Ağ grafiklerinin hesaplanması ve analizi. Etkinliğin erken tarihi

Ağ şemasının ana parametreleri

Ağ diyagramının ana parametreleri şunlardır:

kritik yol

Olayların tamamlanması için zaman rezervleri

İşi gerçekleştirmek için zaman rezervleri

Yol - bir işin bitiş olayının diğerinin başlama olayıyla çakıştığı bir iş dizisi.

Tam yol - başlangıcı ilk olay olan ve sonu son olan bir yol.

Süre, yolun uzunluğu, işin sürelerinin toplamına eşittir. Bileşenleri.

kritik yol - tam yol. ilk olaydan (I) son olaya (C) kadar tüm ağ diyagramı yollarının en uzunu.

Kritik yolun uzunluğu, tüm iş kompleksinin toplam süresini belirler. Kritik yol, son olayın zamanlamasını bulmanızı sağlar.

Tam yollar kritik olanın dışına çıkabilir veya kısmen onunla çakışabilir. Bu daha kısa yolculuklara denir rahat. Onların özellikleri. Zaman rezervleri olduğunu. Kritik yol değil. Her i-inci olay için belirlenir:

tpi– Erken başlangıçlı- belirli bir çalışma süresi için bu olayın mümkün olan minimum meydana gelme süresi.

tp ben– geç varış tarihi- olayın meydana gelmesi için belirlenen son tarihe tabi olarak, aşağıdaki tüm işleri gerçekleştirmenin hala mümkün olduğu bu olayın meydana gelme zamanlaması maksimum.

Ri – bir olay için bolluk- planlanan kompleksin bir bütün olarak geliştirme süresini ihlal etmeden bu olayın başlamasının ertelenebileceği süre. geç arasındaki fark olarak tanımlanır ( tp ben) ve erken ( tp ben) bu olayın tamamlanma zamanlaması.

Kritik yoldaki bir olayın yedekleri sıfıra eşittir, çünkü üzerindedir. t p ben = t p ben

her iş için tij) tanımlanmış:

erken başlangıç ​​tarihi (t w.d. ij)- bu işin başlaması için mümkün olan minimum süre.

erken bitiş tarihi (t p.o. ij)- belirli bir çalışma süresi için bu işi tamamlamak için mümkün olan minimum son tarih

geç başlama tarihi (t b.s. ij)- bu işin başlaması için izin verilen maksimum tarihler

geç bitiş tarihi (t p.o. ij)- Nihai olayın meydana gelmesi için belirlenen son tarihe uygun olarak aşağıdaki işleri gerçekleştirmenin hala mümkün olduğu, bu çalışmanın tamamlanması için izin verilen maksimum son tarihler.

Açıktır ki, faaliyetin erken başlangıç ​​tarihi, ilk etkinliğinin erken başlama tarihi ile çakışmaktadır ve erken bitiş tarihi, faaliyetin süresi kadar bu tarihi aşmaktadır:

t r.n. ij = t p ben

t r.o. ij = t p ben + t ben

Aktivitenin geç bitiş tarihi, bitiş olayının geç tarihi ile aynıdır ve aktivitenin geç başlama tarihi, aktivitenin süresinden daha azdır:

t p.o. ij = tp j

t as ij = t p j – t benj

İşi tamamlamak için tam yedek zaman Rnij– bitiş olayının meydana gelmesi için ayarlanan tarihi değiştirmeden işin süresini artırabileceğiniz veya başlangıcı geciktirebileceğiniz maksimum süre.

İş yapmak için serbest zaman, tam rezervin bir parçası olan - sonraki çalışma için erken başlangıç ​​​​tarihlerini değiştirmeden, başlangıcı geciktirebileceğiniz veya çalışma süresini artırabileceğiniz maksimum süre.

Kritik yol üzerinde yer alan işlerin rezervleri yoktur, çünkü tüm rezervler kritik ve dikkate alınan yolların sürelerindeki farklılıktan dolayı oluşturulur.

İşi gerçekleştirmek için ayrılan zamanı karakterize eden göreli bir gösterge, gerilim katsayıları, aynı olaylar arasındaki yol segmentlerinin sürelerinin oranına eşittir, ayrıca bir segment bu işten geçen tüm yollardan maksimum süre yolunun, diğer segment ise kritik yolun bir parçasıdır.

3.Ağ modellerinin hesaplanması

Ağ diyagramları için ağ parametreleri, grafik ve tablo yöntemi kullanılarak ve karmaşık olanlar için matematiksel bir yöntem kullanılarak hesaplanır.

Grafik olarak, hesaplama yöntemi doğrudan grafik üzerinde gerçekleştirilir ve olay sayısının az olduğu durumlarda kullanılır. Bunu yapmak için her daire 4 sektöre ayrılmıştır.

Üst sektör, olayın meydana gelmesi için zaman rezervidir. Ri

sol sektör - etkinliğin erken tarihi tpi

sağ sektör - olayın geç tarihi t p i

alt - olay numarası

Parametreleri hesaplama yöntemi

1) Olayların erken zamanlaması . İlk (ilk veya sıfır) olayın erken tamamlanma tarihi sıfıra eşit alınır. Diğer tüm etkinliklerin tamamlanması için erken tarihler, artan etkinlik sayıları ile kesin bir sırayla belirlenir. Herhangi bir j olayının erken tamamlanma tarihini belirlemek için, bu olaya dahil olan tüm işler dikkate alınır, her iş için nihai olayın erken tamamlanma tarihi, işin ilk olayının erken tamamlanma tarihi ile işin erken tamamlanma tarihinin toplamı olarak belirlenir. bu işin süresi tij, elde edilen değerlerden, j. olayın erken tamamlanması için maksimum süre seçilir.

t pj = (t pi +t ij) max ve tabloya kaydedilir (olayın sol sektörü)

2) Etkinlikler için geç tarihler . Nihai etkinliğin tamamlanmasının geç tarihi, erken tarihine eşit alınır. Diğer tüm olayların tamamlanması için geç tarihlerin hesaplanması, azalan olay numaralarına göre ters sırada yapılır. Bir önceki i olayının tamamlanması için geç teslim tarihini belirlemek için, i-inci olaydan çıkan tüm çalışmalar dikkate alınır. Her iş için, ilk etkinliğin tamamlanması için geç teslim tarihi hesaplanır. ben, bu işin son olayının geç tamamlanma tarihi ile arasındaki fark olarak tp j ve bu işin süresi tij.Elde edilen değerden, i. olayın geç tamamlanması için minimum süreyi seçin: t p ben = (t p j - t ij)min ve doğru sektöre kaydedilir.

3) Kritik Yol Uzunluğu bitiş olayının erken tarihine eşittir.

4) Etkinlik zamanı rezervleri . Etkinlikler için zaman rezervi belirlenirken, bu etkinliğin sağ sektöre yazılan sayıdan sol sektöre yazılan sayı çıkarılarak üst sektöre konulmalıdır.

5) İş için toplam rezerv süresini belirlerken, son olayın sağ sektöründe kaydedilen sayıdan, ilk olayın sol sektöründe kaydedilen sayıyı ve işin süresini çıkarın.

6) İş için serbest rezervi belirlerken, bitiş olayının sol sektöründe kaydedilen sayıdan, ilk olayın sol sektöründe kaydedilen sayıyı ve işin süresini çıkarın.

İlk veri:

tablo yöntemi

Tablodaki iş kodları artan indekste yazılmıştır. i.

2. ve 3. sütunlar yardımcı verilerle doldurulur: önceki ve sonraki çalışmaların kodları. Bu veriler hesaplamalar için gerekli olacaktır. İşler ilk ise, yani önceki işler yoksa veya son ise, yani sonraki işler yoksa, ilgili sütunlara kısa çizgiler konur. Belirli bir olayda biten veya başlayan vektörlerin sayısına göre birkaç önceki ve sonraki iş olabilir./

Sütun 4, çalışma süresinin değerlerini içerir.

Sütun 5, hesaplanan verileri başlatır. Hesaplama, tablonun satırları boyunca iki geçişte gerçekleştirilir. Birincisi, en erken çalışma tarihlerinin hesaplandığı satırlardan yukarıdan aşağıya doğru, ikincisi ise geç çalışma tarihlerinin hesaplandığı aşağıdan yukarıya doğru satırlardan geçer.

Daha önce olmayan (2. sütunda - kısa çizgi) etkinliklerin erken başlaması, başka bir değer belirtilmezse 0 olarak alınabilir. İşin erken bitirilmesi formüle göre belirlenir. t r.o. ij = t pH ij + t ij ve 6. sütuna girilir.

Geri kalanın erken başlangıcı, örneğin, 2'lik bir başlangıç ​​olayına sahip olan iş 2.5 düşünülürse, o zaman erken başlama zamanı, işin erken bitiş zamanına 12 eşittir, çünkü bir bitişi vardır şeklinde tanımlanabilir. 2 olayı. 6. sütundaki değer 5. sütunda yeniden yazılır Önceki çalışmaların kodları 2. sütunda belirtilir. Erken tamamlama da formülle belirlenir t r.o. ij = t pH ij + t ij

2. sütunda, belirli bir çalışmanın birden fazla çalışmadan önce geldiği belirtiliyorsa (5.6 çalışmasından önce 2.5 ve 3.5 çalışmalarından sonra gelir), o zaman birkaç değer seçeneğinden (9) erken başlatmanın değerini seçmek gerekir. - işin bitiş saatine kadar 2 ,5 veya 13 - işin sonunda 3.5). Seçim kuralı formüle karşılık gelir t p.n. ij = (t pi + t ij) maks. , yani maksimum değer seçilir (örnekte - 16). Erken sonlar yukarıdaki gibi tanımlanır.

Sütun 6'daki erken sonun maksimum değeri, kritik yolun (16) süresinin değerine karşılık gelir.

Son satırda kaydedilen çalışmadan ilk satırda kaydedilen çalışmaya kadar tablonun satırları boyunca ikinci geçiş, geç performans göstergelerinin değerlerini belirlemenizi sağlar. Sonraki işleri olmayan işler için (sütun 3'te - bir tire, iş 46, 5,6 örneğinde), kritik yolun değeri geç tamamlanma sütununa (8) yazılır. Bu işler için geç başlama değeri aşağıdaki formülle hesaplanır: t as ij t tarafından ij - t ij

Geri kalanının geç tamamlanması, örneğin, bitiş olayı 5 olan iş 3.5 düşünülürse, geç bitirme süresi işin geç başlama zamanı 5.6'ya eşit olduğu için tanımlanabilir, çünkü bir bitişi vardır. 5 olayı. 7. sütundaki değer 8. sütunda yeniden yazılır. Sonraki işlerin kodları 3. sütunda belirtilir. Geç başlatma da formülle belirlenir t as ij t tarafından ij - t ij .

