Rovnica x2 y2. Riešenie rovníc s dvoma premennými

1. Sústavy lineárnych rovníc s parametrom

Sústavy lineárnych rovníc s parametrom sa riešia rovnakými základnými metódami ako konvenčné sústavy rovníc: substitučnou metódou, metódou sčítania rovníc a grafickou metódou. Poznanie grafickej interpretácie lineárnych systémov uľahčuje odpoveď na otázku o počte koreňov a ich existencii.

Príklad 1

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý systém rovníc nemá riešenia.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Riešenie.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov, ako tento problém vyriešiť.

1 spôsob. Použijeme vlastnosť: sústava nemá riešenia, ak sa pomer koeficientov pred x rovná pomeru koeficientov pred y, ale nerovná sa pomeru voľných členov (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Potom máme:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 alebo systém

(a 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Z prvej rovnice a 2 \u003d 4 teda, berúc do úvahy podmienku, že a ≠ 2, dostaneme odpoveď.

Odpoveď: a = -2.

2 spôsobom. Riešime substitučnou metódou.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Po odstránení spoločného faktora y zo zátvoriek v prvej rovnici dostaneme:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Systém nemá riešenia, ak prvá rovnica nemá riešenia, tj

(a 2 – 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Je zrejmé, že a = ±2, ale s prihliadnutím na druhú podmienku je daná iba odpoveď s mínusom.

odpoveď: a = -2.

Príklad 2

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý má sústava rovníc nekonečný počet riešení.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Riešenie.

Podľa vlastnosti, ak je pomer koeficientov v x a y rovnaký a rovná sa pomeru voľných členov systému, potom má nekonečnú množinu riešení (t.j. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Preto 8/a = a/2 = 2/1. Po vyriešení každej zo získaných rovníc zistíme, že v tomto príklade je odpoveďou a \u003d 4.

odpoveď: a = 4.

2. Sústavy racionálnych rovníc s parametrom

Príklad 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Riešenie.

Vynásobte prvú rovnicu systému 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odčítaním druhej rovnice od prvej dostaneme 5|x| = 4 – a. Táto rovnica bude mať jedinečné riešenie pre a = 4. V ostatných prípadoch bude mať táto rovnica dve riešenia (pre a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpoveď: a = 4.

Príklad 4

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má systém rovníc jedinečné riešenie.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Riešenie.

Tento systém budeme riešiť pomocou grafickej metódy. Takže grafom druhej rovnice systému je parabola, zdvihnutá pozdĺž osi Oy o jeden jednotkový segment. Prvá rovnica definuje množinu priamok rovnobežných s priamkou y = -x (obrázok 1). Obrázok jasne ukazuje, že systém má riešenie, ak sa priamka y \u003d -x + a dotýka paraboly v bode so súradnicami (-0,5; 1,25). Dosadením týchto súradníc do rovnice priamky namiesto x a y nájdeme hodnotu parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpoveď: a = 0,75.

Príklad 5

Substitučnou metódou zistite, pri akej hodnote parametra a má systém unikátne riešenie.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.

Riešenie.

Vyjadrite y z prvej rovnice a dosaďte ho do druhej:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Druhú rovnicu privedieme do tvaru kx = b, ktorá bude mať jednoznačné riešenie pre k ≠ 0. Máme:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Štvorcová trojčlenka a 2 + 3a + 2 môže byť vyjadrená ako súčin zátvoriek

(a + 2) (a + 1) a naľavo vyberieme x zo zátvoriek:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Je zrejmé, že a 2 + 3a sa nesmie rovnať nule, preto

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, čo znamená a ≠ 0 a ≠ -3.

odpoveď: a ≠ 0; ≠ -3.

Príklad 6

Pomocou metódy grafického riešenia určite, pri akej hodnote parametra a má systém jedinečné riešenie.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Riešenie.

Na základe podmienky zostavíme kruh so stredom v počiatku súradníc a polomerom 3 jednotkových segmentov, práve tento kruh stanovuje prvú rovnicu systému

x 2 + y 2 = 9. Druhá rovnica sústavy (y = |x| + a) je prerušovaná čiara. Používaním obrázok 2 uvažujeme o všetkých možných prípadoch jeho umiestnenia vzhľadom na kružnicu. Je ľahké vidieť, že a = 3.

Odpoveď: a = 3.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť sústavy rovníc?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Inštrukcia

Substitučná metóda Vyjadrite jednu premennú a dosaďte ju do inej rovnice. Môžete vyjadriť akúkoľvek premennú, ktorú chcete. Vyjadrite napríklad „y“ z druhej rovnice:
x-y=2 => y=x-2 Potom všetko zapojte do prvej rovnice:
2x+(x-2)=10 Presuňte všetko bez x na pravú stranu a počítajte:
2x+x=10+2
3x=12 Ďalej pre „x vydeľte obe strany rovnice 3:
x=4. Takže ste našli "x. Nájdite „at. Ak to chcete urobiť, nahraďte "x" do rovnice, z ktorej ste vyjadrili "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Vykonajte kontrolu. Za týmto účelom nahraďte výsledné hodnoty do rovníc:
2*4+2=10
4-2=2
Neznámy bol nájdený správne!

Ako sčítať alebo odčítať rovnice Zbavte sa akejkoľvek premennej naraz. V našom prípade je to jednoduchšie urobiť s „y.
Keďže v rovnici „y má znamienko“ + a v druhej „-“, môžete vykonať operáciu sčítania, t.j. Pridáme ľavú stranu doľava a pravú stranu doprava:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertovať:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Dosaďte „x“ do ľubovoľnej rovnice a nájdite „y:
2*4+y=10
8 + y = 10
y=10-8
y=2 1. metódou môžete skontrolovať, či sú korene nájdené správne.

Ak neexistujú jasne definované premenné, potom je potrebné mierne transformovať rovnice.
V prvej rovnici máme "2x" a v druhej len "x". Aby sa x pri sčítaní alebo odčítaní zmenšilo, vynásobte druhú rovnicu 2:
x-y=2
2x-2y=4 Potom odčítajte druhú rovnicu od prvej rovnice:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3r=6
nájdite y \u003d 2 "x vyjadrením z ľubovoľnej rovnice, t.j.
x=4

Podobné videá

Pri riešení diferenciálnych rovníc nie je argument x (alebo čas t vo fyzikálnych úlohách) vždy explicitne dostupný. Napriek tomu ide o zjednodušený špeciálny prípad nastavenia diferenciálnej rovnice, ktorý často pomáha zjednodušiť hľadanie jej integrálu.

Inštrukcia

Uvažujme o fyzikálnom probléme, ktorý vedie k diferenciálnej rovnici, ktorej chýba argument t. Ide o problém vibrácií o hmotnosti m, zavesených na nite dĺžky r, umiestnenej vo vertikálnej rovine. Pohybová rovnica kyvadla je potrebná, ak počiatočná bola stacionárna a odchýlila sa od rovnovážneho stavu o uhol α. Sily treba zanedbať (pozri obr. 1a).

Riešenie. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej a neroztiahnuteľnej nite v bode O. Na bod pôsobia dve sily: gravitácia G \u003d mg a napätie nite N. Obe tieto sily ležia vo vertikálnej rovine. Preto na vyriešenie problému môžete použiť rovnicu rotačného pohybu bodu okolo vodorovnej osi prechádzajúcej bodom O. Rovnica pre rotačný pohyb telesa má tvar znázornený na obr. 1b. V tomto prípade I je moment zotrvačnosti hmotného bodu; j je uhol natočenia závitu spolu s bodom, počítaný od vertikálnej osi proti smeru hodinových ručičiek; M je moment síl pôsobiacich na hmotný bod.

Vypočítajte tieto hodnoty. I = mr^2, M=M(G)+M(N). Ale M(N)=0, keďže čiara pôsobenia sily prechádza bodom O. M(G)=-mgrsinj. Znamienko "-" znamená, že moment sily smeruje v smere opačnom k ​​pohybu. Dosaďte moment zotrvačnosti a moment sily do pohybovej rovnice a získajte rovnicu znázornenú na obr. 1 s. Zmenšením hmotnosti vzniká vzťah (pozri obr. 1d). Nie je tu žiadny argument.

Riešenie rovníc v celých číslach je jedným z najstarších matematických problémov. Už na začiatku 2. tisícročia pred Kr. e. Babylončania vedeli riešiť sústavy takýchto rovníc s dvoma premennými. Najväčší rozkvet dosiahla táto oblasť matematiky v starovekom Grécku. Hlavným zdrojom je pre nás „Aritmetika“ Diophantus, ktorá obsahuje rôzne typy rovníc. Diophantus (podľa svojho mena a názvu rovníc - Diofantínske rovnice) v nej anticipuje množstvo metód na štúdium rovníc 2. a 3. stupňa, ktoré sa vyvinuli až v 19. storočí.

Najjednoduchšie diofantické rovnice ax + y = 1 (rovnica s dvoma premennými, prvý stupeň) x2 + y2 = z2 (rovnica s tromi premennými, druhý stupeň)

Najrozsiahlejšie boli študované algebraické rovnice, ktorých riešenie bolo jedným z najdôležitejších problémov algebry v 16. a 17. storočí.

Začiatkom 19. storočia práce P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa skúmali diofantínsku rovnicu v tvare: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c , d, e, f sú čísla; x, y sú neznáme premenné.

Toto je rovnica 2. stupňa s dvoma neznámymi.

K. Gauss vybudoval všeobecnú teóriu kvadratických foriem, ktorá je základom riešenia určitých typov rovníc s dvoma premennými (diofantínske rovnice). Existuje veľké množstvo špecifických diofantických rovníc, ktoré možno vyriešiť elementárnymi metódami. /p>

teoretický materiál.

V tejto časti práce budú popísané základné matematické pojmy, budú uvedené definície pojmov, bude formulovaná dekompozičná veta metódou neurčitých koeficientov, ktoré boli študované a uvažované pri riešení rovníc s dvoma premennými.

Definícia 1: Rovnica v tvare ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla; x, y neznámych premenných sa nazýva rovnica druhého stupňa s dvoma premennými.

V školskom kurze matematiky sa študuje kvadratická rovnica ax2 + inx + c \u003d 0, kde a, b, c čísla x je premenná s jednou premennou. Existuje mnoho spôsobov, ako vyriešiť takúto rovnicu:

1. Hľadanie koreňov pomocou diskriminantu;

2. Hľadanie koreňov pre párny koeficient v (podľa D1 =);

3. Hľadanie koreňov podľa Vietovej vety;

4. Hľadanie koreňov pomocou výberu úplného štvorca dvojčlenu.

Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že žiadne neexistujú.

Definícia 2: Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice tvorí skutočnú rovnosť.

Definícia 3: Riešenie rovnice s dvoma premennými sa nazýva dvojica čísel (x, y), pri ich dosadení do rovnice sa zmení na skutočnú rovnosť.

Proces hľadania riešení rovnice veľmi často spočíva v nahradení rovnice ekvivalentnou rovnicou, ale jednoduchšou na riešenie. Takéto rovnice sa nazývajú ekvivalentné.

Definícia 4: Dve rovnice sa považujú za ekvivalentné, ak každé riešenie jednej rovnice je riešením druhej rovnice a naopak a obe rovnice sa zvažujú v rovnakej oblasti.

Na riešenie rovníc s dvoma premennými sa používa veta o expanzii rovnice na súčet dokonalých štvorcov (metódou neurčitých koeficientov).

Pre rovnicu druhého rádu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) existuje rozklad a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Formulujme podmienky, za ktorých dochádza k expanzii (2) pre rovnicu (1) dvoch premenných.

Veta: Ak koeficienty a, c, c rovnice (1) spĺňajú podmienky a0 a 4av - c20, potom je expanzia (2) určená jednoznačným spôsobom.

Inými slovami, rovnicu (1) s dvoma premennými môžeme redukovať do tvaru (2) pomocou metódy neurčitých koeficientov, ak sú splnené podmienky vety.

Pozrime sa na príklade implementácie metódy neurčitých koeficientov.

METÓDA #1. Riešte rovnicu metódou neurčitých koeficientov

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Skontrolujme splnenie podmienok vety, a=2, b=1, c=2, teda a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Podmienky vety sú splnené a možno ich rozšíriť pomocou vzorca (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, na základe podmienok vety sú obe časti identity ekvivalentné. Zjednodušte pravú stranu identity.

4. 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Prirovnajte koeficienty rovnakých premenných k ich mocninám.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Získajte sústavu rovníc, vyriešte ju a nájdite hodnoty koeficientov.

7. Dosaďte koeficienty v (2), rovnica bude mať tvar

2 x 2 + y2 + 2 x y + 2 x + 1 \u003d 2 (x + 0,5 r + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Pôvodná rovnica je teda ekvivalentná rovnici

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), táto rovnica je ekvivalentná sústave dvoch lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1; 1).

Ak si dáte pozor na typ rozkladu (3), potom môžete vidieť, že je vo forme identický s výberom celého štvorca z kvadratickej rovnice s jednou premennou: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Aplikujme tento trik na riešenie rovnice s dvoma premennými. Vyriešme pomocou výberu plného štvorca kvadratickú rovnicu s dvomi premennými už vyriešenou pomocou vety.

SPÔSOB #2: Vyriešte rovnicu 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Riešenie: 1. Reprezentujeme 2x2 ako súčet dvoch členov x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Pojmy zoskupíme tak, aby sme ich mohli zbaliť podľa vzorca plného štvorca.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Vyberte celé štvorce z výrazov v zátvorkách.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Táto rovnica je ekvivalentná sústave lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1;1).

Ak výsledky porovnáme, vidíme, že rovnica riešená metódou č. 1 pomocou vety a metódou neurčitých koeficientov a rovnica riešená metódou č. 2 výberom plného štvorca majú rovnaké korene.

Záver: Kvadratická rovnica s dvoma premennými môže byť rozšírená na súčet štvorcov dvoma spôsobmi:

➢ Prvou metódou je metóda neurčitých koeficientov, ktorá je založená na vete a expanzii (2).

➢ Druhý spôsob je pomocou identických transformácií, ktoré umožňujú vybrať za sebou celé štvorce.

Pri riešení problémov je samozrejme výhodnejšia druhá metóda, pretože nevyžaduje zapamätanie rozšírenia (2) a podmienok.

Túto metódu možno použiť aj na kvadratické rovnice s tromi premennými. Výber plného štvorca v takýchto rovniciach je prácnejší. Budúci rok budem robiť takúto premenu.

Je zaujímavé, že funkcia v tvare f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f sa nazýva kvadratická funkcia dvoch premenných. Kvadratické funkcie hrajú dôležitú úlohu v rôznych odvetviach matematiky:

V matematickom programovaní (kvadratické programovanie)

V lineárnej algebre a geometrii (kvadratické formy)

V teórii diferenciálnych rovníc (redukcia lineárnej rovnice druhého rádu na kanonickú formu).

Pri riešení týchto rôznych problémov je v skutočnosti potrebné použiť postup na extrakciu úplného štvorca z kvadratickej rovnice (jedna, dve alebo viac premenných).

Čiary, ktorých rovnice sú opísané kvadratickou rovnicou dvoch premenných, sa nazývajú krivky druhého rádu.

Tento kruh, elipsa, hyperbola.

Pri vykresľovaní týchto kriviek sa používa aj metóda postupného výberu celého štvorca.

Uvažujme, ako funguje metóda postupného výberu plného štvorca na konkrétnych príkladoch.

Praktická časť.

Riešte rovnice metódou postupného výberu celého štvorca.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odpoveď: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2y + 1) = 0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

Riešiť rovnice:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(uveďte do tvaru: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odpoveď: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(uveďte do tvaru: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Odpoveď: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(uveďte do tvaru: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Odpoveď: (7; -7)

Záver.

V tejto vedeckej práci sa študovali rovnice s dvoma premennými druhého stupňa, zvažovali sa metódy ich riešenia. Úloha je splnená, formulovaný a opísaný kratší spôsob riešenia, založený na výbere úplného štvorca a nahradení rovnice ekvivalentným systémom rovníc, v dôsledku toho sa zjednoduší postup hľadania koreňov rovnice s dvoma premennými.

Dôležitým bodom práce je, že uvažovaná technika sa používa pri riešení rôznych matematických problémov spojených s kvadratickou funkciou, konštrukciou kriviek druhého rádu a hľadaním najväčšej (najmenšej) hodnoty výrazov.

Technika rozšírenia rovnice druhého rádu o dve premenné na súčet štvorcov má teda najpočetnejšie uplatnenie v matematike.

Neurčité rovnice v prirodzených číslach.

Štátna vzdelávacia inštitúcia "Rechitsa District Lyceum"

Pripravené: .

Vedúci: .

Úvod

1.Riešenie rovníc metódou faktoringu…………4

2. Riešenie rovníc s dvoma premennými (diskriminačná metóda)……………………………………………………………………………….11

3. Reziduálna metóda ............................................................ ...................................13

4. Metóda „nekonečného zostupu“ ................................................. ..............15

5. Metóda odberu vzoriek………………………………………………………………...16

Záver................................................. ........................................18

Úvod

Som Slava, študujem na okresnom lýceu Rechitsa, študent 10. ročníka.

Všetko začína nápadom! Bol som požiadaný, aby som vyriešil rovnicu s tromi neznámymi 29x + 30y + 31 z = 366. Teraz túto rovnicu považujem za úlohu - vtip, ale prvýkrát som si zlomil hlavu. Pre mňa sa táto rovnica stala akousi nedefinovanou, ako ju riešiť, akým spôsobom.

Pod neurčité rovnice musíme pochopiť, že ide o rovnice obsahujúce viac ako jednu neznámu. Ľudia, ktorí riešia tieto rovnice, zvyčajne hľadajú riešenia v celých číslach.

Riešenie neurčitých rovníc je veľmi vzrušujúca a poučná aktivita, ktorá prispieva k formovaniu vynaliezavosti, pozorovania, pozornosti študentov, ako aj k rozvoju pamäti a orientácie, schopnosti logicky myslieť, analyzovať, porovnávať a zovšeobecňovať. Zatiaľ som nenašiel všeobecnú techniku, ale teraz vám poviem o niektorých metódach riešenia takýchto rovníc v prirodzených číslach.

Táto téma nie je úplne pokrytá v existujúcich učebniciach matematiky a problémy sa ponúkajú na olympiádach a pri centralizovanom testovaní. To ma zaujalo a zaujalo natoľko, že pri riešení rôznych rovníc a úloh som nazbieral celú zbierku vlastných riešení, ktoré sme si s učiteľom rozdelili podľa metód a spôsobov riešenia. Aký je teda účel mojej práce?

môj cieľ analyzovať riešenia rovníc s viacerými premennými na množine prirodzených čísel.

Na začiatok zvážime praktické problémy a potom prejdeme k riešeniu rovníc.

Aká je dĺžka strán obdĺžnika, ak sa jeho obvod číselne rovná jeho ploche?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N a y€ N

P=S

2x+2y=xy font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Odpoveď: (4:4); (3:6); (6:3).

Nájdite spôsoby, ako zaplatiť 47 rubľov, ak na to možno použiť iba troj- a päťrubľové bankovky.

Riešenie

5x+3y=47

x = 1, y = 14

x = 1 – 3 tisíc, y = 14 + 5 tisíc, tisíc eur Z

Prirodzené hodnoty x a y zodpovedajú K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Vtipná úloha

Dokážte, že existuje riešenie rovnice 29x+30y+31 z= 336 v prirodzených číslach.

Dôkaz

Priestupný rok má 366 dní a jeden mesiac má 29 dní, štyri mesiace majú 30 dní,

7 mesiacov - 31 dní.

Riešením sú tri (1:4:7). To znamená, že existuje riešenie rovnice v prirodzených číslach.

1. Riešenie rovníc faktoringom

1) Riešte rovnicu x2-y2=91 v prirodzených číslach

Riešenie

(x-y)(x+y)=91

Riešenie 8 systémov

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

odpoveď: ( 46:45):(10:3).

2) Vyriešte rovnicu x3 + 91 \u003d y3 v prirodzených číslach

Riešenie

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Riešenie 8 systémov

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nemá riešenia v celých číslach

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Zvyšné 4 systémy nemajú riešenia v celých číslach. Podmienka je splnená jedným riešením.

odpoveď: (5:6).

3) Riešte rovnicu xy=x+y v prirodzených číslach

Riešenie

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1) (x-1) = 1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Riešenie 2 systémy

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1 = -1

(0:0)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

odpoveď: (2:2).

4) Riešte rovnicu 2x2+5xy-12y2=28 v prirodzených číslach

Riešenie

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - prirodzené čísla; (x+4r)€ N

(x+4y)≥5

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

žiadne riešenia v prirodzených číslach

odpoveď: (8:5).

5) vyriešiť rovnicu 2xy=x2+2y v prirodzených číslach

Riešenie

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1 = 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1 = -1

žiadne riešenia v prirodzených číslach

odpoveď: (2:2).

6) vyriešiť rovnicu Xpriz-3 xy-2 xz+ yz+6 X-3 r-2 z= -4 v prirodzených číslach

Riešenie

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2 z +4=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2 z +6-2=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y (z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Riešenie 6 systémov

z-3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2 = 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x + 1 = 2

y-2 = -1

(1:1:2)

z-3=2

x +1 = -1

y-2= -1

(-2:1:5)

odpoveď: (1:3:4).

Zvážte pre mňa zložitejšiu rovnicu.

7) Riešte rovnicu x2-4xy-5y2=1996 v prirodzených číslach

Riešenie

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

žiadne riešenia

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

žiadne riešenia

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

žiadne riešenia

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

žiadne riešenia

odpoveď: x = 832, y = 166.

Poďme na záver:pri riešení rovníc faktorizáciou sa používajú skrátené vzorce na násobenie, metóda zoskupovania, metóda výberu na celý štvorec. .

2. Riešenie rovníc s dvoma premennými (diskriminačná metóda)

1) Vyriešte rovnicu 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 v prirodzených číslach

Riešenie

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8r - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2r + 2) \u003d 4 ((4r - 1) 2 -5 * (5y2 + 2r + 2))

x1,2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0

y = -1, x = 1

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

2) Vyriešte rovnicu 3(x2+xy+y2)=x+8y v prirodzených číslach

Riešenie

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3r-1) 2-4 * 3 (3y2-8r) \u003d 9y2-6r + 1-36y2 + 96r \u003d -27y2 + 90r + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Keď prejdeme tieto hodnoty, máme (1:1).

odpoveď: (1:1).

3) Vyriešte rovnicu x4-y4-20x2+28y2=107 v prirodzených číslach

Riešenie

Zavádzame náhradu: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2 = -10 ± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Rovnica vyzerá takto:

(a-a+4)(a+a-24)=1

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

v prirodzených číslach neexistujú riešenia;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" krát new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 žiadne riešenia v prirodzených a celých číslachodpoveď: (4:3),(2:3).

3. Reziduálna metóda

Pri riešení rovníc reziduálnou metódou sa veľmi často používajú tieto úlohy:

A) Aké zvyšky môžu dať, keď ich delíme 3 a 4?

Je to veľmi jednoduché, pri delení 3 alebo 4 môžu presné štvorce poskytnúť dva možné zvyšky: 0 alebo 1.

B) Aké zvyšky môžu dať presné kocky pri delení 7 a 9?

Pri delení 7 môžu dať zvyšky: 0, 1, 6; a pri delení 9:0, 1, 8.

1) Vyriešte rovnicu x2+y2=4 z-1 v prirodzených číslach

Riešenie

x2+y2+1=4z

Zvážte, čo môže dať zvyšok, keď sa vydelí 4, ľavá a pravá strana tejto rovnice. Pri delení 4 môžu presné štvorce poskytnúť iba dva rôzne zvyšky 0 a 1. Potom x2 + y2 + 1 pri delení 4 dávajú zvyšky 1, 2, 3 a 4 z rozdelené bezo zvyšku.

Preto táto rovnica nemá riešenia.

2) Vyriešte rovnicu 1!+2!+3!+ …+x!= y2 v prirodzených číslach

Riešenie

a) X=1, 1!=1, potom y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, t.j. y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, t.j. y=±font-size:14.0pt;line-height:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (žiadne), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, predstavte si 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Číslo končiace na 3 znamená, že nemôže byť druhou mocninou celého čísla. Preto x≥5 nemá žiadne riešenia v prirodzených číslach.

odpoveď:(3:3) a (1:1).

3) Dokážte, že v prirodzených číslach neexistujú riešenia

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Dôkaz

Predpokladajme, že systém je riešiteľný z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - nepárne číslo

z = 2 m+1

y2+2m2+2m , y2 je párne číslo, y = 2 n , n € N

x2 = 8n3 +7, teda x2 je nepárne číslo a X nepárne, x = 2 r +1, n € N

Náhradník X A pri do prvej rovnice,

2(r2+r-2n3)=3

Nie je to možné, keďže ľavá strana rovnice je deliteľná dvomi a pravá nie je deliteľná, čo znamená, že náš predpoklad nie je pravdivý, teda systém nemá riešenia v prirodzených číslach.

4. Metóda nekonečného zostupu

Riešime podľa nasledujúcej schémy:

Predpokladajme, že rovnica má riešenie, budujeme určitý nekonečný proces, pričom podľa samotného zmyslu problému by tento proces mal skončiť rovnomerným krokom.

1)Dokážte, že platí rovnica 8x4+4y4+2 z4 = t4 nemá riešenia v prirodzených číslach

Dôkaz

Predpokladajme, že rovnica má riešenie v celých číslach, potom z toho vyplýva

t4 je párne číslo, potom t je tiež párne

t=2t1, t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 je párne, potom z = 2 z 1, z 1 € Z

Náhradník

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x je párne, t. j. x=2x, x1€ Z teda

16x14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 r 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Takže x, y, z , t – párne čísla, potom x1, y1, z1,t1 - dokonca. Potom x, y, z, t a x1, y1, z1, t1 sú deliteľné 2, tj, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> afont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>.

Takže sa ukázalo, že číslo spĺňa rovnicu; sú násobky 2 a bez ohľadu na to, koľkokrát ich delíme 2, vždy dostaneme čísla, ktoré sú násobkami 2. Jediné číslo, ktoré spĺňa túto podmienku, je nula. Nula ale do množiny prirodzených čísel nepatrí.

5. Vzorová metóda

1) Nájdite riešenia rovnice font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Riešenie

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Riešenie 6 systémov

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y = 1 + p, x = 1 + p

y-r= -1

xp = -1

y=p-1, x=p-1

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= - p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

odpoveď:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Záver

Zvyčajne sa riešenia neurčitých rovníc hľadajú v celých číslach. Rovnice, v ktorých sa hľadajú iba celočíselné riešenia, sa nazývajú diofantíny.

Riešenia rovníc s viac ako jednou neznámou som analyzoval na množine prirodzených čísel. Takéto rovnice sú také rozmanité, že sotva existuje nejaký spôsob, algoritmus na ich riešenie. Riešenie takýchto rovníc si vyžaduje vynaliezavosť a prispieva k získaniu zručností samostatnej práce v matematike.

Príklady som riešil najjednoduchšími metódami. Najjednoduchšou technikou riešenia takýchto rovníc je vyjadrenie jednej premennej pomocou zvyšku a dostaneme výraz, ktorý budeme skúmať, aby sme našli tieto premenné, pre ktoré je to prirodzené (celé číslo).

Zároveň sa koncepty a skutočnosti súvisiace s deliteľnosťou, ako sú prvočísla a zložené čísla, znaky deliteľnosti, relatívne prvočísla atď.

Obzvlášť často používané:

1) Ak je súčin deliteľný prvočíslom p, potom aspoň jeden z jeho faktorov je deliteľný p.

2) Ak je súčin deliteľný nejakým číslom s a jeden z faktorov je coprime s číslom s, potom je druhý faktor deliteľný s.