Rovnica priamky v štyroch tvaroch. Všeobecná rovnica priamky

Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne k smerovému vektoru.

Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t.j. spĺňajú podmienku:

.

Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.

čísla m , n a p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n a p nemôže byť zároveň nula. Ale jeden alebo dva z nich môžu byť nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci zápis:

,

čo znamená, že projekcie vektora na os Oj a Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka daná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj a Oz, teda lietadlá yOz .

Príklad 1 Zostavte rovnice priamky v priestore kolmom na rovinu a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz .

Riešenie. Nájdite priesečník danej roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu na osi Oz, má teda súradnice , za predpokladu, že v danej rovnici roviny x=y= 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Teda priesečník danej roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto môže normálový vektor slúžiť ako smerovací vektor priamky danej rovine.

Teraz napíšeme požadované rovnice priamky prechádzajúcej bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:

Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia a V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky

.

Vyššie uvedené rovnice definujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.

Príklad 2 Napíšte rovnicu priamky v priestore prechádzajúcej bodmi a .

Riešenie. Požadované rovnice priamky zapíšeme vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:

.

Od , potom je požadovaná čiara kolmá na os Oj .

Priama ako priesečník rovín

Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t.j. ako množinu bodov, ktoré spĺňajú systém dvoch lineárnych rovníc.

Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.

Príklad 3 Zostavte kanonické rovnice priamky v priestore danom všeobecnými rovnicami

Riešenie. Ak chcete napísať kanonické rovnice priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz a xOz .

Priesečník priamky s rovinou yOz má abscisu X= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc X= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:

Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaného riadku. Za predpokladu, že potom v danej sústave rovníc r= 0 , dostaneme systém

Jej rozhodnutie X = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .

Teraz napíšeme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

,

alebo po vydelení menovateľov číslom -2:

,

Priamku prechádzajúcu bodom K(x 0; y 0) rovnobežnú s priamkou y = kx + a nájdeme podľa vzorca:

y – y 0 \u003d k (x – x 0) (1)

Kde k je sklon priamky.

Alternatívny vzorec:
Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1 ; y 1) rovnobežná s priamkou Ax+By+C=0 je vyjadrená rovnicou

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K( ;) rovnobežne s priamkou y = x + .

Príklad #1. Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (-2,1) a súčasne:
a) rovnobežne s priamkou 2x+3y -7 = 0;
b) kolmo na priamku 2x+3y -7 = 0.
Riešenie . Predstavme si rovnicu sklonu ako y = kx + a . Za týmto účelom prenesieme všetky hodnoty okrem y na pravú stranu: 3y = -2x + 7 . Potom pravú stranu vydelíme koeficientom 3 . Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Nájdite rovnicu NK prechádzajúcu bodom K(-2;1) rovnobežným s priamkou y = -2 / 3 x + 7 / 3
Nahradením x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
alebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 alebo 3 roky + 2x +1 = 0

Príklad č. 2. Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s priamkou 2x + 5y = 0 a tvoriacej spolu so súradnicovými osami trojuholník, ktorého obsah je 5.
Riešenie . Keďže čiary sú rovnobežné, rovnica požadovanej čiary je 2x + 5y + C = 0. Oblasť pravouhlého trojuholníka, kde a a b sú jeho nohy. Nájdite priesečníky požadovanej čiary so súradnicovými osami:
;
.
Takže, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vo vzorci pre oblasť nahraďte: . Dostaneme dve riešenia: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y - 10 = 0 .

Príklad č. 3. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2; 5) a rovnobežky 5x-7y-4=0 .
Riešenie. Táto priamka môže byť vyjadrená rovnicou y = 5/7 x – 4/7 (tu a = 5/7). Rovnica požadovanej priamky je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), t.j. 7(y-5)=5(x+2) alebo 5x-7y+45=0.

Príklad č. 4. Riešením príkladu 3 (A=5, B=-7) pomocou vzorca (2) nájdeme 5(x+2)-7(y-5)=0.

Príklad číslo 5. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2;5) a rovnobežnej priamky 7x+10=0.
Riešenie. Tu A=7, B=0. Vzorec (2) dáva 7(x+2)=0, t.j. x+2=0. Vzorec (1) nie je použiteľný, pretože túto rovnicu nemožno vyriešiť vzhľadom na y (táto priamka je rovnobežná s osou y).

Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kde k - zatiaľ neznámy koeficient.

Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2:

Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ak x 1 \u003d x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná s osou y. Jeho rovnica je x = x 1 .

Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky možno napísať ako y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.

Rovnica priamky v segmentoch

Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar:
tie.
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty priamka oddeľuje na súradnicových osiach.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .

Vektor n = (A; B) kolmý na priamku sa nazýva normálový normálny vektor tejto čiary .

Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B sú súradnice normálneho vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr.2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice priamky

,

Kde
sú súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a
- smerový vektor.

Krivky kruhu druhého rádu

Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R sústredený na bod
:

Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom a , ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná hodnota
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami
.

Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a ktorej počiatok je v strede medzi ohniskami, má tvar
G de a dĺžka hlavnej poloosi; b je dĺžka vedľajšej poloosi (obr. 2).

Rovnica priamky na rovine.

Ako je známe, každý bod v rovine je určený dvoma súradnicami v nejakom súradnicovom systéme. Súradnicové systémy sa môžu líšiť v závislosti od výberu základu a pôvodu.

Definícia. Rovnica priamky je vzťah y = f(x) medzi súradnicami bodov, ktoré tvoria túto čiaru.

Všimnite si, že priamková rovnica môže byť vyjadrená parametrickým spôsobom, to znamená, že každá súradnica každého bodu je vyjadrená prostredníctvom nejakého nezávislého parametra t.

Typickým príkladom je trajektória pohybujúceho sa bodu. Čas hrá v tomto prípade úlohu parametra.

Rovnica priamky na rovine.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

navyše konštanty A, B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2  0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C \u003d 0, A  0, B  0 - čiara prechádza počiatkom

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - čiara je rovnobežná s osou Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - čiara je rovnobežná s osou Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - priamka sa zhoduje s osou Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (1, 2) kolmým na vektor (3, -1).

Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Aby sme našli koeficient C, dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A.

Dostaneme: 3 - 2 + C \u003d 0, teda C \u003d -1.

Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1  x 2 a x \u003d x 1, ak x 1 \u003d x 2.

Zlomok
=k sa volá faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak všeobecná rovnica priamky Ax + Vy + C = 0 vedie k tvaru:

a určiť
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať priradenie priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor ( 1 ,  2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A 1 + B 2 = 0 sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádza cez bod A(1, 2).

Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1A + (-1)B = 0, t.j. A = B.

Potom rovnica priamky má tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C/A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme С/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C 0, potom po delení –C dostaneme:
alebo

, kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnica priesečníka priamky s osou x a b- súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1,
a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wy + C = 0 delené číslom
, ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcos + ysin - p = 0 –

normálna rovnica priamky.

Znamienko  normalizačného faktora treba zvoliť tak, aby С< 0.

p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a  je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x - 5y - 65 = 0. Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

normálna rovnica priamky:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Rovnica priamky má tvar:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -štyri.

a = -4 nevyhovuje podmienke problému.

Celkom:
alebo x + y-4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (-2, -3) a počiatok.

Rovnica priamky má tvar:
, kde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

.

Dve priamky sú rovnobežné, ak k 1 = k 2 .

Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/k 2 .

Veta. Priamky Ax + Vy + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú paralelné, keď sú koeficienty A proporcionálne 1 =  A, B 1 =  B. Ak aj C 1 =  C, potom sa čiary zhodujú.

Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

kolmo na túto čiaru.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y \u003d kx + b je reprezentovaná rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak bod M(x 0 , r 0 ), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C = 0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.

Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

.

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.

Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.

Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.

Nájdeme rovnicu strany AB:
; 4x = 6r - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.

k = . Potom y =
. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu:
odkiaľ b = 17. Celkom:
.

Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Analytická geometria v priestore.

Priamková rovnica v priestore.

Rovnica priamky v priestore bodom a

smerový vektor.

Vezmite ľubovoľnú čiaru a vektor (m, n, p) rovnobežne s danou čiarou. Vektor volal vodiaci vektor rovno.

Zoberme si dva ľubovoľné body M 0 (x 0 , y 0 , z 0) a M(x, y, z) na priamke.

z

M1

Označme vektory polomerov týchto bodov ako a , to je jasné - =
.

Pretože vektory
a sú kolineárne, potom je vzťah pravdivý
= t, kde t je nejaký parameter.

Celkovo môžeme napísať: = + t.

Pretože táto rovnica je splnená súradnicami ľubovoľného bodu na priamke, potom výsledná rovnica je parametrická rovnica priamky.

Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:

Transformáciou tohto systému a porovnaním hodnôt parametra t získame kanonické rovnice priamky v priestore:

.

Definícia. Smerové kosínusy priame sú smerové kosínusy vektora , ktoré možno vypočítať podľa vzorcov:

;

.

Odtiaľto dostaneme: m: n: p = cos : cos : cos.

Nazývajú sa čísla m, n, p faktory sklonu rovno. Pretože je nenulový vektor, m, n a p nemôžu byť súčasne nula, ale jedno alebo dve z týchto čísel môžu byť nula. V tomto prípade by sa v rovnici priamky mali zodpovedajúce čitateľa rovnať nule.

Rovnica priamky pri prechode priestorom

cez dva body.

Ak sú dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2) vyznačené na priamke v priestore, potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamka získaná vyššie:

.

Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:

.

Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:

.

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.

Všeobecné rovnice priamky v priestore.

Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.

Ako je uvedené vyššie, rovina vo vektorovom tvare môže byť daná rovnicou:

+ D = 0, kde

- rovina normálna; - vektor polomeru ľubovoľného bodu roviny.

Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvodíme rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme. Názorne si ukážeme a vyriešime niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva nezhodné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body roviny sú určené priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.

Ak je rovina daná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť so smerovým vektorom priamky.Tieto údaje postačujú na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Zvážte príklad riešenia podobného problému. Je potrebné zostaviť rovnicu priamky a prechádzajúcej cez dva nezhodné body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) nachádzajúce sa v karteziánskom súradnicovom systéme.

V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , je pravouhlý súradnicový systém O x y špecifikovaný priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M. 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .

Je potrebné zostaviť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) .

Priamka a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pretože pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Dostaneme rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Zvážte obrázok nižšie.

Po výpočtoch napíšeme parametrické rovnice priamky v rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) . Dostaneme rovnicu v tvare x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ alebo x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pozrime sa bližšie na niekoľko príkladov.

Príklad 1

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Riešenie

Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1 , y 1 a x 2 , y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Podľa stavu problému máme, že x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Je potrebné nahradiť číselné hodnoty v rovnici x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odtiaľ dostaneme, že kanonická rovnica bude mať tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ak je potrebné vyriešiť problém s iným typom rovnice, potom môžete na začiatok prejsť na kanonickú, pretože z nej je ľahšie prísť na akúkoľvek inú.

Príklad 2

Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.

Riešenie

Najprv si treba zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Privedieme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odpoveď: x - 3 y + 2 = 0.

Príklady takýchto úloh sa zvažovali v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili v tom, že bola známa rovnica priamky s koeficientom sklonu v tvare y \u003d k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pri ktorom rovnica y \u003d k x + b definuje čiaru v systéme O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom sklon nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou v tvare x - x 1 = 0 .

Pretože bodky M 1 a M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné riešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b vzhľadom na k a b.

Aby sme to dosiahli, nájdeme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Pri takýchto hodnotách k a b má rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body nasledujúci tvar y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz nebude fungovať. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky so sklonom prechádzajúcim bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.

Riešenie

Na vyriešenie problému používame vzorec so sklonom, ktorý má tvar y \u003d k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7 , - 5) a M 2 (2 , 1) .

bodov M 1 a M 2 umiestnené na priamke, potom by ich súradnice mali prevrátiť rovnicu y = k x + b na správnu rovnosť. Odtiaľ dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.

Pri striedaní to dostaneme

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Dostaneme, že želaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica, ktorá má tvar y = 2 3 x - 1 3 .

Tento spôsob riešenia predurčuje vynaloženie veľkého množstva času. Existuje spôsob, akým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.

Napíšeme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5) , ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 79 = y + 56.

Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .

Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.

Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sú schopné nastaviť priamku v súradnicovom systéme O x y z prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) s usmerňovacím vektorom a → = (a x, a y, a z) .

Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y2 - y1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Zoberme si obrázok, ktorý zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej danými dvoma bodmi so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5). ).

Riešenie

Musíme nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď danými bodmi prechádza priamka, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice možno zapísať takto:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter