Fonksiyonun maksimum artış oranını bulun. Bir fonksiyonun gradyanı nasıl bulunur?

Gradyan fonksiyonlar bulgusu, fonksiyonun kısmi türevlerinin tanımıyla ilişkili olan bir vektör miktarıdır. Gradyanın yönü, fonksiyonun skaler alanın bir noktasından diğerine en hızlı büyümesinin yolunu gösterir.

Talimat

1. Bir fonksiyonun gradyanıyla ilgili problemi çözmek için, diferansiyel hesap yöntemleri kullanılır, yani üç değişkende birinci dereceden kısmi türevler bulunur. Fonksiyonun kendisinin ve tüm kısmi türevlerinin, fonksiyonun tanım kümesinde süreklilik özelliğine sahip olduğu varsayılır.

2. Gradyan, yönü F fonksiyonundaki en hızlı artışın yönünü gösteren bir vektördür. Bunu yapmak için, grafikte vektörün uçları olan iki M0 ve M1 noktası seçilir. Gradyan değeri, fonksiyonun M0 noktasından M1 noktasına artış hızına eşittir.

3. Fonksiyon bu vektörün tüm noktalarında türevlenebilir, bu nedenle vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin tümü onun kısmi türevleridir. O zaman gradyan formülü şuna benzer: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, burada i, j, k birim vektör koordinatlarıdır. Başka bir deyişle, bir fonksiyonun gradyanı, koordinatları kısmi türevleri grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z) olan bir vektördür.

4. Örnek 1. F = sin (x z?) / y fonksiyonu verilsin. (?/6, 1/4, 1) noktasındaki gradyanını bulmak gerekmektedir.

5. Çözüm Herhangi bir değişkene göre kısmi türevleri belirleyin: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Ünlü nokta koordinatlarını değiştirin: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 çünkü (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Fonksiyon gradyan formülünü uygulayın: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Örnek 2. (1, 2, 1) noktasında F = y arсtg (z / x) fonksiyonunun gradyanının koordinatlarını bulun.

9. Çözüm F'_x \u003d 0 arktg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arktg(z/x) = arktg 1 = ?/4;F'_z = 0 arktg(z/x ) + y (yay(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Skaler alan gradyanı bir vektör miktarıdır. Bu nedenle, onu bulmak için, skaler alanın bölünmesi hakkındaki bilgilere dayanarak karşılık gelen vektörün tüm bileşenlerini belirlemek gerekir.

Talimat

1. Bir skaler alanın gradyanının ne olduğunu yüksek matematikle ilgili bir ders kitabında okuyun. Bildiğiniz gibi, bu vektör miktarının, skaler fonksiyonun maksimum bozunma oranı ile karakterize edilen bir yönü vardır. Belirli bir vektör miktarının böyle bir anlamı, bileşenlerini belirlemek için bir ifade ile doğrulanır.

2. Her vektörün, bileşenlerinin değerleri tarafından tanımlandığını unutmayın. Vektör bileşenleri aslında bu vektörün bir veya başka bir koordinat ekseni üzerindeki izdüşümleridir. Bu nedenle, eğer üç boyutlu uzay düşünülürse, vektörün üç bileşeni olmalıdır.

3. Bir alanın gradyanı olan bir vektörün bileşenlerinin nasıl belirlendiğini yazın. Böyle bir vektörün tüm koordinatları, koordinatı hesaplanan değişkene göre skaler potansiyelin türevine eşittir. Yani, alan gradyan vektörünün "x" bileşenini hesaplamanız gerekiyorsa, skaler işlevi "x" değişkenine göre türevlendirmeniz gerekir. Türevin bölüm olması gerektiğine dikkat edin. Bu, türev alırken, buna katılmayan kalan değişkenlerin sabit olarak kabul edilmesi gerektiği anlamına gelir.

4. Sayısal alan için bir ifade yazın. Bildiğiniz gibi, bu terim, her biri, aynı zamanda skaler nicelikler olan birkaç değişkenin yalnızca skaler bir fonksiyonu anlamına gelir. Bir skaler fonksiyonun değişken sayısı uzayın boyutuyla sınırlıdır.

5. Her değişkene göre skaler fonksiyonu ayrı ayrı ayırt edin. Sonuç olarak, üç yeni fonksiyona sahip olacaksınız. Skaler alanın gradyan vektörü için ifadedeki herhangi bir işlevi yazın. Elde edilen fonksiyonlardan herhangi biri, belirli bir koordinatın birim vektörü için gerçekten bir göstergedir. Bu nedenle, son gradyan vektörü, bir fonksiyonun türevleri olarak üslü bir polinom gibi görünmelidir.

Bir gradyanın temsilini içeren konuları ele alırken, her birini bir skaler alan olarak düşünmek daha yaygındır. Bu nedenle, uygun gösterimi tanıtmamız gerekiyor.

İhtiyacın olacak

• - Boom;
• - dolma kalem.

Talimat

1. İşlev u=f(x, y, z) olmak üzere üç bağımsız değişkenle verilsin. Bir fonksiyonun örneğin x'e göre kısmi türevi, kalan bağımsız değişkenlerin sabitlenmesiyle elde edilen bu bağımsız değişkene göre türevi olarak tanımlanır. Argümanların geri kalanı benzerdir. Kısmi türev gösterimi şu şekilde yazılır: df / dx \u003d u’x ...

2. Toplam diferansiyel du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz'ye eşit olacaktır Kısmi türevler, koordinat eksenlerinin yönlerinde türevler olarak anlaşılabilir. Sonuç olarak, M(x, y, z) noktasında belirli bir s vektörünün yönüne göre türevini bulma sorusu ortaya çıkar (s yönünün bir birim vektörü veya s^o'yu belirttiğini unutmayın). Bu durumda bağımsız değişkenlerin diferansiyel vektörü (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)) olur.

3. Du toplam diferansiyelinin biçimi göz önüne alındığında, M noktasında s yönüne göre türevinin şu şekilde olduğu sonucuna varmak mümkündür: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Eğer s= s(sx,sy,sz), o zaman yön kosinüsleri (cos(alfa), cos(beta), cos( gama)) hesaplanır (bkz. Şekil 1a).

4. Yöndeki türevin tanımı, M noktasını bir değişken olarak kabul ederek, nokta çarpım olarak yeniden yazılabilir: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Bu ifade, skaler bir alan için objektif olacaktır. Kolay bir fonksiyon düşünürsek gradf, koordinatları f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz) kısmi türevleriyle çakışan bir vektördür. )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Burada (i, j, k), dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vektörleridir.

5. Hamilton Nabla diferansiyel vektör operatörünü kullanırsak, o zaman gradf, bu operatör vektörünün skaler f ile çarpımı olarak yazılabilir (bkz. Şekil 1b). Gradf'in yönlü türev ile bağlantısı açısından, bu vektörler ortogonal ise (gradf, s^o)=0 eşitliği kabul edilebilir. Sonuç olarak, gradf genellikle bir skaler alanın en hızlı başkalaşımının yönü olarak tanımlanır. Ve diferansiyel işlemler açısından (gradf bunlardan biridir), gradf'ın özellikleri, fonksiyonların farklılaşmasının özelliklerini tam olarak tekrarlar. Özellikle f=uv ise gradf=(vgradu+ugradv) olur.

İlgili videolar

Gradyan bu, grafik düzenleyicilerde silueti bir rengin diğerine yumuşak geçişiyle dolduran bir araçtır. Gradyan bir silüete hacmin sonucunu verebilir, aydınlatmayı simüle edebilir, bir nesnenin yüzeyindeki ışık yansımalarını veya bir fotoğrafın arka planında gün batımının sonucunu verebilir. Bu aracın geniş bir kullanımı vardır, bu nedenle fotoğrafları işlemek veya çizimler oluşturmak için nasıl kullanılacağını öğrenmek çok önemlidir.

İhtiyacın olacak

• Bilgisayar, grafik düzenleyici Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net veya diğer.

Talimat

1. Görüntüyü programda açın veya yeni bir tane oluşturun. Bir silüet yapın veya görüntüde istediğiniz alanı seçin.

2. Grafik düzenleyicinin araç çubuğundaki Degrade aracını açın. Fare imlecini seçilen alan veya silüet içinde degradenin 1. renginin başlayacağı bir noktaya getirin. Sol fare düğmesini tıklayın ve basılı tutun. İmleci degradenin son renge geçmesi gereken noktaya getirin. Sol fare düğmesini bırakın. Seçilen silüet, degrade dolgu ile doldurulacaktır.

3. Gradyan Belirli bir dolgu noktasında saydamlığı, renkleri ve oranlarını ayarlamak mümkündür. Bunu yapmak için Degrade Düzenleme penceresini açın. Düzenleme penceresini Photoshop'ta açmak için Seçenekler panelinde degrade örneğine tıklayın.

