Göstergeler aynı, ancak tabanlar farklıysa. "Çarpma ve kuvvetler ayrılığı" dersi

Her bir aritmetik işlemi bazen kaydetmek çok hantal hale gelir ve onu basitleştirmeye çalışırlar. Toplama işlemi ile aynıydı. Örneğin her biri 3 altın olan yüz İran halısının fiyatını hesaplamak için insanların aynı türden tekrar tekrar eklemeler yapması gerekiyordu. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Hacim nedeniyle notasyonun 3 * 100 = 300'e düşürüldüğü düşünüldü. Aslında “üç kere yüz” notasyonu almanız gerektiği anlamına geliyor. yüz üçlü ve bunları bir araya topla. Çarpma kök saldı, genel popülerlik kazandı. Ancak dünya durmuyor ve Orta Çağ'da aynı türden tekrarlanan çoğaltma yapmak gerekli hale geldi. Yapılan iş için bir ödül olarak şu miktarda buğday tanesi isteyen bir bilge hakkında eski bir Hint bilmecesini hatırlıyorum: satranç tahtasının ilk hücresi için bir tahıl istedi, ikincisi için - iki, üçüncü - dört, beşinci - sekiz vb. Güçlerin ilk çarpımı böyle ortaya çıktı, çünkü tanelerin sayısı hücre sayısının gücünün ikisine eşitti. Örneğin, son hücrede 2*2*2***2 = 2^63 tane olacaktır ki bu da aslında bilmecenin anlamı olan 18 karakter uzunluğunda bir sayıya eşittir.

Bir kuvvete yükseltme işlemi oldukça hızlı bir şekilde kök saldı ve ayrıca derecelerde toplama, çıkarma, bölme ve çarpma işlemlerini gerçekleştirmek de hızla gerekli hale geldi. İkincisi daha ayrıntılı olarak ele alınmaya değer. Güç ekleme formülleri basit ve hatırlaması kolaydır. Ayrıca kuvvet işleminin yerini çarpma işlemi alırsa nereden geldiklerini anlamak çok kolaydır. Ama önce temel terminolojiyi anlamalısın. a ^ b ifadesi ("a'nın b'nin gücünü okuyun"), a sayısının kendisiyle b kez çarpılması gerektiği anlamına gelir ve "a" derecenin tabanı ve "b" üs olarak adlandırılır. Güçlerin tabanları aynıysa, formüller oldukça basit bir şekilde türetilir. Spesifik örnek: 2^3 * 2^4 ifadesinin değerini bulun. Ne olması gerektiğini bilmek için, çözüme başlamadan önce bilgisayarda cevabı bulmalısınız. Bu ifadeyi herhangi bir çevrimiçi hesap makinesine, arama motoruna girip "kuvvetlerin farklı tabanlarla ve aynılarla çarpımı" yazdığınızda ya da matematiksel bir pakette çıktı 128 olacaktır. Şimdi şu ifadeyi yazalım: 2^3 = 2*2*2, ve 2^4 = 2 *2*2*2. 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) olduğu ortaya çıktı. Aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpımının, önceki iki kuvvetin toplamına eşit bir kuvvete yükseltilmiş tabana eşit olduğu ortaya çıktı.

Bunun bir tesadüf olduğunu düşünebilirsiniz, ancak hayır: başka herhangi bir örnek bu kuralı yalnızca doğrulayabilir. Böylece, genel olarak, formül şöyle görünür: a^n * a^m = a^(n+m) . Ayrıca herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir diye bir kural vardır. Burada negatif kuvvetler kuralını hatırlamalıyız: a^(-n) = 1 / a^n. Yani 2^3 = 8 ise 2^(-3) = 1/8. Bu kuralı kullanarak a^0 = 1 eşitliğini ispatlayabiliriz: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) azaltılabilir ve bir olarak kalır. Buradan, aynı tabanlara sahip kuvvetler bölümünün, bu tabana bölünen ve bölen bölümüne eşit bir dereceye eşit olduğu kuralı türetilir: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Örnek: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ifadesini sadeleştirin. Çarpma değişmeli bir işlemdir, bu nedenle önce çarpma üsleri toplanmalıdır: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Daha sonra, bölünmeyi negatif bir dereceye kadar ele almalısınız. Bölen üssünü bölünen üssünden çıkarmak gerekir: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Negatif bir derece ile bölme işleminin, benzer bir pozitif üs ile çarpma işlemiyle aynı olduğu ortaya çıktı. Yani son cevap 8'dir.

Kanonik olmayan güç çarpımının gerçekleştiği örnekler vardır. Güçleri farklı temellerle çoğaltmak genellikle çok daha zordur ve hatta bazen imkansızdır. Çeşitli olası yaklaşımlara birkaç örnek verilmelidir. Örnek: 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 ifadesini sadeleştirin. Açıktır ki, farklı tabanlara sahip üslerin çarpımı vardır. Ancak, tüm bazların bir üçlünün farklı güçleri olduğu belirtilmelidir. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. (a^n) ^m = a^(n*m) kuralını kullanarak, ifadeyi daha uygun bir biçimde yeniden yazmalısınız: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Cevap: 3^11. Farklı tabanların olduğu durumlarda eşit göstergeler için a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n kuralı geçerlidir. Örneğin, 3^3 * 7^3 = 21^3. Aksi takdirde farklı tabanlar ve göstergeler olduğunda tam çarpma yapmak mümkün değildir. Bazen kısmen basitleştirebilir veya bilgisayar teknolojisinin yardımına başvurabilirsiniz.

güç formülleri karmaşık ifadeleri azaltma ve basitleştirme sürecinde, denklemleri ve eşitsizlikleri çözmede kullanılır.

Sayı c dır-dir n bir sayının -inci kuvveti a ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparak, göstergeleri toplanır:

bir mbir n = bir m + n .

2. Aynı tabana sahip derecelerin bölünmesinde göstergeleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpım derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = bir n b n c n …

4. Bir kesrin derecesi, bölünen ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = bir n / b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek, üsler çarpılır:

(am) n = bir m n .

Yukarıdaki her formül, soldan sağa ve tersi yönlerde doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklü işlemler.

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. Oranın kökü, temettü oranına ve köklerin bölenine eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, kök sayısını bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini yükseltirsek n bir kez ve aynı zamanda yükseltmek n inci kuvvet bir kök sayıdır, o zaman kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsak n Aynı anda kök n derece, o zaman kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) üslü bir sayının derecesi, üs pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının derecesine bölünen bir sayı olarak tanımlanır:

formül bir m:a n = bir m - n sadece için kullanılamaz m> n, ama aynı zamanda m< n.

Örneğin. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

formüle bir m:a n = bir m - n adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığına ihtiyacınız var.

Sıfır üslü derece.Üssü sıfır olan sıfır olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayı yükseltmek için a bir dereceye kadar m/n, kökü çıkarmanız gerekir n inci derece m bu sayının inci kuvveti a.

Matematikte derece kavramı, cebir dersinde 7. sınıfta tanıtılır. Ve gelecekte, matematik öğrenimi boyunca, bu kavram çeşitli biçimlerde aktif olarak kullanılmaktadır. Dereceler, değerlerin ezberlenmesini ve doğru ve hızlı bir şekilde sayılabilmesini gerektiren oldukça zor bir konudur. Matematik dereceleriyle daha hızlı ve daha iyi çalışmak için derecenin özelliklerini buldular. Büyük bir örneği bir dereceye kadar tek bir sayıya dönüştürmek için büyük hesaplamaları azaltmaya yardımcı olurlar. Çok fazla özellik yoktur ve hepsinin hatırlanması ve pratikte uygulanması kolaydır. Bu nedenle makale, derecenin temel özelliklerini ve bunların nerede uygulanacağını tartışmaktadır.

derece özellikleri

Aynı tabana sahip kuvvetlerin özellikleri de dahil olmak üzere bir derecenin 12 özelliğini ele alacağız ve her özellik için bir örnek vereceğiz. Bu özelliklerin her biri, derecelerle ilgili sorunları daha hızlı çözmenize yardımcı olmanın yanı sıra sizi çok sayıda hesaplama hatasından kurtaracaktır.

1. mülk.

Çoğu insan bu özelliği çok sık unutur, hatalar yapar, sıfıra kadar olan bir sayıyı sıfır olarak temsil eder.

2. mülk.

3. mülk.

Unutulmamalıdır ki bu özellik sadece sayıları çarparken kullanılabilir, toplamla çalışmaz! Ve unutmamak gerekir ki, bu ve aşağıdaki özellikler sadece aynı temele sahip kuvvetler için geçerlidir.

4. mülk.

Paydadaki sayı negatif bir güce yükseltilirse, çıkarma işlemi sırasında, sonraki hesaplamalarda işareti doğru şekilde değiştirmek için paydanın derecesi parantez içinde alınır.

Özellik yalnızca bölme işleminde çalışır, çıkarma işleminde çalışmaz!

5. mülk.

6. mülk.

Bu özellik tersine de uygulanabilir. Bir sayıya bir dereceye kadar bölünen birim, o sayının negatif bir kuvvetidir.

7. mülk.

Bu özellik toplam ve farka uygulanamaz! Bir toplam veya farkı bir kuvvete yükseltirken, kuvvetin özellikleri değil, kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır.

8. mülk.

9. mülk.

Bu özellik, payı bire eşit olan herhangi bir kesirli derece için çalışır, formül aynı olacaktır, derecenin paydasına bağlı olarak yalnızca kökün derecesi değişecektir.

Ayrıca, bu özellik genellikle ters sırada kullanılır. Bir sayının herhangi bir kuvvetinin kökü, sayının bir üssü bölü kökün kuvveti olarak temsil edilebilir. Bu özellik, sayının kökünün çıkarılmadığı durumlarda çok kullanışlıdır.

10. mülk.

Bu özellik sadece karekök ve ikinci derece ile çalışmaz. Kökün derecesi ile bu kökün yükselme derecesi aynı ise, o zaman cevap radikal bir ifade olacaktır.

11. mülk.

Kendinizi büyük hesaplamalardan kurtarmak için çözerken bu özelliği zamanında görebilmeniz gerekir.

12. mülk.

Bu özelliklerin her biri, görevlerde birden fazla kez karşınıza çıkacaktır, saf haliyle verilebilir veya bazı dönüşümler ve diğer formüllerin kullanılmasını gerektirebilir. Bu nedenle, doğru çözüm için sadece özellikleri bilmek yeterli değildir, pratik yapmanız ve geri kalan matematiksel bilgileri birbirine bağlamanız gerekir.

Derecelerin uygulanması ve özellikleri

Cebir ve geometride aktif olarak kullanılırlar. Matematikte derecelerin ayrı, önemli bir yeri vardır. Onların yardımıyla üstel denklemler ve eşitsizlikler çözülür ve güçler genellikle matematiğin diğer bölümleriyle ilgili denklemleri ve örnekleri karmaşıklaştırır. Üsler, büyük ve uzun hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olur, üsleri azaltmak ve hesaplamak daha kolaydır. Ancak büyük güçlerle veya çok sayıdaki güçlerle çalışmak için, yalnızca derecenin özelliklerini bilmeniz değil, aynı zamanda temellerle yetkin bir şekilde çalışmanız, görevinizi kolaylaştırmak için bunları ayrıştırabilmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için, bir güce yükseltilmiş sayıların anlamını da bilmelisiniz. Bu, uzun hesaplamalara olan ihtiyacı ortadan kaldırarak çözme sürenizi azaltacaktır.

Derece kavramı logaritmalarda özel bir rol oynar. Çünkü logaritma özünde bir sayının kuvvetidir.

Kısaltılmış çarpma formülleri, güç kullanımının başka bir örneğidir. Derecelerin özelliklerini kullanamazlar, özel kurallara göre ayrıştırılırlar, ancak her kısaltılmış çarpma formülünde değişmez bir şekilde dereceler vardır.

Dereceler fizik ve bilgisayar bilimlerinde de aktif olarak kullanılmaktadır. SI sistemine yapılan tüm çeviriler dereceler kullanılarak yapılır ve gelecekte problem çözerken derecenin özellikleri uygulanır. Bilgisayar biliminde, sayma kolaylığı ve sayıların algılanmasını basitleştirme için ikinin kuvvetleri aktif olarak kullanılmaktadır. Fizikte olduğu gibi, ölçü birimlerinin dönüştürülmesi veya problemlerin hesaplanması için diğer hesaplamalar, derecenin özelliklerini kullanarak gerçekleşir.

Dereceler, bir derecenin özelliklerinin kullanımını nadiren bulabileceğiniz astronomide de çok yararlıdır, ancak derecelerin kendileri, çeşitli niceliklerin ve mesafelerin kaydını kısaltmak için aktif olarak kullanılır.

Dereceler günlük yaşamda alanları, hacimleri, mesafeleri hesaplarken de kullanılır.

Derecelerin yardımıyla bilimin herhangi bir alanında çok büyük ve çok küçük değerler yazılır.

üstel denklemler ve eşitsizlikler

Derece özellikleri tam olarak üstel denklemlerde ve eşitsizliklerde özel bir yer tutar. Bu görevler hem okul kursunda hem de sınavlarda çok yaygındır. Hepsi derecenin özelliklerini uygulayarak çözülür. Bilinmeyen her zaman derecenin kendisindedir, bu nedenle tüm özellikleri bilerek böyle bir denklemi veya eşitsizliği çözmek zor olmayacaktır.

Son video eğitiminde, belirli bir tabanın derecesinin, üste eşit bir miktarda alınan, taban ile kendisinin çarpımı olan bir ifade olduğunu öğrendik. Şimdi güçlerin en önemli özelliklerinden ve işlemlerinden bazılarını inceleyelim.

Örneğin, aynı tabana sahip iki farklı kuvveti çarpalım:

Gelin bu parçayı bir bütün olarak inceleyelim:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Bu ifadenin değerini hesaplayarak 32 sayısını elde ederiz. Öte yandan aynı örnekten de görülebileceği gibi 32, 5 kez alınan aynı tabanın (iki) çarpımı olarak gösterilebilir. Ve gerçekten, eğer sayarsanız, o zaman:

Böylece, güvenli bir şekilde şu sonuca varılabilir:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Bu kural, herhangi bir gösterge ve herhangi bir gerekçe için başarılı bir şekilde çalışır. Derecenin çarpılmasının bu özelliği, çarpımdaki dönüşümler sırasında ifadelerin anlamının korunması kuralından gelir. Herhangi bir a tabanı için, (a) x ve (a) y ifadelerinin çarpımı a (x + y)'ye eşittir. Başka bir deyişle, aynı tabanlı herhangi bir ifade üretilirken, nihai tek terimli, birinci ve ikinci ifadelerin derecelerinin toplanmasıyla oluşan toplam bir dereceye sahiptir.

Sunulan kural, birkaç ifadeyi çarparken de harika çalışıyor. Ana koşul, hepsinin temellerinin aynı olmasıdır. Örneğin:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Temelleri farklıysa, ifadenin iki unsuruyla dereceler eklemek ve genel olarak herhangi bir güç ortak eylemi gerçekleştirmek imkansızdır.
Videomuzda da görüldüğü gibi çarpma ve bölme işlemlerinin benzerliğinden dolayı çarpma işlemi sırasında kuvvet toplama kuralları mükemmel bir şekilde bölme işlemine aktarılmıştır. Bu örneği göz önünde bulundurun:

İfadeyi terim terim tam forma dönüştürelim ve bölen ve bölendeki aynı öğeleri azaltalım:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Bu örneğin nihai sonucu o kadar da ilginç değil, çünkü zaten çözümü sırasında ifadenin değerinin ikinin karesine eşit olduğu açıktır. Ve ikinci ifadenin derecesini birincinin derecesinden çıkararak elde edilen ikili.

Bölümün derecesini bulmak için bölünenin derecesinden bölenin derecesini çıkarmak gerekir. Kural, tüm değerleri ve tüm doğal güçleri için aynı temelde çalışır. Soyut formda, elimizde:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Sıfır derecenin tanımı, özdeş tabanları kuvvetlerle bölme kuralından gelir. Açıkçası, aşağıdaki ifade:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Öte yandan, daha görsel bir şekilde bölersek şunu elde ederiz:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Bir kesrin tüm görünür öğelerini azaltırken, her zaman 1/1 ifadesi, yani bir elde edilir. Bu nedenle, genel olarak sıfıra yükseltilen herhangi bir tabanın bire eşit olduğu kabul edilir:

a'nın değeri ne olursa olsun.

Bununla birlikte, 0'ın (herhangi bir çarpma için hala 0 verir) bir şekilde bire eşit olması saçma olur, bu nedenle (0) 0 (sıfırdan sıfıra) gibi bir ifade bir anlam ifade etmez ve formül (a) 0 = 1 bir koşul ekleyin: "a, 0'a eşit değilse".

Egzersizi yapalım. ifadesinin değerini bulalım:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Taban her yerde aynı olduğundan ve 34'e eşit olduğundan, son değer bir derece ile aynı tabana sahip olacaktır (yukarıdaki kurallara göre):

Diğer bir deyişle:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Cevap: İfade bire eşittir.