3. sütunda belirli bir işi birden fazla işin takip ettiği belirtiliyorsa (iş 0.1'i iş 1.2 ve 1.3 takip eder), o zaman birkaç seçenek arasından (3 - göre) geç bitirme değerini seçmek gerekir. işe başlama zamanı 1 ,3 veya 7 - başlama zamanı 1,2'ye göre), minimum değer seçilir (örnekte - 3). Geç başlatma, yukarıdaki formülle belirlenir. t as ij t tarafından ij - t ij .

Toplam bolluğun değeri (sütun 9) aşağıdaki formülle hesaplanır:

R nij = t by ij - t pH ij - t ij.

Serbest bolluk değeri (sütun 10) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

ij = t ро ij - t рр ij - t ij ile R

Her aktivitenin bitiş olayının, onu takip eden aktivitenin başlangıç ​​olayıyla çakıştığı herhangi bir ağ aktivitesi dizisine denir. vasıtasıyla.

Başlangıç ​​noktasının başlangıç ​​olayıyla aynı olduğu ve bitiş noktasının bitiş olayı olduğu bir ağ yolu denir tamamlamak.

Orijinal olaydan alınan herhangi bir olaya giden yol önceden bu olay. Olaydan önce gelen ve en uzun uzunluğa sahip yola denir. maksimum önceki. L 1 (i) ile gösterilir ve süresi t'dir.

Herhangi bir olayı son olaya bağlayan yola denir. sonraki yol. Bu en uzun yolun adı mümkün olduğunca sonraki ve L2(i) ile gösterilir ve süresi t'dir.

En uzun uzunluğa sahip tam yol denir kritik. Kritik yol dışındaki yollar çağrılır. rahat. Zaman rezervleri var.

Kritik yoldaki faaliyetler kalın çizgilerle veya çift çizgilerle vurgulanır. Kritik yolun süresi, grafiğin ana parametresi olarak kabul edilir.

Dinamik programlama yönteminin algoritmasını kullanarak bir ağ diyagramında kritik yolu belirlemek için bir algoritma düşünün.

Grafiğin köşelerini derecelere göre sıralayalım ve sondan başa doğru numaralandıralım. Bu, sonuncusu, son ikisi vb. üzerinde koşullu olarak en uygun kontrolleri bulurken sıra numaralarını geriye doğru hareketin aşamalarıyla eşleştirmeyi mümkün kılacaktır. aşamalar. Kritik yolun bulunması, Şekil 1'de gösterilen ağ diyagramı örneği kullanılarak analiz edilecektir. 10.7.

Bellman optimallik ilkesine göre, her aşamadaki optimal kontrol, kontrol hedefi ve aşamanın başındaki durum tarafından belirlenir. Sistemin durumu, saflarda yatan olaylardır. Final olayı X 16'nın tamamlanması için önceki olayların tamamlanması gerekmektedir. İşin son aşamasının başlangıcında sistemin olası durumları - X 14 ve X 15 olaylarının meydana gelmesi. X 14 ve X 15 noktalarındaki dairelerde, maksimum çalışma süresini son aşamaya koyuyoruz: X 14 5 , X 15 7 . Son iki aşamadaki maksimum çalışma süresini bulalım. Sistemin sondan bir önceki aşamanın başlangıcındaki durumu X 13 olayından kaynaklanmaktadır. X 13'ten X 16'ya giden yolun maksimum süresi .

Bu nedenle, 14 sayısı X 13 olayının yanındaki daireye yerleştirilmelidir vb. Sondan başa kadar olan aşamaları gerçekleştirerek, kritik yolun uzunluğunu t cr =96 buluruz. Kritik yolun kendisini bulmak için, ilk X 1 olayından son X 16 olayına kadar olan hesaplama sürecini inceleyelim. 80 sayısına 16 ekleyerek ilk aşamada (baştan) 96 sayısını elde ettik. Dolayısıyla bu aşamadaki kritik yol (X 1, X 3) olacaktır. 80 sayısı = 16 + 64. Bu nedenle, ikinci aşamadaki kritik yol işten geçer (X 3 , X 4) vb. Grafikte kalın bir çizgi ile işaretlenmiştir:

X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .

Olayların tamamlanması için erken ve geç tarihler. Olay bolluğu

Süresi kritik yoldan farklı olan tüm yolların zaman rezervleri vardır. Kritik yolun uzunluğu ile herhangi bir kritik olmayan yol arasındaki fark, verilen kritik olmayan yolun toplam gevşekliği olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: .

erken dönem Bir olayın tamamlanması, bu olaydan önceki tüm işin tamamlandığı en erken nokta olarak adlandırılır, yani olaydan önceki maksimum yolun süresi tarafından belirlenir, yani:

veya

j olayının erken tarihini bulmak için, verilen j olayından önceki yollardan oluşan yönlendirilmiş alt grafiğin kritik yolunu bilmeniz gerekir. İlk olayın erken terimi sıfıra eşittir: t p (1)=0.

geç teslim tarihi Etkinlik zamandaki en son nokta olarak adlandırılır ve bundan sonra, bu olayı takip eden tüm işi tamamlamak için tam olarak gereken kadar zaman vardır. Etkinliğin tamamlanması için kabul edilebilir son teslim tarihlerinin en sonuncusu, müteakip tüm faaliyetlerin icra süresi ile birlikte, kritik yolun uzunluğunu aşmamalıdır. Bir olay için geç son tarih, kritik yolun süresi ile olayı takip eden yolların maksimum süresi arasındaki fark olarak hesaplanır:

Kritik yoldaki olaylar için, bu olayların tamamlanması için erken ve geç tarihler aynıdır.

