Shembulli i diskutuar më sipër na lejon të konkludojmë se vlerat e përdorura për analizë varen nga shkaqe të rastësishme, prandaj variabla të tillë quhen e rastit. Në shumicën e rasteve, ato shfaqen si rezultat i vëzhgimeve ose eksperimenteve, të cilat përmblidhen në tabela, në rreshtin e parë të të cilave regjistrohen vlerat e ndryshme të vëzhguara të ndryshores së rastësishme X, dhe në të dytën - ato përkatëse. frekuencave. Prandaj, kjo tabelë quhet shpërndarja empirike e një ndryshoreje të rastësishme X ose seri variacionale. Për serinë variacionale, gjetëm vlerën mesatare, variancën dhe devijimin standard.

të vazhdueshme, nëse vlerat e tij plotësojnë plotësisht një interval numerik.

Ndryshorja e rastësishme quhet diskrete, nëse të gjitha vlerat e tij mund të numërohen (në veçanti, nëse merr një numër të kufizuar vlerash).

Duhet theksuar dy vetitë karakteristike tabelat e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Të gjithë numrat në rreshtin e dytë të tabelës janë pozitivë;

Shuma e tyre është e barabartë me një.

Në përputhje me studimet e kryera, mund të supozohet se me një rritje të numrit të vëzhgimeve, shpërndarja empirike i afrohet shpërndarjes teorike të dhënë në formë tabelare.

Një karakteristikë e rëndësishme e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria e saj matematikore.

pritje matematikore ndryshorja diskrete e rastësishme X, duke marrë vlerat, , …, . me probabilitete, , …, quhet numër:

Pritshmëria matematikore quhet edhe mesatare.

Karakteristikat e tjera të rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme përfshijnë variancën (8) dhe devijimin standard (9).

ku: pritshmëria matematikore e vlerës x.

. (9)

Paraqitja grafike e informacionit është shumë më e qartë se ajo tabelare, ndaj përdoret shumë shpesh aftësia e tabelave MS Excel për të paraqitur të dhënat e vendosura në to në formën e grafikëve, grafikëve dhe histogrameve të ndryshme. Pra, përveç tabelës, shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme përshkruhet gjithashtu duke përdorur poligonin e shpërndarjes. Për ta bërë këtë, pikat me koordinata , , ... ndërtohen në planin koordinativ dhe lidhen me segmente të drejta.

Për të marrë një drejtkëndësh shpërndarjeje duke përdorur MS Excel, duhet:

1. Zgjidhni skedën "Insert" ® "Area Chart" në shiritin e veglave.

2. Aktivizoni zonën për grafikun që u shfaq në fletën MS Excel me butonin e djathtë të miut dhe përdorni komandën "Zgjidh të dhënat" në menynë e kontekstit.

Oriz. 6. Zgjedhja e një burimi të dhënash

Së pari, le të përcaktojmë gamën e të dhënave për grafikun. Për ta bërë këtë, në zonën e duhur të kutisë së dialogut "Zgjidhni burimin e të dhënave", vendosni intervalin C6:I6 (ai përmban vlerat e frekuencës, të quajtura Row1, Fig. 7).

Oriz. 7. Shtoni rreshtin 1

Për të ndryshuar emrin e një serie, zgjidhni butonin për të ndryshuar zonën "Elementet e legjendës (seri)" (shih Fig. 7) dhe emërtojeni atë.

Për të shtuar një etiketë për boshtin X, përdorni butonin "Ndrysho" në zonën "Etiketat e boshtit horizontal (kategoritë)".
(Fig. 8) dhe tregoni vlerat e serisë (vargu $C$6:$I$6).

Oriz. 8. Pamja përfundimtare e kutisë së dialogut "Zgjidh burimin e të dhënave"

Zgjedhja e një butoni në kutinë e dialogut Zgjidh burimin e të dhënave
(Fig. 8) do t'ju lejojë të merrni poligonin e kërkuar të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme (Fig. 9).

Oriz. 9. Shpërndarja shumëkëndëshe e një ndryshoreje të rastësishme

Le të bëjmë disa ndryshime në hartimin e informacionit grafik të marrë:

Shtoni një etiketë të boshtit x;

Redaktoni etiketën e boshtit Y;

- Le të shtojmë një titull për grafikun "Poligoni i shpërndarjes".

Për ta bërë këtë, zgjidhni skedën “Work with charts” në zonën e shiritit të veglave, skedën “Layout” dhe në shiritin e veglave që shfaqet, butonat përkatës: “Emri i grafikut”, “Emrat e boshteve” (Fig. 10).

Oriz. 10. Forma përfundimtare e shumëkëndëshit e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit

Ndryshore e rastësishme Quhet një sasi e cila, si rezultat i një eksperimenti, mund të marrë një ose një vlerë tjetër që nuk dihet paraprakisht. Variablat e rastësishëm janë i ndërprerë (diskret) Dhe të vazhdueshme lloji. Vlerat e mundshme të sasive të ndërprera mund të numërohen paraprakisht. Vlerat e mundshme të sasive të vazhdueshme nuk mund të numërohen paraprakisht dhe të plotësojnë vazhdimisht një boshllëk të caktuar.

Një shembull i ndryshoreve të rastësishme diskrete:

1) Numri i paraqitjes së stemës në tre hedhje monedhash. (vlerat e mundshme janë 0;1;2;3)

2) Frekuenca e paraqitjes së stemës në të njëjtin eksperiment. (vlerat e mundshme)

3) Numri i elementeve të dështuar në një pajisje të përbërë nga pesë elementë. (Vlerat e mundshme janë 0;1;2;3;4;5)

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme:

1) Abshisa (ordinata) e pikës së goditjes kur gjuhet.

2) Distanca nga pika e goditjes deri në qendrën e objektivit.

3) Koha e funksionimit të padefektit të pajisjes (tubat e radios).

Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronjat e vogla përkatëse. Për shembull, X është numri i goditjeve me tre të shtëna; vlerat e mundshme: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Konsideroni një ndryshore të rastësishme të ndërprerë X me vlera të mundshme X 1 , X 2 , ... , X n . Secila prej këtyre vlerave është e mundur, por jo e sigurt, dhe vlera e X mund të marrë secilën prej tyre me disa probabilitet. Si rezultat i eksperimentit, sasia X do të marrë një nga këto vlera, domethënë do të ndodhë një nga grupi i plotë i ngjarjeve të papajtueshme.

Le të shënojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve me shkronjat p me indekset përkatëse:

Meqenëse ngjarjet e papajtueshme formojnë një grup të plotë, atëherë

domethënë, shuma e probabiliteteve të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme është e barabartë me 1. Ky probabilitet total shpërndahet disi midis vlerave individuale. Një ndryshore e rastësishme do të përshkruhet plotësisht nga një këndvështrim probabilistik nëse specifikojmë këtë shpërndarje, domethënë, tregojmë saktësisht se çfarë probabiliteti ka secila prej ngjarjeve. (Kjo do të vendosë të ashtuquajturin ligj të shpërndarjes së variablave të rastësishëm.)

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishmeÇdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetit përkatës quhet. (Për një variabël të rastësishëm, do të themi se i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes)

Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një tabelë që liston vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet përkatëse të tyre.

Tabela 1.

variablat e rastësishëm. Shumëkëndëshi i shpërndarjes

Variablat e rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Gjatë kryerjes së një eksperimenti stokastik, formohet një hapësirë e ngjarjeve elementare - rezultatet e mundshme të këtij eksperimenti. Konsiderohet se mbi këtë hapësirë të ngjarjeve elementare vlerë e rastësishme X, nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo ngjarje elementare i caktohet një numër. Kështu, ndryshorja e rastësishme X mund të konsiderohet si një funksion i përcaktuar në hapësirën e ngjarjeve elementare.

■ Të rastësishme- një vlerë që gjatë çdo prove merr një ose një vlerë numerike (nuk dihet paraprakisht cila), në varësi të shkaqeve të rastësishme që nuk mund të merren parasysh paraprakisht. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme shënohen me shkronja të vogla. Pra, kur hidhet një za, ndodh një ngjarje e lidhur me numrin x, ku x është numri i pikëve të hedhura. Numri i pikëve është një vlerë e rastësishme, dhe numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 janë vlerat e mundshme të kësaj vlere. Distanca që do të fluturojë një predhë kur gjuhet nga një armë është gjithashtu një variabël i rastësishëm (kjo varet nga instalimi i pamjes, forca dhe drejtimi i erës, temperatura dhe faktorë të tjerë) dhe vlerat e mundshme të kësaj sasie i përkasin një intervali të caktuar (a; b).

■ Ndryshore diskrete e rastësishme- një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i pafund.

■ Variabli i rastësishëm i vazhdueshëmështë një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i kufizuar ose i pafund. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Për shembull, numri i pikëve të rënë gjatë hedhjes së një zari, rezultati për një punë kontrolli janë variabla diskrete të rastësishme; distanca që fluturon një predhë kur gjuan nga një armë, gabimi i matjes së treguesit të kohës së asimilimit të materialit arsimor, lartësia dhe pesha e një personi janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme- korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th. çdo vlerë e mundshme x i shoqërohet me probabilitetin p i me të cilin ndryshorja e rastësishme mund ta marrë këtë vlerë. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të jepet në mënyrë tabelare (në formën e tabelës), në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Lëreni një ndryshore të rastësishme diskrete X të marrë vlerat x 1 , x 2 , …, x n me probabilitete p 1 , p 2 , …, p n përkatësisht, d.m.th. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Me një caktim tabelor të ligjit të shpërndarjes së kësaj vlere, rreshti i parë i tabelës përmban vlerat e mundshme x 1, x 2, ..., x n, dhe e dyta - probabilitetet e tyre

X	x 1	x2	…	x n
fq	p1	p2	…	p n

Si rezultat i testit, ndryshorja diskrete e rastësishme X merr një dhe vetëm një nga vlerat e mundshme, kështu që ngjarjet X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift, dhe , pra, shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një, d.m.th. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Shpërndarja e shumëkëndëshit (shumëkëndëshit).

Siç e dini, një ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre - me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Një ndryshore e rastësishme diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1. Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht - nga një poligon (poligoni) i shpërndarjes (shih detyrën 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme, nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose më shumë numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera mesatare e saj. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.

Karakteristikat kryesore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i .
Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme diskrete D(X)= M 2 ose D(X) = M(X 2)− 2 . Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
Devijimi standard (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

· Për qartësinë e paraqitjes së serisë së variacioneve, paraqitjet e saj grafike kanë një rëndësi të madhe. Grafikisht, një seri variacionale mund të shfaqet si një poligon, një histogram dhe një kumulim.

· Një shumëkëndësh shpërndarjeje (fjalë për fjalë, një shumëkëndësh shpërndarjeje) quhet një vijë e thyer, e cila është e ndërtuar në një sistem koordinativ drejtkëndor. Vlera e veçorisë vizatohet në abshisë, frekuencat përkatëse (ose frekuencat relative) - përgjatë ordinatës. Pikat (ose ) lidhen me segmente vijash dhe fitohet një poligon i shpërndarjes. Më shpesh, poligonet përdoren për të shfaqur seritë diskrete të variacioneve, por ato mund të përdoren edhe për seritë intervale. Në këtë rast, pikat që korrespondojnë me pikat e mesit të këtyre intervaleve vizatohen në boshtin e abshisës.

X i	x1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

Një tabelë e tillë quhet afër shpërndarjes variablat e rastësishëm.

Për t'i dhënë serisë së shpërndarjes një formë më vizuale, ata përdorin paraqitjen e saj grafike: vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës, dhe probabilitetet e këtyre vlerave vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. (Për qartësi, pikat e marra lidhen me segmente vijash.)

Figura 1 - poligoni i shpërndarjes

Një figurë e tillë quhet poligonin e shpërndarjes. Shumëkëndëshi i shpërndarjes, ashtu si seria e shpërndarjes, karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm; është një formë e ligjit të shpërndarjes.

Shembull:

kryhet një eksperiment në të cilin ngjarja A mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti i ngjarjes A = 0.3. Konsiderohet një ndryshore e rastësishme X - numri i ndodhive të ngjarjes A në këtë eksperiment. Është e nevojshme të ndërtohet një seri dhe një poligon i shpërndarjes së X.

Tabela 2.

X i
Pi	0,7	0,3

Figura 2 - Funksioni i shpërndarjes

funksioni i shpërndarjesështë një karakteristikë universale e një ndryshoreje të rastësishme. Ai ekziston për të gjitha variablat e rastësishëm: si të ndërprerë ashtu edhe jo të vazhdueshëm. Funksioni i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme nga një këndvështrim probabilistik, domethënë është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Për të përcaktuar sasinë e kësaj shpërndarjeje probabiliteti, është e përshtatshme të përdoret jo probabiliteti i ngjarjes X=x, por probabiliteti i ngjarjes X.

Funksioni i shpërndarjes F(x) nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes integrale ose ligji i shpërndarjes integrale.

Vetitë e funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

1. Funksioni i shpërndarjes F(x) është një funksion jozvogëlues i argumentit të tij, pra për ;

2. Në minus pafundësi:

3. Në plus pafundësi:

Figura 3 - grafiku i funksionit të shpërndarjes

Grafiku i funksionit të shpërndarjes në rastin e përgjithshëm, është një grafik i një funksioni jo-zvogëlues, vlerat e të cilit fillojnë nga 0 dhe arrijnë në 1.

Duke ditur serinë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, është e mundur të ndërtohet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Shembull:

për kushtet e shembullit të mëparshëm, ndërtoni një funksion shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme.

Le të ndërtojmë funksionin e shpërndarjes X:

Figura 4 - funksioni i shpërndarjes X

funksioni i shpërndarjes e çdo ndryshoreje të rastësishme diskrete të ndërprerë ekziston gjithmonë një funksion hapi i ndërprerë, kërcimet e të cilit ndodhin në pikat që korrespondojnë me vlerat e mundshme të ndryshores së rastit dhe janë të barabarta me probabilitetet e këtyre vlerave. Shuma e të gjitha kërcimeve në funksionin e shpërndarjes është 1.

Ndërsa numri i vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme rritet dhe intervalet midis tyre zvogëlohen, numri i kërcimeve bëhet më i madh dhe vetë kërcimet bëhen më të vogla:

Figura 5

Kurba e hapit bëhet më e lëmuar:

Figura 6

Një ndryshore e rastësishme gradualisht i afrohet një vlere të vazhdueshme dhe funksioni i saj i shpërndarjes i afrohet një funksioni të vazhdueshëm. Ekzistojnë gjithashtu variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave mbushin vazhdimisht një boshllëk të caktuar, por funksioni i shpërndarjes për të cilat nuk është kudo i vazhdueshëm. Dhe në disa momente prishet. Variabla të tilla të rastësishme quhen të përziera.

Figura 7

Detyra 14. Në lotarinë e parave të gatshme luhet 1 fitore prej 1,000,000 rubla, 10 fitore nga 100,000 rubla secila. dhe 100 fitime prej 1000 rubla. me një numër total biletash 10000. Gjeni ligjin e shpërndarjes së fitimeve të rastësishme X për pronarin e një bilete llotarie.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme për X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Probabilitetet e tyre janë përkatësisht të barabarta: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Prandaj, ligji i shpërndarjes së fitimit X mund të jepet nga tabela e mëposhtme:

Detyra 15. Ndryshore diskrete e rastësishme X dhënë nga ligji i shpërndarjes:

Ndërtoni një shumëkëndësh të shpërndarjes.

Zgjidhje. Ne ndërtojmë një sistem koordinativ drejtkëndor dhe përgjatë boshtit të abshisave do të vizatojmë vlerat e mundshme x i, dhe përgjatë boshtit y - probabilitetet përkatëse p i. Le të ndërtojmë pikë M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0.4) dhe M 4 (8; 0.3). Duke i lidhur këto pika me segmente vijash, marrim poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

§2. Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Një ndryshore e rastësishme karakterizohet plotësisht nga ligji i shpërndarjes së saj. Një përshkrim mesatar i një ndryshoreje të rastësishme mund të merret duke përdorur karakteristikat e saj numerike

2.1. Vlera e pritshme. Dispersion.

Lëreni një ndryshore të rastësishme të marrë vlerat me probabilitet përkatësisht.

Përkufizimi. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve përkatëse:

Vetitë e pritjes matematikore.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare karakterizohet nga varianca dhe devijimi standard.

Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Për llogaritjet, përdoret formula e mëposhtme

Vetitë e dispersionit.

2. , ku janë variabla të rastësishme të pavarura reciprokisht.

3. Devijimi standard.

Detyra 16. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Z = X+ 2Y, nëse dihen pritshmëritë matematikore të ndryshoreve të rastit X Dhe Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Zgjidhje. Ne përdorim vetitë e pritjes matematikore. Pastaj marrim:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Detyra 17. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme X e barabartë me 3. Gjeni variancën e ndryshoreve të rastit: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Zgjidhje. Le të zbatojmë vetitë 3, 4 dhe 2 të dispersionit. Ne kemi:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Detyra 18. Jepet një ndryshore e pavarur e rastësishme Yështë numri i pikëve të shënuara me hedhjen e një trupi. Gjeni ligjin e shpërndarjes, pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme Y.

Zgjidhje. Tabela e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme Y duket si:

Pastaj M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.