kuyruk Sistemlerini Modelleme
- programlama,
- OOP,
- paralel programlama
Squeak gibi bir programlama dili hakkında Habré hakkında çok az bilgi var. Kuyruk sistemlerinin modellenmesi bağlamında bahsetmeye çalışacağım. Basit bir sınıfın nasıl yazılacağını, yapısını tanımlayacağını ve çeşitli kanallardan isteklere hizmet edecek bir programda nasıl kullanılacağını göstereceğim.
Squeak hakkında birkaç söz
Squeak, Smalltalk-80 programlama dilinin dinamik yazım ve bir çöp toplayıcı ile açık, platformlar arası bir uygulamasıdır. Arayüz oldukça spesifiktir, ancak hata ayıklama ve analiz için oldukça uygundur. Squeak, OOP konseptine tamamen uygundur. Her şey nesnelerden oluşur, hatta yapılardan eğer-o zaman-else, süre için yardımıyla hayata geçirilir. Tüm sözdizimi, formdaki nesneye bir mesaj göndermeye kadar kaynar:<объект> <сообщение>Herhangi bir yöntem her zaman bir nesne döndürür ve ona yeni bir mesaj gönderilebilir.
Squeak genellikle süreç modelleme için kullanılır, ancak multimedya uygulamaları ve çeşitli eğitim platformları oluşturmak için bir araç olarak da kullanılabilir.
Kuyruk sistemleri
Kuyruk sistemleri (QS), çeşitli kaynaklardan gelen uygulamaları işleyen bir veya daha fazla kanal içerir. Her talebin yerine getirilmesi için gereken süre, gelişleri arasındaki aralıkların yanı sıra sabit veya isteğe bağlı olabilir. Bir telefon santrali, bir çamaşırhane, bir mağazadaki kasiyerler, bir daktilo vb. Olabilir. Şuna benzer:
QS, ortak kuyruğa giren ve işleme kanalları boşaldıkça hizmet için gönderilen birkaç kaynak içerir. Gerçek sistemlerin belirli özelliklerine bağlı olarak, model farklı sayıda istek kaynağı ve hizmet kanalı içerebilir ve sıra uzunluğu ve ilgili istekleri kaybetme (hata) olasılığı üzerinde farklı kısıtlamalara sahip olabilir.
Bir QS'yi modellerken, ortalama ve maksimum kuyruk uzunluklarını, hizmet reddi sıklığını, ortalama kanal yükünü tahmin etme ve bunların sayısını belirleme görevleri genellikle çözülür. Göreve bağlı olarak model, süreçlerin davranışı hakkında gerekli istatistiksel verileri toplamak, biriktirmek ve işlemek için yazılım blokları içerir. QS analizinde en sık kullanılan olay akışı modelleri düzenli ve Poisson'dur. Poisson olanlar rasgele iken düzenli olanlar, olayların meydana gelmesi arasında aynı zamanla karakterize edilir.
biraz matematik
Bir Poisson akışı için olay sayısı X uzunluk aralığı içinde düşen τ (tau) noktaya bitişik t, Poisson yasasına göre dağıtılan:nerede bir (t, t)- zaman aralığında meydana gelen ortalama olay sayısı τ .
Birim zamanda meydana gelen ortalama olay sayısı eşittir λ(t). Bu nedenle, zaman aralığı başına ortalama olay sayısı τ , zamanın anına bitişik t, şuna eşit olacaktır:
Zaman T iki olay arasında λ(t) = sabit = λ yasaya göre dağıtılan:
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu Tşuna benziyor:
Zaman aralıklarının sözde rasgele Poisson dizilerini elde etmek için ben denklemi çözün:
nerede ri aralık boyunca düzgün dağılmış rastgele bir sayıdır.
Bizim durumumuzda, bu şu ifadeyi verir:
Rastgele sayılar üreterek tüm ciltleri yazabilirsiniz. Burada, aralık boyunca düzgün dağılmış tamsayılar oluşturmak için aşağıdaki algoritmayı kullanırız:
nerede Ri- başka bir rasgele tamsayı;
R- bazı büyük asal sayılar (örn. 2311);
Q- tamsayı - aralığın üst sınırı, örneğin, 2 21 = 2097152;
rem- tamsayıların bölümünden kalanı elde etme işlemi.
Başlangıç değeri R0 genellikle keyfi olarak ayarlanır, örneğin zamanlayıcı okumaları kullanılarak:
toplam süreSaniye
Aralığa eşit olarak dağılmış sayıları elde etmek için dil operatörünü kullanırız:
Rand sınıfı
Aralık boyunca düzgün bir şekilde dağılmış rasgele sayılar elde etmek için, gerçek sayıların bir üreticisi olan bir sınıf yaratırız:Kayan değişkenWordSubclass: #Rand "sınıf adı" instanceVariableNames: "" "örnek değişkenleri" classVariableNames: "R" "sınıf değişkenleri" poolDictionaries: "" "ortak sözlükler" kategorisi: "Örnek" "kategori adı"
Yöntemler:
"Başlatma" init R:= Zaman totalSeconds.next "Sonraki sözde rastgele sayı" sonraki R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Sensörün başlangıç durumunu ayarlamak için bir mesaj gönderin Rand başlangıcı.
Başka bir rasgele sayı almak için gönder Rand sonraki.
Başvuru İşleme Programı
Basit bir örnek olarak aşağıdakileri yapalım. İstekler arasında rastgele bir zaman aralığı olan tek bir kaynaktan gelen düzenli istek akışının bakımını simüle etmemiz gerektiğini varsayalım. Uygulamaların sırasıyla 2 ve 7 birim zamanda bakımını sağlayan farklı performansa sahip iki kanal bulunmaktadır. 100 zaman birimi aralığında her kanal tarafından sunulan istek sayısını kaydetmek gerekir.Gıcırtı Kodu
"Geçici değişkenlerin bildirilmesi" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority kuyruğu devam et r | "İlk değişken ayarları" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. devam:=doğru. sysPriority:= İşlemci activeProcess önceliği. "Geçerli öncelik" sırası:= Semafor yeni. "Talep Kuyruğu Modeli" "İşlem Oluşturma - Kanal Modeli 1" s1:= s1 + 1. proc1 askıya alma."Hizmet sonlandırılmayı bekleyen işlemi askıya al" ].proc1:= nil."İşlem 1 referansını kaldır" ]priority: (sysPriority + 1)) devam et. "Yeni öncelik arka plandan daha büyük" "İşlem oluştur - kanal modeli 2" .proc2:= sıfır.] öncelik: (sysPriority + 1)) devam et. "Ana süreç ve kaynak modelin devam eden açıklaması" whileTrue: [ r:= (Rand sonraki * 10) yuvarlanır. (r = 0) ifDoğru: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "İstek gönder" "Hizmet süreci anahtarı" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SistemZaman) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Model zamanı ilerliyor" ]. "İstek sayacı durumunu göster" PopUpMenu bilgi verir: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). devam:= yanlış.
Başlangıçta, 1. işlemin 31 isteği ve 2. işlemin yalnızca 11 isteği işlemeyi başardığını görüyoruz:
Sınıflandırma, temel kavramlar, model elemanları, ana karakteristiklerin hesaplanması.
Ticaretin rasyonel organizasyonu, tüketici hizmetleri, depolama vb. üretim yapısının faaliyetlerinin şu şekilde yorumlanması çok yararlıdır: kuyruk sistemleri, yani bir yandan herhangi bir işin yapılmasına yönelik isteklerin sürekli ortaya çıktığı, diğer yandan bu isteklerin sürekli olarak karşılandığı bir sistem.
Her SMO şunları içerir: dört element: gelen akış, sıra, sunucu, giden akış.
gereklilik(müşteri, uygulama), QS'deki herhangi bir işin performansı için her bir bireysel taleptir.
Hizmet gelen talebi karşılamak için işin yürütülmesidir. Gereksinimlerin bakımını gerçekleştiren nesneye servis cihazı (cihaz) veya servis kanalı denir.
Hizmet süresi, hizmet gereksiniminin karşılandığı dönemdir, yani; hizmetin başlangıcından bitimine kadar geçen süre. Bir talebin sisteme girdiği andan hizmetin başlamasına kadar geçen süreye hizmet bekleme süresi denir. Servis bekleme süresi, servis süresi ile birlikte, ihtiyacın sistemde kalma süresidir.
SMO'lar farklı kriterlere göre sınıflandırılır..
1. Hizmet kanallarının sayısına göre, QS tek kanallı ve çok kanallı olarak ayrılır.
2. Bekleme koşullarına bağlı olarak, hizmet başlatma gereksinimi QS'yi kayıplarla (hatalarla) ve QS'yi beklemeyle ayırır.
AT Talep kaybı ile QS, tüm cihazların bakımla meşgul olduğu anda alınanlar reddedilir, bu sistem için kaybolur ve sonraki bakım sürecine etkisi yoktur. Arızalı bir sistemin klasik örneği telefon santralidir - aranan taraf meşgulse bağlantı talebi reddedilir.
Arızalı bir sistem için, işleyiş verimliliğinin temel özelliği, arıza olasılığı veya karşılanmayan taleplerin ortalama oranıdır.
AT Talep bekleyen CMO, tüm cihazların servisle meşgul olduğu anda alınır, sistemden çıkmaz, sıraya girer ve kanallardan biri boşalana kadar bekler. Bir sonraki cihaz serbest bırakıldığında, kuyruktaki uygulamalardan biri hemen hizmete kabul edilir.
Beklemeli QS için temel özellikler, sıra uzunluğu ve bekleme süresinin matematiksel beklentileridir.
Bekle ve gör sistemine bir örnek, bir tamirhanedeki televizyonları restore etme sürecidir.
Bu iki grup arasında yer alan sistemler vardır ( karma CMO'lar). Bazı ara koşulların varlığı ile karakterize edilirler: kısıtlamalar, hizmetin başlaması için bekleme süresi, sıra uzunluğu vb.
Performans özellikleri olarak, arıza olasılığı hem kayıplı sistemlerde (veya bekleme süresi özelliklerinde) hem de beklemeli sistemlerde kullanılabilir.
3. Hizmet disiplinine göre QS'ler, hizmet önceliği olan sistemler ve hizmet önceliği olmayan sistemler olarak ikiye ayrılır.
İstekler, rastgele veya belirlenmiş önceliklere göre alındıkları sırayla hizmete alınabilir.
4. QS, tek fazlı ve çok fazlı olabilir.
AT Tek aşama sistemlerde gereksinimler, bir kanaldan diğerine aktarılmadan aynı türden kanallar (örneğin aynı meslekten çalışanlar) tarafından karşılanır. çok fazlı sistemlerde bu tür transferler mümkündür.
5. Gereksinim kaynağının konumuna göre, QS açık (gereksinimin kaynağı sistemin dışında olduğunda) ve kapalı (kaynak sistemin kendisinde olduğunda) olarak ayrılır.
İle kapalı gelen gereksinim akışının sınırlı olduğu sistemleri içerir. Örneğin, görevi atölyedeki makineleri kurmak olan bir kalfanın periyodik olarak bakım yapması gerekir. Kurulan her makine, gelecekte kurulum gereksinimleri için potansiyel bir kaynak haline gelir. Bu tür sistemlerde, dolaşımdaki taleplerin toplam sayısı sonludur ve çoğunlukla sabittir.
Arz kaynağının sonsuz sayıda gereksinimi varsa, sistemler çağrılır. açık. Bu tür sistemlere örnek olarak mağazalar, istasyon bilet ofisleri, limanlar vb. verilebilir. Bu sistemler için gelen istek akışı sınırsız sayılabilir.
QS'yi incelemek için yöntemler ve modeller şartlı olarak analitik ve istatistiksel olarak ayrılabilir (sıralama işlemlerinin simülasyon modellemesi).
Analitik yöntemler, işleyişinin parametrelerinin bazı işlevleri olarak sistemin özelliklerini elde etmeyi mümkün kılar. Bu, bireysel faktörlerin QS'nin verimliliği üzerindeki etkisinin niteliksel bir analizini yapmayı mümkün kılar.
Ne yazık ki, kuyruk teorisindeki problemlerin oldukça sınırlı bir kısmı analitik olarak çözülebilir. Analitik yöntemlerin devam eden gelişimine rağmen, birçok gerçek durumda, analitik bir çözüm elde etmek ya imkansızdır ya da ortaya çıkan bağımlılıklar o kadar karmaşık hale gelir ki, analizleri bağımsız ve zor bir görev haline gelir. Bu nedenle, analitik çözüm yöntemlerini uygulayabilmek için, nihai bağımlılıkların nitel bir analizini uygulama olasılığı ile bir dereceye kadar telafi edilen çeşitli basitleştirici varsayımlara başvurmak gerekir (bu durumda, elbette, yapılan varsayımların sürecin gerçek resmini bozmaması gereklidir).
Şu anda, teorik olarak, pratik uygulamalarda en gelişmiş ve uygun olan, gereksinim akışının en basit olduğu bu tür kuyruk problemlerini çözmek için yöntemlerdir ( Poisson).
En basit akış için, gereksinimlerin sisteme alınma sıklığı Poisson yasasına uyar, yani k gereksinime eşit t zamanında ulaşma olasılığı aşağıdaki formülle verilir:
burada λ akış parametresidir (aşağıya bakın).
En basit akışın üç ana özelliği vardır: sıradan, durağan ve art etkisi olmayan.
sıradanlık akış, iki veya daha fazla gereksinimin aynı anda alınmasının pratikte imkansızlığı anlamına gelir. Örneğin, bir tamirci ekibi tarafından hizmet verilen bir makine grubundan birkaç makinenin aynı anda arızalanma olasılığı oldukça düşüktür.
Sabit aranan akış, birim zamanda sisteme giren talep sayısının matematiksel beklentisinin (λ ile gösterilir) zamanla değişmediği. Bu nedenle, belirli bir Δt zaman aralığında belirli sayıda talebin sisteme girme olasılığı, değerine bağlıdır ve zaman eksenindeki kökenine bağlı değildir.
Yan etki yok t zamanından önce sisteme giren müşteri sayısının, t + Δt zamanında sisteme kaç müşterinin gireceğini belirlemediği anlamına gelir.
Örneğin, bir tezgahta o anda bir iplik kopması meydana gelirse ve bunu dokumacı tarafından giderilirse, bu durum, bu tezgahta bir sonraki anda yeni bir kopuş olup olmayacağını belirlemez, hele hele iplik kopması meydana gelir. diğer makinelerde kırılma olasılığını etkilemez.
QS'nin önemli bir özelliği, sistemdeki gereksinimlerin hizmet süresidir. Hizmet süresi, kural olarak rastgele bir değişkendir ve bu nedenle bir dağıtım yasası ile tanımlanabilir. Üstel kanun, teoride ve özellikle pratik uygulamalarda en büyük dağılımı almıştır. Bu yasa için, olasılık dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
F(t) \u003d 1 - e -μt,
şunlar. hizmet süresinin belirli bir t değerini aşmama olasılığı, formül (1 - e -μt) ile belirlenir; burada μ, sistemdeki gereksinimlerin hizmet süresinin üstel yasasının parametresidir - ortalamanın karşılığı hizmet süresi, yani .
Analitik QS modellerini beklenti ile değerlendirin(tüm hizmet birimlerinin meşgul olduğu anda alınan isteklerin sıraya alındığı ve hizmet birimleri boşaldıkça hizmet verildiği en yaygın QS).
Kuyruklu görevler, üretim koşullarında, örneğin ayarlama ve onarım işlerini organize ederken, çok makineli bakım sırasında vb. tipiktir.
Genel sorun bildirimi aşağıdaki gibidir.
Sistem n hizmet kanalından oluşur. Her biri aynı anda yalnızca bir isteğe hizmet edebilir. Sistem gereksinimlerin en basit (Poisson) akışını λ parametresi ile alır. Sistemde bir sonraki isteğin geldiği anda en az n istek hizmetteyse (yani tüm kanallar meşgulse), bu istek kuyruğa girer ve hizmetin başlamasını bekler.
Her gereksinimin hizmet süresi t about, μ parametresi ile üstel dağılım yasasına uyan rastgele bir değişkendir.
Yukarıda belirtildiği gibi, beklentili QS iki büyük gruba ayrılabilir: kapalı ve açık.
Bu iki tür sistemin her birinin işleyişinin özellikleri, kullanılan matematiksel aygıta kendi gölgelerini empoze eder. Çeşitli türlerdeki QS operasyonlarının özelliklerinin hesaplanması, QS durumlarının olasılıklarının hesaplanması (Erlang formülleri) temelinde gerçekleştirilebilir.
Sistem kapalı olduğu için sorun bildirimine bir koşul eklenmelidir: gelen isteklerin akışı sınırlıdır, örn. kuyruk sistemi aynı anda m'den fazla istekte bulunamaz (m, hizmet verilen nesne sayısıdır).
İncelenen sistemin işleyiş kalitesini karakterize eden ana kriterler olarak şunları seçeceğiz: 1) ortalama kuyruk uzunluğunun, hizmet sisteminde aynı anda bulunan en fazla gereksinim sayısına oranı - hizmet verilen nesnenin kesinti katsayısı; 2) boşta hizmet veren kanalların ortalama sayısının toplam sayılarına oranı, hizmet verilen kanalın boşta kalma oranıdır.
Kapalı bir QS'nin gerekli olasılık özelliklerinin (performans göstergeleri) hesaplanmasını düşünün.
1. Sayılarının hizmet cihazlarının sayısını n geçmemesi koşuluyla, sistemde k gereksinimlerin bulunma olasılığı:
P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),
nerede 
λ, gereksinimlerin tek bir kaynaktan sisteme alınma sıklığıdır (yoğunluğu);
Bir gereksinimin ortalama hizmet süresi;
m - hizmet sisteminde aynı anda bulunan mümkün olan en fazla sayıda gereksinim;
n, hizmet cihazlarının sayısıdır;
P 0 - tüm servis cihazlarının ücretsiz olma olasılığı.
2. Sayılarının servis cihazlarının sayısından fazla olması koşuluyla, sistemde k gereksinim olma olasılığı:
P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),
nerede 
3. Tüm sunucuların ücretsiz olma olasılığı, koşuldan belirlenir.
Sonuç olarak,
4. Hizmeti başlatmak için bekleyen ortalama istek sayısı (ortalama kuyruk uzunluğu):
5. Hizmet için bekleyen talep kesinti oranı:
6. Tüm servis cihazlarının meşgul olma olasılığı:
7. Hizmet sistemindeki ortalama gereksinim sayısı (hizmet verilen ve hizmet bekleyen):
8. Servis için gerekliliklerin toplam kapalı kalma süresinin ve servis bekleme süresine oranı:
9. Bir hizmet kuyruğundaki talebin ortalama boşta kalma süresi:
10. Ortalama ücretsiz refakatçi sayısı:
11. Servis araçlarının duruş oranı:
12. Hizmet bekleyen müşteri sayısının B sayısından büyük olma olasılığı (hizmet kuyruğunda B'den fazla müşteri olma olasılığı):
Ekonominin, finansın, üretimin ve günlük hayatın birçok alanında, aynı türden görevlerin tekrar tekrar yerine getirilmesini sağlayan sistemler önemli bir rol oynamaktadır. Bu tür sistemlere denir kuyruk sistemleri ( CMO ). SMO'lara örnek olarak: çeşitli türden bankalar, sigorta kuruluşları, vergi müfettişlikleri, denetim hizmetleri, çeşitli iletişim sistemleri, yükleme ve boşaltma kompleksleri, benzin istasyonları, hizmet sektöründeki çeşitli işletme ve kuruluşlar sayılabilir.
3.1.1 Kuyruk sistemleri hakkında genel bilgiler
Her QS, sistemin girişine çoğunlukla düzenli olarak değil, rastgele zamanlarda gelen belirli bir uygulama (gereksinimler) akışına hizmet etmek (yürütmek) için tasarlanmıştır. Uygulamaların hizmeti de sabit, önceden belirlenmiş bir süre için değil, rastgele, bazen bizim bilmediğimiz birçok nedene bağlıdır. İsteğe hizmet verdikten sonra, kanal serbest bırakılır ve bir sonraki isteği almaya hazırdır. Uygulama akışının rastgele doğası ve hizmet verme süresi, QS'nin eşit olmayan bir iş yüküne yol açar. Bazı zaman aralıklarında, QS girişinde istekler birikebilir, bu da QS aşırı yüklenmesine yol açarken, diğer bazı zaman aralıklarında, ücretsiz kanallarda (servis cihazları), QS girişinde QS az yüklenmesine neden olan istek olmaz, yani kanallarını boşta bırakmak için. QS'nin girişinde biriken başvurular ya kuyruğa “alır” ya da herhangi bir nedenle kuyrukta daha fazla kalmanın imkansızlığı, QS'yi hizmetsiz bırakır.
Şekil 3.1, QS'nin bir diyagramını göstermektedir.
Kuyruk sistemlerinin ana unsurları (özellikleri) şunlardır:
Servis düğümü (blok),
uygulama akışı,
Dönüş hizmet beklemek (kuyruk disiplini).
hizmet bloğu gelen sistemin gereksinimlerine uygun eylemleri gerçekleştirmek için tasarlanmıştır uygulamalar.
Pirinç. 3.1 Kuyruk sisteminin şeması
Kuyruk sistemlerinin ikinci bileşeni girdidir. uygulama akışı Başvurular sisteme rastgele girer. Genellikle giriş akışının, art arda gelen iki istek arasındaki süre boyunca belirli bir olasılık yasasına uyduğu varsayılır ve dağıtım yasasının yeterince uzun bir süre boyunca değişmediği kabul edilir. Uygulamaların kaynağı sınırsızdır.
Üçüncü bileşen kuyruk disiplini. Bu özellik, sistem girişine gelen isteklerin hizmet sırasını tanımlar. Hizmet bloğunun genellikle sınırlı bir kapasitesi olduğundan ve istekler düzensiz bir şekilde geldiğinden, periyodik olarak hizmet bekleyen bir istek kuyruğu oluşturulur ve bazen hizmet veren sistem istekleri beklerken boşta kalır.
Kuyruk işlemlerinin ana özelliği rastgeleliktir. Bu durumda, etkileşimde bulunan iki taraf vardır: hizmet ve hizmet. Taraflardan en az birinin rastgele davranışı, bir bütün olarak hizmet sürecinin akışının rastgele doğasına yol açar. Bu iki tarafın etkileşimindeki rastgelelik kaynakları, iki türden rastgele olaylardır.
1. Hizmet için bir başvurunun (gerekliliğin) görünümü. Bu olayın rastlantısal olmasının nedeni genellikle hizmet ihtiyacının kitlesel doğasıdır.
2. Bir sonraki talebin hizmet sonu. Bu olayın rasgele olmasının nedenleri, hem hizmetin başlangıcındaki rasgelelik hem de hizmetin kendisinin rasgele süresidir.
Bu rastgele olaylar, QS'de iki akıştan oluşan bir sistem oluşturur: hizmet taleplerinin giriş akışı ve hizmet verilen isteklerin çıkış akışı.
Bu rastgele olay akışlarının etkileşiminin sonucu, genellikle QS olarak adlandırılan şu anda QS'deki uygulama sayısıdır. sistemin durumu.
Her bir QS, uygulama akışının doğasına, hizmet kanallarının sayısına ve bunların iş düzenleme kurallarına göre performansına ilişkin parametrelerine bağlı olarak, belirli bir işleyiş verimliliğine (kapasite) sahiptir ve bu, başarılı bir şekilde başa çıkmasına olanak tanır. uygulama akışı.
Uygulamalı matematiğin özel alanı kütle teorisihizmet (TMO)– kuyruk sistemlerindeki süreçlerin analizi ile ilgilenir. Kuyruk teorisinin çalışma konusu QS'dir.
Kuyruk teorisinin amacı, QS'nin rasyonel inşası, çalışmalarının rasyonel organizasyonu ve QS'nin yüksek verimliliğini sağlamak için uygulama akışının düzenlenmesi için öneriler geliştirmektir. Bu amaca ulaşmak için, QS'nin işleyişinin etkinliğinin organizasyonuna bağımlılıklarını belirlemekten oluşan kuyruk teorisinin görevleri belirlenir.
Kuyruk teorisinin görevleri, bir optimizasyon niteliğindedir ve nihayetinde, hizmet bekleme, hizmet için zaman ve kaynak kaybı ve boşta hizmet biriminden minimum toplam maliyet sağlayacak sistemin böyle bir varyantını belirlemeyi amaçlar. . Bu özelliklerin bilgisi, yöneticiye kuyruk süreçlerinin etkinliğini yönetmek için bu özellikler üzerinde yönlendirilmiş bir etki geliştirmesi için bilgi sağlar.
Aşağıdaki üç ana (genellikle ortalama) gösterge grubu, genellikle QS'nin işleyişinin etkinliğinin özellikleri olarak seçilir:
QS kullanımının etkinliğinin göstergeleri:
QS'nin mutlak verimi, QS'nin birim zaman başına sunabileceği ortalama istek sayısıdır.
QS'nin göreli çıktısı, birim zaman başına QS tarafından sunulan ortalama uygulama sayısının, aynı süre içinde alınan ortalama başvuru sayısına oranıdır.
SMO'nun istihdam süresinin ortalama süresi.
QS kullanım oranı - QS'nin uygulamalara vb. hizmet vermekle meşgul olduğu sürenin ortalama payı.
Uygulama hizmet kalitesi göstergeleri:
Sıradaki bir uygulama için ortalama bekleme süresi.
Bir başvurunun CMO'da ortalama kalma süresi.
Talebin beklemeden reddedilme olasılığı.
Gelen bir talebin hizmet için hemen kabul edilme olasılığı.
Uygulamanın kuyrukta kaldığı sürenin dağıtım yasası.
QS'de bir uygulama tarafından harcanan zamanın dağıtım yasası.
Kuyruktaki ortalama uygulama sayısı.
QS'deki ortalama uygulama sayısı vb.
"QS - tüketici" çiftinin performans göstergeleri; burada "tüketici", uygulamaların tamamı veya bazıları anlamına gelir
İçin Başarısız CMO:
İçin Sınırsız bekleme ile CMO gelen her istek er ya da geç yerine getirileceği için hem mutlak hem de göreli verim anlamını yitirir. Böyle bir QS için önemli göstergeler şunlardır:
İçin CMO karışık tip her iki gösterge grubu da kullanılır: hem göreli hem de mutlak bant genişliği ve beklenti özellikleri.
Sıralama işleminin amacına bağlı olarak, yukarıdaki göstergelerden herhangi biri (veya bir dizi gösterge) performans kriteri olarak seçilebilir.
analitik model QS, çalışması sırasında sistem durumlarının olasılıklarını belirlemeyi ve gelen akış ve hizmet kanallarının bilinen özelliklerine dayalı performans göstergelerini hesaplamayı mümkün kılan bir dizi denklem veya formüldür.
Keyfi bir QS için genel bir analitik model yoktur.. Analitik modeller, sınırlı sayıda özel QS durumu için geliştirilmiştir. Gerçek sistemleri az çok doğru bir şekilde temsil eden analitik modeller, kural olarak, karmaşık ve görülmesi zordur.
QS'de meydana gelen süreçler Markovian ise (istek akışları basittir, hizmet süreleri üstel olarak dağıtılır), QS'nin analitik modellemesi büyük ölçüde kolaylaştırılır. Bu durumda, QS'deki tüm işlemler sıradan diferansiyel denklemlerle ve sınırlayıcı durumda, durağan durumlar için doğrusal cebirsel denklemlerle açıklanabilir ve bunları çözdükten sonra seçilen performans göstergelerini belirleyebilir.
Bazı QS örneklerini ele alalım.
2.5.1. Hatalı çok kanallı QS
Örnek 2.5. Üç trafik müfettişi kamyon şoförlerinin irsaliyelerini kontrol ediyor. En az bir müfettiş boşsa, geçen kamyon durdurulur. Tüm müfettişler meşgulse, kamyon durmadan geçer. Kamyonların akışı en basit olanıdır, kontrol süresi üstel bir dağılımla rastgeledir.
Böyle bir durum, arızalı (sırasız) üç kanallı bir QS ile simüle edilebilir. Sistem açık, homojen uygulamalarla, tek fazlı, kesinlikle güvenilir kanallarla.
Durumların açıklaması:
Tüm müfettişler ücretsizdir;
Bir müfettiş meşgul;
İki müfettiş meşgul;
Üç müfettiş meşgul.
Sistem durumlarının grafiği Şek. 2.11.
Pirinç. 2.11.
Grafikte: - kamyon akışının yoğunluğu; - bir trafik müfettişi tarafından yapılan belge kontrollerinin yoğunluğu.
Arabaların test edilmeyecek kısımlarını belirlemek için simülasyon yapılır.
Çözüm
Olasılığın istenen kısmı, üç müfettişin de istihdam edilme olasılığıdır. Durum grafiği tipik bir "ölüm ve üreme" şemasını temsil ettiğinden, bağımlılıkları (2.2) kullanarak bulacağız.
Bu trafik müfettişleri görevinin verimi karakterize edilebilir göreceli verim:
Örnek 2.6. Keşif grubundan rapor almak ve işlemek için dernek keşif dairesine üç kişilik bir subay grubu görevlendirildi. Beklenen raporlama oranı saatte 15 rapordur. Bir raporun bir memur tarafından ortalama işlem süresi . Her subay, herhangi bir keşif grubundan rapor alabilir. Serbest bırakılan memur, alınan raporların sonuncusunu işler. Gelen raporların en az %95 olasılıkla işlenmesi gerekmektedir.
Atanan üç memurdan oluşan grubun, verilen görevi tamamlamak için yeterli olup olmadığını belirleyin.
Çözüm
Bir grup memur, üç kanaldan oluşan başarısızlıklarla CMO olarak çalışır.
Raporların yoğun akışı 
birkaç keşif grubunun toplamı olduğu için en basiti olarak kabul edilebilir. Bakım yoğunluğu 
. Dağıtım yasası bilinmemektedir, ancak arızalı sistemler için keyfi olabileceği gösterildiğinden bu gerekli değildir.
Durumların açıklaması ve QS'nin durum grafiği Örnek 2.5'te verilenlere benzer olacaktır.
Durum grafiği bir "ölüm ve üreme" şeması olduğundan, bunun için sınırlayıcı durum olasılıkları için hazır ifadeler vardır:
ilişki denir uygulama akışının azaltılmış yoğunluğu. Fiziksel anlamı şu şekildedir: değer, bir talebin ortalama hizmet süresi için QS'ye gelen ortalama talep sayısıdır.
örnekte 
.
Ele alınan QS'de, üç kanalın tümü meşgul olduğunda, yani . O zamanlar:
Çünkü başarısızlık olasılığı raporların işlenmesinde% 34'ten fazla () ise, grubun personelini artırmak gerekir. Grubun bileşimini ikiye katlayalım, yani QS'nin artık altı kanalı olacak ve hesaplayalım:
Böylece sadece altı kişilik bir grup gelen raporları %95 olasılıkla işleyebilecektir.
2.5.2. Beklemeli çok kanallı QS
Örnek 2.7. Nehir zorlama bölümünde aynı tipte 15 adet geçiş tesisi bulunmaktadır. Geçide gelen araç akışı ortalama 1 birim/dk, bir birim ekipmanın geçiş süresi ortalama 10 dakikadır (geçiş tesisinin dönüşü dikkate alındığında).
Bir ekipman parçasının gelişinden hemen sonra geçiş olasılığı da dahil olmak üzere geçişin ana özelliklerini değerlendirin.
Çözüm
Mutlak Bant Genişliği, yani geçişe gelen her şey neredeyse anında geçilir.
Çalışan geçiş tesislerinin ortalama sayısı:
Çapraz kullanım ve kesinti oranları:
Örneği çözmek için bir program da geliştirildi. Geçide ekipmanın varması için zaman aralıkları, geçişin zamanı üstel bir yasaya göre dağıtılmak üzere alınır.
50 seferden sonra feribot kullanım oranları hemen hemen aynıdır: 
.
GİRİİŞ
BÖLÜM I. SIRA HİZMETİNİN SORUNLARININ FORMÜLASYONU
1.1 Kuyruk teorisinin genel konsepti
1.2 Kuyruk sistemlerinin modellenmesi
1.3 QS durum grafikleri
1.4 Stokastik süreçler
Bölüm II. KUYRUK SİSTEMLERİNİ TANIMLAYAN DENKLEMLER
2.1 Kolmogorov denklemleri
2.2 "Doğum - ölüm" süreçleri
2.3 Kuyruk problemlerinin ekonomik ve matematiksel formülasyonu
Bölüm III. KUYRUK SİSTEMLERİ MODELLERİ
3.1 Hizmet reddi ile tek kanallı QS
3.2 Hizmet reddi ile çok kanallı QS
3.3 Çok aşamalı bir turizm hizmeti sisteminin modeli
3.4 Sınırlı kuyruk uzunluğuna sahip tek kanallı QS
3.5 Sınırsız kuyruğa sahip tek kanallı QS
3.6 Sınırlı kuyruk uzunluğuna sahip çok kanallı QS
3.7 Sınırsız kuyruğa sahip çok kanallı QS
3.8 Süpermarket kuyruk sistemi analizi
ÇÖZÜM
giriiş
Şu anda, doğrudan kuyruk teorisine, matematiksel yönlerinin gelişimine ve ayrıca askeri, tıbbi, ulaşım, ticaret, havacılık vb.
Kuyruk teorisi, olasılık teorisine ve matematiksel istatistiklere dayanmaktadır. Kuyruk teorisinin ilk gelişimi, Danimarkalı bilim adamı A.K.'nin adıyla ilişkilendirilir. Erlang (1878-1929), telefon santrallerinin tasarımı ve işletilmesi alanındaki çalışmalarıyla.
Kuyruk teorisi, örneğin tüketici hizmetleri işletmelerinde homojen olayların birçok kez tekrarlandığı üretim, hizmet ve kontrol sistemlerindeki süreçlerin analizi ile ilgilenen uygulamalı matematik alanıdır; bilgi alma, işleme ve iletme sistemlerinde; otomatik üretim hatları vb. Bu teorinin gelişimine büyük katkı Rus matematikçiler A.Ya. Hinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel ve diğerleri.
Kuyruk teorisinin konusu, bu süreçleri kontrol etmenin en iyi yollarını bulmak için talep akışının doğası, hizmet kanallarının sayısı, tek bir kanalın performansı ve verimli hizmet arasında ilişkiler kurmaktır. Kuyruk teorisinin görevleri, bir optimizasyon niteliğindedir ve nihayetinde, hizmet bekleme, hizmet için zaman ve kaynak kaybı ve kesinti süresinden kaynaklanan minimum toplam maliyetleri sağlayacak böyle bir sistem varyantını belirlemenin ekonomik yönünü içerir. hizmet kanallarından
Ticari faaliyetlerde ise kuyruk teorisinin uygulanması istenilen dağılımı henüz bulamamıştır.
Bunun başlıca nedeni, hedef belirlemenin zorluğu, ticari faaliyetlerin içeriğinin derinlemesine anlaşılması ihtiyacının yanı sıra ticari faaliyetlerde yönetimsel kararların sonuçları için çeşitli seçeneklerin hesaplanmasına izin veren güvenilir ve doğru araçlardır.
Bölüm ben . Kuyruğa alma görevlerini ayarlama
1.1 Kuyruk teorisinin genel konsepti
Çeşitli alanlarda kuyruğa girmenin doğası çok incelikli ve karmaşıktır. Ticari faaliyet, örneğin üretim alanından tüketim alanına bir meta kitlesi gibi, hareket aşamalarında birçok işlemin gerçekleştirilmesiyle ilişkilidir. Bu tür işlemler, malların yüklenmesi, taşınması, boşaltılması, depolanması, işlenmesi, paketlenmesi, satışıdır. Bu tür temel işlemlere ek olarak, mal taşıma sürecine ödeme belgeleri, konteynerler, para, arabalar, müşteriler vb. ile çok sayıda ön hazırlık, eşlik, paralel ve müteakip işlemler eşlik eder.
Listelenen ticari faaliyet parçaları, malların, paranın, ziyaretçilerin rastgele zamanlarda toplu olarak alınması, ardından yürütme süresi de rastgele olan uygun işlemleri gerçekleştirerek tutarlı hizmetleri (ihtiyaçların, taleplerin, taleplerin karşılanması) ile karakterize edilir. Bütün bunlar işte düzensizlik yaratır, ticari operasyonlarda düşük yükler, duruş süreleri ve aşırı yükler oluşturur. Kuyruklar, örneğin kafelerde, kantinlerde, restoranlarda ziyaretçiler veya emtia depolarındaki araç sürücülerinin boşaltma, yükleme veya evrak işlerini beklemesi gibi pek çok soruna neden olur. Bu bağlamda, çalışmalarını değerlendirmek, belirlemek için bir süpermarketin, bir restoranın ticaret katı veya kendi ürünlerinin üretimi için atölyeler gibi tüm işlem setini gerçekleştirmek için mevcut seçenekleri analiz etme görevleri vardır. zayıf halkalar ve rezervler ve nihai olarak ticari faaliyetlerin etkinliğini artırmaya yönelik tavsiyeler geliştirmek.
Ayrıca, ticaret katında, şekerleme dükkanında, bir restoranın tüm hizmet seviyelerinde, kafeteryada, kantinde, planlama departmanında, muhasebe departmanında birçok işlemi gerçekleştirmek için yeni bir ekonomik, rasyonel seçeneğin oluşturulması, organizasyonu ve planlanması ile ilgili başka görevler ortaya çıkar. personel departmanı vb.
Kuyruk organizasyonunun görevleri, insan faaliyetinin hemen hemen tüm alanlarında ortaya çıkar, örneğin, satıcılar tarafından mağazalarda alıcılara hizmet vermek, halka açık yemek işletmelerinde ziyaretçilere hizmet vermek, tüketici hizmetleri işletmelerinde müşterilere hizmet vermek, bir telefon santralinde telefon görüşmeleri sağlamak, tıbbi bakım sağlamak. bir klinikteki hastalar vb. Yukarıdaki tüm örneklerde, çok sayıda tüketicinin ihtiyaçlarını karşılama ihtiyacı vardır.
Listelenen görevler, bu amaçlar için özel olarak oluşturulmuş kuyruk teorisi (QMT) yöntemleri ve modelleri kullanılarak başarıyla çözülebilir. Bu teori, “hizmet talebi (gerekliliği)” kavramı ile tanımlanan bir kişiye veya bir şeye hizmet edilmesi gerektiğini ve hizmet operasyonlarının hizmet kanalları (düğümler) adı verilen biri veya bir şey tarafından gerçekleştirildiğini açıklar. Ticari faaliyetlerde uygulamaların rolünü mallar, ziyaretçiler, para, denetçiler, belgeler, hizmet kanallarının rolünü satıcılar, yöneticiler, aşçılar, şekerciler, garsonlar, kasiyerler, satıcılar, yükleyiciler, ticari ekipman vb. oynar. Örneğin, bir varyantta, yemek hazırlama sürecindeki bir aşçının bir servis kanalı olduğunu ve diğerinde, örneğin malları almak için üretim müdürüne bir servis talebi olarak hareket ettiğini not etmek önemlidir.
Hizmetlerin alınmasının yoğun doğası nedeniyle, uygulamalar, hizmet işlemleri gerçekleştirilmeden önce ve hizmetin başlaması için olası bir beklemeden sonra gelen olarak adlandırılan akışları oluşturur; kuyrukta kesinti süresi, form hizmeti kanallarda akar ve ardından giden bir istek akışı oluşturulur. Genel olarak, gelen uygulama akışının, kuyruğun, hizmet kanallarının ve giden uygulama akışının öğeleri kümesi, en basit tek kanallı kuyruk sistemi olan QS'yi oluşturur.
Bir sistem birbirine bağlı ve bir dizidir. amaca yönelik olarak etkileşen parçalar (öğeler). Ticari faaliyetlerde bu tür basit QS örnekleri, malların alındığı ve işlendiği yerler, mağazalarda müşterilerle yerleşim merkezleri, kafeler, kantinler, ekonomist, muhasebeci, tüccar, dağıtımda aşçı vb.
Servis talebi sistemden çıktığında servis prosedürü tamamlanmış kabul edilir. Hizmet prosedürünü uygulamak için gereken zaman aralığının süresi, esas olarak hizmet talebi talebinin doğasına, hizmet sisteminin kendisinin durumuna ve hizmet kanalına bağlıdır.
Nitekim, alıcının süpermarkette kalış süresi, bir yandan alıcının kişisel niteliklerine, isteklerine, satın alacağı malların çeşitliliğine, diğer yandan da formuna bağlıdır. Alıcının süpermarkette geçirdiği süreyi ve hizmet yoğunluğunu önemli ölçüde etkileyebilecek hizmet organizasyonu ve görevlileri. Örneğin, bir yazarkasa üzerinde "kör" çalışma yönteminde uzmanlaşan kasiyer kontrolörleri, ödeme düğümlerinin verimini 1,3 kat artırmayı ve her kasada müşterilerle yapılan ödemelerde günde 1,5 saatten fazla zaman kazanmayı mümkün kıldı. . Süpermarkette tek bir ödeme noktasının tanıtılması, alıcıya somut faydalar sağlar. Dolayısıyla, geleneksel ödeme biçimiyle, bir müşteri için hizmet süresi ortalama 1,5 dakika, ardından tek bir ödeme düğümünün tanıtılmasıyla - 67 saniye. Bunların 44 saniyesi bölümde satın alma işlemine, 23 saniyesi ise doğrudan satın alma ödemelerine harcanmaktadır. Alıcı farklı bölümlerde birkaç alım yaparsa, iki alım 1,4 kat, üç - 1,9, beş - 2,9 kat satın alarak zaman kaybı azalır.
Taleplere hizmet vermekle, bir ihtiyacı karşılama sürecini kastediyoruz. Hizmet doğası gereği farklıdır. Ancak, tüm örneklerde, alınan isteklere bir cihaz tarafından hizmet verilmesi gerekir. Bazı durumlarda hizmet bir kişi tarafından (müşteri hizmetleri tek bir satıcı tarafından, bazı durumlarda bir grup insan tarafından (poliklinikte bir sağlık komisyonu tarafından hasta hizmeti) ve bazı durumlarda teknik cihazlarla (soda satışı) yapılır. , otomatik satış makinelerinden sandviçler) Uygulamalara hizmet veren bir takım araçlara hizmet kanalı denir.
Hizmet kanalları aynı istekleri karşılayabiliyorsa, hizmet kanallarına homojen denir. Homojen hizmet kanalları kümesine hizmet sistemi denir.
Kuyruk sistemi, hizmet süresi de bir rastgele değişken olan rastgele zamanlarda çok sayıda istek alır. Müşterilerin kuyruk sistemine art arda gelişine gelen müşteri akışı, kuyruk sisteminden ayrılan müşterilerin sırasına giden akış denir.
