Ndani kryqin në figura me 5 qeliza. Detyrat e prerjes.docx - detyrat e prerjes

1. Një katror përmban 16 qeliza. Ndani katrorin në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave. (Mënyrat e prerjes së katrorit në dy pjesë do të konsiderohen të ndryshme nëse pjesët e katrorit të fituara me një metodë prerjeje nuk janë të barabarta me pjesët e fituara me një metodë tjetër.) Sa zgjidhje ka problemi?
2. Një drejtkëndësh 3x4 përmban 12 qeliza. Gjeni pesë mënyra për të prerë një drejtkëndësh në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave (metodat e prerjes konsiderohen të ndryshme nëse pjesët e marra nga një metodë prerjeje nuk janë të barabarta me pjesët e marra nga një metodë tjetër).
3. Drejtkëndëshi 3X5 përmban 15 qeliza dhe qeliza qendrore është hequr. Gjeni pesë mënyra për të prerë figurën e mbetur në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave.
4. Një katror 6x6 ndahet në 36 katrorë identikë. Gjeni pesë mënyra për të prerë një katror në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të katrorëve. Shënim: problemi ka më shumë se 200 zgjidhje.
5. Ndani katrorin 4x4 në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave. Sa mënyra të ndryshme prerjeje mund të gjeni?
6. Ndani figurën (Fig. 5) në tre pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të katrorëve.

7. Ndani figurën (Fig. 6) në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerë të shkojë përgjatë anëve të katrorëve.

8. Ndani figurën (Fig. 7) në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vijat e prera të shkojnë përgjatë anëve të katrorëve. Gjeni sa më shumë zgjidhje.

9. Ndani katrorin 5x5 me katrorin qendror të prerë në katër pjesë të barabarta.

10. Pritini figurat e paraqitura në figurën 8 në dy pjesë të barabarta përgjatë vijave të rrjetës dhe secila pjesë duhet të ketë një rreth.

11. Shifrat e paraqitura në figurën 9 duhet të priten përgjatë vijave të rrjetës në katër pjesë të barabarta në mënyrë që të ketë një rreth në secilën pjesë. Si ta bëjmë atë?

12. Pritini figurën e treguar në figurën 10 përgjatë vijave të rrjetës në katër pjesë të barabarta dhe palosni ato në një katror në mënyrë që rrathët dhe yjet të jenë simetrike rreth të gjitha boshteve të simetrisë së katrorit.

13. Pritini këtë katror (Fig. 11) përgjatë anëve të qelizave në mënyrë që të gjitha pjesët të kenë të njëjtën madhësi dhe formë dhe secila të përmbajë një rreth dhe një yll.

14. Prisni katrorin e letrës me kuadrate 6×6 të paraqitur në figurën 12 në katër pjesë të barabarta në mënyrë që secila prej tyre të përmbajë tre katrorë me ngjyra.

10. Një fletë katrore letre me kuadrate ndahet në katrorë më të vegjël nga segmente që kalojnë përgjatë anëve të qelizave. Vërtetoni se shuma e gjatësive të këtyre segmenteve është e pjesëtueshme me 4. (Gjatësia e anës së qelizës është 1).

Zgjidhje: Le të jetë Q një fletë letre katrore, L(Q) të jetë shuma e gjatësive të atyre anëve të qelizave që shtrihen brenda saj. Atëherë L(Q) pjesëtohet me 4, pasi të gjitha anët e konsideruara ndahen në katër anët, të marra nga njëra-tjetra me rrotullime prej 90 0 dhe 180 0 në raport me qendrën e katrorit.

Nëse katrori Q ndahet në katrorë Q 1 , …, Q n , atëherë shuma e gjatësive të segmenteve të pjesëtimit është e barabartë me

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Është e qartë se ky numër pjesëtohet me 4, pasi numrat L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) pjesëtohen me 4.

4. Invariante

11. Jepet një tabelë shahu. Lejohet të rilyhen në një ngjyrë të ndryshme të gjitha qelizat e çdo horizontale ose vertikale menjëherë. A mund të rezultojë kjo në një tabelë me saktësisht një katror të zi?

Zgjidhja: Rilyerja e një linje horizontale ose vertikale që përmban k qeliza të zeza dhe 8-k qeliza të bardha do të rezultojë në 8-k qeliza të zeza dhe k të bardha. Prandaj, numri i qelizave të zeza do të ndryshojë në (8-k)-k=8-2k, d.m.th. për një numër çift. Meqenëse barazia e numrit të qelizave të zeza është ruajtur, nuk mund të marrim një qelizë të zezë nga 32 qelizat origjinale të zeza.

12. Jepet një tabelë shahu. Lejohet të rilyhen në një ngjyrë të ndryshme të gjitha qelizat e vendosura brenda një katrori 2 x 2 menjëherë. A mund të mbetet saktësisht një qelizë e zezë në tabelë?

Zgjidhja: Ringjyrosje e një katrori 2 x 2 që përmban k qeliza të zeza dhe 4-k qeliza të bardha do të rezultojë në 4-k qeliza të zeza dhe k të bardha. Prandaj, numri i qelizave të zeza do të ndryshojë në (4-k)-k=4-2k, d.m.th. për një numër çift. Meqenëse barazia e numrit të qelizave të zeza është ruajtur, nuk mund të marrim një qelizë të zezë nga 32 qelizat origjinale të zeza.

13. Vërtetoni se një shumëkëndësh konveks nuk mund të pritet në një numër të kufizuar katërkëndëshësh jo konveks.

Zgjidhje: Supozojmë se një shumëkëndësh konveks M pritet në katërkëndësha jo konveks M 1 ,…, M n . Çdo shumëkëndëshi N i caktojmë një numër f(N) të barabartë me diferencën midis shumës së këndeve të tij të brendshme më të vogla se 180 dhe shumës së këndeve që plotësojnë këndet e tij me 360, më i madh se 180. Krahasoni numrat A=f(M) dhe B=f(M 1)+…+ f(M n). Konsideroni për këtë të gjitha pikat që janë kulmet e katërkëndëshave M 1 ..., M n . Ato mund të ndahen në katër lloje.

1. Kulmet e shumëkëndëshit M. Këto pika kontribuojnë në mënyrë të barabartë me A dhe B.

2. Pikat në anët e shumëkëndëshit M ose M 1. Kontributi i secilës pikë të tillë në B në

180 më shumë se në A.

3. Pikat e brendshme të shumëkëndëshit në të cilat takohen këndet e katërkëndëshit,

më pak se 180. Kontributi i secilës pikë të tillë në B është 360 më shumë se në A.

4. Pikat e brendshme të shumëkëndëshit M në të cilat këndet e katërkëndëshave konvergojnë dhe njëri prej tyre është më i madh se 180. Pika të tilla japin zero kontribut për A dhe B.

Si rezultat, marrim A<В. С другой стороны, А>0 dhe B=0. Pabarazia A > 0 është e dukshme dhe për të vërtetuar barazinë B=0 mjafton të kontrollojmë që nëse N është katërkëndësh jo konveks, atëherë f(N)=0. Le të jenë këndet N a>b>c>d. Çdo katërkëndësh jokonveks ka saktësisht një kënd më të madh se 180, kështu që f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Përftohet një kontradiktë, kështu që një shumëkëndësh konveks nuk mund të pritet në një numër të kufizuar katërkëndëshësh jo konveks.

14. Ka një çip në qendër të çdo qelize të tabelës së shahut. Patate të skuqura u riorganizuan në mënyrë që distancat në çift midis tyre të mos u ulën. Vërtetoni se në realitet distancat në çift nuk kanë ndryshuar.

Zgjidhja: Nëse të paktën një nga distancat midis çipave do të rritej, atëherë do të rritej edhe shuma e të gjitha distancave në çift midis çipave, por shuma e të gjitha distancave në çift midis çipave nuk ndryshon me ndonjë ndërrim.

15. Fusha katrore është e ndarë në 100 seksione identike katrore, 9 prej të cilave janë të mbingarkuara me barërat e këqija. Dihet që barërat e këqija në një vit shtrihen në ato dhe vetëm ato parcela në të cilat të paktën dy parcela ngjitur (d.m.th., që kanë një anë të përbashkët) tashmë janë të mbingarkuara me barërat e këqija. Vërtetoni se fusha nuk do të mbingarkohet kurrë plotësisht me barërat e këqija.

Zgjidhja: Është e lehtë të kontrollohet se gjatësia e kufirit të të gjithë zonës së barërave të këqija (ose disa zonave) nuk do të rritet. Në momentin fillestar nuk i kalon 4*9=36, prandaj në momentin përfundimtar nuk mund të jetë i barabartë me 40.

Rrjedhimisht, fusha nuk do të jetë kurrë plotësisht e mbingarkuar me barërat e këqija.

16. Jepet një kënd konveks 2m A 1 …А 2 m. Një pikë P është marrë brenda saj, jo e shtrirë në asnjë nga diagonalet. Vërtetoni se pika Р i përket një numri çift trekëndëshash me kulme në pikat А 1 ,…, А 2 m .

Zgjidhje: Diagonalet e ndajnë shumëkëndëshin në disa pjesë. Ne do të thërrasim fqinje ato prej tyre që kanë një anë të përbashkët. Është e qartë se mund të shkohet nga çdo pikë e brendshme e shumëkëndëshit në çdo pikë tjetër, duke kaluar çdo herë vetëm nga pjesa fqinje në atë fqinje. Një nga këto pjesë mund të konsiderohet edhe pjesa e rrafshit që shtrihet jashtë poligonit. Numri i trekëndëshave në shqyrtim për pikat e kësaj pjese është i barabartë me zero, ndaj mjafton të vërtetohet se gjatë kalimit nga një pjesë fqinje në një pjesë fqinje ruhet barazia e numrit të trekëndëshave.

Lëreni anën e përbashkët të dy pjesëve fqinje të shtrihet në PQ diagonale (ose anësore). Pastaj të gjithë trekëndëshat e konsideruar, përveç trekëndëshave me anë PQ, të dyja këto pjesë ose i përkasin ose nuk bëjnë pjesë. Prandaj, kur lëvizim nga një pjesë në tjetrën, numri i trekëndëshave ndryshon me k 1 -k 2 , ku k 1 është numri i kulmeve të shumëkëndëshit që shtrihen në njërën anë të PQ. Meqenëse k 1 +k 2 =2m-2, atëherë numri k 1 -k 2 është çift.

4. Ngjyrosje ndihmëse në modelin e shahut

17. Ka një brumbull në çdo katror të tabelës 5 x 5. Në një moment, të gjithë brumbujt zvarriten në qelizat ngjitur (horizontalisht ose vertikalisht). A lë domosdoshmërisht kjo një qelizë bosh?

Zgjidhja: Meqenëse numri i përgjithshëm i qelizave në një tabelë shahu 5 x 5 është tek, nuk mund të ketë numër të barabartë qelizash bardh e zi. Le të ketë më shumë qeliza të zeza për definicion. Pastaj ka më pak brumbuj të ulur në qeliza të bardha sesa qeliza të zeza. Prandaj, të paktën një nga qelizat e zeza mbetet bosh, pasi vetëm brumbujt e ulur në qeliza të bardha zvarriten mbi qelizat e zeza.

19. Vërtetoni se një tabelë me 10 x 10 katrorë nuk mund të pritet në figura në formë T-je të përbërë nga katër katrorë.

Zgjidhje: Le të supozojmë se dërrasa prej 10 x 10 katrorësh është e ndarë në figura të tilla. Çdo figurë përmban ose 1 ose 3 qeliza të zeza, d.m.th. gjithmonë një numër tek. Vetë shifrat duhet të jenë 100/4 = 25 copë. Prandaj, ato përmbajnë një numër tek qelizat e zeza, dhe gjithsej janë 100/2=50 qeliza të zeza. Është marrë një kontradiktë.

5. Probleme rreth ngjyrosjes

20. Avioni është i lyer me dy ngjyra. Vërtetoni se ekzistojnë dy pika me të njëjtën ngjyrë, distanca ndërmjet të cilave është saktësisht 1.

Zgjidhja: Konsideroni një trekëndësh të rregullt me ​​brinjën 1.

transkript

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskë, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme me prerje. M.: MTsNMO, f.: ill. Seria: "Sekretet e mësimdhënies së matematikës". Ky libër është libri i parë i serisë Sekretet e Mësimdhënies së Matematikës, i krijuar për të paraqitur dhe përmbledhur përvojën e grumbulluar në fushën e edukimit matematikor. Ky përmbledhje është një nga pjesët e lëndës “Zhvillimi i logjikës në klasat 5-7”. Për të gjitha problemet e dhëna në libër jepen zgjidhje ose udhëzime. Libri rekomandohet për punë jashtëshkollore në matematikë. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Hyrje Aktualisht, pikëpamja tradicionale e përbërjes së lëndëve të studiuara nga nxënësit e shkollës është duke u rishikuar dhe rafinuar. Në kurrikulën shkollore futen lëndë të reja të ndryshme. Një nga këto tema është logjika. Studimi i logjikës kontribuon në të kuptuarit e bukurisë dhe elegancës së arsyetimit, aftësisë për të arsyetuar, zhvillimin krijues të individit, edukimin estetik të një personi. Çdo person i kulturuar duhet të njihet me problemet logjike, enigmat, lojërat që njihen prej disa shekujsh apo edhe mijëvjeçarësh në shumë vende të botës. Zhvillimi i zgjuarsisë, zgjuarsisë dhe pavarësisë së të menduarit është i nevojshëm për çdo person nëse dëshiron të ketë sukses dhe të arrijë harmoninë në jetë. Përvoja jonë tregon se studimi sistematik i logjikës formale ose i fragmenteve të logjikës matematikore duhet të shtyhet në klasat e larta të shkollës së mesme. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të zhvillohet të menduarit logjik sa më shpejt që të jetë e mundur. Në fakt, gjatë studimit të lëndëve shkollore, arsyetimi dhe vërtetimi shfaqen vetëm në klasën e 7-të (kur fillon kursi sistematik i gjeometrisë). Për shumë studentë, tranzicioni i papritur (nuk kishte arsyetim u bë shumë arsyetim) është jashtëzakonisht i vështirë. Gjatë zhvillimit të logjikës për klasat 5-7, është mjaft e mundur t'u mësoni nxënësve të shkollave të arsyetojnë, të provojnë dhe të gjejnë modele. Për shembull, gjatë zgjidhjes së enigmave matematikore, jo vetëm që duhet të hamendësoni (marrni) disa përgjigje, por gjithashtu të provoni se është marrë një listë e plotë e përgjigjeve të mundshme. Është shumë mirë për një nxënës të klasës së 5-të. Por në procesin e mësimdhënies së logjikës në klasat 5-7 të shkollave të mesme, mësuesit përballen me vështirësi të caktuara: mungesën e teksteve, materialeve didaktike, manualeve dhe materialeve pamore. E gjithë kjo duhet të përpilohet, shkruhet dhe vizatohet nga vetë mësuesi. Një nga qëllimet e këtij koleksioni është t'ia lehtësojë mësuesit përgatitjen dhe zhvillimin e orëve. Ne do të japim disa rekomandime për zhvillimin e mësimeve përpara se të punoni me koleksionin.

4 4 Hyrje Është e dëshirueshme që nxënësve të shkollës t'u mësohet logjika nga klasa e pestë, e ndoshta edhe më herët. Logjika duhet të mësohet në një stil të relaksuar, pothuajse improvizues. Kjo butësi e dukshme në fakt kërkon shumë përgatitje serioze nga mësuesi. Është e papranueshme, për shembull, të korrigjohet një problem interesant dhe argëtues nga një fletore e trashë e shkruar me dorë, siç bëjnë ndonjëherë mësuesit. Ne ju rekomandojmë të zhvilloni klasa në një formë jo standarde. Është e nevojshme të përdoret sa më shumë material pamor në mësime: karta të ndryshme, figura, grupe figurash, ilustrime për zgjidhjen e problemeve, diagrame. Ju nuk duhet të merreni me studentë të rinj për të njëjtën temë për një kohë të gjatë. Kur analizoni një temë, duhet të përpiqeni të nënvizoni pikat kryesore logjike dhe të arrini një kuptim (dhe jo memorizimin) e këtyre pikave. Është e nevojshme që vazhdimisht të ktheheni në materialin e mbuluar. Kjo mund të bëhet në punë të pavarur, gara ekipore (gjatë mësimeve), teste në fund të tremujorit, olimpiada me gojë dhe me shkrim, matboys (jashtë orarit shkollor). Është gjithashtu e nevojshme të përdoren detyra argëtuese dhe komike në klasë, ndonjëherë është e dobishme të ndryshoni drejtimin e aktivitetit. Ky përmbledhje është një nga pjesët e lëndës "Zhvillimi i logjikës në klasat 5-7" "Probleme për prerje". Kjo pjesë u testua në mësimet e logjikës në klasat 5-7 të shkollës së liceut 74 në Omsk. Shumë shkencëtarë kanë qenë të dashur për prerjen e problemeve që nga kohërat e lashta. Zgjidhjet për shumë probleme të thjeshta të prerjes u gjetën nga grekët dhe kinezët e lashtë, por traktati i parë sistematik mbi këtë temë u shkrua nga Abul-Vef, astronomi i famshëm persian i shekullit të 10-të, i cili jetonte në Bagdad. Gjeometrit u angazhuan seriozisht në zgjidhjen e problemeve të prerjes së figurave në numrin më të vogël të pjesëve dhe më pas kompozimit të një ose një figure tjetër të re prej tyre vetëm në fillim të shekullit të 20-të. Një nga themeluesit e kësaj dege magjepsëse të gjeometrisë ishte përpiluesi i famshëm i enigmave Henry.

5 Hyrje 5 E. Dudeni. Një numër veçanërisht i madh i shifrave para-ekzistuese që prenë rekorde u thyen nga një ekspert në Zyrën Australiane të Patentave, Harry Lindgren. Ai është një prerës kryesor i figurave. Sot, adhuruesit e enigmave janë të dashur për zgjidhjen e problemeve prerëse, kryesisht sepse nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e problemeve të tilla, dhe të gjithë ata që marrin përsipër zgjidhjen e tyre mund të demonstrojnë plotësisht zgjuarsinë, intuitën dhe aftësinë e tyre për të menduar në mënyrë krijuese. Meqenëse këtu nuk kërkohet njohuri e thellë e gjeometrisë, amatorët ndonjëherë mund të tejkalojnë edhe matematikanët profesionistë. Në të njëjtën kohë, problemet e prerjes nuk janë joserioze ose të padobishme, ato nuk janë larg problemeve serioze matematikore. Nga problemet e prerjes, lindi teorema Boyai-Gervin që çdo dy poligone me madhësi të barabartë janë të përbëra në mënyrë të barabartë (e kundërta është e qartë), dhe më pas problemi i tretë i Hilbertit: a është e vërtetë një pohim i ngjashëm për poliedrat? Detyrat e prerjes i ndihmojnë nxënësit e shkollave të formojnë paraqitje gjeometrike sa më shpejt që të jetë e mundur në një shumëllojshmëri materialesh. Kur zgjidhni probleme të tilla, ekziston një ndjenjë e bukurisë, ligjit dhe rendit në natyrë. Koleksioni "Probleme për prerje" është i ndarë në dy seksione. Gjatë zgjidhjes së problemeve nga pjesa e parë, nxënësit nuk do të kenë nevojë për njohuri mbi bazat e planimetrisë, por do të kenë nevojë për zgjuarsi, imagjinatë gjeometrike dhe informacion mjaft të thjeshtë gjeometrik që është i njohur për të gjithë. Seksioni i dytë është detyra opsionale. Këto përfshinin detyra, zgjidhja e të cilave do të kërkojë njohuri të informacionit bazë gjeometrik për figurat, vetitë dhe veçoritë e tyre, njohuri për disa teorema. Secila pjesë është e ndarë në paragrafë, në të cilët ne u përpoqëm të kombinonim detyrat për një temë, dhe ato, nga ana tjetër, ndahen në mësime që përmbajnë secilën detyrë homogjene në mënyrë që të rritet vështirësia. Seksioni i parë përmban tetë paragrafë. 1. Detyra në letër me kuadrate. Ky seksion përmban probleme në të cilat prerja e figurave (kryesisht katrore dhe drejtkëndësha) shkon përgjatë anëve të qelizave. Paragrafi përmban 4 mësime, i rekomandojmë për studim nga nxënësit e klasës së 5-të.

6 6 Hyrje 2. Pentomino. Ky paragraf përmban detyra që lidhen me figurat e pentominës, ndaj për këto mësime këshillohet që fëmijëve t'u shpërndahen grupe të këtyre figurave. Këtu ka dy mësime, i rekomandojmë për mësim nga nxënësit e klasave 5-6. 3. Detyra të vështira të prerjes. Këtu janë mbledhur detyra për prerjen e formave të një forme më komplekse, për shembull, me kufij që janë harqe, dhe detyra më komplekse për prerje. Në këtë paragraf ka dy mësime, rekomandojmë që të mësohen në klasën e 7-të. 4. Ndarja e aeroplanit. Këtu janë mbledhur problemet në të cilat ju duhet të gjeni ndarje të forta drejtkëndëshash në pllaka drejtkëndëshe, probleme për përpilimin e parketeve, probleme për paketimin më të dendur të formave në një drejtkëndësh ose katror. Ju rekomandojmë që ta studioni këtë paragraf në klasat 6-7. 5. Tangram. Këtu janë mbledhur detyrat që lidhen me enigmën e lashtë kineze "Tangram". Për këtë mësim, është e dëshirueshme që ta keni këtë enigmë, të paktën prej kartoni. Ky seksion rekomandohet për të studiuar në klasën e 5-të. 6. Probleme për prerje në hapësirë. Këtu nxënësit njihen me zhvillimin e një kubi, një piramide trekëndore, vizatohen paralele dhe tregohen dallimet midis figurave në rrafsh dhe trupave tredimensionale, që do të thotë dallime në zgjidhjen e problemeve. Paragrafi përmban një mësim, të cilin ne e rekomandojmë për ta studiuar nga nxënësit e klasës së 6-të. 7. Detyra për ngjyrosje. Tregon se si ngjyrosja e një forme ndihmon në zgjidhjen e një problemi. Nuk është e vështirë të vërtetohet se zgjidhja e problemit të prerjes së një figure në pjesë është e mundur, mjafton të sigurohet një mënyrë prerjeje. Por të vërtetosh se prerja është e pamundur është më e vështirë. Ngjyrosja e figurës na ndihmon ta bëjmë këtë. Ka tre mësime në këtë paragraf. Rekomandohen për studim nga nxënësit e klasës së 7-të. 8. Detyrat me ngjyrosje në gjendje. Këtu janë mbledhur detyrat në të cilat duhet të ngjyrosni një figurë në një mënyrë të caktuar, përgjigjuni pyetjes: sa ngjyra nevojiten për një ngjyrosje të tillë (numri më i vogël ose më i madh) etj. Janë shtatë mësime në paragrafin. I rekomandojmë për mësim nga nxënësit e klasës së 7-të. Seksioni i dytë përfshin detyra që mund të zgjidhen në klasa shtesë. Ai përmban tre paragrafë.

7 Hyrje 7 9. Transformimi i figurave. Ai përmban detyra në të cilat një figurë pritet në pjesë nga të cilat përbëhet një figurë tjetër. Në këtë paragraf ka tre mësime, i pari ka të bëjë me "transformimin" e figurave të ndryshme (këtu janë mbledhur detyra mjaft të lehta), dhe mësimi i dytë ka të bëjë me gjeometrinë e shndërrimit të një katrori. 10. Detyra të ndryshme për prerje. Kjo përfshin detyra të ndryshme të prerjes që zgjidhen me metoda të ndryshme. Ka tre mësime në këtë pjesë. 11. Zona e figurave. Ka dy mësime në këtë pjesë. Në mësimin e parë shqyrtohen problemet, në zgjidhjen e të cilave është e nevojshme të priten figurat në pjesë, dhe më pas të vërtetohet se figurat janë të përbëra në mënyrë të barabartë, në mësimin e dytë, problemet në zgjidhjen e të cilave duhet të përdoren. vetitë e sipërfaqeve të figurave.

8 Pjesa 1 1. Detyrat në letër me kuadrate Mësimi 1.1 Tema: Detyrat për prerjen në letër me kuadrate. Qëllimi: Të zhvillojë aftësi kombinuese (të shqyrtojë mënyra të ndryshme të ndërtimit të një linje të prerë figurash, rregullat që lejojnë të mos humbasin zgjidhjet gjatë ndërtimit të kësaj linje), të zhvillojnë ide për simetrinë. Zgjidhim problema në mësim, problema 1.5 për shtëpinë Sheshi përmban 16 qeliza. Ndani katrorin në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave. (Mënyrat e prerjes së katrorit në dy pjesë do të konsiderohen të ndryshme nëse pjesët e katrorit të fituara me një metodë prerjeje nuk janë të barabarta me pjesët e fituara me një metodë tjetër.) Sa zgjidhje ka problemi? Udhëzim. Gjetja e disa zgjidhjeve për këtë problem nuk është aq e vështirë. Në fig. 1, disa prej tyre janë paraqitur, dhe zgjidhjet b) dhe c) janë të njëjta, pasi shifrat e marra në to mund të kombinohen me mbivendosje (nëse rrotulloni katrorin c) me 90 gradë). Oriz. 1 Por të gjesh të gjitha zgjidhjet dhe të mos humbasësh asnjë zgjidhje është tashmë më e vështirë. Vini re se vija e thyer që ndan katrorin në dy pjesë të barabarta është simetrike në lidhje me qendrën e katrorit.Ky vëzhgim na lejon të hapim

9 Mësim pas hapi për të vizatuar një polivijë nga dy skajet. Për shembull, nëse fillimi i polivijës është në pikën A, atëherë fundi i saj do të jetë në pikën B (Fig. 2). Sigurohuni që për këtë problem, fillimi dhe fundi i polivijës mund të vizatohen në dy mënyra, të paraqitura në Fig. 2. Kur ndërtoni një vijë të thyer, për të mos humbur asnjë zgjidhje, mund të ndiqni këtë rregull. Nëse lidhja tjetër e polilinës mund të vizatohet në dy mënyra, atëherë së pari duhet të përgatisni një vizatim të dytë të ngjashëm dhe ta kryeni këtë hap në njërën vizatim në mënyrën e parë dhe në anën tjetër në mënyrën e dytë (Fig. 3 tregon dy vazhdimet e Fig. 2 (a)). Në mënyrë të ngjashme, ju duhet të veproni kur nuk ka dy, por tre metoda (Fig. 4 tregon tre vazhdime të Fig. 2 (b)). Procedura e specifikuar ndihmon për të gjetur të gjitha zgjidhjet. Oriz. 2 Fig. 3 Drejtkëndëshi i orizit 3 4 përmban 12 qeliza. Gjeni pesë mënyra për të prerë një drejtkëndësh në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave (metodat e prerjes konsiderohen të ndryshme nëse pjesët e marra me një metodë prerjeje nuk janë të barabarta me pjesët e marra me një metodë tjetër) Drejtkëndësh 3 5 përmban 15 qeliza dhe një qelizë qendrore është hequr. Gjeni pesë mënyra për të prerë figurën e mbetur

10 10 1. Detyrat në letër me kuadrate ndahen në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave.Katrori 6 6 ndahet në 36 katrorë identikë. Gjeni pesë mënyra për të prerë një katror në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të katrorëve Problemi 1.4 ka mbi 200 zgjidhje. Gjeni të paktën 15 prej tyre. Mësimi 1.2 Tema: Probleme për prerjen në letër me kuadrate. Qëllimi: Të vazhdojë të zhvillojë ide rreth simetrisë, përgatitje për temën "Pentamino" (konsiderimi i figurave të ndryshme që mund të ndërtohen nga pesë qeliza). Problemet A mund të pritet një katror me 5 5 qeliza në dy pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave? Arsyetoni përgjigjen tuaj Ndani katrorin 4 4 në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të qelizave. Sa mënyra të ndryshme prerjeje mund të gjeni? 1.8. Ndani figurën (Fig. 5) në tre pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të katrorëve. Oriz. 5 Fig. Fig. 6 Ndani figurën (Fig. 6) në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vija e prerjes të shkojë përgjatë anëve të katrorëve Ndani figurën (Fig. 7) në katër pjesë të barabarta në mënyrë që vijat e prera të shkojnë përgjatë anëve të katrore. Gjeni sa më shumë zgjidhje.

11 Mësimi Ndani një katror me 5 5 qeliza me një qelizë qendrore të prerë në katër pjesë të barabarta. Mësimi 1.3 Tema: Prerja e problemeve në letër me kuadrate. Qëllimi: Të vazhdojë të zhvillojë ide rreth simetrisë (boshtore, qendrore). Detyrat Pritini format e paraqitura në fig. 8, në dy pjesë të barabarta përgjatë vijave të rrjetës, dhe në secilën prej pjesëve duhet të ketë një rreth. Oriz. 8 Figura Shifrat e paraqitura në fig. 9, është e nevojshme të pritet përgjatë vijave të rrjetës në katër pjesë të barabarta në mënyrë që të ketë një rreth në secilën pjesë. Si ta bëjmë atë? Pritini figurën e treguar në Fig. 10, përgjatë vijave të rrjetës në katër pjesë të barabarta dhe palosni ato në një katror në mënyrë që rrathët dhe yjet të renditen në mënyrë simetrike rreth të gjitha boshteve të simetrisë së katrorit. Oriz. 10

12 12 1. Detyrat në letër me kuadrate Pritini këtë katror (Fig. 11) përgjatë anëve të qelizave në mënyrë që të gjitha pjesët të jenë të së njëjtës madhësi dhe formë dhe secila të përmbajë një rreth dhe një yll. 12 në katër pjesë identike në mënyrë që secila prej tyre të përmbajë tre qeliza të mbushura. Mësimi 1.4 11 Fig. 12 Tema: Probleme për prerjen në letër me kuadrate. Qëllimi: Mësoni të prisni një drejtkëndësh në dy pjesë të barabarta, nga të cilat mund të shtoni një katror, ​​një drejtkëndësh tjetër. Mësoni të përcaktoni se nga cilat drejtkëndësha, duke i prerë ato, mund të bëni një katror. Detyrat Detyrat shtesë 1.23, 1.24 (këto detyra mund të merren parasysh në fillim të mësimit për ngrohje) Pritini drejtkëndëshin 4 9 qeliza përgjatë anëve të qelizave në dy pjesë të barabarta në mënyrë që ato të mund të palosen në një kanaçe katrore një drejtkëndësh 4 8 qeliza të pritet në dy pjesë përgjatë anëve të qelizave në mënyrë që ato të formojnë një katror? Nga një drejtkëndësh prej 10 7 qelizash, u pre një drejtkëndësh prej 1 6 qelizash, siç tregohet në Fig. 13. Pritini figurën që rezulton në dy pjesë në mënyrë që ato të mund të palosen në një katror.Figurat e mbushura janë prerë nga një drejtkëndësh prej 8 9 qelizash, siç tregohet në fig. 14. Pritini figurën që rezulton në dy pjesë të barabarta në mënyrë që të shtoni një drejtkëndësh prej 6 10 prej tyre.

13 Mësimi Fig. 13 Oriz Një katror me 5 5 qeliza vizatohet në letër me kuadrate. Tregoni se si të pritet përgjatë anëve të qelizave në 7 drejtkëndësha të ndryshëm Prisni katrorin në 5 drejtkëndësha përgjatë anëve të qelizave në mënyrë që të dhjetë numrat që shprehin gjatësinë e brinjëve të drejtkëndëshave të jenë numra të plotë të ndryshëm Ndani figurat e paraqitura në fig. . 15, në dy pjesë të barabarta. (Ju mund të shkurtoni jo vetëm përgjatë linjave qelizore, por edhe përgjatë diagonaleve të tyre.) Fig. 15

14 14 2. Pentomino Pritini figurat e paraqitura në fig. 16, në katër pjesë të barabarta. 2. Pentomino Fig. 16 Mësimi 2.1 Tema: Pentomino. Qëllimi: Zhvillimi i aftësive kombinuese të nxënësve. Detyrat Figurat e domino, tromino, tetramino (një lojë me figura të tilla quhet Tetris), pentomino përbëhen nga dy, tre, katër, pesë katrorë në mënyrë që çdo katror të ketë një anë të përbashkët me të paktën një katror. Nga dy katrorë identikë, mund të bëhet vetëm një figurë domino (shih Fig. 17). Figurat e Triminos mund të merren nga një figurë e vetme domino duke i bashkangjitur një katror tjetër në mënyra të ndryshme. Do të merrni dy figura tromino (Fig. 18). Oriz. 17 Oriz Bëni të gjitha llojet e figurave tetramine (nga fjala greke "tetra" katër). Sa morën? (Format e marra me rrotullim ose shfaqje simetrike nga ndonjë tjetër nuk konsiderohen të reja).

15 Mësimi Bëni të gjitha figurat e mundshme të pentomino (nga greqishtja "penta" pesë). Sa morën? 2.3. Kompozoni figurat e paraqitura në Fig. 19, nga figurina pentomino. Sa zgjidhje ka problemi për secilën figurë? Figura Palosni një drejtkëndësh 3 5 me copa pentomino. Sa zgjidhje të ndryshme do të merrni? 2.5. Kompozoni figurat e paraqitura në Fig. 20, nga figurina pentomino. Oriz. 20

16 16 2. Pentomino Mësimi 2.2 Tema: Pentomino. Qëllimi: Zhvillimi i ideve për simetrinë. Problemet Në problemin 2.2 kemi krijuar të gjitha pjesët e mundshme të pentominës. Shikoni ato në fig. 21. Fig. 21 Figura 1 ka vetinë e mëposhtme. Nëse pritet nga letra dhe përkulet përgjatë vijës së drejtë a (Fig. 22), atëherë njëra pjesë e figurës do të përkojë me tjetrën. Figura thuhet se është simetrike në lidhje me boshtin e drejtë të simetrisë. Figura 12 gjithashtu ka një bosht simetrie, madje dy prej tyre janë drejtëza b dhe c, ndërsa figura 2 nuk ka boshte simetrie. Figura Sa boshte simetrie ka secila figurë pentomino? 2.7. Nga të gjitha 12 figurat pentomino, palosni një drejtkëndësh. Pjesët josimetrike lejohen të kthehen. Palosni një drejtkëndësh 6 10 prej dymbëdhjetë figurash pentomino dhe në mënyrë që secili element të prekë njërën anë të këtij drejtkëndëshi.

Mësimi 17 Prisni drejtkëndëshin e treguar në fig. 23 (a), përgjatë vijave të brendshme në dy pjesë të tilla, nga të cilat është e mundur të paloset një figurë me tre vrima katrore në madhësinë e një qelize (Fig. 23 (b)). Fig. Nga figurat pentomino, palosni një katror 8 8 me një katror 2 2 të prerë në mes. Gjeni disa zgjidhje Dymbëdhjetë pentomino vendosen në një drejtkëndësh Rivendosni kufijtë e figurave (Fig. 24) nëse secili yll bie saktësisht në një pentomino. Oriz. 24 Fig. Dymbëdhjetë pjesë pentomino janë stivuar në një kuti 12 10, siç tregohet në fig. 25. Provoni të vendosni një grup tjetër pentomino në fushën e mbetur të lirë.

18 18 3. Probleme të vështira të prerjes 3. Probleme të vështira të prerjes Mësimi 3.1 Tema: Probleme për prerjen e formave të një forme më komplekse me kufij që janë harqe. Qëllimi: Të mësoni se si të prisni forma të një forme më komplekse me kufij që janë harqe dhe të bëni një katror nga pjesët që rezultojnë. Detyrat Në fig. 26 tregon 4 figura. Me një prerje ndani secilën prej tyre në dy pjesë dhe bëni një katror prej tyre. Letra me kuadrate do ta bëjë më të lehtë zgjidhjen e problemit. Orizi Duke e prerë katrorin 6 6 në pjesë, shtoni figurat e paraqitura në fig. 27. Fig. 27

19 Mësimi 28 tregon një pjesë të murit të fortesës. Njëri prej gurëve ka një formë kaq të çuditshme, saqë nëse e nxirrni nga muri dhe e vendosni ndryshe, muri do të bëhet i barabartë. Vizatoni këtë gur Për çfarë do të përdoret më shumë bojë: për të lyer një katror apo për këtë unazë të pazakontë (Fig. 29)? Oriz. 28 Oriz Prisni vazon e treguar në fig. 30, në tre pjesë, nga të cilat mund të paloset një romb. Oriz. 30 Fig. 31 Fig. 32 Mësimi 3.2 Tema: Probleme më komplekse të prerjes. Objektivi: Të praktikohet në zgjidhjen e problemeve më komplekse të prerjes. Zgjidhim problema në mësim, problema 3.12 për shtëpi Prisni figurën (Fig. 31) me dy prerje të drejta në pjesë të tilla nga të cilat mund të shtoni një katror 32 figura në katër pjesë të barabarta, nga të cilat do të ishte e mundur të shtoni një katror Pritini shkronjën E, të paraqitur në fig. 33, në pesë pjesë dhe i palosim në një katror. Mos i ktheni pjesët me kokë poshtë

20 20 4. Lejohet ndarja e avionit. A është e mundur të kalosh me katër pjesë, nëse lejoni që pjesët të kthehen me kokë poshtë? 3.9. Kryqi, i përbërë nga pesë katrorë, duhet të pritet në pjesë të tilla, nga të cilat mund të bëhet një kryq me madhësi të barabartë (d.m.th., i barabartë në sipërfaqe) katror. Janë dhënë dy tabela shahu: një e zakonshme, në 64 qeliza dhe një tjetër në 36 qeliza. Kërkohet që secila prej tyre të pritet në dy pjesë në mënyrë që nga të katër pjesët e marra të bëhet një tabelë e re shahu me qeliza.Kabineti ka një copë shahu prej 7 7 qelizash prej sofër të çmuar. Ai dëshiron pa humbur materiale dhe rrëshqitje Fig. 33 prerje vetëm përgjatë skajeve të qelizave, ndani tabelën në 6 pjesë në mënyrë që të bëjnë tre katrorë të rinj, të gjitha me madhësi të ndryshme. Si ta bëjmë atë? A është e mundur të zgjidhet problemi 3.11 nëse numri i pjesëve duhet të jetë 5 dhe gjatësia totale e prerjeve është 17? 4. Ndarja e një plani Mësimi 4.1 Tema: Ndarjet e ngurta të drejtkëndëshave. Qëllimi: Të mësojmë se si të ndërtojmë ndarje të forta drejtkëndëshash me pllaka drejtkëndëshe. Përgjigjuni pyetjes në cilat kushte drejtkëndëshi pranon një ndarje të tillë të rrafshit. Detyrat (a) zgjidhen në mësim. Detyrat 4.5 (b), 4.6, 4.7 mund të lihen në shtëpi. Supozoni se kemi një furnizim të pakufizuar prej 2 1 pllakash drejtkëndëshe dhe duam t'i përdorim ato për të shtruar një dysheme drejtkëndore dhe asnjë dy pllaka nuk duhet të mbivendosen. Vendosni 2 1 pllaka në dysheme në një dhomë 5 6. Është e qartë se nëse dyshemeja në një dhomë drejtkëndore p q është e shtruar me pllaka 2 1, atëherë p q është e barabartë (pasi sipërfaqja është e pjestueshme me 2). Dhe anasjelltas: nëse p q është e barabartë, atëherë dyshemeja mund të shtrohet me pllaka 2 1.

21 Mësimi Në të vërtetë, në këtë rast njëri nga numrat p ose q duhet të jetë çift. Nëse, për shembull, p = 2r, atëherë dyshemeja mund të vendoset siç tregohet në Fig. 34. Por në parkete të tilla ka vija thyerjeje që përshkojnë të gjithë “dhomën” nga muri në mur, por nuk kalojnë pllakat. Por në praktikë përdoren parkete pa linja të tilla - parkete të forta. Fig Shtroni pllakat 2 1 parket solid të dhomës Përpiquni të gjeni një tjegull të vazhdueshme 2 1 a) drejtkëndësh 4 6; b) Pllaka shtrohen katrore 2 1 parket solid a) dhoma 5 8; b) dhomat 6 8. Natyrisht, lind pyetja për cilat p dhe q drejtkëndëshi p q pranon një ndarje të vazhdueshme në pllaka 2 1? Ne tashmë i dimë kushtet e nevojshme: 1) p q pjesëtohet me 2, 2) (p, q) (6, 6) dhe (p, q) (4, 6). Mund të vërtetohet edhe një kusht: 3) p 5, q 5. Rezulton se edhe këto tre kushte rezultojnë të mjaftueshme. Pllaka të madhësive të tjera Shtroni pllaka 3 2 pa boshllëqe a) drejtkëndësh 11 18; b) drejtkëndëshi Vendosni pa boshllëqe, nëse është e mundur, një katror me pllaka. A është e mundur, duke marrë një katror letre me kuadrate me madhësi 5 5 qeliza, të hiqni 1 qelizë prej saj në mënyrë që pjesa tjetër të pritet në pjata 1 3 qelizat? Mësimi 4.2 Tema: Parketet.

22 22 4. Ndarja e aeroplanit Qëllimi: Të mësoni se si të mbuloni aeroplanin me figura të ndryshme (për më tepër, parketet mund të jenë me vija të thyera ose të forta), ose të provoni se kjo është e pamundur. Problemet Një nga pyetjet më të rëndësishme në teorinë e ndarjes së një rrafshi është: "Çfarë forme duhet të jetë një pllakë në mënyrë që kopjet e saj të mund të mbulojnë rrafshin pa boshllëqe dhe mbulesa të dyfishta?" Mjaft forma të dukshme vijnë menjëherë në mendje. Mund të vërtetohet se ekzistojnë vetëm tre shumëkëndësha të rregullt që mund të mbulojnë rrafshin. Ky është një trekëndësh barabrinjës, katror dhe gjashtëkëndësh (shih Fig. 35). Ekziston një numër i pafund poligonesh të parregullt që mund të mbulojnë rrafshin. Fig Ndani një trekëndësh arbitrar të mpirë në katër trekëndësha të barabartë dhe të ngjashëm. Në problemin 4.8 e ndajmë trekëndëshin në katër trekëndësha të barabartë dhe të ngjashëm. Secili nga katër trekëndëshat që rezultojnë mund të ndahet nga ana e tij në katër trekëndësha të barabartë dhe të ngjashëm, etj. Nëse lëvizim në drejtim të kundërt, d.m.th., shtojmë katër trekëndësha të barabartë të mpirë në mënyrë që të marrim një trekëndësh të ngjashëm me ta, por katër herë më të madh. , etj., atëherë trekëndëshat e tillë mund të tjegullojnë aeroplanin. Rrafshi mund të mbulohet me figura të tjera, p.sh., trapezoide, paralelogramë.Mbulo rrafshin me të njëjtat figura të paraqitura në fig. 36.

23 Mësimi Mbuloni rrafshin me të njëjtat "kllapa" të paraqitura në fig. 37. Fig. 36 Orizi Ka katër katrorë me brinjë 1, tetë me brinjë 2, dymbëdhjetë me brinjë 3. A mund të bëni një katror të madh prej tyre? A është e mundur të paloset një katror i çdo madhësie nga pllakat e drurit të treguara në fig. 38 lloje, duke përdorur pllaka të të dy llojeve? Mësimi 4.3 Tema: Problemet e paketimit më të dendur. Oriz. 38 Qëllimi: Të formohet koncepti i zgjidhjes optimale. Detyrat Cili është numri më i madh i shiritave me madhësi 1 5 qeliza që mund të priten nga një katror letre me 8 8 qeliza? Mjeshtri ka një fletë katrore kallaji. dm. Mjeshtri dëshiron të presë sa më shumë boshllëqe drejtkëndëshe prej 3 5 metrash katrorë prej saj. dm. Ndihmojeni A është e mundur të pritet drejtkëndëshi i qelizës në drejtkëndësha të madhësisë 5 7 pa mbetje? Nëse është e mundur, si? Nëse jo, pse jo? Në një fletë letre me kuadrate, shënoni prerjet me madhësinë e qelizave, me ndihmën e të cilave mund të merrni aq figura të plota siç tregohet në Fig. 39. Shifrat e paraqitura në fig. 39 (b, d), mund të kthehet.

24 24 5. Tangram Rajs Tangram Mësimi 5.1 Tema: Tangram. Qëllimi: Të njohim nxënësit me enigmën kineze “Tangram”. Praktikoni kërkime gjeometrike, dizajn. Zhvilloni aftësitë kombinuese. Problemet Duke folur për problemet e prerjes, nuk mund të mos përmendet enigma e lashtë kineze "Tangram", e cila u ngrit në Kinë 4 mijë vjet më parë. Në Kinë, quhet "chi tao tu", domethënë një enigmë mendore me shtatë pjesë. Udhëzimet. Për të zhvilluar këtë mësim, është e dëshirueshme të keni fletëpalosje: një enigmë (të cilën mund ta bëjnë vetë studentët), vizatime të figurave që duhet të palosen. Figura Bëni vetë një enigmë: transferoni një katror të ndarë në shtatë pjesë (Fig. 40) në letër të trashë dhe prisni atë Duke përdorur të shtatë pjesët e enigmës, bëni figurat e paraqitura në fig. 41.

25 Mësimi Fig. 41 Fig. 42 Udhëzime. Fëmijëve mund t'u jepen vizatime të figurave a), b) në madhësi të plotë. Dhe kështu nxënësi mund ta zgjidhë problemin duke vendosur pjesë të enigmave në vizatimin e figurës dhe në këtë mënyrë duke zgjedhur pjesët e duhura, gjë që thjeshton detyrën. Dhe vizatime me figura

26 26 6. Problemet për prerjen në hapësirë ​​c), d) mund të jepen në shkallë më të vogël; për rrjedhojë, këto detyra do të jenë më të vështira për t'u zgjidhur. Në fig. Janë dhënë edhe 42 figura të tjera për vetë-përpilim Përpiquni të krijoni figurën tuaj duke përdorur të shtatë pjesët e tangramit Në tangram, midis shtatë pjesëve të tij, tashmë ka trekëndësha me madhësi të ndryshme. Por nga pjesët e tij mund të shtoni akoma trekëndësha të ndryshëm. Palosni një trekëndësh duke përdorur katër pjesë të një tangrami: a) një trekëndësh të madh, dy trekëndësha të vegjël dhe një katror; b) një trekëndësh i madh, dy trekëndësha të vegjël dhe një paralelogram; c) një trekëndësh i madh, një trekëndësh i mesëm dhe dy trekëndësha të vegjël A mund të bëni një trekëndësh duke përdorur vetëm dy pjesë të një tangrami? Tre pjesë? Pesë pjesë? Gjashtë pjesë? Të shtatë pjesët e tangramit? 5.6. Është e qartë se një katror është bërë nga të shtatë pjesët e tangramit. A është e mundur apo e pamundur të bëhet një katror me dy pjesë? Nga tre? Nga katër? 5.7. Cilat pjesë të ndryshme të një tangrami mund të përdoren për të bërë një drejtkëndësh? Çfarë shumëkëndëshash të tjerë konveks mund të bëhen? 6. Probleme për prerjen në hapësirë ​​Mësimi 6.1 Tema: Probleme për prerjen në hapësirë. Qëllimi: Zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Mësoni të ndërtoni një fshirje të një piramide trekëndore, një kub, përcaktoni se cilat fshirje janë të pasakta. Praktikoni zgjidhjen e problemeve për prerjen e trupave në hapësirë ​​(zgjidhja e problemeve të tilla ndryshon nga zgjidhja e problemeve për prerjen e formave në aeroplan). Detyrat Pinocchio kishte letër, në njërën anë të ngjitur me polietileni. Ai bëri pjesën e treguar në Fig. 43 për të ngjitur qeset e qumështit (piramidat trekëndore) prej tij. Dhe dhelpra Alice mund të bëjë një tjetër bosh. Çfarë?

27 Mësimi Rice Cat Basilio e mori gjithashtu këtë letër, por ai dëshiron të ngjitë kube (qese kefiri). Ai bëri boshllëqet e paraqitura në Fig. 44. Dhe dhelpra Alice thotë se disa mund të hidhen menjëherë, sepse nuk janë të mira. A ka të drejtë? Piramida e Keopsit ka një katror në bazë, dhe faqet anësore të saj janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Pinocchio u ngjit lart dhe mati këndin e skajit në krye (AMD, në Fig. 45). Doli 100. Dhe dhelpra Alice thotë se u nxeh në diell, sepse kjo nuk mund të jetë. A ka të drejtë? 6.4. Sa është numri minimal i prerjeve të sheshta që nevojiten për të ndarë një kub në 64 kube të vegjël? Pas çdo prerjeje lejohet që pjesët e kubit të zhvendosen sipas dëshirës Kubiku i drurit është lyer nga jashtë me bojë të bardhë, më pas çdo buzë e tij Fig. 45 u nda në 5 pjesë të barabarta, pas së cilës u sharrua në mënyrë që të përftoheshin kube të vogla, në të cilat buza është 5 herë më e vogël se ajo e kubit origjinal. Sa kube të vegjël ka? Sa kube kanë tre anët e lyera? Dy skaje? Një skaj? Sa kube të palyer kanë mbetur? 6.6. Shalqini pritej në 4 pjesë dhe hahej. I dolën 5 kore. A mund të jetë kjo?

28 28 7. Detyra për ngjyrosje 6.7. Cili është numri maksimal i pjesëve në të cilat mund të pritet një petull me tre prerje të drejta? Sa copa mund të merren me tre prerje buke? 7. Detyrat për ngjyrosjen Mësimi 7.1 Tema: Ngjyrosja ndihmon në zgjidhjen e problemeve. Qëllimi: Të mësoni se si të provoni se disa probleme të prerjes nuk kanë zgjidhje, duke përdorur një ngjyrosje të zgjedhur mirë (për shembull, ngjyrosja në një model shahu), duke përmirësuar kështu kulturën logjike të studentëve. Problemet Nuk është e vështirë të vërtetohet se zgjidhja e problemit të prerjes së një figure në pjesë është e mundur: mjafton të sigurohet një metodë e prerjes. Gjetja e të gjitha zgjidhjeve, domethënë të gjitha mënyrave të prerjes, tashmë është më e vështirë. Dhe të vërtetosh se prerja është e pamundur është gjithashtu mjaft e vështirë. Në disa raste për këtë na ndihmon edhe ngjyrosja e figurës.Kemi marrë një katror letre me kuadrate me përmasa 8 8, i kemi prerë dy qeliza (poshtë majtas dhe sipër djathtas). A është e mundur të mbulohet plotësisht figura që rezulton me drejtkëndësha "domino" 1 2? 7.2. Në tabelën e shahut është një figurë "deve", e cila lëviz tre qeliza vertikalisht dhe një horizontalisht, ose tre horizontalisht dhe një vertikalisht, me çdo lëvizje. A mundet një "deve" pasi bën disa lëvizje të futet në një qeli ngjitur me anën e saj origjinale? 7.3. Ka një brumbull në çdo qelizë të katrorit 5 5. Me urdhër, çdo brumbulli u zvarrit në një nga qelizat ngjitur në anën. A mund të rezultojë se saktësisht një brumbull do të ulet përsëri në secilën qelizë? Po sikur katrori origjinal të kishte përmasa 6 6? 7.4. A është e mundur të pritet një katror prej letre me kuadrate 4x4 në një piedestal, një katror, ​​një kolonë dhe një zigzag (Fig. 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskë, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme me prerje. M.: MTsNMO, 2002. 120 f.: ill. Seria: "Sekretet e mësimdhënies së matematikës". Kjo

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Yashchenko ÇFARË DUHET TË JETË E GJEOMETRISË VIZUALE NË 5 6 KLASAT Rezultatet e GIA dhe PËRDORIMI në matematikë tregojnë se problemi kryesor i gjeometrisë

Problemet në grilat V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l janë numra të plotë, atëherë dhe vetëm atëherë gjeneron të njëjtën rrjetë,

IV Yakovlev Materiale në matematikë MathUs.ru Prerje Shifrat gjeometrike quhen të barabarta nëse mund të mbivendosen njëra mbi tjetrën në mënyrë që të përputhen plotësisht. 1. Pritini secilën formë në

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GJEOMETRY Manual për përgatitjen për GIA Detyrat për zgjedhjen e pohimeve të duhura 2015 1 HYRJE Ky manual është krijuar për t'u përgatitur për zgjidhjen e problemeve gjeometrike të GIA-s në matematikë.

Testi 448 Këndet vertikale 1. Nëse këndet nuk janë vertikale, atëherë nuk janë të barabartë. 2. Këndet e barabarta janë kënde vertikale vetëm nëse janë në qendër simetrike. 3. Nëse këndet janë të barabartë dhe bashkimi i tyre ka

I. V. Yakovlev Materialet në matematikë MathUs.ru Shembuj dhe ndërtime 1. (Gjithërusisht, 2018, ШЭ, 5.2) Vajza zëvendësoi secilën shkronjë në emrin e saj me numrin e saj në alfabetin rus. Rezultati është numri 2011533.

LEKTURË 24 GRAFËT E RAFSHËVE 1. Formula e Euler-it për grafikët e rrafshët Përkufizimi 44: Grafiku i rrafshët është një imazh i një grafi në një rrafsh pa vetëprerje. Shënim Grafiku nuk është i njëjtë me atë të sheshtë

Arsimi i mesëm i përgjithshëm (i plotë) MI Bashmakov Matematikë Klasa 11 Mbledhja e problemave Botimi i 3-të UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov MI B336 Matematikë. Klasa 11. Mbledhja e detyrave: dytësore (e plotë)

V.A. Smirnov 1. Njohja e figurave 1. Cili shumëfaqësh quhet kub? 2. Sa kulme, skaje, faqe ka një kub? 3. Vizatoni një kub në letër me kuadrate. 4. Cili shumëfaqësh quhet paralelepiped?

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURES IN SPACE Manual për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2013 HYRJE Ky manual synon të përgatitet për zgjidhjen e problemeve gjeometrike të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë. Qëllimet e saj janë:

1 mësojnë të përdorin gjuhën gjeometrike dhe simbolikën gjeometrike për të përshkruar objektet e botës; të kryejë arsyetim dhe arsyetim të thjeshtë në procesin e zgjidhjes së problemeve të parashikuara

MATEMATIKA 5.1-5.3 klasa (profili teknologjik) Banka e detyrave Moduli “Gjeometria” “Trekëndëshat dhe katërkëndëshat. Vija dhe rrathë të drejtë. Simetria. Polyhedra” Kërkohet informacion bazë teorik

Detyrat për Turneun e Tretë të Hapur të Minskut të Matematikanëve të Rinj 2016 (liga e vogël, klasat 5-7) 10-12 mars 2016 Aplikimet paraprake që tregojnë institucionin arsimor, kreun, numrin e tij të telefonit

Institucioni arsimor parashkollor buxhetor komunal "Kopshti 30" i Qarkut Qendror të Barnaul

1 Rregulli ekstrem Igor Zhuk (Alfa, 1(4), 1999) Le të fillojmë me tre problemet e mëposhtme: Problemi1. Në një fletë të pafundme letre me kuadrate, në çdo qelizë është shkruar një numër natyror. Dihet

Dija është zotërimi më i shkëlqyer. Të gjithë përpiqen për të, nuk vjen vetvetiu. Abu-r-Raykhan al-buruni "Koncepti i sipërfaqes së një shumëkëndëshi" Gjeometria Klasa 8 1 KARAKTERISTIKA E POLINOMJEVE Pollinjë e mbyllur,

Shënim shpjegues 1. Karakteristikat e përgjithshme të kursit Ky program është përpiluar në përputhje me kërkesat e Standardit Federal të Arsimit Shtetëror për Arsimin Bazë të Përgjithshëm dhe synohet

Klasa master "Gjeometria dhe stereometria në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, pjesa 1. Tetor 2017. Për të zgjidhur problemat, ju nevojiten njohuri për format gjeometrike dhe vetitë e tyre, duke llogaritur sipërfaqet e figurave të sheshta, vëllimet.

Institucioni arsimor buxhetor komunal "Shkolla e mesme 2" Aneksi 3.20. Programi i punës për lëndën "Gjeometria vizuale" klasat 5-6 Zhvilluesit: Ovchinnikova N.V.,

Tema 1. Barazi 1. Në tavolinë ka 13 marshe, të lidhura në një zinxhir të mbyllur. A mund të rrotullohen të gjitha ingranazhet në të njëjtën kohë? 2. A mundet një drejtëz që nuk përmban kulme të formojë një polivijë të mbyllur me 13

Analiza e detyrave të pjesës së tretë të detyrave 1 2 Shkolla elektronike Znanik Analiza e detyrave të pjesës së tretë të detyrave Klasa 4 6 7 8 9 10 A B A C D Detyra 6 Brenda tunelit ka pika kontrolli çdo 10 m.

IX ndërrimi gjithë-rus "Matematikan i ri". VDC "Shqiponja". VI Turneu i lojërave matematikore. Lojë matematikore "Duel". liga e të rinjve. Zgjidhjet. 08 shtator 2013 1. I njëjti numër studentësh studiojnë në dy grupe

Probleme interesante me kube Problemi 1. Numri 8 kulme të kubit me numra rendor (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) në mënyrë që shuma e numrave në secilën nga gjashtë faqet e tij të jetë e njëjtë ( Fig. 1a).

Banka e detyrave në matematikë Klasa 6 "Polikëndëshat dhe shumëkëndëshat" 1. Shumëkëndëshi është një sipërfaqe e mbyllur e përbërë nga: paralelogramet e shumëkëndëshave dhe trekëndëshat e shumëkëndëshave të shumëkëndëshave.

KOMITETI SHTETËROR I FEDERATISË RUSE PËR ARSIMIN E LARTË UNIVERSITETI SHTETËROR NOVOSIBIRSK Shkolla korrespondence DEPARTAMENTI MATEMATIK DIZAJNI PARALEL Klasa 0, detyra 3. Novosibirsk

Programi i punës së lëndës "Bota e shenjave dhe numrave" Klasa 5 1. Rezultatet e planifikuara të zhvillimit të lëndës "Bota e shenjave dhe numrave" duke zotëruar gjuhën gjeometrike, duke e përdorur për të përshkruar.

Mësimi jashtëshkollor në gjeometrinë pamore në klasën e 7-të. Tema: “Gjeometria e gërshërëve. Probleme me prerjen dhe palosjen e formave"

ATA. SMIRNOV, V.A. SMIRNOV GJEOMETRIA NË LETËR E KONTROLLUAR Libër mësuesi për institucionet arsimore Moskë 2009 PARATHËNIE Manuali i propozuar përmban pesëdhjetë e gjashtë probleme për ndërtimin dhe

FLETA E PUNËS 2 SHNDËRRIMET 1 Koncepti i shndërrimit Shembull 1. Shndërrimi i rrathëve koncentrikë në njëri-tjetrin. Rrethi c 1 shndërrohet në rrethin e tij koncentrik c 2 siç tregohet

Vjeshtë Fizikë dhe Matematikë intensive "100 orë" Lojëra POLYOMINE dhe enigma me figura me kuadrate Khozin Mikhail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 tetor 2 nëntor 2016 ÇFARË ËSHTË POLYMONO? Të gjithë e njohin domino

7 forma janë vizatuar pikë për pikë siç tregohet në fotot më poshtë. C A G B F Tregoni se si t'i përdorni këto elemente për të bërë figurat në figurat më poshtë D E A) (pikë 0 pikë) B) (pikë 0 pikë) C) (3 pikë

PËRDORIMI 2010. Matematikë. Problemi B9. Fletore pune Smirnov V.A. (nën redaksinë e A. L. Semenov dhe I. V. Yashchenko) M .: Shtëpia Botuese MTsNMO; 2010, 48 faqe Fletore pune e matematikes e serise "USE 2010. Matematika"

1) IDm2014_006 përgjigjet e raundit konkurrues 2) Udhëheqësja e ekipit Poyarkova Olga Sergeevna 3) Ekzekutuesi teknik (koordinatori) jo 4) URL e faqes së internetit me përgjigjet e raundit konkurrues (nëse ka) jo 5) Tabela

10.1 (profili teknologjik), 10.2 (niveli i profilit) Viti akademik 2018-2019 Banka mostër e detyrave për përgatitjen për testim në matematikë, seksioni "Gjeometria" (libër mësuesi Atanasyan L.S., niveli i profilit)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Shtëpia Botuese MTsNMO e Moskës 010 e rregullt, gjysmë e rregullt dhe në formë ylli

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE UNIVERSITETI SHTETËROR NOVOSIBIRSK QENDRA E SPECIALIZUAR ARSIMORE DHE SHKENCORE Matematikë Klasa 0 DIZAJNI PARALELOR Novosibirsk I. Dizajni

Viti shkollor 2016 2017 klasa e 5-të 51 Vendosni kllapa dhe shenja veprimi në hyrjen 2 2 2 2 2 në mënyrë që të rezultojë 24 52 Anya gënjen të martën, të mërkurën dhe të enjten dhe të thotë të vërtetën në të gjitha ditët e tjera të javës

Tema 16. Polyedra 1. Prizmi dhe elementet e tij: Prizma është një shumëkëndësh, dy faqet e të cilit janë shumëkëndësha të barabartë të vendosur në rrafshe paralele, kurse faqet e mbetura janë paralelograme.

Gjeometria në gjeometri. PDA, Gjeometria, Mësimi i Tretë (Maksimov D.V.) 28 qershor 2017 Gjeometria vizuale Një kub 3x3x3 përbëhet nga 13 kube të bardhë dhe 14 kube të errët. Në cilën foto është? Treguar me poshte

Klasa 7 7.1. A mund të rezultojë se 1000 pjesëmarrës të Olimpiadës do ta zgjidhin drejt këtë problem dhe mes tyre do të ketë 43 djem më shumë se vajza? 7.2. Lada dhe Lera hamendësohen nga numri natyror. Nëse

Komiteti i Administrimit të Rrethit Zmeinogorsk të Territorit Altai për Arsimin dhe Çështjet Rinore Institucioni arsimor buxhetor komunal "Shkolla e mesme Zmeinogorsk me të avancuara

Provimi pranues në Shkollën Matematikore të Mbrëmjes në Fakultetin e Shkencave Kompjuterike të Universitetit Shtetëror të Moskës me emrin M. V. Lomonosov (29 shtator 2018) Klasat 8-9 1. Skuadrat "Matematikanët", "Fizikanët" dhe "Programuesit" luajtën futboll

Institucioni arsimor buxhetor komunal i qytetit të Abakan "Shkolla e mesme 11" PROGRAMI i aktiviteteve jashtëshkollore të rrethit "Matematikan i ri" për klasat 1-4 Programi jashtëshkollor

Tema I. Problemi i barazisë 1. Tabela katrore 25 25 ngjyroset me 25 ngjyra në mënyrë që çdo rresht dhe çdo kolonë të përmbajë të gjitha ngjyrat. Vërtetoni se nëse renditja e ngjyrave është simetrike në lidhje me

1. Komplete. Veprimet në bashkësitë 1. A është e vërtetë që për çdo bashkësi A, B vlen barazia A \ (A \ B) A B? 2. A është e vërtetë që për çdo bashkësi A, B barazia (A \ B) (B \ A)

Kodi i seksionit Kërkesat (aftësitë) të testuara nga detyrat përfundimtare të punës Banka e hapur e detyrave për lëndën "Matematika" për nxënësit e klasës së katërt Detyrat 4. MARRËDHËNIET HAPËSINORE. GJEOMETRIKE

Imazhi i poliedroneve Një figurë e ngjashme me projeksionin e saj në një plan të caktuar merret si imazh i një figure. Përzgjidhet një imazh që jep një ide të saktë të formës së figurës, është

Detyrat për klasën 5 Faqja e internetit e matematikës elementare të Dmitri Gushchin www.mathnet.spb.ru në kutinë 5. Kush fiton nëse luan më së miri? 2. Vizatohen në katrorin 5 5 duke e ndarë në

Departamenti i Arsimit i Administratës së Qarkut Krasnogvardeisky Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme Kalinovskaya" Unë miratoj: Drejtorin e MBOU "Shkolla e mesme Kalinovskaya" Belousova

Olimpiada e Dymbëdhjetë Gjith-Ruse në Gjeometri. I. F. Sharygina Olimpiada e katërmbëdhjetë gojore në gjeometri Moskë, 17 prill 2016 Zgjidhjet e problemeve 8 9 klasa 1. (A. Blinkov) Në një gjashtëkëndësh janë të barabartë

Detyrat G -11.5.16. Ana S = P kryesore. * Formula H për gjetjen e sipërfaqes anësore të prizmit Г -11.5.17. Ana S = 1 P kryesore. * h formula për gjetjen e sipërfaqes anësore 2 të piramidës 6. Probleme të ndryshme Г-10.6.1.

Turneu VIII ekipor-personal "Mathematical all-around" 27 nëntor 2015, Gjeometria e Moskës (zgjidhje) Liga e të rinjve 1. Jepet një rreth dhe korda e tij. Tangjentet vizatohen në skajet e kordës ndaj rrethit

1. U vizatua një figurë në letër me kuadrate. E ndajmë në 4 të barabarta
pjesë përgjatë vijave të letrës me kuadrate. Gjeni të gjitha figurat e mundshme për të cilat
ju mund ta shkurtoni këtë shifër sipas gjendjes së problemit.
Zgjidhje.
2. Nga katrori 5 5 pritet qeliza qendrore. Pritini atë që rezulton
ndahen në dy pjesë të barabarta në dy mënyra.
Zgjidhje.

3. Ndajeni drejtkëndëshin 3×4 në dy pjesë të barabarta. Gjeni si mundeni
më shumë mënyra. Ju mund të shkurtoni vetëm përgjatë anës së një katrori 1 × 1 dhe metodat
konsiderohen të ndryshme nëse shifrat që rezultojnë nuk janë të barabarta për secilën
mënyrë.
Zgjidhje.
4. Pritini figurën e treguar në figurë në 2 pjesë të barabarta.
Zgjidhje.
5. Pritini figurën e treguar në figurë në 2 pjesë të barabarta.

Zgjidhje.
6. Pritini figurën e treguar në figurë në dy pjesë të barabarta përgjatë
linjat e rrjetit, dhe në secilën prej pjesëve duhet të ketë një rreth.
Zgjidhje.
7. Pritini figurën e treguar në figurë në katër pjesë të barabarta

Zgjidhje.

8. Pritini figurën e treguar në figurë në katër pjesë të barabarta
përgjatë vijave të rrjetit, dhe në secilën prej pjesëve duhet të ketë një rreth.
Zgjidhje.
9. Pritini këtë shesh përgjatë anëve të qelizave në mënyrë që të gjitha pjesët
të jenë të së njëjtës madhësi dhe formë, dhe secila të përmbajë nga një
turi dhe kryq.
Zgjidhje.

10. Pritini figurën e treguar në figurë përgjatë vijave të rrjetës në
katër pjesë të barabarta dhe palosni ato në një katror në mënyrë që rrathët dhe kryqet
të vendosura në mënyrë simetrike rreth të gjitha boshteve të simetrisë së katrorit.
Zgjidhje.
11. Pritini katrorin 6  6 qeliza të paraqitura në figurë në katër
pjesë identike në mënyrë që secila prej tyre të përmbajë tre qeliza të mbushura.

Zgjidhje.
12. A është e mundur të pritet një katror në katër pjesë në mënyrë që çdo pjesë
ishte në kontakt me tre të tjerët (pjesët janë në kontakt nëse kanë një të përbashkët
zona kufitare)?
Zgjidhje.
13. A është e mundur të pritet një drejtkëndësh prej 9 4 qelizash në dy pjesë të barabarta përgjatë

atëherë si ta bëjmë atë?
Zgjidhja. Sipërfaqja e një katrori të tillë është 36 qeliza, domethënë ana e tij është 6
qelizat. Metoda e prerjes është treguar në figurë.

14. A është e mundur të pritet një drejtkëndësh prej 5 10 qelizave në dy pjesë të barabarta përgjatë
anët e qelizave në mënyrë që ato të mund të formojnë një katror? Nëse po,
atëherë si ta bëjmë atë?
Zgjidhja. Sipërfaqja e një katrori të tillë është 50 qeliza, domethënë ana e tij është
më shumë se 7, por më pak se 8 qeliza të plota. Pra, për të prerë një drejtkëndësh të tillë
në mënyrën e kërkuar në anët e qelizave është e pamundur.
15. Kishte 9 fletë letre. Disa prej tyre u prenë në tre pjesë. Total
u bënë 15 fletë. Sa fletë letre u prenë?
Zgjidhje.Prisni 3 fletë: 3 ∙ 3 + 6 = 15.