V. Variačné rady, priemerné hodnoty, variabilita znakov
Variačné série je séria číselných hodnôt funkcie.
Hlavné charakteristiky variačného radu: v - variant, p - frekvencia jeho výskytu.
Typy variačných sérií:
podľa frekvencie výskytu variantov: jednoduchý - variant sa vyskytuje raz, vážený - variant sa vyskytuje dva a viackrát;
opcie podľa miesta: zoradené - opcie sú usporiadané zostupne a vzostupne, nezoradené - opcie sa nezapisujú v určitom poradí;
zoskupením možnosti do skupín: zoskupené - možnosti sa spájajú do skupín, nezoskupené - možnosti sa nezdružujú;
podľa hodnoty opcie: spojité - možnosti sú vyjadrené ako celé číslo a zlomkové číslo, diskrétne - možnosti sú vyjadrené ako celé číslo, komplexné - opcie sú vyjadrené relatívnou alebo priemernou hodnotou.
Na výpočet priemerných hodnôt sa zostaví a zostaví variačná séria.
Forma zápisu variačného radu:
8. Priemerné hodnoty, druhy, spôsob výpočtu, aplikácia v zdravotníctve
Priemerné hodnoty- celková zovšeobecňujúca charakteristika kvantitatívnych charakteristík. Aplikácia priemerov:
1. Charakterizovať organizáciu práce zdravotníckych zariadení a zhodnotiť ich činnosť:
a) v poliklinike: ukazovatele vyťaženosti lekárov, priemerný počet návštev, priemerný počet obyvateľov v okolí;
b) v nemocnici: priemerný počet lôžkodní za rok; priemerná dĺžka pobytu v nemocnici;
c) v centre hygieny, epidemiológie a verejného zdravia: priemerná plocha (alebo kubický objem) na 1 osobu, priemerné výživové normy (bielkoviny, tuky, sacharidy, vitamíny, minerálne soli, kalórie), hygienické normy a normy atď. ;
2. Charakterizovať telesný vývoj (hlavné antropometrické znaky morfologické a funkčné);
3. Zisťovať medicínske a fyziologické parametre organizmu za normálnych a patologických stavov v klinických a experimentálnych štúdiách.
4. V špeciálnom vedeckom výskume.
Rozdiel medzi priemernými hodnotami a ukazovateľmi:
1. Koeficienty charakterizujú alternatívny znak vyskytujúci sa len v niektorej časti štatistického tímu, ktorý sa môže, ale nemusí uskutočniť.
Priemerné hodnoty pokrývajú znaky vlastné všetkým členom tímu, ale v rôznej miere (hmotnosť, výška, dni liečenia v nemocnici).
2. Koeficienty sa používajú na meranie kvalitatívnych znakov. Priemerné hodnoty sú pre rôzne kvantitatívne znaky.
Typy priemerov:
aritmetický priemer, jeho charakteristiky - smerodajná odchýlka a priemerná chyba
režim a medián. Móda (Po)- zodpovedá hodnote vlastnosti, ktorá sa najčastejšie vyskytuje v tejto populácii. Medián (ja)- hodnota atribútu, ktorý v tejto populácii zaberá strednú hodnotu. Rozdeľuje sériu na 2 rovnaké časti podľa počtu pozorovaní. Aritmetický priemer (M)- na rozdiel od modu a mediánu sa spolieha na všetky vykonané pozorovania, preto je dôležitou charakteristikou pre celé rozdelenie.
iné typy priemerov, ktoré sa používajú v špeciálnych štúdiách: odmocninový priemer, kubický, harmonický, geometrický, progresívny.
Aritmetický priemer charakterizuje priemernú úroveň štatistickej populácie.
Pre jednoduchú sériu kde
∑v – možnosť súčtu,
n je počet pozorovaní.
pre vážený rad, kde
∑vr je súčet súčinov každej možnosti a frekvencie jej výskytu
n je počet pozorovaní.
Smerodajná odchýlka aritmetický priemer alebo sigma (σ) charakterizuje rôznorodosť znaku
- pre jednoduchý riadok
Σd 2 - súčet druhých mocnín rozdielu medzi aritmetickým priemerom a každou možnosťou (d = │M-V│)
n je počet pozorovaní
- pre vážené série
∑d 2 p je súčet súčinov druhých mocnín rozdielu medzi aritmetickým priemerom a každou možnosťou a frekvenciou jej výskytu,
n je počet pozorovaní.
Mieru diverzity možno posúdiť podľa hodnoty variačného koeficientu 
. Viac ako 20 % – silná diverzita, 10 – 20 % – stredná diverzita, menej ako 10 % – slabá diverzita.
Ak sa k aritmetickému priemeru pripočíta a odpočíta jedna sigma (M ± 1σ), potom pri normálnom rozdelení bude najmenej 68,3 % všetkých variantov (pozorovaní) v rámci týchto limitov, čo sa považuje za normu pre skúmaný jav. . Ak k 2 ± 2σ, potom 95,5 % všetkých pozorovaní bude v rámci týchto limitov a ak k M ± 3σ, potom 99,7 % všetkých pozorovaní bude v rámci týchto limitov. Smerodajná odchýlka je teda smerodajná odchýlka, ktorá umožňuje predpovedať pravdepodobnosť výskytu takej hodnoty skúmaného znaku, ktorá je v stanovených medziach.
Priemerná chyba aritmetického priemeru alebo chyba reprezentatívnosti. Pre jednoduché, vážené série a podľa momentového pravidla:
.
Na výpočet priemerných hodnôt je potrebné: homogenita materiálu, dostatočný počet pozorovaní. Ak je počet pozorovaní menší ako 30, vo vzorcoch na výpočet σ a m sa použije n-1.
Pri hodnotení výsledku získaného veľkosťou priemernej chyby sa používa koeficient spoľahlivosti, ktorý umožňuje určiť pravdepodobnosť správnej odpovede, to znamená, že výsledná vzorková chyba nebude väčšia ako skutočná chyba. ako výsledok nepretržitého pozorovania. V dôsledku toho sa so zvyšovaním pravdepodobnosti spoľahlivosti zvyšuje šírka intervalu spoľahlivosti, čo zase zvyšuje spoľahlivosť úsudku, podporu získaného výsledku.
Séria variácií – séria, v ktorej sa porovnávajú (vo vzostupnom alebo zostupnom poradí) možnosti a ich príslušné frekvencie
Varianty sú samostatné kvantitatívne vyjadrenia vlastnosti. Označené latinským písmenom V . Klasické chápanie pojmu „variant“ predpokladá, že každá jedinečná hodnota funkcie sa nazýva variant, bez ohľadu na počet opakovaní.
Napríklad vo variačnej sérii indikátorov systolického krvného tlaku meraných u desiatich pacientov:
110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;
iba 6 hodnôt je možností:
110, 120, 130, 140, 160, 170.
Frekvencia je číslo označujúce, koľkokrát sa možnosť opakuje. Označuje sa latinským písmenom P . Súčet všetkých frekvencií (ktorý sa samozrejme rovná počtu všetkých študovaných) sa označuje ako n.
- V našom príklade budú frekvencie nadobúdať nasledujúce hodnoty:
- pre variant 110 frekvencia P = 1 (hodnota 110 sa vyskytuje u jedného pacienta),
- pre variant 120 frekvencia P = 2 (hodnota 120 sa vyskytuje u dvoch pacientov),
- pre variant 130 frekvencia P = 3 (hodnota 130 sa vyskytuje u troch pacientov),
- pre variant 140 frekvencia P = 2 (hodnota 140 sa vyskytuje u dvoch pacientov),
- pre variant 160 frekvencia P = 1 (hodnota 160 sa vyskytuje u jedného pacienta),
- pre variant 170 frekvencia P = 1 (hodnota 170 sa vyskytuje u jedného pacienta),
Typy variačných sérií:
- jednoduché- ide o sériu, v ktorej sa každá možnosť vyskytuje iba raz (všetky frekvencie sú rovné 1);
- pozastavené- séria, v ktorej sa opakovane vyskytuje jedna alebo viac možností.
Séria variácií sa používa na opis veľkých polí čísel; v tejto forme sú na začiatku prezentované zozbierané údaje väčšiny lekárskych štúdií. Na charakterizáciu variačných radov sa počítajú špeciálne ukazovatele vrátane priemerných hodnôt, ukazovateľov variability (tzv. rozptyl), ukazovateľov reprezentatívnosti výberových údajov.
Indikátory série variácií
1) Aritmetický priemer je zovšeobecňujúci ukazovateľ, ktorý charakterizuje veľkosť študovaného znaku. Aritmetický priemer je označený ako M , je najbežnejším typom priemeru. Aritmetický priemer sa vypočíta ako pomer súčtu hodnôt ukazovateľov všetkých jednotiek pozorovania k počtu všetkých skúmaných. Metóda výpočtu aritmetického priemeru sa líši pre jednoduchý a vážený rad variácií.
Vzorec na výpočet jednoduchý aritmetický priemer:
Vzorec na výpočet vážený aritmetický priemer:
M = Σ(V*P)/n
2) Režim - ďalšia priemerná hodnota variačného radu, zodpovedajúca najčastejšie opakovanému variantu. Alebo inak povedané, toto je možnosť, ktorá zodpovedá najvyššej frekvencii. Označený ako Mo . Režim sa počíta len pre vážené série, keďže v jednoduchých sériách sa žiadna z možností neopakuje a všetky frekvencie sú rovné jednej.
Napríklad v sérii variácií hodnôt srdcovej frekvencie:
80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;
hodnota režimu je 86, keďže tento variant sa vyskytuje 3x, preto je jeho frekvencia najvyššia.
3) Medián - hodnota opcie, deliaca sériu variácií na polovicu: na jej oboch stranách je rovnaký počet opcií. Medián, ako aj aritmetický priemer a režim sa vzťahujú na priemerné hodnoty. Označený ako ja
4) Smerodajná odchýlka (synonymá: štandardná odchýlka, odchýlka sigma, sigma) - miera variability radu variácií. Ide o integrálny ukazovateľ, ktorý kombinuje všetky prípady odchýlky variantu od priemeru. V skutočnosti odpovedá na otázku: ako ďaleko a ako často sa opcie šíria od aritmetického priemeru. Označené gréckym písmenom σ ("sigma").
Ak je veľkosť populácie väčšia ako 30 jednotiek, štandardná odchýlka sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
Pre malé populácie – 30 jednotiek pozorovania alebo menej – sa štandardná odchýlka vypočíta pomocou iného vzorca:
Metóda zoskupovania umožňuje aj meranie variácia(premenlivosť, kolísanie) znakov. Pri relatívne malom počte jednotiek populácie sa odchýlka meria na základe radu jednotiek, ktoré tvoria populáciu. Riadok sa volá zoradené ak sú jednotky usporiadané vzostupne (zostupne).
Hodnotené série sú však skôr orientačné, keď je potrebná porovnávacia charakteristika variácie. Okrem toho sa v mnohých prípadoch musíme zaoberať štatistickými agregátmi pozostávajúcimi z veľkého počtu jednotiek, ktoré je prakticky ťažké reprezentovať vo forme konkrétneho radu. V tomto ohľade sa na počiatočné všeobecné oboznámenie sa so štatistickými údajmi a najmä na uľahčenie štúdia variácií znakov študované javy a procesy zvyčajne spájajú do skupín a výsledky zoskupovania sa zostavujú vo forme skupinových tabuliek. .
Ak sú v tabuľke skupín len dva stĺpce – skupiny podľa zvolenej vlastnosti (možností) a počtu skupín (frekvencií alebo frekvencií), ide o tzv. blízko distribúcie.
Distribučný rozsah - najjednoduchší typ štruktúrneho zoskupenia podľa jedného atribútu, zobrazený v tabuľke skupín s dvoma stĺpcami obsahujúcimi varianty a frekvencie atribútu. V mnohých prípadoch pri takomto štruktúrnom zoskupení, t.j. pri zostavovaní distribučných radov sa začína štúdium počiatočného štatistického materiálu.
Štrukturálne zoskupenie vo forme distribučného radu sa môže zmeniť na skutočné štruktúrne zoskupenie, ak sú vybrané skupiny charakterizované nielen frekvenciami, ale aj inými štatistickými ukazovateľmi. Hlavným účelom distribučných sérií je študovať variácie funkcií. Teóriu distribučných radov podrobne rozvíja matematická štatistika.
Distribučné série sú rozdelené na prívlastkový(zoskupenie podľa atribútových vlastností, napr. rozdelenie obyvateľstva podľa pohlavia, národnosti, rodinného stavu a pod.) a variačný(zoskupenie podľa kvantitatívnych charakteristík).
Variačné série je tabuľka skupín, ktorá obsahuje dva stĺpce: zoskupenie jednotiek podľa jedného kvantitatívneho atribútu a počet jednotiek v každej skupine. Intervaly vo variačných radoch sú zvyčajne rovnaké a uzavreté. Variačný rad predstavuje nasledujúce zoskupenie ruskej populácie z hľadiska priemerného peňažného príjmu na obyvateľa (tabuľka 3.10).
Tabuľka 3.10
Rozdelenie obyvateľstva Ruska podľa priemerného príjmu na obyvateľa v rokoch 2004-2009
|
Skupiny obyvateľstva podľa priemerného peňažného príjmu na obyvateľa, rub./mes |
Obyvateľstvo v skupine, v % z celk |
|||||
|
8 000,1-10 000,0 |
||||||
|
10 000,1-15 000,0 |
||||||
|
15 000,1-25 000,0 |
||||||
|
Viac ako 25 000,0 |
||||||
|
Celá populácia |
||||||
Variačné rady sa zase delia na diskrétne a intervalové. Diskrétne série variácií kombinujú varianty diskrétnych prvkov, ktoré sa líšia v úzkych medziach. Príkladom série diskrétnych variácií je rozdelenie ruských rodín podľa počtu detí, ktoré majú.
Interval Variačné série kombinujú varianty buď súvislých prvkov alebo diskrétnych prvkov, ktoré sa menia v širokom rozsahu. Intervalový rad je variačným radom rozloženia ruskej populácie z hľadiska priemerného peňažného príjmu na obyvateľa.
Diskrétne variačné rady sa v praxi veľmi často nepoužívajú. Ich zostavenie nie je zložité, pretože zloženie skupín je určené špecifickými variantmi, ktoré skúmané zoskupovacie charakteristiky skutočne majú.
Rozšírené sú intervalové variačné série. Pri ich zostavovaní vyvstáva zložitá otázka počtu skupín, ako aj veľkosti intervalov, ktoré by sa mali stanoviť.
Zásady riešenia tohto problému sú uvedené v kapitole o metodike zostavovania štatistických zoskupení (pozri odsek 3.3).
Variačné série sú prostriedkom na zbalenie alebo stlačenie rôznorodých informácií do kompaktnej formy; možno ich použiť na vytvorenie pomerne jasného úsudku o povahe variácie, na štúdium rozdielov v znakoch javov zahrnutých v skúmanom súbore. Najdôležitejším významom variačných radov je však to, že na ich základe sa vypočítajú špeciálne zovšeobecňujúce charakteristiky variácie (pozri kapitolu 7).
variačný distribučné série postavené na kvantitatívnom základe. Hodnoty kvantitatívnych charakteristík v jednotlivých jednotkách populácie nie sú konštantné, viac-menej sa navzájom líšia.
Variácia- kolísanie, variabilita hodnoty atribútu v jednotkách populácie. Samostatné číselné hodnoty znaku vyskytujúceho sa v skúmanej populácii sú tzv možnosti hodnoty. Nedostatočnosť priemernej hodnoty na úplnú charakterizáciu populácie si vyžaduje doplnenie priemerných hodnôt ukazovateľmi, ktoré umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním fluktuácie (variácie) študovaného znaku.
Prítomnosť variácií je spôsobená vplyvom veľkého množstva faktorov na formovanie úrovne vlastnosti. Tieto faktory pôsobia nerovnakou silou a rôznymi smermi. Variačné indikátory sa používajú na opis miery variability znakov.
Úlohy štatistickej štúdie variácií:
- 1) štúdium povahy a stupňa variácie znakov v jednotlivých jednotkách populácie;
- 2) určenie úlohy jednotlivých faktorov alebo ich skupín pri variácii určitých znakov populácie.
V štatistike sa na štúdium variácií používajú špeciálne metódy založené na použití systému ukazovateľov, s ktorým sa meria variácia.
Štúdium variácií je nevyhnutné. Meranie variácií je potrebné pri vykonávaní pozorovania vzoriek, korelačnej a variačnej analýzy atď. Ermolaev O.Yu. Matematická štatistika pre psychológov: Učebnica [Text] / O.Yu. Ermolajev. - M.: Vydavateľstvo Flint Moskovského psychologického a sociálneho inštitútu, 2012. - 335s.
Podľa stupňa variácie možno posudzovať homogenitu populácie, stabilitu jednotlivých hodnôt znakov a typickosť priemeru. Na ich základe sa vyvíjajú ukazovatele blízkosti vzťahu medzi znakmi, ukazovatele na hodnotenie presnosti selektívneho pozorovania.
Existujú variácie v priestore a variácie v čase.
Variácia v priestore sa chápe ako kolísanie hodnôt prvku v jednotkách populácie reprezentujúcich samostatné územia. Pod zmenou v čase sa rozumie zmena hodnôt atribútu v rôznych časových obdobiach.
Na štúdium variácií v distribučných radoch sú všetky varianty hodnôt atribútov usporiadané vo vzostupnom alebo zostupnom poradí. Tento proces sa nazýva poradie série.
Najjednoduchšie znaky variácie sú minimum a maximum- najmenšia a najväčšia hodnota atribútu v súhrne. Počet opakovaní jednotlivých variantov hodnôt vlastností sa nazýva frekvencia opakovania (fi). Je vhodné nahradiť frekvencie frekvenciami - wi. Frekvencia - relatívny ukazovateľ frekvencie, ktorý môže byť vyjadrený v zlomkoch jednotky alebo percentách a umožňuje porovnávať variačné série s rôznym počtom pozorovaní. Vyjadrené vzorcom:
kde Xmax, Xmin - maximálne a minimálne hodnoty atribútu v súhrne; n je počet skupín.
Na meranie variácie vlastnosti sa používajú rôzne absolútne a relatívne ukazovatele. Medzi absolútne ukazovatele variácie patrí rozsah variácie, priemerná lineárna odchýlka, rozptyl, štandardná odchýlka. Medzi relatívne ukazovatele fluktuácie patrí koeficient oscilácie, relatívna lineárna odchýlka, koeficient variácie.
Príklad nájdenia série variácií
Cvičenie. Pre túto vzorku:
- a) Nájdite sériu variácií;
- b) Zostrojte distribučnú funkciu;
č.=42. Vzorové položky:
1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2
Riešenie.
- a) zostavenie zoradeného variačného radu:
- 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
- b) konštrukcia diskrétneho variačného radu.
Vypočítajme počet skupín v sérii variácií pomocou Sturgessovho vzorca:
Vezmime si počet skupín rovný 7.
Keď poznáme počet skupín, vypočítame hodnotu intervalu:
Pre pohodlie pri zostavovaní tabuľky vezmeme počet skupín rovný 8, interval bude 1.
Ryža. 1 Objem predaja tovaru predajňou za určité časové obdobie
(definícia variačného radu; zložky variačného radu; tri formy variačného radu; účelnosť zostrojenia intervalového radu; závery, ktoré možno zo zostrojeného radu vyvodiť)
Variačný rad je postupnosť všetkých prvkov vzorky usporiadaných v neklesajúcom poradí. Opakujú sa tie isté prvky
Variačné – ide o série postavené na kvantitatívnom základe.
Variačné distribučné rady pozostávajú z dvoch prvkov: variantov a frekvencií:
Varianty sú číselné hodnoty kvantitatívneho znaku v sérii variácií distribúcie. Môžu byť pozitívne alebo negatívne, absolútne alebo relatívne. Takže pri zoskupovaní podnikov podľa výsledkov hospodárskej činnosti sú možnosti pozitívne - to je zisk a záporné čísla - to je strata.
Frekvencie sú počty jednotlivých variantov alebo každej skupiny variačného radu, t.j. toto sú čísla ukazujúce, ako často sa určité možnosti vyskytujú v distribučnej sérii. Súčet všetkých frekvencií sa nazýva objem populácie a je určený počtom prvkov celej populácie.
Frekvencie sú frekvencie vyjadrené ako relatívne hodnoty (zlomky jednotiek alebo percent). Súčet frekvencií sa rovná jednej alebo 100 %. Nahradenie frekvencií frekvenciami umožňuje porovnávať variačné série s rôznym počtom pozorovaní.
Existujú tri formy variačných sérií: zoradené série, diskrétne série a intervalové série.
Zoradený rad predstavuje rozloženie jednotlivých jednotiek populácie vo vzostupnom alebo zostupnom poradí podľa študovaného znaku. Hodnotenie uľahčuje rozdelenie kvantitatívnych údajov do skupín, okamžité zistenie najmenších a najväčších hodnôt funkcie, zvýraznenie hodnôt, ktoré sa najčastejšie opakujú.
Ďalšími formami variačných sérií sú skupinové tabuľky zostavené podľa povahy variácií v hodnotách študovaného znaku. Podľa povahy variácie sa rozlišujú diskrétne (nespojité) a spojité znaky.
Diskrétny rad je taký variačný rad, ktorého konštrukcia je založená na znakoch s nespojitou zmenou (diskrétne znaky). Tieto zahŕňajú tarifnú kategóriu, počet detí v rodine, počet zamestnancov v podniku atď. Tieto znaky môžu nadobúdať iba konečný počet určitých hodnôt.
Diskrétny variačný rad je tabuľka, ktorá pozostáva z dvoch stĺpcov. Prvý stĺpec označuje konkrétnu hodnotu atribútu a druhý - počet jednotiek populácie s konkrétnou hodnotou atribútu.
Ak sa znamienko neustále mení (výška príjmu, pracovné skúsenosti, náklady na fixné aktíva podniku atď., ktoré môžu nadobudnúť akúkoľvek hodnotu v rámci určitých limitov), musí sa pre toto znamenie zostaviť séria intervalových variácií.
Skupinová tabuľka má tiež dva stĺpce. Prvý označuje hodnotu funkcie v intervale "od - do" (možnosti), druhý - počet jednotiek zahrnutých v intervale (frekvencia).
Frekvencia (frekvencia opakovania) - počet opakovaní konkrétneho variantu hodnôt atribútu, označovaného fi , a súčet frekvencií rovnajúci sa objemu študovanej populácie, označ.
Kde k je počet možností hodnoty atribútu
Veľmi často je tabuľka doplnená o stĺpec, v ktorom sú vypočítané akumulované frekvencie S, ktoré ukazujú, koľko jednotiek populácie má hodnotu znaku nie väčšiu ako táto hodnota.
Diskrétny variačný distribučný rad je rad, v ktorom sú skupiny zložené podľa znaku, ktorý sa mení diskrétne a má iba celočíselné hodnoty.
Séria distribúcie intervalových variácií je séria, v ktorej atribút zoskupenia, ktorý tvorí základ zoskupenia, môže nadobúdať akékoľvek hodnoty v určitom intervale vrátane zlomkových.
Intervalová variačná séria je usporiadaná množina intervalov variácií hodnôt náhodnej premennej so zodpovedajúcimi frekvenciami alebo frekvenciami hodnôt množstva spadajúcich do každej z nich.
Intervalový distribučný rad je účelné zostaviť predovšetkým s kontinuálnou variáciou znaku a tiež vtedy, ak sa diskrétna variácia prejavuje v širokom rozsahu, t.j. počet možností pre diskrétnu funkciu je pomerne veľký.
Z tejto série už možno vyvodiť niekoľko záverov. Napríklad priemerný prvok série variácií (medián) môže byť odhadom najpravdepodobnejšieho výsledku merania. Prvý a posledný prvok variačného radu (t. j. minimálny a maximálny prvok vzorky) ukazuje rozptyl prvkov vzorky. Niekedy, ak je prvý alebo posledný prvok veľmi odlišný od zvyšku vzorky, sú vylúčené z výsledkov merania, pretože tieto hodnoty boli získané v dôsledku nejakého hrubého zlyhania, napríklad technológie.