Etkinliğin tamamlanması için geç ve erken tarihler arasındaki fark, etkinliğin rezerv süresidir: . Aralığa olay serbestliği aralığı denir. Olayın bolluğu, bir olayın kritik yolu artırmadan geri itilebileceği izin verilen maksimum süreyi gösterir.

Miktardan beri bu olaydan geçen maksimum uzunluktaki yolun süresini belirler, o zaman , yani. herhangi bir olayın bolluğu, bu olaydan geçen maksimum yolun tam bolluğuna eşittir.

Zaman parametrelerini manuel olarak hesaplarken, dört sektör yöntemini kullanmak uygundur. Bu yöntemle ağ diyagramının olayı gösteren çemberi dört sektöre bölünmüştür. Olay numarası üst sektöre konur; solda - olayın mümkün olan en erken zamanı (); sağda - olayın kabul edilebilir zamanının en sonuncusu; alt sektörde - bu etkinliğin rezerv süresi: .

Olaylar için en erken teslim tarihini hesaplamak için: , formülü uygula , bu olayda yer alan eserlere göre, olayları başlangıçtan sona doğru artan sayı sırasına göre ele alarak.

Olayların tamamlanması için geç tarih formül ile hesaplanır. , bitiş olayından başlayarak, bunun için ( - bitiş olayının sayısı), ondan çıkan işlere göre.

Kritik olayların gevşekliği sıfırdır. Kritik faaliyetleri ve kritik yolu tanımlarlar.

Örnek 10.2. Şek. 10.8.

Çözüm. Etkinliklerin tamamlanması için erken tarihleri ​​hesaplayın:

Bu nedenle, nihai etkinlik yalnızca projenin başlangıcından itibaren 14. günde gerçekleşebilir. Bu, tüm proje faaliyetlerinin tamamlanabileceği maksimum süredir. En uzun yol tarafından belirlenir. İşin erken tamamlanma tarihi 6 =14 kritik süre kp ile çakışıyor - kritik yol üzerinde yatan işin toplam süresi. Artık, son olaydan orijinal olaya dönen kritik yola ait etkinlikleri vurgulayabilirsiniz. 6 , olayına dahil edilen iki işten kritik yolun uzunluğu (5 + 56)=14 olduğu için (5, 6) işlerini belirledi. Bu nedenle iş (5, 6) kritiktir vb. (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) çalışmaları kritik yolu belirledi: cr = (1-3-4-5-6).

Şimdi olayların tamamlanması için geciken tarihleri ​​hesaplıyoruz. İzin vermek . Dinamik programlama yöntemini kullanalım. Tüm hesaplamalar, son olaydan ilk olaya kadar yapılacaktır. Etkinliklerin tamamlanması için geç tarihler:

Olay 5'ten sonra projeyi tamamlamak için iş (5, 6) 3 gün boyunca tamamlanmalıdır. Olay 4'ten iki iş çıkar, yani:

Olay 2 için bolluk: . Kalan olayların yedekleri, bu olaylar kritik olduğundan sıfıra eşittir.

Erken ve geç başlangıç ​​ve bitiş tarihleri. Çalışma zamanı rezervlerinin belirlenmesi. Çalışma süresinin tam rezervi.

Bu işten hemen önceki olay çağrılacak öncelik ve , ve hemen ardından gelen olayı, - son ve belirlemek. O zaman herhangi bir iş ile gösterilir. Olayların tamamlanma zamanlamasını bilerek, işin zaman parametrelerini belirleyebilirsiniz.

Erken başlama zamanı olayın erken tarihine eşittir: .

İşin erken bitmesi ilk olayın tamamlanması için erken tarih ile bu işin süresinin toplamına eşittir: veya .

İşin geç bitmesi son olayının geç tamamlanma tarihi ile çakışıyor: .

Geç başlama zamanı nihai olayının geç tamamlanma tarihi ile bu çalışmanın değeri arasındaki farka eşittir:

İşi bitirme süreleri ve ile belirlenen sınırlar içinde olduğundan, farklı zaman rezervlerine sahip olabilirler.

Tam çalışma süresi rezervi - herhangi bir işi kritik yolu aşmadan tamamlamak için gereken maksimum süredir. Geç bitiş olayı ile işin kendisinin tamamlanacağı erken zaman arasındaki fark olarak hesaplanır: . O zamandan beri .

Böylece, tam çalışma zamanı rezervi kritik yolun süresini değiştirmeden süresinin artırılabileceği maksimum süredir. Kritik olmayan tüm işlerin sıfır olmayan toplam bolluğu vardır.

Serbest çalışma süresi rezervi- bu, ilk ve son olaylarının en erken tarihlerde gerçekleşmesi koşuluyla, bu işi gerçekleştirirken mevcut olabilecek zaman marjıdır: .

Ağ grafiğinin tablo şeklinde hesaplanması, daha önce bölüm 4'te (1-10) belirtilen formüllere göre yapılır. Ağ modellerinin parametrelerini analitik olarak belirlerken, hesaplama tablo şeklinde yapılır. Bu kurs ödevinde (seçenek 15) gösterilen ağ diyagramının parametrelerini hesaplama örneğini kullanarak ağ modellerinin bu şekilde hesaplanmasının özelliklerini (uygulama 1) göz önünde bulundurun.

İlk aşamada, ilk ağ modelini tanımlamak gerekir. Bu durumda tablonun ilk sütununa ilk olaydan çıkan işten başlayarak tüm işlerin ve bağımlılıkların şifreleri girilir. İş kodları sırayla tabloya dahil edilmelidir, işlerin keyfi olarak tabloya dahil edilmesine ve bağımlılıklara izin verilmez. Tablonun ikinci sütunu, tüm işlerin ve bağımlılıkların süresini içerir.

Ağ çizelgesinin hesaplanması, işin erken parametrelerinin değerlerinin belirlenmesi ile başlar. Çalışma 1-2'nin erken başlangıcı sıfıra eşittir (formül 1) ve formül 2'ye göre erken bitişi.

Faaliyet 2-6 ve 2-7'nin erken başlangıcı (formül 3'e göre), faaliyet 1-2'nin erken bitişine eşittir.

19-21 işinin erken tamamlanmasının maksimum değeri, 36'ya eşittir, kritik yolun süresini ve dolayısıyla orijinal ağ modelindeki tüm faaliyetlerin yürütülmesinin toplam süresini belirler. Bu işin erken tamamlanması sonucu ortaya çıkan değer 19-21 = 36, son işin geç tamamlanması sütununa 20-21 aktarılır.

İşe geç başlama 20-21 formül 5'e göre belirlenir (=34)

İşin geç başlaması 20-21, ondan önce gelen işin geç bitmesi 15-20'dir (=).

Ayrıca, geç parametrelerin hesaplanması, işin birkaç müteakip işi olduğu durumlar dışında benzer şekilde gerçekleştirilir (örneğin, 6-9 işinin iki ardışık işi vardır - 9-10 ve 9-14). Bu durumda, formül 4'e göre, 6-9 işinin geç tamamlanması, sonraki iş 9-10 ve 9-14'ün geç başlamasının minimum değerine eşittir.

Kritik yolun konumunu bulmak için, her iş için toplam ve özel zaman rezervlerinin değerlerini ve ağ şemasının bağımlılıklarını belirlemek ve değerlerini hesaplamanın 7. ve 8. sütunlarına girmek gerekir. sırasıyla tablo.

8-9 formüllerine göre toplam iş süresi rezervi, ilgili işin geç ve erken tamamlanması arasındaki fark veya geç ve erken başlayan işler arasındaki fark olarak belirlenir. Toplam bolluk değerinin her iki şekilde belirlenmesinde fayda vardır, elde edilen değerlerin çakışması ek bir kontrol olarak değerlendirilebilir. Örneğin, iş 6-7 için:

Kısmi bol çalışma süresi, formül 10'a göre, sonraki faaliyetin erken başlama değeri ile bu faaliyetin erken bitirme değeri arasındaki fark olarak tanımlanır. Örneğin, iş 6-7 için:

Kritik yol, sıfır bolluk ile karakterize edilir. Sektör tarafından elde edilen ağ modeli parametrelerinin ve tablo yöntemlerinin karşılaştırılması tam kimliklerini ortaya çıkarmalıdır, tutarsızlıkların varlığı hesaplamaların hatalı olduğunu gösterir.

Ağ Diyagramlarını Hesaplamak için Grafiksel Yöntem

Ağ grafiğinin grafiksel olarak hesaplanması, tablo yöntemine (formüller 1-10) benzer şekilde gerçekleştirilir, ancak ağ grafiği parametrelerinin hesaplanması için grafik veya sektör yöntemi, bunların doğrudan modele kaydedilmesini içerir (Ek 2). Her olay (daire) dört sektöre ayrılmıştır. Sektörlerin tanımı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Kritik yol faaliyetleri için toplam ve kısmi gevşeklik değerleri sıfıra eşittir, ağ şemasında çift çizgi ile vurgulanır.

Yapılan hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmek için şunlardan emin olmalısınız:

• * sürekli bir kritik yol ortaya çıkardı;
• * hesaplanan zaman rezervleri negatif olmayan bir değere sahiptir;
• * tüm işler için özel bolluk değeri, bu işler için toplam bolluk değerinden küçük veya ona eşittir;
• * İlk olaydan çıkan işlerin (işlerin) geç başlamasının en az bir değeri sıfıra eşittir.

İki biliniyor ağ grafiği parametrelerini hesaplama yöntemi". doğrudan ağ grafiği üzerinde hesaplama; analitik (tablo).

Hesaplama ağ modelinin ana göstergeleri aşağıdaki şekilde yapılabilir.

• 1. Erken tarihlerin hesaplanması:
  • ? işe erken başlama Başlatıcı olaydan bu işin yürütülmesinin başlangıcına kadar olan en uzun yolun süresine göre belirlenir,
  • ? erken bitirme tarihleri- bu, iş için mümkün olan en erken tamamlanma tarihidir. İşin erken bitiş zamanı, işin erken başlama zamanı ile işin süresinin toplamına eşittir.
• 2.Kritik yolun hesaplanması. Süresi, kritik yoldaki faaliyetlerin toplam süresi olarak tanımlanır, yani. tüm işlerin en büyük paralelliği ile tüm iş kompleksinin tamamlanma zamanı. Bu süre, ağ grafiği tamamlamalarının erken tamamlanma sürelerinin en büyüğüne eşittir. Kritik yol, zaman rezervi olmayan olaylardan (kritik faaliyetler yoluyla) geçer.
• 3.Geç başlangıç ​​ve bitiş tarihlerinin hesaplanması kritik yolun süresinin değişmemesi için işin tamamlanması için son tarihlerin sayısal ekseni boyunca sağa kayma limitinin olasılıklarından belirlenir. Bu nedenle, son olaydan birinciye kadar hesaplamalar yapmak ve önce işin geç tamamlanma zamanını belirlemek ve ardından işe geç başlama zamanını hesaplamak mantıklıdır:
  • ?geç başlangıç ​​tarihi (ben) işin geç bitirilmesi ile işin süresi arasındaki fark olarak tanımlanır,
  • ? geç tamamlanma tarihi bitiş olayından kendisine giden minimum süre yolunun değeri ile belirlenir ve ağın bitiş olayından bu işin bitiş olayına kadar kritik yol ile maksimum çalışma süresi arasındaki fark olarak hesaplanır.
• 4. Zaman rezervlerinin hesaplanması".

bentam çalışma zamanı rezervi geç başlama ile erken başlama veya geç bitirme ile erken bitirme arasındaki fark olarak tanımlanır. Kritik yoldaki toplam gevşek çalışma süresinin sıfıra eşit olduğuna dikkat edilmelidir,

• ? özel (ücretsiz) zaman rezervleri".
• 1)birinci türden özel gevşeklik geç başlama saatini değiştirme yeteneği ile belirlenir ( ben) Hemen önceki işin tamamlanması için geç teslim tarihlerini değiştirmeden daha erken tarihlere,
• 2) ikinci türden özel gevşeklik işin erken bitişini değiştirme yeteneği ile belirlenir (ij) hemen sonraki çalışmanın başlangıcı için erken tarihleri ​​değiştirmeden sonraki tarihlerde; sonraki aktivitenin erken başlangıcı ile bu aktivitenin erken bitişi arasındaki fark tarafından belirlenir.

Bir örnek kullanarak parametreleri hesaplama prosedürünü ele alalım. Ağ şeması Şek. 7.5.

Pirinç. 7.5.

Parametreleri hesaplamak için tablo yöntemini kullanacağız ve algıyı basitleştirmek için her şeyi tek bir tabloda özetleyeceğiz. 7.1.

Ağ planlamasında zaman rezervlerinin kullanımına ilişkin kurallar.

• 1. İşin (y) toplam ve kısmi rezervlerinin eşit olması için, söz konusu işin son olayı Y'nin kritik yol üzerinde bir olay olması gerekli ve yeterlidir.
• 2. Rezerv doluysa (Ben ve]1) bazı işlerin sayısı sıfıra eşittir, o zaman ikinci türün özel rezervi (g "f) da sıfıra eşittir. Bu rezervler arasında her zaman bir oran vardır. R(IJ) > r'ijy Toplam ve özel zaman rezervleri her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir.
• 3. Çalışma süresinin kısmi rezervinin (y) sıfır olması için, bu işin ilk olaydan y olayına kadar olan maksimum uzunluktaki yol üzerinde olması gerekli ve yeterlidir.
• 4. İşin süresi (y) p kadar artarsa, yani. p o zaman sonraki çalışmanın erken başlama tarihi p değeri kadar artacaktır - g" ("uu
• 5. İşin süresi (y), bu iş için ayrılan toplam zaman miktarı kadar artırılırsa, süresi eskisinin süresine eşit olan yeni bir kritik yol oluşur.
• 6. Toplam çalışma süresi rezervi (y), bu çalışmanın ikinci türünün kısmi zaman rezervinin toplamına ve hemen sonraki tüm çalışmaların toplam rezervinin minimumuna eşittir.

Ağ diyagramının parametrelerini hesaplamanın sonuçları

Tablo 7.1

	Süre	Erken	terimler, h	Geç tarihler, saat		Zaman rezervleri, saat
	çalışır, saat	başlangıçlar	sonlar	başlangıçlar	sonlar	Tam dolu	Özgür
	Kritik yol, h		(1-3 çalışır

7. Çalışma süresi (r /) p kadar artarsa, süresi eski kritik yolun süresini p - kadar aşan yeni bir kritik yol görünecektir.

Ağ grafiği oluşturulduktan ve ana göstergeleri hesaplandıktan sonra, onu optimize etmeye başlarlar.

• 1. Kritik yolu seçin ve uzunluğunu bulun;
• 2. Her etkinlik için zaman rezervlerini belirleyin;
• 3. Tüm işlerin zaman rezervlerini ve sondan bir önceki çalışmanın yoğunluk faktörünü belirleyin

Çözüm

Problemi çözmek için aşağıdaki gösterimi uyguluyoruz.

Ağ öğesi	Parametre adı	Parametre sembolü
olay ben	Etkinliğin erken tamamlanma tarihi
Etkinliğin geç tamamlanma tarihi
Olay bolluğu
İş (i, j)	Çalışma zamanı
Erken başlama zamanı
İşin erken bitmesi
Geç başlama zamanı
İşin geç bitmesi
Tam çalışma zamanı rezervi
	Seyahat süresi
Kritik Yol Uzunluğu
Seyahat süresi rezervi

Ağın olayları için zaman rezervlerini belirlemek için, olayların tamamlanması için en erken t p ve en geç t p tarihleri ​​hesaplanır. Herhangi bir olay, kendisinden önceki tüm olaylar tamamlanmadan ve önceki tüm işler tamamlanmadan gerçekleşemez. Bu nedenle, i'nci olayın erken (veya beklenen) zamanı tp(i), bu olaydan önceki maksimum yolun süresi tarafından belirlenir:

t p (i) = maks(t(L ni)) (1)

burada L ni, i. olaydan önceki herhangi bir yoldur, yani, ağın başlangıcından i. olayına giden yoldur.

j olayının birkaç önceki yolu varsa ve bu nedenle birkaç önceki i olayı varsa, j olayının tamamlanması için erken tarihi aşağıdaki formülü kullanarak bulmak uygundur:

t p (j) = maks (2)

i olayının erken tarihine göre tamamlanmasındaki gecikme, bu olayın tamamlanma zamanının toplamına kadar nihai olayın tamamlanma zamanını (ve dolayısıyla eserler kompleksinin tamamlanma zamanını) etkilemeyecektir ve onu takip eden maksimum yolların süresi (uzunluğu) kritik yolun uzunluğunu aşmaz. Bu nedenle, i-inci olayın tamamlanmasının geç (veya sınır) terimi t p (i) şuna eşittir:

t p (i) = t kp - maks(t(L ci)) (3)

burada Lci, i. olayı izleyen herhangi bir yoldur, yani i'nci olaydan son ağ olayına giden yol.

i olayının birkaç ardışık yolu varsa ve bu nedenle birkaç j olayı varsa, o zaman i olayının geç tamamlanma tarihi aşağıdaki formül kullanılarak kolayca bulunabilir:

t p (i) = min

i'nci olayın zaman rezervi R(i), tamamlanmasının geç ve erken tarihleri ​​arasındaki fark olarak tanımlanır:

R(i) = t p (i) - t p (i)

Bir olayın gevşekliği, iş paketinin süresinde bir artışa neden olmadan olayın ne kadar geciktirilebileceğini gösterir.

Kritik olaylarda gevşeklik yoktur, çünkü kritik yoldaki bir olayın tamamlanmasındaki herhangi bir gecikme, son olayın tamamlanmasında da aynı gecikmeye neden olacaktır. Böylece, ağın son olayının erken dönemini belirledikten sonra, kritik yolun uzunluğunu da belirliyoruz.

tp(i) olaylarının erken zamanlamasını belirlerken, ağ grafiği boyunca soldan sağa hareket eder ve (1), (2) formüllerini kullanırız.

Olayların zamanlamasının hesaplanması.

i=0 (başlangıç ​​olayı) için, açıkça tp(0)=0.

i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.

i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.

i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.

i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.

i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.

i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.

i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.

i=8: maks(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = maks(8 + 18;19 + 5; 28 + 4 ) = 32.

i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.

i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2; 32 + 0) = 32.

i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.

Kritik yolun uzunluğu, son olay 11'in erken tamamlanma tarihine eşittir: t kp =tp(11)=44

t p (i) olaylarının tamamlanması için geç tarihleri ​​​​belirlerken, ağda ters yönde, yani sağdan sola hareket ediyoruz ve (3), (4) formüllerini kullanıyoruz.

i=11 (son olay) için, olayın geç tarihi erken tarihine eşit olmalıdır (aksi takdirde kritik yolun uzunluğu değişir): t p (11)= t p (11)=44

i=10: t p (10) = t p (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.

i=9: t p (9) = t p (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.

8 numara ile başlayan tüm satırlar incelenir.

i=8: t p (8) = t p (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.

7 numara ile başlayan tüm satırlar incelenir.

i=7: min(t p (8) - t(7,8);t p (9) - t(7,9);t p (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) ) = 28.

i=6: min(t p (7) - t(6,7);t p (8) - t(6,8)) = min(28 - 9; 32 - 5) = 19.

5 numara ile başlayan tüm satırlar gözden geçirilir.

i=5: min(t p (6) - t(5,6);t p (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.

i=4: min(t p (5) - t(4,5);t p (6) - t(4,6);t p (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) ) = 14.

3 numara ile başlayan tüm satırlar incelenir.

i=3: t p (3) = t p (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.

i=2: min(t p (4) - t(2,4);t p (8) - t(2,8)) = min(14 - 6; 32 - 18) = 8.

i=1: min(t p (2) - t(1,2);t p (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.

(0,1): 0 - 0 = 0;

Tablo 1 - Etkinlik rezervinin hesaplanması

olay numarası	Olay zamanlaması: erken tp(i)	Olayın tarihleri: geç tp(i)	Zaman rezervi, R(i)

Tablo 2'yi doldurun.

İşlerin listesi ve süreleri ikinci ve üçüncü sütunlara aktarılacaktır. Bu durumda, çalışma sırayla 2. sütuna kaydedilmelidir: önce 0 numaradan başlayarak, sonra 1 numaradan vb.

İkinci sütuna, söz konusu çalışmanın başladığı olaydan hemen önceki çalışmaların (KPR) sayısını karakterize eden bir sayı koyarız.

Bu nedenle, 1. sütundaki (1,2) işi için 1 sayısını koyduk, çünkü 1 numara 1 işi bitirir: (0,1).

Sütun 4 tablo 1'den elde edilir (tp(i)). Sütun 7 tablo 1'den elde edilir (tp(i)).

5. sütundaki değerler, 3. ve 4. sütunların toplanmasıyla elde edilir.

6. sütunda işe geç başlama, bu işlerin geç tamamlanması ile süreleri arasındaki fark olarak tanımlanır (3. sütundaki veriler 7. sütundaki değerlerden çıkarılır);

8. sütunun içeriği (toplam boşluk R(ij)) 6. ve 4. sütunlar veya 7. ve 5. sütunlar arasındaki farka eşittir. R(ij) sıfıra eşitse iş kritiktir

Tablo 2 - Ağ modelinin zaman içindeki analizi

İş (i,j)	Önceki çalışmaların sayısı	süre tij	Erken tarihler: başlangıç ​​tijR.N.	Erken tarihler: bitiş tijР.О.	Geç tarihler: tijP.N.	Geç tarihler: tijP.O.	Zaman rezervleri: tam RijP	Bağımsız zaman rezervi Rij	1. türden özel rezerv, Rij1	Özel Rezerv Tip II, RijC

Tam çalışma süresi rezervine ek olarak, üç tür rezerv daha olduğu belirtilmelidir. Birinci tip R 1'in özel zaman bolluğu - toplam zaman bolluğunun, ilk olayın geç tarihini değiştirmeden çalışma süresinin artırılabileceği kısmı. R 1 aşağıdaki formülle bulunur:

R(i,j)= R p (i,j) - R(i)

İkinci tip kısmi bolluk veya serbest bolluk Rc of work (i, j), toplam bolluğun bir parçasıdır, bu sayede bitiş olayının erken tarihi değiştirilmeden çalışma süresi artırılabilir. Rc aşağıdaki formülle bulunur:

R(i,j)= R n (i,j) - R(j)

Ücretsiz çalışma zamanı bolluğu değeri, optimizasyon için gereken bolluğun yerini gösterir.

İşin bağımsız zaman rezervi Rn (i, j), önceki tüm işlerin geç bittiği ve sonraki tüm işlerin erken başladığı durum için elde edilen toplam rezervin bir parçasıdır. Rн aşağıdaki formülle bulunur:

R(i,j)= Rp(i,j) - R(i) - R(j)

kritik yol: (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)

Kritik Yol Süresi: 44

Sondan bir önceki çalışmanın iş yoğunluğu katsayısını bulalım. Kritik yolun uzunluğu 44 olduğundan, işin içinden geçen maksimum yol (1,10) 32'dir, o zaman

K(1.10)=(32-28)/(44-28)=0.296.

4. Küçük bir kasabadaki bir ISP'nin 5 özel hizmet kanalı vardır. Ortalama olarak, bir müşteriye hizmet vermek 25 dakika sürer. Sistem saatte ortalama 6 acza almaktadır. Ücretsiz kanal yoksa, bunu bir ret takip eder. Hizmetin özelliklerini belirleyin: arıza olasılığı, hizmet tarafından kullanılan ortalama iletişim hattı sayısı, mutlak ve göreceli verim, hizmet olasılığı. Sistemin bağıl iş hacminin en az 0,95 olacağı ayrılmış kanalların sayısını bulun. İstek ve hizmet akışlarının en basit olduğunu varsayalım.

Hizmet Akışı Yoğunluğu:

Yük yoğunluğu:

c \u003d l * t gözlemler \u003d 6 * 25/60 \u003d 2,5

Yük yoğunluğu c=2.5, hizmet kanalı isteklerinin giriş ve çıkış akışları arasındaki tutarlılık derecesini gösterir ve kuyruklama sisteminin kararlılığını belirler.

Hizmetin olma olasılığı:

kanal 1 meşgul:

p 1 = 1 / 1 ile! p 0 = 2,5 1/1! * 0,0857 = 0,214

2 kanal dolu:

p 2 \u003d c 2 / 2! p 0 = 2,5 2 /2! * 0,0857 = 0,268

3 kanal dolu:

p 3 \u003d c 3 / 3! p 0 = 2,5 3 /3! * 0,0857 = 0,223

4 kanal dolu:

p 4 = 4 / 4 ile! p 0 = 2,5 4 /4! * 0,0857 = 0,139

5 kanal dolu:

p 5 = 5 / 5 ile! p 0 = 2,5 5 /5! * 0,0857 = 0,0697

Başarısızlık olasılığı bir kesirdir reddedilen başvurular:

Bu da alınan başvuruların %7'sinin hizmete kabul edilmediği anlamına gelmektedir.

Gelen isteklere hizmet verme olasılığı- müşteriye hizmet verilme olasılığı:

Arızalı sistemlerde, arıza ve bakım olayları tam bir olaylar grubunu oluşturur, bu nedenle:

p açık + p gözlem = 1

Bağıl verim Q = p obs .

p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0,0697 \u003d 0,93

Sonuç olarak, alınan başvuruların %93'ü hizmete açılmış olacaktır. Hizmet tarafından kullanılan ortalama kanal sayısı

n s \u003d s * p obs \u003d 2,5 * 0,93 \u003d 2,326 kanal.

Ortalama Boşta Kanallar.

n pr \u003d n - n z \u003d 5 - 2.326 \u003d 2.7 kanal.

Hizmet kanalı doluluk oranı.

Bu nedenle sistem %50 bakım ile meşguldür.

Mutlak Bant Genişliği

A \u003d pobs * l \u003d 0,93 * 6 \u003d 5,581 uygulama / saat.

QS'nin ortalama boşta kalma süresi.

t pr \u003d p otk * t obs \u003d 0,0697 * 0,417 \u003d 0,029 saat.

Sunulan ortalama istek sayısı.

L obs \u003d s * Q \u003d 2,5 * 0,93 \u003d 2,326 birim.

Bir başvurunun CMO'da ortalama kalma süresi(Little'ın formülü).

Bir saat içinde reddedilen istek sayısı: l * p 1 = saatte 0,418 istek.

Nominal QS performansı: 5 / 0,417 = saatte 12,002 uygulama.

CMO'nun fiili performansı: 5,581 / 12,002 = nominal performansın %47'si.

Sistemin çalışabilirliğini sağlamak için gereken kanal sayısını P olasılığı ile belirleyelim. 0.95

Bunu yapmak için, koşuldan n'yi buluruz:

Sistemde 6 kanal varsa ve hepsinin meşgul olma olasılığını bulalım: