Haçı 5 hücreli rakamlara bölün. Kesme görevleri.docx - kesme görevleri

1. Bir kare 16 hücre içerir. Kareyi, kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca ilerleyecek şekilde iki eşit parçaya bölün. (Karenin bir kesme yöntemiyle elde edilen parçaları, başka bir yöntemle elde edilen parçalara eşit değilse, bir kareyi iki parçaya ayırma yolları farklı kabul edilecektir.) Problemin kaç çözümü vardır?
2. 3x4'lük bir dikdörtgen 12 hücre içerir. Bir dikdörtgeni iki eşit parçaya kesmenin beş yolunu bulun, böylece kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gider (bir kesme yöntemiyle elde edilen parçalar başka bir yöntemle elde edilen parçalara eşit değilse kesme yöntemleri farklı kabul edilir).
3. 3X5 dikdörtgeni 15 hücre içerir ve merkezi hücre kaldırılmıştır. Kalan şekli iki eşit parçaya kesmenin beş yolunu bulun, böylece kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gider.
4. 6x6 kare 36 özdeş kareye bölünmüştür. Bir kareyi iki eşit parçaya kesmenin beş yolunu bulun, böylece kesme çizgisi karelerin kenarlarından geçer. Not: Sorunun 200'den fazla çözümü vardır.
5. 4x4 kareyi dört eşit parçaya bölün, böylece kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gider. Kaç farklı kesme yolu bulabilirsin?
6. Şekli (Şek. 5), kesik çizgi karelerin kenarları boyunca ilerleyecek şekilde üç eşit parçaya bölün.

7. Şekli (Şek. 6), kesme çizgisi karelerin kenarları boyunca ilerleyecek şekilde dört eşit parçaya bölün.

8. Şekli (Şek. 7), kesik çizgiler karelerin kenarları boyunca gelecek şekilde dört eşit parçaya bölün. Mümkün olduğu kadar çok çözüm bulun.

9. 5x5'lik kareyi ortadaki kare kesilmiş olarak dört eşit parçaya bölün.

10. Şekil 8'de gösterilen şekilleri ızgara çizgileri boyunca iki eşit parçaya kesin ve her parçanın bir dairesi olmalıdır.

11. Şekil 9'da gösterilen şekiller, her parçada bir daire olacak şekilde ızgara çizgileri boyunca dört eşit parçaya kesilmelidir. Nasıl yapılır?

12. Şekil 10'da gösterilen şekli ızgara çizgileri boyunca dört eşit parçaya kesin ve bunları bir kareye katlayın, böylece daireler ve yıldızlar karenin tüm simetri eksenleri etrafında simetrik olur.

13. Bu kareyi (Şekil 11) hücrelerin kenarları boyunca, tüm parçalar aynı boyut ve şekilde olacak ve her biri bir daire ve bir yıldız işareti içerecek şekilde kesin.

14. Şekil 12'de gösterilen 6×6 kareli kağıt kareyi, her biri üç renkli kare olacak şekilde dört eşit parçaya kesin.

10. Kareli bir kareli kağıt, hücrelerin kenarları boyunca uzanan bölümlerle daha küçük karelere bölünür. Bu doğru parçalarının uzunluklarının toplamının 4'e bölünebileceğini kanıtlayın. (Hücrenin kenar uzunluğu 1'dir).

Çözüm: Q kare bir kağıt olsun, L(Q) kağıdın içinde bulunan hücrelerin kenar uzunluklarının toplamı olsun. O zaman L(Q) 4'e bölünebilir, çünkü dikkate alınan tüm kenarlar, karenin merkezine göre 90 0 ve 180 0 dönüşlerle birbirinden elde edilen dört kenara bölünür.

Q karesi Q 1 , …, Q n karelerine bölünürse, bölme parçalarının uzunluklarının toplamı şuna eşittir:

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) sayıları 4'e bölünebildiğinden, bu sayının 4'e bölünebilir olduğu açıktır.

4. değişmezler

11. Bir satranç tahtası verildi. Aynı anda herhangi bir yatay veya dikey tüm hücrelerin farklı bir renge boyanmasına izin verilir. Bu, tam olarak bir siyah hücreye sahip bir pano ile sonuçlanabilir mi?

Çözüm: k siyah ve 8-k beyaz hücre içeren yatay veya dikey bir çizgiyi yeniden boyamak, 8-k siyah ve k beyaz hücreyle sonuçlanacaktır. Bu nedenle, siyah hücrelerin sayısı (8-k)-k=8-2k olarak değişecektir, yani çift ​​sayı için Siyah hücre sayısının paritesi korunduğu için, orijinal 32 siyah hücreden bir siyah hücre elde edemeyiz.

12. Bir satranç tahtası verildi. 2x2'lik bir karenin içindeki tüm hücrelerin aynı anda farklı bir renge boyanmasına izin verilir.Tam olarak bir siyah hücre tahtada kalabilir mi?

Çözüm: k siyah ve 4-k beyaz hücre içeren 2 x 2'lik bir kareyi yeniden renklendirmek, 4-k siyah ve k beyaz hücreyle sonuçlanacaktır. Bu nedenle, siyah hücrelerin sayısı (4-k)-k=4-2k olarak değişecektir, yani çift ​​sayı için Siyah hücre sayısının paritesi korunduğu için, orijinal 32 siyah hücreden bir siyah hücre elde edemeyiz.

13. Dışbükey bir çokgenin sonlu sayıda dışbükey olmayan dörtgene bölünemeyeceğini kanıtlayın.

Çözüm: Bir dışbükey M çokgeninin dışbükey olmayan M 1 ,…, M n dörtgenlerine ayrıldığını varsayalım. Her N çokgenine, 180'den küçük iç açılarının toplamı ile 360'a tümleyen açılarının toplamı arasındaki farka eşit, 180'den büyük bir f(N) sayısı atarız. A=f(M) sayılarını karşılaştırın ve B=f(M 1)+…+ f(Mn). Bunun için M 1 ..., M n dörtgenlerinin köşeleri olan tüm noktaları göz önünde bulundurun. Dört türe ayrılabilirler.

1. Çokgen M'nin köşeleri. Bu noktalar A ve B'ye eşit katkıda bulunur.

2. M veya M çokgeninin kenarlarındaki noktalar 1. Bu tür noktaların B'ye katkısı

A'dan 180 daha fazla.

3. Dörtgenin köşelerinin birleştiği çokgenin iç noktaları,

180'den az. Bu tür noktaların her birinin B'ye katkısı, A'ya göre 360 ​​daha fazladır.

4. M çokgeninin dörtgenlerin köşelerinin birleştiği ve birinin 180'den büyük olduğu iç noktaları. Bu noktalar A ve B'ye sıfır katkı sağlar.

Sonuç olarak, A'yı elde ederiz.<В. С другой стороны, А>0 ve B=0. A > 0 eşitsizliği açıktır ve B=0 eşitliğini kanıtlamak için N'nin dışbükey olmayan bir dörtgen olması durumunda f(N)=0 olduğunu kontrol etmek yeterlidir. N açıları a>b>c>d olsun. Dışbükey olmayan herhangi bir dörtgenin tam olarak bir açısı 180'den büyüktür, yani f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Bir çelişki elde edilir, bu nedenle bir dışbükey çokgen, sonlu sayıda dışbükey olmayan dörtgene bölünemez.

14. Satranç tahtasının her hücresinin ortasında bir çip vardır. Çipler, aralarındaki ikili mesafeler azalmayacak şekilde yeniden düzenlendi. Gerçekte ikili mesafelerin değişmediğini kanıtlayın.

Çözüm: Eğer çipler arasındaki mesafelerden en az biri artarsa, çipler arasındaki tüm ikili mesafelerin toplamı da artar, ancak çipler arasındaki tüm ikili mesafelerin toplamı herhangi bir permütasyon ile değişmez.

15. Kare alan, 9'u yabani otlarla kaplı 100 özdeş kare bölüme ayrılmıştır. Yıldaki yabani otların, yalnızca en az iki bitişik (yani ortak bir tarafa sahip) arsanın halihazırda yabani otlarla büyümüş olduğu alanlara yayıldığı bilinmektedir. Tarlanın asla tamamen yabani otlarla kaplanmayacağını kanıtlayın.

Çözüm: Otlu alanın tamamının (veya birkaç alanın) sınır uzunluğunun artmayacağını kontrol etmek kolaydır. İlk anda 4*9=36'yı geçmediği için son anda 40'a eşit olamaz.

Sonuç olarak, tarla hiçbir zaman tamamen yabani otlarla kaplanmayacaktır.

16. Bir dışbükey 2m-gon А 1 …А 2 m verilmiştir. Köşegenlerden herhangi biri üzerinde olmayan, içinden bir P noktası alınır. Р noktasının, köşeleri А 1 ,…, А 2 m noktalarında olan çift sayıda üçgene ait olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: Köşegenler çokgeni birkaç parçaya ayırır. Arayacağız komşu ortak bir yanı olanlar. Çokgenin herhangi bir iç noktasından diğer herhangi bir noktaya gidilebileceği, her seferinde sadece komşu kısımdan komşuya geçilebileceği açıktır. Düzlemin çokgenin dışında kalan kısmı da bu parçalardan biri olarak kabul edilebilir. Bu parçanın noktaları için incelenen üçgenlerin sayısı sıfıra eşittir, bu nedenle komşu bir parçadan komşu bir parçaya geçerken üçgen sayısı paritesinin korunduğunu kanıtlamak yeterlidir.

İki komşu parçanın ortak tarafının köşegen (veya yan) PQ üzerinde olmasına izin verin. Daha sonra, PQ kenarına sahip üçgenler hariç, dikkate alınan tüm üçgenlere, bu parçaların her ikisi de aittir veya ait değildir. Bu nedenle, bir parçadan diğerine geçerken, üçgen sayısı k 1 - k 2 değişir, burada k 1, PQ'nun bir tarafında uzanan çokgen köşelerinin sayısıdır. k 1 +k 2 =2m-2 olduğundan, k 1 -k 2 sayısı çifttir.

4. Dama tahtası deseninde yardımcı renklendirme

17. 5x5'lik tahtanın her karesinde bir böcek vardır. Bir noktada, tüm böcekler bitişik (yatay veya dikey olarak) hücrelere sürünür. Bu mutlaka boş bir hücre bırakır mı?

Çözüm: 5 x 5'lik bir satranç tahtasındaki toplam hücre sayısı tek olduğundan, eşit sayıda siyah ve beyaz hücre olamaz. Kesinlik için daha fazla siyah hücre olmasına izin verin. O zaman beyaz hücrelerde siyah hücrelerden daha az böcek oturuyor. Bu nedenle, siyah hücrelerden en az biri boş kalır, çünkü yalnızca beyaz hücreler üzerinde oturan böcekler siyah hücrelere sürünür.

19. 10 x 10 karelik bir tahtanın dört kareden oluşan T şeklinde kesilemeyeceğini kanıtlayın.

Çözüm: 10x10 karelerden oluşan tahtanın bu şekilde parçalara ayrıldığını varsayalım. Her şekil 1 veya 3 siyah hücre içerir, yani her zaman bir tek sayı. Rakamların kendileri 100/4 = 25 adet olmalıdır. Bu nedenle, tek sayıda siyah hücre içerirler ve toplamda 100/2=50 siyah hücre vardır. Bir çelişki elde edilmiştir.

5. Renklendirme ile ilgili problemler

20. Uçak iki renge boyanmıştır. Aralarındaki mesafe tam olarak 1 olan aynı renkte iki nokta olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: Kenarı 1 olan düzgün bir üçgen düşünün.

deşifre metni

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskova, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Kesme problemleri. M.: MTsNMO, s.: hasta. Dizi: "Matematik öğretmenin sırları". Bu kitap, matematik eğitimi alanında birikmiş deneyimi sunmak ve özetlemek için tasarlanmış Matematik Öğretiminin Sırları serisinin ilk kitabıdır. Bu koleksiyon, "5-7. Sınıflarda Mantık Geliştirme" dersinin bölümlerinden biridir. Kitapta verilen tüm problemlere çözümler veya talimatlar verilmektedir. Kitap matematikte ders dışı çalışmalar için tavsiye edilir. BBK ISBN c Kukin G.P., Ekimova M.A., c MTsNMO, 2002.

3 Giriş Şu anda, okul çocukları tarafından çalışılan konuların bileşimine ilişkin geleneksel görüş gözden geçirilmekte ve iyileştirilmektedir. Okul müfredatına çeşitli yeni konular dahil edilir. Bu konulardan biri de mantıktır. Mantık çalışması, akıl yürütmenin güzelliğini ve zarafetini, akıl yürütme yeteneğini, bireyin yaratıcı gelişimini, bir kişinin estetik eğitimini anlamaya katkıda bulunur. Her kültürlü insan, dünyanın birçok ülkesinde birkaç yüzyıl, hatta bin yıldır bilinen mantıksal problemlere, bulmacalara, oyunlara aşina olmalıdır. Hayatta başarılı olmak ve uyum sağlamak isteyen herhangi bir kişi için yaratıcılığın, yaratıcılığın ve düşünce bağımsızlığının geliştirilmesi gereklidir. Deneyimlerimiz, formel mantığın veya matematiksel mantığın parçalarının sistematik olarak çalışılmasının ortaokulun üst sınıflarına ertelenmesi gerektiğini göstermektedir. Aynı zamanda, mantıksal düşünmeyi olabildiğince erken geliştirmek gerekir. Aslında, okul konularını incelerken, akıl yürütme ve ispat yalnızca 7. sınıfta (sistematik geometri dersi başladığında) ortaya çıkar. Pek çok öğrenci için, ani geçiş (muhakeme yoktu, çok fazla muhakeme oldu) dayanılmaz derecede zordur. 5-7. Sınıflar için mantık geliştirme sürecinde, okul çocuklarına akıl yürütmeyi, kanıtlamayı ve kalıp bulmayı öğretmek oldukça mümkündür. Örneğin, matematiksel bulmacaları çözerken, yalnızca birkaç yanıtı tahmin etmek (almak) değil, aynı zamanda olası yanıtların tam bir listesinin elde edildiğini de kanıtlamak gerekir. 5. sınıf öğrencisi için oldukça iyi. Ancak ortaokulların 5-7. Bütün bunlar öğretmenin kendisi tarafından derlenmeli, yazılmalı ve çizilmelidir. Bu koleksiyonun amaçlarından biri, öğretmenin dersleri hazırlamasını ve yürütmesini kolaylaştırmaktır. Koleksiyonla çalışmaya başlamadan önce dersleri yürütmek için bazı önerilerde bulunacağız.

4 4 Giriş Okul çocuklarına mantık öğretmeye beşinci sınıftan ve hatta belki daha önce başlanması arzu edilir. Mantık rahat, neredeyse doğaçlama bir tarzda öğretilmelidir. Bu bariz hafiflik aslında öğretmenin çok ciddi bir hazırlık yapmasını gerektiriyor. Örneğin, öğretmenlerin bazen yaptığı gibi, ilginç ve eğlenceli bir problemi el yazısıyla yazılmış kalın bir defterden yeniden okumak kabul edilemez. Dersleri standart olmayan bir biçimde yürütmenizi öneririz. Derslerde mümkün olduğunca çok görsel malzeme kullanmak gerekir: çeşitli kartlar, resimler, şekil setleri, problem çözmeye yönelik resimler, diyagramlar. Daha genç öğrencilerle aynı konuda uzun süre uğraşmamalısınız. Bir konuyu analiz ederken, ana mantıksal kilometre taşlarını vurgulamaya çalışmalı ve bu noktaları anlamayı (ezberlemeyi değil) başarmalısınız. Kapsanan malzemeye sürekli geri dönmek gerekir. Bu, bağımsız çalışma, takım yarışmaları (ders sırasında), çeyrek sonunda yapılan testler, sözlü ve yazılı olimpiyatlarda, matboylarda (okul saatleri dışında) yapılabilir. Sınıfta eğlenceli ve komik görevler kullanmak da gereklidir, bazen etkinliğin yönünü değiştirmek yararlıdır. Bu koleksiyon, "5-7. Sınıflarda Mantık Geliştirme" "Kesme Problemleri" kursunun bölümlerinden biridir. Bu bölüm, Omsk'taki 74 lise okulunun 5-7. Sınıflarındaki mantık derslerinde test edildi. Birçok bilim adamı eski zamanlardan beri kesme problemlerine düşkündür. Birçok basit kesme probleminin çözümü eski Yunanlılar ve Çinliler tarafından bulundu, ancak bu konudaki ilk sistematik inceleme Bağdat'ta yaşayan 10. yüzyılın ünlü İranlı astronomu Abul-Vef tarafından yazıldı. Geometriciler, figürleri en az sayıda parçaya ayırma ve ardından onlardan bir veya daha fazla yeni figür oluşturma problemlerini ancak 20. yüzyılın başında ciddi şekilde çözdüler. Bu büyüleyici geometri dalının kurucularından biri, ünlü bulmaca derleyicisi Henry idi.

5 Giriş 5 E. Düdeni. Özellikle çok sayıda önceden var olan kesme rekorları, Avustralya Patent Ofisi'ndeki bir uzman olan Harry Lindgren tarafından kırıldı. O lider bir figür kesicidir. Bugün bulmaca severler kesme problemlerini çözmeye bayılıyorlar, çünkü öncelikle bu tür problemleri çözmek için evrensel bir yöntem yok ve çözümü üstlenen herkes yaratıcılığını, sezgilerini ve yaratıcı düşünme yeteneğini tam olarak gösterebiliyor. Burada derin bir geometri bilgisi gerekmediğinden, amatörler bazen profesyonel matematikçilerden daha iyi performans gösterebilir. Aynı zamanda, dilimleme problemleri anlamsız veya yararsız değildir, ciddi matematik problemlerinden uzak değildir. Kesme problemlerinden, herhangi iki eşit boyutlu çokgenin eşit olarak oluştuğunu söyleyen Boyai-Gervin teoremi doğdu (tersi açıktır) ve ardından Hilbert'in üçüncü problemi: benzer bir ifade çokyüzlüler için doğru mudur? Kesme görevleri, okul çocuklarının çeşitli malzemeler üzerinde olabildiğince erken geometrik temsiller oluşturmasına yardımcı olur. Bu tür problemleri çözerken doğada bir güzellik, kanun ve düzen duygusu vardır. "Kesme sorunları" koleksiyonu iki bölüme ayrılmıştır. Öğrencilerin birinci bölümdeki problemleri çözerken, planimetrinin temelleri hakkında bilgiye ihtiyaçları olmayacak, ancak yaratıcılığa, geometrik hayal gücüne ve herkes tarafından bilinen oldukça basit geometrik bilgilere ihtiyaçları olacak. İkinci bölüm isteğe bağlı görevlerdir. Bunlar, çözümü şekiller hakkında temel geometrik bilgiler, bunların özellikleri ve özellikleri, bazı teoremler hakkında bilgi gerektirecek görevleri içeriyordu. Her bölüm, bir konudaki görevleri birleştirmeye çalıştığımız paragraflara bölünmüştür ve sırayla, artan zorluk sırasına göre her homojen görevi içeren derslere bölünmüştür. Birinci bölüm sekiz paragraf içermektedir. 1. Kareli kağıt üzerindeki görevler. Bu bölüm, şekillerin (çoğunlukla kareler ve dikdörtgenler) kesilmesinin hücrelerin kenarları boyunca ilerlediği problemleri içerir. Paragraf 4 ders içeriyor, 5. sınıf öğrencilerinin okumasını tavsiye ediyoruz.

6 6 Giriş 2. Pentomino. Bu paragraf pentomino figürleriyle ilgili görevleri içerir, bu nedenle bu dersler için çocuklara bu figür setlerinin dağıtılması tavsiye edilir. Burada iki ders var, 5-6. sınıf öğrencilerimizin okuması için tavsiye ediyoruz. 3. Zor kesim görevleri. Burada, örneğin yay olan kenarlıklarla daha karmaşık bir şekle sahip şekillerin kesilmesi ve kesmeye yönelik daha karmaşık görevler için toplanmış görevler bulunmaktadır. Bu paragrafta iki ders var, 7. sınıfta okutulmasını tavsiye ederiz. 4. Uçağı bölmek. Dikdörtgenlerin katı bölümlerini dikdörtgen karolara, parke derleme problemlerine, bir dikdörtgen veya karedeki şekillerin en yoğun şekilde paketlenmesine yönelik problemleri bulmanız gereken bir araya getirilmiş problemler. Bu paragrafı 6-7. Sınıflarda çalışmanızı öneririz. 5. Tangram. İşte antik Çin bulmacası "Tangram" ile ilgili toplanmış görevler. Bu ders için, en azından kartondan yapılmış bu bulmacanın olması arzu edilir. Bu bölüm 5. sınıfta okumak için tavsiye edilir. 6. Uzayda kesme sorunları. Burada öğrencilere bir küpün, bir üçgen piramidin gelişimi tanıtılır, paralellikler çizilir ve bir düzlem üzerindeki şekiller ile üç boyutlu cisimler arasındaki farklar gösterilir, bu da problem çözmedeki farklılıklar anlamına gelir. Paragraf, 6. sınıf öğrencilerine okumalarını önerdiğimiz bir ders içermektedir. 7. Renklendirme görevleri. Bir şekli renklendirmenin bir sorunu çözmeye nasıl yardımcı olduğunu gösterir. Bazı şekilleri parçalara ayırma probleminin çözümünün mümkün olduğunu kanıtlamak zor değil, bir şekilde kesmeyi sağlamak yeterli. Ancak kesmenin imkansız olduğunu kanıtlamak daha zordur. Figürü boyamak bunu yapmamıza yardımcı olur. Bu paragrafta üç ders var. 7. sınıf öğrencilerimizin okumasını tavsiye ederiz. 8. Durumda renklendirme içeren görevler. İşte bir figürü belirli bir şekilde renklendirmeniz gereken toplanmış görevler, şu soruyu yanıtlayın: böyle bir renklendirme için kaç renge ihtiyaç vardır (en küçük veya en büyük sayı), vb. Paragrafta yedi ders vardır. 7. sınıf öğrencilerimizin okumasını tavsiye ederiz. İkinci bölüm, ek derslerde çözülebilecek görevleri içerir. Üç paragraf içerir.

7 Giriş 7 9. Şekillerin dönüştürülmesi. Bir figürün başka bir figürü oluşturan parçalara ayrıldığı görevleri içerir. Bu paragrafta üç ders vardır, birincisi çeşitli şekillerin "dönüşümünü" ele alır (oldukça kolay görevler burada toplanır) ve ikinci ders bir karenin dönüşümünün geometrisini ele alır. 10. Kesmek için farklı görevler. Bu, çeşitli yöntemlerle çözülen çeşitli kesme görevlerini içerir. Bu bölümde üç ders bulunmaktadır. 11. Rakamların alanı. Bu bölümde iki ders bulunmaktadır. İlk derste, çözümünde şekilleri parçalara ayırmanın gerekli olduğu problemler ele alınır ve ardından figürlerin eşit şekilde oluştuğunu kanıtlamak, ikinci derste çözümünde kullanılması gereken problemler ele alınır. şekillerin alanlarının özellikleri.

8 Bölüm 1 1. Kareli kağıt üzerindeki görevler Ders 1.1 Konu: Kareli kağıt üzerinde kesme görevleri. Amaç: Kombinatoryal becerileri geliştirmek (kesik bir şekil çizgisi oluşturmanın çeşitli yollarını, bu çizgiyi oluştururken çözümlerin kaybedilmemesine izin veren kuralları dikkate almak), simetri hakkında fikir geliştirmek. Dersteki problemleri çözüyoruz, ev için problem 1.5 Kare 16 hücre içerir. Kareyi, kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca ilerleyecek şekilde iki eşit parçaya bölün. (Karenin bir kesme yöntemiyle elde edilen parçaları, başka bir yöntemle elde edilen parçalara eşit değilse, bir kareyi iki parçaya ayırma yolları farklı kabul edilecektir.) Problemin kaç çözümü vardır? Talimat. Bu soruna birkaç çözüm bulmak o kadar da zor değil. Şek. 1, bazıları gösterilmektedir ve çözümler b) ve c) aynıdır, çünkü içlerinde elde edilen rakamlar üst üste bindirilerek (c karesini 90 derece döndürürseniz) birleştirilebilir. Pirinç. 1 Ancak tüm çözümleri bulmak ve hiçbir çözümü kaybetmemek zaten daha zordur. Kareyi iki eşit parçaya bölen kesikli çizginin karenin merkezine göre simetrik olduğuna dikkat edin.Bu gözlem adım adım ilerlememizi sağlar.

9 İki uçtan bir çoklu çizgi çizmek için adım adım ders. Örneğin, çoklu çizginin başlangıcı A noktasındaysa, sonu B noktasında olacaktır (Şekil 2). Bu problem için çoklu çizginin başı ve sonunun Şekil 2'de gösterildiği gibi iki şekilde çizilebildiğinden emin olun. 2. Kesikli bir çizgi oluştururken herhangi bir çözümü kaybetmemek için bu kuralı takip edebilirsiniz. Çoklu çizginin bir sonraki halkası iki şekilde çizilebiliyorsa, önce ikinci bir benzer çizim hazırlamanız ve bu adımı bir çizimde birinci şekilde, diğerinde ikinci şekilde gerçekleştirmeniz gerekir (Şekil 3, iki şekilde gösterir) Şekil 2 (a)'nın devamı). Benzer şekilde, iki değil, üç yöntem olduğunda harekete geçmeniz gerekir (Şekil 4, Şekil 2 (b) 'nin üç devamını gösterir). Belirtilen prosedür, tüm çözümleri bulmaya yardımcı olur. Pirinç. 2 Şek. 3 Pirinç Dikdörtgen 3 4 12 hücre içerir. Bir dikdörtgeni iki eşit parçaya kesmenin beş yolunu bulun, böylece kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gider (bir kesme yöntemiyle elde edilen parçalar başka bir yöntemle elde edilen parçalara eşit değilse kesme yöntemleri farklı kabul edilir) Dikdörtgen 3 5 15 hücre içerir ve bir merkezi hücre çıkarılır. Kalan rakamı kesmenin beş yolunu bulun

10 10 1. Damalı kağıt üzerindeki görevler, kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gelecek şekilde iki eşit parçaya bölünür.Kare 6 6 özdeş 36 kareye bölünür. Bir kareyi iki eşit parçaya kesmenin beş yolunu bulun, böylece kesme çizgisi karelerin kenarları boyunca devam eder. Problem 1.4'te 200'den fazla çözüm var. En az 15 tanesini bulun. Ders 1.2 Konu: Damalı kağıtta kesme sorunları. Amaç: Simetri hakkında fikir geliştirmeye devam etmek, "Pentamino" konusuna hazırlık (beş hücreden oluşturulabilen çeşitli şekillerin dikkate alınması). Problemler 5 5 hücreden oluşan bir kare, kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca gelecek şekilde iki eşit parçaya kesilebilir mi? Cevabınızı gerekçelendirin Kare 4 4 ​​​​dört eşit parçaya bölün, böylece kesme çizgisi hücrelerin kenarları boyunca ilerleyecektir. Kaç farklı kesme yolu bulabilirsin? 1.8. Şekli (Şek. 5), kesik çizgi karelerin kenarları boyunca ilerleyecek şekilde üç eşit parçaya bölün. Pirinç. 5 Şek. Şekil 6 Kesik çizgisi karelerin kenarları boyunca gelecek şekilde şekli (Şek. 6) dört eşit parçaya bölün. Şekli (Şek. 7) kesik çizgiler karelerin kenarları boyunca gelecek şekilde dört eşit parçaya bölün kareler. Mümkün olduğu kadar çok çözüm bulun.

11 Ders 5 5 hücreden oluşan bir kareyi, ortası oyulmuş bir hücre ile dört eşit parçaya bölün. Ders 1.3 Konu: Damalı kağıtta kesme sorunları. Amaç: Simetri (eksenel, merkezi) hakkında fikir geliştirmeye devam etmek. Görevler Şek. 8, ızgara çizgileri boyunca iki eşit parçaya bölünür ve parçaların her birinde bir daire olmalıdır. Pirinç. 8 Şekil Şek. 9, her parçada bir daire olacak şekilde ızgara çizgileri boyunca dört eşit parçaya kesmek gerekir. Nasıl yapılır? Şekil l'de gösterilen şekli kesin. 10, ızgara çizgileri boyunca dört eşit parçaya bölün ve bunları bir kareye katlayın, böylece daireler ve yıldızlar karenin tüm simetri eksenleri etrafında simetrik olarak düzenlenir. Pirinç. 10

12 12 1. Damalı kağıt üzerindeki görevler Bu kareyi (Şek. 11), tüm parçalar aynı boyut ve şekilde olacak ve her biri bir daire ve bir yıldız içerecek şekilde hücrelerin kenarları boyunca kesin. 12, her biri üç dolu hücre içerecek şekilde dört özdeş parçaya bölünür. Ders 1.4 11 Şek. 12 Konu: Damalı kağıtta kesim problemleri. Amaç: Bir dikdörtgeni iki eşit parçaya ayırmayı öğrenin; buradan bir kare veya başka bir dikdörtgen ekleyebilirsiniz. Hangi dikdörtgenlerden keserek bir kare oluşturabileceğinizi belirlemeyi öğrenin. Görevler Ek görevler 1.23, 1.24 (bu görevler ısınma için dersin başında düşünülebilir) Hücrelerin kenarları boyunca dikdörtgen 4 9 hücreleri daha sonra bir kare şeklinde katlanabilmeleri için iki eşit parçaya kesin. bir dikdörtgen 4 8 hücre, kare oluşturacak şekilde hücrelerin kenarları boyunca iki parçaya bölünebilir mi? 107 hücreli bir dikdörtgenden, Şekil 1'de gösterildiği gibi 16 hücreli bir dikdörtgen kesildi. 13. Ortaya çıkan şekli, kare şeklinde katlanabilecek şekilde iki parçaya kesin, şekil 1'de gösterildiği gibi 8 9 hücreli bir dikdörtgenden içi dolu şekiller kesildi. 14. Ortaya çıkan şekli, bunlardan 6 10'luk bir dikdörtgen ekleyebilmek için iki eşit parçaya kesin.

13 Ders Şekil. 13 Pirinç Damalı kağıda 5 5 hücreli bir kare çizilir. Hücrelerin kenarları boyunca 7 farklı dikdörtgene nasıl kesileceğini gösterin. Dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını ifade eden on sayının tümü farklı tam sayılar olacak şekilde kareyi hücrelerin kenarları boyunca 5 dikdörtgene kesin. Şekilde gösterilen şekilleri bölün . 15, iki eşit parçaya bölün. (Yalnızca hücre çizgileri boyunca değil, köşegenleri boyunca da kesebilirsiniz.) Şek. 15

14 14 2. Pentomino Şek. 16, dört eşit parçaya bölünür. 2. Pentomino Şek. 16 Ders 2.1 Konu: Pentomino. Amaç: Öğrencilerin kombinatoryal becerilerinin geliştirilmesi. Görevler Domino, tromino, tetramino figürleri (bu tür figürlere sahip bir oyuna Tetris denir), pentominolar iki, üç, dört, beş kareden oluşur, böylece herhangi bir karenin en az bir kare ile ortak bir kenarı vardır. İki özdeş kareden yalnızca bir domino figürü yapılabilir (bkz. Şekil 17). Trimino figürleri, tek bir domino figürüne çeşitli şekillerde başka bir kare eklenerek elde edilebilir. İki tromino figürü alacaksınız (Şek. 18). Pirinç. 17 Pirinç Her türlü tetramino figürü yapın (Yunanca "tetra" dört kelimesinden). Kaç tane aldılar? (Başkalarından döndürme veya simetrik gösterimle elde edilen şekiller yeni sayılmaz).

15 Ders Pentominonun tüm olası figürlerini yapın (Yunanca "penta" beşten). Kaç tane aldılar? 2.3. Şekil l'de gösterilen şekilleri oluşturun. 19, pentomino heykelciklerinden. Problemin her şekil için kaç çözümü vardır? Şekil Pentomino parçalarından oluşan 3 5'lik bir dikdörtgen katlayın. Kaç farklı çözüm elde edeceksiniz? 2.5. Şekil l'de gösterilen şekilleri oluşturun. 20, pentomino heykelciklerinden. Pirinç. 20

16 16 2. Pentomino Dersi 2.2 Konu: Pentomino. Amaç: Simetri hakkında fikirlerin geliştirilmesi. Problemler Problem 2.2'de olası tüm pentomino parçalarını oluşturduk. Şek. 21. Şek. 21 Şekil 1 aşağıdaki özelliğe sahiptir. Kağıttan kesilirse ve düz bir çizgi boyunca bükülürse (Şek. 22), şeklin bir kısmı diğeriyle çakışacaktır. Şeklin düz bir simetri ekseni etrafında simetrik olduğu söylenir. Şekil 12'de ayrıca bir simetri ekseni vardır, hatta ikisi düz b ve c çizgileridir, oysa Şekil 2'de simetri ekseni yoktur. Şekil Her bir pentomino figürünün kaç tane simetri ekseni vardır? 2.7. 12 pentomino figüründen bir dikdörtgeni katlayın Simetrik olmayan parçaların ters çevrilmesine izin verin On iki pentomino figüründen oluşan 6 10'luk bir dikdörtgeni katlayın ve böylece her eleman bu dikdörtgenin bir kenarına değsin.

Ders 17 Şek. 23 (a), iç hatlar boyunca, bir hücrenin boyutunda üç kare deliği olan bir şekli katlamanın mümkün olduğu bu tür iki parçaya bölünür (Şekil 23 (b)). Şekil Pentomino figürlerinden, bir kareyi 8 8, ortasından kesilmiş bir kare 2 2 ile katlayın.Birkaç çözüm bulun.On iki pentomino bir dikdörtgenin içine yerleştirilmiştir.Her yıldız tam olarak düşerse, şekillerin sınırlarını geri yükleyin (Şekil 24) bir pentomino. Pirinç. 24 Şekil On iki pentomino parçası, Şekil 1'de gösterildiği gibi 12 10'luk bir kutuda istiflenmiştir. 25. Kalan boş alana başka bir pentomino seti yerleştirmeye çalışın.

18 18 3. Zor kesme problemleri 3. Zor kesme problemleri Ders 3.1 Konu: Sınırları yay olan daha karmaşık şekillerin kesilmesiyle ilgili problemler. Amaç: Kenarları yay olan daha karmaşık şekillerin nasıl kesileceğini ve elde edilen parçalardan bir kare yapmayı öğrenmek. Görevler Şek. 26 4 rakamı gösterir. Bir kesim ile her birini iki parçaya bölün ve bunlardan bir kare yapın. Damalı kağıt, sorunu çözmenizi kolaylaştıracaktır. Pirinç 6 6 kareyi parçalara ayırın, Şek. 27. Şek. 27

19 Ders 28, kale duvarının bir bölümünü göstermektedir. Taşlardan birinin şekli o kadar tuhaf ki, duvardan çıkarıp başka bir yere koyarsanız duvar düzleşiyor. Bu taşı çizin Daha fazla boya ne için kullanılacak: bir kare mi yoksa bu sıra dışı halkayı mı boyamak (Şek. 29)? Pirinç. 28 Pirinç Şek. 30, bir eşkenar dörtgenin katlanabileceği üç parçaya bölünür. Pirinç. 30 Şek. 31 Şek. 32 Ders 3.2 Konu: Daha karmaşık kesme problemleri. Amaç: Daha karmaşık kesme problemlerini çözme alıştırması yapmak. Derste problemleri çözüyoruz, ev için problem 3.12 Şekli (Şek. 31), bir kare ekleyebileceğiniz parçalara iki düz kesimle kesin 32 şekli, bir kare eklemenin mümkün olacağı dört eşit parçaya bölün Şek. 33, beş parçaya bölün ve bir kareye katlayın. Parçaları ters çevirmeyin

20 20 4. Uçağın bölünmesine izin verilir. Parçaların ters çevrilmesine izin verirseniz, dört parça ile idare etmek mümkün mü? 3.9. Beş kareden oluşan haç, eşit boyutlu (yani alan olarak eşit) bir kare yapmanın mümkün olacağı parçalara kesilmelidir.İki satranç tahtası verilir: sıradan bir tane, içinde 64 hücre ve 36 hücrede bir tane daha. Hücrelerden yeni bir satranç tahtası yapmak için elde edilen dört parçadan her birinin iki parçaya bölünmesi gerekir.Marangozun değerli maundan yapılmış 7 7 hücreli bir satranç tahtası parçası vardır. Malzeme israfı yapmadan ve Şekil kaydırmadan istiyor. 33 sadece hücrelerin kenarları boyunca keser, tahtayı 6 parçaya keser, böylece hepsi farklı boyutlarda üç yeni kare yaparlar. Nasıl yapılır? Parça sayısı 5 ve toplam kesim uzunluğu 17 ise Problem 3.11'i çözmek mümkün müdür? 4. Düzlemi bölme Ders 4.1 Konu: Dikdörtgenlerin katı bölümleri. Amaç: Dikdörtgen karolarla sağlam dikdörtgen bölümlerin nasıl oluşturulacağını öğrenmek. Dikdörtgenin hangi koşullar altında düzlemin böyle bir bölünmesine izin verdiği sorusunu cevaplayın. Görevler (a) derste çözülür. Görevler 4.5 (b), 4.6, 4.7 evde bırakılabilir. Sınırsız 2 1 dikdörtgen karo kaynağımız olduğunu ve bunları dikdörtgen bir zemini döşemek için kullanmak istediğimizi ve iki karonun üst üste gelmemesi gerektiğini varsayalım. 5 6 odasında zemine 2 1 karo yerleştirin. dikdörtgen bir odanın zemini p q 2 1 döşenir, o zaman p q çifttir (alan 2'ye bölünebildiği için). Ve tam tersi: eğer p q eşitse, zemin 2 1 fayanslarla döşenebilir.

21 Ders Gerçekten de bu durumda p veya q sayılarından biri çift olmalıdır. Örneğin, p = 2r ise, zemin Şekil 1'de gösterildiği gibi döşenebilir. 34. Ancak bu tür parkelerde, duvardan duvara tüm “odayı” geçen, ancak karoları geçmeyen kırılma çizgileri vardır. Ancak pratikte bu tür çizgileri olmayan parkeler kullanılır - masif parkeler. Şekil Fayansları Yerleştirin 2 1 Odanın masif parkesini Sürekli bir fayans bulmaya çalışın 2 1 a) Dikdörtgen 4 6; b) kare Döşeme karoları 2 1 masif parke a) odalar 5 8; b) odalar 6 8. Doğal olarak, p q dikdörtgeninin hangi p ve q için karolara 2 1 sürekli bir bölünmeye izin verdiği sorusu ortaya çıkıyor? Gerekli koşulları zaten biliyoruz: 1) p q 2, 2 ile bölünebilir) (p, q) (6, 6) ve (p, q) (4, 6). Bir koşul daha doğrulanabilir: 3) p 5, q 5. Bu üç koşulun da yeterli olduğu ortaya çıktı. Diğer boyutlardaki karolar Fayansları 3 2 boşluksuz döşeyin a) dikdörtgen 11 18; b) dikdörtgen Boşluksuz yerleştirin, mümkünse fayanslı bir kare.5 5 hücre ölçülerinde damalı kağıttan bir kare alarak, geri kalanın 1 3'lük plakalar halinde kesilebilmesi için ondan 1 hücre kesmek mümkün müdür? hücreler? Ders 4.2 Konu: Parkeler.

22 22 4. Düzlemi bölmek Amaç: Düzlemi çeşitli figürlerle kaplamayı öğrenmek (ayrıca parkeler kırma çizgili veya düz olabilir) veya bunun imkansız olduğunu kanıtlamak. Problemler Bir düzlemi bölme teorisindeki en önemli sorulardan biri şudur: "Bir karonun şekli, kopyalarının düzlemi boşluklar ve çift kaplamalar olmadan kaplayabilmesi için nasıl olmalıdır?" Pek çok bariz form hemen akla geliyor. Düzlemi kaplayabilen yalnızca üç düzgün çokgen olduğu kanıtlanabilir. Bu bir eşkenar üçgen, kare ve altıgendir (bkz. Şekil 35). Düzlemi kaplayabilen sonsuz sayıda düzensiz çokgen vardır. Şekil Rastgele bir geniş üçgeni dört eşit ve benzer üçgene bölün. Problem 4.8'de üçgeni dört eşit ve benzer üçgene ayırdık. Ortaya çıkan dört üçgenin her biri sırayla dört eşit ve benzer üçgene vb. bölünebilir. Ters yönde hareket edersek, yani dört eşit geniş üçgen ekleyin, böylece onlara benzer, ancak dört kat daha büyük bir üçgen elde ederiz. , vb., o zaman bu tür üçgenler düzlemi döşeyebilir. Düzlem, örneğin yamuklar, paralelkenarlar gibi başka şekillerle kaplanabilir. 36.

23 Ders Düzlemi, Şekil 2'de gösterilen aynı "parantezler" ile döşeyin. 37. Şek. 36 Pirinç Bir kenarı 1 olan dört, bir kenarı 2 olan sekiz, bir kenarı 3 olan on iki kare vardır. Bunlardan büyük bir kare yapabilir misiniz? Şek. 38 çeşit, her iki çeşit karoyu kullanarak mı? Ders 4.3 Konu: En yoğun paketleme sorunları. Pirinç. 38 Amaç: Optimum çözüm kavramını oluşturmak. Görevler Kareli kağıttan 8 8 hücreli bir kareden kesilebilecek en büyük 1 5 hücreli şerit sayısı nedir? Ustanın bir teneke kare levhası var. dm. Usta, ondan mümkün olduğu kadar çok sayıda 3 5 metrekarelik dikdörtgen boşlukları kesmek istiyor. dm. Ona yardım et Hücrenin dikdörtgenini kalıntı bırakmadan 5 7 boyutunda dikdörtgenler halinde kesmek mümkün mü? Mümkünse, nasıl? Değilse, neden olmasın? Damalı bir kağıda, Şekil 1'de gösterildiği gibi çok sayıda tam rakam elde edebileceğiniz hücrelerin boyutuna göre kesimleri işaretleyin. 39. Şek. 39 (b, d), çevrilebilir.

24 24 5. Tangram Pirinç Tangram Dersi 5.1 Konu: Tangram. Amaç: Öğrencileri Çin bulmacası "Tangram" ile tanıştırmak. Pratik geometrik araştırma, tasarım. Kombinasyonel beceriler geliştirin. Sorunlar Kesme sorunlarından bahsetmişken, 4 bin yıl önce Çin'de ortaya çıkan eski Çin bulmacası "Tangram" dan söz edilemez. Çin'de buna "chi tao tu" denir, yani yedi parçalı bir zihinsel yapboz. Yönergeler. Bu dersi yürütmek için çalışma notlarının olması arzu edilir: bir yapboz (öğrencilerin kendilerinin yapabileceği), katlanması gereken şekillerin çizimleri. Şekil Kendiniz bir yapboz yapın: yedi parçaya bölünmüş bir kareyi (Şek. 40) kalın kağıda aktarın ve kesin. Yapbozun yedi parçasını da kullanarak, Şek. 41.

25 Ders Şekil. 41 Şek. 42 Yönergeler. Çocuklara a), b) figürlerinin tam boyutlu çizimleri verilebilir. Ve böylece öğrenci, bulmacanın parçalarını şeklin çizimine koyarak ve böylece görevi basitleştiren doğru parçaları seçerek sorunu çözebilir. Ve şekil çizimleri

26 26 6. Uzayda kesme problemleri c), d) daha küçük ölçekte verilebilir; sonuç olarak, bu görevlerin çözülmesi daha zor olacaktır. Şek. Kendi kendine derleme için 42 şekil daha verilmiştir.Tangramın yedi bölümünün tümünü kullanarak kendi figürünüzü bulmaya çalışın Tangramda, yedi bölümü arasında zaten farklı boyutlarda üçgenler var. Ancak parçalarından yine de çeşitli üçgenler ekleyebilirsiniz. Bir tangramın dört parçasını kullanarak bir üçgeni katlayın: a) bir büyük üçgen, iki küçük üçgen ve bir kare; b) bir büyük üçgen, iki küçük üçgen ve bir paralelkenar; c) bir büyük üçgen, bir orta üçgen ve iki küçük üçgen Tangramın sadece iki parçasını kullanarak bir üçgen yapabilir misiniz? Üç parça? Beş parça mı? Altı bölüm mü? Tangramın yedi bölümünün tamamı mı? 5.6. Tangramın yedi bölümünün hepsinden bir kare yapıldığı açıktır. İki parçalı bir kare yapmak mümkün mü, imkansız mı? Üç üzerinden mi? Dört üzerinden mi? 5.7. Bir dikdörtgen yapmak için bir tangramın hangi farklı kısımları kullanılabilir? Başka hangi dışbükey çokgenler yapılabilir? 6. Uzayda kesme ile ilgili problemler Ders 6.1 Konu: Uzayda kesme ile ilgili problemler. Amaç: Mekansal hayal gücünü geliştirmek. Üçgen bir piramit, bir küpün bir taramasını yapmayı öğrenin, hangi taramaların yanlış olduğunu belirleyin. Uzayda cisimleri kesmek için problem çözme alıştırması yapın (bu tür problemlerin çözümü, bir düzlemde şekilleri kesmek için problem çözmekten farklıdır). Görevler Pinokyo'nun bir tarafı polietilen ile yapıştırılmış kağıdı vardı. Resimde görülen parçayı yaptı. 43 süt poşetlerini (üçgen piramitler) yapıştırmak için. Ve tilki Alice başka bir boşluk yapabilir. Ne?

27 Ders Pirinç Kedi Basilio da bu kağıdı aldı ama küpleri (kefir torbaları) yapıştırmak istiyor. Şekil 1'de gösterilen boşlukları yaptı. 44. Ve tilki Alice, iyi olmadıkları için bazılarının hemen atılabileceğini söylüyor. Haklı mı? Cheops Piramidi'nin tabanında bir kare vardır ve yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir. Pinokyo tırmandı ve tepedeki kenarın açısını ölçtü (AMD, Şekil 45). 100 çıktı. Ve tilki Alice güneşte aşırı ısındığını söylüyor çünkü bu olamaz. Haklı mı? 6.4. Bir küpü 64 küçük küpe bölmek için gereken minimum düz kesim sayısı nedir? Her kesimden sonra küpün parçalarını istediğiniz gibi kaydırmanıza izin verilir.Tahta küpün dışı beyaz boya ile boyandı, ardından her bir kenarı Şekil 1. 45, 5 eşit parçaya bölündü, ardından kenarı orijinal küpünkinden 5 kat daha küçük olan küçük küpler elde edilecek şekilde kesildi. Kaç tane küçük küp var? Üç kenarı boyalı kaç küp vardır? İki kenar mı? Bir kenar mı? Kaç tane boyanmamış küp kaldı? 6.6. Karpuz 4 parçaya bölündü ve yenildi. 5 kabuk çıktı. Bu olabilir?

28 28 7. Renklendirme görevleri 6.7. Bir pankek üç düz kesimle en fazla kaç parçaya bölünebilir? Üç dilim ekmekten kaç parça elde edilebilir? 7. Boyama Görevleri Ders 7.1 Konu: Boyama, sorunları çözmeye yardımcı olur. Amaç: İyi seçilmiş bir renklendirme kullanarak (örneğin, bir dama tahtası deseninde boyama) bazı kesme problemlerinin çözümü olmadığını kanıtlamayı öğrenmek, böylece öğrencilerin mantıksal kültürünü geliştirmek. Problemler Bazı şekilleri parçalara ayırma probleminin çözümünün mümkün olduğunu kanıtlamak zor değil: bazı kesme yöntemleri sağlamak yeterli. Tüm çözümleri, yani tüm kesme yöntemlerini bulmak zaten daha zor. Ve kesmenin imkansız olduğunu kanıtlamak da oldukça zordur. Bazı durumlarda, şeklin renklendirilmesi bunu yapmamıza yardımcı olur, 8 8 ölçülerinde kareli bir kare kağıt aldık, ondan iki hücre kestik (sol alt ve sağ üst). Ortaya çıkan şekli "domino" dikdörtgenleri 1 2 ile tamamen kaplamak mümkün mü? 7.2. Satranç tahtasında, her hamlede üç hücreyi dikey ve bir yatay veya üç yatay ve bir dikey olarak hareket ettiren bir “deve” figürü vardır. Bir "deve" birkaç hamle yaptıktan sonra orijinal tarafına bitişik bir hücreye girebilir mi? 7.3. 5 5 karenin her hücresinde bir böcek var. Komut üzerine, her böcek yandaki bitişik hücrelerden birinin üzerine süründü. O zaman her hücrede tam olarak bir böceğin tekrar oturacağı ortaya çıkabilir mi? Ya orijinal karenin boyutları 6 6 olsaydı? 7.4. 4x4 damalı kağıttan bir kareyi bir kaide, bir kare, bir sütun ve bir zikzak halinde kesmek mümkün mü (Res. 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskova, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Kesme sorunları. M.: MTsNMO, 2002. 120 s.: hasta. Dizi: "Matematik öğretmenin sırları". Bu

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, IV. Yashchenko 5 6 SINIFTA GÖRSEL GEOMETRİ NE OLACAK GIA'nın sonuçları ve matematikte KULLANIMI, geometrik geometrinin ana probleminin

Kafeslerle ilgili problemler V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l tam sayılardır, o zaman ve ancak o zaman aynı kafesi üretir,

IV Yakovlev Matematik Materyalleri MathUs.ru Cuts Geometrik şekiller, tamamen çakışacak şekilde üst üste bindirilebilirlerse eşit olarak adlandırılır. 1. Her şekli şu şekilde kesin:

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRİ GIA'ya hazırlanmak için El Kitabı Doğru ifadeleri seçmek için görevler 2015 1 GİRİŞ Bu kılavuz, matematikte GIA'nın geometrik problemlerini çözmek için hazırlanmıştır.

Test 448 Dikey açılar 1. Açılar dikey değilse, eşit değildir. 2. Eşit açılar, yalnızca merkezi olarak simetrik olduklarında dikey açılardır. 3. Açılar eşitse ve birleşimleri

I. V. Yakovlev Matematikte Materyaller MathUs.ru Örnekler ve yapılar 1. (Tüm-Rusça, 2018, ШЭ, 5.2) Kız, adındaki her harfi Rus alfabesindeki numarasıyla değiştirdi. Sonuç 2011533 sayısıdır.

DERS 24 DÜZLEM GRAFİKLERİ 1. Düzlem Grafikler için Euler Formülü Tanım 44: Bir düzlem grafiği, bir düzlem üzerinde kendi kesişimleri olmayan bir grafiğin görüntüsüdür. Not Grafik düz ile aynı değildir

Orta (tam) genel eğitim MI Bashmakov Matematik 11. Sınıf Problem koleksiyonu 3. baskı UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov MI B336 Matematik. Derece 11. Görevlerin toplanması: ikincil (tamamlandı)

V.A. Smirnov 1. Şekillerin tanınması 1. Hangi çokyüzlüye küp denir? 2. Bir küpün kaç köşesi, kenarı, yüzü vardır? 3. Damalı kağıda bir küp çizin. 4. Hangi çokyüzlüye paralelyüz denir?

V.A. Smirnov, IV. Yashchenko UZAYDAKİ ŞEKİLLER Birleşik Devlet Sınavı 2013'e hazırlık için El Kitabı GİRİŞ Bu kılavuz, matematikte Birleşik Devlet Sınavının geometrik problemlerini çözmek için hazırlanmıştır. Hedefleri:

1 dünyadaki nesneleri tanımlamak için geometrik dili ve geometrik sembolizmi kullanmayı öğrenir; sağlanan problemleri çözme sürecinde basit akıl yürütme ve gerekçelendirme yapma

MATEMATİK 5.1-5.3 sınıfları (teknolojik profil) Görev bankası modülü "Geometri" "Üçgenler ve dörtgenler. Düz çizgiler ve daireler. Simetri. Polyhedra” Gerekli temel teorik bilgiler

Üçüncü Minsk Şehri Açık Genç Matematikçiler Turnuvası 2016 Görevleri (gençler ligi, 5-7. Sınıflar) 10-12 Mart 2016 Eğitim kurumunu, başkanını, telefon numarasını gösteren ön başvurular

Barnaul Merkez Bölgesi belediye bütçe okul öncesi eğitim kurumu "Kindergarten 30"

1 Uç kural Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Aşağıdaki üç problemle başlayalım: Problem1. Sonsuz bir kareli kağıtta, her hücreye bir doğal sayı yazılmıştır. Biliniyor

Bilgi en mükemmel sahipliktir. Herkes bunun için çabalar, kendiliğinden gelmez. Abu-r-Raykhan al-buruni "Bir çokgenin alanı kavramı" Geometri 8. Sınıf 1 POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİ Kapalı çoklu çizgi,

Açıklayıcı not 1. Kursun genel özellikleri Bu program, Temel Genel Eğitim için Federal Devlet Eğitim Standardının gerekliliklerine uygun olarak derlenmiştir ve amaçlanmaktadır.

Master sınıfı "Matematikte Birleşik Devlet Sınavında geometri ve stereometri, bölüm 1. Ekim 2017. Problemleri çözmek için geometrik şekiller ve özellikleri hakkında bilgiye, düz şekillerin alanlarını, hacimleri hesaplamaya ihtiyacınız var.

Belediye bütçe eğitim kurumu "Ortaokul 2" Ek 3.20. "Görsel geometri" kursu için çalışma programı 5-6. Sınıflar Geliştiriciler: Ovchinnikova N.V.,

Konu 1. Parite 1. Masada kapalı bir zincirle birbirine bağlı 13 dişli vardır. Tüm dişliler aynı anda dönebilir mi? 2. Köşeleri olmayan bir düz çizgi, 13 ile kapalı bir sürekli çizgi oluşturabilir mi?

Görevlerin üçüncü bölümündeki görevlerin analizi 1 2 Elektronik okul Znanik Görevlerin üçüncü bölümündeki görevlerin analizi 4. Sınıf 6 7 8 9 10 A B A C D Görev 6 Tünel içinde her 10 m'de bir kontrol noktaları vardır.

IX Tüm Rusya vardiyası "Genç matematikçi". VDC "Kartal". Matematik oyunları VI Turnuvası. Matematiksel oyun "Düello". Gençler ligi. Çözümler. 08 Eylül 2013 1. Aynı sayıda öğrenci iki grupta eğitim görüyor

Küplerle ilgili ilginç problemler Problem 1. Sıra numaralı (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) küpün 8 numaralı köşeleri, böylece altı yüzünün her birindeki sayıların toplamı aynıdır ( Şekil 1a).

Matematik görev bankası 6. Sınıf "Çokgenler ve çokyüzlüler" 1. Bir çokyüzlü aşağıdakilerden oluşan kapalı bir yüzeydir: çokgenlerin paralelkenarları ve çokgenlerin çokgenlerinin üçgenleri

RUSYA FEDERASYONU YÜKSEK ÖĞRETİM DEVLET KOMİTESİ NOVOSIBIRSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ Yazışmalı okul MATEMATİK BÖLÜMÜ PARALEL TASARIM 0. Sınıf, görev 3. Novosibirsk

"İşaretler ve Sayılar Dünyası" konusunun çalışma programı 5. Sınıf 1. "İşaretler ve Sayılar Dünyası" konusunun planlanan gelişiminin planlanan sonuçları Geometrik dilde ustalaşmak, onu açıklamak için kullanmak

7. sınıfta görsel geometride ders dışı ders. Konu: “Makas geometrisi. Şekilleri kesme ve katlama sorunları"

ONLARA. SMİRNOV, V.A. SMIRNOV GEOMETRİSİ İŞLENMİŞ KAĞIT ÜZERİNDE Eğitim kurumları için ders kitabı Moskova 2009 ÖNSÖZ Önerilen kılavuz, inşaat ve inşaat için elli altı problem içermektedir.

ÇALIŞMA KİTABI 2 DÖNÜŞÜMLER 1 Dönüşüm kavramı Örnek 1. Eşmerkezli çemberlerin birbirine dönüşümü. c 1 çemberi gösterildiği gibi eşmerkezli c 2 çemberine dönüştürülür

Sonbahar Fizik ve Matematik Yoğun "100 Saat" POLYOMINE Damalı figürlerle oyunlar ve bulmacalar Khozin Mihail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 Ekim 2 Kasım 2016 POLYMONO NEDİR? Herkes domino bilir

7 şekil aşağıdaki resimlerde gösterildiği gibi nokta nokta çizilmiştir. C A G B F Aşağıdaki şekillerde şekilleri oluşturmak için bu elemanların nasıl kullanılacağını gösterin D E A) (puan 0 puan) B) (puan 0 puan) C) (3 puan

KULLANIM 2010. Matematik. Sorun B9. Çalışma Kitabı Smirnov V.A. (A. L. Semenov ve I. V. Yashchenko'nun editörlüğünde) M .: MTsNMO Yayınevi; 2010, USE 2010'un 48 sayfalık Matematik çalışma kitabı. Matematik serisi

1) Yarışma turunun IDm2014_006 cevapları 2) Takım lideri Poyarkova Olga Sergeevna 3) Teknik uygulayıcı (koordinatör) no 4) Yarışma turunun cevaplarını içeren web sayfasının URL'si (varsa) no 5) Tablo

10.1 (teknolojik profil), 10.2 (profil seviyesi) 2018-2019 akademik yılı Matematikte teste hazırlanmak için örnek görev bankası, "Geometri" bölümü (Atanasyan L.S. ders kitabı, profil seviyesi)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Düzenli, yarı düzenli ve yıldız şeklindeki çokyüzlüler Moskova MTsNMO Yayınevi 010

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI NOVOSIBIRSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ UZMANLIK EĞİTİM VE BİLİM MERKEZİ Matematik 0. Sınıf PARALEL TASARIM Novosibirsk I. Tasarım

2016 2017 öğretim yılı 5. sınıf 51 Girişte köşeli parantezleri ve eylem işaretlerini düzenleyin 2 2 2 2 2 böylece ortaya çıkar 24 52 Anya Salı, Çarşamba ve Perşembe günleri yalan söyler ve haftanın diğer tüm günlerinde doğruyu söyler

Konu 16. Çokyüzlü 1. Prizma ve elemanları: Bir prizma, iki yüzü paralel düzlemlerde yer alan eşit çokgenler ve geri kalan yüzler paralelkenar olan bir çokyüzlüdür.

Geometriden geometriye. PDA, Geometri, Üçüncü Ders (Maksimov D.V.) 28 Haziran 2017 Görsel geometri 3x3x3'lük bir küp, 13 beyaz ve 14 karanlık küpten oluşur. Hangi resimde var? Aşağıda gösterilen

7. Sınıf 7.1. Olimpiyatın 1000 katılımcısının bu sorunu doğru çözeceği ve aralarında kızlardan 43 erkek daha olacağı ortaya çıkabilir mi? 7.2. Lada ve Lera doğal sayı ile tahmin edildi. Eğer

Altay Bölgesi Zmeinogorsk Bölgesi Eğitim ve Gençlik İşleri İdare Komitesi Belediye bütçe eğitim kurumu "Gelişmiş Zmeinogorsk orta okulu

M. V. Lomonosov Moskova Devlet Üniversitesi Bilgisayar Bilimleri Fakültesi Akşam Matematik Okulu giriş sınavı (29 Eylül 2018) 8-9. Sınıflar 1. "Matematikçiler", "Fizikçiler" ve "Programcılar" takımları futbol oynadı

Abakan şehrinin belediye bütçe eğitim kurumu "Ortaokul 11" 1-4. sınıflar için "Genç matematikçi" çemberinin ders dışı etkinliklerinin PROGRAMI Ders dışı program

Tema I. Eşlik Problemi 1. 25 25 kare tablosu 25 renkle boyanmıştır, böylece her satır ve her sütun tüm renkleri içerir. Renklerin dizilişinin simetrik olduğunu kanıtlayın.

1. Kümeler. Kümeler Üzerinde İşlemler 1. Herhangi bir A, B kümesi için A \ (A \ B) AB eşitliğinin geçerli olduğu doğru mu? 2. Herhangi bir A, B kümesi için (A \ B) (B \ A) eşitliğinin olduğu doğru mu?

Bölüm kodu Gereksinimler (beceriler) final çalışması ödevleriyle test edildi Dördüncü sınıf öğrencileri için "Matematik" konulu açık ödev bankası Görevler 4. MEKANSAL İLİŞKİLER. GEOMETRİK

Çokyüzlülerin görüntüsü Belirli bir düzlem üzerindeki izdüşümüne benzer bir şekil, bir şeklin görüntüsü olarak alınır. Şeklin şekli hakkında doğru fikir veren bir resim seçilir,

5. Sınıf için görevler Dmitri Gushchin'in temel matematik web sitesi www.mathnet.spb.ru kutuda 5. Elinden gelenin en iyisini yaparsa kim kazanır? 2. 5 5 karesine bölen çizgiler çizilir

Krasnogvardeisky Bölge İdaresi Eğitim Departmanı Belediye eğitim kurumu "Kalinovskaya ortaokulu" Onaylıyorum: MBOU "Kalinovskaya ortaokulu" Müdürü Belousova

Geometride Onikinci Tüm Rusya Olimpiyatı. I. F. Sharygina On Dördüncü Sözlü Geometri Olimpiyatı Moskova, 17 Nisan 2016 Problemlerin çözümleri 8 9 sınıf 1. (A. Blinkov) Bir altıgen eşittir

Görevler G -11.5.16. S tarafı = P ana. * Prizmanın yan yüzeyini bulmak için H formülü -11.5.17. S tarafı = 1 P ana. * Piramidin yan 2 yüzeyini bulmak için h formülü 6. Çeşitli problemler Г-10.6.1.

VIII takım-kişisel turnuva "Her yerde Matematiksel" 27 Kasım 2015, Moskova Geometri (çözümler) Gençler Ligi 1. Bir daire ve akoru verilir. Akorun uçlarında daireye teğetler çizilir

1. Damalı kağıda bir şekil çizildi. 4 eşit parçaya bölün
damalı kağıt hatları boyunca parçalar. Tüm olası rakamları bul
sorunun durumuna göre bu rakamı kesebilirsiniz.
Çözüm.
2. 5 5 karesinden merkezi hücreyi kesin. Ortaya çıkanı kes
figürü iki şekilde iki eşit parçaya ayırın.
Çözüm.

3. 3×4 dikdörtgeni iki eşit parçaya bölün. Nasıl yapabileceğini bul
daha fazla yol Yalnızca 1 × 1 karenin kenarı boyunca kesebilirsiniz ve yöntemler
elde edilen rakamlar her biri için eşit değilse farklı kabul edilir
yol.
Çözüm.
4. Şekilde gösterilen şekli 2 eşit parçaya kesin.
Çözüm.
5. Şekilde gösterilen şekli 2 eşit parçaya kesin.

Çözüm.
6. Şekilde gösterilen şekli boylamasına iki eşit parçaya kesin.
ızgara çizgileri ve parçaların her birinde bir daire olmalıdır.
Çözüm.
7. Şekilde gösterilen şekli dört eşit parçaya kesin.

Çözüm.

8. Şekilde gösterilen şekli dört eşit parçaya kesin.
ızgara çizgileri boyunca ve parçaların her birinde bir daire olmalıdır.
Çözüm.
9. Bu kareyi hücrelerin kenarları boyunca kesin, böylece tüm parçalar
aynı boyutta ve şekilde olması ve her birinin bir tane içermesi
kupa ve çapraz.
Çözüm.

10. Şekilde gösterilen şekli ızgara çizgileri boyunca kesin.
dört eşit parça ve bunları bir kareye katlayın, böylece daireler ve haçlar
karenin tüm simetri eksenleri etrafında simetrik olarak yerleştirilmiştir.
Çözüm.
11. Şekilde gösterilen kare 6  6 hücrelerini dörde kesin.
aynı parçalar, böylece her biri üç dolu hücre içerir.

Çözüm.
12. Bir kareyi dört parçaya ayırmak mümkün müdür ki her parça
diğer üçüyle temas halindeydi (ortak bir noktaları varsa parçalar temas halindedir)
sınır bölgesi)?
Çözüm.
13. 9 4 hücreli bir dikdörtgeni iki eşit parçaya bölmek mümkün müdür?

o zaman nasıl yapılır?
Çözüm Böyle bir karenin alanı 36 hücre, yani kenarı 6'dır.
hücreler. Kesme yöntemi şekilde gösterilmiştir.

14. 5 10 hücreli bir dikdörtgeni iki eşit parçaya bölmek mümkün müdür?
Hücrelerin kenarları bir kare oluşturacak şekilde mi? Eğer evetse,
o zaman nasıl yapılır?
Çözüm Böyle bir karenin alanı 50 hücredir, yani kenarı
7'den fazla, ancak 8'den az tam hücre. Yani, böyle bir dikdörtgeni kesmek için
Hücrelerin kenarlarında istenilen şekilde olması imkansızdır.
15. 9 yaprak kağıt vardı. Bazıları üç parçaya bölündü. Toplam
15 yaprak oldu. Kaç yaprak kağıt kesildi?
Çözüm 3 yaprak kesin: 3 ∙ 3 + 6 = 15.