Paralel borunun alanı nasıl hesaplanır. Farklı piramitlerin yanal yüzey alanı

Matematikte sınava hazırlanırken öğrenciler cebir ve geometri bilgilerini sistematize etmek zorundadırlar. Bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum, örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağı. Ayrıca taban ve yan yüzlerden başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerde durum açıksa, çünkü bunlar üçgendir, o zaman taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanını bulurken ne yapmalı?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: keyfi bir üçgenden bir n-gon'a. Ve bu taban, açı sayısındaki farka ek olarak, normal bir şekil veya yanlış bir şekil olabilir. Okul çağındaki çocukların ilgisini çeken KULLANIM görevlerinde, yalnızca tabanda doğru rakamların yer aldığı görevler vardır. Bu nedenle, sadece onlar hakkında konuşacağız.

sağ üçgen

Yani eşkenar. Tüm tarafların eşit olduğu ve "a" harfi ile gösterilen biri. Bu durumda, piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = (a 2 * √3) / 4.

Meydan

Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada "a" yine taraftır:

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı atamaya sahiptir. Köşe sayısı için Latin harfi n kullanılır.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n))).

Yanal ve toplam yüzey alanını hesaplarken nasıl ilerlenir?

Taban düzgün bir şekil olduğu için piramidin tüm yüzleri eşittir. Ayrıca, yan kenarlar eşit olduğu için her biri bir ikizkenar üçgendir. Ardından, piramidin yan alanını hesaplamak için, aynı monomiallerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız vardır. Terim sayısı, tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramitteki bu yüksekliğe apothem denir. Tanımı "A" dır. Yanal yüzey alanı için genel formül:

S \u003d ½ P * A, burada P, piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği, ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. O zaman piramidin yan alanını hesaplamak için böyle bir formül kullanması gerekiyor:

S = n/2 * 2 günah α'da .

Görev 1

Şart. Tabanı 4 cm'lik bir kenara sahipse ve apothem √3 cm'lik bir değere sahipse, piramidin toplam alanını bulun.

Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan, o zaman P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Özdeyiş bilindiğinden, tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabilirsiniz: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Tabandaki bir üçgen için aşağıdaki alan değeri elde edilecektir: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Tüm alanı belirlemek için iki sonuç değerini eklemeniz gerekecek: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Cevap. 10√3 cm2.

2. Görev

Şart. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban kenarının uzunluğu 7 mm, yan kenarı 16 mm'dir. Yüzey alanını bilmeniz gerekir.

Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan, tabanı karedir. Taban ve yan yüzlerin alanlarını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplamak mümkün olacaktır. Kare formülü yukarıda verilmiştir. Ve yan yüzlerde üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle, alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm 2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Şimdi bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Bu tür sadece dört üçgen vardır, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekir.

Çıkıyor: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Cevap. İstenen değer 267.576 mm2'dir.

Görev #3

Şart. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. İçinde karenin bir kenarı 6 cm ve yüksekliği 4 cm'dir.

Çözüm. En kolay yol, formülü çevrenin ve özdeyişin çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi biraz daha zor.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve onun, piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan özlü sözden oluştuğunu düşünmemiz gerekecek. İkinci ayak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.

Arzu edilen öz (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'dir.

Şimdi istediğiniz değeri hesaplayabilirsiniz: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Cevap. 96 cm2.

Görev #4

Şart. Tabanının doğru tarafı 22 mm, yan nervürler 61 mm'dir. Bu polihedronun yan yüzeyinin alanı nedir?

Çözüm.İçindeki mantık, 2 numaralı problemde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında bir kare olan bir piramit verildi ve şimdi bir altıgen.

Her şeyden önce, tabanın alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2

Şimdi yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Heron formülünü kullanarak bu tür her üçgenin alanını hesaplamak ve ardından altı ile çarpmak ve ortaya çıkana eklemek için kalır. temel.

Heron formülünü kullanan hesaplamalar: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Tüm yüzeyi bulmak için onları toplamaya devam ediyor: 5217.47≈5217 cm 2.

Cevap. Taban - 726√3 cm 2, yan yüzey - 3960 cm 2, tüm alan - 5217 cm 2.

Silindir, silindirik bir yüzey ve paralel olarak düzenlenmiş iki daireden oluşan bir şekildir. Bir silindirin alanını hesaplamak, matematiğin geometrik dalında oldukça basit bir şekilde çözülen bir problemdir. Bunu çözmek için, sonuç olarak her zaman tek bir formüle inen birkaç yöntem vardır.

Silindirin alanı nasıl bulunur - hesaplama kuralları

• Silindirin alanını bulmak için, yan yüzey alanına sahip iki taban alanı eklemeniz gerekir: S \u003d S tarafı + 2 S ana. Daha ayrıntılı bir versiyonda, bu formül şöyle görünür: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Belirli bir geometrik cismin yan yüzey alanı, yüksekliği ve tabanın altındaki dairenin yarıçapı biliniyorsa hesaplanabilir. Bu durumda, verilmişse yarıçapı çevreden ifade edebilirsiniz. Yükseklik, generatrix değeri koşulda belirtilmişse bulunabilir. Bu durumda, generatrix yüksekliğe eşit olacaktır. Belirli bir cismin yan yüzeyi için formül şöyle görünür: S= 2 π rh.
• Tabanın alanı, bir dairenin alanını bulma formülü ile hesaplanır: S osn= π r 2 . Bazı problemlerde yarıçap verilmeyebilir, ancak çevre verilir. Bu formülle yarıçap oldukça kolay ifade edilir. С=2π r, r= С/2π. Ayrıca yarıçapın çapın yarısı olduğu da unutulmamalıdır.
• Tüm bu hesaplamaları yaparken π sayısı genellikle 3.14159'a çevrilmez... Hesaplamalar sonucunda elde edilen sayısal değerin yanına eklemeniz yeterlidir.
• Ayrıca, sadece tabanın bulunan alanını 2 ile çarpmak ve elde edilen sayıya şeklin yan yüzeyinin hesaplanan alanını eklemek gerekir.
• Sorun, silindirin eksenel bir kesiti olduğunu gösteriyorsa ve bu bir dikdörtgen ise, çözüm biraz farklı olacaktır. Bu durumda, dikdörtgenin genişliği, gövdenin tabanında bulunan dairenin çapı olacaktır. Şeklin uzunluğu, generatrix veya silindirin yüksekliğine eşit olacaktır. İstenilen değerleri hesaplamak ve zaten bilinen bir formülde ikame etmek gerekir. Bu durumda, tabanın alanını bulmak için dikdörtgenin genişliği ikiye bölünmelidir. Yan yüzeyi bulmak için uzunluk iki yarıçap ve π sayısı ile çarpılır.
• Belirli bir geometrik cismin alanını hacminden hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için eksik değeri V=π r 2 h formülünden türetmeniz gerekir.
• Bir silindirin alanını hesaplamada zor bir şey yoktur. Sadece formülleri bilmeniz ve onlardan hesaplamalar için gerekli miktarları türetebilmeniz gerekir.

Piramidin yüzey alanı. Bu yazıda, düzenli piramitler ile ilgili sorunları sizinle birlikte ele alacağız. Bir düzgün piramidin, tabanı düzgün bir çokgen olan bir piramit olduğunu hatırlatmama izin verin, piramidin tepesi bu çokgenin merkezine yansıtılır.

Böyle bir piramidin yan yüzü bir ikizkenar üçgendir.Düzenli bir piramidin tepesinden çizilen bu üçgenin yüksekliğine bir özdeyiş denir, SF özdeyiştir:

Aşağıda sunulan problem türünde, tüm piramidin yüzey alanını veya yan yüzeyinin alanını bulmak gerekir. Blog, öğelerin (yükseklik, taban kenarı, yan kenar) bulunmasıyla ilgili sorunun ortaya çıktığı düzenli piramitler ile ilgili birkaç sorunu zaten ele aldı.

Sınavın görevlerinde kural olarak düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitler dikkate alınır. Düzenli beşgen ve yedigen piramitler ile ilgili sorunlar görmedim.

Tüm yüzeyin alanı için formül basittir - piramidin tabanının alanı ile yan yüzeyinin alanının toplamını bulmanız gerekir:

Görevleri düşünün:

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 72, yan kenarları 164'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanı, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir:

*Yan yüzey, eşit alana sahip dört üçgenden oluşur. Piramidin tabanı karedir.

Piramidin kenarının alanı aşağıdakiler kullanılarak hesaplanabilir:

Böylece piramidin yüzey alanı:

Cevap: 28224

Düzenli bir altıgen piramidin tabanının kenarları 22, yan kenarları 61'dir. Bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Düzgün altıgen piramidin tabanı düzgün altıgendir.

Bu piramidin yan yüzey alanı, kenarları 61.61 ve 22 olan altı eşit üçgen alanından oluşur:

Heron formülünü kullanarak bir üçgenin alanını bulun:

Yani yan yüzey alanı:

Cevap: 3240

*Yukarıda verilen problemlerde yan yüzün alanı farklı bir üçgen formülü kullanılarak bulunabilir ancak bunun için özdeyişi hesaplamanız gerekir.

27155. Taban kenarları 6 ve yüksekliği 4 olan düzgün bir dörtgen piramidin yüzey alanını bulun.

Bir piramidin yüzey alanını bulmak için taban alanını ve yan yüzey alanını bilmemiz gerekir:

Bir kenarı 6 olan bir kare olduğu için tabanın alanı 36'dır.

Yan yüzey, eşit üçgenler olan dört yüzden oluşur. Böyle bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir (özet):

* Bir üçgenin alanı, tabanın çarpımının yarısına ve bu tabana çizilen yüksekliğe eşittir.

Taban biliniyor, altıya eşit. Yüksekliğini bulalım. Bir dik üçgen düşünün (sarı ile vurgulanmıştır):

Bir bacak 4'e eşittir, çünkü bu piramidin yüksekliğidir, diğeri 3'e eşittir, çünkü tabanın kenarının yarısına eşittir. Hipotenüsü Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz:

Yani piramidin yan yüzeyinin alanı:

Böylece, tüm piramidin yüzey alanı:

Cevap: 96

27069. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 10, yan kenarları 13'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

27070. Düzenli bir altıgen piramidin tabanının kenarları 10, yan kenarları 13'tür. Bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı için formüller de vardır. Düzenli bir piramitte taban, yan yüzeyin dik bir izdüşümüdür, bu nedenle:

P- tabanın çevresi, ben- piramidin özeti

*Bu formül, bir üçgenin alan formülüne dayanmaktadır.

Bu formüllerin nasıl türetildiği hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız kaçırmayın, makalelerin yayınını takip edin.Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Silindir, iki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir gövdedir. Makalede, bir silindirin alanının nasıl bulunacağı hakkında konuşacağız ve formülü kullanarak örneğin birkaç problemi çözeceğiz.

Silindirin üç yüzeyi vardır: üst, alt ve yan yüzey.

Silindirin üstü ve altı dairelerdir ve tanımlanması kolaydır.

Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin (silindirin üstü ve altı) alan formülü πr 2 + πr 2 = 2πr 2 gibi görünecektir.

Silindirin üçüncü yan yüzeyi, silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi temsil etmek için, onu tanınabilir bir şekil elde edecek şekilde dönüştürmeye çalışalım. Bir silindirin, üst kapağı ve altı olmayan sıradan bir teneke kutu olduğunu hayal edin. Kavanozun yukarıdan aşağıya doğru yan duvarında dikey bir kesi yapalım (şekildeki Adım 1) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğunca açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).

Ortaya çıkan kavanozun tam olarak açıklanmasından sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (Adım 3), bu bir dikdörtgen. Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak kolaydır. Ama ondan önce, bir an için orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve bir dairenin çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı ile işaretlenmiştir.

Silindirin yan duvarı tamamen genişlediğinde, çevresinin elde edilen dikdörtgenin uzunluğu olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları çevresi (L = 2πr) ve silindirin yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının ürününe eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak, bir silindirin yan yüzey alanını hesaplamak için bir formül elde ettik.

Silindirin yan yüzeyinin alanı için formül
S tarafı = 2 saat

Silindirin tam yüzey alanı

Son olarak, üç yüzeyin alanını toplarsak, bir silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin tabanının alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade aynı formül 2πr (r + h) ile yazılır.

Silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r silindirin yarıçapıdır, h silindirin yüksekliğidir

Bir silindirin yüzey alanını hesaplama örnekleri

Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak bir silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.

1. Silindirin tabanının yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S tarafı. = 2 saat

S tarafı = 2 * 3.14 * 2 * 3

S tarafı = 6.28 * 6

S tarafı = 37.68

Silindirin yan yüzey alanı 37.68'dir.

2. Yükseklik 4 ve yarıçap 6 ise bir silindirin yüzey alanı nasıl bulunur?

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

- Bu, tabanında bir çokgen bulunan çokyüzlü bir şekildir ve kalan yüzler, ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerle temsil edilir.

Tabanı kare ise piramit denir dörtgen, eğer üçgen ise üçgensel. Piramidin yüksekliği, tepesinden tabana dik olarak çizilir. Ayrıca alanı hesaplamak için kullanılır özlü söz tepe noktasından alçaltılmış yan yüzün yüksekliğidir.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı için formül, yan yüzlerinin birbirine eşit olan alanlarının toplamıdır. Ancak, bu hesaplama yöntemi çok nadiren kullanılır. Temel olarak, piramidin alanı, tabanın çevresi ve özlü söz ile hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Tabanı ABCDE, tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevreyi bulalım. Tabanın tüm yüzleri eşit olduğundan, beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
Şimdi piramidin yan alanını bulabilirsiniz:

Düzenli üçgen piramidin alanı

Düzgün bir üçgen piramit, içinde düzgün bir üçgen bulunan bir tabandan ve alanı eşit olan üç yan yüzden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı formülü birçok şekilde hesaplanabilir. Çevre ve apothem üzerinden hesaplamak için normal formülü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulabilir ve üç ile çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğu için üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir özdeyiş ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Özü a = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde, piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
İlk önce, yan yüzlerden birinin alanını bulun. Bu durumda olacak:
Formüldeki değerleri değiştirin:
Normal bir piramitte tüm kenarlar aynı olduğundan, piramidin yan yüzeyinin alanı, üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesik piramidin alanı

kesilmiş Bir piramit, bir piramidin oluşturduğu ve tabanına paralel olan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların ve özdeyişin çevrelerinin toplamının yarısının çarpımına eşittir: