Ekuacioni i regresionit të shumëfishtë në formë natyrale dhe të standardizuar. Koeficientët e standardizuar të regresionit
Koeficientët e ekuacionit të regresionit, si çdo tregues absolut, nuk mund të përdoren në një analizë krahasuese nëse njësitë matëse të variablave përkatës janë të ndryshme. Për shembull, nëse y - shpenzimet familjare për ushqim, X 1 - madhësia e familjes, dhe X 2 janë të ardhurat totale të familjes, dhe ne përcaktojmë një varësi të llojit = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 dhe b 2 > b 1 , atëherë kjo nuk do të thotë se x 2 efekt më i fortë në y , si X 1 , sepse b 2 është ndryshimi i shpenzimeve familjare me një ndryshim të të ardhurave me 1 rubla, dhe b 1 - ndryshimi i shpenzimeve gjatë ndryshimit të madhësisë së familjes me 1 person.
Krahasueshmëria e koeficientëve të ekuacionit të regresionit arrihet duke marrë parasysh ekuacionin e standardizuar të regresionit:
y 0 \u003d 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + ... + m x m 0 + e,
ku y 0 dhe x 0 k – vlerat e variablave të standardizuara y dhe x k :
S y dhe S janë devijimet standarde të variablave y dhe x k ,
k (k=) – -koeficientët e ekuacionit të regresionit (por jo parametrat e ekuacionit të regresionit, në ndryshim nga shënimi i dhënë më parë). -koeficientët tregojnë se me cilën pjesë të devijimit standard (S y) do të ndryshojë ndryshorja e varur y nëse ndryshorja e pavarur x k do të ndryshojë nga devijimi standard i tij (S). Vlerësimet e parametrave të ekuacionit të regresionit në terma absolutë (b k) dhe koeficientët β janë të lidhura me relacionin:
Koeficientët të ekuacionit të regresionit në një shkallë të standardizuar krijojnë një ide reale të ndikimit të variablave të pavarur në treguesin e modeluar. Nëse vlera e koeficientit për çdo variabël tejkalon vlerën e koeficientit për një variabël tjetër, atëherë ndikimi i variablit të parë në ndryshimin e treguesit efektiv duhet të njihet si më i rëndësishëm. Duhet pasur parasysh se ekuacioni i standardizuar i regresionit, për shkak të përqendrimit të variablave, nuk ka një term të lirë nga ndërtimi.
Për regresionin e thjeshtë, koeficienti përkon me koeficientin e korrelacionit të çiftit, gjë që bën të mundur që koeficientit të korrelacionit të çiftit t'i jepet një kuptim semantik.
Kur analizohet ndikimi i treguesve të përfshirë në ekuacionin e regresionit në tiparin e modeluar, së bashku me koeficientët përdoren gjithashtu koeficientët e elasticitetit. Për shembull, treguesi mesatar i elasticitetit llogaritet me formulë
dhe tregon se sa përqind do të ndryshojë mesatarisht ndryshorja e varur nëse vlera mesatare e ndryshores së pavarur korresponduese ndryshon me një përqind (ceteris paribus).
2.2.9. Variablat diskrete në analizën e regresionit
Në mënyrë tipike, variablat në modelet e regresionit kanë intervale të vazhdueshme. Megjithatë, teoria nuk vendos ndonjë kufizim mbi natyrën e variablave të tillë. Shumë shpesh është e nevojshme të merret parasysh në analizën e regresionit ndikimi i veçorive cilësore dhe varësia e tyre nga faktorë të ndryshëm. Në këtë rast, bëhet e nevojshme futja e variablave diskrete në modelin e regresionit. Variablat diskrete mund të jenë ose të pavarura ose të varura. Le t'i shqyrtojmë këto raste veç e veç. Le të shqyrtojmë së pari rastin e ndryshoreve të pavarura diskrete.
Variablat dummy në analizën e regresionit
Për të përfshirë tiparet cilësore si variabla të pavarur në regresion, ato duhet të digjitalizohen. Një mënyrë për t'i dixhitalizuar ato është përdorimi i variablave dummy. Emri nuk është plotësisht i suksesshëm - ato nuk janë fiktive, thjesht është më i përshtatshëm për këto qëllime të përdoren variabla që marrin vetëm dy vlera - zero ose një. Kjo është ajo që ata e quajnë fiktive. Zakonisht, një variabël cilësor mund të marrë disa vlera-nivele. Për shembull, gjinia - mashkull, femër; kualifikimi - i lartë, i mesëm, i ulët; sezonaliteti - tremujorët I, II, III dhe IV, etj. Ekziston një rregull sipas të cilit, për të dixhitalizuar variabla të tillë, është e nevojshme të futet numri i variablave dummy, një më pak se numri i niveleve të treguesit të modeluar. . Kjo është e nevojshme në mënyrë që variabla të tillë të mos varen në mënyrë lineare.
Në shembujt tanë, gjinia është një ndryshore, e barabartë me 1 për meshkujt dhe 0 për femrat. Kualifikimi ka tre nivele, kështu që nevojiten dy variabla bedel: për shembull, z 1 = 1 për nivelin e lartë, 0 për të tjerët; z 2 = 1 për nivelin e mesëm, 0 për të tjerët. Është e pamundur të prezantohet një ndryshore e tretë e ngjashme, sepse në këtë rast ato do të rezultojnë të varen në mënyrë lineare (z 1 + z 2 + z 3 \u003d 1), përcaktori i matricës (X T X) do të shkonte në zero dhe do të gjente matrica e anasjelltë (X T X) -1 nuk do të kishte sukses. Siç e dini, vlerësimet e parametrave të ekuacionit të regresionit përcaktohen nga raporti: T X) -1 X T Y).
Koeficientët për variablat dummy tregojnë se si vlera e ndryshores së varur ndryshon në nivelin e analizuar në krahasim me nivelin që mungon. Për shembull, nëse niveli i pagës do të modelohej në varësi të disa karakteristikave dhe nivelit të aftësive, atëherë koeficienti në z 1 do të tregonte se sa ndryshon paga e specialistëve me një nivel të lartë kualifikimi nga paga e një specialisti me një nivel të ulët kualifikimi. , të gjitha gjërat e tjera janë të barabarta, dhe koeficienti në z 2 - një kuptim i ngjashëm për specialistët me një nivel mesatar kualifikimi. Në rastin e sezonalitetit, do të duhej të futeshin tre variabla dummy (nëse merren parasysh të dhënat tremujore) dhe koeficientët për to do të tregonin se sa ndryshon vlera e ndryshores së varur për tremujorin përkatës nga niveli i variablit të varur për tremujori që nuk është futur kur janë dixhitalizuar.
Variablat dummy prezantohen gjithashtu për të modeluar ndryshimet strukturore në dinamikën e treguesve të studiuar në analizën e serive kohore.
Shembulli 4 Ekuacioni i standardizuar i regresionit dhe variablat dummy
Konsideroni një shembull të përdorimit të koeficientëve të standardizuar dhe variablave bedel në shembullin e një analize të tregut për apartamente me dy dhoma, bazuar në ekuacionin e regresionit të shumëfishtë me grupin e mëposhtëm të variablave:
ÇMIMI - çmimi;
TOTSP - sipërfaqja totale;
LIVSP - zona e jetesës;
KITSP - zonë kuzhine;
DIST - distanca nga qendra e qytetit;
WALK - e barabartë me 1 nëse stacioni i metrosë mund të arrihet në këmbë dhe i barabartë me 0 nëse keni nevojë të përdorni transportin publik;
TULLA - e barabartë me 1 nëse shtëpia është me tulla dhe e barabartë me 0 nëse është panel;
KATI - e barabartë me 1 nëse banesa nuk është në katin e parë ose të fundit dhe e barabartë me 0 përndryshe;
TEL - e barabartë me 1 nëse apartamenti ka telefon dhe e barabartë me 1 nëse nuk ka;
BAL është e barabartë me 1 nëse ka një ballkon dhe e barabartë me 0 nëse nuk ka ballkon.
Llogaritjet janë kryer duke përdorur softuerin STATISTICA (Figura 2.23). Prania e -koeficientëve ju lejon të renditni variablat sipas shkallës së ndikimit të tyre në variablin e varur. Le të analizojmë shkurtimisht rezultatet e llogaritjes.
Bazuar në statistikat e Fisher, arrijmë në përfundimin se ekuacioni i regresionit është i rëndësishëm (p-nivel< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Figura 2.24 – Raporti i tregut të apartamenteve bazuar në STATISTICA PPP
Koeficienti i përcaktimit të shumëfishtë është 52%, pra, variablat e përfshirë në regresion përcaktojnë ndryshimin e çmimit me 52%, dhe pjesa e mbetur prej 48% e ndryshimit të çmimit të një apartamenti varet nga faktorë të pa llogaritur. Përfshirë nga luhatjet e rastësishme të çmimeve.
Secili nga koeficientët e variablit tregon se sa do të ndryshojë çmimi i një apartamenti (ceteris paribus) nëse kjo ndryshore ndryshon me një. Kështu, për shembull, kur ndryshoni sipërfaqen totale me 1 katror. m, çmimi i një apartamenti mesatarisht do të ndryshojë me 0,791 USD dhe kur apartamenti është 1 km larg qendrës së qytetit, çmimi i një apartamenti do të ulet mesatarisht me 0,596 USD. etj. Variablat dummy (5 të fundit) tregojnë se sa do të ndryshojë mesatarisht çmimi i një apartamenti nëse kaloni nga një nivel i kësaj variabli në tjetrin. Kështu, për shembull, nëse shtëpia është me tulla, atëherë apartamenti në të është mesatarisht 3,104 USD. e. më e shtrenjtë se e njëjta në një shtëpi panelesh dhe prania e një telefoni në një apartament e rrit çmimin e tij mesatarisht me 1,493 USD. e., etj.
Bazuar në koeficientët , mund të nxirren përfundimet e mëposhtme. Koeficienti më i madh, i barabartë me 0,514, është koeficienti për variablin "sipërfaqja totale", prandaj, para së gjithash, çmimi i një apartamenti formohet nën ndikimin e sipërfaqes së tij totale. Faktori tjetër për sa i përket shkallës së ndikimit në ndryshimin e çmimit të një apartamenti është distanca nga qendra e qytetit, pastaj materiali nga i cili është ndërtuar shtëpia, pastaj zona e kuzhinës, etj. .
Faqe 1
Koeficientët e standardizuar të regresionit tregojnë se sa sigma do të ndryshojë mesatarisht rezultati nëse faktori korrespondues x ndryshon me një sigmë, ndërsa niveli mesatar i faktorëve të tjerë mbetet i pandryshuar. Për shkak të faktit se të gjithë variablat janë vendosur si të përqendruar dhe të normalizuar, koeficientët e standardizuar të reness D janë të krahasueshëm me njëri-tjetrin. Duke i krahasuar me njëri-tjetrin, mund t'i renditni faktorët sipas fuqisë së ndikimit të tyre në rezultat. Ky është avantazhi kryesor i koeficientëve të standardizuar të rekursit, në ndryshim nga koeficientët e pastër të rekursit, të cilët janë të pakrahasueshëm ndërmjet tyre.
Konsistenca e korrelacionit të pjesshëm dhe koeficientëve të standardizuar të regresionit shihet më qartë nga një krahasim i formulave të tyre në një analizë me dy faktorë.
Konsistenca e korrelacionit të pjesshëm dhe koeficientëve të standardizuar të regresionit shihet më qartë nga një krahasim i formulave të tyre në një analizë me dy faktorë.
Për të përcaktuar vlerat e vlerësimeve në të koeficientëve të standardizuar të regresionit a (më shpesh përdoren metodat e mëposhtme për zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve normale: metoda e përcaktuesve, metoda e rrënjës katrore dhe metoda e matricës. Kohët e fundit, metoda e matricës ka është përdorur gjerësisht për zgjidhjen e problemeve të analizës së regresionit.Këtu shqyrtojmë zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh normale me metodën e përcaktorëve.
Me fjalë të tjera, në analizën me dy faktorë, koeficientët e korrelacionit të pjesshëm janë koeficientë të standardizuar të regresionit të shumëzuar me rrënjën katrore të raportit të pjesëve të variancave të mbetura të faktorit fiks ndaj faktorit dhe ndaj rezultatit.
Ekziston një mundësi tjetër për të vlerësuar rolin e veçorive të grupimit, rëndësinë e tyre për klasifikimin: në bazë të koeficientëve të standardizuar të regresionit ose koeficientëve të veçantë të përcaktimit (shih Kap.
Siç mund të shihet nga tabela. 18, përbërësit e përbërjes së studiuar u shpërndanë sipas vlerës absolute të koeficientëve të regresionit (b5) me gabimin e tyre katror (sbz) me radhë nga monoksidi i karbonit dhe acidet organike te aldehidet dhe avujt e vajit. Gjatë llogaritjes së koeficientëve të standardizuar të regresionit (p), rezultoi se, duke marrë parasysh gamën e luhatjeve të përqendrimeve, ketonet dhe monoksidi i karbonit dalin në pah në formimin e toksicitetit të përzierjes në tërësi, ndërsa acidet organike mbeten në vendin e tretë.
Koeficientët e regresionit kushtimisht të pastër bf janë Numra të emërtuar të shprehur në njësi të ndryshme matëse dhe për këtë arsye janë të pakrahasueshëm me njëri-tjetrin. Për t'i kthyer ato në tregues relativë të krahasueshëm, zbatohet i njëjti transformim si për marrjen e koeficientit të korrelacionit të çiftit. Vlera që rezulton quhet koeficienti i standardizuar i regresionit ose - koeficienti.
Koeficientët e regresionit të kushtëzuar-të pastër A; emërtohen numra, të shprehur në njësi të ndryshme matëse, prandaj janë të pakrahasueshëm me njëri-tjetrin. Për t'i kthyer ato në tregues relativë të krahasueshëm, zbatohet i njëjti transformim si për marrjen e koeficientit të korrelacionit të çiftit. Vlera që rezulton quhet koeficienti i standardizuar i regresionit ose - koeficienti.
Në procesin e zhvillimit të standardeve të numrit të punonjësve, mblidhen të dhënat fillestare për numrin e personelit të personelit menaxherial dhe vlerat e faktorëve për ndërmarrjet e zgjedhura bazë. Më pas, për secilin funksion zgjidhen faktorë të rëndësishëm bazuar në analizën e korrelacionit, bazuar në vlerën e koeficientëve të korrelacionit. Përzgjidhen faktorët me vlerën më të lartë të koeficientit të korrelacionit të çiftit me funksionin dhe koeficientin e standardizuar të regresionit.
Rezultatet e llogaritjeve të mësipërme bëjnë të mundur rregullimin në rend zbritës të koeficientëve të regresionit që korrespondojnë me përzierjen në studim, dhe në këtë mënyrë të përcaktojnë sasinë e shkallës së rrezikut të tyre. Sidoqoftë, koeficienti i regresionit i marrë në këtë mënyrë nuk merr parasysh gamën e luhatjeve të mundshme të secilit përbërës në përzierje. Si rezultat, produktet e degradimit me koeficientë të lartë regresioni, por që luhaten në një gamë të vogël përqendrimesh, mund të kenë një efekt më të vogël në efektin total toksik sesa përbërësit me b relativisht të vogël, përmbajtja e të cilëve në përzierje ndryshon në një gamë më të gjerë. Prandaj, duket e përshtatshme të kryhet një operacion shtesë - llogaritja e të ashtuquajturve koeficientë të standardizuar të regresionit p (J.
Faqet: 1
Ushtrimi.
- Për një grup të dhënash të dhënë, ndërtoni një model linear regresioni të shumëfishtë. Vlerësoni saktësinë dhe përshtatshmërinë e ekuacionit të ndërtuar të regresionit.
- Jepni një interpretim ekonomik të parametrave të modelit.
- Llogaritni koeficientët e standardizuar të modelit dhe shkruani ekuacionin e regresionit në formë të standardizuar. A është e vërtetë që çmimi i një malli ka një ndikim më të madh në vëllimin e ofertës së një malli sesa pagat e punonjësve?
- Për modelin që rezulton (në formë natyrale), kontrolloni homoskedasticitetin e mbetjeve duke aplikuar testin Goldfeld-Quandt.
- Kontrolloni modelin që rezulton për autokorrelacion të mbetur duke përdorur testin Durbin-Watson.
- Kontrolloni nëse supozimi për homogjenitetin e të dhënave origjinale është adekuat në kuptimin e regresionit. A është e mundur të kombinohen dy mostra (për 8 vëzhgimet e para dhe 8 të tjerat) në një dhe të merret parasysh një model i vetëm regresioni Y në X?
1. Vlerësimi i ekuacionit të regresionit. Le të përcaktojmë vektorin e vlerësimeve të koeficientëve të regresionit duke përdorur shërbimin e Ekuacionit të Regresionit të Shumëfishtë. Sipas metodës së katrorëve më të vegjël, vektori s përftohet nga shprehja: s = (X T X) -1 X T Y
Matrica X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matrica Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Matrica XT
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Shumëzoni matricat, (X T X)
Gjeni matricën e anasjelltë (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
Vektori i vlerësimeve të koeficientëve të regresionit është i barabartë me
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Ekuacioni i regresionit (vlerësimi i ekuacionit të regresionit)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Matrica e koeficientëve të korrelacionit të çiftëzuar R. Numri i vëzhgimeve n = 14. Numri i variablave të pavarur në model është 2, dhe numri i regresorëve, duke marrë parasysh vektorin njësi, është i barabartë me numrin e koeficientëve të panjohur. Duke marrë parasysh shenjën Y, dimensioni i matricës bëhet i barabartë me 4. Matrica e ndryshoreve të pavarura X ka dimensionin (14 x 4).
Matrica e përbërë nga Y dhe X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Matrica e transpozuar.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Matrica A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Matrica që rezulton ka korrespondencën e mëposhtme:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑y2 | ∑x1v | ∑x2v |
| ∑x1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Le të gjejmë koeficientët e korrelacionit të çiftëzuar.
| Veçoritë x dhe y | ∑(x i ) | ∑(y i ) | ∑(x i y i ) | |||
| Për y dhe x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Për y dhe x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Për x 1 dhe x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Veçoritë x dhe y | ||||
| Për y dhe x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Për y dhe x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Për x 1 dhe x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Matrica e koeficientëve të korrelacionit të çiftëzuar R:
| - | y | x 1 | x2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Për të zgjedhur faktorët më të rëndësishëm x i, merren parasysh kushtet e mëposhtme:
- marrëdhënia midis tiparit efektiv dhe faktorit duhet të jetë më e lartë se marrëdhënia e ndërfaktorit;
- marrëdhënia midis faktorëve duhet të jetë jo më shumë se 0.7. Nëse matrica ka një koeficient korrelacioni ndërfaktorial r xjxi > 0.7, atëherë ka shumëkolinearitet në këtë model të regresionit të shumëfishtë .;
- me një marrëdhënie të lartë ndërfaktoriale të një tipari, përzgjidhen faktorë me koeficient më të ulët korrelacioni ndërmjet tyre.
Në rastin tonë, të gjithë koeficientët e korrelacionit të çifteve |r| Modeli i regresionit në një shkallë standarde Modeli i regresionit në një shkallë standarde supozon që të gjitha vlerat e veçorive të studiuara shndërrohen në standarde (vlera të standardizuara) duke përdorur formulat:
ku x ji është vlera e ndryshores x ji në vëzhgimin e i-të.
Kështu, origjina e çdo variabli të standardizuar kombinohet me vlerën mesatare të tij dhe devijimi standard i tij merret si njësi ndryshimi. S.
Nëse marrëdhënia midis variablave në një shkallë natyrore është lineare, atëherë ndryshimi i origjinës dhe njësisë matëse nuk do të cenojë këtë veti, kështu që variablat e standardizuar do të lidhen me një marrëdhënie lineare:
t y = ∑β j t xj
Për të vlerësuar koeficientët β, ne përdorim metodën e katrorëve më të vegjël. Në këtë rast, sistemi i ekuacioneve normale do të ketë formën:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Për të dhënat tona (marrim nga matrica e koeficientëve të korrelacionit të çiftëzuar):
0,558 = β 1 + 0,508β 2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ky sistem ekuacionesh lineare zgjidhet me metodën e Gausit: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
Forma e standardizuar e ekuacionit të regresionit është:
y 0 = 0,0789x1 + 0,944x2
Koeficientët β të gjetur nga ky sistem bëjnë të mundur përcaktimin e vlerave të koeficientëve në regresion në një shkallë natyrore duke përdorur formulat:
Koeficientët e standardizuar të regresionit të pjesshëm. Koeficientët e standardizuar të regresionit të pjesshëm - β-koeficientët (β j) tregojnë se me cilën pjesë të devijimit standard të tij S (y) do të ndryshojë rezultati i shenjës y me një ndryshim në faktorin korrespondues x j nga vlera e devijimit standard të tij (S xj) me të njëjtin ndikim të faktorëve të tjerë (të përfshirë në ekuacion).
Nga maksimumi β j, mund të gjykohet se cili faktor ka ndikimin më të madh në rezultatin Y.
Sipas koeficientëve të elasticitetit dhe β-koeficientëve mund të nxirren përfundime të kundërta. Arsyet për këtë janë: a) variacioni i një faktori është shumë i madh; b) ndikimi shumëdrejtues i faktorëve në rezultat.
Koeficienti β j gjithashtu mund të interpretohet si një tregues i ndikimit të drejtpërdrejtë (imediat). j-faktori i th (x j) mbi rezultatin (y). Në regresion të shumëfishtë j Faktori i th ka ndikim jo vetëm të drejtpërdrejtë, por edhe të tërthortë (të tërthortë) në rezultat (d.m.th., ndikim përmes faktorëve të tjerë të modelit).
Ndikimi indirekt matet me vlerën: ∑β i r xj,xi , ku m është numri i faktorëve në model. Ndikim i plotë j-të faktori në rezultat i barabartë me shumën e ndikimeve direkte dhe indirekte mat koeficientin e korrelacionit të çiftit linear të këtij faktori dhe rezultatit - r xj,y .
Kështu për shembullin tonë, ndikimi i drejtpërdrejtë i faktorit x 1 në rezultatin Y në ekuacionin e regresionit matet me β j dhe është 0.0789; Ndikimi indirekt (indirekt) i këtij faktori në rezultat përcaktohet si:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
Në ekonometri, shpesh përdoret një qasje e ndryshme për të përcaktuar parametrat e regresionit të shumëfishtë (2.13) me koeficientin e përjashtuar:
Ndani të dyja anët e ekuacionit me devijimin standard të ndryshores që shpjegohet S Y dhe e paraqesim atë në formën:
Pjestoni dhe shumëzoni çdo term me devijimin standard të ndryshores faktoriale përkatëse për të arritur në variablat e standardizuar (të përqendruar dhe të normalizuar):
ku ndryshoret e reja shënohen si
.
Të gjitha variablat e standardizuar kanë një mesatare prej zero dhe të njëjtën variancë prej një.
Ekuacioni i regresionit në formë të standardizuar është:
ku 
- koeficientët e standardizuar të regresionit.
Koeficientët e standardizuar të regresionit 
të ndryshme nga koeficientët 
forma e zakonshme, e natyrshme në atë që vlera e tyre nuk varet nga shkalla e matjes së ndryshoreve të shpjeguara dhe shpjeguese të modelit. Përveç kësaj, ekziston një marrëdhënie e thjeshtë midis tyre:
, (3.2)
e cila jep një mënyrë tjetër për të llogaritur koeficientët 
sipas vlerave të njohura 
, i cili është më i përshtatshëm në rastin e, për shembull, një model regresioni me dy faktorë.
5.2. Sistemi normal i ekuacioneve të katrorëve më të vegjël në standarde
variablave
Rezulton se për të llogaritur koeficientët e regresionit të standardizuar, duhet të dini vetëm koeficientët çift të korrelacionit linear. Për të treguar se si bëhet kjo, ne përjashtojmë të panjohurën nga sistemi normal i ekuacioneve të katrorëve më të vegjël 
duke përdorur ekuacionin e parë. Shumëzimi i ekuacionit të parë me ( 
) dhe duke e shtuar atë term pas termi me ekuacionin e dytë, marrim:
Zëvendësimi i shprehjeve në kllapa me shënimin për variancë dhe kovariancë
Le të rishkruajmë ekuacionin e dytë në një formë të përshtatshme për thjeshtim të mëtejshëm:
Ndani të dyja anët e këtij ekuacioni me devijimin standard të variablave S Y dhe ` S X 1 , dhe çdo term ndahet dhe shumëzohet me devijimin standard të ndryshores që korrespondon me numrin e termit:
Paraqitja e karakteristikave të një marrëdhënie statistikore lineare:
dhe koeficientët e standardizuar të regresionit
,
marrim:
Pas transformimeve të ngjashme të të gjitha ekuacioneve të tjera, sistemi normal i ekuacioneve lineare LSM (2.12) merr formën e mëposhtme, më të thjeshtë:
(3.3)
5.3. Opsionet e standardizuara të regresionit
Koeficientët e standardizuar të regresionit në rastin e veçantë të një modeli me dy faktorë përcaktohen nga sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve:
(3.4)
Duke zgjidhur këtë sistem ekuacionesh, gjejmë:
, (3.5)
. (3.6)
Duke zëvendësuar vlerat e gjetura të koeficientëve të korrelacionit të çiftit në ekuacionet (3.4) dhe (3.5), marrim 
dhe 
. Pastaj, duke përdorur formulat (3.2), është e lehtë të llogariten vlerësimet për koeficientët 
dhe 
, dhe më pas, nëse është e nevojshme, llogaritni vlerësimin 
sipas formulës 
6. Mundësitë e analizës ekonomike bazuar në një model multifaktorial
6.1. Koeficientët e standardizuar të regresionit
Koeficientët e standardizuar të regresionit tregojnë sa devijime standarde 
ndryshimi në mesataren e variablit të shpjeguar Y nëse ndryshorja shpjeguese përkatëse X i
do të ndryshojë nga shuma 
një nga devijimet standarde të tij duke ruajtur të njëjtat vlera të nivelit mesatar të të gjithë faktorëve të tjerë.
Për shkak të faktit se në regresionin e standardizuar të gjitha variablat jepen si variabla të rastit të përqendruar dhe të normalizuar, koeficientët 
të krahasueshme me njëra-tjetrën. Duke i krahasuar me njëri-tjetrin, mund të renditni faktorët përkatës X i nga forca e ndikimit në variablin që shpjegohet Y. Ky është avantazhi kryesor i koeficientëve të standardizuar të regresionit nga koeficientët 
regresione në formë natyrore, të cilat janë të pakrahasueshme mes tyre.
Kjo veçori e koeficientëve të standardizuar të regresionit bën të mundur përdorimin kur shqyrtohen faktorët më pak të rëndësishëm X i me vlera afër zeros të vlerësimeve të tyre të mostrës 
. Vendimi për përjashtimin e tyre nga ekuacioni model i regresionit linear merret pas testimit të hipotezave statistikore për barazinë e vlerës mesatare të tij me zero.
Koeficienti beta i barabartë me 0.074 (Tabela 3.2.1) tregon se nëse pagat reale ndryshojnë me vlerën e devijimit të tyre standard (σx1), atëherë shkalla e rritjes natyrore të popullsisë do të ndryshojë me një mesatare prej 0.074 σy. Koeficienti beta i barabartë me 0.02 tregon se nëse norma totale e martesës ndryshon me vlerën e devijimit standard të saj (nga σx2), atëherë norma natyrore e rritjes së popullsisë do të ndryshojë me një mesatare prej 0.02 σy. Në mënyrë të ngjashme, një ndryshim në numrin e krimeve për 1000 njerëz nga vlera e devijimit të tij standard (nga σχ3) do të çojë në një ndryshim në tiparin efektiv me një mesatare prej 0,366 σy dhe një ndryshim në hyrjen e metrave katrorë të banimit. lokalet për person në vit nga vlera e devijimit të tij standard (nga σх4) çon në një ndryshim të veçorisë efektive me një mesatare prej 1.32σу.
Koeficienti i elasticitetit tregon se sa përqind y ndryshon mesatarisht me një ndryshim në faktorin e shenjës me 1%. Nga analiza e serisë së dinamikës, bëhet e ditur se vlera prej 1% e rritjes së treguesit efektiv është negative, pasi në të gjitha njësitë e popullsisë vërehet një rënie natyrore e popullsisë. Prandaj, rritja në të vërtetë nënkupton një ulje të humbjes. Pra, koeficientët negativë të elasticitetit në këtë rast pasqyrojnë faktin se me një rritje të secilit prej karakteristikave të faktorit me 1%, koeficienti i shkrirjes natyrore do të ulet me numrin përkatës të përqindjes. Me një rritje të pagave reale me 1%, shkalla e fshirjes do të ulet me 0,219%, me një rritje të normës totale të martesës me 1%, do të ulet me 0,156%. Rritja e numrit të krimeve për 1000 banorë me 1% karakterizohet nga një ulje e rënies natyrore të popullsisë me 0,564. Natyrisht, kjo nuk do të thotë se me rritjen e kriminalitetit, mund të përmirësohet gjendja demografike. Rezultatet e marra tregojnë se sa më shumë njerëz të shpëtohen për 1000 të popullsisë, aq më shumë krime bien në këtë mijë. Rritja e hyrjes sq.m. strehimi për person në vit me 1% çon në një ulje të humbjeve natyrore me 0.482%
Një analizë e koeficientëve të elasticitetit dhe koeficientëve beta tregon se faktori i vënies në punë të metër katror të banesave për frymë ka ndikimin më të madh në koeficientin e rritjes natyrore të popullsisë, pasi i përgjigjet vlerës më të lartë të koeficientit beta (1.32). Megjithatë, kjo nuk do të thotë se mundësitë më të mëdha për ndryshimin e koeficientit të rritjes natyrore të popullsisë shoqërohen me një ndryshim në këtë nga faktorët e konsideruar. Rezultati i përftuar pasqyron faktin se kërkesa në tregun e banesave korrespondon me ofertën, pra sa më e madhe të jetë shtimi natyror i popullsisë, aq më e madhe është nevoja për këtë popullsi për banim dhe aq më shumë po ndërtohet.
Beta e dytë më e madhe (0.366) korrespondon me numrin e krimeve për 1000 njerëz. Natyrisht, kjo nuk do të thotë se me rritjen e kriminalitetit, mund të përmirësohet gjendja demografike. Rezultatet e marra tregojnë se sa më shumë njerëz të shpëtohen për 1000 të popullsisë, aq më shumë krime bien në këtë mijë.
Më e madhja nga karakteristikat e mbetura, koeficienti beta (0,074), i përgjigjet treguesit të pagës reale. Mundësitë më të mëdha për ndryshimin e koeficientit të rritjes natyrore të popullsisë shoqërohen me një ndryshim në këtë nga faktorët e konsideruar. Treguesi i shkallës së përgjithshme të martesës është inferior në këtë drejtim ndaj pagave reale për faktin se rënia natyrore e popullsisë në Rusi është kryesisht për shkak të vdekshmërisë së lartë, shkalla e rritjes së së cilës mund të reduktohet nga mbështetja materiale dhe jo nga një rritja e fakteve të martesës.
3.3 Grupimi i kombinuar i rajoneve sipas pagave reale dhe normës totale të martesës
Një grupim i kombinuar ose shumëdimensional është një grupim i bazuar në dy ose më shumë karakteristika. Vlera e këtij grupimi qëndron në faktin se ai tregon jo vetëm ndikimin e secilit prej faktorëve në rezultat, por edhe ndikimin e kombinimit të tyre.
Le të përcaktojmë efektin e pagave reale dhe normës totale të martesës në shkallën e lindjeve për 1000 njerëz.
I veçojmë grupet tipike sipas veçorive të përvijuara. Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë dhe analizojmë një seri të renditur dhe intervale në bazë të faktorëve (vlera e pagës), do të përcaktojmë numrin e grupeve dhe madhësinë e intervalit; më pas, brenda secilit grup, do të ndërtojmë një seri të renditur dhe intervale sipas shenjës së dytë (norma e martesës) dhe gjithashtu do të vendosim numrin e grupeve dhe intervalin. Procedura për kryerjen e kësaj pune është paraqitur në kapitullin 2, prandaj, duke lënë jashtë llogaritjeve, ne paraqesim rezultatet. Për vlerën e pagave reale, dallohen 3 grupe tipike, për normën totale të martesës - 2 grupe.
Ne do të bëjmë një paraqitje të një tabele kombinimi, në të cilën do të parashikojmë ndarjen e popullsisë në grupe dhe nëngrupe, si dhe kolona për regjistrimin e numrit të rajoneve dhe shkallës së lindjeve për 1000 njerëz të popullsisë. Për grupet dhe nëngrupet e përzgjedhura, ne llogarisim normat e lindjeve (Tabela 3.3.1)
Tabela 3.3.1
Ndikimi i pagave reale dhe shkalla totale e martesave në lindshmërinë.
Le të analizojmë të dhënat e marra për varësinë e lindshmërisë nga pagat reale dhe norma e martesës. Meqenëse po studiohet një shenjë - niveli i lindjeve, ne do t'i shkruajmë të dhënat në lidhje me të në një tabelë kombinimi shahu të formës së mëposhtme (Tabela 3.3.2)
Grupimi i kombinuar ju lejon të vlerësoni shkallën e ndikimit në shkallën e lindjeve të secilit faktor veç e veç dhe ndërveprimin e tyre.
Tabela 3.3.2
Varësia e natalitetit nga pagat reale dhe norma e martesës
Le të studiojmë së pari efektin në lindshmërinë e vlerës së pagave reale me një vlerë fikse të një karakteristike tjetër grupimi - norma e martesës. Pra, me një normë martese nga 13.2 në 25.625, norma mesatare e lindjeve rritet me rritjen e pagave nga 9.04 në grupin e parë në 9.16 në grupin e dytë dhe 9.56 në grupin e tretë; rritja e natalitetit nga pagat në grupin e 3-të krahasuar me atë të 1-rë është: 9,56-9,04 = 0,52 persona për 1000 banorë. Me një normë martesash 25.625-38.05, rritja nga e njëjta shumë e pagave është: 10.27-9.49 = 0.78 persona për 1000 banorë. Rritja nga bashkëveprimi i faktorëve është: 0,78-0,52=0,26 persona për 1000 banorë. Një përfundim krejtësisht i natyrshëm rrjedh nga kjo: një rritje e mirëqenies motivon, ose më saktë, lejon, me besim në të ardhmen, të realizojë dëshirën e një personi për t'u martuar dhe për të krijuar një familje me fëmijë. Kjo tregon ndërveprimin e faktorëve.
Në të njëjtën mënyrë, ne vlerësojmë ndikimin në lindshmërinë e shkallës së martesës në një nivel fiks pagash. Për ta bërë këtë, ne krahasojmë shkallën e lindjeve për grupet "a" dhe "b" brenda secilit grup për sa i përket pagave reale. Rritja e nivelit të lindjeve me një rritje të shkallës së martesës në 25,625-38,05 për 1000 banorë në krahasim me grupin "a" është: në grupin e parë me një pagë prej 5707,9 - 6808,7 rubla. në muaj - 9,49-9,04 \u003d 0,45 persona për 1000 banorë, në grupin e 2-të - 10,01-9,16 \u003d 0,85 persona për 1000 banorë dhe në grupin e 3-të - 10,27- 9,56=0,70 banorë për 1000 banorë. Siç mund ta shihni, vendimi për të pasur një fëmijë varet nga statusi martesor, d.m.th. ka një ndërveprim faktorësh, duke dhënë një rritje prej 0.26 persona për 1000 banorë.
Me një rritje të përbashkët të të dy faktorëve, lindshmëria rritet nga 9.04 në nëngrupin 1 "a" në 10.27 persona për 1000 banorë në nëngrupin 3 "b".
Përfaqësuesit e Komisionit Ekonomik të Kombeve të Bashkuara për Evropën njoftuan së fundmi se mosha e martesës së parë në vendet evropiane është rritur me pesë vjet. Djemtë dhe vajzat preferojnë të martohen dhe të martohen pas 30. Rusët nuk guxojnë të lidhin nyjë para 24-26 vjetësh. Gjithashtu e zakonshme për Evropën dhe Rusinë është bërë një tendencë drejt një reduktimi të numrit të bashkimeve martesore. Të rinjtë preferojnë gjithnjë e më shumë karrierën dhe lirinë personale. Ekspertët vendas i shohin këto procese si shenja të një krize të thellë në familjen tradicionale. Sipas mendimit të tyre, ajo fjalë për fjalë po jeton ditët e saj të fundit. Sociologët argumentojnë se jeta private po kalon tani një periudhë ristrukturimi. Familja në kuptimin e zakonshëm të fjalës, duke jetuar sipas skemës “mami-babi-fëmijë”, gradualisht po bëhet një gjë e së shkuarës. Në jetën private, rusët po eksperimentojnë gjithnjë e më shumë, duke shpikur gjithnjë e më shumë forma të reja të familjes që do të plotësonin kërkesat e kohës. "Tani një person ndryshon punë, profesione, interesa dhe vendbanime më shpesh," tha për Novye Izvestia Anatoly Vishnevsky, drejtor i Qendrës për Demografinë dhe Ekologjinë Njerëzore. "Ai gjithashtu ndryshon shpesh bashkëshortët, gjë që u konsiderua e papranueshme 20 vjet më parë. .”
Sociologët vërejnë se një nga arsyet e rritjes së divorceve në Rusi është standardi i ulët i jetesës së popullsisë. "Sipas statistikave, ka rreth 10-15% më shumë divorce në Rusi sesa në Evropë," i tha NI z. Gontmakher (drejtor shkencor i Qendrës për Kërkime Sociale dhe Inovacion). - Por arsyet e divorcit janë të ndryshme për ne dhe për ata. Epërsia jonë diktohet kryesisht nga fakti se problemet ekonomike po prekin gjithnjë e më shumë jetën e rusëve. Bashkëshortët grinden më shpesh nëse kanë kushte të vështira jetese. Të rinjtë jo gjithmonë arrijnë të jetojnë të pavarur. Përveç kësaj, në rajone, shumë burra pinë, nuk punojnë dhe nuk mund të sigurojnë familjet e tyre. Kjo gjithashtu çon në divorc.
konkluzioni
Në këtë punim bëhet një analizë statistikore dhe ekonomike e ndikimit të standardit të jetesës së popullsisë në proceset e shtimit natyror.
Një analizë e serive kohore tregoi se gjatë 10 viteve të fundit ka pasur një rritje të pagave reale dhe minimumit jetik. Në përgjithësi, gjatë këtyre 10 viteve, shenja efektive - koeficienti i rritjes natyrore - është i palëvizshëm. Stabiliteti i proceseve në zhvillim të ndryshimit në karakteristikat e zgjedhura është i tillë që parashikimi është i mundur vetëm për vlerën e pagave reale dhe shkallën e vdekshmërisë. Sipas trendit parabolik të ndërtuar deri në vitin 2010, vlera e parashikuar e pagës mesatare reale do të jetë 17473.5 rubla, dhe shkalla e vdekshmërisë do të ulet në 12.75 persona për 1000.
Grupimi analitik tregoi një lidhje të drejtpërdrejtë midis treguesve: me rritjen e pagave, treguesit e rritjes natyrore përmirësohen.
Megjithatë, një familje prej dy punëtorësh me një pagë mesatare mund të sigurojë një nivel minimal të konsumit për 2 fëmijë në grupin tipik më të ulët, 3 fëmijë në grupin tipik mesatar dhe më të lartë. Duke pasur parasysh se dy fëmijë “zëvendësojnë” jetën e prindërve të tyre në të ardhmen, një rritje e lehtë e popullsisë është e mundur vetëm në grupet tipike mesatare dhe më të larta, dhe më pas vetëm në kushtet e një vdekshmërie të ulët në krahasim me lindjen. Potenciali për fertilitet, i cili mbartet nga pagat në Rusi, është i ulët për të përmirësuar situatën demografike në vend. Kjo thjesht zbulon nevojën për prezantimin e një projekti kombëtar demografik në Rusi. Rritja e pagave ka një efekt më të favorshëm në shkallën e vdekshmërisë sesa në nivelin e lindjeve.
Ndërtimi i një modeli korrelacion-regresioni zbuloi se ndikimi i njëkohshëm i shenjave të faktorëve (pagat, normat e martesës, normat e krimit dhe komisionimi i banesave) në produktivitetin (rritje natyrore) vërehet me një forcë mesatare të lidhjes. Ndryshimi në koeficientin e rritjes natyrore të popullsisë me 44,9% karakterizohet nga ndikimi i faktorëve të përzgjedhur, dhe 55,1% nga shkaqe të tjera të pa llogaritura dhe të rastësishme. Mundësitë më të mëdha për ndryshimin e koeficientit të rritjes natyrore të popullsisë shoqërohen me një ndryshim në vlerën e pagave reale.
Grupimi i kombinuar konfirmoi se një rritje e pasurisë motivon, ose më saktë lejon, me besim në të ardhmen, të realizohet dëshira e një personi për t'u martuar dhe për të krijuar një familje me fëmijë.
Dhe së fundi, është e nevojshme të vlerësohet efektiviteti i zgjidhjes së problemit të demografisë në vendin tonë. Në përgjithësi, është vërtetuar ndikimi pozitiv dhe efektiv i stimujve materiale në procesin e lëvizjes natyrore të popullsisë. Një tjetër gjë është se ekziston një kompleks problemesh socio-psikologjike (alkoolizmi, dhuna, vetëvrasja), të cilat po zvogëlojnë në mënyrë të pashmangshme numrin e popullsisë sonë. Arsyeja kryesore e tyre është qëndrimi i një personi ndaj vetes dhe të tjerëve. Por këto probleme nuk mund të zgjidhen vetëm nga shteti, shoqëria civile duhet të vijë në ndihmë të saj në problemin e shuarjes, duke formuar vlera morale të fokusuara në krijimin e një familjeje të begatë.
Dhe shteti mund dhe duhet të bëjë gjithçka për të ngritur nivelin dhe cilësinë e jetës në vend. Nuk mund të thuhet se shteti ynë i neglizhon këto detyra. Bën më të mirën për të gjetur dhe provuar mënyra të ndryshme për të dalë nga kriza demografike.
Lista e literaturës së përdorur
1) Borisov E.F. Teoria ekonomike: tekst shkollor - botimi i 2-të, i rishikuar. dhe shtesë - M .: TK Velby, Shtëpia Botuese Prospekt, 2005. - 544 f.
2) Belousova S. analiza e nivelit të varfërisë.// Ekonomist.-2006, Nr. 10.-f.67
3) Davydova L. A. Teoria e statistikave. Tutorial. Moska. Avenue. 2005. 155 faqe;
4) Demografia: Teksti mësimor / Nën gjeneralin. ed. NË TË. Volgin. M.: Shtëpia Botuese e RAGS, 2003 - 384 f.
5) Efimova E. P. Statistikat sociale. Moska. Financa dhe statistika. 2003. 559 faqe;
6) Efimova E.P., Ryabtsev V.M. Teoria e përgjithshme e statistikave. Botim edukativ. Moska. Financa dhe statistika. 1991. 304 faqe;
7) Zinchenko A.P. Workshop mbi teorinë e përgjithshme të statistikave dhe statistikat bujqësore. Moska. Financa dhe statistika. 1988. 328 faqe;
8) Kadomtseva S. Politika sociale dhe popullsia.// Ekonomist.-2006, Nr. 7.-f.49
9) Kozyrev V.M. Bazat e ekonomisë moderne: Libër mësuesi. - Botimi i 2-të, i rishikuar. dhe shtesë –M.: Financa dhe statistika, 2001.-432f.
10) Konygina N. Brintseva G. Demograf Anatoly Vishnevsky për atë që e bën një rus të zgjedhë midis fëmijëve dhe rehatisë. 7
11) Nazarova N.G. Kursi i statistikave sociale. Moska. Finstatinform. 2000. 770 faqe;
13) Bazat e demografisë: Teksti mësimor / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Më e lartë. Shk., 2004.-374 f.: ill.
14) Fjala e Presidentit të Federatës Ruse drejtuar Asamblesë Federale të Federatës Ruse të 26 prillit 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Fjalor modern ekonomik. – Botimi i 4-të, i rishikuar. dhe shtesë -M.: INFRA-M, 2005.-480.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Workshop mbi statistikat. - Shën Petersburg: Peter, 2007.-288f.
17) Faqja e internetit e Shërbimit Federal të Statistikave www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Vlerësimi i mundshëm i popullsisë së Rusisë në afat të mesëm.// Pyetje të statistikave.-2007, Nr. 4 -f.47
REZULTATI (ÇELËSI PËR CHIPET)
1-paga nominale mesatare mujore në 2006 (në rubla)
2-indekset e çmimeve të konsumit për të gjitha llojet e mallrave dhe shërbimeve me pagesë në vitin 2006 si përqindje e dhjetorit të vitit të kaluar
3- paga reale mesatare mujore në 2006 (në rubla)
4 - popullsia në fillim të vitit 2006
5 - popullsia në fund të vitit 2006
6 - popullsia mesatare vjetore në vitin 2006
7 - numri i lindjeve në vitin 2006, njerëz
8 - numri i vdekjeve në vitin 2006, njerëz
9 - lindshmëria në vitin 2006 për 1000 banorë
10 - shkalla e vdekshmërisë në vitin 2006 për 1000 banorë
11 - koeficienti i shtimit natyror në vitin 2006 për 1000 banorë
12 - vlera e minimumit jetik për vitin 2006 (në rubla)
13 - numri i krimeve të kryera për 1000 banorë të popullsisë
14 - vënia në punë e metrave katrorë të banesave për person në vit
15 - norma totale e martesës për 1000 banorë
Shtojca 1
Tabela
Paga reale, fshij.
Shtojca 2
Minimumi jetik, fshij.
Shtojca 3
