Özvektörler ve özdeğerler nelerdir? Özdeğerler ​​(sayılar) ve özvektörler Çözüm örnekleri

Siteye matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematiksel formül eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede açıklandığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha'nın otomatik olarak oluşturduğu resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. Basitliğe ek olarak, bu evrensel yöntem, sitenin arama motorlarında görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacaktır. Uzun süredir çalışıyor (ve bence sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki olarak modası geçmiş.

Sitenizde sürekli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesi kullanan web tarayıcılarında matematik notasyonunu görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, doğru zamanda uzak bir sunucudan otomatik olarak yüklenecek olan bir MathJax betiğini sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz (sunucu listesi); (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza yükleyin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. İkinci yöntem daha karmaşık ve zaman alıcıdır ve sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandırmanıza olanak tanır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlara rağmen daha basit, daha hızlı ve teknik beceri gerektirmediği için ilk yöntemi seçtim. Örneğimi takip edin ve 5 dakika içinde web sitenizde MathJax'in tüm özelliklerini kullanabileceksiniz.

Ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan MathJax kitaplığı komut dosyasına bağlanabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılması gerekir. Ve veya etiketten hemen sonra . İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu yapıştırırsanız, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli izlemenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol panelinde, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıdaki yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü içine kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve matematik formüllerini web sayfalarınıza yerleştirmeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine iterasyon denir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: 1 kenarı olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit kübe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzler boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Kalan 20 küçük küpten oluşan bir set ortaya çıkıyor. Bu küplerin her biri ile aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ederiz. Bu işleme süresiz devam ederek Menger süngerini elde ediyoruz.

HOMOJEN DOĞRUSAL DENKLEMLER SİSTEMİ

Bir homojen doğrusal denklem sistemi, bir form sistemidir.

Açıktır ki, bu durumda , Çünkü Bu belirleyicilerdeki sütunlardan birinin tüm elemanları sıfıra eşittir.

Bilinmeyenler formüllerle bulunduğundan , o zaman Δ ≠ 0 olduğu durumda, sistemin benzersiz bir sıfır çözümü vardır X = y = z= 0. Ancak birçok problemde homojen bir sistemin sıfırdan farklı çözümlerinin olup olmadığı sorusu ilgi çekicidir.

teorem. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin sıfır olmayan bir çözüme sahip olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.

Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, o zaman sistemin tek bir çözümü vardır. Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnekler.

Özvektörler ve Matris Özdeğerleri

Bir kare matris verilsin , X yüksekliği matrisin düzeniyle çakışan bir matris sütunudur A. .

Birçok problemde, denklemi dikkate almak gerekir. X

burada λ bir sayıdır. Herhangi bir λ için bu denklemin sıfır çözümü olduğu açıktır.

Bu denklemin sıfır olmayan çözümü olan λ sayısına denir. özdeğer matrisler A, A X böyle bir λ için denir kendi vektörü matrisler A.

Matrisin özvektörünü bulalım A. Çünkü E∙X=X, o zaman matris denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir: veya . Genişletilmiş formda, bu denklem bir doğrusal denklem sistemi olarak yeniden yazılabilir. Gerçekten .

Ve bu nedenle

Böylece, koordinatları belirlemek için bir homojen doğrusal denklem sistemimiz var. x 1, x2, x 3 vektör X. Sistemin sıfır olmayan çözümlere sahip olması için sistemin determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Bu, λ'ya göre 3. dereceden bir denklemdir. denir karakteristik denklem matrisler A ve λ özdeğerlerini belirlemeye yarar.

Her özdeğer λ bir özvektöre karşılık gelir X, koordinatları sistemden ilgili λ değerinde belirlenir.

Örnekler.

VEKTÖR CEBİR. VEKTÖR KONSEPTİ

Fiziğin çeşitli dallarını incelerken, örneğin uzunluk, alan, kütle, sıcaklık vb. sayısal değerleri ayarlanarak tamamen belirlenen nicelikler vardır. Bu tür değerlere skaler denir. Bununla birlikte, bunlara ek olarak, sayısal değerin yanı sıra uzaydaki yönlerinin de bilinmesi gereken, örneğin vücuda etki eden kuvvet, hız ve ivme gibi nicelikler de vardır. Vücudun uzayda hareket ettiğinde, uzayda belirli bir noktadaki manyetik alan şiddeti vb. Bu niceliklere vektör nicelikleri denir.

Kesin bir tanım getirelim.

yönlü segment Uçlarına göre hangisinin birinci hangisinin ikinci olduğu bilinen bir doğru parçası diyelim.

Vektör belirli bir uzunluğa sahip, yani yönlendirilmiş bir segment denir. Bu, onu sınırlayan noktalardan birinin başlangıç ​​​​ve ikincisinin bitiş olarak alındığı belirli bir uzunlukta bir segmenttir. Eğer A vektörün başlangıcıdır, B sonu ise, vektör sembolle gösterilir, ayrıca vektör genellikle tek bir harfle gösterilir. Şekilde, vektör bir parça ile ve yönü bir okla gösterilmiştir.

modül veya uzunluk vektör, onu tanımlayan yönlendirilmiş segmentin uzunluğu olarak adlandırılır. || ile gösterilir veya ||.

Başlangıcı ve sonu çakışan sözde sıfır vektörü de vektör olarak anılacaktır. İşaretlendi. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur ve modülü sıfır ||=0'a eşittir.

Vektörler ve denir doğrusal aynı hat üzerinde veya paralel hatlar üzerinde bulunuyorlarsa. Bu durumda, eğer ve vektörleri eşit yönlü ise, tersini yazacağız.

Aynı düzleme paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere ne ad verilir? aynı düzlemde.

İki vektör ve denir eşit eşdoğrusal iseler, aynı yöne sahiptirler ve uzunlukları eşittir. Bu durumda yazın.

Vektörlerin eşitliği tanımından, bir vektörün orijini uzayda herhangi bir noktaya yerleştirilerek kendisine paralel hareket ettirilebileceği sonucu çıkar.

Örneğin.

VEKTÖRLER ÜZERİNDE DOĞRUSAL İŞLEMLER

1. Bir vektörü bir sayı ile çarpmak.

   Bir vektörün λ sayısı ile çarpımı, aşağıdaki gibi yeni bir vektördür:

   Bir vektörün ve bir sayının çarpımı λ ile gösterilir.

   

   Örneğin, vektörle aynı yönü gösteren ve vektörün yarısı kadar uzunluğa sahip bir vektördür.

   Girilen işlem aşağıdakilere sahiptir özellikler:

2. Vektörlerin eklenmesi.

   Izin verin ve iki keyfi vektör olsun. Keyfi bir nokta alın Ö ve bir vektör oluşturun. Bundan sonra noktadan A vektörü bir kenara bırakın. Birinci vektörün başlangıcı ile ikinci vektörün sonunu birleştiren vektöre ne ad verilir? toplam bu vektörlerin ve gösterilir .

   

   Vektör toplamanın formüle edilmiş tanımına denir. paralelkenar kuralı, çünkü aynı vektör toplamı aşağıdaki gibi elde edilebilir. Noktadan bir kenara koyun Ö vektörler ve . Bu vektörler üzerinde bir paralelkenar oluşturun OABC. Vektörler olduğundan, tepe noktasından çizilen paralelkenarın köşegeni olan vektör Ö, açıkça vektörlerin toplamı olacaktır.

   

   Aşağıdakileri kontrol etmek kolaydır vektör toplama özellikleri.

3. Vektörlerin farkı.

   Belirli bir vektöre eşdoğrusal olan, uzunluğu eşit ve zıt yönlü bir vektöre ne ad verilir? zıt bir vektör için vektör ve ile gösterilir. Zıt vektör, λ = –1 sayısı ile vektör çarpımının sonucu olarak düşünülebilir: .

Bir kare matrisin özvektörü, belirli bir matrisle çarpıldığında doğrusal bir vektörle sonuçlanan bir özvektördür. Basit bir deyişle, bir matris bir özvektör ile çarpıldığında, ikincisi aynı kalır, ancak bir sayı ile çarpılır.

Tanım

Bir özvektör, bir kare matris M ile çarpıldığında kendisi haline gelen ve λ sayısı kadar artan sıfır olmayan bir V vektörüdür. Cebirsel gösterimde bu şöyle görünür:

M × V = λ × V,

burada λ, M matrisinin bir özdeğeridir.

Sayısal bir örnek ele alalım. Yazma kolaylığı için, matristeki sayılar noktalı virgülle ayrılacaktır. Diyelim ki bir matrisimiz var:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Bunu bir sütun vektörü ile çarpalım:

• V = -2;

Bir matrisi bir sütun vektörü ile çarptığımızda, ayrıca bir sütun vektörü elde ederiz. Katı matematik dilinde, 2 × 2 matrisi bir sütun vektörü ile çarpma formülü şöyle görünür:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11, M matrisinin birinci satır ve birinci sütunda yer alan elemanını, M22 ise ikinci satır ve ikinci sütunda yer alan elemanı ifade eder. Matrisimiz için bu elemanlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10'dur. Bir sütun vektörü için bu değerler V11 = -2, V21 = 1'dir. Bu formüle göre aşağıdakileri elde ederiz bir kare matrisin bir vektörle çarpımının sonucu:

• M × D = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Kolaylık sağlamak için sütun vektörünü bir satıra yazıyoruz. Böylece, kare matrisi vektörle (-2; 1) çarparak (4; -2) vektörünü elde ettik. Açıkçası, bu, λ = -2 ile çarpılan aynı vektördür. Lambda bu durumda matrisin bir özdeğerini belirtir.

Bir matrisin özvektörü, doğrusal bir vektördür, yani bir matrisle çarpıldığında uzaydaki konumunu değiştirmeyen bir nesnedir. Vektör cebirindeki eşdoğrusallık kavramı, geometrideki paralellik terimine benzer. Geometrik yorumlamada, eşdoğrusal vektörler, farklı uzunluklarda paralel yönlendirilmiş doğru parçalarıdır. Öklid zamanından beri, tek bir çizginin kendisine paralel sonsuz sayıda çizgiye sahip olduğunu biliyoruz, bu nedenle her matrisin sonsuz sayıda özvektöre sahip olduğunu varsaymak mantıklıdır.

Önceki örnekten, hem (-8; 4) hem de (16; -8) ve (32, -16)'nın özvektör olabileceği görülebilir. Tüm bunlar, λ = -2 özdeğerine karşılık gelen doğrusal vektörlerdir. Orijinal matrisi bu vektörlerle çarptığımızda, sonuç olarak orijinalden 2 kat farklı olan bir vektör elde edeceğiz. Bu nedenle, bir özvektör bulma problemlerini çözerken, sadece doğrusal olarak bağımsız vektör nesneleri bulmak gerekir. Çoğu zaman, bir n × n matris için, n'inci sayıda özvektör vardır. Hesaplayıcımız, ikinci dereceden kare matrislerin analizi için tasarlanmıştır, bu nedenle, çakıştıkları durumlar dışında neredeyse her zaman sonuç olarak iki özvektör bulunur.

Yukarıdaki örnekte, orijinal matrisin özvektörünü önceden biliyorduk ve lambda sayısını görsel olarak belirledik. Bununla birlikte, pratikte her şey tam tersi olur: başlangıçta özdeğerler ve ancak o zaman özvektörler vardır.

Çözüm algoritması

Orijinal M matrisine tekrar bakalım ve özvektörlerinin ikisini de bulmaya çalışalım. Böylece matris şöyle görünür:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Başlamak için, aşağıdaki matrisin determinantını hesaplamamız gereken özdeğer λ'yı belirlememiz gerekir:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Bu matris, bilinmeyen λ'nın ana köşegen üzerindeki elemanlardan çıkarılmasıyla elde edilir. Determinant, standart formülle belirlenir:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vektörümüzün sıfır olmaması gerektiğinden, ortaya çıkan denklemi lineer bağımlı olarak alır ve determinant detA'mızı sıfıra eşitleriz.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Parantezleri açalım ve matrisin karakteristik denklemini elde edelim:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

Bu, diskriminant cinsinden çözülmesi gereken standart bir ikinci dereceden denklemdir.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Diskriminantın kökü sqrt(D) = 14, dolayısıyla λ1 = -2, λ2 = 12. Şimdi her lambda değeri için bir özvektör bulmamız gerekiyor. λ = -2 için sistemin katsayılarını ifade edelim.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Bu formülde, E birim matristir. Elde edilen matrise dayanarak, bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

2x + 4y = 6x + 12y

burada x ve y özvektörün elemanlarıdır.

Soldaki tüm X'leri ve sağdaki tüm Y'leri toplayalım. Açıkçası - 4x = 8y. İfadeyi - 4'e bölün ve x = -2y elde edin. Şimdi, bilinmeyenlerin herhangi bir değerini alarak matrisin ilk özvektörünü belirleyebiliriz (doğrusal olarak bağımlı özvektörlerin sonsuzluğunu hatırlayın). y = 1, sonra x = -2 alalım. Bu nedenle, ilk özvektör V1 = (–2; 1) gibi görünür. Makalenin başına dönün. Bir özvektör kavramını göstermek için matrisi çarptığımız şey bu vektör nesnesiydi.

Şimdi λ = 12 için özvektörü bulalım.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Aynı lineer denklem sistemini oluşturalım;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x=y

Şimdi x = 1, dolayısıyla y = 3 alalım. Böylece, ikinci özvektör V2 = (1; 3) gibi görünür. Orijinal matrisi bu vektörle çarparken, sonuç her zaman aynı vektörün 12 ile çarpılması olacaktır. Bu, çözüm algoritmasını tamamlar. Artık bir matrisin özvektörünü manuel olarak nasıl tanımlayacağınızı biliyorsunuz.

• belirleyici;
• iz, yani ana köşegen üzerindeki elemanların toplamı;
• sıra, yani doğrusal olarak bağımsız satırların/sütunların maksimum sayısı.

Program yukarıdaki algoritmaya göre çalışarak çözüm sürecini en aza indirir. Programda lambda'nın "c" harfi ile gösterildiğine dikkat çekmek önemlidir. Sayısal bir örneğe bakalım.

Program örneği

Aşağıdaki matris için özvektörleri tanımlamaya çalışalım:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Bu değerleri hesap makinesinin hücrelerine girelim ve aşağıdaki formda cevabı alalım:

• Matris sıralaması: 2;
• Matris belirleyici: 18;
• Matris izi: 19;
• Özvektör hesabı: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristik denklem);
• Özvektör hesabı: 18 (ilk lambda değeri);
• Özvektör hesabı: 1 (ikinci lambda değeri);
• 1 vektörünün denklem sistemi: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• Vektör 2 denklem sistemi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Özvektör 1: (1; 1);
• Özvektör 2: (-3.25; 1).

Böylece, doğrusal olarak bağımsız iki özvektör elde ettik.

Çözüm

Doğrusal cebir ve analitik geometri, mühendislikteki herhangi bir birinci sınıf öğrencisi için standart konulardır. Çok sayıda vektör ve matris ürkütücüdür ve bu tür hantal hesaplamalarda hata yapmak kolaydır. Programımız, öğrencilerin hesaplamalarını kontrol etmelerini veya bir özvektör bulma problemini otomatik olarak çözmelerini sağlayacaktır. Kataloğumuzda başka doğrusal cebir hesaplayıcıları da var, bunları çalışmanızda veya işinizde kullanın.

Tanım 9.3. Vektör X isminde kendi vektörü matrisler A böyle bir sayı varsa λ, eşitliğin geçerli olduğu: A X= λ X, yani başvuru sonucu X matris tarafından verilen doğrusal dönüşüm A, bu vektörün sayı ile çarpımıdır λ . Numaranın kendisi λ isminde kendi numarası matrisler A.

Formüllerde yerine koyma (9.3) x`j = λxj ,özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz:

. (9.5)

Bu doğrusal homojen sistem, yalnızca ana determinantı 0 ise (Cramer kuralı) önemsiz olmayan bir çözüme sahip olacaktır. Bu koşulu şu şekilde yazarak:

özdeğerleri belirlemek için bir denklem elde ederiz λ isminde karakteristik denklem. Kısaca, aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

| A-λE | = 0, (9.6)

sol tarafı matrisin determinantı olduğundan A-λE. göre polinom λ | A-λE| isminde karakteristik polinom matrisler

Karakteristik polinomun özellikleri:

1) Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu, temel seçimine bağlı değildir. Kanıt. (bkz (9.4)), fakat buradan, . Böylece, baz seçimine bağlı değildir. Dolayısıyla ve | A-λE| yeni bir esasa geçişte değişmez.

2) Eğer matris A doğrusal dönüşüm simetrik(onlar. bir ij = bir ji), o zaman karakteristik denklemin (9.6) tüm kökleri gerçek sayılardır.

Özdeğerlerin ve özvektörlerin özellikleri:

1) Özvektörlerden bir baz seçersek x 1, x 2, x 3 özdeğerlere karşılık gelen λ 1 , λ 2 , λ 3 matrisler A, o zaman bu temelde doğrusal dönüşüm A bir köşegen matrise sahiptir:

(9.7) Bu özelliğin ispatı, özvektörlerin tanımından gelir.

2) Dönüşüm özdeğerleri ise A farklıysa, bunlara karşılık gelen özvektörler doğrusal olarak bağımsızdır.

3) Matrisin karakteristik polinomu ise Aüç farklı köke sahiptir, o zaman bazı temellerde matris A diyagonal bir şekle sahiptir.

Matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım Karakteristik denklemi yapalım: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Bulunan her değere karşılık gelen özvektörlerin koordinatlarını bulun λ. (9.5)'ten, eğer X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) karşılık gelen özvektördür λ 1 = -2, o zaman

işbirlikçi ama belirsiz bir sistemdir. Çözümü şu şekilde yazılabilir: X (1) ={A,0,-A), burada a herhangi bir sayıdır. Özellikle, buna ihtiyacınız varsa | X (1) |=1, X (1) =

Sisteme ikame (9.5) λ 2 =3, ikinci özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir sistem elde ederiz - X (2) ={y1,y2,y3}:

, Neresi X (2) ={b,-b,b) veya sağlanan | X (2) |=1, X (2) =

İçin λ 3 = 6 özvektörü bul X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={C,2c,c) veya normalleştirilmiş sürümde

x (3) = Görülüyor ki X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = M.Ö- 2MÖ + MÖ= 0. Böylece, bu matrisin özvektörleri ikili ortogonaldir.

Ders 10

İkinci dereceden formlar ve bunların simetrik matrislerle bağlantısı. Simetrik bir matrisin özvektörlerinin ve özdeğerlerinin özellikleri. İkinci dereceden bir formun kanonik bir forma indirgenmesi.

Tanım 10.1.ikinci dereceden biçim gerçek değişkenler x 1, x 2,…, x n bu değişkenlere göre ikinci dereceden bir polinom, serbest terim ve birinci derecenin terimlerini içermeyen olarak adlandırılır.

İkinci dereceden formlara örnekler:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Geçen derste verilen simetrik matrisin tanımını hatırlayın:

Tanım 10.2. Kare matris denir simetrik, eğer , yani ana köşegene göre simetrik matris elemanları eşitse.

Simetrik bir matrisin özdeğerlerinin ve özvektörlerinin özellikleri:

1) Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.

Kanıt (için N = 2).

matris olsun Aşuna benziyor: . Karakteristik denklemi yapalım:

(10.2) Ayrımcıyı bulun:

Bu nedenle, denklemin yalnızca gerçek kökleri vardır.

2) Simetrik bir matrisin özvektörleri ortogonaldir.

Kanıt (için N= 2).

Özvektörlerin koordinatları ve denklemleri sağlamalıdır.