4. Açılan pencerede mevcut degrade dolgu seçenekleri örnek olarak görüntülenir. Seçeneklerden birini düzenlemek için fareyle tıklayın.

5. Pencerenin altında kaydırıcılarla geniş bir ölçek şeklinde bir degrade örneği görüntülenir. Kaydırıcılar, degradenin belirtilen harmanlamalara sahip olması gereken noktaları gösterir ve kaydırıcılar arasındaki aralıkta, renk eşit olarak ilk noktada belirtilenden 2. noktanın rengine geçer.

6. Ölçeğin üst kısmında bulunan kaydırıcılar, degradenin şeffaflığını ayarlar. Saydamlığı değiştirmek için istediğiniz kaydırıcıya tıklayın. Ölçeğin altında, gerekli şeffaflık derecesini yüzde olarak gireceğiniz bir alan görünecektir.

7. Ölçeğin altındaki kaydırıcılar, degradenin renklerini ayarlar. Bunlardan birine tıklayarak istediğiniz rengi tercih edebileceksiniz.

8. Gradyan birden fazla geçiş rengine sahip olabilir. Başka bir renk ayarlamak için ölçeğin altındaki boş bir alana tıklayın. Üzerinde başka bir kaydırıcı görünecektir. Bunun için istediğiniz rengi ayarlayın. Ölçek, bir noktası daha olan bir degrade örneğini gösterecektir. İstediğiniz kombinasyonu elde etmek için kaydırıcıları farenin sol tuşu desteğiyle basılı tutarak hareket ettirebilirsiniz.

9. Gradyan Düz silüetlere şekil verebilen birkaç çeşidi vardır. Diyelim ki bir daireye top şeklini vermek için radyal gradyan, koni şeklini vermek için konik gradyan uygulanıyor. Yüzeye çıkıntı yanılsaması vermek için aynasal bir gradyan kullanılabilir ve vurgular oluşturmak için bir elmas gradyan kullanılabilir.

İlgili videolar

İlgili videolar

Uzayın her noktasında veya uzayın bir bölümünde belirli bir niceliğin değeri tanımlanmışsa, o zaman bu niceliğin alanının verildiği söylenir. Ele alınan değer skaler ise, alan skaler olarak adlandırılır, yani. sayısal değeri ile karakterize edilir. Örneğin, sıcaklık alanı. Skaler alan, u = /(M) noktasının skaler fonksiyonu ile verilir. Uzayda bir Kartezyen koordinat sistemi tanıtılırsa, o zaman x, yt z - M noktasının koordinatları olan üç değişkenli bir fonksiyon vardır: Tanım. Bir skaler alanın seviye yüzeyi, f(M) fonksiyonunun aynı değeri aldığı noktalar kümesidir. Seviye Yüzey Denklemi Örnek 1. Bir Skaler Alanın Seviye Yüzeylerini Bulma VEKTÖR ANALİZİ Skaler Alan Seviye Yüzeyleri ve Seviye Çizgileri Bir Skaler Alanın Yönlü Türev Gradyanı Temel Gradyan Özellikleri Değişmez Gradyan Tanımı Gradyan Hesaplama Kuralları -4 Tanım gereği, bir seviye yüzey denklemi olacaktır. Bu, orijinde merkezli bir kürenin (Ф 0 ile) denklemidir. Alan bir düzleme paralel tüm düzlemlerde aynıysa, bir skaler alan düz olarak adlandırılır. Belirtilen düzlem xOy düzlemi olarak alınırsa, alan işlevi z koordinatına bağlı olmayacak, yani yalnızca x ve y argümanlarının ve aynı zamanda anlamının bir işlevi olacaktır. Seviye çizgisi denklemi - Örnek 2. Bir skaler alanın seviye çizgilerini bulun Seviye çizgileri denklemlerle verilir c = 0'da bir çift çizgi, bir hiperbol ailesi elde ederiz (Şekil 1). 1.1. Yönlü türev Bir skaler fonksiyon u = /(Af) tarafından tanımlanan bir skaler alan olsun. Afo noktasını alalım ve I vektörünün belirlediği yönü seçelim. M0M vektörü 1 vektörüne paralel olacak şekilde başka bir M noktası alalım (Şekil 2). MoM vektörünün uzunluğunu A/ ile ve D1 yer değiştirmeye karşılık gelen /(Af) - /(Afo) fonksiyonunun artışını Di ile gösterelim. Oran, verilen yöne göre birim uzunluk başına skaler alanın ortalama değişim oranını belirler.Şimdi М0М vektörünün her zaman I vektörüne paralel kalması için sıfıra eğilim gösterelim.Tanım. D/O için (5) ilişkisinin sonlu bir sınırı varsa, o zaman bu, fonksiyonun belirli bir Afo noktasında verilen I yönüne türevi olarak adlandırılır ve zr!^ sembolü ile gösterilir. Yani tanım gereği, bu tanım koordinat sisteminin seçimi ile ilgili değildir, yani **değişken bir karaktere sahiptir. Kartezyen koordinat sisteminde yöne göre türev için bir ifade bulalım. / fonksiyonu bir noktada türevlenebilir olsun. /(Af) değerini bir noktada düşünün. O zaman fonksiyonun toplam artışı şu şekilde yazılabilir: burada ve sembolleri kısmi türevlerin Afo noktasında hesaplandığını gösterir. Dolayısıyla burada jfi, ^ nicelikleri vektörün yön kosinüsleridir. MoM ve I vektörleri eş-yönlü olduğundan, yön kosinüsleri aynıdır: türevler, fonksiyonun türevleridir ve harici nno ile koordinat eksenlerinin yönleri boyuncadır. Örnek 3. Fonksiyonun noktaya doğru türevini bulun Vektörün bir uzunluğu vardır. Yönü kosinüsler: Formül (9) ile elde edeceğiz Gerçek şu ki, belirli bir yaş yönündeki bir noktadaki skaler alan- Düz bir alan için, bir noktadaki I yönündeki türev formülle hesaplanır. a, I vektörünün Oh ekseni ile oluşturduğu açıdır. Zmmchmm 2. Belirli bir Afo noktasında I yönü boyunca türevi hesaplamak için formül (9), I vektörünün PrISchr 4 noktasında teğet olduğu bir eğri boyunca M noktası Mo noktasına meylettiğinde bile yürürlükte kalır. Afo(l, 1) noktasındaki skaler alanın türevi. Bu eğri doğrultusunda (artan apsis yönünde) bir parabole ait. Bir parabolün bir noktadaki yönü ], bu noktadaki parabole teğetin yönüdür (Şekil 3). Afo noktasındaki parabole teğet Ox ekseni ile bir o açısı oluştursun. O halde nereden bir teğetin kosinüs değerlerini ve bir noktadaki yönlendirme değerlerini hesaplayalım. Şimdi elde ettiğimiz formül (10) ile sahibiz. Daire yönündeki bir noktada skaler alanın türevini bulun. Dairenin vektör denklemi şu şekildedir. Daireye teğetin m birim vektörünü buluyoruz, nokta parametrenin değerine karşılık geliyor. Skaler Alan Gradyanı Bir skaler alanın, türevlenebilir olduğu varsayılan bir skaler fonksiyon tarafından tanımlanmasına izin verin. Tanım. Belirli bir M noktasındaki bir skaler alanın gradyanı, grad sembolü ile gösterilen ve eşitlikle tanımlanan bir vektördür. Bu vektörün hem / fonksiyonuna hem de türevinin hesaplandığı M noktasına bağlı olduğu açıktır. 1 yönde bir birim vektör olsun. O halde yönlü türev formülü aşağıdaki gibi yazılabilir: . bu nedenle, u fonksiyonunun 1 yönü boyunca türevi, u(M) fonksiyonunun gradyanının ve I yönünün 1° birim vektörünün skaler ürününe eşittir. 2.1. Gradyanın temel özellikleri Teorem 1. Skaler alan gradyanı, seviye yüzeyine (veya alan düz ise seviye çizgisine) diktir. (2) Herhangi bir M noktasından geçen düz bir yüzey u = const çizelim ve bu yüzey üzerinde M noktasından geçen düzgün bir L eğrisi seçelim (Şekil 4). L eğrisine M noktasında teğet bir vektör olayım. Düz yüzeyde herhangi bir Mj ∈ L noktası için u(M) = u(M|) olduğundan Öte yandan, = (gradu, 1°) . Bu yüzden. Bu, grad ve ve 1° vektörlerinin ortogonal olduğu anlamına gelir.Bu nedenle, grad ve vektörü, M noktasında seviye yüzeyine herhangi bir teğete ortogonaldir.Böylece, M noktasında seviye yüzeyinin kendisine ortogonaldir. Gradyan, artan alan fonksiyonu yönünde yönlendirilir. Daha önce, skaler alanın gradyanının, u(M) fonksiyonunun artışına veya azalmasına doğru yönlendirilebilen düz yüzeyin normali boyunca yönlendirildiğini kanıtladık. Artan fonksiyon ti(M) yönünde yönlendirilmiş düz yüzeyin normalini n ile gösteriniz ve u fonksiyonunun bu normal doğrultusunda türevini bulunuz (Şekil 5). Elimizde, Şekil 5'in durumuna göre ve bu nedenle VEKTÖR ANALİZİ Skaler alan Yüzeyler ve seviye çizgileri Yönlü türev Türev Skaler alan gradyan Gradyanın temel özellikleri Degradenin değişmez tanımı Eğimi hesaplama kuralları Bu gradyanı takip eder ve yönlendirilir normal n'yi seçtiğimiz yönle aynı yönde, yani artan fonksiyon u(M) yönünde. Teorem 3. Gradyanın uzunluğu, alanın belirli bir noktasında yöne göre en büyük türevi eşittir (burada, maksimum $, belirli bir M noktasından noktaya kadar tüm olası yönlerde alınır). 1 ve grad n vektörleri arasındaki açının nerede olduğunu bulduk.En büyük değer Örnek 1 olduğundan. Noktadaki skaler alanın en büyük iyonunun yönünü ve ayrıca bu en büyük değişimin belirtilen noktadaki büyüklüğünü bulun. Skaler alandaki en büyük değişimin yönü bir vektör ile gösterilir. Bizde bu vektör, alandaki en büyük artışın yönünü bir noktaya kadar belirler. Bu noktada alandaki en büyük değişimin değeri 2,2'dir. Eğimin değişmez tanımı İncelenen nesnenin özelliklerini karakterize eden ve koordinat sisteminin seçimine bağlı olmayan niceliklere verilen nesnenin değişmezleri denir. Örneğin, bir eğrinin uzunluğu bu eğrinin değişmezidir, ancak teğetin eğriye x ekseni ile yaptığı açı değişmez değildir. Skaler alan gradyanının yukarıdaki üç özelliğine dayanarak, gradyanın aşağıdaki değişmez tanımını verebiliriz. Tanım. Skaler alan gradyanı, artan alan fonksiyonu yönünde düz yüzeye normal boyunca yönlendirilmiş ve (belirli bir noktada) en büyük yönlü türevi eşit bir uzunluğa sahip bir vektördür. Artan alan yönünde yönlendirilmiş bir birim normal vektör olsun. Sonra Örnek 2. Mesafe gradyanını bulun - sabit bir nokta ve M(x,y,z) - geçerli olan. 4 Birim yön vektörünün nerede olduğunu bulduk. c'nin sabit bir sayı olduğu durumlarda gradyanı hesaplama kuralları. Yukarıdaki formüller, doğrudan gradyan tanımından ve türevlerin özelliklerinden elde edilir. Çarpımın türevi kuralına göre Kanıt, özelliğin ispatına benzer F(u) türevlenebilir bir skaler fonksiyon olsun. Daha sonra 4 gradyan tanımına göre, karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını sağ taraftaki tüm terimlere uygulamış oluyoruz. Özellikle Formül (6), formül düzleminden bu düzlemin iki sabit noktasına kadar devam eder. Odak noktaları Fj ve F] olan gelişigüzel bir elips düşünün ve elipsin bir odağından çıkan herhangi bir ışık ışınının elipsten yansıdıktan sonra diğer odağına girdiğini kanıtlayın. Fonksiyonun seviye çizgileri (7) VEKTÖR ANALİZİ Skaler alan Yüzeyler ve seviye çizgileri Yönlü türev Türev Skaler alan gradyan Gradyanın temel özellikleri Degradenin değişmez tanımı Gradyan hesaplama kuralları Denklemler (8), noktalarda odakları olan bir elips ailesini tanımlar F) ve Fj. Örnek 2'nin sonucuna göre, ve yarıçap vektörleri. F| odaklarından P(x, y) noktasına çizilir. ve Fj ve dolayısıyla bu yarıçap vektörleri arasındaki açının açıortayı üzerinde yer alır (Şekil 6). Tooromo 1'e göre, PQ gradyanı bu noktada elipse (8) diktir. Bu nedenle, Şekil 6. herhangi bir noktadaki elipsin (8) normali, bu noktaya çizilen yarıçap vektörleri arasındaki açıyı ikiye böler. Buradan ve geliş açısının yansıma açısına eşit olduğu gerçeğinden şunu elde ederiz: elipsin bir odağından çıkan ve ondan yansıyan bir ışık ışını, kesinlikle bu elipsin diğer odağına düşecektir.